专题04 椭圆与方程（6大题型）（期末真题分类汇编 陕西专用）高二数学上学期

专题04 椭圆与方程 （6大题型） 6大高频考点概览 考点01 椭圆的定义与方程 考点02 椭圆的离心率 考点03 直线与椭圆的位置关系 考点04 椭圆的弦长、中点弦、切线问题 考点05 椭圆中的定点、定值问题 考点06 椭圆中的向量问题 椭圆的定义与方程 地 城 考点01 1．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与交于，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得，结合椭圆定义可得，再利用余弦定理以及几何性质分析求解. 【详解】由椭圆方程可知：，即， 因为，且，可得， 在中，， 由椭圆性质可知：，即四边形为平行四边形， 所以. 故选：A. 2．(23-24高二上·陕西西安陕西师大附中·期末)已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】由椭圆，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：D. 3．(22-23高二上·2.1.1椭圆及其标准方程练习-·)已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ） A．12 B． C．16 D．10 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，    则的周长为， 故选：C. 4．(22-23高二上·陕西宝鸡金台区·期末)，为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则（    ） A．9 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，进而求得结果． 【详解】椭圆中，，，为椭圆的两个焦点， ⸫，又，⸫ 故选：A 5．(22-23高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即可求出，再根据，即可得解； 【详解】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为， 即 ，又，所以， 由，所以； 故选：A 6．(21-22高二上·陕西咸阳秦都区·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，若，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】根据椭圆的定义可知：， 所以. 故选：D 7．(21-22高二上·陕西渭南富平县·期末)如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（    ） A．6 B．26 C．4 D．14 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义及椭圆上一点到焦点的距离等于6 ，可得的长. 【详解】解：根据椭圆的定义， 又椭圆上一点到焦点的距离等于6， ，则， 故选：D. 8．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)“”是“方程 表示椭圆”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】列出表示椭圆的关于m的不等式组求解，再结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B. 9．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 10．(23-24高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式求，即可得方程. 【详解】因为椭圆的左焦点为，所以. 又因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为， 所以， 结合，可得， 故椭圆的方程为. 故选：A. 11．(23-24高二上·陕西汉中汉台区·期末)若椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．3 B．3或5 C．5或8 D．8 【答案】B 【分析】结合椭圆性质，分焦点在轴、轴上计算即可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，有，故， 当椭圆的焦点在轴上时，有，故. 故选：B. 12．(24-25高二上·陕西西安第八十五中学·期末)已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【答案】CD 【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 13．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)若方程所表示的曲线为C，则（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C不一定是椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则 【答案】ABC 【分析】令即可判断AB；由方程表示椭圆、双曲线的条件即可判断CD. 【详解】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确； 对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确； 对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误. 故选：ABC. 14．已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（    ）    A．飞船向径的取值范围是 B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的定义可判断选项A；根据面积守恒规律可判断选项B；根据离心率与椭圆的形状关系可判断选项C；根据面积守恒规律可判断选项D. 【详解】根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是，A正确； 当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大， 根据面积守恒规律， 知飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确； ，比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，C错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度的大小最大， 在远地点时向径最大，故速度的大小最小，D正确． 故选：ABD． 15．(23-24高二下·陕西延安志丹县·适考)椭圆的短轴长为 ，以坐标原点为圆心，该椭圆的短轴长为直径的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】由代数式的几何意义与椭圆的定义待定系数，再求出短轴长，进而求出圆的半径，由圆的标准方程可得结果. 【详解】由方程可知， 椭圆上任意一点到两定点的距离之和为， 由椭圆定义可知，为椭圆两焦点，且长轴长，焦距， 则，短轴长， 由题意，所求圆的半径，圆心为， 故圆的方程为. 故答案为：；. 16．(23-24高二下·陕西安康·期末)已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 . 【答案】 【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】第一空，将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 离心率为：. 第二空，如图所示，    易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为：；. 17．(23-24高二上·陕西咸阳·期末)已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意得到，进而得到，继而由是等边三角形求得，再利用椭圆的定义与离心率公式即可得解. 【详解】因为是等边三角形，所以， 又，所以，则是直角三角形，且， 又，，则， 又P在椭圆上，故，即， 所以，即椭圆E的离心率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 18．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】结合椭圆的性质，即可求解． 【详解】焦点在x轴上，，， 则，解得， 故 故所求椭圆的方程为：． 故答案为：． 19．(21-22高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程形式即可求出结果. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得， 故答案为：. 20．(22-23高二上·陕西宝鸡金台区·期末)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程的形式，焦点在轴上的椭圆分母的大小关系可得. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆,则 故答案为： 地 城 考点02 椭圆的离心率 21．(24-25高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立坐标系，设椭圆方程，，，，求，根据关系列不等式，结合离心率定义求结论. 【详解】以椭圆的中心为原点，以为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设椭圆方程，，，，， 则，，， ，. 因为，即，又， 故 又， 所以. 故选：B. 22．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)椭圆E: 的左、右焦点分别为，若椭圆E上恰有4个不同的点P，使得为直角，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得以线段为直径的圆与椭圆有4个交点，建立不等式求出离心率范围. 【详解】由椭圆E上恰有4个不同的点P，使得为直角，得以线段为直径的圆与椭圆有4个交点， 因此椭圆半焦距，即，则，解得，而， 所以E的离心率的取值范围为. 故选：B 23．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)如图，过圆柱其中一条母线上的点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，．设椭圆，，的离心率分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，由此可确定，，的大小关系；或根据离心率的定义判断. 【详解】解法1：设椭圆，，的长轴长分别为，，， 短轴长分别为，，，焦距分别为，，， 由题意得，， 则，，， 由，，得，故． 故选：D． 解法2：根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆，由此可得． 故选：D． 24．(23-24高二下·陕西西安周至县·期末)已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由椭圆的方程，可得： 当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由，可得，解得； 当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由，可得，解得，所以 所以是椭圆C的离心率为的充分不必要条件． 故选：A. 25．(22-23高二下·陕西西安铁一中学·期末)设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，可表示出，结合化简，进而可得当时，取得最小值，进而求解即可. 【详解】由题意可知，，设， 因为，所以， 又，， 所以， 因为，则， 当时，取得最小值，即， 即， 所以， 即椭圆的离心率为. 故选：D. 26．(20-21高二上·陕西渭南华阴·期末)椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程求出的值，然后根据离心率公式即可求解. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以离心率， 故选：A. 27．(22-23高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)若椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】考虑和两种情况，根据离心率的公式计算得到答案. 【详解】当时，离心率为，解得； 当时，离心率为，解得. 综上所述：或. 故选：D 28．(22-23高二上·陕西咸阳·期末)2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351，远地点高度约为385，地球半径约为6400，则该轨道的离心率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出即可求解. 【详解】由题可知，， ，解得， 所以离心率为， 故选:A. 29．(22-23高二上·陕西榆林·期末)已知命题p：离心率越小，椭圆的形状越扁；命题q：在区间随机取1个数，则取到的数小于0.6的概率为0.6，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断两个命题的真假，再根据复合命题的真假关系判断. 【详解】由离心率定义可知，椭圆离心率越小，椭圆的形状越圆，所以命题是假命题， 根据几何概型可知，命题是真命题，所以根据复合命题真假的判断方法可知，是真命题. 故选：B 30．(21-22高二上·陕西榆林横山中学·期末)已知椭圆的左，右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得以线段为直径的圆的方程为，利用该圆与直线相切，可得的关系，即可求得椭圆离心率. 【详解】由题意知， 以线段为直径的圆 与直线相切， 故 ，化为： ， 所以椭圆C的离心率 ， 故选：C． 31．(21-22高二上·陕西咸阳秦都区·期末)已知椭圆：的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率，求出椭圆方程，再利用两点间距离公式和点在圆上，换成关于点横坐标的二次函数，根据二次函数在闭区间上的最值即可求解. 【详解】因为椭圆：的离心率为， 所以椭圆的离心率，又，则， 所以椭圆方程为，设椭圆上一动点，则， 所以，因为， 所以当时，取最大值， 故选：. 32．(22-23高二上·陕西榆林第十中学·期末)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆： 的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据已知可得，设，得，结合与，可求出的值，根据得的值，即可求得椭圆的离心率. 【详解】解：由题意可得，所以， 直线与椭圆交于两点，设，则，且①，又， 所以的斜率之积为②， 由①②可得：，即，结合，可得：，所以，则椭圆的离心率为. 故选：A. 33．(21-22高二上·陕西西安蓝田县·期末)设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得点的坐标，然后根据列方程，化简求得离心率. 【详解】由于为等腰三角形， 所以，. 故选：A 34．(23-24高二下·陕西榆林·)已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，由知，，最后将点的坐标代入椭圆方程，结合，计算即可得解. 【详解】如图，假设在第一象限，由题意，， 因为为等边三角形，， 所以，， 即，代入椭圆方程得，， 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即， 解得，，或， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以离心率为. 故答案为：. 35．(21-22高二上·陕西安康白河高级中学·期末)设椭圆的焦点为，直线l过且和椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义列方程，再利用余弦定理求得离心率. 【详解】设，由椭圆的定义得，解得 令椭圆焦距为c，在和中，由余弦定理得， 整理得， 所以椭圆C的离心率为. 故答案为： 36．(20-21高二上·陕西延安宝塔区第四中学·期末)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，则 . 【答案】1 【分析】根据点线距离以及椭圆定义求解； 【详解】由题意有，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆的方程为， 直线的一般式为， 根据点到线的距离得： 又椭圆的离心率为， ∴，解得， 故答案为：1. 37．(22-23高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，若点，是线段的三等分点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】 由点，是线段的三等分点, 得出, 结合对称性得出B 点坐标,最后应用点在椭圆上计算得出离心率. 【详解】 由已知可知，点，是线段的三等分点，则 为 的中点，右焦点为，所以, 所以 x 轴，由椭圆方程 得A 点的坐标为,, 关于 对称，易知 B 点坐标 将其代入椭圆方程得得， 所以离心率为. 故答案为： . 直线与椭圆的位置关系 地 城 考点03 38．(19-20高二上·陕西西安·期末)已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称关系，求得直线的方程，代入椭圆方程，利用，求得的范围，再根据的关系即可求m的取值范围. 【详解】设设椭圆上存在关于直线对称的两点为, 根据对称性可知线段被直线垂直平分， 且的中点在直线上，且， 故可设直线的方程为， 联立，整理可得: ， 所以， 由，可得，解得， 所以 因为的中点在直线上， 所以，所以，所以， 故选:C. 39．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 40．(21-22高二上·陕西渭南大荔县·期末)已知椭圆的左、右焦点分别是，焦距，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，利用已知条件，推出，延长交椭圆于点，得到直角和直角，设，则，根据椭圆的定义转化求解，即可求得椭圆的方程. 【详解】如图所示，，则， 延长交椭圆于点，可得直角和直角， 设，则， 根据椭圆的定义，可得， 在直角中，，解得， 又在中，， 代入可得，所以， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 41．(18-19高二·陕西华阴·期末)已知点是椭圆：的左顶点，过点作圆：的切线，切点为，若直线恰好过椭圆的左焦点，则的值是 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】由题意，，过点P作圆的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过点C的左焦点F，即可求出的值． 【详解】由题意， 过点P作圆O：的切线，切点A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F， 故选C. 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，与圆锥曲线的综合，以及直线与圆相切的问题，属于基础题. 42．(19-20高二上·陕西渭南富平县·期末)若椭圆的上、下焦点分别为、，双曲线的一条渐近线与椭圆E在第一象限交于点P，线段中点的纵坐标为0，则椭圆E的离心率为 ． 【答案】 【解析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解点坐标，再代入双曲线的渐近线方程，转化求解椭圆的离心率即得. 【详解】由题可得点，由线段中点的纵坐标为0，得点的纵坐标为，又点在椭圆上且在第一象限，则有，解得点的横坐标为，由双曲线，得渐近线与椭圆交于点，则有，整理得，即，由，得. 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于中档题. 43．(21-22高三上·陕西渭南·)已知椭圆的左､右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，则的面积为 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，联立方程，求得B点的坐标，从而可得出答案. 【详解】解：由题意知，，，直线的方程为， 联立方程组，解得，或，即， 所以. 故答案为：. 44．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点、. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)若直线不过点，直线、的斜率分别为、，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，由可求得实数的取值范围； （3）设点、，利用斜率公式和韦达定理可求出的值. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为. （2）将直线的方程与椭圆方程联立，可得， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）设点、，由韦达定理可得，， 因为直线不过点，则，解得， ，同理可得， 所以 . 即. 45．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于，两点，且线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意列方程可得，求出，即可得出答案； （2）直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，由，求出点坐标，再由，求出，即可求出答案. 【详解】（1）∵椭圆的焦点为，，且的周长为， ∴，解得，， ∴椭圆的方程为． （2）若直线的斜率不存在， 此时线段的垂直平分线与轴重合，不符合题意； 设直线的方程为，，，线段的中点为， 联立，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， ∴，， ∵，即，解得， ∴直线的方程为，即或． 46．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)如图，DP⊥y轴，垂足为D点，点M在DP的延长线上，且 当点P在圆. 上运动时，点M的轨迹为C． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)当 时，点M的轨迹方程记为C₁. （i）若动点N为轨迹C₁外一点，过点N作轨迹C₁的切线，两条切线互相垂直，记点N的轨迹方程为C₂，试判断C₂与圆. 是否存在交点?若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹C₁的左右顶点分别记为A，B，圆 上有一动点E， E在x轴上方，F（2，0）， 直线EA交轨迹C₁于点G， 连接EB， GF， 设直线EB， GF的斜率存在且分别为， 若 求t的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）与圆没有交点，理由见解析；（ⅱ） 【分析】（1）设，可得，代入圆即可得结果； （2）根据题意可得的方程为.（i）可知圆在椭圆内，即可得结果；（ⅱ）设，联立方程求得，可得，即可得结果. 【详解】（1）设，因为，则， 又因为点在圆上，则， 所以点的轨迹的方程为. （2）若，则的方程为，即， （i）与圆没有交点，理由如下： 由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点）， 但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点； （ⅱ）由题意可知：， 设，则直线， 联立方程， 消去y可得， 则，可得，则， 令，解得， 由题意可知， 因为，则， 又因为，可得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法，一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 47．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，线段的中点为.若直线的斜率为1，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组利用弦长公式求弦长即可. 【详解】（1）设点， 因为直线的斜率之积是， ，化简得：， 即动点的轨迹方程为：. （2）设， 线段的中点为， ，则， 由题可得，， 两式求差化简得：，即， 直线的方程为， 联立，消去得， ，且， . 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是利用点差法求出直线的斜率，再利用弦长公式求解. 48．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，进而求出即得的方程. （2）直线的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理求出点即可求出轨迹方程. （3）利用弦长公式求出，再借助相似三角形及圆内四边形的判定推理得证. 【详解】（1）在圆中，令，解得或，则， 因此椭圆的半焦距，长半轴长，短半轴长， 所以椭圆的方程为. （2）点，当直线与轴不重合时，设直线方程为， 由消去得：， 设，则，， 联立得，即， 当直线与轴重合时，点满足方程， 所以线段的中点的轨迹方程是. （3）由，得，不妨令， 直线斜率，则， ， 因此，∽，则， 所以点共圆. 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 49．(23-24高二下·陕西西安临潼区·期末)已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 地 城 考点04 椭圆的弦长、中点弦、切线问题 50．(20-21高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知椭圆，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用点差法求直线斜率. 【详解】设弦的两个端点坐标分别为， 则， 又， 两式作差可求得直线的斜率， 故所求直线方程为， 即：， 故选：C. 51．(18-19高二上·陕西铜川王益区·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点如图所示，若的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，结合面积公式求得，又，故，，即可求解． 【详解】轴，点和点的横坐标为，设点，轴，，把点代入椭圆方程中得到，      令可得． 由的面积为， ，即， 又， ． 解得，． 故椭圆方程为． 故选：C． 52．(20-21高二上·陕西商洛·期末)已知椭圆的左焦点为，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据题意得到，再根据椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为，得到，再结合，即可求得，，即得椭圆方程. 【详解】解：椭圆C的右焦点为， ， 又椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为， 即① 又， 即② 由①②解得：，， 故椭圆C的方程为． 故选：C. 53．(18-19高二上·陕西铜川王益区·期末)已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若直线PF1与直线PF2斜率的乘积为﹣2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得椭圆的，，，可得左右焦点的坐标，设，代入椭圆方程，由直线的斜率公式可得，的方程，解方程可得，再由三角形的面积公式计算可得所求值． 【详解】解：椭圆的，，， 左、右焦点为，， 设，可得， 直线与直线斜率的乘积为， 解得，即， 则． 故选：． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率公式的运用，方程思想和运算能力，属于基础题． 54．(18-19高二上·陕西吴起高级中学·期末)已知椭圆上一点P与椭圆的左右焦点构成一个三角形，且,则的面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，然后利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可． 【详解】由椭圆可知，a＝2，b＝1，∴c＝， ∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点， ∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2， 在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝，∴|PF1||PF2|＝， 又∵在△F1PF2中，＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝； 故选B． 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化． 55．(24-25高二上·陕西西安铁一中学·月考)已知点分别为椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，分别为的内切圆圆心，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据椭圆及△，△，△的位置关系，利用等面积法可分别求得它们的内切圆圆心位置及其半径，分别计算出△的各边长度可得结果． 【详解】由题意可得，，， 所以，， 此时过作垂直于轴的直线为， 所以，， 因为△，△的内切圆的半径相等，且， △，△的内切圆圆心，的连线垂直于轴，垂足为， 设△内切圆的半径为， 在△中，可得， 易知， 又，所以， 所以，解得， 在△中，因为为的角平分线， 所以一定在轴上， 令圆半径为， 在△中，可得， 易知， 所以，解得， 所以， 所以， 则△的周长为． 故选：A．    56．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】由已知，，结合，得，进而解得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义可知，且， 因为，所以， 又，故， 所以． 故选：C 57．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 58．(21-22高二上·陕西榆林府谷三中·月考)椭圆与轴的交点为，两个焦点为，则的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程，求得，结合面积公式，即可求解. 【详解】由椭圆的方程，可得，则且， 不妨设点在的上方，可得， 所以. 故选：B. 59．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案. 【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，因此： ， 点 和 满足椭圆方程： ， 将方程 (1) 减去 (2)：， 因式分解：， 代入中点坐标：， 得：， 整理得：， 因此，斜率 . 故选：B 60．(23-24高二上·陕西咸阳实验中学·)已知椭圆的左、右焦点分别是、，其中，直线与椭圆交于、两点.则下列说法中正确的有（    ） A．当时，的周长为 B．当时，若的中点为，为原点，则 C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最大值为，则椭圆的离心率 【答案】AC 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；利用点差法可判断B选项；由平面向量数量积的坐标运算可得出，代入椭圆方程，结合的不等关系可求出的取值范围，可判断C选项；将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式求出的最大值，可求出该椭圆离心率的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，易知点、， 直线过椭圆的左焦点， 所以，的周长为，A对； 对于B选项，设点、，则点， 因为，则且，    则，， 将点、的坐标代入椭圆的方程可得， 上述两个等式作差可得， 所以，，即，B错； 对于C选项，，， 则，即，可得， 由，即，可得， 因为，可得， 可得，则， 因为，可得， 所以，，则， 因为，则，即， 所以，，可得或（舍去），故， 综上所述，，C对； 对于D选项，联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， 故当时，取最大值，即，则，D错. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 61．(25-26高二上·陕西延安中学·期中)已知，是椭圆：的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．弦长的取值范围为 C．面积的最大值为12 D．存在点使得 【答案】CD 【分析】根据离心率的公式即可判断A；根据椭圆性质可判断B，由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断C, 根据向量的数量积即可判断D； 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，当时，，当直线与轴重合时，，所以弦长的取值范围为,故B错误； 对于C，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即.故C正确； 对于D, 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故D正确； 故选：CD 62．(24-25高二上·陕西咸阳淳化中学·期中)过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 【答案】 【分析】用点差法求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程，结合弦长公式即可求出结果. 【详解】设，，因为线段的中点为， 根据中点坐标公式得：，， 由，在椭圆上，有，两式相减化简得： ， 所以，即直线的斜率为， 可得直线的方程为：，即， 联立方程，消去得：， 则，， 所以线段的长度是： ， 故答案为： 63．(24-25高二上·陕西渭南韩城·期中)已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则 . 【答案】 【分析】根据题设得到、通径 ，结合椭圆参数关系列方程求参数. 【详解】由题设，且，又，即为等腰直角三角形，    所以，通径，即，又，故， 所以（负值舍）. 故答案为： 64．(24-25高二上·陕西铜川王益中学·月考)已知直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】结合两点式斜率公式，利用设而不求点差法求解直线斜率即可. 【详解】设，，直线的斜率为，则. 因为为线段的中点，所以，. 联立两式相减得， 即，所以，解得，经验证此时直线与椭圆有两交点， 故答案为： 65．(21-22高二上·陕西延安第一中学·月考)经过点作直线l交椭圆于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】利用点差法得直线l的斜率，再根据点斜式得直线l的方程. 【详解】设 则,,对应相减得 ， 因为， ，化简得，所以，, 直线l的方程为，即 故答案为： 地 城 考点05 椭圆中的定点、定值问题 66．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为．已知点，且的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的椭圆方程，利用三角形面积求出，即求得椭圆方程. （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，结合的斜率关系，求得对应参数的约束条件，即可求得直线恒过的定点. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由的面积为，得， 而，又，解得， 所以椭圆的方程为. （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则，由， ，解得，不符合题设； 因此直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为， 由消去，得， ，， 由，得， 即， 则， 整理得， 于是， 整理得，而，则，当且仅当时，， 直线PQ的方程为，即， 所以直线PQ恒过定点. 【点睛】关键点点睛：处理第二问的关键是能够熟练应用韦达定理，合理转化已知条件，从而求得参数之间的关系. 67．(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析焦点三角形，结合焦点三角形的面积，得出的关系即可求解； （2）联立直线和椭圆，设出，利用韦达定理，斜率公式表示出然后运算求解. 【详解】（1）由题意，得，其中， 因为，的面积为， 所以，解得， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）设，由得 所以，即． 因为两点异于点，所以，所以， 又， 所以 ， 将代入上式， 得． 所以直线的斜率之和为0． 68．(23-24高二上·陕西韩城·期末)已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）证明：要证点A，D关于x轴对称，需证，即证， 不妨设直线的方程为，， 联立，消去可得， 所以， 由韦达定理可得，， 所以， 因为 ， 所以，故点A，D关于x轴对称. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，难度较大，解得本题的关键在于合理设出直线的方程，然后结合韦达定理代入计算. 69．(23-24高二上·陕西渭南瑞泉中学·期末)如图，过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于点，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点； (1)当直线过椭圆右焦点时，求点的坐标； (2)当点异于点时，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知结合离心率，以及关系，即可求得椭圆方程和直线方程，联立方程即可得出结果； （2）设出直线方程，与椭圆联立得到点坐标，再表示出直线方程，与直线联立即可得到坐标，利用向量的数量积即可得证. 【详解】（1）由题知，， 又，，所以，， 则椭圆方程为，此时为焦点， 所以直线斜率为，所以直线方程为， 联立得：，解得， 代入直线方程，得， 可得点坐标为. （2）当直线与轴垂直时不符合题意； 因为，，则直线方程：， 设直线方程：，和椭圆联立得：，解得， 代入直线得，则点坐标为， 又，则， 则直线方程为， 和直线联立，解得， 则， 又为与轴交点，则， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 70．(23-24高二上·陕西西安第三中学·期末)已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点． （i）若，求的值； （ii）若点的坐标为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出，则椭圆方程可得； （2）（i）联立方程组，根据根与系数的关系以及向量相等的坐标关系即可求出；（ii）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出． 【详解】（1），，代入得. 又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即， 以上各式联立解得，则椭圆方程为. （2）（i）直线与轴交点为，与轴交点为， 联立，消去得:， 则， 设，则， ，， 由得，解得:， 由得. （ii）由（i）知，， . 为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 地 城 考点05 椭圆中的向量问题 71．(23-24高二上·陕西西安铁一中学·期末)设点是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆交于 两点. (1)求证：; (2)的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)是定值，定值为 【分析】（1）直线与椭圆方程联立，证明的中点坐标，即切点的坐标； （2）首先讨论直线的斜率不存在的情况，以及直线的斜率存在时与椭圆方程联立，并利用韦达定理表示弦长，并表示的面积. 【详解】（1）设直线斜率不存在，则点在轴上，由对称性可知，， 若直线的斜率存在，设，，，， 联立，可得， 当时，直线与椭圆切于点，， 解得：，， 当时，线段中点的横坐标， 所以点为线段的中点，， 综上，； （2）若直线斜率不存在，则，与椭圆方程联立可得，，，故， 若直线的斜率存在，由（1）可得 ，， ， 点到直线的距离， 所以， 综上的面积为定值. 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是转化为直线与椭圆相交和相切的问题，转化为证明的中点，即切点. 72．(20-21高二上·陕西渭南韩城·期末)已知椭圆的离心率为，直线恒过椭圆的右焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得当变化时，总有直线的斜率和直线的斜率满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为. 【分析】（1）根据直线恒过椭圆的右焦点，求出椭圆的参数，然后根据离心率的值求出椭圆方程； （2）设出点、点、点，表示出，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理进行化简，基于恒成立思想，求出点坐标. 【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，则椭圆的右焦点为. 因为直线恒过定点， 所以， 又因为，， 所以，， 所以椭圆的方程为； （2）将椭圆与直线联立方程组， 消去，可得， 设， 由韦达定理得，， 设点满足题意， 则，所以， 所以， 所以， 因为当变化时，总有直线的斜率和直线的斜率满足， 所以当时，上式恒成立， 所以在轴上存在定点满足题设条件.      73．(20-21高二上·陕西西安阎良区·期末)已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点. (1)求椭圆的方程； (2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点满足题意. 【分析】（1） ，结合，即可求解； （2）设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，求得，设在x轴上存在定点，对于任意的都有，由求解. 【详解】（1）由题意得， 又，. 椭圆的方程为. （2）设直线的方程为：， 令得，即， 联立，得， 所以， 则，， 若在x轴上存在定点，对于任意的都有， 则，即， 解得， 所以存在定点. 74．(20-21高二上·陕西延安延安新区·调研)已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为. (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)过点的直线l与椭圆交于不同的两点，点关于x轴的对称点为，证明：当直线绕点旋转时，直线经过定点. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 （1）根据椭圆的离心率，弦长为，椭圆的右顶点是抛物线的焦点这三个条件列方程组求解； （2）联立直线和椭圆方程，写出直线的方程，根据韦达定理求参数，消去直线方程中的一个参数，从而得出所过定点. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得，∴， ∵椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，∴，得， ∴， 将代入抛物线的方程，可得，∴， ∵过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为， ∴，即，解得，∴，， 由，可得， ∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：. （2）由题知，直线l的斜率存在， 设直线l：，，，则， 联立，消去y得， ∴，， 直线EN的方程为，即为， 即， ∴， ∴当直线l绕点A旋转时，直线EN经过定点    75．(21-22高二上·陕西咸阳秦都区·期末)已知椭圆：的长轴顶点与双曲线的焦点重合，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程； （2）设，根据列方程，结合在椭圆上求得，进而求得到轴的距离. 【详解】（1）对于双曲线，有， 且在椭圆上， 所以，解得，， ∴椭圆的方程为. （2）设，， 由，得①， 又②， 由①②解得， ∴点到轴的距离为. 76．(21-22高二上·陕西西安蓝田县·期末)已知椭圆：过点，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍. (1)求椭圆的方程； (2)设点关于原点对称的点为，过点且斜率存在的直线交椭圆于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）根据直线是否与轴重合进行分类讨论，求得的坐标，进而证得为定值. 【详解】（1）依题意知，∴椭圆的方程为， 又∵椭圆过点，∴有，解得，∴， ∴椭圆的方程为. （2）∵点D与点A关于原点对称，∴点， 当直线MN与轴重合时，不妨设，， 则直线：，直线：， 则，，（定值）. 当直线MN与轴不重合时，设直线MN：， 与椭圆方程联立，化简得， ，解得. 设，，则，. 直线的方程为，则， 即. 直线的方程为，则， 即. ∴ （定值）. 综上，为定值1. 【点睛】当题目需要假设直线方程时，要注意一些特殊的情形，如要设，则需要讨论直线的斜率是否存在；如要设，则需要讨论直线是否与轴平行. 77．(21-22高二下·陕西汉中·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点，，M是一个动点，且直线AM，BM的斜率之积是，记M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若过点且不与x轴重合的直线l与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为（与Q不重合），直线与x轴交于点G，求点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则可表示出AM，BM的斜率，再利用其乘积为列方程化简可得E的方程； （2）由题意知，过点F的直线PQ的斜率存在且不为0，可设其方程为，设，，则，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，令，结合前面的式子化简可求出的值，从而可得结果 【详解】（1）设，则直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， ∴，整理得， 故E的方程为． （2）由题意知，过点F的直线PQ的斜率存在且不为0，可设其方程为， 设，，则， 将代入，得． 则， ∴，． 则直线方程为， 令，则 ， ∴点G的坐标为． 78．(21-22高二下·陕西咸阳·期末)已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为． (1)求椭圆C的标准方程和离心率； (2)椭圆C上是否存在一点P，使得? 若存在，求的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据题意可知c,b，求出即可得出椭圆方程； （2）假设存在P点满足条件，利用向量的数量积可得P点的轨迹方程，与椭圆方程联立求解,即可知P点是否存在. 【详解】（1）由焦点坐标知，由短轴端点知，所以， 故所求椭圆标准方程为. （2）假设椭圆C上存在一点，使得， 则，即， 联立，得，此方程无解. 故椭圆上不存在点P，使得. 79．(21-22高二上·陕西西安蓝田县·期末)已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程； （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数. 【详解】（1）由题意得，，，， ，， 椭圆的标准方程为． （2）依题意，知，设，． 联立消去，可得． ，即，， ，． ，． ， ， 整理，得， 解得或（舍去）． 直线的方程为． 80．(21-22高二上·陕西西安阎良区·期末)已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）（1）由题可设椭圆的方程为， 由椭圆经过点，可得，解得或（舍）. 所以，椭圆的标准方程为. （2）解：易知，设点，则，且， ，， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 81．(21-22高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知椭圆 上的点到椭圆焦点的最大距离为3，最小距离为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于，的任意一点，直线，分别交轴于点，，求的值 【答案】(1)； (2)-1. 【分析】（1）根据椭圆的性质进行求解即可； （2）根据直线的方程，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，，，所以， 椭圆 . （2）由题意可知，，设，则， 直线 ，直线 分别令得，，， . 【点睛】关键点睛：运用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解是解题的关键. 82．(20-21高二上·陕西西安西光中学·期末)设椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率为，. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于P，Q两点，直线与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可知，，再结合，即可求得，从而得到椭圆的方程； （2）设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意可得，易知直线的方程为，由方程组可得，由方程组可得，结合，可得或，经检验的值为. 【详解】（1）设椭圆右顶点为，上顶点， 由题意知，，即 又椭圆离心率，即， 又由，可得，从而． 所以，椭圆的方程为． （2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，， 则点的坐标为，， 由，可知，即． 由点，点，易知直线的方程为， 由方程组消去y，可得，由方程组消去，可得． 由，可得，整理得，解得或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，，符合题意． 所以，的值为． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 83．(20-21高二上·陕西西安铁一中学·期末)已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C的方程； （2）已知圆M：的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于两点，求证：以为直径的圆是否经过坐标原点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）先由，利用抛物线的焦点是该椭圆的一个顶点知，再结合，即求得，得到方程； （2）先设直线方程，利用相切关系得到，再联立椭圆与直线，结合韦达定理计算，即证结论. 【详解】解：（1）由题意可知，离心率， 抛物线的焦点为，即该椭圆的一个顶点为，故， 故，所以椭圆C的方程为； （2）直线l的斜率存在且不为零，故设直线为， 依题意，圆M：，圆心为，半径， 由直线l与圆M：相切，得圆心到直线l的距离， 化简得，即. 设， 联立方程，得， 则，， 故 ， 则， 故，即， 故以为直径的圆经过坐标原点. 【点睛】关键点点睛： 本题解题关键在于将直线与方程联立，利用韦达定理证明出，即突破结论. 84．(19-20高二上·陕西西安交大二附中·期末)如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点． （1）若，求椭圆的离心率． （2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题可得是等腰直角三角形，可得，即可求出离心率； （2）可得，，由向量关系求出点B坐标，代入椭圆可求. 【详解】解析：（1），为上顶点， ，，，． 又，． （2）椭圆的焦距为，，． 设， ，． 又， ，， 又点在椭圆上，，， 又，， ∴椭圆的标准方程为． 【点睛】本题考查向量共线问题，解题的关键是将向量共线问题转化为坐标关系，利用点在椭圆上求参数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $null