专题08 选填压轴精选（期末真题汇编 陕西专用）高二数学上学期

专题08 选填压轴题精选 板块01 空间向量与立体几何 板块02 直线与圆 板块03 圆锥曲线 板块04 数列 空间向量与立体几何 地 城 板块01 1．(25-26高二上·陕西榆林·期中)如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出相关点的坐标和相关平面的法向量，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】因正方体的棱长为2，由图易得： ，，，，， 而，分别是棱，的中点，可得，， 则，，设平面的法向量为， 依题意在平面上，所以，则， 因为，所以，则， 令，，，故， 而，设直线与平面所成角为， 可得，故C正确. 故选：C 2．(25-26高二上·陕西西安鄠邑区第四中学·月考)如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）    A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，数量积公式以及模长公式可判断A，证明可判断B，利用夹角公式可判断CD. 【详解】对于A，由题意可知，则 ，所以，故A错误； 对于B， ，所以，故B正确； ， 则，向量与的夹角是，故C错误； 对于D，设与所成的角为， ， . 所以，故D错误. 故选：B 3．(25-26高二上·陕西西安中学·)如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点当点由点出发向点运动的过程中，以下结论中不正确的是（   ）    A．直线与直线始终垂直 B．直线与直线始终异面 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【答案】C 【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D. 【详解】对于A，连接 因为正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，所以，平面 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 故A正确. 在正三棱柱中， 因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，，， 所以四点不共面， 所以直线与直线CP始终异面，故B正确； 对于C，设， 则， ， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以， 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D正确.    故选：C. 4．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解. 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以 ， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 5．(24-25高二上·陕西西安南开高级中学·月考)如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F，且，以下结论错误的是（   ） A． B． C．异面直线，所成的角为定值 D．正方体的体积是三棱锥的体积的12倍 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积运算可判断项；通过证明平面，可判断项；通过特殊点代入，分别计算当与重合，为中点，与与重合时，为中点时，直线，所成的角的余弦值可判断项；分别求出正方体与三棱锥的体积，即可判断项. 【详解】对于，易知//，所以， 所以，故正确； 对于，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 则，所以， ，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以.故正确； 对于，连接，交于，则. 因为平面，平面，所以. 又，平面，所以平面. 则， , 正方体的体积是三棱锥的体积的12倍，故正确； 对于，如图，当与重合时，为中点， 易知//，所以直线，所成的角为. 此时，，，所以，所以， 则. 如图，当与重合时，为中点， 易知//，所以直线，所成的角为. 因为为直角三角形，所以. 综上，异面直线AE，BF所成的角不是定值，故错误. 故选：. 6．(25-26高二上·陕西安康·期中)棱长为3的正方体中，为中点，与交于点，现以为坐标原点，为轴正方向，垂直于平面且沿方向为轴正方向建立右手空间直角坐标系，记轴与正方体表面交于，两点，则（   ） A．轴所在的直线垂直平面 B．点的坐标为 C． D．，，，，，均在直径为的同一个球面上 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用正方体的性质及线面垂直的判断定定理，得到平面，平面，从而可建立题设要求的空间直角坐标系，对A，由建系过程，即可判断正误，对B，先求出在面上投影点的坐标，即可求解；对C，利用几何关系，可得，即可求解；对D，建立新的空间直角坐标系，求出，，，，，，利用，即可求解. 【详解】如图1，连接，易知，由正方体的性质知平面， 又平面，所以，又平面， 所以平面，过作 ，则平面， 易知与，有交点，且交点即为轴与正方体表面的交点，不妨设交于，交于， 因为平面，所以， 由正方体的性质知，且，又是中点，则， 由 ，知， 又平面，所以，连接，易知, 又由正方体的性质知平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，又，，平面， 所以平面，又平面，则， 则题设要求中的空间直角坐标系如图1所示， 对于A，因为平面，所以轴所在的直线垂直平面，故A正确，    对于B，设，因为，所以平面，且， 如图2，在矩形中，连接，因为为的中点，所以，且， 则，，又，， 所以，，则点的坐标为，所以B正确，    对于C，因为，又，所以，故C错误， 对于D，如图3，建立新的空间直角坐标系， 因为，，，，，， 假设，，，，，均在球上，则球心在面的投影为， 设，球的半径为，由，得到， 整理得到，解得，所以，， 又，且易知， 所以，，，，，均在直径为的同一个球面上，故D正确，    故选：ABD. 7．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（   ）    A．若，，，则点在平面内 B．若，，则平面 C．若，则平面 D．若，则点P到平面的距离为定值 【答案】ABD 【分析】建系，对于A，确定点坐标，即可判断，对于B，确定点坐标，由，可判断，对于C，确定点坐标，求得平面法向量，由可判断，对于D，由点到面的距离公式可判断. 【详解】    如图建立空间直角坐标系， ， 由可得：， 对于A，，即为的中点，所以点P在平面内，正确， 对于B，，则，， 由， 可知：，又为平面两条相交直线， 所以平面，正确， 对于C，， 设为平面的法向量， 则， 令，则， 即 又， 所以与不垂直， 所以平面不成立，错误； 对于D，，平面的法向量为， 所以点P到平面的距离为， 因为，所以，定值，正确， 故选：ABD 8．(25-26高二上·陕西西安庆安高级中学·月考)在四棱锥中，底面ABCD，，，，，过A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点M，N，Q，且四边形AMNQ为平行四边形，则（   ） A． B． C． D．四边形AMNQ的面积为 【答案】ACD 【分析】如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，设，，，则可表示出M、N、Q点坐标，由题意，列出方程组，可得的值，即可检验A、B、C选项的正误，根据向量求夹角公式，可得，进而可得的值，代入面积公式，即可判定D的正误. 【详解】以A为原点，AB、AD、AP为x，y，z轴正方向建系，如图所示，      过C作，交AD的延长线于E， 因为，， 所以， 所以， 则， 设，，， 所以，所以 同理，所以， ，所以， 所以， 因为四边形AMNQ为平行四边形，所以， 即，解得， 所以，，，故AC正确，B错误； 又， 所以， 所以， 所以四边形AMNQ的面积，故D正确. 故选：ACD 9．(24-25高二上·陕西西安第八十五中学·期中)如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，则（    ）    A．当时，与平面所成角为 B．当时，有且仅有一个点，使得 C．当时，平面平面 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】CD 【分析】A：根据平面判断出线面角，结合线段长度解出角的大小；B：建立空间直角坐标系，根据得到关于的方程，根据解的个数判断即可；C：分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量的关系判断即可；D：根据条件确定出的轨迹，然后即可计算轨迹长度. 【详解】对于A：当时，，即与重合， 由正三棱柱的结构特点可知平面， 所以与平面所成角即为，且，所以， 所以与平面所成角为，故A错误；    对于B：取中点，连接，以为原点， 以过平行于方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可知，， 所以， 所以， 所以， 当时， ，所以或， 所以满足条件的点有两个，故B错误；    对于C：当，时，， 因为，所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 因为， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 所以，所以， 所以平面平面，故C正确； 对于D：因为，其中，， 所以在右侧面中， 因为平面，且， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为的半圆， 所以轨迹长度为，故D正确； 故选：CD. 10．(24-25高二上·陕西安康高新中学·月考)如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（    ）    A．几何体的外接球半径 B．平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与底面所成角正弦值的取值范围为 【答案】BD 【分析】对于A，几何体的外接球与正方体的外接球相同，可求得半径；对于B，利用面面平行的判定定理证平面平面，再利用面面垂直的性质定理证平面，即可判断；对于C，由线面垂直的性质，找到异面直线与所成角，即可求解；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，求得两平面法向量的夹角的余弦值，再结合函数的性质，即可求解平面与底面所成角正弦值的取值范围. 【详解】对于A，因为几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同， 半径为，故A错误； 对于B，在正方体中，且，故为平行四边形，所以， 而平面，平面，故平面， 同理可证平面，又因为，平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由平面，平面，则， 即异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为，    故C错误； 对于D，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，    则， 则有，，设， 则，所以， 设平面的法向量，则，即， 令，则，故， 由题意知，取平面的一个法向量， 则， 则面与底面所成角正弦值为， 由于，故当时取最小值， 则取到最小值， 当或时取最大值，则取到最大值， 所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，故D正确， 故选：BD. 11．(24-25高二上·陕西榆林府谷县府谷中学、府谷一中·调研)在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点在棱上 B．当时，点到平面的距离为定值 C．当时，点在以的中点为端点的线段上 D．当时，平面 【答案】BCD 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由和平面即可判断；对于C，分别取和的中点和，由 即即可判断；对于D，先求证平面，接着即可求证平面，进而即可求证平面. 【详解】对于A，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在上，故A错误； 对于B，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在棱上， 由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，当时，取的中点的中点， 所以且， ，即， 所以即，又， 所以三点共线，故在线段上，故C正确； 对于D，当时，点为的中点，连接， 由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以， 设与相交于点O，则，即， 又，平面， 所以平面，因为平面， 所以，由正方形性质可知， 又，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对于求证平面，可先由和得平面，从而得，接着求证得平面，进而，再结合即可得证平面. 12．(23-24高二上·陕西渭南瑞泉中学·期末)已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面与平面的夹角为 C．三棱锥的体积为定值 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】AC 【分析】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD各选项的正误，利用锥体的体积公式可判断C选项的正误. 【详解】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 则、、、、、、、， 设点，其中. 对于A选项，，， 则， 所以，A选项正确； 对于B选项，设平面的法向量为，，， 由，取，可得，则， 设平面的法向量为，， 由，取，则，则， 可得， 所以，平面与平面的大小不是，B选项错误； 对于C选项，，平面，平面，平面， 到平面的距离等于点到平面的距离， 而点到平面的距离为，即三棱锥的高为， 因此，，C选项正确； 对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且， 又，， 所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 13．(23-24高二上·陕西西安中学·期中)如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点、之间的距离为，若、分别为线段、上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．线段的最小值为 C．当，时，点到直线的距离为 D．当、分别为线段、的中点时，与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】先证明出平面，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面，即可判断A；以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，用向量法判断选项BCD选项. 【详解】取的中点，连接、. 在菱形中，，， 所以. 因为，所以，所以. 又因为，为的中点，则，同理可得， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 当，时，，， ，， 所以点到直线的距离为，故C错误； 设、，由得，， ， 当且时，，故B正确； 当、分别为线段、的中点时，、， ，， 设与所成的角为，， 所以与所成角的余弦值为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 14．(25-26高二上·陕西西安庆安高级中学·月考)在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为 . 【答案】/ 【分析】如图建系，求得各点坐标及坐标，进而可求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离公式，代入计算，即可得答案. 【详解】取中点D，中点E，连接DA，DE， 因为，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 又平面， 所以， 因为，， 所以， 以D为原点，DB、DA、DE为x，y，z轴正方向建系， 所以， 则， 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即， 令，则， 所以异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 所以PQ的最小距离即为异面直线与的距离d， 根据异面直线间距离公式，即PQ的最小值为. 故答案为：    15．(24-25高二上·陕西榆林·期末)如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 地 城 板块02 直线与圆 16．(25-26高二上·陕西渭南瑞泉中学·)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”：否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义先求出、与圆相切，再求出、与圆相离时实数的范围，结合“平行相交”的定义即可得到答案. 【详解】依题意，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与直线重合，舍去；当时，，符合题意. 由圆可得其标准方程为， 由与圆相切，可得， 由与圆相切，可得， 当、与圆都相离时，则， 故当直线、与圆的位置关系是“平行相交”时，实数应满足， 故实数的取值范围是且. 故选：A. 17．(24-25高二上·陕西渭南蒲城县蒲城中学·月考)已知函数的值域为，的值域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，函数可看成点到点和点的距离之和，函数可看成过点和点的直线斜率，而点为上的点，分别求出值域即可. 【详解】由题意， ， 上式可看成点到点和点的距离之和， 点关于轴的对称点为， 则， 所以函数的值域为， ，可看成过点和点的直线斜率， 由于，所以点为上的点，如图， 当直线过时，， 当直线与曲线相切时，设直线， 则，得，所以的值域， 所以. 故选：D 【点睛】关键点点睛：函数可看成点到点和点的距离之和，函数可看成过点和点的直线斜率，而点为上的点，分别求出值域即可. 18．(23-24高二上·陕西咸阳实验中学·月考)已知圆D是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆D交于A，B两点，则当最大时，的面积为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】设，写出圆的方程，求得直线的方程，利用点到直线的最小值来求得最大时的面积. 【详解】设，则， 设 ，， 圆的方程为①， 圆：的圆心为，半径为， 圆的方程可化为②， 由①②得直线的方程为，即， 是等腰三角形，为顶角，则当到直线的距离最小时，最大， 当到直线的距离为 ， 当且仅当时等号成立. 当当到直线的距离取最小值时，， 所以. 故选：A    【点睛】在利用基本不等式求最值的过程中，要注意一正、二定、三相等.求解圆与圆位置关系有关问题，首先考虑数形结合的数学思想方法，画出图象，然后根据图象、圆的几何性质来对问题进行分析和求解. 19．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 20．(25-26高二上·陕西西安铁一中学·期中)直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足 ,即， , 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，则的最大值为4. 故选：A. 21．(25-26高二上·陕西镇安中学·期中)圆：与圆：的位置关系是（   ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出， 比较和的大小得到两圆的位置关系. 【详解】：，圆心，半径， ：，圆心，半径， ，，， 圆：与圆：的位置关系是外切. 故选：B. 22．(25-26高二上·陕西渭南某校·月考)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下： 若两直线中至少有一条与圆相切， 则称该位置关系为 “平行相切”；若两直线都与圆相离， 则称该位置关系为 “平行相离”； 否则称为 “平行相交”. 已知直线，与圆的位置关系是 “平行相交”，则实数的取值范围是（    ） A． 且 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，求得a值，将圆配方，可得圆心和半径，由题意，分别求出“平行相切”与“平行相离”时b的范围，综合分析，即可得到答案. 【详解】由已知得直线与平行， 则，解得 或 ， 当 时，两直线方程相同，两直线重合，不合题意； 当 时，检验符合题意，所以 ， 此时两直线方程分别为和. 将配方整理得， 所以圆心坐标为 ，半径为， 当两条平行直线与圆 “平行相切” 时，或； 当两条平行直线与圆“平行相离”时，且 ， 即 ； 当两条平行直线与圆“平行相交”时，  且 . 故选：A 23．(25-26高二上·陕西渭南高级中学·)若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为 ，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由得 ， 所以直线与半圆 有个公共点， 作出直线与半圆的图形，如图： 当直线经过点时，， 当直线与圆相切时，， 解得或（舍）， 由图可知，当直线与曲线有个公共点时，. 故选：C. 24．(25-26高二上·陕西神木中学·)已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于轴对称的圆的方程为 B．若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则 C．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为 D．若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】由对称的性质直接求解判断A；由题意反射光线所在的直线过点，利用对称性及圆的性质求得，进而可得判断B；由题意可知入射光线所在的直线过点和，即可求出直线方程判断C；设，表示出弦长和弦心距，进而表示出面积，最后利用正弦函数性质求解最大值判断D. 【详解】对于A，由圆的方程可得，故圆心，半径， ∴圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为1， ∴所求圆的方程为，即，故A正确； 对于B，反射光线经过点关于轴的对称点，，，故，故B不正确； 对于C，反射光线平分圆的周长，∴反射光线经过圆心， ∴入射光线所在直线经过点， ∴入射光线所在直线方程为：，即，故C正确； 对于D，设， 则圆心到直线的距离， ． 则当时，面积的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 25．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，则的最小值是 【答案】ACD 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示，    对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分类讨论去掉绝对值，得到曲线的四段方程，作出图象，数形结合求解. 26．(25-26高二上·陕西西安高新第一中学·月考)经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程 . 【答案】 【分析】由已知，设所求的圆的方程为，再根据圆心在直线上，求得，代入即可得到所求圆的方程. 【详解】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 27．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)已知圆，，，A，B是圆C上的动点，且，点N是线段AB的中点，则当取得最大值时，的值为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理及直角三角形斜边中线的性质得，设，可得点N在圆上，数形结合可知当直线MN与圆相切时，取得最大值，利用勾股定理计算可得结果. 【详解】由题意得，，圆半径为. ∵，，∴点在圆内. 如图1，连接CN，CA，则. ∵点N是线段AB的中点，∴， ∵，∴，即． 设，则，整理得， ∴点N在圆上，圆心，圆半径为. 如图2，当直线MN与圆相切时，取得最大值， 此时，． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何性质求出点的轨迹方程，数形结合求切线长即可得到结果. 28．(25-26高二上·陕西山阳中学·期中)已知是直线上任意一点，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】设，当圆与直线相切时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，则表示圆心为原点，半径为的圆， 当圆与直线相切时，最小， 由点到直线的距离公式有：， 所以的最小值为， 故答案为：. 29．(25-26高二上·陕西安康·期中)已知圆：与圆：交于，两点，若，则 . 【答案】1 【分析】将两圆的方程作差可得两圆的相交弦的直线方程，设圆心到直线的距离为，利用垂径定理得，又两圆半径相等得，即可得解. 【详解】已知圆：的圆心为，半径为1， 与圆：的圆心为，半径为1， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为， 即，即， 设圆心到直线的距离为，因为，所以，解得， 又两圆半径相等，所以公共弦所在的直线为的垂直平分线，所以. 故答案为： 30．(25-26高二上·陕西渭南瑞泉中学·)已知直线及点，.为上任意一点，则的最小值是 . 【答案】5 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，线段与直线的交点为，最小值为. 【详解】    如图，设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，即， 则直线的方程为，联立解得，即交点为， 此时，的值最小，最小值为. 故答案为：5. 31．(25-26高二上·陕西榆林·期中)已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由曲线表示圆可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为方程表示的曲线是一个圆， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 32．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 33．(24-25高二上·陕西渭南大荔县·期末)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在非等边中，，点B坐标为，点C坐标为，且其“欧拉线”与圆M：相切，则 . 【答案】/ 【分析】设点D为中点，求出直线方程，则圆心到该直线距离即为半径.由点到直线距离求解即可得解. 【详解】设点D为中点，则由点B坐标为和点C坐标为得， 因为，则为的边上的高，也是的中线， 所以三角形的重心、垂心都在直线，所以直线为三角形的“欧拉线”. 又，所以直线即. 因为“欧拉线”与圆M：相切， 所以圆心到直线距离为，即. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解直线为三角形的“欧拉线”. 34．(24-25高二上·陕西榆林·期末)若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直线恒过点，曲线表示以为圆心，3为半径的右半圆，根据直线与圆的位置关系求解. 【详解】如图，直线恒过点， 曲线表示出以为圆心，3为半径的右半圆， 设直线与半圆相切于点，则，解得，所以， 因为，，所以， 因为直线与曲线恰有两个交点， 所以，所以. 故答案为： 圆锥曲线 地 城 板块03 35．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)当变动时，曲线不可能表示的图形是（   ） A．焦点在y轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】利用椭圆，双曲线，圆的标准方程结合分类讨论来加以判断即可. 【详解】当时，由于有， 由可整理为， 因为，所以曲线表示焦点在y轴上的椭圆，故排除A； 当时，由于有， 由可整理为， 因为，所以曲线表示焦点在x轴上的双曲线，故排除B； 当时，由于有， 由可整理为， 所以曲线表示圆，故排除D； 无论为何值，曲线不可能表示抛物线，故选C. 故选：C 36．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过三点的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 37．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 38．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为 ， 利用抛物线的定义得：. 故选：C    39．(25-26高二上·河南南阳南阳六校·期中)已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. |   故选：C 40．(25-26高二上·陕西神木中学·)已知分别为双曲线的左､右焦点，点是双曲线上的一点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解. 【详解】因为在双曲线中，因为，所以， 则， 在中，，， 所以，即，所以， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 41．(25-26高二上·陕西多校·期中)设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】D 【分析】设，，结合向量坐标运算可用，表示，，结合点在圆上，代入计算即得. 【详解】设，，则（*），， 由，， 则，即有， 将其代入（*），，化简得， 即动点的轨迹为长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：D. 42．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)若实数k满足，则双曲线与的（   ） A．焦距相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】A 【分析】由题意根据双曲线的标准方程确定焦距，实轴长与虚轴长的关系后可判断． 【详解】由于，，因此两双曲线的焦距相等，A正确， 实轴长前者为10，后者为，虚轴长前者为，后者为6，均无法相等， 离心率前者为，后者为，也不相等，BCD错误， 故选：A． 43．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案. 【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，因此： ， 点 和 满足椭圆方程： ， 将方程 (1) 减去 (2)：， 因式分解：， 代入中点坐标：， 得：， 整理得：， 因此，斜率 . 故选：B 44．(25-26高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中)已知抛物线上三点为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则的中点到轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【分析】将点的坐标代入抛物线方程即可求得，从而求出准线方程判断A；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式即可判断B；由三点共线及斜率性质可得，再利用抛物线方程计算可判断C；利用及焦半径公式即可判断D. 【详解】由在抛物线上，则有，即，故抛物线方程为； 对A：由抛物线方程为，则准线方程为，故A正确； 对B：由抛物线方程为，则， 则，，， 由，则，即， 又，，， 则，故B正确； 对C：若三点共线，则，即， 即有，故， 整理得，即，则或， 若，由，可得，故； 若，则； 综上可得：，故C错误； 对D：设的中点为，则， 又，则，故， 则，故，即的中点到轴距离的最小值为，故D正确.    故选：ABD. 45．(24-25高二上·陕西榆林·期末)若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，结合三角形的面积公式，可得D的正误. 【详解】对于A，，设，代入， 整理可得，设（不妨设）， 则. 由抛物线，整理可得函数，则， 设过点A的切线斜率为，易知，则切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为， 联立可得，解得，即故； 所以点的横坐标为，故A正确； 对于B，由A可知：直线，直线， 由，则，即，故B正确； 对于C，由选项A可知，则直线的斜率， 由，则.由选项B可知， 所以，得，即，故C错误； 对于D，由C可得：， ， ， 则，当时，取得最小值为16，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 46．(24-25高三上·陕西西安·一模)已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 【答案】AC 【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线的方程联立方程组求出交点，可判断A；用直线l的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C；由得，进而求的值，从而用来可判断D选项. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 即抛物线方程为，焦点. 对于A：直线的方程为，即， 因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确； 对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为，， 由，得，则，即或， 于是， 又， 所以，故B错误； 对于C：由焦半径公式可得， 因为P是线段的中点， 所以，整理得，即，故C正确； 对于D：若，则，得 所以，即，解得， 此时，则直线l与抛物线相切，故D错误.    故选：AC. 【点睛】易错点睛：在判断D选项时，求出误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线. 47．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为，则（    ） A．与有相同离心率的椭圆标准方程一定是 B．过的直线与椭圆交于两点，则 C．设，点是椭圆上任意点，则有最大值无最小值 D．设圆，圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直 【答案】BD 【分析】由离心率的定义可得A正确；设过的直线方程为，，联立椭圆方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简可得B正确；由椭圆的定义得到，进而可得C错误；设切线方程为，联立椭圆方程，由判别式为零可得两直线的斜率为，进而可得D正确； 【详解】对于A，椭圆的离心率，若椭圆方程为：，则其离心率也为， 但该方程不是的形式，故A错误； 对于B，设过的直线方程为，，同时设 联立，消去可得，， ， ，同理， 所以 ，故B正确； 对于C，由椭圆的定义可得， 所以， 当三点不共线时，，共线时， 所以有最大值，有最小值，故C错误； 对于D，设圆上任意点， 当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为， 代入椭圆方程， 所以， 整理可得， 所以， 又，所以， 当斜率不存在时，显然垂直，故D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题B、D的关键在于直曲联立时化简较为麻烦，计算量较大. 48．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)双曲线的左右焦点分别为、，左右顶点分别为A、B，若P是右支上一点（与B点不重合），如图，过点P的直线l与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是 （写出所有正确的序号）    （1）P到两条渐近线的距离之积为2 （2）当直线l运动时，始终有 （3）在中， （4）内切圆半径取值范围为 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）根据点到直线的距离直接计算可得； （2）根据线段与线段的中点是否重合可得； （3）根据直线的倾斜角与三角形内角的关系，再结合三角恒等变换可得； （4）根据三角形内切圆半径与三角形的面积的关系，将半径表示成关于P点的横坐标的一个函数关系，从而求得半径的范围. 【详解】①由双曲线，可化为，则，， 双曲线的渐近线方程为，即. 设，因P点在双曲线上，所以， 所以P到两条渐近线和的距离分别为： ，，所以 故（1）正确； ②由直线l与双曲线C的左右支都相交，所以直线l的斜率存在， 设l的方程为，，，，. 联立，消去y得， 若，即，方程有且仅有一个解，与题意不符. 所以，且是方程的两个根，由韦达定理得， 所以的中点的横坐标为. 再联立，解得，再由，解得. 所以的中点的横坐标为，与的中点的横坐标相同，且P，Q，S，T都在直线l上. 所以与的中点重合，根据中点的性质可得. 故（2）正确； ③在中，，，设，，则. 因直线的倾斜角为，直线的倾斜角的补角为，且. 所以，， . 所以 . 故（3）正确； ④设内切圆半径为r，设，，则.， 所以 . 同理 . 所以 由，， 所以 ， 因，所以，得，， 所以.所以内切圆半径取值范围为. 故（4）正确. 故答案为：（1）（2）（3）（4）. 49．(25-26高三上·陕西西安西北工业大学附属中学·)设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别与椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意，令，得到，求得，结合椭圆的定义及勾股定理，得到和，联立方程组，进而求得椭圆的离心率. 【详解】如图所示，令，因为，可得， 所以，可得， 因为，令，则， 由椭圆的定义，可得， 又由，则， 所以，整理得， 又因为，可得， 所以，整理得， 所以，整理得， 联立方程组，解得，故， 又因为，所以，所以. 故答案为：.    50．已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【答案】 【分析】设，得到，且，根据题意和双曲线的定义，得到，结合双曲线的对称性，得到，求得，同理得出，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 设，（其中），则，可得， 再设为双曲线的左焦点，且， 因为，可得，根据双曲线的定义，可得， 又由双曲线的对称性，可得四边形为矩形，所以， 即，解得， 连接，设，则，由于 即，解得， 因为，解得． 故答案为：. 51．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)已知分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】先根据双曲线的定义及内切圆的概念，判断与内切圆圆心在直线上，判断，表述出两内切圆的半径，根据可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设的内切圆圆心为，与各边的切点分别为，，， 根据切线长定理，可得，，， 根据双曲线的定义：， 所以 ， 又，所以， 所以点坐标为，即为双曲线的左顶点. 即在直线上. 设的内切圆圆心为，同理可得点在直线上. 根据内切圆的概念，可得、分别平分、，所以. 设，则. 因为，所以， 同理. 所以. 又，所以， 因为，所以 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据双曲线的概念和内切圆的定义，先判断出与的内切圆圆心在直线上. 52．(24-25高二上·陕西西安临潼区华清中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点的坐标，再联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出点坐标，根据，结合椭圆离心率与的关系求解. 【详解】设， 因为垂直于轴，所以代入椭圆方程， 得，所以， 设， 联立，消去整理得，， 所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 地 城 板块04 数列 53．(22-23高二上·陕西咸阳实验中学·月考)若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，，记数列的前项和为，若，则（    ） A．319 B．303 C．286 D．258 【答案】A 【分析】依题意，确定数列的各项的值，再计算，由，即可求解. 【详解】解：数列的项为：， 则， ， ， ，共有8项， ，共有16项， ，共有128项， ，共有256项， 则 ， 而， 则， 故，得. 故选：A . 54．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍蔓垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，⋯，则第8层小球的个数为（   ） A．35 B．36 C．46 D．49 【答案】B 【分析】记第n层有个球，则根据题意可得，再根据累加法与等差数列的求和公式即可得解. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，……，， 则第8层的小球个数为 . 故选：B. 55．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意为方程的两根，结合数列的单调性确定，再根据等差数列通项公式求公差. 【详解】因为， 所以为方程的两根， 又因为为递增的等差数列， 所以，故公差为. 故选：D 56．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期性确定数列的周期，进而可得，利用周期性求. 【详解】因为是周期为4的周期数列，且， 所以，则. 故选：C 57．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月—4月 1965年5月—8月 1965年9月—12月 1966年1月—4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁+1个月 60岁+2个月 60岁+3个月 60岁+4个月 …… 那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为（    ） A．62岁3个月 B．62岁5个月 C．62岁8个月 D．63岁 【答案】C 【分析】设7月出生的男职工退休年龄为，可得是首项为，公差为的等差数列，利用等差数列通项公式计算即可. 【详解】设1965年7月出生的男职工退休年龄为岁， 则1966年7月出生的男职工退休年龄为岁， 设7月出生的男职工退休年龄为，则是首项为，公差为的等差数列， 1975年7月出生的男职工退休年龄为. 故1975年7月出生的男职工退休年龄为62岁8个月. 故选：C. 58．(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知数列的首项为1，且，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前200项和为（    ） A．42602 B．42609 C．42770 D．42762 【答案】D 【分析】应用累加法得出，进而得出,再根据等差及等比数列求和公式计算即可. 【详解】因为数列的首项为1，且， 所以，即得， 所以， 则数列的前200项和为数列的前208项的和减去数列的前8项的和， 即数列的前200项和为. 故选：D. 59．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，先根据，逐一求出，，…，可以推出周期为4，根据周期可得答案． 【详解】由得.. 因为，所以，， ， ， 所以可知数列是以4为周期的数列，所以 故选：C 60．(22-23高二上·陕西咸阳永寿县中学·月考)已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4045 B．4042 C．4041 D．4040 【答案】A 【分析】根据与的关系可得，当时，，进而得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，可得，进而求解即可. 【详解】当时，，解得：. 当时，， 则， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 则， 则. 故选：A. 61．(23-24高二上·陕西咸阳实验中学·)已知数列的前项和为，正整数满足：①；②是满足不等式的最小正整数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为，该行有项，由，可得，那么位于数阵第11行最后一项，通过计算得；设数阵中第k行各项之和为，则，故通过计算可得满足的最小正整数，相加即可得出最后结果. 【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项． 将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为， 该行有项，如下所示： 由，则，故A正确； 对于①，位于数阵第11行最后一项，对应于数列的项数为： ， ∴，故B正确； 对于②，数阵中第k行各项之和为， 则， 且数列的前k项之和： ， ， 而， 故恰好满足的项位于第11行， 假设位于第m项，则有： ， 可得出． 由于，， 则，∴， 因为前10行最后一项位于的第 项， 因此，满足的最小正整数， 所以，故C正确，D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和公式，考查了学生的归纳推理能力和运算求解能力. 62．(23-24高二上·陕西西安高新第一中学·)已知数列满足，则（    ） A．当时，数列是等比数列 B．若，且为常数数列，则 C．当时，为递增数列 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A选项：用等比数列的定义验证即可;对于B选项：由为常数数列得，解出即可;对于C、D选项：借助数学归纳法与放缩法判断即可. 【详解】对于A选项：当时, 因为,, 所以数列是以首项，公比为3的等比数列.故A选项正确； 对于B选项：因为，且为常数数列， 所以,即，整理 所以或，或由于为常数数列，则或，或 故B选项错误; 对于C选项： 因为， 当时，所以 假设时， 当时，所以 综上： ， 所以数列为递增数列. 故C选项正确； 对于D选项：因为， 可用数学归纳法证明：，即， 当时，，此时不等关系成立； 当时， 此时， 则，所以成立， 即由数学归纳法可得成立，所以.故D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到给出的首项与通项性质的关系，再根据所得命题结合放缩法，数学归纳法得到通项所满足的相应关系,进而判断数列. 63．(23-24高二上·陕西西安陕西师大附中·期中)已知数列的首项为，且满足，则以下说法正确的是（    ） A．数列的最大项为2 B．数列没有最小项 C．数列是递减数列 D．，都有 【答案】ACD 【分析】根据题意利用数学归纳法可得，，进而判断ABD；对于C：根据题意结合数列单调性的定义分析判断. 【详解】因为，，令，可得， 且 1.先证，证明如下： 当时，； 假设当时，； 则当时，则有： 因为，可得， 所以； 2.再证，证明如下： 当时，； 假设当时，； 则当时，则有 因为，可得， 所以； 综上所述：，， 可在数列的最大项为2，最小项为1，故A正确，B错误； 对，都有，故D正确； 因为当时，，可知， 即当时，， 可得，则， 可得， 可知， 对于，可知其开口向上，对称轴为， 且，则对任意恒成立， 所以对于任意恒成立， 可得，即， 所以数列是递减数列，故C正确； 故选：ACD. 64．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知等差数列公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，其中．则数列的前10项之和为 ． 【答案】 【分析】由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得，进而得到的公比和通项公式，求得，由等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】由题意可得，，成等比数列，即有， 由等差数列的通项公式可得，解得， 则， 由的公比， 则，可得， 则数列的前10项之和为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差等比数列通项及求和公式，理解的含义是本题关键. 65．(25-26高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中)若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 ． 【答案】100 【分析】根据题设易知正项数列为等差数列，公差为，应用等差数列前n项和公式得，应用基本不等式求最大值. 【详解】由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100. 66．(24-25高二下·陕西渭南大荔县·期末)已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 67．(24-25高二上·陕西咸阳永寿县中学·期末)已知等差数列满足，，则数列的前项和 ；记数列的前n项和为，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的定义和前项和的公式即可求出，利用裂项相消法即可求出. 【详解】等差数列满足，， 故， 故，， 所以， 所以. 故答案为：； 68．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】应用等比数列求和的基本量运算，结合基本不等式计算最小值. 【详解】正项等比数列的前项和为， 若， 则 . 当且仅当时取最小值. 故答案为：. 69．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】根据与的关系可得当时，是公比为3的等比数列，求解答案. 【详解】由得，时，，两式相减得， 所以当时，是公比为3的等比数列，而，则， 由不满足上式得. 故答案为：. 70．在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，记第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，…，第个正方形的面积为，则前个正方形的面积之和为 . 【答案】 【分析】由题意结合勾股定理以及等比数列的定义，利用等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】设第个正方形的边长为，由题意可得，且， 故数列是以4为首项，以为公比的等比数列， 所以，且， 所以数列是以16为首项，以为公比的等比数列， 因此，前个正方形的面积之和为. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 板块01空间向量与立体几何 板块02直线与圆 板块03圆锥曲线 板块04数列 空间向量与立体几何 目目 板块01 1.(25-26高二上陕西榆林期中)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M,N分别是棱AB,AA1的中 点，过MN作平面a,使得BD/a,以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线MC1与平面a所成 角的正弦值为() D B B A.号 B. 3 C.53 D. 3 2.(25-26高二上陕西西安鄂邑区第四中学·月考)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（) C A B D B A.AC1=6 B.AC 1BD C.向量B1C与AA1的夹角是60° 1/14 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D.BD1与AC所成角的余弦值为9 3.(25-26高二上陕西西安中学)如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，点P、M、N分别为 棱AA1、AB、A1B1的中点，点Q为线段MN上的动点.当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中不 正确的是（) A B M A,直线C1Q与直线AB始终垂直 B.直线C1Q与直线CP始终异面 C,直线C1Q与直线CP可能垂直 D.直线C1Q与直线BP可能垂直 4,如图，已知ABCD,ABEF均为正方形，二面角C-AB-F的大小为60·，则异面直线AC与BF所成角的余 弦值为(). E A. B. C. 2 D.⑤ 4 5,(24-25高二上陕西西安南开高级中学·月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有 两个动点E,F,且EF=V2,以下结论错误的是() B A.EF.AB=2 B.A1C⊥AE 2/14 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 C.异面直线AE,BF所成的角为定值 D,正方体ABCD-A1B1C1D1的体积是三棱锥A-BEF的体积的12倍 6.(25-26高二上陕西安康期中)棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为B1D1中点，B1D与BG交于点 O,现以O为坐标原点，OB为x轴正方向，垂直于平面BB1D1D且沿CA方向为z轴正方向建立右手空间直角坐 标系，记z轴与正方体表面交于E,F两点，则() A.y轴所在的直线垂直平面A1BC1 B.点A的坐标为(53,2) C.EF=2 D.A,B,C,D,E,F均在直径为N19的同一个球面上 7.(25-26高二上陕西西安东城第一中学·月考)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2,P 是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1内一点（含表面），且AP=aAA1+bAB+cAD,则下列结论正确的是（) D A B A B A.若a=2,b=1,c=2则点P在平面A1BC1内 B.若a=各b=c=分则B,P1平面A1BG1 C.若a+b-c=1,则AP/平面A1BC1 D,若a+b-c=0,则点P到平面A1BC1的距离为定值 8.(25-26高二上·陕西西安庆安高级中学·月考)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∠ADC= ,AB=AD=AP=1,CD=22,过A的平面与便棱PB,PC,PD分别交于点M,N,C,且四边形，4NO 为平行四边形，则() B咒= c.器- D.四边形Q的面积为四 9.(24-25高二上·陕西西安第八十五中学·期中)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1,点P满足 BP=1BC+uBB1,其中1∈[0,1]，μ∈[0,1]，则() 3/14 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 C B A.当入=0，μ=1时，AP与平面ABC所成角为 B.当1=时，有且仅有一个点P,使得A1P1BP C.当1=1=2时，平面AB1P1平面A1AB D.若1AP=1,则点P的轨迹长度为 10.(24-25高二上陕西安康高新中学·月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在线段BC1 上运动，则下列说法正确的是() D A B D A.几何体A1BC1-ACD1的外接球半径r=V2 B.A1M//平面ACD1 C,异面直线CD与AD所成角的余弦值为号 D.平面A1DM与底面ABCD所成角正弦值的取值范围为竖，习 11,(24-25高二上陕西榆林府谷县府谷中学、府谷一中·调研)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1,点P 满足BP=λBC+BB1(E[0,1],μE[0,1),则下列说法正确的是（) A.当1=1时，点P在棱BB1上 B,当u=1时，点P到平面ABC的距离为定值 C.当A=时，点P在以BC,B1C1的中点为端点的线段上 D.当1=1=2时，A1B1平面AB1P 4/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(23-24高二上·陕西渭南瑞泉中学期末)己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1上的动点， 则下列说法正确的是() A.CH⊥BD B.平面AB1D1与平面AB1C的夹角为号 C.三棱锥H-BCC1的体积为定值 D.若CH1平面B,则直线CD与平面B所成角的正弦值的取值范围为妮，习 13.(23-24高二上陕西西安中学期中)如图，在菱形ABCD中，AB=,∠BAD=60,沿对角线BD将△ABD 折起，使点A、C之间的距离为2√2，若P、Q分别为线段BD、CA上的动点，则下列说法正确的是() D A D B A.平面ABD⊥平面BCD B.线段PQ的最小值为V2 C.当AQ=QC,4PD=DB时，点D到直线PQ的距离为4 14 D.当P、Q分别为线段BD、CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 14.(25-26高二上陕西西安庆安高级中学·月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=V5,AA1 =BC=2,P,Q分别是直线CA1,BC1上的动点，则PQ的最小值为 15.(24-25高二上陕西榆林期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=3,点E为线 段AC的中点，点F是棱CD1上一点，若直线EF与平面AB1C所成角的正弦值为西 ,则EF= 110 A D D B 目目 板块02 直线与圆 5/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(25-26高二上·陕西渭南瑞泉中学)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一 条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为平行相离”：否则称 为平行相交”已知直线l1ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位 置关系是“平行相交”，则实数b的取值范围是() A.b>V2且b≠ 2 B.b>32 C.b≤2D,0<b<2 2 17.(24-25高二上陕西渭南清城县清城中学·月考)已知函数f(x)=\2-2x+2+、x2+2x+5的值域为A, 4 g因=的值域为B,则AnB=（) A.} B. 居4 c副 D. 18.(23-24高二上·陕西咸阳实验中学月考)已知圆D是以圆x2+y2=1上任意一点为圆心，半径为1的圆， 圆C:(x+1)2+(y+2)2=5与圆D交于A,B两点，则当∠ACB最大时，△ABC的面积为() A.2 B.3 C.2 D.1 19,(25-26高二上·陕西咸阳实验中学)已知圆C:x2+y2=4上到直线l:x+y+b=0的距离等于1的点恰有 两个，则实数b的取值范围是() A.(-V22 B.(-o,-V2U(V2,+∞) C.（-3V2,3V2 D.（-32,-V2U(2,3v2 20.(25-26高二上陕西西安铁一中学期中直线l1:x+(m+1)y-2m-2=0与直线l2:(m+1)x-y-2m-2=0 相交于点P,且对任意实数m两条直线分别过定点A,B,则PA·IPB的最大值为() A.4 B.8 C.2W2 D.42 21.(25-26高二上陕西镇安中学期中)圆C1:x2+(y-4)2=4与圆C2:(x-3)2+y2=9的位置关系是() A.内含 B.外切 C.内切 D.相交 22.(25-26高二上·陕西渭南某校·月考)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一 条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”； 否则称为“平行相交.已知直线1ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2 -1(b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b的取值范围是() A.b>V2且b≠ 2 B.b>39 C.b≤2 D.-V2<b<V2 23.(25-26高二上·陕西渭南高级中学)若方程x+b=V4x-x2恰有两个不等的实根，则实数b的取值范围为 () 6/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(-2W2-2,2W2-2) B.（-1,2W2-2) C.[0,22-2) D.（-22-2,0 24.(25-26高二上陕西神木中学)已知圆C:x2+y2-4y+3=0,一条光线从点P(2,1)射出经x轴反射，则下 列结论正确的是() A.圆C关于x轴对称的圆的方程为x2+y2+4y+3=0 B.若反射光线与圆C相切于点A,与x轴相交于点B,则PB1+IBA=2 C.若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线的方程为3x-2y-4=0 D.若反射光线与圆C交于M,N两点，则△CNM面积的最大值为号 25.(24-25高二上陕西榆林第一中学期末)在平面直角坐标系中，曲线C:x2+y2=2x+2y川是一条形状优 美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有() A.曲线C围成的图形有4条对称轴 B,曲线C围成的图形的周长是8V2m C.曲线C上任意两点间的距离最大值是4V2 D.若T(a,b)是曲线C上任意一点，则4a+3b-18的最小值是11-5V2 26.(25-26高二上陕西西安高新第一中学·月考)经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点， 且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程 27.(24-25高二上陕西榆林八校联考期末)已知圆C:(x+1)2+y2=12,P(1,-2),M(0,3,A,B是圆C 上的动点，且∠APB=,点N是线段AB的中点，则当LPMN取得最大值时，IMNI的值为· 28.(25-26高二上陕西山阳中学·期中)已知P(x,y)是直线l:3x-4y+5=0上任意一点，则x2+y2的最小值 为 29.(25-26高二上陕西安康期中)已知圆M:(x-2)2+y2=1与圆N:(x-2a)2+y2=1交于A,B两点，若 |AB=V3,则|MN|=一 30.(25-26高二上陕西渭南瑞泉中学)已知直线3x-y-1=0及点A(4,1),B(2,0).P为上任意一点，则AP川 +IBPI的最小值是 31.(25-26高二上陕西榆林·期中)己知方程x2+y2+4x-m=0表示的曲线是一个圆，则实数m的取值范围 是 32.已知一束光线通过点A(-3,5),经直线L:3x-4y+4=0反射，如果反射光线通过点B(2,15),则反射光 线所在直线的方程是一· 33,(24-25高二上陕西渭南大荔县·期末)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、 7/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在非等边△ABC中，AB=AC,点B坐标为 (-2,4),点C坐标为(3，-1)，且其“欧拉线”与圆M:x2+y2=2(r>0)相切，则r= 34.(24-25高二上陕西榆林期末)若直线y=kx+3与曲线x-3=V9-(y+3)恰有两个交点，则实数k的取 值范围是」 圆锥曲线 目目 板块03 35.(25-26高二上陕西西安交通大学附属中学月考)当a变动时，曲线x2sin+y2cosa=1不可能表示的图 形是() A,焦点在y轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线C.抛物线D.圆 36。(25.26高二上陕西威阳实验中学)已知椭圆C器+荒=1(a>b>0)的右顶点，上项点和上焦点分别是 M,N,F,若x轴恰与过M,N,F三点的圆相切，则椭圆C的离心率为() A.月 B.5-1 C.3-1 D.2-1 2 2 2 37.Q5,26高二上陕西威阳实验中学)已知双曲线学-器=1的左、右焦点分别为F、P2,点P是双曲线左支 上一点，点Q(0,-3),则△PQF2周长的最小值为() A.10 B.12 C.14 D.16 38.(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式 回转缆悬索桥.大桥主跨0A长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以O为顶点且开口向上的抛物线C 的一部分，若F为抛物线C的焦点，则主塔端点B到焦点F的距离约为() 塔 桥面 A A,1350米 B.758米 C.725米 D.558米 39.(25-26高二上河南南阳南阳六校期中)已知P为抛物线x2=4y上的任意一点，F为抛物线的焦点，点M (2,3),则PM+PFI的最小值为() A.3 B.V13 C.4 D.3V2 40.(Q5-26高=上陕西神木中学)已知F1F2分别为双曲线c层盖=1(a>0b>0的左，右焦点，点A是双 8/14 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 曲线C上的一点，且AF11AF2AF1=AF2,则双曲线C的渐近线方程为（） A.y=t导 3 B.y=±x C.y= D.y=± 41.(25-26高二上陕西多校期中)设P是圆0：x2+y2=20上的动点，点H在x轴上，H的横坐标与P的横坐标 相等，且PM=M五，则动点M的轨迹为() A.长轴长为4V5,短轴长为4，焦点在x轴上的椭圆 B.长轴长为4V5,短轴长为4，焦点在y轴上的椭圆 C.长轴长为4W5,短轴长为2W5,焦点在y轴上的椭圆 D.长轴长为4V5,短轴长为2V5,焦点在x轴上的椭圆 42.(Q526高二上陕西西安交通大学附属中学月考)若实数k满足0<k<9,则双曲线号品=1与女号 =1的() A.焦距相等B,实轴长相等 C.虚轴长相等 D.离心率相等 43.25.26高=上陕西西安交通大学附属中学月考)直线1过点M(-1,1)且与椭圆+号=1相交于A、B两 点，若线段AB的中点为M则直线1的斜率为() A. B. c D.号 44.(25-26高二上陕西西安陕西师范大学附属中学.期中)已知抛物线x2=2py(p>0)上三点A(x1y1),B (x2y2),C(2,1),F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是() A.抛物线的准线方程为y=一1 B.若FB+FA+FC=0,则2FC=FB+FA C.若A,F,B三点共线，则y1y2=4 D,若AB=6,则AB的中点到x轴距离的最小值为2 45,(24-25高二上·陕西榆林期末)若过点C可以作抛物线的两条切线，切点分别是A,B,则称△ABC为阿基 米德三角形”，已知抛物线E:y=8x的焦点为F,过F的直线I交E于A,B两点，以A,B为顶点的阿基米德三角 形”为△ABC,则() A.点C的横坐标为-2 B.∠ACB=月 C.IBCI2>IABI·IBFI D.△ABC面积的最小值为16 46.(24-25高三上陕西西安一模)已知0为坐标原点，点A(2,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，抛物线的焦 9/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点为F,过点B(0,-1)的直线1交抛物线C于P,Q两点（点P在点B,Q的之间），则() A.直线AB与抛物线C相切 B.0p.00=6 C.若P是线段BQ的中点，则2PFI=IQFI D.存在直线1，使得IPFI+IQFI=2BF 47.。Q425高二上陕西西安交通大学附属中学月考)已知椭圆：号+背=1的左、右焦点分别为F1,F2,则 () A.与B有相同离心率的椭圆标准方程一定是群+号=Q>0) B.过F,的直线与椭圆交于两点AB则+=号 C.设M(1,1),点P是椭圆上任意点，则PM+IPF2有最大值无最小值 D,设圆C:x2+y2=7,圆C上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直 48,(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)双曲线C:x2-y2=4的左右焦点分别为F1、F2,左右顶 点分别为A、B,若P是右支上一点（与B点不重合），如图，过点P的直线1与双曲线C的左支交于点Q, 与其两条渐近线分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是 (写出所有正确的序号) (1)P到两条渐近线的距离之积为2 (2)当直线1运动时，始终有|QS1=|TPI (3)在△PAB中，tanPAB+tanzPBA+2 tanzAPB=0 (4)△PF1F2内切圆半径取值范围为(0,2) 49.(25-26高三上陕西西安西北工业大学附属中学)设椭圆E:号+发=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1, P2,鞘质E上点P满足PR,1P听2，直线PF和直线PF分别与椭圆E交于异于点P的点A和点B、若- 则椭圆E的离心率为 50.已知双曲线c号茶=1(@>0，b>0)的离心率为9，F为右焦点，点4，B在右支上，设D为A关于原 点O的对称点，且DF⊥AB.若AF=FB,则入=一· 51.(6425高二上陕西西安铁一中学期末)已知P1,P,分别为双曲线C器若=1(a>0,b>0)的左，右焦点， 过点F1的直线与双曲线C的左支交于P,Q两点，记△PF1Fz的内切圆半径为m,△QF1F2的内切圆半径为n, 10/14