专题07 数列（5大题型）（期末真题分类汇编 陕西专用）高二数学上学期

专题07 数列 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 数列的概念及其表示 考点02 等差数列及其性质 考点03 等比数列及其性质 考点04 数列求和问题 考点05 数列不等式 数列的概念及其表示 地 城 考点01 1．(24-25高二下·陕西咸阳·期末)南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（    ） A．676 B．678 C．731 D．733 【答案】B 【分析】记该二阶等差数列为，，计算出，利用累加法结合等差数列求和能求出的值. 【详解】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记， 由题意可知，数列为等差数列，且， 所以等差数列的公差为，所以， 所以，则， 所以， 故选：B 2．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)已知数列中，， ，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由递推公式逐项递推求解即可. 【详解】由题，， 故选：C. 3．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍蔓垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，⋯，则第8层小球的个数为（   ） A．35 B．36 C．46 D．49 【答案】B 【分析】记第n层有个球，则根据题意可得，再根据累加法与等差数列的求和公式即可得解. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，……，， 则第8层的小球个数为 . 故选：B. 4．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列，则该数列的第211项为（    ） A． B．421 C． D．423 【答案】B 【分析】根据已知数列写出一个通项公式，再求出第211项. 【详解】该数列的通项公式为， 所以. 故选：B 5．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（    ） A．210 B．209 C．211 D．207 【答案】B 【分析】根据已知有，应用累加法求通项公式，进而求. 【详解】因为， 所以，则. 故选：B. 6．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期性确定数列的周期，进而可得，利用周期性求. 【详解】因为是周期为4的周期数列，且， 所以，则. 故选：C 7．(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知数列的首项为1，且，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前200项和为（    ） A．42602 B．42609 C．42770 D．42762 【答案】D 【分析】应用累加法得出，进而得出,再根据等差及等比数列求和公式计算即可. 【详解】因为数列的首项为1，且， 所以，即得， 所以， 则数列的前200项和为数列的前208项的和减去数列的前8项的和， 即数列的前200项和为. 故选：D. 8．(24-25高二上·陕西安康·期末)数列满足，则数列的最大项为（    ） A．16 B．28 C．30 D．34 【答案】C 【分析】根据给定的递推关系，利用累加法的数列的通项公式，从而得出，利用导数即可求出函数的极大值点，通过，代数方法即可分析数列的最大项. 【详解】，， 所以由累加法可得：， ， 所以， 令，则， ， 令，解得：，解得或（舍去）. 令，解得，函数在 上单调递增； 令，解得，函数在上单调递减； 所以函数在取得极大值， 又因为， 当时，， 当时，， 因此数列的最大项为30. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过累加法找到数列的通项公式，再通过求导数找到可能的极值点。需要注意，极值点的求解结果需要结合题目实际情况（如n 是整数）来判断最终的最值. 9．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，先根据，逐一求出，，…，可以推出周期为4，根据周期可得答案． 【详解】由得.. 因为，所以，， ， ， 所以可知数列是以4为周期的数列，所以 故选：C 10．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举法判断AB,根据数列裂项消项求和判断CD选项． 【详解】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确； 由题意 则可得： ，所以选项C正确，D错误； 故选：D 11．(20-21高二上·陕西渭南华阴·期末)历史上数列的发展与研究，给人类提供了许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家莱昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即，.此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前81项和为（    ） A．162 B．81 C．54 D．27 【答案】C 【分析】根据条件得出数列的周期，进而得解. 【详解】由题意可知“兔子数列”的每一项除以2所得的余数余数构成一个新数列为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，…… 则可得到周期为3，所以数列的前81项和为， 故选：C 12．(21-22高二上·陕西渭南韩城新蕾中学·月考)我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题.如果 ，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前10项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 【答案】B 【分析】根据题意可知数列的前4项，再由可求出，由数列为等差数列，可求出的通项公式，代入中再利用累加法可求出的通项公式，从而可求出结果. 【详解】由题意可知数列的前4项为1，3，6，10，即， 因为，所以， 所以等差数列的公差为， 所以， 所以， 所以，，……， ， 所以上面个式子相加得 ， 所以， 所以 ， 故选：B 13．(24-25高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知数列的前项和为，，且，则（    ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 【答案】BC 【分析】由递推关系取，结合，解方程求，判断A，结合等比数列定义判断B，结合等差数列定义判断C，假设结论正确，可得，结合整除性判断D. 【详解】已知，，则，， 则，，A选项错误. 由可得，又， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列，B选项正确. ， 所以是等差数列，C选项正确. 假设存在，，且，使得，，成等差数列， 则，又， 所以， ，两边同时除以得， 因为，，故左边是的倍数，右边不是的倍数，等式不成立，D选项错误. 故选：BC. 14．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最大值时， C． D． 【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A；根据数列的项的正负情况可以否定B；根据前16项都是非负值可计算判定C；由 可计算后否定D. 【详解】因为数列的前项和， 则， ， 当时也成立，所以，故A正确； 由，得，当时，当时，， 所以取得最大值时，或，故B错误； 因为当时，，当时， 所以，故C正确； 因为 ，故D错误. 故选：AC. 15．（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A． B．为偶数 C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得，再根据递推公式逐一分析判断即可. 【详解】对于A，记该数列为，由题意知，，，，， ，，，， ，，故A正确； 对于B，因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和， 此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组， 而，故为奇数，故B错误； 对于C，由题意知，所以， ，故C正确； 对于D，， 故D正确． 故选：ACD. 16．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知数列满足，且，则以下正确的有（    ） A． B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】ACD 【分析】由累加法求得，再对选项加以判断，可得正确结论． 【详解】数列{an}满足，且， 可得时， ，当成立. 即有，又, 可得，是公比为的等比数列，不是等差数列，故ACD正确，B错误． 故选：ACD． 17．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)已知数列满足，，为的前项和，则（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．当或时，取得最大值 【答案】AC 【分析】利用构造法得，判断出为首项为，公比为的等比数列，判断A选项；利用等比数列通项公式求出通项公式，得出，判断B选项；根据函数是减函数，判断C选项；令，解得，判断D选项. 【详解】因为，所以，即，， 又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确； ，所以，B错误； 因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确； 令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误. 故选：AC 18．(24-25高二上·陕西安康·期末)设数列满足，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知再写出，相减得出数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为6，因此等价于，解之可得结论． 【详解】，则， 两式相减得， 所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为6， 所以等价于， 又，，， 所以，解得， 故答案为：． 19．(23-24高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】根据题意可知：是首项为，公差为的等差数列，进而可求的通项公式，即可得结果. 【详解】因为，则，即. 且，可知是首项为，公差为的等差数列， 则，即， 所以. 故答案为：. 20．(20-21高二上·陕西渭南富平县·期末)已知数列满足：，，数列的前项和为，则满足的的最小取值为 . 【答案】 【分析】利用累加法可取得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，然后解不等式，即可得解. 【详解】因为数列满足：，， 当时，， 也满足，则， 所以，， 由可得，故满足条件的的最小值为. 故答案为：. 21．(21-22高二上·陕西西安蓝田县·期末)一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和数列的公和为2，前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】由题意可得，分组求和，从而可求出. 【详解】 ， ， ． 故答案为：. 地 城 考点02 等差数列及其性质 22．(24-25高二下·陕西渭南大荔县·期末)已知等差数列中，，，则等于（    ） A．48 B．49 C．55 D．54 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求和. 【详解】等差数列中，，， 所以. 故选：A. 23．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)在等差数列中，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据等差中项性质直接求解, 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 24．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 由 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B 25．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意为方程的两根，结合数列的单调性确定，再根据等差数列通项公式求公差. 【详解】因为， 所以为方程的两根， 又因为为递增的等差数列， 所以，故公差为. 故选：D 26．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月—4月 1965年5月—8月 1965年9月—12月 1966年1月—4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁+1个月 60岁+2个月 60岁+3个月 60岁+4个月 …… 那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为（    ） A．62岁3个月 B．62岁5个月 C．62岁8个月 D．63岁 【答案】C 【分析】设7月出生的男职工退休年龄为，可得是首项为，公差为的等差数列，利用等差数列通项公式计算即可. 【详解】设1965年7月出生的男职工退休年龄为岁， 则1966年7月出生的男职工退休年龄为岁， 设7月出生的男职工退休年龄为，则是首项为，公差为的等差数列， 1975年7月出生的男职工退休年龄为. 故1975年7月出生的男职工退休年龄为62岁8个月. 故选：C. 27．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知等比数列是递增数列，其前项和为，且成等差数列，则（    ） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】A 【分析】根据题中条件，得到公比或，再由成等差数列，求出公比；根据等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为等比数列是递增数列，所以或， 又成等差数列，所以，则，解得(舍去)， 因此； 故选：A 28．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知等差数列的公差为，记数列的前项和为，则（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【分析】利用等差数列的基本量的计算求得首项，由数列单调递增，可得前3项为负，计算可求得前8项和. 【详解】因为等差数列的公差为，所以，解得， 所以， 因，数列单调递增，所以数列前3项为负， 所以 . 故选：D. 29．(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．20 B．16 C．7 D．2 【答案】C 【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得成等差数列， 故，即， 解得. 故选：C 30．(24-25高二下·陕西渭南大荔县·期末)数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 【答案】BC 【分析】根据，求出，然后逐项分析即可. 【详解】时，， 时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，所以当或时，取得最大值，故D错误； 故选：BC. 31．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)设等差数列的前项和为，且，则（   ） A．是等比数列 B．是递增的等差数列 C．当时，的最大值为4048 D． 【答案】AD 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式及其性质，对于A选项，当由为定值即可判断；对B，，根据的正负即可判断单调性；对C，，因为，所以即可得解；对D，由结合基本不等式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以，又，所以，. 对于A选项，， 所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确. 对于B选项，易知，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 又，故是递减的等差数列，故B错误. 对丁C选项，因为，所以； 因为，所以， 故当时，的最大值为4049，故C错误. 对于D选项，因为，，， ，由基本不等式知， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：AD. 32．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（    ） A．若，则单调递增 B．若，则单调递增 C．可能为等差数列 D．可能为等比数列 【答案】AD 【分析】根据等差等比数列的性质分析单调性判断A、B；由等差、等比数列的定义及通项公式分析判断C、D. 【详解】等差数列的单调性只与公差有关，与首项无关， 若，则单调递减，若，则单调递增，故A正确. 在等比数列中，若时单调递减，故B不正确. 设，则， 所以， 因为，所以不为常数，故C不正确. 若，则仍为等比数列，所以D正确. 故选：AD 33．(24-25高二下·陕西渭南大荔县·期末)已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 34．(24-25高二上·陕西咸阳永寿县中学·期末)已知等差数列满足，，则数列的前项和 ；记数列的前n项和为，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的定义和前项和的公式即可求出，利用裂项相消法即可求出. 【详解】等差数列满足，， 故， 故，， 所以， 所以. 故答案为：； 35．(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据等差数列的求和公式，以及等差数列下标之和的性质，可直接求出结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：2. 36．(23-24高二上·陕西咸阳·期末)在等差数列 中， 若 ， 则 ・ 【答案】52 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】根据题意， 设等差数列 的公差为 d, 若, 则有, 则. 故答案为：52. 37．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期末)已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是， 解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 38．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)已知是数列的前n项和，若，是等差数列，． (1)求； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为，由解出即可； （2）利用求即可. 【详解】（1）设数列的公差为d，则由，得， 所以，即， 所以，， 因为，所以，解得， 所以． （2）由（1）知， 所以时，， 上面这个式子对也适合，所以时，． 39．(23-24高二上·陕西西安西安南开高级中学·期末)等差数列的公差为d，数列的前n项和为. (1)已知，，，求m及； (2)已知，，，求d. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； 【详解】（1）因为， 整理得，解得或（舍）， 所以. （2）因为，解得， 又，解得. 40．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知等差数列的前3项和是24，前5项和是30. (1)求这个等差数列的通项公式； (2)若是的前n项和，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)当或时，的最大值为. 【分析】（1）由等差数列求和公式基本量的计算即可求解. （2）由等差数列求和公式结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由题意设等差数列的首项、公差分别为， 则由题意，解得， 所以这个等差数列的通项公式为. （2）由（1），所以， 而二次函数的对称轴为，开口向下， 所以当或时，的最大值为. 数列求和问题 地 城 考点03 41．(24-25高二下·陕西汉中·期末)记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质可得. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 因，则，故，解得. 故选：B 42．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)已知等比数列中，，，则公比（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质可求. 【详解】由题可得，则. 故选：C. 43．已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（   ） A．3 B．18 C．54 D．152 【答案】C 【分析】根据题设有且，即可得公比为3，首项为2，利用通项公式求对应项. 【详解】由题设得，作差可得，即， 又为等比数列，故其公比为3，且，即， 所以. 故选：C 44．(10-11高二上·陕西宝鸡金台区·期末)以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（    ） （1）“”是“为、的等比中项”的充分不必要条件； （2） “”是“”的充要条件； （3） “”是“”的充分不必要条件； （4）“是偶数”是“、都是偶数”的必要不充分条件. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】通过举出反例得到（1）不正确；根据绝对值的意义，得到（2）正确；根据正切函数的定义域和周期性，得到（3）不正确；根据奇数、偶数的性质，得到（4）正确．由此可得本题的答案． 【详解】对于（1），当“”成立时，其中有可能，不一定得到“为、的等比中项”， 故“”不是“为、的等比中项”的充分条件，故（1）不正确； 对于（2），两个数的平方的大小关系与它们平方的大小关系是等价的， 故“”是“”的充要条件，得（2）正确； 对于（3），当时，正切没有意义，推不出． 反之，当时，可得，．也不一定有成立 故“”是“”的既不充分也不必要条件，得（3）不正确； 对于（4），当是偶数时，可能、都是奇数，也可能、都是偶数； 反之，当、都是偶数时，必定有是偶数． 故“是偶数”是“、都是偶数”的必要不充分条件，得（4）正确． 综上所述，正确的说法有（2）、（4），共2个 故选：C． 45．(23-24高二下·陕西榆林·)设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案. 【详解】设公差为， 由题意可得， 即， 解得舍去，或，所以， 可得. 故选：C. 46．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知，，以下结论中错误的是（    ） A．若三个数成等差数列，则 B．若五个数成等差数列，则 C．若三个数成等比数列，则 D．若三个数成等比数列，则 【答案】C 【分析】由等差中项、等比中项的定义逐一验证每一选项即可求解. 【详解】对于A，若三个数成等差数列，则，故A不符合题意； 对于B，若五个数成等差数列，则， 且当时，即成等差数列，故B不符合题意； 对于CD，若三个数成等比数列，则，即，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C. 47．(23-24高二上·陕西西安陕西师大附中·期末)记为等比数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，令，则，可以求出的公比，即可求出答案. 【详解】因为，令，则， 所以是首项和公比都为2的等比数列， 所以. 故选：B. 48．(23-24高二上·陕西榆林·)已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则（    ） A．255 B．85 C．16 D．15 【答案】B 【分析】写出等差等比数列通项，再计算出其中每一项即可得到答案. 【详解】由题意得，， ，， 所以， 故选：B. 49．(21-22高二上·陕西铜川阳光中学·期末)已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．20 B．16 C．9 D．8 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据等比数列前项和的性质可得，即，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 由正项等比数列的前项和为， 得为等比数列，且， 则， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】根据等比数列前项和的性质得出是解决本题的关键. 50．(20-21高二上·陕西渭南富平县·期末)设为正项递增等比数列的前n项和，且，，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】A 【分析】由等比数列的通项列出方程，得出，，再由求和公式计算即可. 【详解】设比数列的公比为，由，得， 解得（舍）或，则， . 故选：A 51．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等比数列的单调性求解判断. 【详解】，为递减数列， 则或. 故BD正确. 故选：BD. 52．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（    ）． A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据即可作差得，进而可判断为等比数列，根据等比通项以及求和公式即可求解. 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，． 故选：ACD． 53．(24-25高二下·陕西安康·期末)已知为公差为1的等差数列，且依次成等比数列，则 ． 【答案】1 【分析】写出等差数列的通项公式，得出的表达式，利用成等比数列，即可求出的值. 【详解】由题意，，在等差数列中，公差为1， ∴， ∴，， ∵依次成等比数列， ∴，即，解得． 故答案为：1． 54．(24-25高二上·陕西西安第八十五中学·期末)已知为等比数列，且，，则公比 ． 【答案】3 【分析】由即可求出. 【详解】设公比为，则有. 故答案为：3. 55．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)设各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】21 【分析】由成等比数列，可得，代入即可得出答案. 【详解】因为是各项均为正数的等比数列， 所以成等比数列，所以， 解得：. 故答案为：. 56．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】应用等比数列求和的基本量运算，结合基本不等式计算最小值. 【详解】正项等比数列的前项和为， 若， 则 . 当且仅当时取最小值. 故答案为：. 57．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知数列是公比为的等比数列，且，则 . 【答案】或1 【分析】根据等比数列性质得到，求出答案. 【详解】由得，， 因为，所以，解得或1， 故答案为：或1 58．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知等差数列公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，其中．则数列的前10项之和为 ． 【答案】 【分析】由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得，进而得到的公比和通项公式，求得，由等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】由题意可得，，成等比数列，即有， 由等差数列的通项公式可得，解得， 则， 由的公比， 则，可得， 则数列的前10项之和为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差等比数列通项及求和公式，理解的含义是本题关键. 59．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)等比数列中，，，则 . 【答案】 【分析】由基本量法列方程求出即可求解. 【详解】设的公比为，因为，， 所以,解得,故. 故答案为：. 60．(24-25高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知等差数列满足，，正项等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合等差数列通项公式化简条件，解方程求，由此可得结论； （2）设的公比为，结合等比数列性质求，由此可得结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ，即，； ，即. 两式相减得，， 所以. （2）因为正项等比数列满足， 又，， ，又， 所以. 61．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)设数列的前项和为，已知首项. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用计算求出通项公式； （2）应用分组求和结合等差数列及等比数列求和公式计算. 【详解】（1）当时，可得； 当时，， 两式相减，得：，即，不满足该式， （2）当时，； 当时，， ， 时，，上式也成立. . 62．(24-25高二上·陕西安康·期末)设正项等比数列的公比为（为已知常数），且数列满足. (1)求的值； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义以及题目已知条件即可求得数列与以及的乘积关系，从而得出中相邻项的比例，从而得解.。 （2）利用（1）结论以及题目的初始条件，分别求出数列的奇数项和偶数项通项公式，最后利用通项公式计算的前2n项和即可. 【详解】（1）因为是公比为的等比数列，故有， 由，可得， 则， 由此可得， 即； （2）由（1）知，且和， 设数列中奇数项的公比为，偶数项的公比也为。 奇数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，奇数项通项为，其中 偶数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，偶数项通项为，其中. 当时，，，此时； 当时，奇数项和 ， 偶数项和 ， 此时； 所以 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解和应用等比数列的性质，以及如何利用给定条件构建数列的递推关系。通过将数列的乘积关系转化为比例关系，我们得以求解出数列的通项公式，进而求解出特定和式的值。在处理类似问题时，理解数列性质和递推关系的转换至关重要。 63．(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知公比为正数的等比数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公比后代入计算即可得； （2）借助错位相减法求和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，得，即， 所以，解得或（舍）． 又，所以． （2）由（1）得， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以． 64．(21-22高二上·陕西咸阳秦都区·期末)已知等比数列满足，，为数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到； （2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果． 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 解得：， ． （2）， ， 解得：． 65．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列基本量的计算即可得解. （2）由错位相减法结合等比数列求和公式即可得解. 【详解】（1）由题意设等比数列的首项为，公比为，且 所以， 又，所以解得， 所以数列的通项公式为. （2）若，则， 数列的前n项和， ， 两式相减得 ， 所以数列的前n项和. 66．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，． (1)求数列、数列的通项公式； (2)若，求证：数列的前n项和． 【答案】(1)， (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比； （2）求得，再由裂项相消求和即可得证． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 正项等比数列的公比为，， 由，，， 可得，， 解得，，舍去）， 则，； （2）证明： ， 所以 ． 地 城 考点04 数列求和问题 67．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求； (3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用已知构造数列证明等差数列，再应用基本量运算得出通项； （2）应用错位相减法计算求和； （3）把恒成立问题转化为最值，再应用作差得出数列的单调性得出数列的最小值即可计算求参. 【详解】（1）由，两边同时除以， 可得，即， 又，∴数列是首项、公差均为的等差数列， 由等差数列的通项公式可得， ∴． （2）由， 可得， ∴， ∴． （3）由对任意恒成立， 得，整理得恒成立， 令，则， 当时，，当时，，当时，， ∴，即的最小值为， 综上，，即实数的取值范围是． 68．(24-25高二上·陕西西安某校·期末)已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设（表示不超过的最大整数），求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，由可得出，两式作差可得出的表达式，当时，可得出的值，综合可得出数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得； （3）求得，对的取值进行分类讨论，结合分组求和法可求得数列的前项和. 【详解】（1）因为，① 当时，，② ①②，得，所以. 当时，由①得，适合， 故对任意的，. （2）因为， 可得， 上述两个等式作差可得， 因此，. （3）由（1）得， 因为，则， 当时，则，则； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，. 因此，所以的前项和为 . 69．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）得的通项公式，应用裂项相消法求. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，. （2）因为，所以， 所以. 70．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 71．(23-24高二下·陕西渭南华州区·期末)已知各项均为正数的等差数列前项和为，，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为，然后由已知条件列方程组求出，从而可求出的通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即， 所以，化简得， 解得或（舍去）， 所以， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 72．(23-24高二上·陕西西安周至县第六中学·期末)在各项都为正数的等比数列中，， (1)求数列的通项公式： (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为．可得，解出即可得出． （2）由（1）得：．再利用错位相减法即可得出． 【详解】（1）设等比数列的公比为． 则， 解得， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 即． （2）由（1）得：． 所以， ， ， ． 73．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项， (1)求的值，并求数列的通项公式： (2)若，求使成立的正整数n的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）由等差中项的性质列出方程，代入求出，代入得，再由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比即可求出； （2）由（2）和题意求出，利用错位相减法、等比数列的前项和公式求出，代入化简，求出正整数的最小值． 【详解】（1） 设等比数列的首项为，公比为， 依题意有，代入，可得， 代入得， ，解之得或（舍去） 数列的通项公式为． （2） ， ， ① ②， 由②①得， ， 由得，，则， 易知：当时，，当时，， 故使成立的正整数的最小值为． 74．(21-22高二上·陕西安康白河高级中学·期末)已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，通过，，成等比数列可求得，进而求出. （2）利用，再进一步裂项操作即可求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为（）， 因为，且成等比数列， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以. （2）由（1）可得，   所以     75．(18-19高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)设数列满足 (1)求数列的通项公式. (2)若数列的前n项和为，求. 【答案】(1)= (2) 【分析】（1）由，求出时的通项公式，再检验是否满足所求通项公式即可; （2）由（1）得到裂项相消进行求和即可. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 则 即， 又当时，则，满足 故 （2）由（1）可知 所以 76．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 77．(22-23高二上·陕西咸阳·期末)已知是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件可得出关于的等式，解出的值，再利用等差数列的通项公式即可求得的表达式； （2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，，则，，且， 又因为、、成等比数列，所以，即， 又，解得， 所以. （2）由（1）知， 所以. 78．(22-23高二上·陕西汉中·期末)已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足. (1)求和的通项公式： (2)若，求数列的前项和为. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）列出关于首项和公差的方程组求得；利用求得； （2）利用错位相减法求得. 【详解】（1）设的公差为d，由题意可得，解得，所以. ，时，， 时，，， 是以1为首项，3为公比的等比数列，. （2） . 79．(22-23高二上·陕西渭南临渭区·期末)设等差数列的前n项和为，若，；设数列的前n项和为，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设数列的首项为，公差为d，根据所选条件结合等差数列的通项公式及前项和公式得到方程组，解得、，即可求出的通项公式，由，根据，求出的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为d， 因为，， 则可得，则， 所以数列的通项公式为． 因为，所以当时，，则． 当时，，则， 所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以． （2）因为， 所以数列的前n项和①， ②， ①②得 ∴ ， 则． 80．设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，从而利用等差数列求和公式求出，再利用求出答案； （2）裂项相消法求和. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 又适合上式，因此； （2）， 故. 81．(21-22高二上·陕西安康白河高级中学实验班·期末)设数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）直接利用前n项和求出数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出数列的和． 【详解】（1）数列的前n项和， 当时，， 当时，，也满足． 所以． （2）由（1）得：， 所以，①， ，②， ①-②得： ， 故． 地 城 考点05 数列不等式 82．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中.已知数列满足，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据定义及等差数列的定义得，再应用累加法求的通项公式，同理得到，由等比数列的定义求的通项公式； （2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以是公差为1的等差数列，所以. 因为，所以，所以，即. 因为， 所以. 因为，所以. 因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即. （2）因为，所以，则， 所以， 故. 83．(24-25高二上·陕西西安某校·期末)已知数列的前项和为，且满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，结合裂项相消法可证得结论成立. 【详解】（1）因为，当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，则，即且， 所以，数列是等比数列，且其首项和公比都为. （2）由（1）可知，，则，所以，， 所以，. 84．(24-25高二上·陕西安康·期末)记公差为的等差数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出，再结合等差数列定义推理得证. （2）由（1）的信息求出并裂项，再利用裂项相消法求得证. 【详解】（1）依题意，， 因此，， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，则， 所以 . 85．(22-23高二上·陕西汉中·期末)等比数列的各项均为正数，且，设. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列，求证：数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解， （2）根据放缩法得，即可根据裂项求和进行求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 由题意得，解得， ； （2）由题意，， 86．已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记的前n项和为，若存在使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合，可证明是等比数列，求解即可； （2）乘公比错位相减法求和可得，代入，化简可得恒成立，结合单调性求解即可. 【详解】（1）∵，当可得， ， ∴， 即是以1为首项，的等比数列， ∴. （2）∵, ∴, , 两式相减： , ∴, ∴, ∴, 即存在使成立, ∵随着n增大，在减小, ∴当时，. 87．(25-26高二上·陕西神木中学·)已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式基本量的运算求解即可； （2）先判断数列的单调性，然后利用单调性求解数列最大值即可求解. 【详解】（1）由，可得，解得． 所以． （2）因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 88．已知数列的前n项和．若，且数列满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)求证：数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可； （2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可； （3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可； 【详解】（1）由题意知， 当时，，所以． 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 因为，所以， 所以，令，可得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减，可得 ， 所以，所以． （3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于． 因为， 所以，所以数列的最大项为和，且． 所以，即， 解得或，即实数的取值范围是． 89．(23-24高二下·陕西汉中西乡县第一中学·月考)已知数列的前项和为，且． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． (3)在（2）的前提下，若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据，作差得到 ，从而得到，即可得证，再由等比数列通项公式计算可得； （2）依题意可得则，利用错位相减法计算可得； （3）依题意可得（）恒成立，令，利用作差法判断的单调性，即可求出的最小值，即可得解． 【详解】（1）因为①， 当时，，所以． 当时，②， 由①－②得，即， 所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，故． （2）因为，所以， 解得，所以． 所以， ， 两式相减得 ， 所以． （3）由于对于任意，恒成立，即恒成立， 等价于的最小值大于． 令，则， 所以数列是递减数列，故数列中的最大值为， 所以的最小值为，所以当对于任意恒成立时，． 90．(22-23高二上·陕西商洛洛南中学·期中)在数列中，，点在直线上，，数列的前项和. (1)求； (2)是否存在整数（），使得不等式恒成立？若存在，求出的取值所构成的集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用即可证明等数列，运用裂项相消法可求出； （2）当数列中出现时一定要注意讨论n为奇数和偶数时不同的结果，利用参变分离求出参数的范围. 【详解】（1）因为，在直线上， 所以，即数列为等差数列，公差为2. 所以. 所以， 所以. （2）若存在整数使得不等式恒成立， 因为，所以恒成立. （i）当为奇数时，，即. 当时，的最大值为，所以只需 （ii）当为偶数时，，即. 当时，的最小值为，所以只需. 可知存在，且. 又为整数，所以取值构成的集合为. 91．已知数列中，，满足. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；； (2) 【分析】（1）利用递推关系式得，由此可证得是等比数列；由等比数列通项公式推导可得； （2）采用分组求和法可求得，分离变量可得，利用可知，由此可求得的范围. 【详解】（1）由得：，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列； ，. （2）由（1）得：， ，； 令，， 则当时，；当时，；， ，解得：，即实数的取值范围为. 92．(21-22高二上·陕西延安宝塔四中·)已知等差数列的首项a1＝1，公差，且第二项、第五项、第十四项成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和Sn； (3)在第（2）问的前提下，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)an＝2n－1 (2) (3)存在，8 【分析】（1）利用等差数列的通项公式将第二项，第五项，第十四项用的首项与公差表示，再据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列求出数列的通项公式； （2）利用裂项法求和，可得结论； （3），即，可求最大的整数t. 【详解】（1）∵，， ，∵d＞0，∴d＝2， ∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1； （2）， ∴； （3），即，∴，∴， ∴最大的整数t为8. 93．在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn； （3）是否存在k∈N*，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，19. 【分析】（1）由已知结合等比中项的性质可得a3＋a5＝5，再由a3a5＝4，求出a3、a5，进而求、a1，写出通项公式即可. （2）由（1）及已知可得bn＋1－bn＝－1、b1＝4，根据等差数列前n项和公式写出Sn； （3）由（2）知，则n＝8或n＝9时有最大值，进而可判断k的存在性. 【详解】（1）∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，则，所以(a3＋a5)2＝25，又an>0， ∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，即a3a5＝4，而q∈(0,1)，则a3>a5， ∴a3＝4，a5＝1，可得，a1＝16， ∴. （2）∵bn＝log2an＝5－n，则bn＋1－bn＝－1，又b1＝5－1＝4， ∴{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列， ∴. （3）由（2）知，. 当n≤8时，；当n＝9时，；当n>9时，. ∴当n＝8或n＝9时，最大. 故存在k∈N*，使得对任意n∈N*恒成立，k的最小值为19. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07 数列(5大题型) ☆5大高频考点概览 考点01数列的概念及其表示 考点02等差数列及其性质 考点03等比数列及其性质 考点04数列求和问题 考点05数列不等式 数列的概念及其表示 目目 考点01 1.(24-25高二下·陕西咸阳期末)南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高 阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项 的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2,3,6,11，则该数列的第27项为() A.676 B.678 C.731 D.733 2.(24-25高二下·四川绵阳外国语学校期中)已知数列{anJ中，a1=2,an+1=an+n(neN),则a4的值为 () A.6 B.7 C.8 D.9 3.(24-25高二上陕西咸阳期末)高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，南宋数学家杨辉 在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍蔓垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一 个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，则第8层小球的个数 为() A.35 B.36 C.46 D.49 4.(24-25高二上陕西西安鄢邑区·期末)已知数列1，-3,5，-7,9，，则该数列的第211项为() A.-421 B.421 C.-423 D.423 5,(24-25高二上·陕西西安鄂邑区·期末)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学 家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二 层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an,则a19=() 1/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.210 B.209 C.211 D.207 6.Q425高二上陕西西安鄂邑区期末)已知数列a,}满足au=sin(一+君》其前n项和为S:则Sz02s= () A,-③ 2 B.月 C.⑤ 2 D.月 7.(24-25高二上陕西榆林期末)已知数列{an的首项为1，且an+1-an=2”(n∈N),bm=2log2(an+1)-1, 设数列bn}中不在数列{an}中的项按从小到大的顺序排列构成数列{cn,则数列{cn}的前200项和为() A.42602 B.42609 C.42770 D.42762 8.(24-25高二上·陕西安康·期末)数列{a}满足a1=8,an+1=an-n,则数列{2nan}的最大项为() A.16 B.28 C.30 D.34 9.2425高=上陕西安康期末已知数列a,}满足am+1(1-a)=a+1a1=,则a0=（) A.5-1 B.2-V5 C.2+5 D.5+1 2 10,(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样 一列数：1,1,2,3，；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻 两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为{a},则以下结论中错误 的是() A.a5=5 B.a6=8 C.a+a2+…+a2=AnQnt1 D.a好+a吃+…+a=a2+1 11,(20-21高二上陕西渭南华阴·期末)历史上数列的发展与研究，给人类提供了许多有价值的数学思想方 法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家莱昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数 列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，即F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fm-2(n≥3，n∈N.此数列在现代物 理及化学等领域有着广泛的应用，若将数列{F}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列 {an},则数列{an}的前81项和为() A.162 B.81 C.54 D.27 12.(21-22高二上·陕西渭南韩城新蕾中学·月考)我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数 列的相关问题如果an+1-an=bn(nEN,且数列{bn}为等差数列，那么数列[an}为二阶等差数列现有二 阶等差数列的前4项分别为1,3,6,10，则该数列的前10项和为() A.120 B.220 C.240 D.256 13.(24-25高二上陕西西安西北工业大学附属中学期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,an+1=3an+2,且 2/13 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S2=26,则() A.a1=2 B.{a,+1}是等比数列 c.{Sn-an}是等差数列 D.存在r,s,t且r<s<t,使得a,as,a成等差数列 14.(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知数列{a}的前n项和Sm=-n2+31n,则下列说法正确的是 () A.an=32-2n B.Sn取得最大值时，n=15 C.lal+la21+.+la16l =240 D.lal la2l+..+la301 =465 15.(多选)1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1,1,2,3,5,8， 13,21,,该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.记Sn为该数列的前 n项和，则下列结论正确的有() A.a11=89 B,a2023为偶数 C.a1+a3+a5+…+a2023=a2024 D.a2+a4+a6+…+a2024=S2023 16.23-24高二上陕西西安西北工业大学附属中学期末)已知数列{an}满足a1=2,且(n+1)am+1-nan= 2”,则以下正确的有() A.a4=4 B.数列{nan}是等差数列 C.数列{na}是等比数列 D.a=2 17.(23-24高二上陕西西安莲湖区·期末)已知数列{an}满足a1=26,3a+1=an-2,Sn为{an3的前n项和， 则() A.{an+1}为等比数列 B.{a}的通项公式为am=3n4-1 C.{a}为递减数列 D.当n=4或n=5时，Sm取得最大值 18.(24-25高二上陕西安康期末)设数列{an}满足an+1十an=6n+3,且an+1>an,则a1的取值范围 为】 3/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3an 19.(23-24高二上陕西西安鄂邑区·期末)已知数列{an}满足a1=1,a+1=20+3则a211= 20.(20-21高二上陕西渭南富平县期末)己知数列[an}满足a1=1,a+1-an=n+1(nEN),数列2的 前n项和为Sm,则满足Sn≥的n的最小取值为 21.(21-22高二上陕西西安蓝田县期末)一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于一个常数，则 称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和数列{an}的公和为2，前n项和为Sn,若S2o21 =2024,则a1= 目目 考点02 等差数列及其性质 22.(24-25高二下·陕西渭南大荔县·期末)已知等差数列{an}中，a2=4,a5=12,则S6等于() A.48 B.49 C.55 D.54 23.(24-25高二上陕西咸阳期末)在等差数列{an}中，a1+a3=12,则a2=() A.8 B.7 C.6 D.5 24.(24-25高二上陕西西安新城区期末)设等差数列{a}的前n项和为Sn,若a5+ag<0,S11>0,则Sn的 最大值为() A.S5 B.S6 C.S7 D.Sa 25.(24-25高二上陕西西安鄂邑区期末)已知数列{am}为递增的等差数列，若a3+a12=13,a5a10=36,则 {an的公差为() A.4 B.3 C.2 D.1 26.(24-25高二上陕西榆林第一中学期末)渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休 年龄对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六 十周岁延迟至六十三周岁如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时 1965年1月 1965年5月 1965年9月 1966年1月 间 -4月 -8月 -12月 一4月 改革后 法定退 60岁+1个月 60岁+2个月 60岁+3个月 60岁+4个月 休年龄 那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为() 4/13 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 A.62岁3个月B.62岁5个月 C.62岁8个月 D.63岁 27.(24-25高二上陕西榆林第一中学期末)已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn,且a7,6a6,ag成 等差数列，则=（） A.10 B.15 C.18 D.20 28.(24-25高二上·陕西安康期末)已知等差数列{an}的公差为3，a4=0,记数列an}的前n项和为Sn,则S8= () A.12 B.24 C.36 D.48 29.(24-25高二上陕西榆林期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若S4=4,S12=9,则S8=() A.20 B.16 C.7 D.2 30.(24-25高二下·陕西渭南大荔县期末)数列{a}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则下列说法正确的 是() A.{an}是递增数列 B.a10=-12 C.当n>4时，am<0 D.当n=5时，Sn取得最大值 31.(54-25高二上陕西西安铁一中学·期末)设等差数列{an}的前n项和为Sm,a2025>0,且a2024+a2027<0, 则() A.{3an}是等比数列 B.{}是递增的等差数列 C.当Sn>0时，n的最大值为4048 D.1≤m≤2025，meN=2aam 32.(24-25高二上陕西西安鄂邑区·期末)已知等差数列{a}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q≠1，则下 列选项正确的是() A.若d>0,则{an}单调递增 B.若q>1,则bn}单调递增 C.{a}可能为等差数列 D,Ibnl+1}可能为等比数列 33.2425高二下陕西渭南大荔县期末)已知数列a,和b,都是等差数列，且前n项和分别为S,T,若产 =3凯+1 34.(24-25高二上·陕西咸阳永寿县中学·期末)已知等差数列{an}满足a1=4,ag=8,则数列{an}的前n项和 Sn=:记数列{1}的前n项和为1n,则T0 Sn-an 2) 35.(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若S19=38,则a10= 36.(23-24高二上陕西咸阳期末)在等差数列{a}中，若a3十ag=26,则a3+3a7= 5/13 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 〔an-6,n为奇数 37.24-25高二上陕西师范大学附属中学期未已知a为等差数列，bhm=“2a,m为膏装，记S1n分别为 数列{am{bn}的前n项和，S2=12,T3=16. (1)求{a}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn 38.(2425高二上陕西榆林八校联考期末)已知S,是数列a的前n项和，若a1=2,{于}是等差数列，3 S4=4S3+12. (1)求Sn: (2)求数列{an}的通项公式. 39.(23-24高二上陕西西安西安南开高级中学期末)等差数列{a}的公差为d,数列{am}的前n项和为Sm: )已知a1=多d=京Sm=-15,求m及am: (2)已知a1=1,an=-512,Sm=-1022,求d. 40.(23-24高二上·陕西宝鸡金台区期末)已知等差数列{a}的前3项和是24，前5项和是30 (1)求这个等差数列的通项公式： (2)若Tn是{an}的前n项和，则Tn是否存在最大值？若存在，求Tn的最大值及取得最大值时n的值；若不存 在，请说明理由 数列求和问题 目目 考点03 41.(24-25高二下·陕西汉中·期末)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6=3S3,Sg=14,则S6=() A.4 B.6 C.7 D.8 42.(2425高二上陕西西安新城区期末)已知等比数列{an}中，a1=-16,a4=2,则公比q=() A.2 B.-2 c.月 D.2 43.已知{an}为等比数列，Sn为数列{an的前n项和，an+1=2Sn+2,则a4=() A.3 B.18 C.54 D.152 44.(10-11高二上·陕西宝鸡金台区·期末)以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（) (1)“b2=ac”是“b为a、c的等比中项”的充分不必要条件； (2)“1al>b'是“a2>b2的充要条件： (3)“A=B”是“tanA=tanB的充分不必要条件； 6/13 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (4)“a+b是偶数”是“a、b都是偶数”的必要不充分条件 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 45.(23-24高二下·陕西榆林)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差不为0，若a4,a5,a7构成等比数列， S11=66,则ag=() A.7 B.8 C.10 D.12 46.(23-24高二上陕西宝鸡金台区·期末)已知a=4+2V3,c=4-2V3,以下结论中错误的是() A.若a,b,c三个数成等差数列，则b=4 B.若a,b+V3,b,b-V3,c五个数成等差数列，则b=4 C.若a,b,c三个数成等比数列，则b=2 D.若a,b,c三个数成等比数列，则b=士2 47.(23-24高二上·陕西西安陕西师大附中期末)记Sn为等比数列{an的前n项和，若a1=2,am+n=aman,则 =() an A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 48.(23-24高二上陕西榆林)己知数列{a}是以1为首项，2为公比的等比数列，数列b}是以1为首项，2 为公差的等差数列，则ab,十ab2十ab十ah4=（） A.255 B.85 C.16 D.15 49.(21-22高二上·陕西铜川阳光中学期末)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sm,且S8-2S4=4,则ag+ a10+a11+a12的最小值为() A.20 B.16 C.9 D.8 50.(20-21高二上·陕西渭南富平县·期末)设Sn为正项递增等比数列{an}的前n项和，且a3=4,a2+a4 =10,则56=() A.63 B.64 C.127 D.128 51,(24-25高二上·陕西西安新城区期末)已知等比数列{a}是递减数列，q是其公比，则下列说法一定正确 的是() A.a1<0 B.q>0 C.a1q<0 D.a1(q-1)<0 52.(24-25高二上陕西榆林八校联考期末)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn=1-an,则下列结论正确的 是(). A.数列{an是等比数列 B,数列{an}是等差数列 C.a=是 D.S=1- 7/13 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 53.(24-25高二下陕西安康期末)己知{an}为公差为1的等差数列，且a1,a2,a4依次成等比数列，则a1 54.(24-25高二上陕西西安第八十五中学·期末)已知{an}为等比数列，且a3=3,a6=81,则公比 9=， 55.(24-25高二上陕西咸阳期末)设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=3,S6=9,则Sg 56.(24-25高二上·陕西榆林第一中学期末)已知正项等比数列{am}的前n项和为Sn,若S4=4,则S2+S6的 最小值为 57.(24-25高二上陕西安康期末)已知数列{a}是公比为q的等比数列，且a5+a6=2a7,则q=」 58.(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知等差数列{a}公差d≠0，由{a}中的部分项组 成的数列abab,ahg,an为等比数列，其中b1=1,b2=3,b3=7.则数列bn3的前10项之和为 59.(23-24高二上陕西宝鸡金台区期末)等比数列{an}中，a1+a3=5,a2+a4=10,则a5= 60.(2425高二上陕西西安西北工业大学附属中学期末)已知等差数列{a,}满足a2+a5=12,a6=11,正 项等比数列bn}满足b1bn=211 (I)求{an}的通项公式； (2)求bn}的前n项积Tn 61.(24-25高二上·陕西榆林第一中学期末)设数列{a}的前n项和为Sm,己知首项a1=1,ant1=3Sn (nEN). (I)求数列{an}的通项公式： (2)在数列{bn}中，bn=a,+log4Sn,求数列bn}的前n项和Tn 62.(24-25高二上陕西安康期末)设正项等比数列{an}的公比为q(q为已知常数)，且数列{bn}满足bnbn+1= a呢 0)求2的值 ②若1=1，D2=2,求日的前2n项和2n 63.(2425高二上陕西榆林期末)已知公比为正数的等比数列a,}的前n项和为5，且a3=53=号 (1)求{a}的通项公式： (2)若bn=log3an,求数列{anbn的前n项和Tn 64.(21-22高二上陕西咸阳秦都区期末)已知等比数列{an}满足a1=1,a4=8,Sn为数列{an}的前n项 8/13 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 和. (I)求数列{an}的通项公式； (2)若Sn=63,求n的值， 65.(23-24高二上陕西宝鸡金台区期末)已知等比数列{an的前n项和为Sn,且an+1=Sn+3(neN+) (I)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=n+1,令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn 66,(23-24高二上陕西西安西北工业大学附属中学期末)已知数列{an}是等差数列，数列b,n}是正项等比数 列，且a1=b1=1,ag+b2=8,a5=b3: (I)求数列{an}、数列{bm的通项公式； (②若c=(n门.求证：数列c的前n项S和,< 目目 考点04 数列求和问题 67.(24-25高二上陕西咸阳期末)己知数列{an}满足am+1=2am+2"(neN),a1=1. (I)求数列{a的通项公式： (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sm; (3)在(2)的条件下，若Sn+4n+1≤2an对任意nEN恒成立，求实数的取值范围. 68.2425高二上候西西安莱校期末已知数列a,满足片+后++2=1-六neN. a a2 (I)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn: (3)设bn=[1og2a】([x表示不超过x的最大整数)，求数列{bn}的前100项和 69.(24-25高二上陕西西安鄂邑区·期末)设数列{an}的前n项和为S,a1=2,an+1-4an=0. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)bn=logaan logan+i' 求数列{bn}的前n项和Tn 70.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N. (1)求数列a}的通项公式； (②)若bn=3n-1,令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn 71.(23-24高二下·陕西渭南华州区期末)已知各项均为正数的等差数列{an}前n项和为Sn,a2·a4=8,S5 =15; 9/13 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (1)求数列{an}的通项公式： (②)设bn=2n-1,求数列{an·bn}的前n项和Tn 72.(23-24高二上陕西西安周至县第六中学期末)在各项都为正数的等比数列{a}中，Q2=9,a5=243, (1)求数列{an}的通项公式： (②)记bn=nan,求数列bn的前n项和Sn 73.(23-24高二上陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知单调递增的等比数列{a}满足：a2+a3+a4 =28,且a3+2是a2,a4的等差中项， (1)求a3的值，并求数列{an}的通项公式： (2)若bn=anlog an,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值 74.(21-22高二上·陕西安康白河高级中学期末)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1,且a1,a2,a5成等 比数列. (I)求数列{an}的通项公式： (②求数列。1—的前n项和Sn (2an:an+i) 75.(18-19高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)设数列{an}满足4Sm=n(n+1),n∈N (I)求数列an的通项公式 2)若数列。1一}的前n项和为Tn,求Tn (n+1)an) 76.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=1,2Sn=nam· (I)求{an}的通项公式； 2)求数列2丹}的前n项和Tn. 77.(22-23高二上陕西咸阳期末)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=1,且a1、a2、a5成等比数列 (I)求数列{an}的通项公式： 2 (②)设bn=a,ar,求数列bn的前n项和Sm 78,(22-23高二上·陕西汉中期末)已知数列{anJ为等差数列，a2=3,a6=2a3+1,数列{bn3的前n项和为Sn, 且满足2Sm+1=3bn (I)求{an}和bn}的通项公式： (2)若cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和为Tm 79.(22-23高二上陕西渭南临渭区期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S3十a6=20:设数 10/13