专题09 解答题压轴精选（期末真题汇编 陕西专用）高二数学上学期

专题09 解答题压轴题精选 板块01 空间向量与立体几何 板块02 直线与圆 板块03 圆锥曲线 板块04 数列 空间向量与立体几何 地 城 板块01 1．(25-26高二上·陕西西安庆安高级中学·月考)如图1，在四边形ABCD中，，，，将四边形ABCD沿着对角线AC折起，使点D到达点P的位置（如图2所示），且二面角的平面角为.    (1)证明：. (2)已知P，A，B，C四点均在球O的球面上. ①请在答题卡的图中标记出O的位置，并说明理由. ②已知M是线段AB上的一个动点，且，平面PMC截球O所得截面的面积为S. （a）求O到平面PMC的距离d（用含的代数式表示）； （b）求S（用含的代数式表示），并求S的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)①球心是线段的中点，理由见解析；②（a）；（b），. 【分析】（1）取中点，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）①利用线面垂直、面面垂直的性质及球面的性质确定球心位置；②以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出，再利用球面性质求出截面圆面积，进而求出面积的范围. 【详解】（1）取中点，连接， 由，，得， 而平面，则平面，又平面， 所以.    （2）①由（1）知，平面，而平面，则平面平面， 由，，得是外接圆圆心，， 而四点均在球O的球面上，则平面，平面，， 在中，，，，外接圆圆心在上， ，，显然平面，而平面， 则，由（1）知是二面角的平面角，即，，， 点到平面的距离，即点是线段的中点， 所以球心是线段的中点.    ②由①知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ，，， （a）设平面的法向量为，则， 令，得，因此， 所以点O到平面PMC的距离. （b）球的半径，平面截球所得截面圆半径， 因此， 由，得，， 所以的取值范围是. 2．(25-26高二上·陕西西安鄠邑区第四中学·月考)如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动.    (1)当为线段的中点时， ①求证：； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)设，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)①证明见解析；②； (2). 【分析】（1）以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角． （2）由题设，设直线与平面所成的角为，由向量坐标法用表示出，设，设，由导数法求得范围. 【详解】（1）以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则 ，， 因为分别是棱的中点，所以， 当为线段的中点时，则， ①因为，，所以，即； ②因为，，设平面的一个法向量为， 由，，得，取，则， 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 则 ， 因为为锐角，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为 （2）因为在线段上，且（）， 所以，可得，则， 因为，设平面的一个法向量为， 由，得，取，则， 设直线与平面所成的角为 则， 因为，所以，设，则， 所以，设，则， 设，可得的取值范围为， 所以的取值范围为， 即直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为. 3．(25-26高二上·陕西安康·期中)如图，在三棱台中，平面，.    (1)求的值； (2)若，二面角的大小为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，连接，根据条件及面面垂直的性质，可得平面，进而可得，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，设，进而根据条件可设，分别求出平面和平面，根据条件可得，在中，过作于，设，从而可得，再利用平方关系，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接，因为，则， 因为平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 则，又由棱台的性质知，所以四边形为平行四边形， 则，所以. （2）如图，过作，且平面，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以， 过作 于，同理可证得平面，所以， 又，所以四边形为平行四边形，则，， 由棱台的性质及（1）知，所以为中点，又，则， 又，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则由，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，则，所以， 由题知，整理得到，得到 在中，过作于，设， 则，得到，又， 所以，整理得到， 解得或（舍），所以.    4．(25-26高二上·陕西山阳中学·期中)如图，已知直三棱柱，，，为的中点.    (1)求点到平面的距离. (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标，利用坐标法求点到面的距离即可； （2）利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以点到平面的距离为：， 所以点到平面的距离为； （2）由（1）有平面的一个法向量为， 显然平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为. 5．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可． 【详解】（1）因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以， 所以在折叠后，，； 以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 为中点，所以，， 设平面的法向量为，又，， 所以，即，令，则，，所以， 所以，则， 所以平面； （2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为， ，即，令，则，，所以， 设平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为． 6．(25-26高二上·陕西西安中学·)如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)判断直线是否在平面，说明理由； (3)是线段上的动点，是否存在点G使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)在，理由见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）利用直线与平面判定定理求解 （2）（3）建立空间直角坐标系，空间向量法求线面角以及判断直线与平面位置关系。 【详解】（1）证明：平面，，， ，，平面，平面， 平面． （2）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，. 直线在平面内，理由如下： 点在上，且， 面的一个法向量为， 则，取，得， 平面的一个法向量为， ， 故直线在平面内． （3）点在上，设，， 面的一个法向量为， 则，取，得， 要使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，则，解得，满足条件. 所以，存在点G，为线段BP的靠近点P的三分点. 7．(25-26高二上·陕西咸阳高新一中·)如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形， 为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】(1)由余弦定理求出，由勾股定理得，由面面垂直的性质定理可证得平面从而得到； (2)由（1）得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得点到平面的距离； (3)假设线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为.设根据（2）建立的空间直角坐标系，根据平面与平面夹角的向量求法，构建关于的方程，求出的值，即可求得的值. 【详解】（1）证明：在中，因为 所以 所以所以 又平面平面平面平面平面 所以平面 又平面所以. （2）由（1）知平面 平面，所以又所以两两垂直. 以所在的直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 因为四边形是平行四边形，所以，所以， . 设平面的一个法向量 因为 所以即 令则所以 所以点到平面的距离. （3）假设线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为. 设由（2）知,则 所以 设平面的一个法向量因为 所以即 令则所以 由（2）知平面的一个法向量为： 设平面与平面的夹角为则 解得或（舍）. 所以存在点使得满足要求，此时即. 8．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)如图1，在梯形ABCD中，，，．将沿BD折起到的位置，如图2，记二面角的平面角为．    (1)若，求PB与平面PCD所成角的余弦值； (2)若，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值； (3)若点B到平面PCD的距离为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】分析图1折叠到图2后，有哪些量是不变的量，并找到底面的垂直关系，建立空间直角坐标系，根据已知条件分别确定3个小题中点P的坐标，然后利用向量分别解决对应小题中的问题. 【详解】（1）取棱BD的中点E，棱CD的中点F，连接PE，PF，EF. 图1中：因为梯形ABCD中，，，， 所以所以. 中，由余弦定理得： 所以.所以，所以. 图2中，所以； 因为，所以,所以. 以点E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EF所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则. 若，则所以，且 因为平面,且，所以平面. 所以点，则，. 设平面的法向量为，则， 所以，令,则， 所以平面的一个法向量为. . 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为， 所以PB与平面PCD所成角的余弦值为. 方法二：中，，所以. 所以,. 因为，所以点B到平面的距离. 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为， 所以PB与平面PCD所成角的余弦值为.    （2）由(1)知：.以点E为坐标原点，ED所在直线为x轴， EF所在直线为y轴建立空间直角坐标系. 则， 设 ，则，，所以. 因为，，，所以， 解得：，所以， . 设平面的法向量为，由得. 令，则.所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，由得. 令，则.所以平面的一个法向量为. . 所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为. （3）由(1)知：.以点E为坐标原点，ED所在直线为x轴， EF所在直线为y轴建立空间直角坐标系. 则， 设 ，则，. 因为，，所以，所以：. 因为. 设平面的法向量为， 由得. 令，则.所以平面的一个法向量为. 因为,所以点B到平面PCD的距离为， 整理得：，所以，或（舍去）. 所以，所以. 9．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是正三角形，，，．    (1)判断棱上是否存在点，使得； (2)求在平面上的投影向量的模． 【答案】(1)不存在 (2) 【分析】（1）取的中点，通过平面，建系，由求解即可判断； （2）求得平面法向量，由点到面的距离公式即可求解. 【详解】（1）    如图，取的中点，连接，． 因为和为正三角形，所以，， 因为，平面，所以平面， 以为坐标原点，，所在直线分别为轴，过垂直于底面所在直线为轴建立空间直角坐标系， 在中，，， 所以，即， 则，，，，， 设， 则， 由， 可得，不满足， 所以棱上不存在点，使得； （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，取得， 因为，所以点到平面的距离. 所以在平面上的投影向量的模 10．(24-25高二上·陕西榆林·期中)如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面.    (1)求平面与平面所成二面角的正弦值； (2)已知分别是线段上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图通过证明平面，可建立以点为原点的空间直角坐标系，后可求出平面与平面的法向量，结合空间向量知识可得答案； （2）由题可得平面的法向量，后设，可得点到平面的距离关于的表达式，即可得答案. 【详解】（1）取的中点分别为，连接， 因为底面是正方形，所以， 因为是正三角形，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    由题意：， ， 设平面的法向量为，所以， 即，令，则， 即平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为， 则， 所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为. （2）因为分别是线段上一点， 且， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，即平面的一个法向量为， 设， 则， 所以点到平面的距离， 解得（舍去），即. 11．(24-25高二上·陕西延安中学·月考)如图，已知菱形和菱形的边长均为，，分别为上的动点，且.当的长度最小时, (1)求； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形性质以及边长利用线面垂直性质定理建立空间直角坐标系，得出，即可计算出的长度最小时； （2）利用点到平面距离的向量求法，求得平面的法向量代入计算即可得出结果. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由菱形和菱形以及可得为等边三角形， 可得， 又平面，则平面， 又平面，于是平面平面； 在平面内作，平面平面，所以平面； 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则 由可得，由可得； 所以，， 由可得； 所以， 可得， 当时，的长度最小； （2）此时，； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，即； 所以点到平面的距离为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据几何体性质利用线面垂直、面面垂直性质定理等建立空间直角坐标系，再根据向量相等得出要求点的坐标可求解. 12．(24-25高二上·陕西陕西师范大学附属中学·)如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点，   (1)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （2）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. （2）连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 13．如图1，已知在正方形中，，，，分别是边，，的中点，现将矩形沿翻折至矩形的位置，使平面平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)设是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先利用面面垂直的性质定理证得平面，得，然后结合得到平面，最后利用面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）可以建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解，也可以利用二面角的定义找到二面角的平面角，然后在三角形中进行求解． 【详解】（1）因为四边形是正方形，，分别是边，的中点， 所以是直角，且平行且等于，即四边形是矩形， 进一步有， 因为平面平面，平面平面， 且平面，， 所以平面， 因为平面，所以． 易知，则，所以． 因为，平面，平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） 解法一：由（1）可知，，，三条直线两两垂直，故可以为坐标原点， 分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示．则，，，， 从而，． 由题设，则， 又，则． 设平面的法向量为，则，得， 取，则，，得． 由（1）知，是平面的一个法向量， 所以，解得，故． 解法二：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接． 因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，即平面， 又平面， 则， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 则， 所以为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面， 所以平面平面， 所以二面角为直二面角， 所以二面角的正弦值等于二面角的余弦值， 所以，所以. 由题可设，则，， 所以在中，， 解得，故. 【点睛】关键点点睛：利用向量法解决立体几何中的空间角问题，关键在于依托图形建立合适的空间直角坐标系，将相关向量用坐标表示，通过向量的坐标运算求空间角，其中建系的关键在于找到两两垂直的三条直线． 14．(23-24高二上·陕西咸阳实验中学·月考)如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：    (1)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (2)求锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据点面距公式求得正确答案. （2）利用向量法求得锐二面角的余弦值的表达式，结合函数的单调性求得其取值范围. 【详解】（1）连接，依题意可知平面， 由于平面，所以， 由于三角形是等边三角形，所以，，又， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    则，， 又，故，， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 又，所以点到平面的距离为. （2）设，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设锐二面角为， 则 ， 令， 所以， 设， 则， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增， 所以当时，该二次函数有最小值， 当时，该二次函数有最大值， 所以，即. 所以锐二面角的余弦值的取值范围. 15．(23-24高二上·陕西榆林府谷中学·月考)图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）.    (1)证明:平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先分别证明、，由此即可证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，设，分别求出求平面与平面的法向量（含有参数），由公式即可表示出（它可以看成是关于的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解. 【详解】（1）因为是等边三角形，点是棱的中点， 所以， 又平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）在平面中，过点作, 由（1）可知，， 所以，， 又平面，平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：    因为是等边三角形，， 所以，，， 因为 ，所以 设所以， 所以 设平面的法向量为， 又 所以，即 ， 令，得所以平面的一个法向量为 设平面的法向量为 ， 又 所以 ，即 ， 令，得 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以， 设，因为， 所以，所以， 所以， 设，则由复合函数单调性可知 在时单调递增， 所以当 时，即时，取到最小值. 【点睛】关键点点睛：本题第一问比较常规，其关键是转换为线面垂直，且要通过分析找出那条直线与另外一个平面垂直，而第二问的关键首先要想到有动点就有参数，设法将两平面夹角的余弦值转换为关于参数的函数，从而求函数最小值即可. 16．(23-24高二上·陕西部分学校·)如图，在四面体ABCD中，，，，，，E，F，G分别为棱BC，AD，CD的中点，点在线段AB上.    (1)若平面AEG，试确定点的位置，并说明理由； (2)求平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围. 【答案】(1)为AB的中点，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得平面AEG，再利用线面平行的性质定理得，即可确定点的位置； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面夹角余弦值的函数，利用二次函数知识求解余弦值的范围，然后利用余弦函数的单调性求解角的范围即可. 【详解】（1）若平面AEG，则为AB的中点，理由如下： 因为E，G分别为BC，CD的中点，所以. 因为平面AEG，平面AEG，所以平面AEG. 若平面AEG，只需即可. 因为为AD的中点，所以为AB的中点. （2）过点D作平面ABC，垂足为，连接OE，OA. 设，因为，， 所以，，， 所以. 在中，，. 因为，所以，解得. 所以. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，. 过点作，垂足为，作，垂足为. 设，则，，所以. 则，，， . 设平面AEG的法向量为， 则，令，则. 设平面CDH的法向量为， 则，令，则. 所以. 当时，. 当时，，令， 则.又函数在上单调递增， 所以，所以， 即.综上， 设平面AEG与平面CDH的夹角为，则，， 因为函数在上单调递减，所以， 所以平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题考查了线面平行的判定及性质定理、以空间面面角的向量求法，解答的难点在于求出平面夹角的余弦值之后，要对其表达式进行变形，从而结合二次函数的单调性求得余弦的最值，从而利用余弦函数的单调性得到其取值范围. 地 城 板块02 直线与圆 17．(25-26高二上·陕西山阳中学·期中)已知，，，直线的方程为，圆过，，三个点. (1)求圆的方程； (2)设点是直线上的任意一点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是4，求的值； (3)设直线与圆相交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）分析可知圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，求对应的中垂线方程，进而可得圆心和半径； （2）根据题意结合切线性质分析可得，即圆心到直线的距离，代入运算即可； （3）设，，联立方程可得，，利用韦达定理可得，即可得结果. 【详解】（1）因为圆过，，三个点， 可知圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， 且线段的垂直平分线的方程为， 可得，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. （2）因为，解得， 当且仅当时，取到最小值， 即圆心到直线：的距离，解得或， 所以的值为或. （3）若，则直线：， 联立方程，消去y可得， 则， 设，， 则，， 可得， 所以. 18．(25-26高二上·陕西安康·期中)设为曲线不过原点的部分曲线. (1)求与轴，轴的交点坐标； (2)求围成的图形面积； (3)若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 【答案】(1)与轴的交点为，与轴的交点为 (2) (3) 【分析】（1）根据曲线方程，令和，得到相应的方程求解即可； （2）分当，，和四种情况，得出曲线围成的图形，从而将问题转化成个半圆的面积及个直角三角形的面积和，即可求解； （3）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可求解. 【详解】（1）令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标； 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标， 所以与轴的交点为，与轴的交点为； （2）当时，由得到， 即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 所以曲线围成的图象如图所示，由（1）知， 又直线的方程为，易知直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 所以曲线围成的图形面积为个半圆的面积及个直角三角形的面积和， 即 ； （3）当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得或（舍）， 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得（舍）或， 又曲线不过原点，由图知，要使直线与有且仅有两个公共点，则， 所以的取值范围为.    19．(25-26高二上·陕西榆林·期中)已知圆，直线． (1)求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点； (2)设直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得直线截圆所得的弦最长或最短？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)存在实数使得所得的弦最长，不存在实数使得所得的弦最短 【分析】（1）证法1：联立直线与圆的方程，得出判别式大于0，从而证明结论；证法2：利用点到直线的距离公式求出圆心到半径的距离，利用得出直线与圆的位置关系证明结论； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合勾股定理构造方程求出，进而求出直线方程； （3）先求出直线恒过定点，再利用过定点的直线与圆的位置关系讨论求解． 【详解】（1）证法1：联立直线与圆的方程得， 整理得， ， 直线与圆总有两个不同的交点． 证法2： 圆，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为：， 又，， 直线与圆总有两个不同的交点． （2）设圆心到直线的距离为，则， 如下图所示，，取中点， 则，，   ，， ，即，解得， 直线的方程为或． （3）， 由，解得， 直线过定点，如下图所示：    当直线过圆心时，直线截圆所得的弦最长， 此时，直线的方程为， 存在实数使得直线截圆所得的弦最长； 当直线时，直线截圆所得的弦最短，设直线的斜率为，则， ，， 直线的斜率不存在，故不存在实数使截圆所得的弦最短． 存在实数使得直线截圆所得的弦最长，不存在实数使截圆所得的弦最短． 20．(25-26高二上·陕西西安庆安高级中学·月考)如图，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射.我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率.    (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角（）是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围. (2)已知直线：，：，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点P. ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点P射出，从真空射入该介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求该介质的折射率. 【答案】(1) (2)①7；② 【分析】（1）根据题意可得，则，结合折射率的定义运算求解即可； （2）①求点关于直线、的对称点分别为，根据对称性求该光线经过的路程长度；②求法线和入射光线的倾斜角，结合题意求入射角和折射角，结合折射率的定义运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，则， 可得该介质的折射率为， 所以该介质的折射率的取值范围为. （2）①设光线与直线、的交点分别为，点关于直线、的对称点分别为， 则，解得，即； 且，解得，即； 所以该光线经过的路程长度为；    ②由直线：可知法线所在直线斜率，其倾斜角为， 则直线的方程为， 联立方程，解得，即， 则直线的方程为，其倾斜角为，可得入射角， 又因为折射光线所在直线的斜率为，其倾斜角为，可得折射角， 则， 所以该介质的折射率为. 21．(24-25高二上·陕西安康·期中)若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； (2)若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）. (2)，或， 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【详解】（1）（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以 . （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以 . 所以的取值范围是. （2）设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即 ， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 【点睛】关键点点睛：解决此类题目，关键在于理解所给的新定义，利用新定义去解决问题，对能力要求较高. 22．(24-25高二上·陕西西安铁一中滨河高级中学·期中)已知圆：，过点的直线与圆相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. (1)求的坐标； (2)过且斜率不为零的另一条直线与圆交于，两点，在线段上，设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过为以为斜边的等腰直角三角形，确定为的中点，即可求解； （2）设直线方程为，，，联立圆方程，结合韦达定理，通过 可求证 【详解】（1）因为直线与圆相切，切点为，所以 由，所以为以为斜边的等腰直角三角形， 由第一象限的点在轴上的射影为，所以为的中点， 所以点的坐标为. （2）证明：因为为线段的中点，所以， 设直线方程为，， 联立方程组，得， ，且，因为， 则，则，则由图知，， 则,直线方程为， 直线方程为，令得，即， 则 ， 所以，又，所以与轴平行. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 23．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·开学考)已知圆O：与圆E：内切． (1)直线l：与圆O交于M，N两点，若，求k的值； (2)过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦为AB和CD，若，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两圆内切得到，联立与，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出的值； （2）先考虑直线斜率不存在时，，当直线或直线的斜率为0时，不满足倾斜角互补，直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，利用垂径定理得到求出，表达出，利用基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）由题意得， ，故，圆E的半径为， 由于，故在圆E上， 故，所以，其中，解得， 与联立得， 恒成立， 设，则， 故， ，解得； （2）当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在， 此时，， 当直线或直线的斜率为0时，不满足倾斜角互补， 当直线的斜率存在且不为0时，设直线：， 圆心到直线的距离， 故， 由于直线的方程为， 故， 则 ， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 综上，. 【点睛】方法点睛：圆中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 24．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若，其中O为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线l方程为：.因与圆有两个交点，则其到圆心距离小于半径. （2）将与圆方程联立，消去，利用韦达定理结合求出k.，并由此算出的面积. 【详解】（1）由题设直线l方程为：， 则其到圆C圆心距离为. 解得. （2）将与联立得：，消去得：. 由题其大于0，则设.由韦达定理有： ， 又 则 ，得. 得直线l方程为：，其过圆心，故 直线l到原点距离为. 故. 【点睛】关键点点睛：本题涉及直线与圆的位置关系，及利用韦达定理解决问题.注意以下两点：（1）处理圆与直线的位置关系时，常利用几何意义. （2）对于较复杂直线与圆的综合题，常利用韦达定理. 25．(21-22高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·月考)已知圆：及其上一点. (1)设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)设点满足：存在圆上的两点，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用圆与直线相切，圆与圆外切的性质求出圆的圆心，进而得到圆的标准方程； （2）由直线平行得出斜率相等，再利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解； （3）先将，的坐标关系表示出来，再将坐标代入圆中进行坐标转化，得到两个圆有公共点，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）解：将圆化为标准方程得： 圆心，半径为 由圆心在直线上，可设 圆与轴相切，与圆外切 于是圆的半径为，从而，解得 圆的标准方程为： （2）解：直线平行于 直线的斜率为 设直线的方程为即 则圆心到直线的距离 且 解得或 故直线的方程为：或 （3）解：设， ，， ，① 在圆上 ② 将①代入②得 于是点既在圆上，又在圆上 圆与圆有公共点 解得： 实数的取值范围为：. 【点睛】方法点睛：直线与圆的位置关系有：相离，相切，相交；圆与圆的位置关系有：外离，外切，内切，相交，内含；要求熟练掌握各种位置关系时，圆心和直线间的距离与半径的关系以及圆心与圆心的距离与半径和与差的关系. 26．(25-26高二上·陕西咸阳礼泉县·期中)已知直线l：与圆C：相交于两点. (1)求证：直线l过定点P； (2)过圆C的圆心作直线l的垂线，垂足为H，若，求此时直线l的方程； (3)设圆C在点处的切线交于点Q，求Q的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析; (2)或; (3). 【分析】（1）利用直线方程找定点，提取参数确定的取值即可； （2）利用几何法，把三等分点问题转化为圆心到直线的距离问题，从而得解； （3）利用公共弦方程原理，来研究动点Q的轨迹方程. 【详解】（1）证明：l：，即， 当，即，时，等式恒成立，故直线l过定点， （2） 由（1）知，圆C：，则圆心，半径， 因为，所以， 设，，则， 所以，， 所以，即，且， 解得，即圆C到直线l的距离为， 所以，解得，符合题意， 此时直线l的方程为或. （3）由题意得，，， 所以四点共圆，且以线段为直径， 设，则的中点， 则Q在圆D：上， 联立圆C：， 得直线MN的方程为：， 因为直线l过定点， 所以，解得， 所以点Q的轨迹方程为. 27．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可； （2）记点、，分析可知圆心为直线和线段垂直平分线的交点，联立这两条直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】（1）因为圆的方程为，则，解得， 将两圆方程作差可得，即为两圆相交弦所在直线的方程， 圆的圆心为，半径为， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或. （2）由题意可知，点在圆上，则，解得， 故圆的方程为，其标准方程为，    记点、， 由圆的几何性质可知，圆心在直线上， 且，所以直线的方程为，即， 因为圆过点、两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 线段的中点为，， 故线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即圆心， 所以，圆的半径为， 故圆的方程为. 28．(25-26高二上·陕西多校·期中)已知点，为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，列出关于的关系式，化简得的标准方程； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，可求得的值. 【详解】（1）设，因为，所以， 则，即， 所以的标准方程为. （2）由（1）知曲线为一个圆，且圆心为，半径为2. 因为圆心到直线的距离. 由，得. 所以，化简得. 所以. 29．(25-26高二上·陕西西安第七十中学·月考)（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值是 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系，列方程求解； （2）由方向向量和斜率关系，结合两直线垂直，推出，然后由基本不等式的妙用求解. 【详解】（1）由题知，，即，解得； （2）为正数，根据方向向量的定义，则的斜率必存在，由可知斜率存在， 于是，由可知， 整理可得，即， 则， 当，即取得等号， 即最小值是. 30．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)已知直线l经过点，且其一个方向向量为． (1)若直线的倾斜角为，在x轴上的截距为3，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在y轴上的截距，并判断与是否垂直； (3)若直线与l平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求的一般式方程， 【答案】(1)，与重合而非平行； (2)在y轴上的截距为， 与互相垂直； (3). 【分析】（1）由直线l的方向向量求得直线l的斜率，代入点斜式即可求得l的方程，根据倾斜角可求直线的斜率，再由点斜式方程可求直线的方程，并化为斜截式方程，比较两直线的斜率与截距可得重合； （2）由一般式方程转化为斜截式方程可得在y轴上的截距，再由两直线斜率之积为判定垂直； （3）由两直线平行可求得的斜率为，设出斜截式方程，分别求出直线与坐标轴的交点，根据面积列出方程待定系数可得. 【详解】（1）因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为， 又直线l经过点，所以直线l的方程为，即， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又在x轴上的截距为3，所以直线的方程为，化为斜截式方程得， 所以直线与重合； （2）由直线的一般式方程为， 化为斜截式方程为，故在y轴上的截距为； 直线的斜率，由， 所以两直线与互相垂直. （3）由直线与l平行，则斜率，故可设直线的方程为， 令，得；令，得； 由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 则，所以，解得. 所以直线的方程为， 即的一般式方程为. 圆锥曲线 地 城 板块03 31．(25-26高二上·陕西渭南韩城·期中)已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于A、B两点，求（为原点）面积的最大值. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）利用椭圆离心率及给定面积建立的方程求解. （2）按直线的斜率是否存在设出方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积表达式，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4，得，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设其方程为，， 由消去得， ，， ，原点到直线的距离， 因此的面积， 当且仅当时取等号，此时，符合题意； 当直线斜率不存在时，设其方程为， 由，得，， 因此的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为1.    32．(25-26高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中)已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出点，借助双曲线方程及两点间距离公式计算可得时，取最小值，从而可得双曲线方程； （2）结合双曲线定义计算即可得； （3）设出直线的方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出直线与直线的方程后，联立两直线方程计算即可得解. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的定义可得， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； （3）由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. 33．(25-26高二上·陕西西安铁一中学·期中)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）． 步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为； 步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点． 现对这些折痕所围成的图形进行建模研究．若取半径为的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点且不与轴垂直的直线与曲线交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由． (3)直线与曲线相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交曲线于两点，坐标原点位于直线之间，记的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在定点，定值为 (3) 【分析】（1）根据长度关系和椭圆定义可知曲线为椭圆，结合长轴长和焦距可求得椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；假设存在定点，利用斜率公式表示出，代入韦达定理的结论进行整理化简可求得定点和定值； （3）当直线斜率存在时，假设方程，将转化为；根据直线与椭圆相切、直线与圆相切的位置关系，可利用表示出，进而得到，根据分式型函数值域求法可求得取值范围；当直线斜率不存在时，可求得；综合两种情况可得取值范围. 【详解】（1） 由题意知：在线段的垂直平分线上，， ， 点的轨迹是长轴长，焦距的椭圆， 椭圆短半轴长， 则曲线的方程为：. （2）直线不与轴垂直，且过点， 则可设，，， 由得：， ，； 设在轴的正半轴上存在定点，使得直线斜率之积为定值， ， 若为定值，则，即，又，，此时； 存在定点，使得直线斜率之积为定值，该定值为. （3） ①当直线斜率存在时，假设，， 由题意知： 设点到直线的距离为，则， ，，； 由得：， ，即； 与圆相切，，即， ，， ， ，，，即； ②当直线斜率不存在时，不妨令，则，； 综上所述：的取值范围为. 34．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中)已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)当时，求点的坐标； (2)求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. (3)设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 【答案】(1)或 (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）联立得，再根据有唯一公共点，解得，再代入方程求点坐标即可； （2）根据直线与曲线由唯一公共点求出与的关系，再根据过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴求出点坐标及轨迹方程； （3）设，，联立得到，再计算即可判断． 【详解】（1）根据题意， 则，， ，， 解得， 当时，，， 解得，此时， 当时，，， 解得，此时， 当时，点的坐标为或； （2），， ，，即， 故，即，其中， 故过点且与直线垂直的直线为， 可得，， ，， 故点的轨迹方程为， 其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点）， 如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为. （3）证明：由题可知直线的斜率不为零，设，， ，， ，，， ， ，解得， ， ， 所以直线和直线的斜率乘积为定值．    35．(25-26高二上·陕西多校·期中)已知是抛物线的焦点，为上一个动点. (1)求； (2)若为坐标原点，，求； (3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为，，均经过，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) (3)（或） 【分析】（1）根据抛物线的性质可求得的值； （2）过点作，垂足为，设可推得，利用抛物线的定义求出即可； （3）设的倾斜角为，斜率，则的倾斜角为，利用和角的正切公式推得其斜率，联立与抛物线方程，分别求出弦长与，利用题设条件求得或，检验后即可求得的方程. 【详解】（1）由抛物线的性质可得，得； （2）抛物线的准线方程为. 过点作，垂足为， 设，因，则，得， 则点的纵坐标为，由抛物线定义得， 解得，所以； （3）设的倾斜角为，易得，斜率， 则的倾斜角为， 斜率. 设点，， 由得，得， 所以 以代可得. 由，得， 得或， 当时，，，又，所以不符合题意. 故的方程为，即（或）. 36．(25-26高二上·陕西延安中学·期中)动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，动点的轨迹构成的曲线记为． (1)曲线的方程； (2)若直线：（）与曲线相交于不同的两点、，点是曲线上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①是定值，证明见解析；② 【分析】（1）设点的坐标为，根据题干直接列式即可求解； （2）①当，设，则，表示出并利用点都在曲线上即可证明；②设，的中点为， 直线与曲线联立得到的坐标，利用得到，进而求出，再根据即可求出的范围. 【详解】（1）设点的坐标为，则 化简得，即曲线的方程为. （2）①（定值）. 证明如下：当时，易得两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在曲线上， 所以， 从而，证毕. ②由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由， 由，得（i）， ，则， 所以，因为，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得（ii），将代入（i） 则，得：（iii），由（ii）（iii）得， 综上，实数的取值范围为. 37．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知椭圆的左顶点为，左焦点为，下顶点为，若椭圆C的长轴是短轴的倍，且（O为坐标原点） (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与曲线C相交于A、B两点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可； （2）设，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，，由得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算即可得出答案. 【详解】（1） 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为； （2）由题意知：，设，， 联立得， ，即， ，， 所以， ，，满足， ， 又点到直线的距离， ， 把代入上式得： 的面积为. 38．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点、. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)若直线不过点，直线、的斜率分别为、，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，由可求得实数的取值范围； （3）设点、，利用斜率公式和韦达定理可求出的值. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为. （2）将直线的方程与椭圆方程联立，可得， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）设点、，由韦达定理可得，， 因为直线不过点，则，解得， ，同理可得， 所以 . 即. 39．(24-25高二上·陕西安康·期中)已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）利用椭圆的离心率和通过的点建立方程，求出基本量，再得到椭圆方程即可. （2）利用点差法结合中点坐标公式得到斜率，再利用点斜式得到直线方程即可. （3）设切点坐标，联立切线与椭圆方程，消元后利用判别式为，可利用切点坐标表示，再把点坐标代入，即可得到过切点的一条直线方程，同理另一个切点坐标也适合，即可得出直线的方程，再求出直线所过定点即可. 【详解】（1）由椭圆经过点，且离心率为， 得到，解得，，故的方程为. （2）设，，由题意得， 因为线段PQ的中点为，所以，， 因为，，两式相减得， 所以，即，解得， 即直线的斜率为，故的方程为，即. （3）如图，设，当时， 可设切线的方程为，， 将与联立，得， 则，即， 且，， 所以，，代入，得， 将的坐标代入，得. 当时，，；当时，，， 而满足. 设，同理可得， 则点，都在直线上， 故直线的方程为，即， 由得，故直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：求直线的方法是解题的关键，首先设切点，利用判别式结合切点坐标替换，是求直线方程关键技巧，再代入点坐标，可得出直线方程，进而求解定点即可. 40．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为．已知点，且的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的椭圆方程，利用三角形面积求出，即求得椭圆方程. （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，结合的斜率关系，求得对应参数的约束条件，即可求得直线恒过的定点. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由的面积为，得， 而，又，解得， 所以椭圆的方程为. （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则，由， ，解得，不符合题设； 因此直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为， 由消去，得， ，， 由，得， 即， 则， 整理得， 于是， 整理得，而，则，当且仅当时，， 直线PQ的方程为，即， 所以直线PQ恒过定点. 【点睛】关键点点睛：处理第二问的关键是能够熟练应用韦达定理，合理转化已知条件，从而求得参数之间的关系. 41．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)如图，DP⊥y轴，垂足为D点，点M在DP的延长线上，且 当点P在圆. 上运动时，点M的轨迹为C． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)当 时，点M的轨迹方程记为C₁. （i）若动点N为轨迹C₁外一点，过点N作轨迹C₁的切线，两条切线互相垂直，记点N的轨迹方程为C₂，试判断C₂与圆. 是否存在交点?若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹C₁的左右顶点分别记为A，B，圆 上有一动点E， E在x轴上方，F（2，0）， 直线EA交轨迹C₁于点G， 连接EB， GF， 设直线EB， GF的斜率存在且分别为， 若 求t的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）与圆没有交点，理由见解析；（ⅱ） 【分析】（1）设，可得，代入圆即可得结果； （2）根据题意可得的方程为.（i）可知圆在椭圆内，即可得结果；（ⅱ）设，联立方程求得，可得，即可得结果. 【详解】（1）设，因为，则， 又因为点在圆上，则， 所以点的轨迹的方程为. （2）若，则的方程为，即， （i）与圆没有交点，理由如下： 由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点）， 但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点； （ⅱ）由题意可知：， 设，则直线， 联立方程， 消去y可得， 则，可得，则， 令，解得， 由题意可知， 因为，则， 又因为，可得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法，一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 42．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，线段的中点为.若直线的斜率为1，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组利用弦长公式求弦长即可. 【详解】（1）设点， 因为直线的斜率之积是， ，化简得：， 即动点的轨迹方程为：. （2）设， 线段的中点为， ，则， 由题可得，， 两式求差化简得：，即， 直线的方程为， 联立，消去得， ，且， . 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是利用点差法求出直线的斜率，再利用弦长公式求解. 43．(24-25高二上·陕西西安高新第三中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为、，已知点在直线上运动，且，当时，点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆外，过点的直线与椭圆交于、两点，且直线、与直线分别交于、，求的值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算可得，再由可求得，可得结果； （2）对过点的直线斜率是否为0分类讨论，联立椭圆方程并利用韦达定理将表达式化简计算可求得. 【详解】（1）设，易知，， 则，解得； 由题意可知时，点在椭圆上， 即可得,且，所以； 因此椭圆的方程为. （2）易知过点的直线斜率存在， 设， 当其斜率为0时，直线，此时， 则直线的方程为，可得，同理可得； 则; 当直线斜率不为0时，不妨设其方程为，如下图所示： 联立可得，显然； 可得， 直线的方程为， 令，可得； 同理可得； 所以， 易知， 即，可得； 综上可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据直线与椭圆的位置关系，联立两方程并由韦达定理计算化简可得. 44．(24-25高二上·陕西科技大学附属中学·月考)双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据题意列方程组求得，即可求得答案； （2）先考虑直线l的斜率存在时，设，设出直线方程，根据可得到对任意的总成立，联立直线l与双曲线方程，得到根与系数关系，结合恒成立可求得的值，得到结论，再验证直线斜率不存在时的情况也适合题意，即可得到结论. 【详解】（1）由题意可知双曲线的渐近线方程为， 因为一条渐近线的倾斜角为，所以， 双曲线经过点，则， 联立，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知双曲线的右焦点为， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 设，，， 因为，所以， 即， 整理得①， 由，得到， 因为直线l与双曲线有两个不同的交点， 故且， 所以， 由题设有①对任意的总成立， 因为， 所以①可转化为， 整理得到对任意的总成立， 故，解得，故所求的定点的坐标为． 当直线l的斜率不存在时，则，此时或， 当时，此时或， 都满足； 综上，定点的坐标为． 【点睛】方法点睛：（1）解决求圆锥曲线的方程问题时，一般是由题意列出关于参数的方程组，即可求得答案；（2）解决关于直线和圆锥曲线的位置关系问题时，比如定点定值问题，一般要注意考虑直线的斜率是否存在，存在时设直线方程，并联立圆锥曲线方程，得到根与系数的关系，要结合题设条件进行化简，即可得结论，关键就是化简以及计算比较复杂，要求十分细心,计算要准确. 45．(24-25高二上·陕西渭南蒲城县蒲城中学·月考)在平面直角坐标系中，设，，定义两点，之间“”距离为．把到两定点，的“”距离之和为定值的点的轨迹叫做“椭圆”，，为此“椭圆”的焦点． (1)已知，． ①求“椭圆”的方程； ②求“椭圆”的面积； (2)已知“椭圆”的焦点分别，，其面积为10，为上一定点，且在直线外，点在上． 证明：．其中表示两点，之间“”距离的最小值，表示，中的较大者． 【答案】(1)① ；②6 (2)证明见解析 【分析】（1）①设“椭圆”上任意一点为，则，再根据两点之间的“距离”的新定义即可得解；②根据图形求解面积； （2）本题主要考查两点间的“”距离的最小值的求法，根据定义结合三角不等式求解最小值. 【详解】（1）①设“椭圆”上任意一点为，则， 即，即， 所以“椭圆”的方程为， 又因为，， 所以， ②对“椭圆”的方程进行化简， 当时，方程化为 当时，方程化为 当时，方程化为 当时，方程化为 当时，方程化为 当时，方程化为 如图所示： 则围成的面积为 代入，，解得： （2）因为“椭圆”的焦点分别，，其面积为10， 所以 解得， 设， ，间的“”距离为： ， 又为T上定点， 由（1）当时，方程化为即 又， 代入得：， 即得证； 【点睛】本题考查新定义与新概念，对学生的知识迁移能力要求极高，第一问结合定义分析求解出“”距离，然后根据绝对值方程展开画图，求解出图形所包围出的面积；第二问结合三角不等式化简出“”距离的最小值，然后点在直线上，求得从而等价代入 证得； 46．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期中)已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用韦达定理和弦长公式列方程可得； （2）①联立直线和抛物线方程消元，利用判别式求得，求出坐标，结合抛物线定义可得，得证；②同理求得，利用韦达定理可得. 【详解】（1）由得， 显然，， 设，，则，， ，，，． （2）设， 由得， 由得，    又，，； ①设直线AM的方程为：， 取，得，则， 而，． ②同理可得，， 而，． 47．(24-25高二上·陕西商洛洛南中学·期中)已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且. （i）试求、的关系式； （ii）证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆焦距及离心率即可得； （2）（i）联立椭圆方程后，利用韦达定理及可得与的关系； （ii）将、表示出的面积后计算即可得. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故， 又焦距为，故，即有，，则， 所以，椭圆的方程为. （2）（i）联立，消去，可得， ， 设、，则，， 故， 则，化简得； （ii）因为， 又点到直线的距离， 所以，的面积 ， 故的面积为. 【点睛】关键点睛：本题的第二问的关键联立直线方程与椭圆方程得到韦达定理式，根据斜率之积得到，再利用点到直线距离求出三角形的高，弦长公式求出三角形的底，最后计算出面积. 48．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知椭圆，左焦点. (1)设直线与椭圆交于，点是椭圆上任意一点，证明：； (2)过做两条互相垂直的直线、，交椭圆于、，交椭圆于、， （ⅰ）记四边形面积为，求的取值范围； （ⅱ）设的中点为的中点为，直线与直线交于，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由题两点关于原点对称，设，表示出，计算，将用表示后化简即可得； （2）（ⅰ）分两直线中存在斜率不存在的直线与斜率都存在的情况进行讨论，若存在存在斜率不存在的直线，则可求出面积具体值，若斜率都存在，则可设出两直线方程，联立曲线，得到与交点坐标有关韦达定理，再结合弦长公式表示出，得到关于的函数，求值域即可； （ⅱ）取中点，令、分别为、与交点，借助中位线的性质可得、，即可得、，从而可得，再借助面积公式计算即可得. 【详解】（1）由题两点关于原点对称，设， 则， 所以 ， 即，得证； （2）（ⅰ）若直线，则； 若直线，则，故； 若两直线斜率都存在，设直线，， 由，可得， 由在椭圆内部，故恒成立， 设，则有， 则 ， 则可得， 因为，所以， 令， 则； 综上所述，； （ⅱ）如图，取中点，令、分别为、与交点， 由、分别为、中点，故，故， 则，即， 由、分别为、中点，故，故， 则，即， 则 ， 由，故 . 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助中点的性质，作出相应辅助线，得到, 49．(23-24高二下·陕西西安工业大学附属中·期中)已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解； （2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 又，所以. 将点的坐标代入C的方程得，解得， 所以，所以C的方程为. （2）依题意可设PQ：， 由，得,    设，，，则. ，， 则 ， 而， 所以 ， 所以是定值，定值为. 【点睛】关键点点睛： （1）本题的关键是根据题目条件得到等式，解方程组； （2）本题的关键是把目标转化成两根之和以及两根之积的形式，然后代入韦达定理化简. 50．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据的坐标及 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 地 城 板块04 数列 51．(24-25高二上·陕西安康·期末)设正项等比数列的公比为（为已知常数），且数列满足. (1)求的值； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义以及题目已知条件即可求得数列与以及的乘积关系，从而得出中相邻项的比例，从而得解.。 （2）利用（1）结论以及题目的初始条件，分别求出数列的奇数项和偶数项通项公式，最后利用通项公式计算的前2n项和即可. 【详解】（1）因为是公比为的等比数列，故有， 由，可得， 则， 由此可得， 即； （2）由（1）知，且和， 设数列中奇数项的公比为，偶数项的公比也为。 奇数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，奇数项通项为，其中 偶数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，偶数项通项为，其中. 当时，，，此时； 当时，奇数项和 ， 偶数项和 ， 此时； 所以 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解和应用等比数列的性质，以及如何利用给定条件构建数列的递推关系。通过将数列的乘积关系转化为比例关系，我们得以求解出数列的通项公式，进而求解出特定和式的值。在处理类似问题时，理解数列性质和递推关系的转换至关重要。 52．(25-26高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中)已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分与进行讨论即可得. 【详解】（1）当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； （2）设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 53．(25-26高二上·陕西神木中学·)已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式基本量的运算求解即可； （2）先判断数列的单调性，然后利用单调性求解数列最大值即可求解. 【详解】（1）由，可得，解得． 所以． （2）因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 54．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中)已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 55．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求； (3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用已知构造数列证明等差数列，再应用基本量运算得出通项； （2）应用错位相减法计算求和； （3）把恒成立问题转化为最值，再应用作差得出数列的单调性得出数列的最小值即可计算求参. 【详解】（1）由，两边同时除以， 可得，即， 又，∴数列是首项、公差均为的等差数列， 由等差数列的通项公式可得， ∴． （2）由， 可得， ∴， ∴． （3）由对任意恒成立， 得，整理得恒成立， 令，则， 当时，，当时，，当时，， ∴，即的最小值为， 综上，，即实数的取值范围是． 56．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期末)已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是， 解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 57．(24-25高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知等差数列满足，，正项等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合等差数列通项公式化简条件，解方程求，由此可得结论； （2）设的公比为，结合等比数列性质求，由此可得结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ，即，； ，即. 两式相减得，， 所以. （2）因为正项等比数列满足， 又，， ，又， 所以. 58．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中.已知数列满足，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据定义及等差数列的定义得，再应用累加法求的通项公式，同理得到，由等比数列的定义求的通项公式； （2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以是公差为1的等差数列，所以. 因为，所以，所以，即. 因为， 所以. 因为，所以. 因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即. （2）因为，所以，则， 所以， 故. 59．(24-25高二上·陕西西安某校·期末)已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设（表示不超过的最大整数），求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，由可得出，两式作差可得出的表达式，当时，可得出的值，综合可得出数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得； （3）求得，对的取值进行分类讨论，结合分组求和法可求得数列的前项和. 【详解】（1）因为，① 当时，，② ①②，得，所以. 当时，由①得，适合， 故对任意的，. （2）因为， 可得， 上述两个等式作差可得， 因此，. （3）由（1）得， 因为，则， 当时，则，则； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，. 因此，所以的前项和为 . 60．(24-25高二上·陕西西安某校·期末)已知数列的前项和为，且满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，结合裂项相消法可证得结论成立. 【详解】（1）因为，当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，则，即且， 所以，数列是等比数列，且其首项和公比都为. （2）由（1）可知，，则，所以，， 所以，. 61．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)设数列的前项和为，已知首项. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用计算求出通项公式； （2）应用分组求和结合等差数列及等比数列求和公式计算. 【详解】（1）当时，可得； 当时，， 两式相减，得：，即，不满足该式， （2）当时，； 当时，， ， 时，，上式也成立. . 62．(24-25高二上·陕西安康·期末)记公差为的等差数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出，再结合等差数列定义推理得证. （2）由（1）的信息求出并裂项，再利用裂项相消法求得证. 【详解】（1）依题意，， 因此，， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，则， 所以 . 63．(24-25高二上·陕西西安高新第三中学·月考)已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，记的前项和，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求出等差数列的公差，然后再根据是与的等差中项求出等比数列的公比，即可求得数列和数列的通项公式； （2）裂项相消法即可求得数列的前项和； （3）错位相减法即可求得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差，等比数列的公比为， 由可知：，所以，，， 又因为是与的等差中项， 所以，即， 所以. （2）因为， 所以. （3）， ①， ②， ②-①得：. 64．(24-25·专题2与数列有关的不等式问题-·)已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，且满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）令，解方程即可求解， （2）利用，的关系，作差可得等差数列，即可求解， （3）利用放缩法可得，即可利用累加法求解. 【详解】（1）在，中，， 令，可得 ， ∴． （2），① 当时，，② 可得 ， ∴， ∴是公差为的等差数列， ∴， ∴． （3）证明：由（2）可得， ∴， ∴ ． 65．已知数列的前n项和．若，且数列满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)求证：数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可； （2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可； （3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可； 【详解】（1）由题意知， 当时，，所以． 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 因为，所以， 所以，令，可得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减，可得 ， 所以，所以． （3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于． 因为， 所以，所以数列的最大项为和，且． 所以，即， 解得或，即实数的取值范围是． 66．(11-12高二上·陕西宝鸡金台区·期中)已知数列、满足，且 (1)令，求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的通项公式及前项和公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用构造等差数列求解即可； （2）利用构造等比数列求解即可； （3）利用求出，然后分组求和即可. 【详解】（1）由得： 即. 故是首项为，公差为的等差数列. 故其通项公式为： （2） 由得： 易知是首项为，公比为的等比数列. 故通项公式为： （3） 由，解得， 故： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解答题压轴精选 板块01 空间向量与立体几何 板块02 直线与圆 板块03 圆锥曲线 板块04 数列 空间向量与立体几何 地 城 板块01 1．(25-26高二上·陕西西安庆安高级中学·月考)如图1，在四边形ABCD中，，，，将四边形ABCD沿着对角线AC折起，使点D到达点P的位置（如图2所示），且二面角的平面角为.    (1)证明：. (2)已知P，A，B，C四点均在球O的球面上. ①请在答题卡的图中标记出O的位置，并说明理由. ②已知M是线段AB上的一个动点，且，平面PMC截球O所得截面的面积为S. （a）求O到平面PMC的距离d（用含的代数式表示）； （b）求S（用含的代数式表示），并求S的取值范围. 2．(25-26高二上·陕西西安鄠邑区第四中学·月考)如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动.    (1)当为线段的中点时， ①求证：； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)设，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 3．(25-26高二上·陕西安康·期中)如图，在三棱台中，平面，.    (1)求的值； (2)若，二面角的大小为，求. 4．(25-26高二上·陕西山阳中学·期中)如图，已知直三棱柱，，，为的中点.    (1)求点到平面的距离. (2)求二面角的余弦值. 5．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 6．(25-26高二上·陕西西安中学·)如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)判断直线是否在平面，说明理由； (3)是线段上的动点，是否存在点G使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，请说明理由. 7．(25-26高二上·陕西咸阳高新一中·)如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形， 为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 8．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)如图1，在梯形ABCD中，，，．将沿BD折起到的位置，如图2，记二面角的平面角为．    (1)若，求PB与平面PCD所成角的余弦值； (2)若，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值； (3)若点B到平面PCD的距离为，求． 9．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是正三角形，，，．    (1)判断棱上是否存在点，使得； (2)求在平面上的投影向量的模． 10．(24-25高二上·陕西榆林·期中)如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面.    (1)求平面与平面所成二面角的正弦值； (2)已知分别是线段上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值. 11．(24-25高二上·陕西延安中学·月考)如图，已知菱形和菱形的边长均为，，分别为上的动点，且.当的长度最小时, (1)求； (2)求点到平面的距离． 12．(24-25高二上·陕西陕西师范大学附属中学·)如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点，   (1)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 13．如图1，已知在正方形中，，，，分别是边，，的中点，现将矩形沿翻折至矩形的位置，使平面平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)设是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 14．(23-24高二上·陕西咸阳实验中学·月考)如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：    (1)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (2)求锐二面角的余弦值的取值范围． 15．(23-24高二上·陕西榆林府谷中学·月考)图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）.    (1)证明:平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的最小值. 16．(23-24高二上·陕西部分学校·)如图，在四面体ABCD中，，，，，，E，F，G分别为棱BC，AD，CD的中点，点在线段AB上.    (1)若平面AEG，试确定点的位置，并说明理由； (2)求平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围. 地 城 板块02 直线与圆 17．(25-26高二上·陕西山阳中学·期中)已知，，，直线的方程为，圆过，，三个点. (1)求圆的方程； (2)设点是直线上的任意一点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是4，求的值； (3)设直线与圆相交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，求的值. 18．(25-26高二上·陕西安康·期中)设为曲线不过原点的部分曲线. (1)求与轴，轴的交点坐标； (2)求围成的图形面积； (3)若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 19．(25-26高二上·陕西榆林·期中)已知圆，直线． (1)求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点； (2)设直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得直线截圆所得的弦最长或最短？ 20．(25-26高二上·陕西西安庆安高级中学·月考)如图，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射.我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率.    (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角（）是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围. (2)已知直线：，：，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点P. ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点P射出，从真空射入该介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求该介质的折射率. 21．(24-25高二上·陕西安康·期中)若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； (2)若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 22．(24-25高二上·陕西西安铁一中滨河高级中学·期中)已知圆：，过点的直线与圆相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. (1)求的坐标； (2)过且斜率不为零的另一条直线与圆交于，两点，在线段上，设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 23．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·开学考)已知圆O：与圆E：内切． (1)直线l：与圆O交于M，N两点，若，求k的值； (2)过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦为AB和CD，若，求实数的最大值． 24．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若，其中O为坐标原点，求的面积． 25．(21-22高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·月考)已知圆：及其上一点. (1)设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)设点满足：存在圆上的两点，，使得，求实数的取值范围. 26．(25-26高二上·陕西咸阳礼泉县·期中)已知直线l：与圆C：相交于两点. (1)求证：直线l过定点P； (2)过圆C的圆心作直线l的垂线，垂足为H，若，求此时直线l的方程； (3)设圆C在点处的切线交于点Q，求Q的轨迹方程. 27．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 28．(25-26高二上·陕西多校·期中)已知点，为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，且，求. 29．(25-26高二上·陕西西安第七十中学·月考)（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 30．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)已知直线l经过点，且其一个方向向量为． (1)若直线的倾斜角为，在x轴上的截距为3，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在y轴上的截距，并判断与是否垂直； (3)若直线与l平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求的一般式方程， 圆锥曲线 地 城 板块03 31．(25-26高二上·陕西渭南韩城·期中)已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于A、B两点，求（为原点）面积的最大值. 32．(25-26高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中)已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 33．(25-26高二上·陕西西安铁一中学·期中)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）． 步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为； 步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点． 现对这些折痕所围成的图形进行建模研究．若取半径为的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点且不与轴垂直的直线与曲线交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由． (3)直线与曲线相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交曲线于两点，坐标原点位于直线之间，记的面积分别为，求的取值范围． 34．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中)已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)当时，求点的坐标； (2)求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. (3)设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 35．(25-26高二上·陕西多校·期中)已知是抛物线的焦点，为上一个动点. (1)求； (2)若为坐标原点，，求； (3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为，，均经过，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程. 36．(25-26高二上·陕西延安中学·期中)动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，动点的轨迹构成的曲线记为． (1)曲线的方程； (2)若直线：（）与曲线相交于不同的两点、，点是曲线上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 37．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知椭圆的左顶点为，左焦点为，下顶点为，若椭圆C的长轴是短轴的倍，且（O为坐标原点） (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与曲线C相交于A、B两点，且，求的面积． 38．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点、. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)若直线不过点，直线、的斜率分别为、，求的值. 39．(24-25高二上·陕西安康·期中)已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 40．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为．已知点，且的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 41．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)如图，DP⊥y轴，垂足为D点，点M在DP的延长线上，且 当点P在圆. 上运动时，点M的轨迹为C． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)当 时，点M的轨迹方程记为C₁. （i）若动点N为轨迹C₁外一点，过点N作轨迹C₁的切线，两条切线互相垂直，记点N的轨迹方程为C₂，试判断C₂与圆. 是否存在交点?若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹C₁的左右顶点分别记为A，B，圆 上有一动点E， E在x轴上方，F（2，0）， 直线EA交轨迹C₁于点G， 连接EB， GF， 设直线EB， GF的斜率存在且分别为， 若 求t的取值范围. 42．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，线段的中点为.若直线的斜率为1，求线段的长. 43．(24-25高二上·陕西西安高新第三中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为、，已知点在直线上运动，且，当时，点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆外，过点的直线与椭圆交于、两点，且直线、与直线分别交于、，求的值. 44．(24-25高二上·陕西科技大学附属中学·月考)双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 45．(24-25高二上·陕西渭南蒲城县蒲城中学·月考)在平面直角坐标系中，设，，定义两点，之间“”距离为．把到两定点，的“”距离之和为定值的点的轨迹叫做“椭圆”，，为此“椭圆”的焦点． (1)已知，． ①求“椭圆”的方程； ②求“椭圆”的面积； (2)已知“椭圆”的焦点分别，，其面积为10，为上一定点，且在直线外，点在上． 证明：．其中表示两点，之间“”距离的最小值，表示，中的较大者． 46．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期中)已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 47．(24-25高二上·陕西商洛洛南中学·期中)已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且. （i）试求、的关系式； （ii）证明：的面积为定值. 48．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知椭圆，左焦点. (1)设直线与椭圆交于，点是椭圆上任意一点，证明：； (2)过做两条互相垂直的直线、，交椭圆于、，交椭圆于、， （ⅰ）记四边形面积为，求的取值范围； （ⅱ）设的中点为的中点为，直线与直线交于，证明． 49．(23-24高二下·陕西西安工业大学附属中·期中)已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 50．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 地 城 板块04 数列 51．(24-25高二上·陕西安康·期末)设正项等比数列的公比为（为已知常数），且数列满足. (1)求的值； (2)若，求的前项和. 52．(25-26高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中)已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 53．(25-26高二上·陕西神木中学·)已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 54．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中)已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 55．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求； (3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 56．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期末)已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 57．(24-25高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知等差数列满足，，正项等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项积. 58．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中.已知数列满足，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 59．(24-25高二上·陕西西安某校·期末)已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设（表示不超过的最大整数），求数列的前项和. 60．(24-25高二上·陕西西安某校·期末)已知数列的前项和为，且满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 61．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)设数列的前项和为，已知首项. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前项和. 62．(24-25高二上·陕西安康·期末)记公差为的等差数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)记数列的前项和为，证明：. 63．(24-25高二上·陕西西安高新第三中学·月考)已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，记的前项和，求． 64．(24-25·专题2与数列有关的不等式问题-·)已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，且满足，求证：． 65．已知数列的前n项和．若，且数列满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)求证：数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围． 66．(11-12高二上·陕西宝鸡金台区·期中)已知数列、满足，且 (1)令，求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的通项公式及前项和公式. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $