专题01 空间向量与立体几何（5大题型）（期末真题分类汇编 陕西专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 空间向量及其线性运算 考点02 空间向量的坐标运算 考点03 空间位置关系的向量表示 考点04 空间角问题 考点05 空间距离问题 空间向量及其线性运算 地 城 考点01 1．(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 2．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算转化即得. 【详解】由图可得， . 故选：A. 3．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)如图，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记，根据空间向量的运算表示出，根据向量模的计算即可得答案； 【详解】记，则， 所以， 由于，故 ， 故. 故选：D. 4．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)已知四面体是的重心，若，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得. 【详解】取的中点， 所以 ， 又， 可得，所以. 故选：A. 5．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)如图， 在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点，若 则表示向量正确的是 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的加减运算法则即可表示出向量. 【详解】在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点， 若 则 故选：A. 6．(24-25高二上·陕西榆林府谷县部分校·月考)如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】以为基底，表示出向量，利用空间向量的数量积求向量的模. 【详解】以为基底，则，，，，. 因为，所以， 则 ， 所以. 故选：D 7．(23-24高二上·陕西西安铁一中学·期末)如图，在正方体，，是正方形 内部（含边界）的一个动点，则（    ） A．存在唯一点，使得 B．当点在上移动时，直线与直线所成角不变 C．直线与平面所成角的最小值为 D．当时，点的轨迹为圆的一部分 【答案】BD 【分析】首先以点为原点，建系设点，利用数量积公式，即可判断AB；利用线面角的向量公式，结合点的坐标的范围，即可判断C；由条件得到，根据圆的定义，即可判断D. 【详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，，，得， 所以点的轨迹为线段，有无数个点，满足，故A错误； B. 当点在上移动时，设， ，， ，即， 所以直线与直线所成角为，故B正确； C. ，平面的法向量，设直线与平面所成角为， 则，， 当时，的最小值为，的最小值不是，故C错误； D.当时，根据勾股定理可知，，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在正方形的一部分，故D正确. 故选：BD 8．(23-24高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，且于点E，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量的坐标运算可得，从而可求解. 【详解】根据题意，可得，，，则，， 设，， 因为，则，即解得，所以，故A正确； 所以，故D正确； 故选：AD. 9．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 10．(24-25高二上·陕西渭南大荔县·期末)在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 【答案】/ 【分析】将转化成，再结合正四面体性质和数量积的定义计算即可. 【详解】由题意可得 . 故答案为：. 11．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)在四面体ABCD中，，，点E在棱CD上，，F是BD的中点，若，则 ；点F到平面EAB的距离是 ． 【答案】 0 【分析】利用空间向量的线性运算表示，根据空间向量基本定理得到的值即可得到的值；以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量结合点到平面的距离公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴， ∵，∴，，， ∴． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面EAB的法向量为，则， 取，则，，∴， ∴点F到平面EAB的距离是． 故答案为：0；. 12．(23-24高二上·陕西咸阳·期末)如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 【分析】（1）运用空间向量基本定理，用基底分别表示三个向量，，； （2）用基底表示的三个向量，，，分别计算、，证明了两组线线垂直、，证明结论即可. 【详解】（1）已知，，， 得：，， ． （2）证明：设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 地 城 考点02 空间向量的坐标运算 13．(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量垂直，即可根据数量积的坐标运算求解. 【详解】由于，则，解得， 故选：C 14．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量坐标运算求得答案. 【详解】空间向量， 所以. 故选：D 15．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)已知向量为直线的方向向量，为平面的法向量，若，则实数等于（   ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面垂直可得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用两向量平行的充要条件即可求解. 【详解】因为直线与平面垂直， 所以. 所以存在，使得，即. 解得：，. 故选：D 16．(23-24高二上·陕西汉中汉台区·期末)在空间直角坐标系中，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知的坐标为. 故选：A 17．(23-24高二上·陕西宝鸡千阳县中学·期末)若向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】由，，得. 故选：C 18．(21-22高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，然后利用空间向量的数量积公式从而求解. 【详解】由题意得，， 设与的夹角为，且 所以， 所以与的夹角为.故B项正确. 故选：B. 19．(20-21高二上·陕西渭南韩城·期末)若点，，，，且，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】求得的坐标，根据，可求得m值，代入求模公式，即可得答案. 【详解】， 因为，所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 20．(23-24高二下·陕西咸阳·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（    ） A． B． C．异面直线与夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，直接由向量线性运算的坐标表示即可验算；对于B，由向量模的计算公式即可验算；对于C，由向量夹角公式即可求解；对于D，由公式验算即可. 【详解】因为平面，平面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，从而， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，所以异面直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，，设平面的法向量为，则， 令，解得，所以，又， 所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD. 21．(18-19高二上·陕西咸阳西北农林科技大学附中·期末)已知向量，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 22．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)已知直线，的方向向量分别是，，若，则 ． 【答案】18 【分析】由题意可得出，所以，求出，即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得：， 所以. 故答案为：. 23．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)已知向量且共面，则 ． 【答案】3 【分析】根据共面，确定的值，再根据向量的运算和模的概念求值. 【详解】因为共面，所以存在，使， 即 . 所以， 所以. 故答案为：3 24．(24-25高二上·陕西安康·期末)空间直角坐标系中，已知，且点在平面上，则 . 【答案】9 【分析】利用空间向量的坐标运算及共面向量定理列式计算即得. 【详解】依题意，，由点在平面上，得， 则， 因此，解得， 故答案为：9 25．(23-24高二下·陕西咸阳·期末)若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为 . 【答案】-8 【分析】由题意即即可列方程求解. 【详解】由题意，解得. 故答案为：-8. 26．(20-21高二上·陕西延安子长中学·期末)已知空间向量，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算，列出方程组，即可求解. 【详解】由空间向量， 因为，可得，即，解得. 故答案为：. 27．(22-23高二上·陕西西北农林科技大学附属中学·期末)设是空间中两两夹角都为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标. （1）若，且，则 ； （2）若，则三棱锥的表面积为 . 【答案】 1 【分析】（1）由向量的线性运算和坐标系中坐标的定义，解出即可； （2）由题意，三棱锥为棱长为2的正四面体，利用面积公式求表面积即可. 【详解】（1）若，且，有，则； （2）依题意，，两两夹角为，且模都是2，则三棱锥是正四面体，则表面积. 故答案为：1； 空间位置关系的向量表示 地 城 考点03 28．(22-23高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知为直线l的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中： ①；       ②； ③；       ④ 其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案. 【详解】因为、不重合， 对①，平面、平行等价于平面、的法向量平行，故①正确； 对②，平面、垂直等价于平面、的法向量垂直，故②正确； 对③，若，故③错误； 对④，或，故④错误. 故选：B 29．(22-23高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与平面的关系是（    ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 【答案】D 【分析】由题意可得，即可得到平面与平面的关系. 【详解】因为平面的一个法向量是，平面的一个法向量是， 所以， 所以平面与平面相互垂直， 故选：D 30．(22-23高二上·陕西榆林·期末)已知向量，分别为平面，的法向量，则平面与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标可求出，进而可求得答案. 【详解】，，， ，平面与平面的夹角为， 故选：A 31．(21-22高二上·陕西咸阳秦都区·期末)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据向量的坐标可得，从而可判断线面关系. 【详解】由题设可得，故直线与平面垂直. 故选：A. 32．(21-22高二上·陕西汉中·期末)已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】利用数量积运算可证得法向量互相垂直，由此可得结论. 【详解】将平面的法向量记为，平面的法向量记为， ，，则. 故选：B. 33．(21-22高二上·陕西渭南临渭区·期末)已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假. 【详解】因为“若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或”，所以p为假命题； 对于等轴双曲线，，所以离心率为，所以q为真命题. 所以为假命题，故A错误； 为假命题，故B错误； 为假命题，故C错误； 为真命题，故D正确. 故选：D 34．(19-20高二上·陕西西安·期末)已知向量，，若，分别是平面，的法向量，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】转化为，利用空间向量数量积的坐标运算，即得解 【详解】由题可知，，则，即. 故选：C 35．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，使得，则 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项判断即得. 【详解】对于A，若，则，，A正确； 对于B，，则或，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，，使得，则，而平面不重合，因此，D正确. 故选：ACD 36．(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱和的中点，以D为原点，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A． B．是平面的一个法向量 C．直线CF与平面夹角的正弦值为 D．点C到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】对于A，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于B，由平面法向量求解即可；对于C，运用向量夹角余弦值公式计算即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可. 【详解】对于A，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故A错误； 对于B，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故B正确； 对于C， ，则，则直线CF与平面夹角的正弦值为.故C正确. 对于D，，点到平面的距离为，故D正确. 故选：BCD． 37．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)下列说法正确的是 （    ） A．若直线l的方向向量为平面α的法向量为 则l∥α B．对空间任意一点O和不共线三点 A，B，C，若 则P，A，B，C四点共面 C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D．已知 若与的夹角为钝角，则 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的有关定义及其结论，可判断BCD项；根据已知得出，即可判断A项. 【详解】对于A：由已知可得，所以或，故A错误； 对于B：因为，所以四点共面，B正确； 对于C：根据空间向量基底的概念，空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，可知C正确； 对于D： 因为，因为与的夹角为钝角，则 ， 所以，当时，，不合题意，故D正确. 故选：BCD. 38．(24-25高二上·陕西安康·期末)设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则（    ） A．若，则 B．若，则 或 C．若 ，则 D．若的夹角为，则 【答案】BC 【分析】根据向量的位置关系，可得空间线面位置关系，可得答案. 【详解】对于A，当时，直线可能平行也可能重合，故A错误； 对于B，当时，在平面内一定存在与直线平行的直线，则或，故B正确； 对于C，当时，直线与平面的垂线平行或重合，则，故C正确； 对于D，当的夹角为，其法向量的夹角为或，则或，故D错误. 故选：BC. 39．(23-24高二上·陕西渭南瑞泉中学·期末)已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面与平面的夹角为 C．三棱锥的体积为定值 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】AC 【分析】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD各选项的正误，利用锥体的体积公式可判断C选项的正误. 【详解】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 则、、、、、、、， 设点，其中. 对于A选项，，， 则， 所以，A选项正确； 对于B选项，设平面的法向量为，，， 由，取，可得，则， 设平面的法向量为，， 由，取，则，则， 可得， 所以，平面与平面的大小不是，B选项错误； 对于C选项，，平面，平面，平面， 到平面的距离等于点到平面的距离， 而点到平面的距离为，即三棱锥的高为， 因此，，C选项正确； 对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且， 又，， 所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 40．(23-24高二上·陕西汉中汉台区·期末)设两条不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用空间向量研究空间位置关系一一判定选项即可. 【详解】对于A项，由，为不同的直线，可知，且， 则，故A错误； 对于B项，若，则且， 又为不同的直线，所以，故B正确； 对于C项，若，则且，又，所以，故C正确； 对于D项，若，则，所以，故D正确. 故选：BCD 地 城 考点04 空间角问题 41．(24-25高二上·陕西西安第八十五中学·期末)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线与直线夹角的正弦值. 故选：C 42．(23-24高二下·陕西西安临潼区·期末)在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 【点睛】 43．(23-24高二上·陕西咸阳·期末)已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用求空间向量夹角余弦值的公式计算即可. 【详解】设两条异面直线所成的角为，且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以两条异面直线所成的角， 故选：A. 44．(23-24高二上·陕西渭南瑞泉中学·期末)在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合二面角是锐角以及法向量夹角余弦的坐标运算公式即可得解. 【详解】过点作交于点， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为，，为的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，解得，即可取， 显然可取平面的法向量为，且二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 45．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)如图所示，在棱长为4的正方体.中，M，N分别为棱 的中点，则下列结论正确的是 （    ） A．直线MN与AC所成的角为60° B．三棱锥B-AMN 的体积为 C．直线AM与BN是平行直线 D．平面BMN 截正方体所得的截面面积为18 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量可求异面直线所成角，利用点面距可得体积，利用向量可判断两直线是否平行，作出截面，根据截面形状可得截面面积. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，，; 对于A，,,因为， 所以直线MN与AC所成的角为60°，A正确； 对于B，,,设平面的一个法向量为， 则，令，则，即； ,设点到平面的距离为，则， ,所以的面积为, 所以体积为，B正确； 对于C，,,显然不平行，C不正确； 对于D，连接,因为为中点，所以， 由正方体的性质可得，所以，即共面， 连接，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形. 因为,所以等腰梯形的高为， 其面积为，D正确. 故选：ABD 46．(24-25高二上·陕西榆林·期末)如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 47．(23-24高二下·陕西安康·期末)设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】直接利用线面角的正弦值求法将两个向量代入即可得出答案 【详解】设l与所成角为，设向量与的夹角为， ，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 48．(21-22高二上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在直三棱柱中，，，，则二面角的大小为 . 【答案】/ 【分析】由题意以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案. 【详解】因为三棱柱为直三棱柱，且，， 所以，则， 以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，， 设平面，平面， ， 所以， 令，则， 所以. 则. 所以二面角的大小为. 故答案为： . 49．(21-22高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)空间四边形中，，，，，，，则与所成角的余弦值等于 ． 【答案】 【分析】计算出的值，利用空间向量的数量积可得出的值，即可得解. 【详解】， ， 所以，， 所以，. 所以，与所成角的余弦值为. 故答案为：. 50．(21-22高二上·陕西榆林·期末)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，则直线AD1与B1D所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】以为原点，所在直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，的坐标，由向量夹角公式可得答案. 【详解】以为原点，所在直线为轴的正方向建立如图的坐标系， ∵AB＝BC＝2，CC1＝1， ∴，，，， 则，， 则，， 则cos＜，＞＝＝， 即AD1与B1D所成角的余弦值为， 故答案为：. 51．(24-25高二下·陕西咸阳·期末)如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题：    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，应用向量法证明异面直线垂直即可； （2）由（1）求出平面与平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）在直三棱柱中，有，，， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， ，， ， ，即． （2）由（1）得，， ，，， 设平面的法向量为， 则即令，即， 设平面的法向量为， 则即令，即， ． 平面与平面夹角的余弦值为． 52．(24-25高二下·陕西汉中·期末)如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，且. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直、面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可. 【详解】（1）证明：取的中点O，连接. 由是边长为2的等边三角形，得，， 易得四边形为正方形，所以， 则，所以. 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知直线两两垂直， 则以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 . 设平面的法向量为，则 取，得， 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 53．(24-25高二上·陕西渭南蒲城县蒲城中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且分别为的中点，    (1)证明：直线平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)点到平面的距离. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）注意到，故只需证明平面，由，即可证明证明平面； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解； （3）求出和平面的法向量，由距离公式即可求解. 【详解】（1）如图所示，连接，因为分别是的中点，    所以， 因为四边形是正方形，所以，     因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； （2）由题意容易知道两两互相垂直， 故以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意，所以， 显然平面的法向量可以是， 而， 故所求为， 即直线与平面所成角的正弦值； （3）由（2）可知， 从而， 设平面的法向量为， 则，令，解得， 所以可取， 故所求为， 即点到平面的距离. 54．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱上的点，满足.请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由向量法证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明. （2）求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式即可得出答案. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 因为，所以，， 因为，平面，所以平面. （2）设平面的法向量为，由（1）知， 设平面的法向量为， 由（1）可得，，， 所以，设，得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 55．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)如图，在四棱锥中，底面，四边形为矩形，且，为线段上一点，满足，设，． (1)求实数的值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据，由求解； （2）分别求得平面的法向量为和平面的法向量为，由求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴， 设，∵，， ∴， ∴，，，∴， ∵，∴，解得． （2）由（1）中建立的空间直角坐标系得，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得， ∴， 由图知，二面角的平面角为钝角， ∴二面角的余弦值为． 56．(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，AB的中点，连接． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，可得，进而可得平面． （2）利用（1）的坐标系求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，代入空间向量的二面角余弦公式，再利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【详解】（1）由题知，两两垂直， 故以B为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ，故， 平面平面， 平面． （2）由（1）中建立的空间直角坐标系得，， ， 设平面的法向量为， 则有，令，可得， ∴平面的一个法向量为， 不妨取平面的一个法向量为， ， 设二面角的平面角为，则， 故二面角的正弦值为． 57．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面， ， E是棱的中点. (1)求证: 平面； (2)求直线BP与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因E是棱PA的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 58．(24-25高二上·陕西汉中多校·期末)如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，. (1)证明：平面； (2)若圆锥的母线长为4，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据圆锥的侧面积求得及，求出平面OBP、平面的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：由题知，平面，， 故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，，， ，，平面，平面. （2）由题知，， 由（1）可知，为平面的一个法向量，，， 设平面的法向量为，则，， 令，得， 则， 二面角的正弦值为. 59．(24-25高二上·陕西榆林·期末)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且平面平面，，为的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别取的中点为，连接，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求点到面的距离； （2）利用空间向量法求两平面夹角. 【详解】（1）分别取的中点为，连接， 因为底面是正方形，分别为的中点，所以． 因为侧面是等边三角形，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则令，则， 所以平面的一个法向量为， 设点到平面的距离为，则． 即点到平面的距离为． （2）由（1），得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则取，则 ， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 60．(23-24高二下·陕西榆林神木第四中学·)如图，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使点到点处，平面平面. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，因为平面平面，所以平面，，，所以平面，∴平面平面. （2）建系向量法解决线面夹角即可，注意求二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：由，，得， 得，即， 又由平面平面，平面平面，得平面， 故，，，，平面， 所以平面，而平面，∴平面平面. （2）如图，以中点为原点，，，方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，由，， 则 取，则， 设平面的法向量为， 由，， 则 取，则， 故，故. 故二面角的正弦值为. 61．(23-24高二上·陕西西安西安南开高级中学·期末)在四棱锥中，平面平面，底面是边长为的正方形，，取的中点，连接.请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题：    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坐标法可得异面直线夹角； （2）利用坐标法可得线面夹角. 【详解】（1）   ，且为的中点， ， 又平面平面，且平面平面， 则平面， 取中点， 则， 则以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 62．(23-24高二上·陕西西安陕西师大附中·期末)如图，和所在平面垂直，且． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析． (2)． 【分析】（1）使得，连接，证明两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证明线线垂直； （2）在（1）基础上用空间向量法求二面角． 【详解】（1）延长至点，使得，连接， 由且，得，所以，， 又，所以，所以， ，平面，平面 平面，平面 平面 ， 所以平面，而平面，所以， 又， 所以， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 所以，所以； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 平面的一个法向量是， ， 所以二面角的余弦值为，则正弦值为． 63．(21-22高二上·陕西安康白河高级中学·期末)如图所示，在直三棱柱中，，，，为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设与交于点，连接，利用中位线定理得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论； （2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）   连接，设与交于点，连接， 由题可知四边形为矩形，所以点为的中点. 又因为是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面； （2）由题可知，，所以. 又因为平面，所以可以为坐标原点， 分别以射线、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，    所以，，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设锐二面角的大小为， 则， 因此二面角的余弦值为. 地 城 考点05 空间距离问题 64．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由点到平面距离的向量公式求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以点到平面的距离是： . 故选：A. 65．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知是平面的一个法向量，且，则点到平面的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】依题意，点到平面的距离. 故选：B 66．(17-18高二上·陕西师范大学附属中学·期中)已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解. 【详解】由题得， 所以到平面的距离为， 故选：C. 67．(22-23高二上·陕西部分名校·期末)如图，平行六面体的体积为，且分别为的中点，则（    ） A． B． 平面 C． D．到平面的距离为 【答案】D 【分析】通过体积求出该平行六面体的高，建立平面直角坐标系并表达出各点的坐标，计算与的数量关系，与的关系，与的关系，到平面的距离，即可得出结论. 【详解】由题意， 在四边形中，，， ∴四边形的面积为：， 在平行六面体中，体积为， 设平行六面体的高为， ∴ 解得：， ∵， 设在底面的投影在上.设在底面的投影为，则， ∵， ∴. ∵， ∴为的中点. 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， . ∵， ∴与不平行， 故错误. 设平面的法向量为， 则 令，则. ∵， ∴与平面不平行，故B错误. ∵， ∴与不垂直，故C错误. 设平面的法向量为， 则 令，得. ∵， ∴到平面的距离为，故正确. 故选：D. 68．(22-23高二上·陕西部分名校·期末)已知空间三点，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给出的三个点求出、和,求出和，即可求出到直线的距离. 【详解】由题意，空间三点， ， ∴， ， ∴到直线的距离为：， 故选：B. 69．(18-19高二上·陕西吴起高级中学·期末)在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，则与面MBD的距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则可得到点 的坐标以及的坐标，再求出平面 BDM 的法向量，最后用点到面的距离公式可求得答案. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则 所以 设平面的法向量，则 即                                      设，则 所以                                                则点到平面的距离为. 故选:A 70．(20-21高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据点到面距离空间向量公式进行求解即可. 【详解】因为，， 所以到平面的距离， 故答案为： 71．(23-24高二上·陕西渭南瑞泉中学·期末)直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】依题意，， 所以点到的距离. 故答案为： 72．(21-22高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是 . 【答案】 【分析】确定，，利用点到平面的距离为，即可求得结论. 【详解】由题意，，， 设与的夹角为，则 所以点到平面的距离为 故答案为： 73．(20-21高二上·陕西汉中·期末)如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，且，若点E为的中点，则点D到平面的距离为 . 【答案】 【分析】以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的一个法向量，再利用公式求解即可. 【详解】以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，从而. 设平面的一个法向量为， 由法向量的性质可得 令，则，所以. 所以点D到平面的距离. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离的常见方法：1,、直接求出垂线段的长；2、利用体积相等列方程求解；3、建立空间坐标系利用公式求解. 74．(20-21高二上·陕西西安中学·期末)在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离. 【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离为. 因此，点到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 75．(18-19高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，， .     (1)求直线与平面的夹角； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出，点的坐标和平面的法向量，利用空间向量在立体几何中的应用，即可求得直线与平面的夹角. （2）根据空间直角坐标系写出，的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量求解点到平面的距离公式即可求出结果. 【详解】（1）设，因为菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面， 以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，    由已知得，， 因为轴垂直于平面，因此可令平面的一个法向量为， 又，设直线与平面的夹角为， 则有，即， 所以直线与平面的夹角为. （2）由（1）空间直角坐标系，得，，所以，， 可设平面的法向量为，则，得， 令，得，，即， 又因为， 所以点到平面的距离为. 76．(19-20高二上·陕西西安交大二附中·期末)如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点．    (1)直线与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意建立空间直角坐标系，从而得到各点的坐标，再求得面的法向量和的坐标，根据线面夹角的向量法，代入公式即可得解； （2）根据（1）可知的坐标和面的法向量，再根据点面距离公式代入求解即可. 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以， 又面，故以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，    因为，，，且为中点， 则，，，，，， 故，，， 设面的法向量为，则， 令，则，，故， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为； （2）由（1）可知，面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 故点到平面的距离为． 77．(22-23高二上·陕西西安鄠邑区·期末)在直角梯形中，，O为中点，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面，如图（2）． (1)求证：； (2)若M为线段的中点，求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质定理证明线线垂直； （2）建系，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）在中，，且O为中点，则， 平面平面，平面平面平面， 所以平面， 且平面， 所以. （2）在直角梯形中，， 所以，则， ∴， 又∵O、M分别为、的中点 ∴，∴ 以O为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则， 可得， 平面的一个法向量为， 由，令，则，可得， 则点M到平面的距离． 78．(21-22高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点. (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）证明出平面，利用空间向量法可求得直线到平面的距离. 【详解】（1）解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 易知平面的一个法向量为，， 因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （2）解：，则，所以，， 因为平面，所以，平面， ，所以，直线到平面的距离为. 79．(20-21高二下·陕西汉中·期末)如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点在平面内的投影是的中点，点是的中点. （1）证明：平面. （2）若，求到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）取的中点，连接，，结合已知条件和三角形中位线的性质可得，，可证明平面面，即可求证； （2）取的中点为，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成的角为， 则所求距离为，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为点是的中点，是的中点， 所以，， 又因为底面是平行四边形，所以，所以， 因为面，面，所以面， 因为，面，面，所以面， 因为，所以平面面， 又因为平面，所以平面. （2）如图，取的中点为，连接，则， 因为面，所以两两垂直，如图以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， ， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，可得，， 所以平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 所以点到平面的距离， 80．(20-21高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知点,，向量（O为坐标原点）,计算： （1）求向量的单位向量； （2）求，； （3）； （4）求点到直线的距离. 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）. 【解析】（1）求出向量的模，用除以其模可得其单位向量； （2）用模的坐标表示计算； （3）根据数量积的定义计算夹角的余弦； （4）求出在 上的投影为，然后由勾股定理可得点到直线的距离． 【详解】解：由已知得： （1），则 （2）， ， （3） （4）在 上的投影为， 点B到直线OA的距离 81．(20-21高二上·陕西西安周至县第二中学·期末)如图，正方体，棱长为，为的中点； （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】（1）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，论证即可. （2）由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明. （3）求得平面的一个法向量为，设点到平面的距离为，由求解. 【详解】（1）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 因为，所以， 所以. （2），， 因为， 所以， 又因为，且， 所以平面； （3），，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 设，则，，则， 设点到平面的距离为， 则； 【点睛】方法点睛：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键． (2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 专题01 空间向量与立体几何(5大题型) ☆5大高频考点概览 考点01空间向量及其线性运算 考点02空间向量的坐标运算 考点03空间位置关系的向量表示 考点04空间角问题 考点05空间距离问题 空间向量及其线性运算 目目 考点01 1.(24-25高二上陕西渭南富平县期末)如图，在空间四边形0ABC中，OA=a,OB=b,0C=c,点M在0A 上，且IOM=21MA,N为BC的中点，则MN等于() 0 M A.五3+去 B.五+多- C.-a+书+ D.五+书-2 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c,则 下面向量中与BM相等的向量是() 以 A.+3+eB.拉+五+ c.-a-五+e D.a-五+ 3.(24-25高二上陕西咸阳期末)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以J顶点A为端点的 三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC1的值为（) 1/18 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D B Di C B A.3 B.23 c.5 D.6 4.(54-25高二上陕西西安铁一中学期末)已知四面体0-ABC,G是△ABC的重心，若0G=x0A+y0B+z 0C,则x+y-2z=() A.0 B.3 c. D. 5.(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)如图，在平行六面体ABCD-ABCD'中，M为A'C与B D'的交点，N是BB的中点，若AB=a,AD=b,AA'=c,则表示向量MN正确的是() D B B A.五-五- B.-a+2五+d C.-a-3+c D.2a-五+c 6.(24-25高二上陕西榆林府谷县部分校·月考)如图，已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的 三个格点，点P为平面ABC外一点，且(4P,AB)=(AP,AC=120,A=3,若A0=AB+AC,则O= () A.42 B.V35 C.6 D.37 7.(23-24高二上陕西西安铁一中学·期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,P是正方形ABCD内 部（含边界）的一个动点，则() 2/18 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D A B D.. A,存在唯一点P,使得D1P⊥B1C B,当点P在AC上移动时，直线D1P与直线B1D所成角不变 C.直线D1P与平面ABCD所成角的最小值为 D,当D1P=3时，点P的轨迹为圆的一部分 8.(23-24高二上·陕西宝鸡渭滨区期末)如图，在空间直角坐标系0xyz中，正方体0BCD-O1B1C1D1的棱长 为1，且DE⊥OC1于点E,则0E=() ZA B C E 0k. D B A.( 5) B.3 3 C.oc D.0B+BC-010 9.(2425高二上陕西西安新城区期末)若{e,2,}是空间的一个基底，且向量a=e1+e2,b=e2+g,c =e1+te3不能构成空间的一个基底，则实数t=一· 10.(24-25高二上陕西渭南大荔县期末在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则A正·AD= 11.(24-25高二上陕西榆林八校联考期末)在四面体ABCD中，∠BAC=∠CAD=∠DAB=90°， AB=AC=AD=3,点E在棱CD上，CE=2ED,F是BD的中点，若BE=xAB+yAC+zAD,则 x+y+Z=;点F到平面EAB的距离是： 12.(23-24高二上陕西咸阳·期末)如图，在平行六面体ABCD-A'BCD'中，∠BAD=∠BAA'=∠DAA', AB AD=AA'=2.AB=a,AD=B,AA'=c. 3/18 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 A B D B 1)用基底{，b,表示向量BD,BA',AC; (2)证明：AC⊥平面A'BD. 目目 考点02 空间向量的坐标运算 13.(24-25高二上·陕西渭南富平县期末)已知向量a=(1+m,4,m),b=(4,4,1)分别是平面α与平面β的一个 法向量，若a⊥B,则实数m=() A.4 B.2 C.-4 D.-5 14.(24-25高二上陕西安康期末)己知空间向量币=(1,0，-1)，9=(0,3,1)，则2元-3=() A.(5,9,1) B.(-3,6,5) C.(-2,-9,5) D.(2,-9,-5) 15.(24-25高二上陕西西安新城区期末)己知向量=(4，m,2)为直线的方向向量，i=(2,-2,1)为平面aα的 法向量，若l⊥a,则实数m等于() A.5 B.2 c. D.-4 16.(23-24高二上陕西汉中汉台区·期末)在空间直角坐标系中，若B(3,-1,3),AB=(-1,0,2),则点A的坐标 为() A.(4,-1,1) B.(-4,-1,1) C.(4,1,-1) D.(4,-1,-1) 17.(23-24高二上陕西宝鸡千阳县中学.期末)若向量=(2,0，-1)，b=(0,1,-2),则a-b=() A.(2,1,1) B.(2,1,-1) C.(2,-1,1) D.(2,-1,-1) 18.(21-22高二上·陕西西安周至县第四中学期末)已知A(2,-5,1),B(2,-4,2),C(1,-4,1),则AB与AC的夹 角为() A.30° B.60° C.45° D.90 19.(20-21高二上陕西渭南韩城期末)若点A(-1,1,2),B(0,3,0),C(1,0,-1),D(0,0,m,且AD1BC,则AD列 =() A.v2 B.22 C.3V2 D.6 20.(23-24高二下陕西咸阳期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面 4/18 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ABCD,PA=2,PE=ED,则（) B A.BE=AP-AB+AD B.BE=6 C.异面直线BE与PA夹角的余弦值为。D.点E到平面PAC的距离为 21.(18-19高二上陕西咸阳西北农林科技大学附中.期末)已知向量=(4，-2，-4，b=(6,-3,-2),则下列结 论正确的是() A.a+b=(10,-5,-6 B.a-b=(2,-1,-6 C.a.b=10 D.|=6 22.(24-25高二上陕西咸阳期末)己知直线l1,l2的方向向量分别是元=(4，a,b),元=(2,5,4)，若l1/儿2，则 a+b= 23.(54-25高二上陕西西安铁中学期末)已知向量d=(2,4,x),b=(2,1,2),=(-2,2,1)且a,b,共面，则 a-b-= 24.(24-25高二上陕西安康·期末)空间直角坐标系中，已知A(1,1,1),D(7,8,),AB=(0,1,2),AC=(3,4,5),且 点D在平面ABC上，则x= 25.(23-24高二下陕西咸阳期末)若/a,且m=(2,t1)为直线的-个方向向量，元=(1，号，2为平面α的一 个法向量，则实数t的值为 26.(20-21高二上陕西延安子长中学期末)已知空间向量元=(3，-6,3)，i=(-1,2,-1),且m//元，则实数 λ= 27.(22-23高二上·陕西西北农林科技大学附属中学期末)设0x,0y,0z是空间中两两夹角都为8的三条数轴， e1,2,3分别是与x,y,z轴正方向同向的单位向量，若0p=xe1+y2+z3,x,y,z∈R,则把有序数对(x,y,z)9叫 作向量0P在坐标系0-xyz中的坐标 (1)若a=(x,6,-3)a,b=(3,y,0)a,且a+万=(5,5，-3)a,则x+y= 5/18 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (2)若0A=(2,0,0),0B=(0,2,0)E,0C=(0,0,2)r,则三棱锥0-ABC的表面积为 空间位置关系的向量表示 目目 考点03 28.(22-23高二上·陕西宝鸡金台区期末)已知为直线1的方向向量，、5分别为平面a、B的法向量(a、 B不重合)，那么下列说法中： ①m‖2台aIβ； ②⊥台a1B; ③‖台lIa; ④币⊥台lIla 其中正确的有( A.1个 B.2个 C.3个 D,4个 29.(22-23高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)平面α的一个法向量是元=(2,3,6，平面β的一个法向量是元= (-3,6,-2),则平面α与平面B的关系是() A,平行 B,重合 C.平行或重合 D,垂直 30.(22-23高二上陕西榆林·期末)己知向量元=(2,0，-2)，元=(1,1,1)分别为平面a,B的法向量，则平面ac 与β的夹角为() A.90° B.60 C.45 D.30° 31.(21-22高二上陕西咸阳秦都区期末已知直线的方向向量为a=(-1,0,-1),平面α的法向量为i=(1,0,1), 则直线l与平面aα的位置关系是() A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.无法确定 32.(21-22高二上·陕西汉中·期末)己知平面α的一个法向量为(2，-1,3)，平面β的一个法向量为(3,9,1)，则平 面a和平面β的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合 33.(21-22高二上·陕西渭南临渭区·期末)己知命题p:若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则llc;命 题q:等轴双曲线的离心率为V2,则下列命题是真命题的是() A.p∧q B.(p)A(q) C.pv(q) D.(p)Aq 34.(19-20高二上陕西西安期末)已知向量a=(0,2,1),万=(-1,1，m,若a,万分别是平面a,β的法向量， 且a⊥B,则m=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 35.(24-25高二上·陕西咸阳·期末)设两条不重合的直线l1,2的方向向量分别为，，两个不重合的平面 α，的法向量分别为，，则下列命题正确的是() 6/18 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.若·=0，则L11l2 B.若⊥，则l/a C.若·=0，则a⊥B D.若3λ∈R,使得=m2,则a/B 36.(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别 为棱AA1和BB1的中点，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论 正确的是() ZA D C A F D C B A.D1E⊥CF B.a=(1,0,2)是平面EFD1的一个法向量 C.直线CP与平面EFD1夹角的正弦值为 D.点C到平面EFD1的距离为5 37.(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)下列说法正确的是（) A.若直线1的方向向量为e=(1,03),平面a的法向量为元=(-2,0，)，则@ B.对空间任意一点O和不共线三点A,B,C,若OP=-0A+0丽+OC,则P,A,B,C四点共 面 C,空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D.已知a=(1,1),6=(3x9),若à与的夹角为钝角，则x<品 38.(24-25高二上陕西安康·期末)设直线l1,l2的方向向量分别为，，平面a1,a2的法向量分别为，，则 () A.若e//e2,则l1Ⅱl2 B,若e1G,则l1‖a1或l1c1 C.若e‖，则l1⊥a1 D.若a1az的夹角为60，则cosi,)=-2 39,(23-24高二上陕西渭南瑞泉中学期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1上的动点， 7/18 命学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 则下列说法正确的是() A.CH⊥BD B.平面AB1D1与平面AB,C的夹角为号 C.三棱锥H-BCC1的体积为定值 D.若CH1平面B,则直线cD与平面B所成角的正弦值的取值范围为，习 40.(23-24高二上·陕西汉中汉台区·期末)设两条不同直线a,b的方向向量分别是e,,平面aα的法向量是i, 则() A.若e//e,ei/元，则b/1a B.若e/i,e/元，则a//b C.若e/元，bta,⊥e,则b/a D,若e//e2,e/m,则b⊥a 目目 考点04 空间角问题 41.(24-25高二上陕西西安第八十五中学期末如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=C C1=2CB=2,则直线BC1与直线AB1夹角的正弦值为() AZ B C A ￥0 A.9 B.9 c.9 D. 42.(23-24高二下陕西西安临潼区期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则直线EC1与平 面ACD1所成角的正弦值为() A. 5 B.78 C.vo 9 5 D.2 43.(23-24高二上陕西咸阳·期末)已知两条异面直线的方向向量分别是元=(1，-2,3)，元=(2,1,0)，这两条 异面直线所成的角为() A.日 B.3 c D.8 44.(②3-24高二上陕西渭南瑞泉中学期末)在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,AB NCD,∠ABC=艺， AB=PA=CD=1,BC=22,M为PD的中点，则二面角M-BC-A的余弦值为（) 8/18 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B立 A.30 10 B.v10 10 C.5 D.25 45.(24-25高二上陕西汉中普通高中十校联盟·期末)如图所示，在棱长为4的正方体.ABCD-A1B1C1D1中， M,N分别为棱C1D1,C1C的中点，则下列结论正确的是() D A B D B A.直线MN与AC所成的角为60 B.三棱锥BAN的体积为 C.直线AM与BN是平行直线 D.平面BMN截正方体所得的截面面积为18 46.(24-25高二上陕西榆林期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=3,点E为线 段AC的中点，点r是校GD上一点，若直线EP与平面A1C所成角的正弦值为语 ,则EF=一 A D C B A C 47.(23-24高二下·陕西安康期末)设直线的一个方向向量为元=(1,2,1)，平面a的一个法向量为m= (1,1,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 48,(21-22高二上陕西咸阳秦都区期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=V3,AB=BC=V2 9/18 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 AC=2,则二面角B1-AC-B的大小为一 B A B A 49.(21-22高二上陕西西安长安区第一中学.期末)空间四边形0ABC中，0A=8,AB=6,AC=4, BC=5,∠0AC=45°，∠0AB=60°，则0A与BC所成角的余弦值等于· 50.(21-22高二上陕西榆林·期末)如图，在长方体ABCD一AB,CD1,AB=BC=2,CC,=1,则直线AD, 与BD所成角的余弦值为一· D B A C D B 51.(24-25高二下陕西咸阳·期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2AC=4,AB1AC, E,F分别为CC1,BC的中点，建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： A B (1)求证：BA1⊥AC; (2)求平面AEF与平面A1BE夹角的余弦值， 52.(24-25高二下陕西汉中.期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，且BC/AD,AB⊥AD,AB=BC=1,PC=2 10/18