专题02 不等式（4大题型）（期末真题分类汇编 陕西专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程与不等式 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 基本不等式 考点03 一元二次不等式 考点04 不等式的实际应用 不等式的性质 地 城 考点01 1．(24-25高一上·陕西榆林·期末)“且”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的性质以及举反例即可得到答案. 【详解】由“且”，则“且”，故充分性满足； 反之，若“且”，取，显然成立， 但并不满足“且”，故不满足必要性. 故选：A. 2．(23-24高一下·陕西咸阳·期末)已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由可得，然后结合不等式的性质和充分条件与必要条件的定义分析判断. 【详解】因为在上递增，且， 所以，所以， 所以，即， 当时，可能，可能，也可能， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．(23-24高一上·陕西渭南富平县蓝光中学·期末)若两个非零实数，满足，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由两个非零实数满足， 对于A中，可得，则且，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以，所以B正确； 对于C中，例如：时，满足，此时，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D正确. 故选：C. 4．(22-23高一上·陕西咸阳·期末)已知，为实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及作差比较和特殊值法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如，此时满足且，此时，所以A不正确； 对于B中，当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以B不正确； 对于C中，由且，可得，所以，所以C正确； 对于D中，由，因为，可得，但的符号不确定，所以D不正确. 故选：C. 5．(22-23高一上·陕西西安鄠邑区·期末)设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 6．(22-23高一上·陕西汉中多校·期末)若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用特殊值或不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对A，当时，，A错误； 对B，当时，，B错误； 对C，因为，，由不等式的同向可加性可得，C正确； 对D，取，，，则，D错误. 故选：C 7．(20-21高一下·陕西安康·期末)若，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用特值法可判断AB；用幂函数的性质可判断C；用指数函数的性质可判断D 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C： 函数在上单调递增，又，所以，故C正确； 对于D：函数在上单调递增，又，所以，所以，故D错误； 故选：C 8．(21-22高一下·陕西汉中六校联考·期末)若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，因为，可得，因为不确定，所以A错误； 对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误； 对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误； 对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确. 故选：D 9．(21-22高一·2.1等式性质与不等式性质-·)若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断各选项． 【详解】A显然错误，例如，； 时，由得，B错； ，但时，，C错； ，又，所以，D正确． 故选：D． 10．(20-21高一下·陕西榆林第十中学·期末)若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然不成立； B：当时，显然没有意义； C：当时，显然不成立； D：根据不等式的性质，由能推出， 故选：D 11．，且，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知中，解不等式可求出的范围，进而根据不等式的性质确定，，的大小. 【详解】解：， 解得：， ， ， 即， ， ， 即. 故选：B 12．(24-25高一上·陕西多校·期末)已知为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式性质确定BCD正确，举反例得到A错误，得到答案. 【详解】对于A，取，，满足，但，故A错误； 对于B，由，则，即，故B正确； 对于C，由，则，即，故C正确； 对于D，若，则，所以，即，故D正确. 故选：BCD. 13．(24-25高一上·陕西安康·期末)已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质可得A、C正确；令可得B错误；作差可得D正确； 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 14．(24-25高一上·陕西西安西咸新区·期末)已知，，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用特殊值判断A、C，根据不等式的性质判断B、D. 【详解】对于A：如，，，，满足，，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：如，，，，满足，，但是，故C错误； 对于D：因为，，所以，， 所以，故D正确. 故选：BD 15．(23-24高一上·陕西西安铁一中学·期末)下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是“"的充分不必要条件 C．若，则 D．函数（且 ）的图象恒过定点 【答案】BD 【分析】利用基本不等式可判断A；解不等式，由充分必要条件可判断B；利用特殊值验证可判断C；利用对数函数性质可判断D. 【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 对于B，由得或，所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，，但 ，故C错误； 对于D，当时，，所以函数（且 ）的图象恒过定点，故D正确. 故选:BD.` 16．(23-24高一上·陕西渭南·期末)若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质可判断A，B，C；举出反例可判断D. 【详解】对于A，因为，故，A正确， 对于B，，则，B错误； 对于C，由于，则，故，即，C正确； 对于D，当时，，D错误， 故选：AC 17．(23-24高一上·陕西西安鄠邑区·期末)已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过举反例判断选项AC错误；利用作差法判断B选项，利用不等式的性质判断D选项即可. 【详解】对于A，当时，，故选项A错误； 对于B，因为,所以，所以，故选项B正确； 对于C，当时，，故选项C错误； 对于D，因为，所以，又，所以，故选项D正确； 故选：BD. 18．(23-24高一上·陕西汉中普通高中联盟学校·期末)下列说法正确的时（    ） A．若，则 B．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 C．的值域为 D．函数的零点为 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质、幂函数、指数函数的值域、函数的零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以，所以A选项正确. B选项，幂函数图象过，若为偶函数，必过，所以B选项正确. C选项，由于，所以， 所以的值域为，所以C选项正确. D选项，函数的零点为，D错误. 故选：ABC 19．(22-23高一上·陕西西安长安区第一中学·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指对数函数的单调性判断AC；举例说明判断BD作答. 【详解】由知，，则，A正确； 取满足，此时，，BD错误； 由，得，C正确. 故选：AC 地 城 考点02 基本不等式 20．(24-25高一下·陕西师范大学附属中学·期末)实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的范围，然后将目标式转化为，利用基本不等式可得. 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 21．(22-23高一上·陕西商洛·期末)已知，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性可判断两数均为正数，再由基本不等式计算可求得结果. 【详解】由可得， 所以可得，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为1. 故选：A 22．(24-25高一上·陕西汉中·期末)若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 23．(24-25高一上·陕西多校·期末)设，，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意利用“1”代换，结合基本不等式运算求解. 【详解】，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A. 24．(24-25高一上·陕西安康·期末)已知正数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4. 故选：B 【点睛】易错点睛：同一问题，多次使用基本不等式求最值，注意各次运用时等号成立的条件要具有一致性，否则，等号可能不被取到. 25．(24-25高一上·陕西安康·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质，结合基本不等式比较大小即得. 【详解】，因此； ，则 ， 所以. 故选：A 26．(24-25高一上·陕西榆林第一中学·期末)已知函数，若实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得的性质，从而得到，再利用配凑法与基本不等式即可得解. 【详解】令，则的定义域为，， 又，所以为奇函数， 又，都在上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以， 所以，则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 27．(23-24高一上·陕西西安庆安高级中学·期末)已知，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．10 【答案】B 【分析】构造后应用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 当且仅当时，取的最小值9. 故选：B. 28．(22-23高一下·陕西宝鸡教育联盟·期末)已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以ab的最大值为， 故选：B 29．(23-24高一上·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正实数满足， 所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 30．(23-24高一上·陕西汉中普通高中联盟学校·期末)“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当时，利用基本不等式可证得，而得不到，可通过举例验证，利用充分条件，必要条件的概念即可判断． 【详解】当时，对于任意正实数， ．当且仅当时等号成立， 所以：是对于任意正实数恒成立的充分条件； 同理：若时， ，当且仅当时等号成立， 也成立， 故不是对于任意正实数恒成立的必要条件． 综上：是对于任意正实数恒成立的充分不必要条件． 故选：A． 31．(22-23高一下·陕西西安长安区第一中学·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．9 【答案】A 【分析】先利用题给条件求得之间的关系，再利用均值定理即可求得的最小值. 【详解】由可得， ， 即，则， 则 （当且仅当时等号成立） 故选：A 32．(22-23高一上·陕西渭南临渭区·期末)已知正数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 33．(22-23高一上·陕西宝鸡金台区·期末)函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值4 D．最小值4 【答案】D 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值. 故选：D 34．(24-25高一上·陕西商洛·期末)若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】ACD 【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对于B，通过取特殊值，即可求解；对于C，根据条件，利用“1”的妙用，即可求解；对于D，利用选项A中结果，得到，即可求解. 【详解】对于选项A，因为正实数，满足，所以， 得到，当且仅当时等号成立，所以有最大值，故选项A正确， 对于选项B，取，此时，所以的最小值不是，故选项B错误， 对于选项C，， 当且仅当，即时等号成立， 故有最小值，所以选项C正确， 对于选项D，由选项A可得， 当且仅当 时等号成立，故有最大值，所以选项D正确， 故选：ACD. 35．(24-25高一上·陕西西安中学·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项利用“1”的妙用及基本不等式进行判断；B选项利用进行判断；C选项结合对数运算性质，利用进行判断；D选项利用进行判断；注意验证等号成立的条件即可. 【详解】因为，且， 对于A选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即，满足，故A对； 对于B选项，因为，所以， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，所以，故B对； 对于C选项，因为，且，所以，即， 所以，故C错. 对于D选项，，则， 当且仅当时，等号成立，又，所以，故D对； 故选：ABD. 36．(24-25高一上·陕西榆林第一中学·期末)已知，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得的范围，整理可得，利用基本不等式可判断AC；利用二次函数的性质可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断D. 【详解】因为，，，所以，所以， 对于A：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，即，故B正确； 对于C：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确 故选：BCD. 37．(24-25高一上·陕西榆林·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】特殊值计算判断A，根据已知等式结合不等式性质判断B，应用基本不等式计算判断C，D. 【详解】已知，，，取， 所以，A选项错误； 因为，，所以，所以，所以， 所以，所以，B选项正确； 因为，所以， 当且仅当取等号，C选项正确； ， 当且仅当取等号，D选项正确. 故选：BCD. 38．(24-25高一下·陕西咸阳·期末)已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用两向量共线得出，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 向量，，，与共线， ∴， ∴， 当且仅当即时，等号成立， ∴， 故答案为：2. 39．(24-25高一上·陕西西安鄠邑区·期末)某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 【答案】 【分析】设蓄水池池底的一边长为，则根据题意，由基本不等式求最小值即可. 【详解】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是元． 故答案为： 40．(24-25高一上·陕西渭南·期末)若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，分离参数并利用基本不等式求出最大值即得. 【详解】任意，不等式， 而，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值是. 故答案为： 41．(24-25高一上·陕西西安长安区第一中学·期末)若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可得范围. 【详解】由两个正实数x，y满足，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 42．(24-25高一上·陕西安康·期末)已知函数，若，则的取值范围为 ，若 恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，再利用此性质解不等式求出范围；换元并利用基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】函数的定义域为R，，函数是偶函数， 当时，令，函数在上单调递增，而函数是增函数， 因此函数在上单调递增，， 则，解得或， 所以的取值范围为； ，当且仅当时取等号， ， 不等式， 而，当且仅当，即时取等号， 因此，所以的最大值为6. 故答案为：；6 【点睛】关键点点睛：求出有范围，将配方变形，再分离参数是求解第二空的关键. 43．(24-25高一上·陕西西安新城区·期末)已知正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】由“1”的代换即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为1， 故答案为：1 44．(22-23高一上·陕西西安·期末)求下列式子的最小值. (1)已知，求； (2)已知，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为； （2）解：由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 45．(22-23高一上·陕西西安第六中学·期末)已知，函数的一个零点为1. (1)求的最小值； (2)解关于的不等式 【答案】(1)10 (2)见解析 【分析】（1）根据函数零点可得，又，结合基本不等式即可求得的最小值； （2）解含参一元二次不等式不等式，由方程的两根，，比较两根大小，即可求得不等式的解集. 【详解】（1）函数的一个零点为1，得即，又， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为10； （2）由整理得，因为，方程的两根， ①当时，原不等式为，则其解集为； ②当时，则，所以不等式的解集为； ③当时，则，原不等式的解集为. 46．(23-24高一上·陕西渭南·期末)阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题. 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热､干咳､乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征､脓毒症休克､难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为多少？（参考数据：） 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童､老年人以及体质较弱的年轻人.某疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为，已知（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗能全部售完.当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润最大？ 【答案】【主题一】【主题二】当年产量为99千件时，生产该疫苗所获利润最大. 【分析】【主题一】当时，，由此求出t即可. 【主题二】根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值即可得到答案. 【详解】【主题一】，则，所以， 解得 【主题二】， 万元， 当且仅当即时，取得最大值为万元. 所以当年产量为99千件时，生产该疫苗所获利润最大. 47．(23-24高一上·陕西安康汉阴县第二高级中学·期末)我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. (1)求值和的表达式； (2)当隔热层修建多少厘米厚时，最小？请说明理由并求出的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关系式：无隔热层，则每年能源消耗费用为万元，可求值，利用为隔热层建造费用与使用年的能源消耗费用之和，可求函数关系式； （2）利用基本不等式，即可求得函数的最小值． 【详解】（1）当时，,则， 故， 所以; （2）由，，当且仅当，即取等号， 故时， 即隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，最小值为万元. 48．(23-24高一上·陕西西安长安区第一中学·期末)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)最多为元； (2)销售量至少达到11万件，此时定价30元满足题意. 【分析】（1）设每件定价，根据条件列不等式求解即可； （2）将问题转化为不等式定区间内有解，分离参数再结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）设定价每件元，由题意可知， 整理得，解之得， 故该商品每件定价最多为元； （2）由上可知：当时，不等式有解， 整理得有解， 易知，当且仅当时取得等号， 此时， 所以改革后销售量至少达到11万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品定价为30元. 一元二次不等式 地 城 考点03 49．(24-25高一下·陕西师范大学附属中学·期末)关于的不等式的解集是，那么不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求出的关系，代入目标不等式即可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两根，且， 由韦达定理可得，即， 则不等式，解得. 故选：A 50．(24-25高一上·陕西西安高新第一中学·期末)设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解集合，根据并集的定义求. 【详解】由，可得， 所以， 所以． 又集合，所以． 故选：C. 51．(24-25高一上·陕西多校·期末)若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 52．(24-25高一上·陕西西安长安区第一中学·期末)已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据给定的解集，用表示，代入并解不等式即可. 【详解】不等式的解集为， 则，且是方程的两根， 则，即， 不等式可化为，即， 解得或， 故不等式的解集是或. 故选：D. 53．(23-24高一上·陕西西安庆安高级中学·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 因此，. 故选：A. 54．(23-24高一上·陕西渭南·期末)已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意，为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再解不等式即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，解得，， 不等式，即为， 即，解得， 则不等式的解集为. 故选：C. 55．(23-24高一上·陕西咸阳·期末)“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可. 【详解】因为“不等式在上恒成立”， 显然不满足题意， 所以，解得， 则“不等式在上恒成立”等价于， 故要找的必要不充分条件需要被推出. 对于A，是充要条件，故A错误； 对于B，因为推不出，故B错误； 对于C，因为，反之不能推出，故C正确； 对于D，因为推不出，故D错误． 故选：C． 56．(23-24高一上·陕西西安鄠邑区·期末)已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论，当时利用判别式求解即可. 【详解】由不等式可得， 当时，原不等式为，恒成立，符合题意； 当时，由恒成立， 可得，解得， 综上，则的取值范围是. 故选：C 57．(22-23高一上·陕西榆林·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再利用交集的定义求. 【详解】解不等式得， 所以，又， 所以. 故选：B. 58．(22-23高一上·陕西西安鄠邑区·期末)已知不等式的解集是，则的值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】先将题目转化为和为方程的根，且，再结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 则和为方程的根，且， 即，解得，， 所以. 故选：A. 59．(22-23高一上·陕西宝鸡金台区·期末)若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，得到，解得答案. 【详解】当时，恒成立，满足； 当时，需满足，解得. 综上所述：， 故选：C 60．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集得到，同时和是的两个根，进而得到 ，，逐项判断即可； 【详解】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 61．(24-25高一上·陕西西安·期末)关于的不等式的解集为的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先求充要条件，再利用充分不必要条件是充要条件的真子集，来作判断即可. 【详解】由关于的不等式的解集为的充要条件为，解得， 由，得，，又由于， 所以，是关于的不等式的解集为的充分不必要条件，故AC正确， 而选项B是充要条件，选项D是必要不充分条件，故不符合题意； 故选：AC. 62．(22-23高一上·陕西西安第六中学·期末)已知函数，则（   ） A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 【答案】BC 【分析】根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断A选项；由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数， 所以函数的单调递增区间是，故A错； 对于B选项，由A知函数的定义域为， 当或时，函数值域为， 所以函数的值域是，故B对； 对于C选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故C对； 对于D选项，由可得， 解得或， 所以不等式的解集是，故D错. 故选：BC. 63．(23-24高一下·陕西咸阳·期末)对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】对于A，根据取整函数的定义结合奇函数的定义分析判断，对于B，根据取整函数的定义求解判断，对于C，根据取整函数的定义结合不等式的性质分析判断，对于D，先解一元二次不等式，再利用取整函数定义求解. 【详解】对于A，当时，，当，， 所以不是奇函数，所以A错误， 对于B，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 所以函数的值域为，所以B正确， 对于C，因为时，， 所以，所以C正确， 对于D，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 64．(24-25高一上·陕西咸阳·期末)已知不等式的解集为若在区间内有且仅有三个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集及韦达定理得，结合对称性可得三个整数解为0，1，2，进而列出不等式组，即可得解. 【详解】根据题意，方程有两个不同的实数根， 所以，解得，由韦达定理得，所以区间关于对称， 若在区间内有且仅有三个整数，则这三个整数解为0，1，2， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 65．(24-25高一上·陕西西安西咸新区·期末)若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，不等式恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 66．(22-23高一上·陕西西安长安区第一中学·期末)已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式，解不等式即可求实数k的取值范围． 【详解】关于x的方程有两个实数根， 且一根大于2，一根小于2， 构造函数， ∵一根大于2，一根小于2，∴， ∴，解得. 则k的取值范围是. 故答案为：. 67．(22-23高一上·陕西西安鄠邑区·期末)已知函数的定义域为，则实数的值是 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合不等式的解法即可求解. 【详解】由题意，要使函数有意义， 则，即， 所以，此时由，可得，符合题意. 故答案为：2. 68．(24-25高一上·陕西汉中·期末)已知函数 (1)求证：； (2)用单调性定义证明函数是减函数； (3)若，解关于的不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）应用指数运算律计算化简证明即可； （2）应用单调性定义证明即可； （3）应用（1）及（2），结合单调性得出一元二次不等式，再分三种情况分别计算求解. 【详解】（1）∵，∴． （2）函数的定义域为，对任意的，且， ∵函数在上单调递增，∴，即， ∴，即，∴函数在上单调递减． （3）∵，∴， ∴．不等式，即， 又由（2）知函数在上单调递减，∴，∴， 当时，解，得或； 当时，，解得； 当时，方程的两个实数根为， 若，即时，不等式的解集为空集； 若，即时，不等式的解集为； 若，即时，不等式的解集为． 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为空集； 当时，所求不等式的解集为． 69．(24-25高一上·陕西汉中·期末)已知全集为，集合，． (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式可求得集合，由并集和补集定义可求得结果； （2）根据并集结果可直接构造不等式组求得结果. 【详解】（1）由得：，； 当时，，或， 或. （2），又，，解得：， 即实数的取值范围为. 70．(24-25高一上·陕西西安中学·期末)已知集合 (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 在①，②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题横线处，并求解． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）解不等式求出集合，再求； （2）选①或选②，得到，可得不等式组，求出实数的取值范围；选③，得到，或，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 所以； ； （2）集合， 选①，则， 显然时，要想满足， 只须，解得， 所以实数的取值范围是； 选②“”是“”的充分条件，则， 显然时，要想满足， 只须，解得， 所以实数的取值范围是； 选③， 需满足，或， 解得，或， 所以实数的取值范围是，或. 71．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知函数满足，函数 (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】由条件构造关于和的方程组，即可求解； 首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为在上恒成立，转化为求函数的最值问题； 根据函数的解析式，并将方程转化为有两个不同根，结合韦达定理求解即可． 【详解】（1）因为①，则②， 由①②，解得； （2）由（1）知，所以， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以，而在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以，所以k的取值范围是； （3）令，且， 方程即为， 即即 由题意可得此方程必有两个不等根，，且， 由韦达定理可得：， 所以，，， 所以，即，解得且， 所以m的取值范围为 . 72．(24-25高一上·陕西安康·期末)设集合 (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分式不等式解出集合，再由集合的运算求解即可； （2）由集合间的包含关系列不等式求解即可； 【详解】（1）， 解得，所以，或， 若，， 所以. （2）因为，所以，解得. 73．(24-25高一上·陕西西安长安区第一中学·期末)已知集合，，，. (1)求，； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）解一元二次不等式得集合A，解分式不等式得集合B，然后利用交集、并集和补集运算求解即可； （2）解一元二次不等式得集合C，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）由，得，解得，所以， 所以或； 由，得，则有， 解得，所以； 所以，； （2）， 因为，，所以，解得. 所以m的取值范围是 74．(24-25高一上·陕西榆林八校联考·期末)已知函数 (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将的定义域为转化为对任意的恒成立，按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可. （2）按照和、分类讨论，当时，利用复合函数单调性法则判断；当和时，结合二次函数的单调性及对数的真数恒为正，利用复合函数单调性法则列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意知对任意的恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得． 综上，a的取值范围是. （2）当时，在区间上单调递减，符合题意； 当时，若在区间上单调递减，则，所以； 当时，若在区间上单调递减，则，所以． 综上，a的取值范围是. 75．(24-25高一上·陕西西安西咸新区·期末)已知函数，且关于的不等式的解集为. (1)求函数的解析式； (2)若，讨论在区间上的最值. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由不等式的解可确定的解，然后由韦达定理可得答案； （2）由（1），讨论在区间上的单调性，据此可得答案. 【详解】（1）因的解集为，则的根为与. 由韦达定理，可得，则； （2）由（1），， 若，则在区间上单调递减， 则； 若，则在区间上单调递减，在上单调递增， 则， . 综上，. 地 城 考点04 不等式的实际应用 76．(25-26高一上·陕西延安新区高级中学·期中)某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【答案】(1) (2)216000元. 【分析】（1）利用矩形面积公式即可求出总造价函数解析式； （2）利用基本不等式求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 77．(25-26高一上·陕西西安高新第一中学·期中)某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. (1)若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1) (2)当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元. 【分析】（1）设，利用总造价不超过78000元列不等式，由此求得的取值范围. （2）利用基本不等式求得总造价的最小值以及设计方案. 【详解】（1）设m，m，且， 则依题意可得，且，则，且， 则总造价， 则，即， 整理得，解得，又， 所以边长的范围是. （2）结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元. 78．(25-26高一上·陕西汉中汉台中学·期中)如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为 ，宽为 . (1)若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 【答案】(1)m，m (2)m，m 【分析】利用基本不等式研究和与积的最值，指出等号成立的条件即可. 【详解】（1）由题意： ，，. 因为，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，所用篱笆总长最小. （2）由题意：，，. 所以 ，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，篱笆所围的育苗区面积最大. 79．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. （3）法一：利用基本不等式“1”的代换可求得的最小值. 法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值. 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 80．(24-25高一上·陕西渭南瑞泉中学·)某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 【答案】元 【分析】设每天获得的利润为元，则，令，利用基本不等式可得结果. 【详解】设每天获得的利润为元，则， 令，， 则， 当且仅当，即时每天获得的利润最多， 所以销售价为元. 81．(24-25高一上·陕西榆林镇川中学·月考)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为165平方米，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 【答案】(1) (2)变坏，理由见详解. 【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得. （2）记窗户面积为平方米、地板面积为平方米，同时减少的面积为平方米，表示出减少面积前后的比值作差比较即可作出判断. 【详解】（1）设该公寓窗户面积为平方米，则地板面积为平方米， 依题意，，解得， 所以这所公寓的窗户面积至少为. （2）记窗户面积为平方米、地板面积为平方米，同时减少的面积为平方米， 依题意，，，减少面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，， 由， 因为，，则，， 得，因此, 所以同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变坏了. 82．(24-25高一上·陕西咸阳彬州中学等·)某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，地面以及其他报价共计元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)左面墙的长度为10米 (2) 【分析】（1）设甲工程队的总报价为元，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论； （2）根据题意可得出，可知，对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：设甲工程队的总报价为元，依题意，左、右两面墙的长度均为米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当时，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. （2）解：由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当时，即时，取最小值， 则，即的取值范围是. 83．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：. (1)将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入总成本利润） (2)当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？（单位利润利润产量） 【答案】(1) (2)当产量为100个时，零件的单位利润最大，最大利润为100元. 【分析】（1）利用得到答案； （2）分和两种情况，结合基本不等式和函数单调性求出最值. 【详解】（1）； （2）设单位利润为， 当时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 当时，， 综上，当产量为100个时，零件的单位利润最大，最大利润为100元. 84．(24-25上·陕西西安高新第一中学·月考)排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和≤乱序和≤顺序和”．当且仅当或时，反序和等于顺序和． (1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过_______． (2)设是n个互不相同的正整数，求证： (3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同．问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）设两组数与，由“乱序和顺序和”可得； （2）设两组数：与，由“乱序和反序和”可得； （3）由题意求出等候总时间的表达式为，设两组数：与，由“乱序和反序和”可得等候的最少总时间. 【详解】（1）由题意是的任一排列， 设两组数与， 则可看作与两组实数的“乱序和”； 设也是的一个排列，且， 其中满足集合. 则为与两组实数的“顺序和”， 且. 则由排序不等式：乱序和顺序和， 得. 故空格处填：. （2）设两组数：与. 由是n个互不相同的正整数， 设是的一个排列，且满足， 即是这n个互不相同的正整数从小到大的排列， 因此. 又因为， 故由排序不等式：乱序和反序和， 得 . 故，命题得证. （3）由题意可知，水龙头注满第个人的水桶需要分钟， 则第个人打水时，即 个人都在等，需要等候总时间为， 故所有人打完水，他们等候的总时间为 . 设两组数：与. 由假定，这些各不相同， 设为的一个排列，且， 又因为， 由排序不等式：乱序和反序和， 得. 所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水， 即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水. 等候的总时间最少为，其中为从小到大的一个顺序排列. 【点睛】关键点点睛：根据题意理解并正确应用排序不等式解决问题，关键有两点：一是要先弄清楚排序不等式的研究对象，确定好所需研究的两组数是哪两组数；二是要明确或设出两组数分别的大小排序，有“序”，才有“反序和”、“乱序和”、“顺序和”的不等关系. 85．(24-25高一上·陕西西安第八十五中学·月考)某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产台需要另投入成本（万元），（万元），经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式： (2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元） 【分析】（1）根据利润关系式计算可得； （2）利用基本不等式求出利润最大值. 【详解】（1）依题意可得 ； （2）因为 ， 当且仅当时，即时，上式取等号，即， 综上，即当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元）. 86．某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ (2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 【答案】(1)长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为. (2) 【分析】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可得； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可得. 【详解】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为， 则所需篱笆的长度为，又， 当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短， 此时该菜园的总面积为； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为， 则， 当且仅当即时，等号成立， 此时另一边为， 即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小. 87．(23-24高一上·陕西榆林第十中学·月考)在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 一元二次函数、方程与不等式(4大题型) ☆4大高频考点概览 考点01不等式的性质 考点02基本不等式 考点03一元二次不等式 考点04不等式的实际应用 不等式的性质 目目 考点01 1.(24-25高一上陕西榆林期末)“X1≥2且x2≥2”是“x1+x2≥4且X182≥4”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(23-24高一下陕西咸阳期末)已知a,b是实数，则“32<3<1”是“音>言”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(23-24高一上陕西渭南富平县蓝光中学期末)若两个非零实数a,b满足a>b,则下列不等式不成立 的是() A.a>b B.a+2>b-2C.吉>言 D.a+b>0 4.(22-23高一上陕西咸阳期末)已知a,b,c,d,为实数，满足a>b,且c>d,则下列不等式一定成立的 是() A.ac>bd B.a+言22 C.a-d>b-cD.吉<吉 5.(22-23高一上陕西西安鄂邑区期末)设t=a-4b,s=a+b2+4,则t与s的大小关系是() A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t 6.(22-23高一上陕西汉中多校期末)若a>b,c>d,则() A.吉< B.ac2>bc2 C.a+c>b+d D.ac>bd 7.(20-21高一下·陕西安康期末)若a>b,则下列各选项正确的是() A.吉> B.a>b C.a3>b3 D.3>3-b 8.(21-22高一下·陕西汉中六校联考期末)若非零实数α，b满足a>b,则下列不等式一定成立的是（) 1/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.吉>吉 B.a+b>vab C.lga2>1gb2 D.a3>b3 9.(21-22高一2.1等式性质与不等式性质-)若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式中一定成立的是() A.a+b≥b-cB.ac≥bc C.品>0 D.(a-bc2≥0 10.(20-21高一下陕西榆林第十中学期末)若a,b,c为实数，且a<b,则下列不等关系一定成立的是() A.ac2<bc2B.吉<吉 C.ab<b2 D.a+c<b+c 11.a∈R,且a2+a<0,那么-a,-a3,a2的大小关系是（) A.a2>-a3>-a B.-a>a2>-a3 C.-a3>a2>-a D.a2>-a>-a3 12.(24-25高一上·陕西多校·期末)已知a,b,c为实数，下列说法正确的是() A.若吉<言，则a>b B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b,则a-c>b-c D.若a<b<0,则a2>b2 13.(24-25高一上陕西安康期末)已知a>b>0,则下列不等式一定成立的有() A.0<吉<iB.ac2>bc2 C.贵<1< D.a2>ab>b2 14.(2425高一上陕西西安西威新区期末)已知0<a<b,c>d,则下面不等式一定成立的是() A.a+c>b+dB.a-c<b-c C.ad<bc D.< 15.(23-24高一上陕西西安铁一中学期末)下列命题中，正确的有() A.x+最小值是4 B.“a>1”是“a2>a"的充分不必要条件 C.若a>b,则< D.函数y=log(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(4,2) 16.(23-24高一上陕西渭南期末)若b>a>0,c∈R,则下列结论正确的有() A.a2<b2 B.吉<吉 C.a+言<b+言 D.ac2<bc2 17.(23-24高一上陕西西安鄂邑区期末)已知a>b,c>d,则下列不等式一定成立的是（) A.ac>bd B.a+c>b+d C.ac2>bc2 D.a-d>b-c 18.(23-24高一上·陕西汉中普通高中联盟学校·期末)下列说法正确的时() 2/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.若a>b>0,则特<言 B.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点（一1,1） C.y=2x4的值域为[2，+∞) D.函数f(x)=x2-2x的零点为(0,0)，(2,0) 19.(22-23高一上陕西西安长安区第一中学期末)若x>y,则() A.In(x-y+1)>0 B.京< C.3>3y D.x>yl 目目 考点02 基本不等式 20.(24-25高一下陕西师范大学附属中学期末)实数x,y满足5x>2y>0,则，+亭的最小值是() A.5+ 5 B.25+1 5 C.5+2 5 D.25+2 5 21.(22-23高一上陕西商洛期末)已知a>1,b>1,且ab=25,则1oga·1ogb的最大值为() A.1 B.2 C.5 D.10 22.(24-25高一上陕西汉中期末)若a>0,b>0,且a+b=3,则() A.ab有最小值为 B.ab有最大值为 C.ab有最小值为星 D.ab有最大值为星 23.(24-25高一上陕西多校期末)设a>0,b>0,若a十b=4,则导+言的最小值为() A.4 B. C. D.8 24.(24-25高一上陕西安康期末)已知正数x,y满足京+壶=2，则x2+4y2+ex-1+e2-1的最小值为 () A.2 B.4 C.6 D.8 25.(24-25高一上陕西安康期末)已知3=1og23-10g35,b=1og57-1og,9,则() A.a>0,b>0B.a>b,b<0C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 26.(24-25高一上陕西榆林第一中学期末)已知函数f(x)=3+2x十1，若实数m,n满足 f(m2)+f(2n2-4)=2,则myn2+1的最大值为() 3/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2V2 B.9 c.23 D.9 27.(23-24高一上陕西西安庆安高级中学期末)己知x>7,则x十的最小值为() A.7 B.9 C.11 D.10 28.(22-23高一下陕西宝鸡教育联盟期末)己知4a2+b2=6,则ab的最大值为() A.星 B. c. D.3 29.(23-24高一上陕西宝鸡渭滨区期末)已知正实数x,y满足x+4y=2xy,则岁的最小值为() A.V2+ B.4 c. D.5 30.(23-24高一上陕西汉中普通高中联盟学校期末)“a=4°是“不等式(x+y)(安+号)≥9对于任意正 实数x,y恒成立”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 31.(22-23高一下陕西西安长安区第一中学期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=2,则a+2c的最小值为() A.6+4y2 B.12 C.3+2V2 D.9 32.(22-23高一上陕西渭南临渭区·期末)已知正数x,y满足x+2y=2,则xy的最大值为() A.2 B.1 C. D. 33.(22-23高一上陕西宝鸡金台区期末)函数f(8)=x+之(x≥)有() A.最大值号 B.最小值号 C.最大值4 D.最小值4 34.(24-25高一上陕西商洛·期末)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是() A.ab有最大值 B.2+b2有最小值写 C.景+言有最小值3+22 D.Va+6有最大值2 35.(24-25高一上陕西西安中学期末)已知a>b>0,且a+b=2,则() A.昌+号29B.a2+b2>2 C.Iga+lgb>0 D.a+b<2 36.(24-25高一上陕西榆林第一中学期末)已知a>0,b>0,a+b2=1则() A.va+b<v2 B.a+2b>1 4/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c.bWa≤ D.吉+是29 37.(24-25高一上陕西榆林期末)已知a>0,b>0,a十b2=1,则() A.va+b<2 B.a+2b>1 C.bWa≤ D.言+是29 38.24-25高一下陕西咸阳期末)已知向量a=(1,3),石=(xy),y>0,若与6共线，则最+y的 最小值为 39.(24-25高一上陕西西安鄂邑区·期末)某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为49m2,深 3m·若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是_ 元 40.24-25高一上陕西渭南期末若对任意x∈(0，+，不等式景≥2恒成立，则a的最小值 是 41.(24-25高一上陕西西安长安区第一中学期末)若两个正实数心，y满足x十y=3,且不等式 杂+号≥m恒成立，则实数m的取值范围为 42.(24-25高一上陕西安康期末)已知函数f(x)=es+ex,若f(a+4)≤fx+a)≤f(2a+1),则a的取 值范围为，若 bf(x)≤f(2x)+11恒成立，则b的最大值为 43.(24-25高一上陕西西安新城区期末)已知正数m,n满足m十n=4,则品+寺的最小值为」 44.(22-23高一上陕西西安·期末)求下列式子的最小值 (I)已知x>2,求x2+X; (2)已知x>0,y>0,且袁+吉=1，求x+y的最小值 45.(22-23高一上陕西西安第六中学期末)已知a,b∈(0，+∞)，函数f(x)=ax2-x+b的一个零点 为1 ()求+号的最小值： (2)解x关于的不等式f(x)≤0 46.(23-24高一上陕西渭南期末)阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热、干咳、乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以 纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现， 5/13 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 从确诊第一名患者开始累计时间t(单位：天)与病情爆发系数f(t)之间，满足函数模型： f(t)=+e,当f(t)=0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t约为多少？（参考数据： e11≈3) 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童、老年人以及体质较弱的年轻人某 疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x),已知 C(x)=51x+°-1450（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗 能全部售完当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润L(x)最大？ 47.(23-24高一上陕西安康汉阴县第二高级中学期末)我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘 米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C(万元)与隔热层厚度x(厘米)满足关 系式：cx)=本(0≤x≤10，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设☒)为隔热层建造费用 与使用20年的能源消耗费用之和 (1)求k值和f(x)的表达式： (2)当隔热层修建多少厘米厚时，fx)最小？请说明理由并求出x)的最小值 48.(23-24高一上陕西西安长安区第一中学期末)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来 每件售价为25元，年销售8万件 (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品 每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并 提高定价到x元.公司拟投入言(x2一600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万 元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入 不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价 目目 考点03 一元二次不等式 49.(24-25高一下·陕西师范大学附属中学·期末)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 (-∞，-2)U(3,+∞)，那么不等式bx+c>0的解集是() A.（-∞，-6)B.(-6,+∞) C.(6,+∞) D.(-∞，6) 50.(24-25高一上陕西西安高新第一中学期末)设集合A={xx>0},B={xx2-1<0},则 6/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AUB=() A.(-1,1) B.(0,1) C.（-1,+∞) D.(0,+∞) 51.(24-25高一上陕西多校期末)若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为{x-1<x<2},则 bx2-ax十c<0的解集为() A.(-1,2) B.(-∞，-1)U(2,+∞) C.(-2,1) D.(-∞，-2)U(1,+∞) 52.(24-25高一上陕西西安长安区第一中学期末)己知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为 (x-2<x<7},其中a,b,c为常数，则不等式cx2+bx+a≥0的解集是() A.{-吉≤x≤寺} B.{≤-寺或x之吉} c.{4-青≤x≤是} D.{邮≤-克或x≥} 53.(23-24高一上陕西西安庆安高级中学期末)已知集合A={xx-3>1},B={xx2-6x≤0}， 则AnB=() A.(4,6] B.(4,6) C.(2,6] D.[4,+∞) 54.(23-24高一上陕西渭南期末)已知不等式x2+bx+2>0的解集为xx<-2或x>-1},则不等 式2x2+bx+a<0的解集为() A.{x-1<x<克} B.{xx<-1或x>青}C.{x-1<x<-克} D.{xy<-2或x>1} 55.(23-24高一上陕西咸阳期末)“不等式mx2+x十4m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是() A.m>青 B.0<m< C.m>吉 D.0<m<言 56.(23-24高一上陕西西安鄂邑区期末)已知关于x的不等式ax2-(a-2)x+1>2x恒成立，则a的取 值范围是() A.(0,4) B.(0,4] c.[0,4) D.[0,4] 57.(22-23高一上陕西榆林期末)已知集合A={xx2-4x-5<0},B={xx≥2}，则AnB= () A.{x-1<x<5} B.{x2≤x<5} C.{x2<x<5} D.{xx>-1} 58.(22-23高一上陕西西安鄂邑区期末)已知不等式ax2-5x+b>0的解集是{x-3<x<-2}, 7/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则a+b的值为() A.-7 B.7 c.- D. 59.(22-23高一上陕西宝鸡金台区期末)若不等式16kx2+8kx一3<0对一切实数x都成立，则实数k的 取值范围是() A.-3<k<0B.-3≤k≤0C.-3<k≤0 D.k<-3或k≥0 60.(24-25高一上陕西西安交通大学附属中学期末)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为 x|x<-2或x>4},下列说法正确的是() A.a>0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集为x|x<-4} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为{xx<-寺或x>支} 61.(24-25高一上陕西西安期末)关于x的不等式x2+ax+3a>0的解集为R的充分不必要条件有() A.Iga=1 B.0<a<12 C.1<a<11 D.-1<a<15 62.(22-23高一上陕西西安第六中学期末)已知函数f(x)=1og2(x2-2x),则() A.函数f(x)的单调递增区间是[1，+∞)B.函数f(x)的值域是R C.函数f(x)的图象关于x=1对称D.不等式f(x)<1的解集是(-1,3) 63.(23-24高一下陕西咸阳期末)对于任意的xER,[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪，y=[x]被 “数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是() A.函数y=[x](xER)为奇函数 B.函数y=[x]的值域为Z C.对于任意的x,yER,不等式[x]+[y]≤[x+y]恒成立 D.不等式x-4[x]+3<0的解集为{2≤x<3} 64.(24-25高一上陕西咸阳期末)已知不等式x2-2x十c<0的解集为(x1x2),若在区间(x1x2)内有 且仅有三个整数，则实数c的取值范围是一 65.(24-25高一上陕西西安西咸新区·期末)若Vx∈R,不等式x2一ax+3≥0恒成立，则实数a的取值范 围是 66.(22-23高一上·陕西西安长安区第一中学·期末)已知关于x的方程x2+kx+k2+k-2=0有两个实数 根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为 8/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Va-x及 67.22-23高一上陕西西安鄂色区期)已知函数f(x)=于的定义域为(，1)U(1,2],则实数a的 值是一 68.(24-25高一上陕西汉中期末)已知函数f(x)=中 (1)求证：f(x)+f(-x)=2: (2)用单调性定义证明函数f(x)是减函数； (3)若a∈R,解关于x的不等式f(ax2-2ax+2)+f(-x)>2. 69.(24-25高一上陕西汉中期末)已知全集为R,集合A={(x-1)(x-4)<0}, B={xa<x<a+2) (I)当a=3时，求AU(CRB) (2)若AUB=A,求实数a的取值范围 70.(24-25高一上陕西西安中学.期末)己知集合 A={x|a-2≤x≤a+2},B={x|2x2-5x-7≤0} (I)当a=2时，求AUB,An(CRB): (2)若，求实数a的取值范围。 在①AUB=B,②“x∈A是“xEB”的充分条件，③AnB=O,这三个条件中任选一个，补充到本题横 线处，并求解 71.(24-25高一上陕西西安西北工业大学附属中学期末)已知函数f(x)满足 f(x)+2f(-x)=3x2+2x+3,函数g(x)= (I)求函数f(x)的解析式： (2)若不等式g(og)-k1og2X≤0在xE[4,8]上恒成立，求实数k的取值范围； 3)若关于x的方程2g(2州-2)+凳子-4m-2=0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围 72.(24-25高一上陕西安康期末)设集合A={x>1},B={xm-2≤x<m+3} (I)若m=4,求(CRA)∩B; (2)若A二B,求m的取值范围 73.(24-25高一上陕西西安长安区第一中学期末)已知集合A={xw2-8x+12≤0}， B-{号<1}，C={xx2-(2m+1x+m(m+1<0},U=R (I)求AUB,（CuA)nB; 9/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若C二B,求m的取值范围. 74.425商-上陕西检林八校联考期村已知函数f冈=18g(ax2+4x+a-3)(aER) (I)若fx)的定义域为R,求a的取值范围： (2)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围. 75.(2425高一上陕西西安西咸新区·期末)已知函数fx)=x2+bx+c,且关于x的不等式f(x)<0的解 集为-2,4) (1)求函数f(x)的解析式 (2)若m>0,讨论f(x)在区间[0，m]上的最值 目目 考点04 不等式的实际应用 76.(25-26高一上陕西延安新区高级中学.期中)某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为 100m2,库房墙高为6m,库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库 房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边AB的长度为x(x>0)m,库房总造价为y元， (1)试写出y与x的等量关系式： (2)求该库房的最低总造价， 77.(25-26高一上陕西西安高新第一中学期中)某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3, 深为3m,其底面为长方形ABCD,其中AD≥AB.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造 价为100元 (1)若贮水池的总造价不超过78000元，求AD边长的范围： (2)怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 78.(25-26高一上陕西汉中汉台中学期中)如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个 一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区设育苗区的长为xm,宽为ym 10/13