专题07 解答题压轴精选（期末真题汇编 陕西专用）高一数学上学期

null 专题06 解答题压轴精选 板块01 集合与简易逻辑 板块02 一元二次函数、方程和不等式 板块03 函数的概念与性质 板块04 基本初等函数 板块05 三角函数 集合与简易逻辑 地 城 板块01 1．(25-26高一上·陕西部分学校·月考)已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求； (3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或． (3)9 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算； （3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 因为中除0外还有6个元素，所以中除0外至少还有4个元素． 因为中除0外有3个负数，3个正数，所以中除0外的4个数是1负3正或1正3负． ①若中除0外的4个数是1负3正，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． ②若中除0外的4个数是1正3负，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． 综上所述，或． （3）因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变， 所以不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中没有负数时，设，其中， 则． 上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素． ②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，． 因为，其中从小到大的数共有个， 所以中至少有6个非正元素． 因为，所以中至少有3个正元素， 所以中至少有9个元素．综上所述，中至少有9个元素． 2．(25-26高一上·陕西咸阳永寿县中学·月考)已知 (1)若，求的取值范围． (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可知集合A是集合B的子集，由此可求得实数的取值范围． （2）将已知条件转化为集合A与集合B的关系，讨论分析可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以集合A是集合B的子集，所以，解得：. 所以实数的取值范围是. （2）因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集. 当，即时，，满足集合B是集合A的真子集； 当，即时，，此时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是：． 3．(24-25高一上·陕西咸阳实验中学·月考)已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断“命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件”的真假，并说明理由； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集． 【答案】(1)是封闭集；集合不是封闭集，理由见解析 (2)命题是真命题，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据封闭集的定义结合元素特征进行检验即可判断； （2）先推充分性，由可任取，推即得；再推必要性，由是封闭集易得，故为真命题； （3）对非空集合进行分类考虑，当时，，得证；当时，运用反证法思想，假设是封闭集合，分和两种情况进行分析讨论，引出矛盾，从而得证. 【详解】（1）是封闭集，不是封闭集，理由如下： 对于集合，因，故是封闭集； 对于集合，因， 故集合不是封闭集． （2）命题是真命题，理由如下： 若，不妨任取，则有， 又集合是封闭集，则，同理， 因此，即是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 故是是封闭集的充要条件，命题是真命题． （3）因非空集合是封闭集合， 当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 若，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合， 同理当时，也不是封闭集合， 所以的补集不是封闭集． 4．(24-25高一上·陕西榆林府谷县府谷中学·月考)已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合. 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性. (2) (3)，，，或. 【分析】（1）根据“包容”性的定义判断集合的“包容”性. （2）根据集合的“包容”性求的值. （3）根据集合具有“包容”性，且，再根据，可分析集合中的元素. 【详解】（1）集合中的， 所以集合不具有“包容”性. 集合中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性. （2）若集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知无解， 故. 综上，. （3）因为集合中共有6个元素，且，又，且中既有正数也有负数， 不妨设， 其中， 根据题意， 且， 所以，或. ①当时，， 并且由，得， 由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得. 综上，中有6个元素，且时，符合条件的集合有5个， 分别是，或. 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证.此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 5．已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 6．(19-20高一上·陕西延安第一中学·月考)设集合，集合. （1）若集合，求实数的取值范围 （2）若集合中只有一个元素，求实数的值. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）集合中对应表达式为二次函数，等价于，求解即可； （2）解出集合，由集合中只有一个元素判断集合中元素只能有一个，再进行求解即可 【详解】（1），，解得 （2）集合中只有一个元素，若集合， 将代入得或， 将代入得，解得集合，与题设矛盾，舍去； 将代入得，解得集合，符合题意，则满足； 同理，若，将代入得或， 题（1）中不满足条件，舍去， 将代入得，集合，符合题意，则满足 综上所述，实数的值为或 【点睛】本题考查根据集合为空集求解参数，根据交集结果求参数，在反向求解参数问题中，一定要注意检验原集合的表达形式是否符合题意，属于中档题 7．(25-26高一上·陕西西安高新第一中学·期中)已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 8．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·)含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 9．(24-25高一上·陕西西安某校·)设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示） (3)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合的交集可知，解一元二次方程可得a的值，验证是否符合题意； （2）利用根与系数的关系即可求得答案. （3）由题意判断出，分类讨论B的情况，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以，即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足，所以或. （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且， 所以. （3）因为，且，故, 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上，. 10．(24-25高一上·陕西洛南中学·期中)已知集合 (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ （2）∵集合，恒有 ∴，∴ （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 地 城 板块02 一元二次函数、方程和不等式 11．(25-26高一上·陕西西安第八十五中学·期中)设函数（），. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：； (3)求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）转化问题为恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. （3）求出二次函数的对称轴，结合图像讨论的范围即可求解. 【详解】（1）对一切实数恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得， 所以的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）函数是二次函数，函数图象是抛物线， 开口向上，对称轴为直线； 当，即时，在上的最小值为； 当，即时，在上单调递增，最小值为； 当，即时，在上单调递减，最小值为； 综上，在上的最小值为， 12．(25-26高一上·陕西西安鄠邑区第四中学·月考)（1）比较两个代数式与的大小； （2）利用基本不等式证明：已知，，都是正数，求证： （3）已知，求代数式的取值范围； 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）利用作差法，将两式相减即可. （2）利用基本不等式证明即可. （3）利用不等式的性质进行计算即可. 【详解】（1）两式作差，，因为，所以，所以，即. （2）因为，，都是正数，由基本不等式可得， （当且仅当时，等号成立）， （当且仅当时，等号成立）， （当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立) （3）因为，所以，因为， 所以，所以， 所以代数式的取值范围为. 13．(25-26高一上·陕西汉中多校联考·)已知函数，其中． (1)若且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设函数的图象与x轴的两个交点间的距离为l，求l的取值范围； (2)若且不等式的解集为，求的最小值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据给定条件，利用不等式的性质求出范围；（ⅱ）求出方程的两个根，结合（ⅰ）的结论求解. （2）根据给定条件，结合一元二次不等式的解集规律可得且，再借助消元法，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）（ⅰ）由且，得，， 由及，得，则， 所以的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，由，得方程的一个根为1， 则另一个实根，因此函数的图象与x轴的两个交点间距离， 所以l的取值范围为. （2）由且不等式的解集为，得，否则的解集为不为， 因此且，即且， 则，令， 于是 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 14．(25-26高一上·陕西商洛镇安县陕西镇安中学·月考)已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式的解集得到相应方程的实数根，根据根与系数的关系可得； （2）根据（1）得到的关系，代入不等式求解，讨论其解集的情况，并根据该不等式恰有3个整数解，确定实数的取值范围. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以方程有两根为-1和2，且， 由韦达定理得解得， 所以. （2）由（1）得，所以由，得. 即， 因为，故. 当时，，所以不等式的解集为， 要使得关于的不等式恰有3个整数解，则这3个整数解是3，4，5. 所以，解得. 当时，不等式化为，所以不等式解集为，不符合题意； 当时，，所以不等式的解集为， 此时关于的不等式最多有1个整数解，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 15．(25-26高一上·陕西汉中西乡县西乡县第一中学·月考)已知函数 (1)若，求关于的不等式的解集. (2)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. (3)已知，当时，，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3)36. 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可； （2）由题意可得，且和是一元二次方程的两个根，结合韦达定理可得，代入求解即可； （3）由题意可得，， ，化简得 ，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 关于的不等式， 即为，即， 故该不等式的解集是或； （2）因为关于的不等式的解集为， 故，且和是一元二次方程的两个根， 所以，即， 所以不等式可转化为， 又， 所以，即， 故不等式的解集为； （3）因为当时，， 所以， 即， 所以， 由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 16．(25-26高三上·陕西部分学校·)已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解； （3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （3）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 17．(25-26高一上·陕西咸阳永寿县中学·月考)已知正数满足． (1)求的取值范围． (2)证明：存在常数，使得为定值． (3)记的最小值为． ①求的值； ②若正数满足，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①，②证明见解析 【分析】（1）用表示后，结合为正数计算即可得； （2）计算可得，则可得时，为定值； （3）①借助基本不等式“1”的活用计算即可得；②借助基本不等式可得、、，结合计算即可得证. 【详解】（1）由，则，则，解得或， 又，则，即的取值范围为； （2）由，则， 则当时，有恒成立， 即存在，使得为定值； （3）①由（2）知，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故； ②由，则，则需证明， ，当且仅当时等号成立， 同理可得、， 当且仅当、时等号成立， 则， 则， 即，当且仅当时等号成立，即得证. 18．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·)在三角形中，设a、b、c为其三边长，我们用∑表示循环求和，即：，，．我们尝试证明如下不等式：．在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”.我们令，，，且x，y，z均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系.有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解. (1)计算当时，的值； (2)证明如下不等式：； (3)证明如下不等式：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，根据循环求和的定义求值即可. （2）利用换元法，结合基本不等式证明. （3）利用换元法，结合基本不等式证明. 【详解】（1）设，则，，， 所以 . （2）设，，， 则 . 因为x，y，z均为正实数，所以，，， 当且仅当时取 “”. 所以. 即（当且仅当时取“”）. （3）设，，， 则，，. 则转化成： . 因为，，（当且仅当时取“”） 各式相加得：. 所以成立（当且仅当时取“”）. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解循环求和的概念，列出循环求和的式子. 19．(24-25高一上·陕西西安西安工业大学附属中学·月考)已知正实数满足:. (1)求的最小值; (2)求的最小值; (3)求的最小值. 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求得； （2）利用“1”的妙用，将所求式整理后运用基本不等式求解即可； （3）利用柯西不等式求得的最小值，再利用常值代换法求得的最小值，且两式都在时取等，故得所求式的最小值. 【详解】（1）， （1）， 当且仅当，即时，的最小值为25. （2） ，当且仅当， 即时，的最小值是. （3）由柯西不等式（下面提供证明）可知:， 即当且仅当时，即时，等号成立. 又 当且仅当时，即时，等号成立. 故， 即时，的最小值是. 【附注】柯西不等式：，当且仅当时，等号成立． 证明：由 ，当且仅当时，等号成立，故得证. 20．(24-25高一上·陕西西安铁一中学·月考)问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时m的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析. (3) 【分析】（1）把转化为，利用题设给出的方法求和的最小值. （2）借助“1”的代换，利用 ，再利用不等式可判断和的大小. （3）取，，构造，利用（2）的结论，可求的最小值，再分析“”成立的条件，可得的值. 【详解】（1）由（，）可得：（，）， 所以 （当且仅当即时取“”）. 所以的最小值为：. （2）因为， 所以 ， 因为（当且仅当时取“”）. 所以 （当时取“”） 所以：（当且仅当即时取“”）. （3）取，， 由 ，此时，所以. 同时： ，取，. 由（2）可知：，所以， 当且仅当，结合，得即时取“”. 【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用 ，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用. 函数的概念与性质 地 城 板块03 21．(25-26高一上·陕西咸阳实验中学·)已知函数 (1)判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； (2)求不等式的解集； (3)设，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据单调性的定义，应用作差法判断证明函数的区间单调性； （2）讨论函数的单调区间，应用单调性解不等式求解集； （3）令，问题化为在区间上恒成立，应用分类讨论及二次函数的性质求最值，即可得参数范围. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ，而， 所以，即， 故函数在区间上单调递增； （2）由解析式知，函数的定义域为， 当时，同（1）证明，知函数在区间上单调递增， 又，所以，即， 所以，即不等式的解集为． 当时，，所以，即， 而函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为 综上，不等式的解集为； （3）， 令，由及（2）知， 设的图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 原问题转化为在区间上恒成立． 由时，有，或， 当时，函数在上单调递增， 所以，即； 当时，函数在上单调递减， 所以，即； 当时，，函数，符合题意； 综上，实数的取值范围为. 22．(25-26高一上·陕西师范大学附属中学·期中)已知幂函数是偶函数，且在上是增函数． (1)求的值，并写出相应的函数的解析式； (2)对于（1）中的，设． (ⅰ)是否存在实数，使得在区间上的值域是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (ⅱ)已知点是曲线上的一点，直线与曲线交于两点，若不等式的解集为，求的面积． 【答案】(1)， (2)(ⅰ) 存在，或 ；(ⅱ) 【分析】（1）利用偶函数的性质确定的值即可； （2）（i）先求出的表达式，然后讨论二次函数的对称轴位置再结合二次函数的单调性可得； （ii）利用一元二次不等式根与系数的关系求出的表达式，再解出点，然后过点作轴的垂线，直曲联立解出点，然后由三角形面积组合求出可得. 【详解】（1）∵幂函数在上是增函数． ∴，解得． 又∵．            ∴． 当或时，，为非奇非偶函数，不符合题意； 当时，，其为偶函数，符合题意． 综上，，． （2）由（1）可知，． (ⅰ)①当，即时，在递减，此时、 ，无解． ②当，即时，在递增，此时、，无解． ③当，即时，在递增、在递减，此时． 若，即时，故、，符合； 若，即时，故、，符合． 综上，或． (ⅱ) ∵的解集为． ∴和是方程的两个实数根，故，则，则． 过点作轴的垂线，设其与直线的交点为，则，故两点间的距离为． 由可得，，解得． 不妨设，所以． 综上，的面积为． 23．(25-26高一上·陕西师范大学附属中学·期中)已知函数满足，且当时． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，代入可得； （2）令，代入可得，再令，代入后由偶函数的定义可得； （3）由偶函数的对称性和单调性列不等式组可解. 【详解】（1）令，则， 所以． （2）函数为偶函数，理由如下： 令，由可得，． 令，则，且定义域为． 综上，函数为偶函数． （3）令，则当时． 已知，当时， 所以． ∴，即，故在上单调递增． 又∵由（2）可知，的图象关于对称， ∴所以若使，则只需， ∴，解得且且． 综上，该不等式的解集为． 24．(25-26高一上·陕西汉中某校·月考)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)作出函数的图象； (2)写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； (3)求函数在上的解析式． 【答案】(1)作图见解析； (2)单调增区间为和，在区间上的最大值为4，最小值为； (3). 【分析】（1）先画出时的图像，再根据奇函数图像关于原点对称画出时的图像即可； （2）由图像得出单调区间，根据单调性来求最值即可； （3）根据奇函数的性质求出函数的解析式. 【详解】（1） （2）由函数图象，可得单调增区间为和. 所以在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值， 由于是奇函数，所以， ，， 所以当时，在区间上取得最小值， 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. （3）当时，所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以. 25．(25-26高一上·陕西西安高新第一中学·期中)我们学习了奇函数的定义：设函数的定义域为，若对，都有，且，那么函数就叫做奇函数.类比奇函数定义，我们可以得到一般的中心对称函数的定义，设函数的定义域为，若对，都有，且，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)已知函数，判断是否为奇函数，并说明理由； (2)已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心（不用证明）； (3)已知函数，其中，若正数，满足：，且不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)不为奇函数；理由见解析 (2)； (3). 【分析】（1）利用奇函数定义域的特点判断函数的奇偶性. （2）先根据函数定义域的特点判断对称中心的横坐标，再根据函数对称中心的定义求对称中心的纵坐标. （3）先研究函数的对称中心，再利用倒序相加求和法求的结果，分离参数得恒成立，最后利用基本不等式求的取值范围. 【详解】（1）定义域为，不关于原点对称，存在，但不存在，由奇函数定义可知，不为奇函数. （2）的定义域为，则要为中心对称函数，则对称中心的横坐标只能为， 而， 所以函数的对称中心为. （3）函数，， 则函数的对称中心为， 记， 则， 于是，即， 依题意，，，，为正数， 恒成立， 而 ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 所以的取值范围是. 26．(25-26高一上·陕西西安高新第一中学·期中)已知函数是定义在上的函数.对任意，总有. (1)证明：函数是奇函数； (2)若时，恒成立； ①判断函数在上的单调性，并说明理由； ②解关于的不等式：. 【答案】(1)证明见解析 (2)①在上单调递减，理由见解析；②答案见解析 【分析】（1）令得出，再令，，利用奇函数的定义即可得证； （2）①利用定义法即可证明函数单调性；②首先利用函数单调性脱去，把不等式转化为，然后解含参不等式，分或1，，或三种情况即可求解. 【详解】（1）由对任意，总有， 令，则，则， 令，，则 则有，故，则是奇函数. （2）①设任意，， 则， 又，则，则， 所以函数在上单调递减； ② 因为在上单调递减，所以，即，即， 当，即或1时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即或时，解集为. 27．(25-26高一上·陕西汉中汉台中学·期中)已知函数，且. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性（不需证明）； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，为偶函数 (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据所给的条件，列式可求的值，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. （2）判断函数在上的单调性，利用单调性的定义证明函数在所给区间上的单调性. （3）先根据给出的条件，把原不等式转化为，再结合函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. 【详解】（1）因为 ， 所以对恒成立，所以. 所以， 因为 ，所以函数为偶函数. （2）函数，在上单调递减，证明如下： 设， 则 . 因为，所以，，， 所以，即，也就是. 所以函数，在上单调递减. （3）因为，， 所以，. 所以不等式可化为，即. 又因为为偶函数，且在上单调递减，定义域为， 所以 . 又因为，所以所求不等式的解集为：. 28．(25-26高一上·陕西西安鄠邑区·期中)已知函数的定义域为，对任意实数，，都有.当0时，. (1)设函数，判断的奇偶性，并说明理由. (2)证明：在上单调递增. (3)判断命题“对任意正有理数，恒成立”的真假，并说明理由. 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3)真命题，理由见解析 【分析】（1）通过赋值法结合奇函数的定义即可求出； （2）根据函数单调性的定义，判断的正负性即可 （3）设，根据表达式化简得，进而可证. 【详解】（1）因为的定义域为，所以的定义域为，的定义域关于原点对称. 令，则，得. 令，则， 所以，即， 所以为奇函数. （2）证明：任取，，且，则，所以. 令，，则， 所以，即， 所以，故在上单调递增. （3）命题“对任意正有理数，恒成立”是真命题. 理由如下：因为是一个正有理数，所以，，， 所以原命题等价于对任意，，恒成立. 因为 ， 所以，所以， 所以， 所以对任意正有理数，成立，所以原命题是真命题. 29．(24-25高一上·陕西西安陕西师范大学附属中学·月考)已知函数对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的单调性并证明； (2)若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，理由见解析 (2) 【分析】（1）结合函数的定义，构造时，都有即可证明； （2）由绝对值的性质，可分分类讨论，利用参变分离结合对勾函数的单调性及二次函数的性质可得的取值范围. 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 由可得，， 当时，， 令，则有，所以， 所以函数在上单调递增. （2）由，则，所以， ，所以， 所以， 所以对任意的恒成立， 当时，恒成立； 当时， 若，可化为， 即，即， 因为函数在单调递减，所以， 所以，解得与矛盾，舍去； 若，可化为， 即，即， 由对勾函数性质可知，函数在单调递减，单调递增， 所以， 所以，解得，又，所以符合要求； 若， 令函数， 则对任意的恒成立， 当时，， 对称轴为， 由， 故当或时，即或时，即时，符合要求， 当，即，即时， 须有，解得，即符合要求， 即当时，在恒成立； 当时，， 则有对称轴， 故只需，解得，即， 故当时，在恒成立； 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的解决关键是利用分类讨论思想，分三种情况进行讨论，进一步利用参变分离方法讨论两种情况，利用二次函数的性质讨论时的情况. 30．(24-25高一上·陕西咸阳武功县普集高级中学·期中)设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明； （3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解. 【详解】（1）由，解得． 当时，，对于任意的， 都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，使得，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形； （3）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以． 综上可知，实数的取值范围为． 地 城 板块04 基本初等函数 31．(25-26高一上·陕西渭南韩城·期中)已知函数 (1)当时，求的值域； (2)当时，设，证明：； (3)当时，判断的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)在定义域上单调递增，证明见详解 【分析】（1）整理可得，结合指数函数值域分析求解即可； （2）整理可得，，结合基本不等式运算求解； （3）整理可得，结合单调性的定义分析证明. 【详解】（1）若，则， 因为，则，，可得， 所以的值域为. （2）若，则，， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 显然，则， 所以. （3）由题意可知：，其定义域为， 在定义域上单调递增，证明如下： 因为，则， 任取，则，， 可得，，则， 可得，即， 所以在定义域上单调递增. 32．(25-26高一上·陕西咸阳实验中学·)已知函数（，且）． (1)证明：函数是偶函数； (2)设，集合， （i）当时，求函数的值域； （ii）若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用定义域对称性，结合证明，即可判断偶函数； （2）（i）先求出二次函数的值域，再求对数函数值域即可； （ii）根据题意转化为等式左右两边值域有交集，可先求没有交集的参数范围，再求出有交集时的参数范围，它们之间是补集关系. 【详解】（1）证明：依题意有,解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又， 故函数是偶函数． （2）（i）由及（1）得，且， 当，即时，， 所以，所以，所以， 所以， 故当时，函数的值域为． （ii）由（i）可知，所以， 存在实数，使得， 等价于， 而若， 则或，即或， 故当时，则， 故实数的取值范围为． 33．(25-26高一上·陕西汉中西乡县第一中学·期中)已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)证明函数在是单调递增的； (3)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1). (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据列方程求解可得； （2）根据定义法，结合指数函数的单调性证明即可； （3）令，转化为二次函数，然后分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， ，. （2）由（1）可知，设 则- ， ， ，即， 函数在上单调递增. （3）， ， 令，由（2）可知，即， ， 若时，当时，，解得； 当时，当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，可知. 34．(25-26高一上·陕西延安新区高级中学·期中)定义，已知函数，，. (1)求函数的单调区间. (2)已知、、是关于的方程的三个实根. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）已知，求的最小值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）化简函数的解析式，即可得出函数的增区间和减区间； （2）（i）化简函数的解析式得，分、两种情况解方程，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围； （ii）由已知得出，，结合不等式的基本性质得出，结合基本不等式即可求得 最小值. 【详解】（1）当时，恒成立. 当时，令，得. 所以 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）（ⅰ）当时，令，得， 当时，恒成立， 从而有. 由，得，进而. 再由可得，即， 解得或， 由，可得，故的取值范围为； （ii）令，所以，. 故， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 35．(24-25高一下·陕西西安长安区第一中学·)已知函数且． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，判断函数在上的单调性并说明理由； (3)是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)奇函数，理由见详解 (2)单调递减，理由见详解 (3)存在； 【分析】（1）先由函数解析式求出定义域，再由，求出，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果； （2）先令，用单调性的定义，即可判断的单调性，再由复合函数单调性的判定原则，即可得出结果； （3）先假设存在满足条件的实数，由题意得出，，推出是方程的两根，进而得到在上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 由解得或，即函数的定义域为； 又， 所以， 因此，所以， 所以函数为奇函数. （2）函数在上单调递减，理由如下： 令，任取， 则， 因为，，，所以， 即函数在上单调递增； 又，所以单调递减， 根据复合函数同增异减的原则，可得：在上单调递减. （3）假设存在实数，使得当的定义域为时，值域为，由，可得； 所以， 因此是方程的两根， 即在上有两个不同解， 设，则，解得. 所以存在，使得当的定义域为时，值域为. 36．(23-24高一上·陕西西安庆安高级中学·期末)已知函数 (1)当时，求的零点； (2)设，若，、，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用解出即可得答案； （2）根据函数单调性求出的最值，化简，再根据二次函数的单调性可得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得， 即，即，解得，即的零点为． （2）因为，． 因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 则， 即，所以， 即对任意的恒成立． 设函数，其中， 因为，所以在上单调递增， 则，解得， 故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第2问的解决关键在于，分析得的单调性，从而去掉绝对值，从而得解. 37．(24-25高一上·陕西西安铁一中学·月考)设（为实常数），与的图像关于轴对称. (1)若函数为奇函数，求的取值； (2)当时，若关于的方程有两个不等实根，求的范围； (3)当时，求方程的实数根个数，并加以证明. 【答案】(1) (2) (3)有唯一实数根，证明见解析 【分析】（1）由奇函数的性质列方程即可求得的值； （2）把关于x的方程有两个不等实根，转化成一元二次方程根的分布去解决即可； （3）先构建一个新函数，再由函数的单调性，结合零点存在性定理判定函数的零点情况即可. 【详解】（1）设点为图像上任意一点，关于y轴的对称点为， 由题意可知在上，则有，故. 由 为奇函数， 则有，故. 检验：当时，，定义域为， 任意，都有， 故是奇函数. 综上可知，. （2）当时，. 由，且，得，即， 令，则关于的方程有两个不等正根， 则有，解得. （3）令，. 由，即，可知， 则时，与均单调递增，故上单调递增， 当时，， 且， 故在上有唯一零点； 又当时，恒成立，即在上无零点. 综上可知，方程有且仅有一个实数根. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于构造差函数，令，将方程的实数根个数转化为函数的零点个数，再结合函数的单调性与零点存在性定理求解. 38．(23-24高一上·陕西渭南·期末)已知为上的偶函数，为上的奇函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)若不等式在恒成立，求实数的取值范围； (3)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得到，与联立，即可求得答案； （2）判断函数的单调性，结合奇偶性，求解不等式，可得答案； （3）由题意可得在时的值域应为在时的值域的子集，即；由此讨论m的范围，求出的表达式，结合解不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由为上的偶函数，为上的奇函数，且， 得，即， 故，； （2）由于在R上单调递增，在R上单调递减， 故在R上单调递增，且为上的奇函数， 故由不等式在恒成立， 得在恒成立， 即，即在恒成立， 故在恒成立， 由于时，，当且仅当时取等号， 故； （3）设，该函数上的最小值记为， 为R上的单调递增函数，其在上的最小值为， 由于，使成立， 即在时的值域应为在时的值域的子集， 故只需； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 于是，由，得， 即，故； 考虑到，故，则， 解得；又，故； 当时，在上单调递减，则， 而，故此时恒成立， 综上，可知实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了利用函数奇偶性求解函数解析式和利用函数奇偶性、单调性解不等式以及函数不等式恒成立问题，解答的关键是将函数不等式恒成立问题转化为函数的最值问题求解. 39．(23-24高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·月考)已知函数（，且）． (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值； (2)在（1）的条件下，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数函数与对数互为反函数得，再由过定点求解； （2）利用对数函数的单调性，将不等式转化为二次不等式在闭区间上的恒成立问题，结合二次函数图象建立不等式组求解可得. 【详解】（1）由函数的图象与函数的图象关于直线对称， 则为的反函数，即（，且）， 又过，则有，解得； （2）由（1）知在为减函数， 则，且， 由题意，首先不等式在有意义， 设，函数单调递增， 则，则，此时也满足. 不等式可化为， 则有，， 则有在恒成立， 设，函数图象开口向上， 则，解得，满足. 故实数的取值范围为. 40．(23-24高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·月考)已知函数与具有如下性质： ①为奇函数，为偶函数； ②（常数是自然对数的底数，）． 利用上述性质，解决以下问题： (1)求函数与的解析式； (2)证明：对任意实数，为定值； (3)已知，记函数的最小值为，求． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合函数的奇偶性的性质计算即可得； （2）代入计算即可得； （3）找到问题中与之间的关系，借用换元法将复杂的原式化为二次函数，结合函数的定义域去分类讨论即可得. 【详解】（1）由为奇函数，为偶函数，即有，， 则， 故，， 即，； （2）， 故对任意实数，为定值，且该定值为； （3）， 由， 令，则， 故， 由，中有随增大而增大，随增大而增大， 故随增大而增大，故， 设，， 当时，，此时， 当时，， 当，此时，故在上单调递减， 故有， 当时，若，即时，在上单调递减， 此时有， 若，即时，在上单调递减， 在上单调递增，故有， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 地 城 板块05 三角函数 41．(24-25高一下·陕西汉中部分学校·)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式及单调递增区间； (2)讨论在上的值域； (3)求函数在上的零点之和． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，结合整体代入法求单调区间； （2）由，得，由，得，对分类讨论得函数的单调区间，进一步得函数值域； （3）将原问题转换成，得或，进一步将零点排列出来即可求解. 【详解】（1）由题意得． 由， 得， 所以的单调递增区间为． （2）由，得，由，得． 当，即时，是增函数，所以． 当，即时，先增后减，所以． 当，即时，先增后减，所以． 综上，当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为． （3） ． 由，得，得或， 即或． 因为，所以或或或． 故在上的零点之和为． 42．(24-25高一下·陕西多校联考·期中)如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得，即可求解，，，再根据题中可知，求出的值即可求解函数解析式； （2）结合题意可得从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌，只需令，解不等式得到的范围即可求解. 【详解】（1）由题意知，，解得. 又，，即. 又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即， ，即，∴. 又，, ，. （2）由（1）知，. 从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌， ∴令，得，即， 解得，即， 又， 游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌. 【点睛】本题考查模型在实际问题中的应用，考查数学建模，数学运算的核心素养. 43．(24-25高一上·陕西榆林八校联考·期末)已知函数 (1)已知集合，函数的值域为，若是的一个子集，求实数的取值范围； (2)已知函数，若，求使函数取得最小值的自变量的取值集合； (3)若函数的定义域为，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2) (3)单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）由已知可得，令，则，其中，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域，根据题意可得出关于实数的不等式组，解之即可； （2）由（1）得到的代入得到，将使得取最小值的自变量转化为取最大值的自变量，再根据余弦函数性质即可得到C；     （3）由（1）知，其中，利用二次函数的的单调性，利用复合函数法可求得函数的单调区间，最后再反代回即可得到答案.. 【详解】（1）， 令，则，其中， ， 函数的值域为， 集合，且是的一个子集， 解得， 实数的取值范围是． （2）当时，函数， 令， 得， 使函数取得最小值的自变量的集合． （3）二次函数在上单调递减，在上单调递增， ①当时，即， 由，得， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，即，则有， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数法的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 44．(24-25高一上·陕西西安·期末)设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得（为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值． (1)若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，并说明理由； (2)若函数，，，，与是恒定比数值为4的异自变量定值函数组合，求的取值范围； (3)若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围． 【答案】(1)与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别求出与在给定的自变量的范围内的值域，再利用异自变量定值函数组合的定义进行判断； （2）判断出的单调性，求出在上的值域，结合异自变量定值函数组合的定义，得出的取值范围，根据正弦型函数的性质求出的取值范围即可； （3）分别求出，的值域，再根据与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，根据，需要进行分类讨论． 【详解】（1）与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，理由如下： 是增函数，所以函数在上单调递增， ， 则的取值范围是， ，， 则的取值范围为， 若与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合， 则对任意的，存在，使得， 根据与的取值范围分别是，， 因此，对于的取值范围内的所有的值，都可以找到一个的值，使其满足， 故与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合； （2）都是增函数， 所以在上为增函数， ， 因此的取值范围是， 若与是恒定比数值为4的异自变量定值函数组合， 则有， 由于的取值范围是， 所以的值域为， 为了使等式符合定义要求，的值域也必须包含于， 由于的值域为， 因此满足：， 解得； （3）在上， ， 当时，， 当时，， 因此的值域为， ，在上， ， ， ， 因此的值域为， 若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合， ， 为了使等式符合定义要求， 的值域也必须包含， 当时，满足，解得：； 当时，满足，解得：； 综上的取值范围为： 【点睛】关键点点睛：函数值域的确定及根据给定条件求解参数的取值范围，通过分析异自变量定值函数组合的定义，把问题转化成两个集合之间的包含关系，列出不等式组进行求解，涉及参数的时候需要分类讨论． 45．(21-22高一下·陕西咸阳实验中学·)已知函数 (1)求证：π是函数的一个周期； (2)若，求的值域； (3)是否存在正整数n，使得函数在区间内恰有12个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，8或9 【分析】 （1）根据周期函数的定义推理即得； （2）根据函数中的与，采取换元为，将函数化成关于的二次函数，借助于的范围求得的值域； （3）根据函数的周期性，先分析推理在一个周期上的零点个数为4，根据题设，只需使区间的右端点满足,,由之即可求得. 【详解】（1）由 ， ∴π是函数的一个周期． （2）若，则． ，，故 ∴设，又，则，， ∴，因，故 即，故所求值域为． （3）①当时，由（2）知，，． 令，得或，即或． ∴，或，或或，其中． ∴函数在内有4个零点． ②当时，． 设，，则， 于是， 令，解得或均不在区间内， ∴函数在内没有零点． ∴函数在内有4个零点． 假设存在正整数n，使得函数在区间内恰有12个零点， 则，且，∴或． ∴存在或时，函数在区间内恰有12个零点. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与三角函数有关的值域、零点问题，属于难题. 解题值域问题的思路在于发现与的内在联系，采用整体换元，将其转化成二次函数的值域求解；解决零点问题的思路是利用该函数的周期性，先考查其在一个周期上的零点个数，再推广到其它区间范围上即可求解. 46．(23-24高一上·陕西西安西安交通大学附属中学·期末)已知函数且. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)定义域为，奇函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）先求出的定义域，再由奇函数定义证明即可； （2）利用奇函数和分类讨论单调性，先将条件转化为不等式组恒成立问题，再转化为分离参数转化为最值问题求解a的范围即可. 【详解】（1）要使有意义，需满足，解得， 故定义域为. 判断是奇函数. 证明：定义域为，关于原点对称； 又 ， 所以为奇函数； （2）由，得． 由（1）知为奇函数，则， 所以， 因为， 令，则在上单调递增， 当时，单调递减， 由复合函数单调性可知，在上单调递减， 则要使恒成立， 即恒成立， 即要使①，②，③均恒成立. 由，不等式①②显然恒成立， 由， 且当时，， 故不等式③也恒成立， 故当时，即对于任意的，恒成立. 当时，单调递增，则在上单调递增， 则恒成立， 由， 即①，②，③均恒成立 当时， 要使①恒成立，则，则； 不等式②显然恒成立； 要使不等式③恒成立得，， 由解得； 故当时，要使①②③均恒成立，则 综上所述，实数a的取值范围为. 【点睛】易错点睛：求解或转化抽象（或复合）同构型函数不等式时，常利用函数单调性转化为常规不等式，但首先要使不等式各部分有意义，不能忽视函数定义域的研究. 47．(22-23高一上·陕西榆林·期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）. (1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）； (2)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】(1)， (2)40 【分析】（1）根据图形，利用几何知识和三角函数求解函数解析式； （2）根据正弦方程，求解的关系，通过分类讨论得到的最小值. 【详解】（1）如图，过O作交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM. 因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转，则. 又因为，，所以， 则. ，， 即，. （2）不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为. 综上，的最小值为40. 【点睛】思路点睛：几何中的三角函数模型, 一般应按下面几个步骤进行：一是要认真分析题意，借助已知或画出的示意图，弄清已知量和未知量，二是找出有关的数学模型，找出直角三角形或通过添加辅助线构造有关的直角三角形，把问题转化为求直角三角形的边或角有关问题，三是选择合适的三角函数表示出相应的角或线段，建立起函数模型. 48．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊点的坐标，求出，得到函数解析式； （2）先根据平移变换和伸缩变换得到，令，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到，再根据对称性得到，相加后得到，求出答案. 【详解】（1）由图示得：，解得：， 又，所以，所以， 所以. 又因为过点，所以，即， 所以，解得， 又，所以，所以. （2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到， 将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到， 当时，， 令，则， 令，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 且， , 所以时，.当时，方程恰有三个不相等的实数根. 因为有三个不同的实数根， 且关于对称，关于对称， 则， 两式相加得：， 即，所以. 49．(21-22高一下·陕西宝鸡金台区·期末)已知函数 (1)用五点法作图作出在的图像； (2)求在的最大值和最小值． 【答案】(1)作图见解析 (2) ； 【分析】本题由课本29页，例2改编；利用五点法画出的图像，并利用图像研究性质． 【详解】（1）列表如下： 对应的图象如图： （2），由且结合图象知             50．(19-20高一下·陕西西安中学·期中)已知函数，． （1）求函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若关于的方程在恰有4个不同的解，求的取值范围．（直接给出答案，不用书写解答过程）． 【答案】（1）（2）（3）. 【分析】（1）设，则原函数可转化为关于的二次函数，求值域即可； （2）根据同角三角函数基本关系，转化为，解关于的一元二次不等式； （3）设，由正弦函数图象知当，时，与有4个交点，故需与 有2个交点，且交点横坐标，，根据（1）及二次函数图象可得，且. 【详解】（1）设， 则函数，所以 ，即函数的值域为. （2）不等式化简得， 解得或（舍） 解得（或者为） （3）. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，三角不等式，属于难题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $