15.4 等腰三角形（3）课件 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

15.4 等腰三角形（3） 判断下列语句是否正确。 （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°. ( ) （3）等腰三角形的底角一定是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ） × × 新知导入 活动探究一：思考以下问题，动手做一做。 （小组讨论，3min） 1、写出“等腰三角形两个底角相等”的逆命题。 2、这个逆命题是真命题吗？ 请与你的同学研究讨论后作出判断。 新知讲解 逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 已知：如图，在ΔABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. C D B A 新知讲解 证明 过点A作AD⊥BC,D为垂足， ∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义） 在ΔADB和ΔADC中， ∠B=∠C，（已知） ∵ ∠ADB=∠ADC，（已证） AD=AD,（公共边） ∴ΔADB≌ΔADC.（AAS） ∴AB=AC.（全等三角形的对应边相等） 你还有其他求证方法吗？ 新知讲解 证明：作∠BAC的平分线AD 则 ∠1=∠2 在ΔBAD和ΔCAD中 ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD（公共边） ∴ΔBAD≌ΔCAD （AAS） ∴AB=AC （全等三角形的对应边相等） C D B A 温馨提示：这又是一个判定两条线段相等根据之一。 新知讲解 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称“等角对等边” 等腰三角形的判定定理 ∴ AC=AB. 在△ABC中， ∵∠B=∠C 用符号语言表示为 新知讲解 名称 图形 概念 性质 判定 等 腰 三 角 形 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形 1、两腰相等 1、两边相等 2、等边对等角 2、等角对等边 3、三线合一 4、是轴对称图形 A B C 运用等腰三角形的判定定理时，应注意在同一个三角形中。 新知讲解 已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C 小组讨论AB 、AC、BC有什么关系呢？ A B C 活动探究二：思考以下问题，动手做一做。 （小组讨论，3min） 新知讲解 证明：在⊿ABC中 ∵ ∠ A=∠B（已知） ∴BC=CA（等角对等边） 同理CA=AB ∴BC=CA=AB 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC 新知讲解 已知：如图，⊿ABC中， AB=AC， ∠ A=600 小组讨论AB 、AC、BC有什么关系呢？ A B C 活动探究三：思考以下问题，动手做一做。 （小组讨论，3min） 新知讲解 已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600。 求证：AB=AC=BC 证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ A=600 ∴ ∠B=∠C = 600 ∴AB=AC=BC A B C 推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是等边三角形。 顶角等于60° 60° 新知讲解 已知：如图，⊿ABC中， AB=AC， ∠ B=600 小组讨论AB 、AC、BC有什么关系呢？ A B C 活动探究三：思考以下问题，动手做一做。 （小组讨论，3min） 新知讲解 已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠B=600。求证：AB=AC=BC A B C 证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ B=600 ∴ ∠C = 600 ∴∠ A=600 ∴AB=AC=BC 推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是等边三角形。 底角等于60° 60° 新知讲解 已知：如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A=30°，试判断BC与AB之间的关系，并说明理由？ A B C 活动探究四：思考以下问题，动手做一做。 （小组讨论，3min） 新知讲解 已知：如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC= AB. D B C A 证明：延长BC到点D,使CD=BC.连接AD, 在ΔABC和ΔADC中 BC=DC ∵ ∠ACB=∠ACD=90° AC=AC ∴ΔABC≌ΔADC ∴ AB=AD,∠DAC=∠BAC=30° 新知讲解 ∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=60° ∴ΔABD是等边三角形 （有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) ∴BD=AB ∴BC= BD= AB 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 新知讲解 如图，一艘船从A处出发，以每时10n mile(海里）的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.这艘船如果上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上. （1）画出礁石C的位置； （2）求从B处到礁石C的距离. ⌒ ⌒ 60° 30° C B A 北 新知讲解 解:（1）以B为顶点，向北偏西60°作角，这角 一边与AC交于点C,则点C为礁石所在地. （2）∵∠ACB=60°-30°=30°，（三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵∠BAC=30°，∴∠BCA=∠BAC.∴BC=BA. ∵BA=10×（10-8）=20（n mile）， ∴BC=20（n mile）. 即从B处到礁石C的距离是=20n mile. 新知讲解 1. 已知：如图，AB与CD交于点P, CP=PD, ∠A=42°，∠CPB=138°，∠B=69°.求证：AC=PB. 69° C B D P A ⌒ ⌒ ⌒ 138° 42° 课堂练习 课堂练习 证明 ∵∠APC=180°-∠CPB =180°-138°=42°, 又 ∵∠A=42° ∴∠A=∠APC ∴AC=CP ∵∠D=∠CPB-∠B=138°-69°=69° 又 ∵∠B=69° ∴∠D=∠B ∴PB=PD ∴AC=PB 2.已知：ΔABC中，AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,若∠B=45°，BC=10cm. 求AD的长度. B D C A 解 ∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD也是BC边上的高和中线. ∴BD= BC=5cm 又∵∠B=45° ∴∠BAD=45°. ∴AD=BD=5cm. 课堂练习 　　 　　 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：∠AEB=∠ADC； （2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数． 拓展提高 　　 　　 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC． ∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE， ∴∠DAE=60°，AE=AD． ∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC ∴∠EAB=∠DAC． 在△EAB和△DAC中， ∵ ∴△EAB≌△DAC． ∴∠AEB=∠ADC． 拓展提高 　　 　　 (2)∵∠DAE=60°，AE=AD， ∴△EAD为等边三角形． ∴∠AED=60°， 又∵∠AEB=∠ADC=105°． ∴∠BED=45°． 拓展提高 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边” 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是等边三角形。 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 课堂总结 板书设计 15.4等腰三角形（3） 定理 等角对等边 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是等边三角形。 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 $