专题03 函数的概念及其性质（4大题型）（期末真题汇编 山西专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念及其性质（4大题型） 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的单调性与最值 考点03 函数的奇偶性 考点04 幂函数相关问题 函数的概念及其表示 地 城 考点01 1．（22-23高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．R D． 2．（20-21高一上·山西太原·期末）已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山西晋城·期中）如图所示的直角梯形区域（其中， ），该区域需要通过光线扫描进行分析.扫描光线所在的直线方程为从0变化到2即完成一次扫描.设扫描过程中梯形区域被光线扫过的区域（即光线左方图形）的面积为.则当时，关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 7．（24-25高一上·山西·期末）已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·山西朔州·期末）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（19-20高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象的对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山西忻州·开学考试）下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·山西·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 13．（21-22高一上·山西运城·阶段练习）已知函数，，函数，，对于任意 ，总存在，使得 成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·山西·期末）已知是定义在上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 地 城 考点02 函数的单调性与最值 17．（23-24高一上·山西运城·期末）已知满足，且函数为偶函数，若，则（    ） A．0 B．1012 C．2024 D．3036 18．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则等于（    ） A．2024 B． C．2023 D． 19．（22-23高一上·山西阳泉·期末）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A． B．8 C． D．24 20．（21-22高一上·山西长治·期末）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 21．（20-21高一上·山西·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递减的，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．（21-22高一上·山西大同·期末）若函数，则以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 23．（21-22高一上·山西大同·期中）已知函数是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数， ，记，若对于任意的，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（20-21高一下·山西运城·期末）设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·山西运城·期末）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C．2 D． 26．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知幂函数则（    ） A．1 B．4 C．8 D．12 27．（22-23高一上·山西阳泉·期末）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 28．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A．R B． C． D． 29．（19-20高一上·山西·期末）下列函数既是奇函数，又在上是减函数的是 A． B． C． D． 30．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若函数是幂函数，且，则（   ） A． B． C． D． 函数的奇偶性 地 城 考点03 31．（21-22高一上·山西朔州·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（   ） A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 二、多选题 32．（24-25高一下·山西大同·期末）已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 33．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数的定义域是R，，是奇函数，且，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D． 34．（21-22高一上·山西晋中·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为为有理数，为无理数），关于函数，下列说法正确的是（    ）． A．既不是奇函数，也不是偶函数 B．， C．是周期函数 D．，使得 35．（24-25高一上·山西太原·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．不等式的解集为 36．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 37．（22-23高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上为减函数 D．在上为减函数 38．（22-23高一上·山西朔州·阶段练习）当时，幂函数的图像在直线的上方，则的值可能为（    ） A． B． C．2 D．3 三、填空题 39．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数若，则 . 40．（19-20高一上·山西·期末）函数的定义域是 . 41．（25-26高一上·山西·月考）已知函数，，则此函数的值域为 ． 42．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 43．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知，则函数 . 44．（23-24高一上·山西朔州·月考）已知函数,若，则的取值范围是 . 45．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，，则 46．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域是 47．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，则 ． 48．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，且，则a的值为 ． 49．（24-25高一上·山西·期末）若函数为偶函数，则实数 ． 50．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为 . 51．（22-23高一上·山西运城·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则 . 52．（21-22高一上·山西大同·期中）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（－4）＝ ． 地 城 考点04 幂函数相关问题 53．（19-20高一下·山西·期末）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则不等式的解集是 ． 54．（19-20高一上·山西运城·期末）已知函数,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则 . 55．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ． 56．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则 ． 57．（23-24高一上·山西大同·期中）若区间满足①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间.完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ；（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ． 四、解答题 58．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 59．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)判断的单调性并用定义证明； (2)求函数在区间上的值域． 60．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 61．（22-23高一上·山西大同·期末）利用函数单调性的定义判断函数的单调性. 62．（19-20高一上·山西运城·期末）已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，. (1)判断的单调性并加以证明； (2)若，解不等式. 63．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数，． (1)若的值域为，求a的值． (2)证明：对任意，总存在，使得成立． 64．（21-22高一上·山西太原·期末）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)求不等式的解集. 65．（20-21高一上·山西长治·阶段练习）已知函数（且） （1）判断奇偶性； （2）用定义讨论函数在区间的单调性； （3）当时，求关于x的不等式的解集． 66．（19-20高一上·山西大同·期末）函数（）： （1）是否存在实数a使函数为奇函数？ （2）利用函数单调性定义探讨函数的单调性. 67．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 68．（20-21高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念及其性质（4大题型） 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的单调性与最值 考点03 函数的奇偶性 考点04 幂函数相关问题 函数的概念及其表示 地 城 考点01 1．（22-23高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．R D． 【答案】A 【分析】根据定义域的定义求解. 【详解】要使函数有意义，则解得且， 故选:A. 2．（20-21高一上·山西太原·期末）已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】利用分段函数解析式，先计算，再计算即可. 【详解】函数，则，故. 故选：C. 3．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况解不等式. 【详解】若，则，恒成立， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 4．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法令可得，代入解析式可得结果. 【详解】令，则，所以， 所以. 故选：D. 5．（24-25高一上·山西晋城·期中）如图所示的直角梯形区域（其中， ），该区域需要通过光线扫描进行分析.扫描光线所在的直线方程为从0变化到2即完成一次扫描.设扫描过程中梯形区域被光线扫过的区域（即光线左方图形）的面积为.则当时，关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象，利用分割图象的方法，结合面积计算，可得答案. 【详解】由题意得，当光线在区间移动时，面积由左侧的三角形和右侧的矩形组成， 左侧三角形面积为1，右侧矩形面积为，左右面积相加知B正确 故选：B. 6．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据表格中的数据及图象可求函数值. 【详解】， 故选：A. 7．（24-25高一上·山西·期末）已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和指数函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得， 故选：A 8．（22-23高一上·山西朔州·期末）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，根据条件列方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 由题意知， 所以是方程在上的两个不等实根， 令，则， 所以在上有两个不等实根， 令，对称轴， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 9．（22-23高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小. 【详解】的图象关于对称，所以， 又因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以. 故选：B. 10．（19-20高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象的对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为，可得，且函数在上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解. 【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为， 且函数在上递增， 根据二次函数的对称性可知， 又，所以， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的单调性以及对称性比较函数值的大小，属于基础题. 11．（24-25高一上·山西忻州·开学考试）下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项分别为反比例函数，一次函数，正比例函数，根据函数性质选出答案. 【详解】选项：可看作是反比例函数向左平移一个单位得到的，在和上都是增函数， 但不能说在整个定义域内随的增大而增大，因为在处函数不连续，不符合条件. 选项：是一次函数，在定义域上是减函数，随的增大而减小，不符合条件. 选项：是反比例函数，在和上都是减函数，不符合条件. 选项：是正比例函数，在定义域上是增函数，随的增大而增大，符合条件. 故选：. 12．（23-24高一上·山西·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】令． 又因为，所以， 即函数的值域是． 故选：A． 13．（21-22高一上·山西运城·阶段练习）已知函数，，函数，，对于任意 ，总存在，使得 成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的单调性求出值域，再利用包含关系列不等式，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为在上为增函数，所以的值域为，记为. 当时，在上为增函数，所以的值域为，记为， 当时，在上为减函数，所以的值域为，记为. 当时，由题意可知，所以，解得； 当时，由题意可知，所以，解得. 综上所述，或，即， 故选：C. 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 15．（24-25高一上·山西·期末）已知是定义在上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】已知是定义在上的奇函数，且时，， 设，则，， 所以，且在上单调递增． 又，则对于任意恒成立， 即，对于任意恒成立，所以，解得． 故选：A 【点睛】方法点睛： 对于奇函数，已知时的函数表达式，可通过求出时的表达式，判断函数单调性时，可根据函数的表达式特点以及函数的性质进行分析. 解决不等式恒成立问题，常将其转化为函数的最值问题，本题通过将不等式转化为与关于的表达式的大小关系，再根据的取值范围求出的取值范围. 16．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由偶函数的性质可将所求不等式变形为，分析函数在上的单调性，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是R上的偶函数，则， 所以不等式可变形为， 因为对于任意两个不等实数、， 不等式恒成立， 所以不等式恒成立， 不妨设，则，可得， 则函数在上单调递增， 所以，，可得，即，解得或， 则原不等式的解集为． 故选：C． 地 城 考点02 函数的单调性与最值 17．（23-24高一上·山西运城·期末）已知满足，且函数为偶函数，若，则（    ） A．0 B．1012 C．2024 D．3036 【答案】D 【分析】由题意得，函数的周期为4，进一步，由此即可顺利得解. 【详解】由题意函数为偶函数，所以，的图象关于直线对称， 所以， 函数的周期为4， 在中，分别令， 得， 解得， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是得到函数的对称性、周期性，从而顺利得解. 18．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则等于（    ） A．2024 B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】由为偶函数可得的值，结合可得的值，进而可得，代入即可. 【详解】因为的定义域为，且为偶函数， 所以，即，解得， 所以. 又因为，即，所以. 因为， 所以 . 故选：B. 19．（22-23高一上·山西阳泉·期末）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A． B．8 C． D．24 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】因为奇函数定义在， 所以解得， 所以， 故选:C. 20．（21-22高一上·山西长治·期末）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得在上单调递减，根据偶函数的性质可得在上单调递增，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集； 【详解】解：因为函数满足对任意的，有， 即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增， 又，所以，函数的大致图像可如下所示： 所以当时，当或时， 则不等式等价于或， 解得或，即原不等式的解集为； 故选：C 21．（20-21高一上·山西·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递减的，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出在上单调递增，由，即可得到答案. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图像关于y轴对称，且. 又在上是单调递减的，所以在上单调递增. 因为，，所以: ，所以 ,即. 故选：A 22．（21-22高一上·山西大同·期末）若函数，则以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数为奇函数，一是定义域必须关于原点对称，二是满足，然后分别检验各个函数即可. 对选项，均满足；对选项，不满足；对选项和，均不满足定义域必须关于原点对称. 【详解】对选项，，定义域为，且满足，函数为奇函数，故选项正确； 对选项，，定义域为，但不满足，函数不是奇函数，故选项错误； 对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误； 对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误； 故选： 23．（21-22高一上·山西大同·期中）已知函数是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数， ，记，若对于任意的，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式及奇偶性，应用函数方程组求它们的解析式，进而可得，由题设易知在(1,2)上单调递减，结合二次函数的性质求a的取值范围即可. 【详解】由题设有：，即，解得， ∴， 对于任意的，都有，即函数在(1,2)上单调递减， ∴或，解得． 故选：C 24．（20-21高一下·山西运城·期末）设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较所给x 的大小，根据偶函数的性质和单调性判断函数值大小. 【详解】∵，， 又∵函数是定义在上的偶函数， ∴当时，， 又∵，函数在上单调递增， 所以. 故选：D. 25．（24-25高一上·山西运城·期末）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可. 【详解】由题意知： . 所以，所以. 故选：A 26．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知幂函数则（    ） A．1 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由幂函数定义得到参数的值，求出幂函数，进一步求函数值. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得，所以， 所以. 故选：C 27．（22-23高一上·山西阳泉·期末）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值. 【详解】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点 则，又 则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上， 点C在幂函数图像上， 则曲线对应的指数分别为 故选：D 28．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域. 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，则， 故的定义域为． 故选：C 29．（19-20高一上·山西·期末）下列函数既是奇函数，又在上是减函数的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数奇偶性，以及幂函数的单调性，逐项判断，即可判断出结果. 【详解】A选项，因为，且函数的定义域为，所以函数是偶函数，排除A； B选项，因为且函数的定义域为，所以函数是奇函数；但，根据幂函数的单调性，可得，函数单调递增，排除B； C选项，因为，所以显然是偶函数，排除C； D选项，因为，所以是奇函数；又根据幂函数的单调性可得：在上单调递增，所以在上是减函数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性确定函数解析式，熟记奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于基础题型. 30．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若函数是幂函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设幂函数，由用待定系数法求出，进而求出 【详解】设幂函数， 由，得，即，解得， 所以， 所以. 故选：D. 函数的奇偶性 地 城 考点03 31．（21-22高一上·山西朔州·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（   ） A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【答案】D 【分析】根据图象的单调性和奇偶性判断. 【详解】因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数． 又函数的定义域为，且在上单调递减， 则有，所以． 故选：D 二、多选题 32．（24-25高一下·山西大同·期末）已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据基本不等式，结合奇函数的性质即可求解A，根据对勾函数以及函数的单调性和奇偶性，即可求解BCD. 【详解】对于A， 时，，当，当且仅当时取到等号， 由于，故为奇函数，故当， 因此函数的值域为，故A正确； 对于B，当时，，由于函数均在上单调递增， 故在上单调递增，，， 故在内无最大值也无最小值， 结合，故为奇函数，因此在内也无最大值和最小值， 综上，函数无最大值和最小值，故B错误； 对于C ， 当时，，函数，根据对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，由B可知，当时，在上单调递增，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确， 故选：AD 33．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数的定义域是R，，是奇函数，且，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】ACD 【分析】根据奇函数性质判断C，根据对称性判断B，结合已知利用赋值法求值判断AD. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 所以函数为奇函数，所以函数的图象关于点对称， 所以函数关于点中心对称，故C正确； 因为，则， 所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 由知，，所以，故A正确； 由得，由知，，，则，又，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： 若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； 34．（21-22高一上·山西晋中·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为为有理数，为无理数），关于函数，下列说法正确的是（    ）． A．既不是奇函数，也不是偶函数 B．， C．是周期函数 D．，使得 【答案】BCD 【分析】分别讨论为有理数与为无理数时的情况，结合函数奇偶性与周期性的定义对选项逐一判断. 【详解】因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对，，故是偶函数，故A错误；当为有理数时，，当为无理数时，，当为有理数时，，当为无理数时，，所以恒成立，B正确；若是有理数，是有理数，则是有理数；若是无理数，是有理数，则是无理数，所以任取一个不为0的有理数，恒成立，即是周期函数，故C正确；若，为无理数，则也为无理数，所以，故D正确． 故选：BCD 35．（24-25高一上·山西太原·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】首先根据幂函数的定义设出幂函数的表达式，再将已知点代入求出幂函数的具体形式.然后根据幂函数的性质依次分析每个选项. 【详解】设幂函数，因为图象经过点，所以将点代入中，可得，那么，即. 分析选项A,，定义域为，所以不在定义域内，无意义，A选项错误. 分析选项B,幂函数，因为，根据幂函数性质，当时，幂函数在定义域上单调递增，B选项正确. 分析选项C,，无意义，不满足，不是偶函数，C选项错误. 分析选项D,由，即，解不等式， ， 又因为定义域为，所以不等式的解集为，D选项正确. 故选：BD. 36．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，且， 所以为的奇函数，符合题意； 对于B中，函数的定义域为，且， 所以为的奇函数，符合题意； 对于C中，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以为定义域上的奇函数，符合题意； 对于D中，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以为定义域上的偶函数，不符合题意. 故选：ABC. 37．（22-23高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上为减函数 D．在上为减函数 【答案】AD 【分析】利用幂函数定义即过点可得，再根据函数奇偶性定义即可判断是偶函数，由幂函数单调性即可判断D正确. 【详解】根据幂函数定义可得，解得； 又因为图象过点，所以可得，即； 易知函数的定义域为，且满足， 所以是偶函数，故A正确，B错误； 由幂函数性质可得，当时，为单调递减，再根据偶函数性质可得在上为增函数；故C错误，D正确. 故选：AD 38．（22-23高一上·山西朔州·阶段练习）当时，幂函数的图像在直线的上方，则的值可能为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】AB 【分析】由题意，转化为当时，恒成立，解不等式即可． 【详解】由题意，转化为当时，恒成立， 两边取对数得， 由得， ∴， 故选：AB. 三、填空题 39．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数若，则 . 【答案】2 【分析】利用，代入解析式可求答案. 【详解】因为所以， 解得. 故答案为：2 40．（19-20高一上·山西·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】为使有意义，只需， 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型. 41．（25-26高一上·山西·月考）已知函数，，则此函数的值域为 ． 【答案】 【分析】求出给定函数的值域. 【详解】由，且，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 42．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】或． 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 43．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知，则函数 . 【答案】 【分析】利用配凑法直接求解析式即可. 【详解】 ， 所以. 故答案为： 44．（23-24高一上·山西朔州·月考）已知函数,若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论的范围，把不等式具体化，解出不等式即可. 【详解】根据分段函数的定义可知， 当时，不等式可化为， 解得； 当时，不等式可化为， 解得； 当，不等式可化为，无解. 综上知，的取值范围为 故答案为： 45．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，，则 【答案】25 【分析】首先计算出，即可得. 【详解】根据题意可知， 则. 故答案为：25 46．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域是 【答案】 【分析】依题意可知，根号下的式子为非负且分母不为0，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可知需满足，解得且； 所以函数定义域为. 故答案为： 47．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义，可求得. 【详解】， . 故答案为：. 48．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，且，则a的值为 ． 【答案】 【分析】由列式求解即可. 【详解】∵，且， ∴，解得. 故答案为：. 49．（24-25高一上·山西·期末）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质令代入求解即可； 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：. 50．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，，进而可得出答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在区间上单调递增， 由，得，解得. 由，得，解得或. 所以，即或解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 51．（22-23高一上·山西运城·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则 . 【答案】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，再结合函数的周期性和奇偶性可求得的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且满足， 则， 所以，，即， 所以，函数是周期为的周期函数， 且当时，， 则. 故答案为：. 52．（21-22高一上·山西大同·期中）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（－4）＝ ． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】因为函数f（x）为奇函数， 所以． 故答案为： 地 城 考点04 幂函数相关问题 53．（19-20高一下·山西·期末）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【详解】解：因为任意的，，，有， 所以函数在，上单调递减， 由偶函数的对称性可知，在上单调递增， 由(2)可得， 由可得或， 解可得，或． 故答案为：，， 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用． 54．（19-20高一上·山西运城·期末）已知函数,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则 . 【答案】 【解析】将方程中的换成，然后利用奇偶性可得另一个方程，联立解得即可. 【详解】∵,分别是定义在上的偶函数和奇函数，且， ∴，即， 两式相减可得，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用方程组的方法求函数解析式，属于基础题. 55．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ． 【答案】 【详解】由已知得，解得，所以在区间上单调递增，则． 56．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，结合幂函数的定义，设出函数解析式，代入已知点，可得答案. 【详解】设幂函数，将点代入上式，可得，解得，所以. 故答案为：. 57．（23-24高一上·山西大同·期中）若区间满足①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间.完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ；（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 或或 【分析】（1）根据共鸣区间的定义，设区间是共鸣区间，构造方程组即可求得结果；（2）判断出函数的定义域，由函数单调性得出方程在上有两个不等的实根，利用换元法结合函数在时的图象即可求得k的取值范围. 【详解】（1）设区间是上的共鸣区间， 因为在上单调递增，且在上的值域也为， 所以，即， 因为，所以或或． （2）因为函数在上单调递增， 若存在共鸣区间，则， 也就是方程在上有两个不等的实根． 令，得． 所以由两个不等实数根， 结合二次函数图象可知. 故答案为： 或或（写出其中一个即可）； 四、解答题 58．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)是减函数，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）根据根式以及分式的性质即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）根据单调性以及定义域，列不等式求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则 . 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 59．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)判断的单调性并用定义证明； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)为增函数，证明见解析 (2)． 【分析】（1）定义法证明单调递增； （2）方法一：由时，则有，后（1）知函数的单调性可求值域； 方法二：求出函数，并研究其单调性，从而得值域. 【详解】（1）函数的定义域为R，为增函数． 证明如下： 设，且，则有， ，，， ，即， 为增函数； （2）方法一：当时，则有， 由（1）知道为增函数，所以，． 所以函数在区间上的值域为． 方法二：． 时，可知函数为增函数，所以在上的值域为． 可知函数为减函数，所以在上的值域为． 所以函数在区间上的值域为． 60．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）分别令，即可得出答案; （2）令可得：，得出，即可得出周期性； （3）结合（2）的结论，利用定义证明单调性即可. 【详解】（1）令，得，由于当时，因此 令，得，即，因此． （2）证明：令，得， 因此，所以 由周期性的定义可知，函数是以4为周期的周期函数． （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取，有 由于，故,由（1）知， 因此，又， 因此 故，因此在上单调递减. 61．（22-23高一上·山西大同·期末）利用函数单调性的定义判断函数的单调性. 【答案】在内单调递减，在内单调递增 【分析】根据函数单调性的定义判断. 【详解】，，且，则， . 当时，与0的大小关系不能确定，所以与大小关系不能确定； 当时，，所以，即， 所以函数在区间内单调递减. 当时，，所以，即， 所以函数在区间内单调递增. 综上可知，函数在内单调递减，在内单调递增. 62．（19-20高一上·山西运城·期末）已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，. (1)判断的单调性并加以证明； (2)若，解不等式. 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）利用函数单调性定义即可证明在上为增函数； （2）由题意可得，进而将不等式转化为，再利用函数为增函数即可列出关于x的不等式组，解之即可得到该不等式的解集. 【详解】（1）在上为增函数， 证明如下：任取且，则， 则. 又因为当时，，而， 所以，所以， 所以在上为增函数. （2）由定义域可得，解得， 由已知可得， 所以， 所求不等式可转化为. 由在上为增函数可得，解得， 则不等式解集为. 63．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数，． (1)若的值域为，求a的值． (2)证明：对任意，总存在，使得成立． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，可得，从而即可求解； （2）利用对勾函数单调性求出在上的值域，再分三种情况讨论二次函数在闭区间上的值域，然后证明的值域是值域的子集恒成立即可得证. 【详解】（1）解：因为的值域为，所以，解得． （2）证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以． 设在上的值域为M， 当，即时，在上单调递增，因为，，所以； 当，即时，在上单调递减，因为，，所以； 当，即时，，，所以； 综上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立， 所以对任意总存在，使得成立. 64．（21-22高一上·山西太原·期末）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义判断即可； （2）先证明函数的单调性，借助奇偶性与单调性，把不等式转化为具体不等式即可. 【详解】（1） ，即， 函数的定义域为． 在上任取一个自变量， 则， 为奇函数； （2）任取， ， 由题设可得，， 故， ， 函数在上是增函数； ∵，为奇函数， ∴， 又函数在上是增函数， ∴， 解得：， ∴不等式的解集为. 65．（20-21高一上·山西长治·阶段练习）已知函数（且） （1）判断奇偶性； （2）用定义讨论函数在区间的单调性； （3）当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）是奇函数；（2）答案见解析；（3）． 【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断即可； （2）用函数单调性定义法证明先设值，再作差变形运算，然后定号，最后下结论； （3）当时，在R单调递增，由得，结合单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）解：函数的定义域R，对于定义域内的每一个，都有 所以是奇函数 （2）证明：任取，且， 当时∵，∴，， ∴即．∴在R单调递增 同理可证当时，在R单调递减． 综上当时在R单调递增，当时，在R单调递减． （3）∵当时，在R单调递增∴， 又∵是奇函数∴故 所以或，所以解集为 【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)或是定义域上的恒等式． 66．（19-20高一上·山西大同·期末）函数（）： （1）是否存在实数a使函数为奇函数？ （2）利用函数单调性定义探讨函数的单调性. 【答案】（1）存在，；（2）定义域上的增函数 【解析】（1）因为的定义域为,所以由,代入函数解析式即可计算得出的值； （2）根据函数单调性的定义，设，，且，判断出的符号，可得结论. 【详解】（1）因为的定义域为,所以由得， 即，解得， ∴当时，函数为奇函数； （2）设，，且，则， 由可知，所以，，， 所以，即， 所以当a取任意实数，都为其定义域上的增函数. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义运用，在考查函数的奇偶性时，注意需先考虑函数的定义域是否关于原点对称，属于中档题. 67．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)为奇函数，理由见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义求出可得答案； （2）为奇函数，利用奇函数的定义判断可得答案. 【详解】（1）依题意可得， 解得，所以； （2）为奇函数． 理由如下： 的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为奇函数． 68．（20-21高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设幂函数，根据题意，得到，即可求出解析式； （2）根据题意可得：当时，，结合函数奇偶性，即可求出结果. 【详解】（1）设，代入点，得，解得， 所以. （2）因为，当时，， 设，则， 又因为是R上的偶函数， 所以， 即当时，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $