专题02 一元二次函数、方程和不等式（5大题型）（期末真题汇编 山西专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式相关问题 考点03 基本不等式的应用 考点04 三个“二次”相关问题 考点05 二次函数的应用 等式性质与不等式性质 地 城 考点01 1．（24-25高一上·山西晋城·期末）现有70人需要分成4组，要求每一组的人数不超过其他任一组人数的2倍.若某组有x人，则x的最大值与最小值之和为（    ） A．24 B．32 C．38 D．40 【答案】C 【分析】通过设未知数，根据每一组人数的关系列出不等式，从而求出x的取值范围，进而得到x的最大值和最小值. 【详解】设这4组人数分别为，因为总人数为70人，所以， 又因为每一组的人数不超过其他任一组人数的2倍，所以， 为了求x的最大值，我们假设，则，且， 将代入中，得到，解得， 当时，，所以x的最大值为28； 为了求x的最小值，我们要让其他组的人数尽可能大，因为x不超过其他任一组人数的2倍， 所以当x最小的时，其他组人数最多为2x，设x最小为a，则，所以， 故x的最小值为10，所以x的最大值与最小值之和为. 故选：C 2．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果. 【详解】对于A，令，则，故选项A错误； 对于B，因为，则，故选项B正确； 对于C，因为，则，故选项C错误； 对于D，因为，则，所以，故选项D错误； 故选：B 3．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】B 【分析】取判断A；由不等式的性质判断BC；由基本不等式判断D. 【详解】当时，不成立，A错误．因为，所以，，B正确，C错误．当，时，，当且仅当时，等号成立，而，D错误． 故选：B 4．（16-17高三上·山西运城·期中）若，，则一定有（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质可判断. 【详解】解：根据，有，由于，两式相乘有， 故选：A. 5．（24-25高一上·山西·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例可说明选项A、C错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B正确；利用作差法可得选项D正确. 【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确； 对于B，等价于， ∵，∴，故，故B正确； 对于C，当时满足，但，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 6．（24-25高一上·山西·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的性质结合已知可得A正确、B正确；作差可得C错误；举反例可得D错误； 【详解】对于A，因为，两边同乘以，因为，所以由不等式的性质，得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，由不等式的性质，得，所以，故B正确； 对于C，，由题意知，且，所以，所以，故C错误； 对于D，取，此时，故D错误． 故选：AB． 7．（23-24高一上·山西运城·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例判断A；根据不等式性质可判断B，C；利用作差法判断D. 【详解】对于A，不妨取，满足， 但，A错误； 对于B，若，则，且，即，B正确； 对于C，若，，所以，则，C正确； 对于D，若，则， 故，则，D正确， 故选：BCD 8．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】采用取特殊值法判断AD；利用不等式的性质判断BC. 【详解】对于A：取，此时，即，故A错误； 对于B：因为，所以，又因为，所以成立，故B正确； 对于C：因为，所以，又因为，所以，所以， 又因为，且，，所以，故C正确； 对于D：取，此时，显然不成立，故D错误； 故选：BC. 9．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好，理由见解析 【分析】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【详解】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则 . 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 地 城 考点02 基本不等式相关问题 10．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A 11．（24-25高一上·山西·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意得，， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为6. 故选：C. 12．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求得函数的最小值. 【详解】当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，函数的最小值为. 故选：A. 13．（23-24高一上·山西长治·期末）当时，的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2． 故选：C． 14．（22-23高一下·山西·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 15．（22-23高一上·山西吕梁·期末）设，，，则P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由＝，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以＝ ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C. 16．（22-23高一上·山西阳泉·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【分析】利用均值定理即可求得的最小值. 【详解】时，, （当且仅当时等号成立） 则的最小值为7. 故选：C 17．（18-19高一下·山西吕梁·期末）若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. 故选：D. 18．（24-25高一上·山西运城·期末）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．若正数为实数，若，则的最小值为3 D．设为实数，若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】分别通过拆分、配凑、“1”的代换、配方等方法，利用基本（重要常用）不等式求解判断各选项. 【详解】A选项：， 当时，，当且仅当，即时取等号； 当时，，即， 当且仅当，即时取等号； 综上所述，即无最小值，A选项错误； B选项：时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，B选项正确； C选项：由，，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C选项正确； D选项：由，则， 又，即， 当且仅当时等号成立， 所以，故， 则有，当且仅当时等号成立， 即的最大值为，D选项正确； 故选：BCD. 19．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据结合不等式的性质判断AB，利用基本不等式求解判断C，利用基本不等式中常数代换计算判断D. 【详解】因为，所以，又，所以，故A正确； 因为，所以，又，所以，故B正确； ，则，当且仅当时等号成立， 即，故C错误； ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD 20．（23-24高一上·山西长治·期末）已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本不等式判断ABC，举反例判断D. 【详解】由题目可知，，当且仅当时，等号成立，故A正确； ，当且仅当时，等号成立，故B错误； 因为，则，当且仅当时，等号成立，故C正确； 当时，，D错误. 故选：AC 21．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 故答案为： 22．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果. 【详解】， 故,则，当且仅当时，等号成立． 故答案为： 23．（20-21高一·全国·课后作业）已知正数a，b是关于x的方程的两根，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据韦达定理可得，，进而， 利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意，得，，则，当且仅当，即时等号成立.经检验，知当时，方程有两个正实数解，符合题意，所以的最小值为4. 故答案为：4 24．（20-21高二上·山西忻州·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】根据基本不等式直接求最值. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：6 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 25．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)9 (2)5 【分析】（1）利用基本不等式结合二次不等式求解即可； （2）利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】（1）当时，，即， 所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9； （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5. 26．（22-23高一上·山西大同·期末）已知. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解； （2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】（1）当时，， 即， 即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为16. （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 基本不等式的应用 地 城 考点03 27．（25-26高一上·山西大同·期中）下列说法中，正确的有（   ） A．对任意实数，都有 B．若，则 C．当且时，的最大值为 D．若为任意实数，则 【答案】BD 【分析】选项A，当时，即可判断A错误；选项B，根据基本不等式即可判断B正确;选项C，根据基本不等式即可判断C错误；,选项D，移项化简得，可判断D正确. 【详解】对于选项A，当时，则，，所以，故A错误； 对于选项B，当时，，根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于选项C，因为且，则，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故C错误； 对于选项D，因为，所以，故D正确. 故选：BD 28．（25-26高一上·山西大同·月考）某大型购物超市一年需购买某种货物300吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为3万元，一年的总存储费用的数值等于每次购买吨数的数值，则每次购买该种货物的吨数是 时，一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和最小，最小值是 万元. 【答案】 30 60 【分析】利用条件建立不等式模型结合基本不等式计算最值可得结果. 【详解】设每次购买吨，则分成次，由题意可知一年的总运费，总存储费用数为， 则，当且仅当时取得最小值，最小值为60. 故答案为：30,60 29．（24-25高一上·山西·阶段练习）某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)30米 (2) 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数对任意的恒成立，进而变形利用基本不等式求的范围即可. 【详解】（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为540平方米， 所以体育馆的左、右两侧墙的长度均为（）米， 设甲工程队报价为y元， 则， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当前墙的长度为30米时，甲工程队报价最低为324000元. （2）根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功， 30．（24-25高一上·全国·课后作业）某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ (2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 【答案】(1)长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为. (2) 【分析】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可得； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可得. 【详解】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为， 则所需篱笆的长度为，又， 当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短， 此时该菜园的总面积为； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为， 则， 当且仅当即时，等号成立， 此时另一边为， 即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小. 31．（23-24高一上·山西太原·期中）将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立．利用此结论解决问题：已知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是 时，旋转形成的圆柱体积最大，其最大值是 ． 【答案】 【分析】设矩形的两边长分别为，，则，根据圆柱的体积公式结合题中公式即可得解. 【详解】设矩形的两边长分别为，， 则， 则圆柱的体积， 当且仅当，即时取等号， 所以当矩形的长是时，圆柱的体积最大，为. 故答案为：；. 32．（17-18高一·全国·课后作业）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．    (1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 【答案】(1) (2)，118000元 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可； （2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，，且，则， 则 （2）由（1）可知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当米时，元. 33．（22-23高一下·山西太原·阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价． 【答案】，泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元． 【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为泳池的长为x米，则宽为米． 则总造价， 整理得到， 当且仅当时等号成立． 故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元． 34．（25-26高一上·山西太原·月考）（1）已知实数均大于0，证明：. （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由不等式（当且仅当时等号成立）及不等式性质可得； （2）直接根据充分必要条件的充分性和必要性分别证明即可. 【详解】证明：因为（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）.又实数均大于0， 所以，，，再由不等式性质得， ,当且仅当时等号成立. 所以(当且仅当时等号成立) （2）充分性：因为， 所以，代入方程，得，即. 所以方程有一个根为1. 必要性：因为方程有一个根为1，所以满足方程， 所以，即. 故关于的方程有一个根为1的充要条件是. 35．（25-26高一上·山西·月考）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 子成和睿恩两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 子成的解法：由于，所以， 而．那么，则最小值为． 睿恩的解法：由于，所以，而，则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，请你解决：已知，且，求的最小值； (3)基于以上研究，请你解决：已知，求的最小值． 【答案】(1)子成的解法错误，睿恩的解法正确，理由见解析； (2)9 (3) 【分析】（1）利用基本不等式等号成立的条件求解判断. （2）（3）变形目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）子成的解法错误，睿恩的解法正确， 在子成的解法中，，等号成立时，；，等号成立时，， 那么取得最小值时，，与已知矛盾， 所以子成的解法错误. （2）由，且，得 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为9. （3）由，得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 36．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知、、均为正实数，且，求的最小值； (2)已知、、、均为正实数，且，求证：； (3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当时，取最小值 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 【详解】（1）解：因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. （2）证明：因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. （3）解：对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 地 城 考点04 三个“二次”相关问题 37．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2， 由根与系数的关系可得，解得，所以， 故选：B 38．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数，求得对称轴的方程为，结合题意，得到或，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得对称轴的方程为， 要使得函数在上具有单调性， 所以或，解得或． 故选：C. 39．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 40．（25-26高一上·山西大同·月考）命题“任意实数，不等式为真命题，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立问题的解法可得答案. 【详解】令， 当 （即 ）时： ，对所有实数 成立，满足条件； 当 （即 ）时： 是二次函数，要使 对所有实数 成立，需满足： ， 解得：. 综上：. 故选：A 41．（25-26高一上·山西·月考）已知是实数，那么“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出不等式的解，再利用充要条件的定义直接判断. 【详解】由，得，解得，则“”是“”成立的充要条件. 故选：C 42．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知关于的一元二次方程，下列命题是真命题的有（   ） ①若，则方程必有实数根； ②若，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用的符号判断①②的真假；根据方程根的概念判断③④的真假. 【详解】对①：由 ， 所以 ，当且仅当时取等号.所以①正确； 对②：因为 ， 所以当时，方程有两个相等的实根，故②错误； 对③：因为是方程的一个根，所以 ，所以或，所以未必成立，故③错误； 对④：因为是一元二次方程的根，所以 . 所以 .故④正确. 故选：C 43．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解，进而根据韦达定理，代入即可求解. 【详解】由题意可得，则， 令，则，故，当且仅当，即时取到等号，此时， 因此，即， 故，代入可得，解得， 故选：C 44．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 45．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式对应方程的根并判断大小，再求出不等式的解集. 【详解】由，得，不等式化为， 而方程的二根为或，又，即， 所以原不等式的解集为. 故选：C 46．（24-25高一上·山西·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或} D．或} 【答案】B 【分析】将原不等式转化为一次不等式组或，再解不等式组可得解集． 【详解】因为，所以， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为． 故选：B． 47．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可． 【详解】不等式即可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 48．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)请在下面两个条件中任选一个，作为已知条件，求实数k的取值范围（全选按照第一个给分） 条件：①“”是“”的充分条件；②． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）将代入集合中，解出两个集合，然后求两个集合的并集， （2）分别选择两个条件，根据条件关系找出集合间的关系求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以，当时，， 所以； （2）若选①： 由“”是“”的充分条件，可得， 由（1）知， 当，即，时，显然有，满足题意， 当，即时，由可得，，解得． 综上所述，或． 若选②： 由，可得，．由（1）知， 当，即，时，显然有，满足题意， 当，即时， 由可得，，解得． 综上所述，或． 49．（21-22高一上·山西忻州·期末）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可设，代入，根据系数对应相等可求，进而可求； （2）分离参数后，利用二次函数的单调性和不等式恒成立的意义，求得的范围. 【详解】（1）由，可设 ， 由题意得，，解得， 故； （2）由题意得， 即对,恒成立， 令，在,上递减，故 ， 故实数的取值范围为. 50．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知全集. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求出集合，利用集合的运算即可求出结果； （2）由题意转化为恒成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， 若， 所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递减， 所以，解得或， 即实数的取值范围是. 51．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据不含参的一元二次不等式的解法即可求解； (2)当时不等式成立；当时，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式组，解之即可. 【详解】（1）当时，， 或， 则的解集为； （2）由题意可知恒成立. ①当，即时，不等式为对任意恒成立，符合题意； ②当，即时，对于任意恒成立， 只需， 解得，所以. 综合①②可得实数的取值范围是. 52．（22-23高一上·山西·阶段练习）已知集合，非空集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由可得 ，则，再求补集即可； （2）“”是“”的充分条件可知且，分情况讨论即可. 【详解】（1）当时， ， 则， 所以. （2）， 因为“”是“”的充分条件， 所以且，故， 当，即时，， 因为， 所以不成立，即不符合题意； 当，即时，， 则有解得. 综上，的取值范围为. 53．（21-22高一上·山西朔州·期末）已知函数． (1)若，且关于x的不等式的解集是，求在区间上的最值； (2)若，，，解关于x的不等式． 【答案】(1)，. (2)见解析 【分析】（1）根据不等式的解可求的值，结合二次函数的性质可求在区间上的最值； （2）就的不同取值范围分类讨论后可得不等式的解. 【详解】（1）因为的解为， 故、为的两个解，所以即， 故， 因为，故，. （2）由题设有， 因为，故即， 若，则，故不等式的解集为. 若，则，故不等式的解集为. 若，则，故不等式的解集为. 地 城 考点05 二次函数的应用 54．（25-26高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足 .假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【答案】(1)， (2)当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元 (3)，最大值20 【分析】（1）由题意即可直接求解； （2）由（1）结合二次函数单调性即可求解； （3）由（1）得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，. （2）由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. （3）由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. 55．（24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，若在区间上的最小值为，求的值； (3)当时，若函数在区间上的图象始终在的图象的下方，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）通过，两类情况讨论即可； （2）通过，两类情况讨论即可； （3）由题意得到在上恒成立，转化成即可求解. 【详解】（1）①当时，显然不符合题意； ②当时， 解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由知. ①当，即时，， 解得； ②当，即时，， 解得（舍去）. 综上，. （3）由题意得在上恒成立， 即在上恒成立， 又，在上恒成立， 设，则在上单调递减， . 的取值范围是. 56．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）“乡村兴则国家兴”，国内某公司注重自营物流建设，拟在某乡镇建立某产品进口供货基地．该公司对周边商户、居民社区、道路、河道和水库、地区气候等信息进行调研后，拟在一块矩形空地上建造大型仓库（如图所示）进行产品的储存．已知需要建造的两个仓库占地面积（图示中空白部分）均为1600平方米，仓库四周及中间（阴影部分）修成水泥路面，方便货物运输． (1)若矩形仓库的长比宽至少长60米，但不超过84米，求仓库的宽的取值范围； (2)若水泥路面宽度均为8米，求建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的最小占地面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】（1）设仓库的宽为x米，长为y米，得，由题中条件可得，则得仓库的宽的取值范围； （2）设建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的面积为S平方米，则，利用基本不等式可得，即得答案. 【详解】（1）设仓库的宽为x米，长为y米，由需要建造的两个仓库占地面积均为1600平方米，得． 因为矩形的长比宽至少长60米，但不超过84米，所以， 即，解得， 又，所以， 所以仓库的宽的取值范围为. （2）设建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的面积为S平方米， 由题意可得 ， 当且仅当时，等号成立． 所以建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的最小占地面积为平方米． 57．（24-25高一上·山西大同·月考）已知命题，不等式恒成立；命题 ，使得成立. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若为真命题，求的取值范围； (3)若命题、有且只有一个是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据不等式恒成立可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据题意可得出当时，由参变量分离法可得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围； （3）分真假、假真两种情况讨论，分别求出实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对于命题，不等式恒成立，则， 即，解得， 所以，若为真命题，则实数的取值范围是. （2）当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最小值为， 若命题为真命题，则，使得成立， 可得，可得，所以，， 所以，若为真命题，则实数的取值范围是. （3）因为命题、有且只有一个是真命题，分以下两种情况讨论： 若真假，则，可得； 若假真，则，可得. 综上所述，若命题、有且只有一个是真命题， 实数的取值范围是或. 58．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【分析】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【详解】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 59．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）【问题】已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集. 在研究上面的【问题】时，小明和小宁分别得到了下面的【解法一】和【解法二】： 【解法一】由已知得方程的两个根分别为1和2，且， 由韦达定理得所以不等式转化为，整理得，解得，所以不等式的解集为. 【解法二】由已知得， 令，则，所以不等式解集是. 参考以上解法，解答下面的问题： (1)若关于的不等式的解集是，请写出关于的不等式的解集；（直接写出答案即可） (2)若实数，满足方程，，且，求的值. 【答案】(1) (2)-490 【分析】（1）参考题中所给解法，通过变形将不等式中的变为的形式，再令，解不等式即可. （2）由题意可得，是方程是的两个不等根，由韦达定理代入求解即可得出答案. 【详解】（1）由得，， 令，因为，所以. 所以不等式的解集为. （2）方程，， 化简为，. 即，， 又.故，是方程是的两个不等根， 由韦达定理得 故. 60．（22-23高一上·山西大同·期中）设命题实数x满足，其中，命题实数x满足. (1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围； (2)若P是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别假设为真命题，解二次不等式解得，再取两者交集即可； （2）先解命题中的二次不等式，再由必要不充分条件得到集合间的关系，从而利用数轴法即可得解. 【详解】（1）当时， 若命题p为真命题，则由解得， 若命题q为真命题，则由解得， 因为与均是真命题，所以，即； （2）由得， 又，则有， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 则有，其中等号不能同时取得，解得， 故实数的取值范围是. 61．（22-23高一上·山西·阶段练习）如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物. (1)若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值； (2)若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围. 【答案】(1)每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m (2) 【分析】（1）利用基本不等式即可求得栅栏总长度的最小值； （2）根据题意可知总费用，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）设每个长方形区域的长为m（），则宽为， 则栅栏总长为. 当且仅当，即时等号成立， 所以每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m； （2）由题可知每个长方形区域的长为m，宽为m，， 则长方形区域的面积为，栅栏总长为， 总费用，又总费用不超过180元， ，解得：, 又，, 故当时，总费用不超过180元. 62．（20-21高一上·山西朔州·期中）设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0). （1）若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，求a，b的值； （2）若当f(1)＝2，且a>0，b>－1，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系运算即可得解； （2）转化条件为，，再由基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，方程两根为且， 由根与系数的关系可得，解得； （2）若，则即， 所以， 所以 ， 当且仅时式中等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 63．（20-21高一上·山西长治·期中）已知函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】（1）即，讨论和的大小即可求解集； （2）不等式在区间有解，即，当时，不等式为不成立；当时，，求的最小值即可. 【详解】（1）由得：，所以， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上所述， 当时，不等式的解集； 当时，不等式的解集； 当时，不等式的解集； （2）存在，成立， 即当，成立， 当时，不等式为不成立，所以. 当时，， 即 当， ， 当且仅当即时，等号成立， 所以. 综上所述： 【点睛】思路点睛：不等式有解问题一般采用分离参数法求参数范围 若不等式 （是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求的最值即可. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式相关问题 考点03 基本不等式的应用 考点04 三个“二次”相关问题 考点05 二次函数的应用 等式性质与不等式性质 地 城 考点01 1．（24-25高一上·山西晋城·期末）现有70人需要分成4组，要求每一组的人数不超过其他任一组人数的2倍.若某组有x人，则x的最大值与最小值之和为（    ） A．24 B．32 C．38 D．40 2．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 4．（16-17高三上·山西运城·期中）若，，则一定有（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山西·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山西·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山西运城·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 10．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 11．（24-25高一上·山西·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 12．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·山西长治·期末）当时，的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 14．（22-23高一下·山西·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·山西吕梁·期末）设，，，则P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一上·山西阳泉·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 17．（18-19高一下·山西吕梁·期末）若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·山西运城·期末）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．若正数为实数，若，则的最小值为3 D．设为实数，若，则的最大值为 19．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·山西长治·期末）已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 22．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 23．（20-21高一·全国·课后作业）已知正数a，b是关于x的方程的两根，则的最小值为 . 24．（20-21高二上·山西忻州·开学考试）若，则的最小值为 . 25．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 26．（22-23高一上·山西大同·期末）已知. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 基本不等式的应用 27．（25-26高一上·山西大同·期中）下列说法中，正确的有（   ） A．对任意实数，都有 B．若，则 C．当且时，的最大值为 D．若为任意实数，则 28．（25-26高一上·山西大同·月考）某大型购物超市一年需购买某种货物300吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为3万元，一年的总存储费用的数值等于每次购买吨数的数值，则每次购买该种货物的吨数是 时，一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和最小，最小值是 万元. 29．（24-25高一上·山西·阶段练习）某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 30．（24-25高一上·全国·课后作业）某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ (2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 31．（23-24高一上·山西太原·期中）将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立．利用此结论解决问题：已知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是 时，旋转形成的圆柱体积最大，其最大值是 ． 32．（17-18高一·全国·课后作业）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元． (1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 33．（22-23高一下·山西太原·阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价． 34．（25-26高一上·山西太原·月考）（1）已知实数均大于0，证明：. （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 35．（25-26高一上·山西·月考）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 子成和睿恩两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 子成的解法：由于，所以， 而．那么，则最小值为． 睿恩的解法：由于，所以，而，则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，请你解决：已知，且，求的最小值； (3)基于以上研究，请你解决：已知，求的最小值． 36．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知、、均为正实数，且，求的最小值； (2)已知、、、均为正实数，且，求证：； (3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 地 城 考点04 三个“二次”相关问题 37．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 38．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·山西大同·月考）命题“任意实数，不等式为真命题，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·山西·月考）已知是实数，那么“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知关于的一元二次方程，下列命题是真命题的有（   ） ①若，则方程必有实数根； ②若，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 43．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 45．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25高一上·山西·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或} D．或} 47．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 48．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)请在下面两个条件中任选一个，作为已知条件，求实数k的取值范围（全选按照第一个给分） 条件：①“”是“”的充分条件；②． 49．（21-22高一上·山西忻州·期末）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 50．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知全集. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 51．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 52．（22-23高一上·山西·阶段练习）已知集合，非空集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 53．（21-22高一上·山西朔州·期末）已知函数． (1)若，且关于x的不等式的解集是，求在区间上的最值； (2)若，，，解关于x的不等式． 54．（25-26高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足 .假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 55．（24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，若在区间上的最小值为，求的值； (3)当时，若函数在区间上的图象始终在的图象的下方，求实数的取值范围. 56．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）“乡村兴则国家兴”，国内某公司注重自营物流建设，拟在某乡镇建立某产品进口供货基地．该公司对周边商户、居民社区、道路、河道和水库、地区气候等信息进行调研后，拟在一块矩形空地上建造大型仓库（如图所示）进行产品的储存．已知需要建造的两个仓库占地面积（图示中空白部分）均为1600平方米，仓库四周及中间（阴影部分）修成水泥路面，方便货物运输． (1)若矩形仓库的长比宽至少长60米，但不超过84米，求仓库的宽的取值范围； (2)若水泥路面宽度均为8米，求建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的最小占地面积． 57．（24-25高一上·山西大同·月考）已知命题，不等式恒成立；命题 ，使得成立. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若为真命题，求的取值范围； (3)若命题、有且只有一个是真命题，求的取值范围. 58．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 59．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）【问题】已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集. 在研究上面的【问题】时，小明和小宁分别得到了下面的【解法一】和【解法二】： 参考以上解法，解答下面的问题： (1)若关于的不等式的解集是，请写出关于的不等式的解集；（直接写出答案即可） (2)若实数，满足方程，，且，求的值. 60．（22-23高一上·山西大同·期中）设命题实数x满足，其中，命题实数x满足. (1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围； (2)若P是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 61．（22-23高一上·山西·阶段练习）如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物. (1)若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值； (2)若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围. 62．（20-21高一上·山西朔州·期中）设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0). （1）若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，求a，b的值； （2）若当f(1)＝2，且a>0，b>－1，求的最小值. 63．（20-21高一上·山西长治·期中）已知函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $