专题07 解答题压轴精选（期末真题汇编 山西专用）高一数学上学期

学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 板块01集合与简易逻辑 板块02一元二次函数、方程和不等式 板块03函数的概念与性质 板块04基本初等函数 板块05三角函数 集合与简易逻辑 目目 板块01 1.(25-26高一上山西大同北京师范大学大同附属中学校等校)已知集合A为非空数集，定义集合 Ai==a+b,a∈A,beA6,A=xX=a-b,a∈A,b∈A,记A为集合A中元素的个数. (1)若集合A=xx2-3x=0,求A、A和A: (2)若集合A=X1,X2,X3,X4,X1<X2<X3<X4,且A=A,求X1和X2+X3-X4的值； (3)若集合ACx∈N0≤X≤2024，且A+nA=o,求A的最大值. 2.(19-20高一上·山西太原第五十三中学·月考)已知集合A={xVx2+4x=0}, B={xVx2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若ACB,求a的值： (2)若B二A,求a的值， 3.已知命题p:Vx∈xx≥1，a-号x2s0,命题q:3x∈R,X2+ox+16=0 (1)若两个命题都是真命题，求实数a的取值范围： (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数α的取值范围. 4.(25-26高一上山西临汾平阳中学月考)设a,b,c∈R集合A=xVaX2+bx+c=0 B=xVcx2+bx+a=0'C=xVx3-2x2-x+2=0 1/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (1)证明：-1∈A的充要条件是a-b+c=0: (2)若集合A=3,5,求集合B: (3)若a=1,b=-3,AUC二C,求实数c的取值范围. 5.(25-26高一上山西朔州怀仁大地高中学校·月考)已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m-1, 且B≠O. (I)若命题p:“Hx∈B,X∈A”是真命题，求实数m的取值范围. (2)若命题q:“3x∈A,X∈B”是真命题，求实数m的取值范围. 6.(24-25高一上山西太原某校·月考)我们知道，如果集合A二S,那么把S看成全集时，S的子集A的补集 为CsA=xVX∈S,x年A.类似地，对于集合A,B,我们把集合xVX∈S,X庄A叫作集合A与B的差集 记作A-B据此回答下列问题： (I)在图中用阴影表示出集合A-B(其中U是全集，A,B为U的子集)： B A B A B (2)若A=1,2,3,4,B=3,4,5,6,求A-A-B: (⊙)若集合A=x0<ax-1s5,集合B=-x≤2 且A-B=O,求实数a的取值范围. 7.(24-25高一上山西大同阳高县第四中学·月考)(1)若命题：3x∈R,ax2+2x+1=0是真命题，求 实数a的取值范围； (2)已知命题p:x≤-2或x≥10，命题q:x≤1-a或x≥1+a,若q是p的必要不充分条件，求实数a的取 值范围。 8.(24-25高一上·山西大同浑源县大联考·月考)已知集合A=xx+4x-a=0 (1)若a=5,请写出集合A的所有子集； (2)若集合B=xx2+2x=0,且ACB,求a的取值范围. 9.(23-24高一上山西太原第十八中学校·月考)已知A=xx2-ax+a2-12=0,B=xx2-5x+6=0, 且满足AUB=B,求实数a的取值范围. 2/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 10.(21-22高一上1.2集合的基本关系-)已 A=xVx2-2x-8=0,B=xVx2+ax+a2-12=0 (1)若ACB,求a的值； (2)若B二A,求实数a的取值范围. 目目 板块02 一元二次函数、方程和不等式 11.(25-26高一上山西大同卓越大联考·期中)已知函数fx=ax2+x-a-1 (1)当a=2时，解不等式fx≥0： (2)解不等式fx≥0： (3)若fx≤0恒成立，求a的值， 12.(25-26高一上山西太原常青藤中学校、朔州平鲁区李林中学)设a>0,b>0,函数 fx =ax-bx -a+b. (1)当a=1时，解不等式fx<f1的解集： (2)若fx在0,1上的最大值为b-a,求二的取值范围 0 (3)当x∈0，m时，对任意满足2b≥a的正实数a,b,不等式fx≤x+12b-a恒成立，求m的最大值. 13.(25-26高一上山西大同北京师范大学大同附属中学校等校)已知二次函 y=x2-a-3x+4 (1)若关于x的不等式x2-a-3x+4≤0的解集为x1≤x≤bb>1,求a和b的值： (2)若不等式y≥0对一切实数x都成立，求a的取值范围： (3)解关于x的不等式x2-a-3x+4>a+1x2+1. 14.(25-26高一上山西大同第二中学校月考)已知函数y=ax2-a+2x+2a∈R (1)命题“存在实数x,使y≥3-2x”是假命题，求实数a的取值范围： (2)求不等式y≥0的解集， 15.24-25高一上：山西大同浑源县大联考月考)向愚：已知a、b、c均为正实数，且2++1-1，求证： a b c a+b+c≥9. 3/14 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 证明：a+b+c=a+b+c 1++=3++9+9+9+9+ a b c a b a'c b'c ≥3+2+2+2=9，当且仅当 a=b=c=3时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： .14,9 (1)已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1,求二+ +二的最小值： a bc 2已知a、b、X、y均为正实数，且之b京=1，求证：a-b≤x-y3 (3)求T=V5t-9-Vt-2的最小值，并求出使得T取得最小值时t的值. 16.(21-22高一上山西朔州怀仁大地学校月考)已知函数f(x)=x (1)当x∈(-1,1)时，不等式f(x)<(2-a)x-1+a恒成立，求实数a的取值范围： (2)解关于x的不等式：f(x)<k(x-1)+x(k∈R): 17.(18-19高一下山西运城期末)已知关于x的不等式ax2-a+1x+1<0,a∈R. (1)若不等式的解集为x2<x<1 求a (2)当a∈R时，解此不等式. 函数的概念与性质 目目 板块03 18.(25-26高一上山西山西大学附属中学校·期中)函数fx满足对一切x,y∈R有fx+fy=fx+y+2, 且f4=0;当x>4时，有fx<0, (1)求f(2),f-2,f-4的值； (2)证明fx在R上的单调性： 3)求不等式fx+x-4fx2+x+4-5<0的解集. 19.(25-26高一上山西晋中部分学校)已知fx是定义在区间-1,1上的奇函数，且f1=-2,若 m,n∈-1，l,且m+n≠0时，有fm+fm<0 m+n (1)判断并证明函数fx在-1,1上的单调性： 4/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3)若2fx+fx,≤t-at+5对所有x,X,∈-1,1，a∈-2,26恒成立，求实数，的取值范围. 20.(25-26高一上山西大同卓越大联考期中)已知函数y=fx和y=gx,x∈D.若对任意x1∈D,总存 在X2∈D,使fx1gx2=k,则称gx是fx在区间D上的“k阶关联函数”.若对任意x1∈D,总存在 x2∈D,使fx1fx2=k,则称fx是区间D上的“k阶自关联函数”. (I)判断y=e*是否为区间-1,1)上的1阶自关联函数(e是大于1的常数)； (2)若fx=x2+1是区间m,1m>0上的“3阶自关联函数”，求m的值： ®者gx=X-2a是fXEX十在区间13上的“2阶关联函数”，求0的取值范围。 21.(25-26高一上山西大同第一中学校)已知函数fx=-x2+x-m (1)若函数fx的最大值为0，求实数m的值： (2)若函数fx在-1,0上单调递减，求实数m的取值范围： (3)是否存在实数m,使得fx在2,3上的值域恰好是2,3？若存在，求出实数m的值：若不存在，说明理 由 22.(24-25高一上山西太原实验中学校)已知函数fx=x+ax-b,其中a,b为常数. (1)当b=1时，求函数y=fx的单调区间： (2)当a=0时，存在2023个不同的实数x,i=1,2,…2023,0≤X1<X2<…<x2023≤3，使得 fx-fx2+fx2-fx3+…+fx22-fx2o23=12,求实数b的取值范围. 23.(24-25高一上山西三晋卓越联盟·月考)在平面直角坐标系xOy中，对于点Aa,b,若函数y=fx满 足：Hx∈a-1,a+1,都有y∈b-1,b+1,则称这个函数是点A的“界函数”. (1)判断函数y=1og2X是否为点A3,2的“界函数”？并说明理由： (2)若函数y=x是点Aa,b的“界函数”，求证：a=b: (③若函数y=X-2X是点Am,m-㎡的“界函数”，求m的取值范围。 12 24.(24-25高一上·山西晋城多校·期中)空集或非空有限集合A所含的元素个数通常被称为集合A的基数或 5/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 势，记作万.如⑦=0,0,1=2.非空集合B满足，若实数x∈B,则必有3∈B X+1 (1)求B的最小值并给出证明； (2)若定义在B上的函数fx对任何x∈B都有fx+f -3 X+1 =3x,求fx的解析式： (3)若2，+o∞二B,对于(2)中的函数fx,判断并证明fxx∈2，+o∞的单调性. 25.若函数G在m≤x≤n(m<n)上的最大值记为ymax,最小值记为ymin,且满足ymx-ymin=1,则称函数 G是在m≤x≤n上的“美好函数”. (1)函数①y=x+1;②y=2xVi:③y=x2,其中函数是在1≤x≤2上的“美好函数”；（填序号） (2)已知函数G:y=ax2-2ax-3a(a≠0). ①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值： ②当a=1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，请直接写出t的值： (3)已知函数G:y=ax2-2ax-3a(a>0),若函数G是在m+2≤x≤2m+1(m为整数)上的“美好函数”， 且存在整数k,使得k=Y匹，求a的值。 ymin 26.(22-23高一上山西晋中部分学校：期中)已知函数f(x)=V1+x,g(x)=V1-x (1I)求函数h(x)=f(x)+g(x)的值域： (2)已知a为实数，函数m(x)=af(x)g(x)+f(x)+g(x)的最大值为F(a),求F(a): 27.(2-23高一上山西大学附属中学校月考)已知函数fx=x+m+2(m为常数) (1)定义：区间a,ba<b的长度为b-a,若m=4,问是否存在区间a,b,使得x∈a,b时，fx的值域 为6,7，若存在，求出此区间长度的最大值： (2)解关于x的不等式：xfx-2>0: (3)求函数y=fx在x∈1,2上的最小值， 28.(22-23高一上山西晋城第一中学·调研)已知函数fx是定义域在R上的奇函数，且当x≥0时， fx=-x2+ax. (1)当a=-2时，求函数fx的解析式： 6/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)若函数fx为单调递减函数 ①直接写出a的范围（不必证明）； ②若对任意的me1,+∞，f2mt-4m+f品 >0恒成立，求实数t的范围。 29.(21-22高一上山西昌梁：期未)已知函数fx=x+文gx=X-ax+a-1. (1)若gx的值域为0，+o∞，求a的值. (2)证明：对任意x1∈1,2，总存在x2∈-1,3，使得fx1=gx2成立. 目目 板块04 基本初等函数 30.(25-26高一上山西晋中部分学校)已知函数fx=25-m·5 (1)若f2=125,求m的值： (2)若m=1,求fx在区间-2,1上的最大值： (3)设函数gx=2k*1,若对任意的x,∈-1,2，总存在x2∈R,使得fx,≥gx2成立，求实数m的取值范 围 31.(25-26高一上·山西太原期中)已知定义域为R的函数fx满足：①对于任意的x∈R,都有fx>0:② 对于任意的x,y∈R,都有fx+y=fxfy:@当x>0时，都有0<fx<1:④f1=号 (1)求f-1的值： (2)证明：fx是减函数： (3)解不等式： 2 32.2425商-上山西期未已知函数fx=1og,+t小∈R 当1=0时解方程3xf}=3 (2)若对Va∈ 11 32 函数fx在区间a,a+1上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数t的取 值范围. 7/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 33.(24-25高一下·山西太原某校·开学考)著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数 fX-e-e叫敬双曲正弦函数，函数gX=e+e 叫做双曲余弦函数，其中e≈2.71828…是自然对数 2 的底数.已知函数fX=e-e' 2，gx)=e+e 2 ()对任意实数x,[gx)-fx是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由： (2)求不等式f3x-2+fx+1>0的解集： (3)当x∈0，ln3时，求hx=4mfx-2g2x的最大值pm. 34.(24-25高一上·山西吕梁期末)在研究函数的图象与性质时，经常利用函数图象的平移思想，把一些复 杂的函数转化为简单的函数.例如函数y=log。 m-x 心且a≠1的图象可以看作把奇函数 x-n m-n-x 2 i且a≠1的图象向右m+n>0或向左(m+n<0)平移 m+n y=log m-n+x 2 个单位长度得到的，这样 m+n 我们可以得到函数y=log。 m-x x-n 且a≠1的图象关于点M ,0中心对称现有函数 f(x=l0g2 2m-2x gx=21+1 x-n 2X-1+1 (①)根据上面的结论，求函数hx=log,X-2 8-2x 的对称中心： (2)若n=-3,m=5,证明函数Hx=fx-gx在定义域内有唯一零点； (3)当n=-1,函数fx)的图象关于点N2,1中心对称时，若存在x,∈0,5，x2∈0,1，使得 fx1=gx2+t成立，求实数t的取值范围。 35.(24-25高一上·山西运城期末)现定义了一种新运算“⊕”：对于任意实数x、y,都有 8/14 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x④y=loga+ali且a≠1c (1)当a=2时，计算5⊕5： (2)证明：Hx,y,Z∈R,都有(x⊕y)⊕z=x⊕(y⊕z): (3)设m=a-2a-·,若f(x=m⊕m-log。2在区间[s,t](s<t<a)上的值域为a,a,求实数a的取值范围. 36.(24-25高一上·山西NT20名校联合体期末)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要 的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔对于满足一定条件的连续函数f(X),若存在实数X, 使得fxo=xo,则称x为函数f(x)不动点，若存在实数x使得ffx=xo,则称x为函数f(x)的稳定点. ()求函数h(x)=2x-3 X+6 的不动点： (2)如果函数f(x)=x-x+m(m∈R)的“稳定点”恰是它的“不动点”，求m的取值范围： (3)定义在R上的函数g(x)满足g(x)+g(-x)=2x,且g(x)-x在（上单调递减，不等式 g(x+4≥g(2-x)+4x的解集为A,若函数f(x)=l0g24*+4+2x-a在A中存在两个不动点，求a的 取值范围。 37.(24-25高一上山西部分地期末)已知函数fx=3×-2k·3×是R上的奇函数，函数 g(x=[f(x P+2mf(x +2. (1)求实数k的值： (2)若函数gx在1，+∞上的最小值为11，求实数m的值： 2x+4x-3 (3)设函数hx 若对任意的x1∈1,2，总存在x2∈0,3，使得gx1≥hx2,求实数m的取 值范围. 38.2122高一上l山西孝义期末已知15x2≤7，函数fx=-alogal3x-log,2+b+21a>0的最大值为 4,最小值为0. (1)求a、b的值 9/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)若不等式gt)=f3-kt≥0在t 上有解，求实数k的取值范围. 39.(23-24高一上·山西太原外国语学校、成成中学校)己知函数fx=1ogg9*+1+kxk∈R是偶函数. (1)求k的值： (2)若函数gx=9x.3*-2m·3+10≤x≤1，是否存在实数m,使得gx的最小值为0？若存在，求出 实数m的值；若不存在，请说明理由 40.(24-25高一上山西晋城调研)对于函数f(x),若fxo=xo,则称x为f(x)的“不动点”，若 ffx=x,则称x为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B, 即A=xf(x)=x,B=xf(f(x)=x若f(x)=mx2+(n+1)x+n+2(m∈R,n∈R). (1)当m=0,n=2时，求函数f(x)的不动点和稳定点； (2)若对任意实数，函数f(x)恒有两个不同的不动点，求m的取值范围： (3)对于任意函数f(x),求证：ACB, 板块05 三角函数 41.(24-25高一下·山西长治某校月考)已知集合M=01,02,,0n,n∈N*,设函数 fnx=sinx-0+sinx-02+.+sinx-0. 0当M=0,吗时，证明：函数f,X是常数函数： 2)已知MC Y90=kπ ,k∈N,k≤9 写出所有使函数f3x)是常数函数的集合M. 42.(24-25高一下山西大同常青中学校等校联考·月考)定义：若非零向量OM=a,b,函数fx的解析式 满足fx=asin x+b cos x,则称fx为OM的伴随函数，OM为fx的伴随向量. 0若向量O7为商数fX=2snx+号引+4s如x-号的件楼向量，求O: 10/14 专题06 解答题压轴精选 板块01 集合与简易逻辑 板块02 一元二次函数、方程和不等式 板块03 函数的概念与性质 板块04 基本初等函数 板块05 三角函数 集合与简易逻辑 地 城 板块01 1．(25-26高一上·山西大同北京师范大学大同附属中学校等校·)已知集合为非空数集，定义集合，，记为集合中元素的个数. (1)若集合，求、和； (2)若集合，，且，求和的值； (3)若集合，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)， (3)1350 【分析】（1）直接根据新定义一一计算即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求集合元素个数的范围，即可求出最大值． 【详解】（1）解方程可得，由定义可知； （2）因为，，， 所以中最大的元素为，则， 即， 中余下的元素对应， 又，所以， 则 （3）设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 而中最小的元素为0，最大的元素为， ∴， ∴， ∴， 实际当时满足题意，证明如下： 设， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为675． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为个． 2．(19-20高一上·山西太原第五十三中学·月考)已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由题，集合最多两个元素，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，即可求解； （2）分类讨论：为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可. 【详解】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：； （2）由题，中最多两个元素，对于方程 当集合时： ，即时，方程无解，，符合题意； 当集合中只有一个元素时： ，即时，方程的解为，，符合题意； 当中有两个元素时： ，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素， 此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：； 综上所述：或. 【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏. 3．已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； （2）由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 4．(25-26高一上·山西临汾平阳中学·月考)设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或； 【分析】（1）根据已知条件结合充要条件定义即可证明； （2）根据韦达定理得出，再代入计算求解； （3）先根据已知条件得出，再结合，得出进而分类讨论计算求解即可. 【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 5．(25-26高一上·山西朔州怀仁大地高中学校·月考)已知集合，且． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围． (2)若命题是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全称量词命题为真命题的含义，得出，再结合集合，列出不等式组求解即可； （2）根据存在量词命题为真命题的含义，得出，然后根据解不等式，再根据补集思想进而即得. 【详解】（1）因为命题“”是真命题,则 , 所以，解得， 所以实数 的取值范围为 . （2）由题意知，得 . 因为命题是真命题，所以 . 若，则 或 ，且，即. 故若，则， 故实数的取值范围为 . 6．(24-25高一上·山西太原某校·月考)我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为. 类似地，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中是全集，，为的子集);    (2)若，，求； (3)若集合，集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可； （2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：    （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得：. （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是. 7．(24-25高一上·山西大同阳高县第四中学·月考)（1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题或，命题或，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由条件可得方程有解，讨论，确定的取值范围； （2）由条件，结合充分条件和必要条件定义可得或是或的真子集，列不等式求的取值范围. 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以方程有解， 当时，，满足题意； 当时，； 所以. （2）因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 当即时，集合或,符合题意； 若， 则或，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 8．(24-25高一上·山西大同浑源县大联考·月考)已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 9．(23-24高一上·山西太原第十八中学校·月考)已知，，且满足，求实数a的取值范围. 【答案】或 【分析】根据，可得，根据一元二次方程根的情况，分类讨论是否满足，从而可得实数a的取值范围. 【详解】集合，由于，所以 对于方程， ①当时，即得或，方程无解，则，符合题意； ②当时，即得， 若，则方程为，解得，此时，不满足 若，则方程为，解得，此时，满足； ③当时，即得，若满足，则方程有两个根 所以满足，此方程组无解； 综上，实数a的取值范围为或. 10．(21-22高一上·1.2集合的基本关系-·)已知 (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 地 城 板块02 一元二次函数、方程和不等式 11．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知函数 (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由一元二次不等式的求法即可求解； （2）通过，，，，分类讨论即可； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，可得， 即， 解得或， 即解集为； （2）由不等式 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的值为. 12．(25-26高一上·山西太原常青藤中学校、朔州平鲁区李林中学·)设，，函数. (1)当时，解不等式的解集； (2)若在上的最大值为，求的取值范围； (3)当时，对任意满足的正实数a，b，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析； (2) (3)1 【分析】（1）根据不等式对应的方程的根的大小关系分类讨论可得； （2）根据函数在区间上的最大值确定二次函数的对称轴的位置，进而可得所求的范围； （3）先将不等式转化为，，不等式恒成立， 其中，进而转化为在恒成立，进而可得的最大值. 【详解】（1）当时，，. 所以，得，即， 当时，即，不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为. 故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）∵，，∴， . 又在上的最大值为，且是开口向上，且. ①当时，即时，，不符合题意； ②当时，即时，，符合题意， ∴， ∴的取值范围是. （3）由不等式，得， ∴，两边同除以，得， 令，∵，∴， 则，，不等式恒成立， ∴，则，即在恒成立， 而不等式，即，所以不等式的解集为. ∴， ∴， 综上，的最大值为1. 13．(25-26高一上·山西大同北京师范大学大同附属中学校等校·)已知二次函数 (1)若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； (2)若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； (3)解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见详解. 【分析】（1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可; （3）含着参数分类讨论计算即可. 【详解】（1）由题意可知的两个解为， 所以，所以； （2）因为恒成立，则， 即，解之得； （3）原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 14．(25-26高一上·山西大同第二中学校·月考)已知函数 (1)命题“存在实数，使”是假命题，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先将式子进行化简，分三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可. 【详解】（1）因为“存在实数，使”是假命题， 所以“任意实数，使”是真命题， 即恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 得，综上可得，的取值范围是. （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为 当时，，或 ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 15．(24-25高一上·山西大同浑源县大联考·月考)问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知、、均为正实数，且，求的最小值； (2)已知、、、均为正实数，且，求证：； (3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当时，取最小值 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 【详解】（1）解：因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. （2）证明：因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. （3）解：对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16．(21-22高一上·山西朔州怀仁大地学校·月考)已知函数 (1)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设可得，进而可知在恒成立，即可求参数范围. （2）题设不等式等价于，讨论的大小并根据一元二次不等式的解法求解集即可. 【详解】（1）当时，得，即. 由，则， ∴，即， ∴，即， ∴实数的取值范围是. （2）由，即，即. ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 综上，当时﹐不等式的解集为；当时，不等式的解集为﹔当时，不等式的解集为. 17．(18-19高一下·山西运城·期末)已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求； （2）当时，解此不等式． 【答案】（1）2（2）时，，时，，时，不等式的解集为空集，时，，时，. 【分析】（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a的方程组，解得a；（2）不等式化为，讨论a的取值，从而求得不等式的解集。 【详解】（1）由题得，，解集为，则有，解得；（2）由题，：当时，不等式化为，解得；当时，不等式等价于，若，解得；若，解得，若，解得；当时，不等式等价于，解得或.综上，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为空集，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用，以及通过讨论参数取值求不等式的解集，有一定的难度。 函数的概念与性质 地 城 板块03 18．(25-26高一上·山西山西大学附属中学校·期中)函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求，，的值; (2)证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，令，可得，令，可得，再令，求得，再令，可得； （2）设且，令，得到，根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把原不等式化为，令，得到，得到，结合，，结合函数的单调性，转化为，即可求解. 【详解】（1）由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令，    所以，可得. 再令，    所以，可得. （2）为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，    令，则， 因为当时，有，所以，     所以， 由 ， 即， 所以为上的单调递减函数. （3）由，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得，所以不等式的解集为. 19．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知是定义在区间上的奇函数，且，若，且时，有. (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)若对所有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质，可得，设，根据题意可得，根据单调性的定义，即可得证. （2）设，根据（1）可得为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，根据条件，可得，计算即可得答案. （3）由题意可得，将条件变为，即对所有的恒成立，设，根据一次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【详解】（1）设， 因为是定义在区间上的奇函数， 所以， 因为时，有，所以， 因为，所以，即， 所以函数在上单调递减. （2）设，因为是定义在区间上的奇函数， 所以， 所以是定义在区间上的偶函数， 且函数在上单调递减，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 所以，即，解得或， 则的取值范围. （3）因为在上单调递减，且， 所以， 因为对所有恒成立， 所以， 则，即对所有的恒成立， 设，， 要使，只需，即， 解得或，则实数的取值范围. 20．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知函数和．若对任意，总存在，使，则称是在区间上的“阶关联函数”．若对任意，总存在，使，则称是区间上的“阶自关联函数”． (1)判断是否为区间上的1阶自关联函数（是大于1的常数）； (2)若是区间上的“3阶自关联函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶关联函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是； (2) (3) 【分析】（1）由新函数定义即可求解； （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据定义，先分析出在上值域的情况，然后结合区间与对称轴对进行分类讨论，从而求解出的取值范围. 【详解】（1）对任意，取 ， ， 所以是区间上的1阶自关联函数； （2）由题意可知，对任意的，总存在，使成立， 即对任意的，总存在，使成立， 因为在上单调递减， 当时，，当时，， 因为对内的每一个，在内都存在唯一与之对应，且， 所以， 所以，解得. （3）由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶关联函数”， 得对任意的，总存在时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即且 解得； ②当时，在上单调递减，则， 即且 解得：； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，即,解得： ， ④当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，即且解得： ， 综上所以a的取值范围是. 21．(25-26高一上·山西大同第一中学校·)已知函数 (1)若函数的最大值为0，求实数的值： (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)0或4 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据二次函数的性质列式求解即可； （2）根据二次函数的单调性即可求解； （3）根据根据对称轴与所给区间的关系，分类讨论函数的单调性，即可根据最值求解. 【详解】（1） 函数的图象是抛物线，开口向下，对称轴是， 所以， 即，解得或， 的值为0或4. （2）函数图象是抛物线，开口向下，对称轴是； 要使在上是单调递减的，应满足； 的取值范围是. （3）当，即时，在上是减函数， 若存在实数，使在上的值域是， 则有，即，解得不存在； 当，即时，在上是增函数， 则有，即，解得； 当，即时，在上先增后减， 则在处取最大值，， 解得或6（不满足条件，舍去）； 综上，存在实数，使在上的值域恰好是. 22．(24-25高一上·山西太原实验中学校·)已知函数，其中为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，存在2023个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值符号，根据二次函数直接写出函数单调区间即可； （2）分、、、讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解. 【详解】（1）当时，， 函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 且的图象是开口向下，对称轴为的抛物线， 当，即时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，即时，的单调递增区间为， 单调递减区间为； 当，即时，的单调递增区间为， 单调递减区间为； 综上，即时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为， 单调递减区间为； （2）， （i）当，即时，在上单调递增， 因为，所以， 则 ， 即，解得； （ⅱ）当，即时，在上单调递增， 因为， 由（ⅰ）可得，解得； （ⅲ）当，即时， 则在内单调递增，在内单调递减， 则 ， 即 ，矛盾； （ⅳ）当，即时，不单调，在和内单调递增，在内单调递减， 则 ， 即 ，矛盾. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于求的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于12，而最大值的上界小于12不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对需结合单调性分类讨论. 23．(24-25高一上·山西三晋卓越联盟·月考)在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点的“界函数”． (1)判断函数是否为点的“界函数”?并说明理由； (2)若函数是点的“界函数”，求证：； (3)若函数是点的“界函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是点的“界函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据“界函数”的定义判断； （2）根据“界函数”的定义得到，然后列不等式得到，即可得到； （3）根据“界函数”的定义得到函数的定义域，然后分、、和四种情况讨论函数的值域，列不等式求解即可. 【详解】（1）解：当，即时，， 又，所以函数是点的“界函数”． （2）证明：由函数是点的“界函数”，且函数为增函数， 当时，函数的值域为， 因为，所以， 所以，解得，所以． （3）解：因为函数是点的“界函数”， 所以，都有． 当，即时，在上单调递增， 又当时， ； 当时，， 所以在上的值域为， 所以， 所以，解得，又，所以这种情况不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，； 当时，． 若， 即时，在上的值域为， 所以， 所以，解得，又， 所以； 若， 即时，在上的值域为， 所以， 所以，解得，又，所以； 当，即时，在上单调递减， 又当时， ； 当时，， 所以在上的值域为， 所以， 所以，解得，又， 所以这种情况不符合题意． 综上，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最小值： ①时， ； ②时，； ③时，. 二次函数在闭区间上的最大值： ①时，； ②时，； ③时，. 24．(24-25高一上·山西晋城多校·期中)空集或非空有限集合所含的元素个数通常被称为集合的基数或势，记作.如.非空集合满足，若实数，则必有. (1)求的最小值并给出证明； (2)若定义在上的函数对任何都有，求的解析式； (3)若，对于（2）中的函数，判断并证明的单调性. 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）设，逐步推导出集合中可能存在的元素，再根据元素的互异性判断合理性，由此可求； （2）将（1）中集合的三个元素代入可得三个方程，通过对三个方程联立计算可得的解析式； （3）先表示出，对其结果进行因式分解，代入的范围判断出的正负，由此可知的单调性. 【详解】（1）由于是非空集合，设实数， 根据题意，，进而， 再根据题意，由，进而 又方程，即无实数解， 故是彼此不相等的三个实数， 故中至少有个元素，即最小值为. （2）由（1）知，若，则. 根据题意，，① 将①式中的所有全部代换为，得，② 将①式中的所有全部代换为，得，③ ①③②，得， 整理得， 所以的解析式为. （3）是上的单调递增函数； ，且， 则 ， 由知， 故，即， 因此在上单调递增. 【点睛】思路点睛：用定义法证明函数单调性的步骤： （1）设：设两个自变量，并给定大小关系； （2）作差：计算； （3）变形：将的结果化简至容易判断出正负； （4）判号：根据的化简结果并结合的大小，判断出的正负； （5）下结论：说明的单调性. 25．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． (1)函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） (2)已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； (3)已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】(1)① (2)①或；②或 (3) 【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （3）由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【详解】（1）对于①， 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：①； （2）①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，则当时，随的增大而增大， ， ， 当时，则当时，随的增大而减小， ， ， 综上所述，或； ②二次函数为，对称轴为直线， 当，， 当时，， 当时，． 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去），； 若，则，解得，（舍去）； 若，则，解得（舍去）． 综上所述，或； （3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 26．(22-23高一上·山西晋中部分学校·期中)已知函数 (1)求函数的值域； (2)已知a为实数，函数的最大值为，求． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先根据函数定义域求出，求出，结合，恒大于0求出值域； （2）设，换元后得到，分三种情况，求出最大值，得到. 【详解】（1）由， ， ∵ ∴， ∴， ∵恒大于0， ∴的值域为； （2）， 令，则，即， 则． ①当时，在上单调递增，； ②当时，开口向上，对称轴为， 在上单调递增，； ③当a<0时，当，即时，在上单调递减， 故， 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 当，即时，在上单调递增， 故. 综上所述：. 27．(22-23高一上·山西大学附属中学校·月考)已知函数（为常数） (1)定义：区间的长度为，若，问是否存在区间，使得时，的值域为，若存在，求出此区间长度的最大值； (2)解关于的不等式：； (3)求函数在上的最小值. 【答案】(1)存在，3 (2)当时，解集为；当时，解集为或. (3)当时，，当时，，当时，，当时，，当时，. 【分析】（1）为对勾函数，利用其单调性，求出在区间上，的值域，即可求解. （2）化简得到，分类讨论和，即可求解 （3）根据，分类讨论三种情况，其中时，还需要细分，，三种情况，通过分类讨论即可求出函数在上的最小值 【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增， 且，， 因在区间上，的值域为，所以. （2）即. 当时，解集为；当时，解集为或. （3）当时， 当时， 当时， 若，则 若，则 若，则 综上，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，. 28．(22-23高一上·山西晋城第一中学·调研)已知函数是定义域在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)若函数为单调递减函数. ①直接写出的范围（不必证明）； ②若对任意的恒成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由奇函数性质，可写出时，的解析式. （2）①因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，考虑时，的单调性即可. ②由奇函数性质将 转化为，之后利用函数单调性及分离参数可解决问题. 【详解】（1）,当时，. 故时，. 所以 . （2）①因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性. 故在单调递减.又其对称轴为，故当时满足条件. 故答案为： ②因函数是定义域在上的奇函数，由 可得， 又函数为单调递减函数，故，即 又注意到，结合，知 得：. 令，其中.任取，且. 故 因，，则，， 故，即.所以在上单调递增， 得. 又令，则转化为 ，其中.要使式子成立，需小于的最小值. 又注意到函数与函数均在上单调递增， 则函数在上单调递增. 故，得 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式,函数奇偶性与单调性的综合及函数恒成立问题.熟记性质是利用奇偶性求解析式的关键，特别要注意符号.奇函数结合单调性常可解决形如的问题.对于恒成立问题，常利用分离参数将其转化为求代数式的最值. 29．(21-22高一上·山西吕梁·期末)已知函数，． (1)若的值域为，求a的值． (2)证明：对任意，总存在，使得成立． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，可得，从而即可求解； （2）利用对勾函数单调性求出在上的值域，再分三种情况讨论二次函数在闭区间上的值域，然后证明的值域是值域的子集恒成立即可得证. 【详解】（1）解：因为的值域为，所以，解得． （2）证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以． 设在上的值域为M， 当，即时，在上单调递增，因为，，所以； 当，即时，在上单调递减，因为，，所以； 当，即时，，，所以； 综上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立， 所以对任意总存在，使得成立. 地 城 板块04 基本初等函数 30．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知函数 (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【详解】（1）由，得，解得. （2）当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最大值，所以在区间上的最大值为. （3）若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又， 所以， 所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，. 令，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 31．(25-26高一上·山西太原·期中)已知定义域为的函数满足：①对于任意的，都有；②对于任意的，，都有；③当时，都有；④. (1)求的值； (2)证明：是减函数； (3)解不等式：. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】 （1）根据题意利用赋值法求函数值即可； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）根据题意可得原不等式等价于，结合单调性分析求解即可. 【详解】（1）因为对于任意的，，都有，且， 令，，则，可得； 令，，则，即，可得. （2）对，，且，则， 可得，， 则， 所以在上是减函数. （3）因为对于任意的，，都有， 令，可得； 令，可得； 令，可得， 且，可得， 所以原不等式等价于， 由（2）可知在上是减函数， 则，解得， 所以原不等式的解集为. 32．(24-25高一上·山西·期末)已知函数 (1)当时，解方程； (2)若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）根据复合型对数函数的定义域和单调性，列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以可化为， 即，所以，或， 所以，或， 即方程的解为或． （2）因为对在上总有意义， 所以对在上恒成立． 令，则， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以恒成立，即，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减， 所以， 由题意知， 即， 所以，即， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 故实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：对于恒（能）成立问题，常常结合最值分析处理，而最值又结合函数的单调性，所以对于函数的单调性要灵活熟练应用. 33．(24-25高一下·山西太原某校·开学考)著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.已知函数. (1)对任意实数 是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； (2)求不等式的解集； (3)当时，求的最大值. 【答案】(1)是，定值1 (2) (3) 【分析】（1）将两函数式代入计算即得； （2）利用函数的奇偶性和单调性转化求解抽象不等式即得； （3）令，求得，将函数换元化成，利用二次函数的图象性质结合区间即可分段求得的解析式，再合并表示即可. 【详解】（1）由， 可得 ， 即 是定值，定值为1. （2）易知的定义域为， 又，所以为奇函数， 由不等式可得， 又易得是上的增函数，所以，所以， 所以不等式的解集为. （3）令，因在上单调递增，故得， 又因为，， 则，， ① 当时，函数在上单调递增， 故当时，取得最大值为； ② 当时，函数在上单调递减， 故当时，取得最大值为； ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时取最大值； 综上可得：. 34．(24-25高一上·山西吕梁·期末)在研究函数的图象与性质时，经常利用函数图象的平移思想，把一些复杂的函数转化为简单的函数.例如函数且的图象可以看作把奇函数且的图象向右或向左平移个单位长度得到的，这样我们可以得到函数且的图象关于点中心对称.现有函数. (1)根据上面的结论，求函数的对称中心； (2)若，证明函数在定义域内有唯一零点； (3)当，函数的图象关于点中心对称时，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据函数的定义得出对称中心； （2）根据，结合函数的单调性即可证明零点的唯一性； （3）先求函数的单调性，再把存在等式成立转化为的最大值大于或等于的最小值即可计算求解. 【详解】（1）因为， 根据题中的结论，可得函数中， 故函数的对称中心为， 所以函数的对称中心为. （2）若，则， 由得，所以的定义域为. 又因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可知：函数在定义域上是减函数， 又由题设可知函数关于点对称，且有. 对于函数的图象，可以看作是将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，知为奇函数且在上为增函数， 故可得函数在区间上单调递增，关于点对称，且有. ，且在定义域上是减函数， 所以函数在定义域内有唯一零点. （3）当的图象关于点中心对称时， 由题中结论可得， 函数在上单调递减，则在上的值域为， 由（2）知在上单调递增，故的值域为. 若存在，使得成立， 则的最大值大于或等于的最小值， 即，即有， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解题第2问证明唯一性及第3问转化存在问题的关键是研究函数的单调性. 35．(24-25高一上·山西运城·期末)现定义了一种新运算“”：对于任意实数、，都有且． (1)当时，计算； (2)证明：，都有； (3)设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，利用题中新运算“”的定义可计算出的值； （2）利用题中新运算“”的定义验证等式两边等于同一个代数式即可； （3）推导出，分析函数在上的单调性，结合题意可得出，即，两式作差可得出，进而可知、是函数在上的两个不同的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，． （2）因为， 所以． （3）由新运算可知， 令，则在上单调递减， 由于在上的值域为，所以，则， 又因为在上单调递减，函数为减函数，则在上为增函数， 则，即，即， 整理得，所以， 将代入，得，， 同理得，． 所以、是函数在上的两个不同的零点， 则解得， 所以，故实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 36．(24-25高一上·山西NT20名校联合体·期末)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔.对于满足一定条件的连续函数，若存在实数使得，则称为函数不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. (1)求函数的不动点； (2)如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，求m的取值范围； (3)定义在R上的函数满足，且在上单调递减，不等式的解集为A，若函数在A中存在两个不动点，求a的取值范围. 【答案】(1)和3 (2) (3) 【分析】（1）根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答； （2）根据稳定点及不动点定义列出方程，分类讨论即可作答； （3）根据函数的单调性结合不动点定义，建立函数关系，求出参数的范围. 【详解】（1）令，得， 整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为和. （2）令，即，即， 解得 令，得， 即，得， 所以有， 此方程的解只能为1或m. ①当时，方程化为， 仅有一个实数解，满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者m. 故或或， 解得. 综上，实数m的取值范围为. （3）由得 设，那么， 即是奇函数且在R上单调递减. ， 即， 即，所以，解得， 令，那么， 所以， 设又因为在上单调递增，故， 即在上有两个不相等的实数根 结合在的图象可知 所以a的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是先换元应用函数的单调性结合二次函数的值域计算即可. 37．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值. （2）利用换元法，结合函数的单调性、二次函数的性质来求得的值. （3）根据复合函数的单调性、恒成立、存在性等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 即，整理得， 所以，， 所以，检验可知符合题意， 所以． （2）由（1）知，，所以． 令，因为函数在区间上单调递增，所以， 则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，， 解得． 当，即时，， 解得，无解． 综上所述，实数的值为． （3）由题知， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，有最小值． 由（2）知当时，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递减， 所以函数在时单调递减，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 判断函数奇偶性时，依据奇函数或偶函数的定义，通过等式变形求出参数值，注意要进行检验. 解决函数恒成立和存在性问题时，常将其转化为函数最值问题，对于复合函数单调性的判断，根据内外层函数 “同增异减” 的原则进行分析. 38．(21-22高一上·山西孝义·期末)已知，函数的最大值为4，最小值为0. (1)求的值 (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)化简f(x)解析式，将看作整体即可求f(x)最值，即可求出a、b的值； (2)化简，化简不等式，参变分离k和t，得，问题等价于. 【详解】（1） ， 由得，， 又a＞0，因此的最大值为， 最小值为，解得． （2）， 又，， 而在上单调递减，在上单调递增． 因为，，所以． 由不等式在上有解， 得： ． 因此，的取值范围是． 【点睛】方法点睛： 对于对数函数与二次函数复合的函数最值问题，通常采用换元法将对数函数转化为新变量，转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解. 对于不等式有解求参数范围问题，常通过参变分离将参数与变量分离，转化为求函数最值问题，再结合函数单调性等性质求解. 39．(23-24高一上·山西太原外国语学校、成成中学校·)已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用偶函数的定义，化简得对恒成立可求得的值； （2）由（1）得到，从而推得，通过换元法将其转化成在上有无最小值为0的情况，考虑其对称轴与区间的位置关系分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题可得， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立，得. （2）由（1）可得， 所以， 令，则，其对称轴为， 当时，在区间上单调递减， 则解得，不符题意，舍去； 当时，在区间上先减后增， 故解得故； 当时，在区间上单调递增， 则解得不符题意，舍去. 故存在，使得的最小值为0. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了运用偶函数定义求解参数值和由指数式组成的函数式在给定区间上的最值问题.解题关键在于对数的运算性质的运用，以及对同底的指数函数的换元法处理思想，将其转化为二次函数在给定区间上的最值问题，需要数学化归意识和分类讨论思想. 40．(24-25高一上·山西晋城·调研)对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，.若（，）. (1)当，时，求函数的不动点和稳定点； (2)若对任意实数n，函数恒有两个不同的不动点，求m的取值范围； (3)对于任意函数，求证：. 【答案】(1)不动点为，稳定点为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由不动点和稳定点的定义建立等量关系，解方程即可得到结果. （2）由函数恒有两个不同的不动点可得方程有两个不相等的实数根，结合判别式可得对任意实数都成立，分析一元二次不等式恒成立问题可得结果. （3）当时可得，当时，根据集合中的元素都在集合中可证明结论. 【详解】（1）当，时，函数. 由，解得. 由，得，解得. 所以函数的不动点为，稳定点为. （2）若对任意实数，函数恒有两个不同的不动点， 则方程有两个不相等的实数根， 所以有两个不相等的实数根， 即且对任意实数都成立， 故， 解得，故的取值范围为. （3）若，则，显然成立； 若，任取，则，所以， 所以，故. 综上，. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是把问题转化为一元二次不等式恒成立问题，结合方程的判别式可得结果.解决第（3）问的关键是结合题目中的新定义得到集合中的元素都在集合中. 地 城 板块05 三角函数 41．(24-25高一下·山西长治某校·月考)已知集合，，设函数． (1)当时，证明：函数是常数函数： (2)已知，写出所有使函数是常数函数的集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】（1）直接利用题设定义与平方关系，即可证明结果. （2）根据题设，利用倍角公式及余弦的差角公式得到，再利用平方关系可得，，间的关系，再结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）当时，，所以是常数函数. （2）当，不妨令， 则 ， 若函数是常数函数，则， 利用可得到，， 打开化简得， 得或，，所以或，； 同理或，；或，； 则，又， 所以集合有，，，共4个. 42．(24-25高一下·山西大同常青中学校等校联考·月考)定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可； （2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得； （3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得. 【详解】（1）因， 则，故. （2）依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. （3）依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点. 故实数m的取值范围为. 43．(24-25高一上·山西晋城第一中学校等校·期末)设定义在上的函数和定义在上的函数，若对任意的，存在，使得(k为非零常数)成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值. (1)若函数 判断与是否是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，并说明理由； (2)若函数 ，与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围； (3)若函数 且与是恒定比数值为2的异自变量定值函数组合，求m的取值范围. 【答案】(1)与不是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合 (2) (3) 【分析】与为恒定比数值为的异自变量定值函数组合等价于的值域包含于的值域，故从值域的包含关系即可求解. 【详解】（1）的值域为，的值域为， 若与是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，则， 但是，所以与不是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合. （2）在上单调递增，所以的值域为， 在上单调递增，值域为， 由题意得，的值域为，则，所以. （3）的值域为，所以的值域， 令，， 所以，解得，所以对称轴， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，， 所以，解得； 综上，. 【点睛】方法点睛： 由异自变量定值函数组合的定义，围绕在定义域内的值域包含于的值域进行求解. 44．(24-25高一上·山西太原·期末)人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)曼哈顿距离为2，其余弦距离为 (2)①；② 【分析】（1）利用给定定义求解即可. （2）利用给定定义结合两角正余弦的和差公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， ， 所以，之间的曼哈顿距离为2，其余弦距离为； （2）①由题意得 ，∵，∴， ∵， ∴，∴， ， ， ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴， ， ∴ ， ∴，之间的曼哈顿距离为 . 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合两角正余弦的和差公式进行化简，得到所要求的距离即可． 45．(23-24高一上·山西长治上党好教育联盟·期末)函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式. （2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案. 【详解】（1）由题意可知：的面积，可得， 所以周期，则， 由，得，又，于是， 所以； （2）由，则，得， 即．由，得， 即在上恒成立， 亦即， 因为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解. 46．(23-24高一上·山西朔州怀仁·期末)（1）已知，求的值. （2）已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如：.若对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据求出，据此即可求出的值； （2）讨论的取值范围，求出，根据不等式恒成立，只需即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 所以或，因为， 所以，所以，所以 ； （2），当时，， 当时，， 当时， ， 又对任意都成立， 即恒成立，， 所以，所以实数的取值范围是. 47．(23-24高一上·山西阳泉·期末)设函数 (1)当时，解不等式； (2)若，则在闭区间上有实数解，求实数的取值范围； (3)若函数的图象过点，且不等式对任意均成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据给出的条件，确定函数的解析式，再根据对数函数的单调性解不等式； （2）先确定的值，分离参数，把问题转化成函数在给定区间上的值域问题，结合函数单调性求值域； （3）先确定的值，利用函数单调性把问题转化成代数不等式求解. 【详解】（1）当时，，             不等式，即， 可得，且， 解得， 不等式的解集为； （2）由，得，∴， ，即在闭区间上有实数解，   可得， 令，即求在闭区间上的值域，         根据指数和对数的性质可知，是增函数， ∴在闭区间上的值域为， 故得实数t的取值范围是； （3）函数的图象过点，则 ，故，   那么，不等式转化为， 即 ， 解得， 又，即， ， 又，所以， 对任意均成立时，实数x的取值集合为． 【点睛】关键点点睛：第二问中，要分离参数，问题转化为存在性问题，进而用函数单调性求函数在给定区间上的值域，分离参数是关键；第三问中，含对数的不等式问题，解的时候一定要注意对数的真数要大于这个条件. 48．(21-22高一上·山西临汾第一中学·期末)已知函数，函数的图象经过点且的最小正周期为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度；再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，令函数，区间且满足：在上至少有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数的最小正周期为得到，函数经过点，得到，从而求得； （2）由题意转化为，设，则在上是增函数，利用单调性可得答案. （3）令解得或，求得相邻两个零点之间的距离，若最小，则均为的零点，此时在区间，分别恰有个零点，即在区间恰有个零点，至少有一个零点可得答案. 【详解】（1）， 又函数的最小正周期为， ， ，又函数经过点， ，于是， 因为，所以， . （2）由题意得， ， ， 设， 则， 设， 则在上是增函数. 当时，， . 故实数的取值范围是. （3）由题意，， ， 令得：， 或， 解得：或， 相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则均为的零点，此时在区间， 分别恰有个零点， 在区间恰有个零点至少有一个零点， ，即， 检验可知，在恰有30个零点，满足题意， 的最小值为. 49．已知函数的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)若函数，当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象易知：、、且，结合已知即可求参数，进而写出的解析式； （2）由（1）可得，应用换元法令，进而有并由题设确定的范围，最后利用二次函数的性质求的值域. 【详解】（1）由图知：，则， 又，故，又， ∴， ，可得， ∴，又，则， ∴当时，，综上：. （2）由题设，， 又，令， ∴， 则， ∴且，又在上递增， 由， ∴. 50．(20-21高一上·山西晋中·期末)如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设. （1）求角的取值范围； （2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，得到，当点位于点时，取得最大值，角取最小值，求得，即可求解. （2）在直角中，求得，在直角中，求得，在中，由勾股定理求得，得到，利用换元法和三角函数的性质，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时， 因为，所以， 当点位于点时，取得最大值，角取最小值， 由对称性知此时，所以， 所以角的取值范围是. （2）在直角中，且，所以， 在直角中，且，所以， 在中，由勾股定理得， 因为，所以，所以， 所以， 令， 因为，可得，所以， 又由，可得， 因为函数在区间上单调递减， 当时，，此时，解得， 所以当时，的周长取得最小值，最小值为. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法： 1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式； 2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $