专题06 选填压轴精选（期末真题汇编 山西专用）高一数学上学期

专题06 选填压轴精选 板块01 集合与简易逻辑 板块02 一元二次函数、方程和不等式 板块03 函数的概念与性质 板块04 基本初等函数 板块05 三角函数 集合与简易逻辑 地 城 板块01 1．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 【答案】D 【分析】由题意得，据此求出的值及集合，易得集合的真子集个数为. 【详解】. 当时，； 当时，； 当时，； ，所以集合的真子集个数是： 故选：D 2．(25-26高一上·山西临汾平阳中学·月考)设，则“”时“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先化简得出等价条件，再结合充分必要条件定义判断即可求解. 【详解】设，则“”等价于或； “”等价于； 或不可以推出；可以推出于或； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 3．(25-26高一上·山西大同北京师范大学大同附属中学校等校·)已知集合A满足 则满足条件的集合A的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】由题意可知若A中有三个元素，则，仅此1种情况； 若A中有四个元素，则在包含三数的前提下，还可包含1或2024或2026，有3种情况； 若A中有五个元素，则在包含三数的前提下，可包含或或，有3种情况； 综上所述满足条件的集合A的个数是7个. 故选：A 4．(24-25高三上·陕西宝鸡某校·一模)定义集合运算：若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出后可求得，故可得正确的选项 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 5．设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 【答案】A 【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可. 【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．    当时，， 则 故选：A． 6．(20-21高一上·山西运城景胜中学·月考)设函数，集合，设，则等于（   ） A．6 B．8 C．2 D．4 【答案】D 【分析】把所给的方程整理，得到三个一元二次方程，要使所给的方程出现正整数解集，可以列举出的值有三个，把其中两个相减找出差的最大值即可. 【详解】方程， 则，或，或， 因为正整数解集为，结合韦达定理可知任意方程的两个根的和均为6， 所以当时，或， 当时，或， 当时，， 符合正整数解集， 因为，所以， 所以， 故选：D. 7．(24-25高一上·山西三晋联盟山西名校·期中)“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】求解不等式，根据充分必要条件的定义求解即可. 【详解】由，解得或， 所以能得出，但成立不一定能得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 8．(24-25高一上·山西平遥中学·月考)当一个非空数集G满足：如果，那么且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（   ）． A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解. 【详解】当，且时，， 所以0是任何数域的元素，故①正确； 当，且时，由数域的定义知， 所以，故②正确； 当时，，故③错误； 如果，那么，且当时，，所以有理数集是一个数域，故④正确． 故选：A. 9．(21-22高一上·山西实验中学·月考)若且则称非空集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果. 【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即. 故选：B 10．(24-25高一上·山西平遥中学·月考)阅读不仅可以获取知识，还可以陶冶人的情操，培养人独立思考的能力．某班在电子阅览室开展“书香学子”阅读活动，据统计知周一、周二、周三参加阅览的同学人数分别是，若这三天中只有一天参加阅览的同学共计20人，则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由已知，作出图，结合题意，根据设出的未知量，列出方程组，讨论出答案. 【详解】由已知，    作出如图所示的图，由题意得， 则有， 所以，即． 因为要让x最大，所以需要最小． 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意． 则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是4． 故选：B. 11．(25-26高一上·山西临汾平阳中学·月考)已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，使得，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】当时，求得，可判定A正确；当时，求得，可判定B错误；根据二次函数的图象与性质，结合和，可判定C正确，D错误. 【详解】由题意知，集合，可得. 对于A，若，则，所以，所以A正确； 对于B，若，则，即， 此时，所以B错误； 对于C，由，可得， 若，，使得，即 当时，，即，此时不满足，舍去； 当时，，即， 此时满足，符合题意； 当时，，即， 此时不满足，不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围为，所以C正确； 对于D，由，可得， 当时，可得，此时满足，符合题意； 当时，可得，此时不满足，不符合题意，舍去； 当时，可得，要使得，则， 解得，所以， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 故选：AC. 12．(25-26高一上·山西朔州怀仁大地高中学校·月考)下列命题中，真命题是（    ） A． B． C．命题“若 ，则 ”的逆命题 D．命题“若 ，则 ”的逆否命题 【答案】BC 【分析】对于AB可通过，恒成立判断，对于C，写出逆命题即可判断，对于D，由互为逆否的命题真假一致可判断. 【详解】对于A：因为恒成立，假命题； 对于B：因为，所以，恒成立，真命题； 对于C，逆命题为：若，则，真命题； 对于D，当时，原命题不成立，假命题，再由互为逆否的命题真假一致，可知逆否命题为假命题； 故选：BC 13．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【分析】对于A求2026除以5的余数即可判断，对于B由即可判断，对于C整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，即可判断，对于D若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，则，当时，得，即进而求解. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 14．(24-25高一上·山西大同第一中学校·月考)“不等式在上恒成立”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件时m的范围，可得它的真子集即为充分不必要条件，选出结果． 【详解】“不等式在上恒成立”的充要条件即方程至多一个实数根， 所以，解得， 所以不等式恒成立的充分不必要条件是的真子集． 故选：CD. 15．(23-24高一上·山西朔州右玉县·月考)已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 16．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为 . 【答案】4 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中求解即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则，，，， ，，， 设三项都参加的有人，即， 由， 则，解得，即三项都参加的有4人. 故答案为：4. 17．(25-26高一上·山西临汾平阳中学·月考)已知，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 18．(24-25高一上·山西大同第一中学校·月考)含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 . 【答案】32 【分析】根据题意可写出集合M的非空子集，再利用交替和定义可解． 【详解】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，， ，，，，，，，，， 则所有非空子集的交替和的总和为： . 故答案为：32. 19．(24-25高一上·山西朔州怀仁大地学校高中部·月考)若X是一个集合,是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足：①X属于,空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于τ. 则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{,,},对于下面给出的四个集合： ①＝{,{},{},{,,}}； ②＝{,{},{},{,},{,,}}； ③＝{,{},{,},{,}}； ④＝{,{,},{,},{},{,,}}． 其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是 ． 【答案】②④. 【分析】根据新定义进行验证即可得． 【详解】①τ＝{∅,{a},{c},{a,b,c}},因为{a}∪{c}＝{a,c}∉τ,故①不是集合X上的一个拓扑； ②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义； ③因为{a,b}∪{a,c}＝{a,b,c}∉τ,故③不是集合X上的一个拓扑； ④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义. 故答案为：②④. 20．(24-25高一上·山西实验中学·月考)已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围. 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 地 城 板块02 一元二次函数、方程和不等式 21．(24-25高一上·山西晋城多校·期中)若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换 ，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 22．(23-24高一上·山西太原·期中)已知不等式恒成立，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据不等式恒成立，则需要，，即，利用基本不等式即可判断选项. 【详解】根据不等式恒成立， 当，不符合条件。 则，，即， ① ②， ①当且仅当，即，等号成立. ②当且仅当时等号成立. 两次基本不等式都在成立，故等号能够传递. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，命题的否定为真命题，根据x的范围，整理可得，根据基本不等式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题的否定为真命题， 则，整理得， 因为， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 所以，则实数的取值范围是. 故选：B 24．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由常数的代换，和基本不等式即可求解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为3， 故选：A 25．(25-26高一上·山西太原·期中)若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 26．(25-26高一上·山西大同第二中学校·月考)下列命题为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，不成立，错误； 对于B，当时，不成立，错误； 对于C，，由，当且仅当时取等号，正确； 对于D，，，当且仅当时取等号，错误； 故选：C 27．(25-26高一上·山西临汾平阳中学·月考)已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知集合间关系代入得出不等式，再应用不等式性质计算求解. 【详解】因为集合，且， 所以且，所以， 所以， 则的取值范围是. 故选：D. 28．(25-26高一上·山西临汾第一中学校·)已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解，进而根据韦达定理，代入即可求解. 【详解】由题意可得，则， 令，则，故，当且仅当，即时取到等号，此时， 因此，即， 故，代入可得，解得， 故选：C 29．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)下列说法中，正确的有（   ） A．对任意实数，都有 B．若，则 C．当且时，的最大值为 D．若为任意实数，则 【答案】BD 【分析】选项A，当时，即可判断A错误；选项B，根据基本不等式即可判断B正确;选项C，根据基本不等式即可判断C错误；,选项D，移项化简得，可判断D正确. 【详解】对于选项A，当时，则，，所以，故A错误； 对于选项B，当时，，根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于选项C，因为且，则，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故C错误； 对于选项D，因为，所以，故D正确. 故选：BD 30．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)不等式的解集是，则下列选项正确的是（   ） A．且 B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 【答案】BCD 【分析】根据一元二次函数和一元二次不等式的关系，可以确定，且，1是方程的两个根，再利用根与系数的关系可得，，再分析选项，即可判断出它们的真假. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，且，1是方程的两个根， 由根与系数的关系可得：，解得，， 所以，，故A错误； 对于B，由，即，而，则，即， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，则， 而，则，解得， 即不等式的解集是，故D正确. 故选：BCD. 31．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，两边同时除以，所以，A错误； 对于B，由可得B正确； 对于C，因为， 所以，即，C正确； 对于D，由可得，所以，D错误. 故选:BC. 32．(25-26高一上·山西大同北京师范大学大同附属中学校等校·)已知实数m，n满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式和韦达定理即可得出. 【详解】对于C：由，得， 所以，当且仅当时等号成立，得，所以，故C错误； 对于B：又，得，当且仅当时等号成立，所以，故B正确； 对于A：又将看成关于n的一元二次方程， 由实数n存在，所以，解得，故A正确； 对于D：令，则代入，得，由， 所以，得，解得，即，所以正确，故D正确. 故选：ABD. 33．(25-26高一上·山西大同北京师范大学大同附属中学校等校·)已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质及比较法可得. 【详解】对于A：由，不等式的乘法性质可得，故A正确； 对于B：由不等式的倒数性质得，再由不等式的乘法性质得，故B正确； 对于C：令，得，，所以不成立，故C错误； 对于D：由，由，得，所以，故D错误. 故选：AB. 34．已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 35．(24-25高一上·山西NT20名校联合体·期末)已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例可说明选项A、C错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B正确；利用作差法可得选项D正确. 【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确； 对于B，等价于， ∵，∴，故，故B正确； 对于C，当时满足，但，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 36．(25-26高一上·山西大同北京师范大学大同附属中学校等校·)某大型购物超市一年需购买某种货物300吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为3万元，一年的总存储费用的数值等于每次购买吨数的数值，则每次购买该种货物的吨数是 时，一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和最小，最小值是 万元. 【答案】 30 60 【分析】利用条件建立不等式模型结合基本不等式计算最值可得结果. 【详解】设每次购买吨，则分成次，由题意可知一年的总运费，总存储费用数为， 则，当且仅当时取得最小值，最小值为60. 故答案为：30,60 37．(25-26高一上·山西太原·期中)将基本不等式推广可得正确结论 ，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用两次基本不等式求出的最小值，再建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】若，则恒成立， 令，则可化为， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时， 则，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得（负根舍去）， 代入中，可得，符合题意，故两次取等条件均满足， 即，可得，解得. 故答案为： 38．(24-25高一上·山西平遥中学校·)命题“对任意的，总存在，使得”成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】问题转化为函数与有交点，数形结合求参数的取值范围. 【详解】由 . 问题转化为函数与有交点，其中，. 由图可知： . 若，则上式显然成立； 若，则，又对任意都成立，所以 ； 若，则，又对任意都成立，所以 . 综上可知，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：“对任意的，总存在，使得”转化为：“对对任意的，的值一定在函数（）的值域内”，再分情况讨论，求的取值范围. 39．(20-21高一下·山西晋城陵川县高级实验中学校·开学考)若对，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，，由已知可知，代入即可求解. 【详解】令函数，开口向上，对称轴为，在时函数单调递减； 令函数，函数在R上单调递增； 由对，使得成立，即 则需，即 即，解得： 所以实数a的取值范围是 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； 函数的概念与性质 地 城 板块03 40．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值又有最小值的条件，列式求解即可. 【详解】由题意，当时，， 根据图像，可得当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 当时，由，解得， 当时，， 根据图像，当时，单调递减，值域为， 当时，由，解得， 因为在区间上既有最大值，又有最小值， 所以，所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 41．(23-24高一上·山西运城·期末)已知满足，且函数为偶函数，若，则（    ） A．0 B．1012 C．2024 D．3036 【答案】D 【分析】由题意得，函数的周期为4，进一步，由此即可顺利得解. 【详解】由题意函数为偶函数，所以，的图象关于直线对称， 所以， 函数的周期为4， 在中，分别令， 得， 解得， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是得到函数的对称性、周期性，从而顺利得解. 42．(21-22高一上·山西怀仁·期中)符号表示不超过x的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（    ） ①函数的定义域是R，值域为[0,1)； ②方程有无数个解； ③函数是奇函数； ④函数是增函数. A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性的定义进行判断. 【详解】对于①：函数的定义域是，但，其值域为，故正确； 对于②：，可得，则，， 都是方程的解，故正确； 对于③：函数的定义域是，而，如，， 故函数不是奇函数，故错误； 对于④：由②可知，，，当时，函数函数的值都是，所以不是增函数，故错误， 故选：A 43．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 44．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象与轴有且仅有2个交点 B．的图象关于点对称 C．函数的图象在函数的图象的上方 D．，都有 【答案】BCD 【分析】对于A，由方程求解即可判断，对于B，由是奇函数，关于对称，结合图象平移可判断，对于CD，通过作差法可判断. 【详解】由，可知定义域为， 对于A，令，可得：，解得， 所以的图象与轴有且仅有1个交点，A错误； 对于B，， 因为是奇函数，关于对称， 可由向上平移5个单位得到， 所以的图象关于点对称，B正确， 对于C，， 令， 当且仅当时取等号， 所以函数的图象在函数的图象的上方，C正确； 对于D，因为，则： ，当时取等号， 所以，故D正确， 故选：BCD 45．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若对任意，成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A：赋值，令即可得结果；对于B：先求得，再结合题意即可判断；对于C：根据奇函数的定义分析判断即可；对于D：根据奇偶性和单调性可得，结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为对任意，满足， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，且， 可得，即， 又因为函数在上单调，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于选项C：设， 令，可得， 即，可得， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于选项D：因为，即， 可得， 又因为函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 可得，且，整理可得， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 可得，则， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 46．(24-25高一下·山西孝义中学校·开学考)已知函数的定义域均为，是偶函数，且，若，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，先得，再利用赋值法求，进一步求，判断A；再推得，，可得对称性和周期性，判断BC；由以上分析可知，再结合周期性判断D. 【详解】因为是偶函数， 所以， 所以． 当时，，又，所以， 所以，所以，故A正确； 由，得， 两式相减得，所以， 又，所以，即， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； ，所以是以6为周期的周期函数， 所以，故C正确； 由以上分析可知， ，D不正确． 故选：ABC． 【点睛】方法点睛：（1）涉及抽象函数的求值问题，往往采用赋值法，即令x取特殊值； （2）涉及到抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性问题，往往要结合赋值和相应的定义去解决. 47．(24-25高一上·山西晋城第一中学校等校·期末)已知函数的定义域是R，，是奇函数，且，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】ACD 【分析】根据奇函数性质判断C，根据对称性判断B，结合已知利用赋值法求值判断AD. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 所以函数为奇函数，所以函数的图象关于点对称， 所以函数关于点中心对称，故C正确； 因为，则， 所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 由知，，所以，故A正确； 由得，由知，，，则，又，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： 若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； 48．(24-25高一上·山西太原实验中学校·)函数定义在区间上，若满足：且，都有，则称函数为区间上的“不增函数”，若为区间上的“不增函数”，且，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，，令，可得A正确；B选项，先计算出，，根据不增函数的定义得到，故，从而，得到时，，计算出，得到时，，从而B错误；C选项，在B选项基础上得到，C正确；D选项，在B的基础上，，，则，故，其中，故，D正确. 【详解】A选项，，令，可得，A正确； B选项，，令，可得，解得， 当时，，可得， 又为区间上的“不增函数”，故，故， ，令得，故， 所以时，，故， ，令得， 又，故， 故时，， 综上，，B错误； C选项，由B可知，，故，C正确； D选项，时，， 由B知，时，， 故，，则， 所以，其中，故， 即，D正确. 故选：ACD 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 49．(24-25高一上·山西大学附属中学校·期中)已知函数的定义域为，对，满足，，当时，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，并求出的值，再利用单调性脱去法则“”求解作答. 【详解】对，满足，且当时， 任取 ，且，则，有， 于是， 因此在上单调递增， 又， 解得， 从而，则， 解得或， 所以原不等式的解集是. 故答案为：. 50．(21-22高一上·山西运城·期末)已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】/a≤ 【分析】时，，原问题. 【详解】∵，，∴， ∴， 即对任意的，都存在，使恒成立， ∴有. 当时，显然不等式恒成立； 当时，，解得； 当时，，此时不成立. 综上，. 故答案为：. 51．(25-26高一上·山西山西大学附属中学校·期中)设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 . 【答案】 0 1 【分析】分类讨论根据函数单调性结合分段函数性质列式计算求参； 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合要求； 当时，， 当时，，又时，， 所以存在最小值为0，满足题意； 当时，， 在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得， 所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，，则，不等式无解， 综上，的取值范围是，的最大值为1. 故答案为：，1. 52．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过换元求得函数解析式，进而可求解. 【详解】令，则， 所以， 所以， ， 所以， 故答案为： 53．(24-25高一下·山西太原山西大学附属中学校·开学考)已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性等知识来求得正确答案. 【详解】依题意，为奇函数，所以的图象关于对称， 为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以， （*）， 所以，则， 则，， 所以是以为一个周期的周期函数， 又由（*）可得则， 所以. 故答案为：. 54．(24-25高一上·山西三晋卓越联盟·月考)已知定义在上的函数满足，且对任意的 ，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】设，由，化简得到是奇函数，根据化简可得在上单调递减，进而根据函数单调性解不等式即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以 ， 设，则， 所以 为奇函数． 因为对任意的，都有， 不妨设 ，则， 即，所以， 所以在上单调递减，所以在上单调递减， 因为，所以， 所以，解得， 即不等式的解集为． 故答案为： 55．(23-24高一上·山西山西大学附属中学·期中)已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由已知可推得函数在R上为减函数.进而结合奇函数的性质，得出，结合单调性得出以及的解.分类讨论，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】，即，由恒成立， 可得，，所以， 所以，函数在R上为减函数. 又函数是R上的奇函数，所以， 所以，当时，有；当时，有. 当，即时，由， 可得，所以有，解得，所以； 当，即时，由， 可得，所以有，解得，此时无解. 综上所述，不等式的解集是. 地 城 板块04 基本初等函数 56．(25-26高一上·山西太原·期中)设是定义在区间上的函数，如果满足条件，，都有 ，则称函数是区间上的凸函数.下列函数不是凸函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各函数解析式，应用作差法、基本不等式、指数的运算性质比较大小，即可判断. 【详解】对于且，， 而， 当且仅当时取等号，故，A不是； 对于， ，当且仅当时取等号，B是， 对于， ，当且仅当时取等号，C是； 对于， ，当且仅当时取等号，D是. 故选：A 57．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 58．(22-23高一上·山西怀仁第一中学校·期末)已知函数，若恰有3个零点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恰有3个零点，，，即的图象与的图象恰有个不同的交点，借助的图象求解即可. 【详解】设，则恰有3个零点，，， 即的图象与的图象恰有个不同的交点， 的图象如图所示， 不妨设，所以，，， 所以，即， 所以，所以. 故选：C. 59．(21-22高一上·山西·)对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是（    ） A．对于函数，有成立 B．若是二次函数，且A是空集，则B为空集 C．对于函数，有成立 D．对于函数，存在，使得成立 【答案】D 【分析】根据所给定义结合函数的性质一一判断即可； 【详解】解：对于A：函数，，故A正确. 对于B：若A是空集，则恒成立或恒成立.若恒成立，用代替x可得，同理可得，所以无解，即B为空集，故B正确. 对于C：函数，设方程的解为，则，，即，因为函数在R上单调递减，且，所以函数在R上单调递增，且.又因为，所以是方程的唯一解，则，故C正确. 对于D：函数，，，，故D错误. 故选：D 60．(21-22高一上·山西运城·期末)已知函数且，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知函数为奇函数，且在R上为增函数，则可化为，则即可解得a的范围. 【详解】函数，定义域为， 满足， ∴，令，∴，∴为奇函数， ， ∵函数，在均为增函数， ∴在为增函数， ∴在为增函数， ∵为奇函数，∴在为增函数，∴，解得. 故选：B. 61．(21-22高一上·山西吕梁临县第一中学等学校·)已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件，比较和的大小，进而可得到和的大小，然后利用介值比较与的大小，利用介值和对数函数性质可得和的大小，进而得出答案. 【详解】由，，可知， 又由，从而，可得， 因为，所以； 因为，从而，即， 由对数函数单调性可知，， 综上所述，. 故选：B. 62．(20-21高一上·山西·期中)已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，得到关于m的不等式组，解出即可. 【详解】对任意的，存在，使得， 即在上的值域是在上的值域的子集， ， 当时， ， 在上单调递增，的值域为， 又在上单调递减，的值域为：， ， ，方程无解 当时，， 在上单调递减，的值域为 的值域为：， ，解得 当时，，显然不满足题意. 综上，实数的取值范围为 故选：D. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数的值域是值域的子集. 63．(25-26高一上·山西太原·期中)已知函数是定义域为的奇函数，当时，，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．不等式的解集是 【答案】AC 【分析】由奇函数的性质求函数值和解析式判断A、B，利用题设函数关系式求上的解析式，利用递推关系得到且，再分类讨论求解不等式判断C、D. 【详解】由为的奇函数，则，A对， 令，则，所以，B错， 由，则，且，C对， 当，则，则， 当，则，则， ， 依次类推， 当，，有 ， 当，，有， 所以且，显然， 当，，若， 而，显然在上恒成立， 当，，若， 当时，，则，显然不等式恒成立， 当时，，则，此时不等式解集为， 当且，时，无解， 综上，的解集为，D错. 故选：AC 64．(24-25高一上·山西NT20名校联合体·期末)函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（    ） A．在R上单调递增，且图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数与函数的图象没有交点 【答案】BCD 【分析】对于A，通过举反例即可判断结论错误；对于B，由即可求得的值域并判断；对于C，分段表示，易判断函数在上的单调性；对于D，求出函数的解析式，作出图象，数形结合即可判断. 【详解】对于A，当时， ， 且当时，，故在R上不是增函数，且图象也不关于原点对称，故A错误； 对于B，如图，由于，所以，所以函数的值域是，故B正确； 对于C，，满足函数单调递增的条件，故C正确； 对于D，当时，，则，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，，作出函数图象如图所示， 由图可知，函数在上的值域为, 故其与函数的图象没有交点，故D正确. 故选:BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数新定义的理解，对于C,D两项关于函数的单调性以及有关的交点问题，关键在于写出具体的解析式，通过对解析式的分析，结合函数的图象做出判断. 65．(24-25高一上·山西晋城·调研)已知函数，则（   ） A．函数在定义域内单调递减 B．函数的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．函数无零点 【答案】BC 【分析】利用对数运算性质可得，令，利用的单调性可得选项A错误；根据可得选项B正确；根据图象在上关于直线对称可得选项C正确；根据解方程可得选项D错误. 【详解】由题意得，函数的定义域为，. 令，对称轴为直线， 在内单调递增，在内单调递减， 由在上为增函数可得在内单调递增，在内单调递减，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 因为图象在上关于直线对称，故的图象关于直线对称，故C正确； 令，则，解得， 由得函数有两个零点，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是分析内层函数的单调性、最值和对称性，结合对数函数的性质可确定选项. 66．(23-24高一上·山西忻州·期末)已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B．在上单调递减 C． D．函数恰有8个零点 【答案】AC 【分析】利用周期定义求出周期可判断A；结合周期画出的部分图象可判断B；利用周期计算可判断C；画出函数、的图象可判断D． 【详解】对于A，由，得， 可得的周期为4，A正确； 对于B，当时，，则， 得，结合周期画出的部分图象如图所示， 由图可得在上单调递增，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为， 所以为偶函数，当时，令， 得，画出函数的图象， 因为， 所以与在上的图象只有8个零点， 根据函数奇偶性可得恰有16个零点，D错误．    故选：AC. 【点睛】关键点点睛：D选项解题的关键点是画出函数与的图象解题. 67．(23-24高一上·山西太原山西大学附中·)已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】画出的图象，令，结合函数图象可得关于的方程在上有两个不同实根，从而求出的取值范围. 【详解】画出函数的图象，如图所示，令， 则方程可化为关于的方程， 因为方程恰有6个不相等的实数根， 所以由图可知关于的方程在上有两个不同实根， 令， 则解得：， 故选：BC.    【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出图象，结合图象求解，考查数学转化思想，属于较难题. 68．(23-24高一上·山西太原外国语学校、成成中学校·)已知，且满足，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】观察等式，借助函数，有，结合函数单调性可得，而后逐一检验选项即可得. 【详解】由，则， 则， 令，则有， 由，故在上单调递增， 故，则， ，由，故无最大值，故A错误； ，当且仅当时等号成立，故B正确； ，由，故无最大值，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题关键点在于观察出等式可借助同构思想，设出函数，将原等式转换成，结合单调性从而得出. 69．(24-25高一上·山西运城·期末)已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象可得：，，进而得到，求出的取值范围，利用函数的单调性进而求解. 【详解】如下图所示： 方程有四个不同的解、、、且，且， 由图可知，点、关于直线对称，则， 由图可得，由可得，可得， 由可得， 所以，， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 因为，则， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据函数的对称性、对数的运算性质将所求代数式化简，转化为只含一个变量的函数，结合函数基本性质求解. 70．(24-25高一上·山西NT20名校联合体·期末)高中数学必修一教材第87页中提到：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数t的值为 ，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 1 【分析】根据为奇函数，利用奇偶性的定义以及对数的运算求出，判断单调递增，将原不等式化为，进而可得答案. 【详解】由函数的图象关于点成中心对称， 得为奇函数，， ， 则， 所以， 所以，那么，又，所以. 故函数， 因为在上都是递增函数， 所以在上是递增函数， 又因为是奇函数，且是连续函数， 所以函数在上单调递增，要使， 只需，解得或， 故m的取值范围是. 故答案为：1；. 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 71．(24-25高一上·山西太原·期末)已知函数，若函数恰有7个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出函数图象利用换元法转化为方程根的个数，以及函数值域与根的取值范围即可得出实数的取值范围. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    令， 因为恰有7个零点， 所以有个不同的根， 令，不妨设， 当时，， 则，此时无解； 当时，， 则或 解得或， 综上，． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求解零点个数问题经常利用函数与方程的思想画出函数图象，将问题转化为图象交点个数即可求解. 72．(24-25高一上·山西晋中·期末)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有 个. 【答案】 【分析】根据函数新定义得，结合方程得求范围，然后对的范围进行分类讨论，求出的值，然后解方程即可. 【详解】由题意，则， 所以， 令，则，所以， 由可得，解得或， 由可得，解得， 所以，或， 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 又因为， 综上所述，函数的零点有个. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据，得出关于的范围，再结合的范围得出的可能取值，结合代数法求解即可. 73．(23-24高一上·山西晋中·期末)已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，，令得，符合题意； 当时，是二次函数，对于方程， 只需，即，解得，且， 当时，，此时，得或，符合题意， 当时，，此时，得或，符合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查函数零点分布. 讨论和两种情况，当时，可判断判别式大于零，结合零点存在性定理运算求解. 地 城 板块05 三角函数 74．(23-24高一上·山西运城·期末)已知，且，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小关系，最后利用函数单调性得到函数值的大小关系. 【详解】因函数的定义域为R， 且 ， 所以函数为偶函数； 当时，因单调递增，而在定义域内也为增， 故由同增异减原则，也为增， 也为增，又因在上为增函数，故在上为增函数. 又因 ， 由， 因，故， 由在上为增函数可得:，即. 故选：D. 75．(21-22高一上·山西朔州怀仁大地学校·月考)若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围. 【详解】由，知：函数是上的增函数， 由，即， 由题设：， ∴，即有， ∴，即， ∵为锐角﹐则， ∴，则的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围. 76．(24-25高一下·江西吉安·期末)已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由单调区间的长度小于等于半个周期可求出的取值范围，根据正弦函数图象向左平移个单位之后与原图象关于轴对称可求出的表达式，根据的范围进行判断即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为函数在上单调， 则，可得，又，所以，， 因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称． 则，即， 因为，所以或6，满足条件，A正确． 故选：A 77．(24-25高一下·山西临汾部分学校·期末)已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 78．若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解 【详解】因为，则，① 又因为，则， 故①式整理可得，，解得或（舍去）， 故，所以． 故选：． 79．(24-25高一上·山西运城·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求齐次式的值. 【详解】因为 . 故选：B 80．(24-25高一上·山西运城·期末)若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 81．(24-25高一上·山西NT20名校联合体·期末)若函数在处取得最大值，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的值，再根据平移变换求出的最小值. 【详解】因为时函数取得最大值，则，解得. 所以， 将函数的图象向左平移个单位长度后得到， ，函数为奇函数，则， 所以，当时，有最小值. 故选：D. 82．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知函数的最小正周期为，且的图象经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件求得的解析式，然后结合函数的图象求得正确答案. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得． 因为的图象经过点，所以，即． 又，所以，所以． 在坐标系中结合五点法画出函数及的图象， 如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点． 故选：C 83．(24-25高一上·山西晋中·期末)已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的图象关于直线对称 C．在区间上有且只有2个零点 D．若（），则 【答案】BCD 【分析】由函数图象求出的解析式，再根据特殊点的三角函数值计算可得A错误，由对称性可判断B正确，利用三角函数图象性质可得C正确，由周期性可得当，则正确，即D正确. 【详解】根据图象可知，又易知图象过点， 即，即，又，可得； 由对称性可知函数的对称轴为，即的图象关于直线对称,即B正确； 由图可知周期为，可得； 又，所以， 结合图象可得，解得 因此当时，符合题意，即，所以A错误； 所以，令，可得， 即， 又，可得时，则，即在区间上有且只有2个零点，可得C正确； 若（），则； 因此，显然当时，，即D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数图象由对称性以及周期范围求得解析式，再由正弦函数性质判断可得结论. 84．(24-25高一上·山西太原·期末)函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周期 C．在上递增 D．若在上恰有4个零点，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据函数图象以及单调性可得A错误，求得函数解析式可判断，即B正确，再由整体代换以及正弦函数单调性可得C正确，由得出，利用图象可得，可判断D正确. 【详解】对于A，由图可知，且，即， 又，可得或； 因为在点附近的图象呈下降趋势，可得，即A错误； 对于B，由选项A可知，，所以， 所以，解得； 由图可知，可得，又，可得； 所以的周期，即B正确； 对于C，由B可知，当，可得； 由在上单调递增，可得在上递增，即C正确； 对于D，当，可得； 若在上恰有4个零点，可得，解得； 即实数的取值范围是，可得D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用零点个数并结合函数图象限定得出不等式，即可得出参数的取值范围. 85．(23-24高一上·山西运城·期末)已知函数，且函数在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．函数的图象在上最多4有条对称轴 C．函数的图象在上有2个最大值点 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【分析】由题意将看成整体角，作出函数的图象，根据的范围和题设要求，确定的范围得A项；结合图象和求得的的范围可判断B,C两项；由求得，利用范围确定区间右端点范围，结合余弦函数图象判断即得. 【详解】不妨设，当时，，即，作出函数在上的图象如图.    对于A项，由题意知：，解得：，故A正确； 对于B项，因当时，， 由图知，当时，函数的图象在上可以有5条对称轴，故B项错误； 对于C项，由上分析即函数图象观察，不难得到，函数的图象在上有且仅有2个最大值点，故C项正确； 对于D项，当时，，因，则有， 取，而函数在区间上先减后增，故D项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题主要考查含参的余弦型函数的图象与性质. 处理含参的正弦型函数（余弦型函数）的性质判断问题的常用方法有： （1）整体处理作图：即把看成整体角，把原函数看作正弦或余弦函数，作出图象； （2）整体处理判断：即把条件中的范围转化成的范围，结合图象判断. 86．(23-24高一上·山西运城·期末)已知函数，若方程有四个不同的实根，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．实数a的取值范围是 B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由题意通过数形结合，首先得出，进一步，显然，结合当时，函数关于点中心对称，故，由此即可逐一判断每一选项求解. 【详解】由题意在同一平面直角坐标系中，分别画出函数的图象和直线如图所示： 对于A，若方程有四个不同的实根，则由图可知实数a的取值范围是，故A正确； 对于B，由题意，且， 所以， 令，解得， 所以， 令，解得，这表明了当时， 函数关于点中心对称，所以， 所以，故B正确； 对于C，， 因为函数单调递减， 所以的取值范围是，故C错误； 对于D，， 因为函数单调递增， 所以的取值范围是. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：关键是通过分析得出，以及，由此即可顺利得解. 87．(24-25高一上·山西·期末)如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，根据三角函数的定义和勾股定理用分别表示三边，再换元令，求周长的最小值即可. 【详解】设， 由题意知， 当与重合时，由，得， 当与重合时，同理可得， 所以， 因为， 所以的周长， 令，因为，所以， 又， 所以，且， 所以，所以当时，取得最小值，且， 故答案为： 88．(19-20高一下·山西运城临猗县临晋中学·)下列判断正确的是 .（填写所有正确的序号） ①若，则的最大值是； ②函数的单调递增区间是（）； ③函数是奇函数； ④函数的最小正周期是. 【答案】④ 【分析】利用函数的最值、单调性、奇偶性、周期性质进行验证求解 【详解】因为， ， 时，的最大值是所以①错误； 由，得，结论②错误； 因为，，故结论③错误； 因为所以 最小正周期是，故结论④正确. 故答案为④ 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用. 三角函数图象与性质的综合问题的求解思路:先将化为的形式，再借助的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． 89．(19-20高一下·山西运城高中联合体·)已知函数在上有且只有3个零点，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换，将函数转化为，令得：，根据在上有且只有3个零点，利用整体代换，由 求解. 【详解】， ， ， 令得：， 因为，所以， 因为在上有且只有3个零点， 所以， 解得. 所以实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的性质以及函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于难题. s 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $null