专题04 指数函数与对数函数（5大题型）（期末真题分类汇编 山西专用）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 指数与对数的基本运算 考点02 比较大小问题 考点03 指数函数及其性质 考点04 对数函数及其性质 考点05 指对函数的实际应用 指数与对数的基本运算 地 城 考点01 1．（24-25高一上·山西·期末）某同学在查阅资料时发现一个不等式“，当且仅当时等号成立”．借助该不等式，解答问题：对恒成立，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·山西长治·期末）计算：（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（20-21高一上·山西晋中·期末）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受高斯白噪声扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽､信道内所传信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，在不改变的情况下，将信噪比从1999提升至原来的10倍，则大约变为原来的几倍（    ）(参考数据：，) A．2.5 B．1.3 C．10 D．5 4．（19-20高一上·山西大同·期末）已知，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 5．（19-20高一上·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 6．（20-21高一上·山西太原·月考）计算：（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 7．（22-23高一上·山西·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（22-23高一上·山西太原·阶段练习）有以下四个结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 9．（22-23高一上·山西晋城·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山西吕梁·期末）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山西·期末）已知实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 12．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一上·山西大同·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数，则 . 16．（24-25高一上·山西·期末）化简求值： . 17．（24-25高一上·山西·期末） ． 18．（24-25高一上·山西晋中·期末）已知（），则 . 19．（23-24高一上·山西太原·期末）已知实数x，y满足，，则 . 20．（24-25高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，，请用，表示. 21．（23-24高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，试用表示. 22．（22-23高一上·山西太原·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 地 城 考点02 指数与对数的基本运算 23．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·山西·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知,则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·山西运城·期末）已知，且，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·山西忻州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高一上·山西运城·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高一上·山西吕梁·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 32．（20-21高一上·山西·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递减的，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 33．（20-21高一上·山西晋中·期末）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 34．（20-21高一上·山西·期末），，，则（    ） A． B． C． D． 指数函数及其性质 地 城 考点03 35．（24-25高一上·山西·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 36．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，若，则（    ） A．－3 B． C． D．2 38．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·山西·期末）已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 40．（22-23高一上·山西大同·期末）一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（    ） A． B． C． D． 41．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知(a，b是常数)是定义在R上的奇函数，且对，都有，则（    ） A．仅有最小值，为 B．仅有最大值，为 C．既有最大值，为，又有最小值，为 D．既无最大值，也无最小值 42．（20-21高一上·山西运城·期末）已知（为常数）的图象经过点，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．8 43．（19-20高一上·山西·期末）若，则 A． B． C． D． 44．（24-25高一上·山西·月考）已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·山西·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 46．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 . 47．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 48．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 49．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则 ． 50．（24-25高一上·山西·期末）双曲函数是一种重要的函数，在物理学，工程学以及数学的其他领域中都有广泛应用.例如，在描述悬链线的形状，解决某些类型的微分方程时，都会用到双曲函数．最基本的双曲函数有双曲正弦函数：和双曲余弦函数：． (1)求证：； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若对，关于的方程有解，求实数的取值范围． 51．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 52．（23-24高一上·山西·期末）已知函数． (1)若，且为奇函数，求的值； (2)若，且的最小值为，求的最小值． 53．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数满足. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 54．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)解不等式. 55．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且，，都有成立. (1)求，的值，并判断的奇偶性. (2)已知函数，当时，. （i）判断在上的单调性； （ii）若均有，求满足条件的最小的正整数. 56．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)若是偶函数，求的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 57．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 58．（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 59．（24-25高一上·山西运城·期末）已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 60．（24-25高一上·山西·期末）某企业在2024年12月对产品的生产线进行了技术改造，采用新技术后力争每个月的产量比上个月增长，要使月产量提高到原来的2倍，至少需要个月，那么（    ） （结果精确到整数，参考数据：） A．6 B．7 C．8 D．9 61．（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   62．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高一上·山西太原·期末）已知，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 64．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 65．（23-24高一上·山西吕梁·期末）下面四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 66．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知且，则“”是“函数是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 67．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 68．（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 69．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 70．（22-23高一上·山西太原·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 71．（24-25高一上·山西运城·期末）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的最大值是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象与直线有三个交点 72．（24-25高一上·山西晋中·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 73．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数，，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象过定点 B． C． D． 74．（23-24高一上·山西阳泉·期末）下列命题中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则使得成立的x的取值范围为 C．若不等式对于恒成立，则 D．若，且，则的最小值为 75．（24-25高一上·山西运城·期末）函数的单调递减区间是 ． 76．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数，若，且，则 . 77．（21-22高一上·山西长治·期末）函数且的图象恒过定点 . 78．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 79．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的定义域为 . 80．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则 ． 81．（24-25高一上·山西大同·期末）已知． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明； (3)求的值． 82．（24-25高一上·山西·期末）已知函数． (1)当时，解方程； (2)若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围． 83．（24-25高一上·山西运城·期末）设集合，． (1)当时，求，； (2)当时，求实数的取值范围． 84．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是偶函数，其中k为实数，函数. (1)求k的值； (2)若，使得，求实数a的取值范围. 85．（24-25高一上·山西·期末）已知函数在上的最大值与最小值之差为2． (1)求实数的值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 86．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 87．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数，且 (1)求a的值； (2)判断在上的单调性并根据定义证明； (3)已知，且，求m的取值范围. 88．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知，函数的最大值为4，最小值为0. (1)求的值 (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 89．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求实数m的值； (2)设，（且），若不等式对任意恒成立，求t的取值范围． 90．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数 (1)求； (2)若，求实数m的取值范围. 地 城 考点05 指对函数的实际应用 91．（23-24高一上·山西阳泉·期末）为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒．室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为，（为常数）．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过____________小时后，学生才能回到教室？ A．0.1 B．0.4 C．0.6 D．0.8 92．（21-22高一上·山西运城·期末）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1200倍. （参考数据：，，，） A．122 B．124 C．130 D．136 93．（23-24高一上·山西忻州·期末）某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表： 销售人员个人每月销售额/万元 销售额的提成比例 不超过100万元的部分 5% 超过100万元的部分 记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）． 注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额． (1)试写出提成关于销售总额的关系式； (2)若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？ 94．（22-23高一上·山西大同·期末）某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 62.5 156.3 为描述该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；. (1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； (2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？ （参考数据：，） 95．（20-21高一上·山西·期中）定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知. （1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围. 96．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为. (1)求该学习率模型的表达式； (2)要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据） 97．（21-22高一上·山西·阶段练习）某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，产量不同其费用也不同，且已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式； (2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 指数与对数的基本运算 考点02 比较大小问题 考点03 指数函数及其性质 考点04 对数函数及其性质 考点05 指对函数的实际应用 指数与对数的基本运算 地 城 考点01 1．（24-25高一上·山西·期末）某同学在查阅资料时发现一个不等式“，当且仅当时等号成立”．借助该不等式，解答问题：对恒成立，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求不等式两边同时取对数后变为恒成立问题，再结合已知不等式和对数的取值范围求出即可； 【详解】因为对恒成立，所以对，恒成立， 所以，又，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，所以，所以． 即正数的取值范围为． 故选：C． 2．（21-22高一上·山西长治·期末）计算：（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得； 【详解】解： ； 故选：B 3．（20-21高一上·山西晋中·期末）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受高斯白噪声扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽､信道内所传信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，在不改变的情况下，将信噪比从1999提升至原来的10倍，则大约变为原来的几倍（    ）(参考数据：，) A．2.5 B．1.3 C．10 D．5 【答案】B 【分析】根据题意先表示出，所对应的，然后求解的值即可 【详解】解：由题意得， ， 所以 故选：B 4．（19-20高一上·山西大同·期末）已知，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】化指数式为对数式,把用含有的代数式表示,代入,然后利用对数的运算性质求解 的值. 【详解】由,得，, 由,得,即, ,∵ . 故选:B. 【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化,考查了对数的运算性质,属于基础题. 5．（19-20高一上·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意知， ， 由于，故，则原式. 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题. 6．（20-21高一上·山西太原·月考）计算：（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由对数的运算公式及换底公式，计算即可. 【详解】. 故选：D. 7．（22-23高一上·山西·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出一元二次不等式的解，以及根据指数函数的单调性求出的范围，进而验证充分性和必要性. 【详解】由得, 由得，, 又， 故充分性成立，必要性不成立； 故选：A 8．（22-23高一上·山西太原·阶段练习）有以下四个结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】根据对数的性质以及和指数式的互化，一一判断各选项，可得答案. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，正确； 对于③，若 ，则，故错误； 对于④，若 ，则，故错误， 故选：C. 9．（22-23高一上·山西晋城·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求得的值. 【详解】因为，所以，，且， 由题意可得，所以，， 故函数为周期函数，且周期为， 所以， . 故选：B. 10．（24-25高一上·山西吕梁·期末）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数运算及运算律判断A，D，应用指数运算判断B，C. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高一上·山西·期末）已知实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据对数运算、基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，得． 因为，，所以，即， 解得（当时取等号），A正确； 由，得， 所以 （当，时取等号），B正确； （当时取等号），C错误； 因为，又， 所以，所以（当时取等号），D正确． 故选：ABD 12．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】运用对数运算公式可判断A项、B项、C项，运用指数幂运算公式可判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以，即，故A项正确； 对于B项，由A项知，（），所以，故B项错误； 对于C项，由A项知，（），所以，故C项正确； 对于D项，由A项知，，又，所以不一定成立，故D项错误. 故选：AC. 13．（22-23高一上·山西大同·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A，，所以选项A正确； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，，所以选项D正确. 故选：AD 14．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式可判断A；利用基本不等式，结合指数幂的运算法则可以判定C；取中一个较小，一个较大时可得出反例从而否定B；利用乘1法，结合基本不等式可以判定D. 【详解】因为.所以 即，得（当且仅当时，等号成立），故A正确； 当时，满足，此时，故B错误； （当且仅当时，等号成立），故C错误； 由得，所以 （当且仅当时，等号成立），故D正确. 故选：AD 15．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算性质直接化简计算即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 16．（24-25高一上·山西·期末）化简求值： . 【答案】 【分析】根据指数及对数运算性质计算可得结果. 【详解】. 故答案为：. 17．（24-25高一上·山西·期末） ． 【答案】/ 【分析】根据对数、指数运算来求得正确答案. 【详解】 ． 故答案为： 18．（24-25高一上·山西晋中·期末）已知（），则 . 【答案】16 【分析】换元令，可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去）， 即，所以. 故答案为：16. 19．（23-24高一上·山西太原·期末）已知实数x，y满足，，则 . 【答案】/ 【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解． 【详解】因为，所以， 又，所以， 即， 即有， 因为函数在上为增函数， 所以，所以． 故答案为：． 20．（24-25高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，，请用，表示. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）利用对数的运算性质求解； （2）易得，，再利用换底公式求解. 【详解】解：（1） ； （2）∵，，∴，， ∴ . 21．（23-24高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，试用表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】借助对数的运算性质计算即可得. 【详解】（1）原式 ； （2） 22．（22-23高一上·山西太原·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)3. (2). 【分析】（1）运用对数运算公式及，，，计算可得结果； （2）运用指数幂、对数运算公式及换底公式计算可得结果. 【详解】（1）. （2）. 地 城 考点02 指数与对数的基本运算 23．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据指数函数和对数函数的单调性可得的范围，进而可得. 【详解】因为，所以， 即, 故, 故选：C 24．（24-25高一上·山西·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“”分段法来求得正确答案. 【详解】由题知，，，所以． 故选：B 25．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知,则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值1，2分析判断即可. 【详解】因为， 且，， 所以. 故选：D 26．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别次方后比较出，再结合对数函数单调性得到，从而得到答案. 【详解】因为a，c都是正数，，，所以， 因为，所以. 故选：A． 27．（23-24高一上·山西运城·期末）已知，且，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小关系，最后利用函数单调性得到函数值的大小关系. 【详解】因函数的定义域为R， 且 ， 所以函数为偶函数； 当时，因单调递增，而在定义域内也为增， 故由同增异减原则，也为增， 也为增，又因在上为增函数，故在上为增函数. 又因 ， 由， 因，故， 由在上为增函数可得:，即. 故选：D. 28．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性可判断的大小，根据对数函数单调性可判断的正负，由此可判断的大小关系. 【详解】由指数函数单调性可知：， 由对数函数单调性可知：， 由上可知：， 故选：C. 29．（23-24高一上·山西忻州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指对数函数性质判断大小关系. 【详解】因为 ，所以． 故选：C 30．（22-23高一上·山西运城·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小可得答案. 【详解】，，所以， 由，得，得， 综上所述：. 故选：D 31．（22-23高一上·山西吕梁·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数，对数函数的性质即得. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D. 32．（20-21高一上·山西·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递减的，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出在上单调递增，由，即可得到答案. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图像关于y轴对称，且. 又在上是单调递减的，所以在上单调递增. 因为，，所以: ，所以 ,即. 故选：A 33．（20-21高一上·山西晋中·期末）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的性质分别比较，，与中间量0，1的大小，从而可比较出，，的大小关系 【详解】解：因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 所以， 故选：A 34．（20-21高一上·山西·期末），，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数对数函数的性质，判定与的大小关系后，即可得到大小关系. 【详解】，，， 所以 故选：C. 指数函数及其性质 地 城 考点03 35．（24-25高一上·山西·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】根据既不充分又不必要条件的定义判断可得答案. 【详解】因为在上单调递增，所以由可知， 若，显然不能得到， 反之的情况下，若，，显然不能得到， 故“”是“”的既不充分又不必要条件． 故选：D. 36．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 37．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，若，则（    ） A．－3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】设，则，所以为奇函数， 因为，所以，解得， 所以， ， 故选：B 38．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合和集合，利用集合的并集运算即可求解. 【详解】因为， 所以集合， 而，则 . 故选：B. 39．（23-24高一上·山西·期末）已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】在R上是奇函数，故， 故， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示． 由得或观察图象得或 所以或， 即不等式的解集是 故选：B 40．（22-23高一上·山西大同·期末）一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设月平均增长率为，去年12月份的产量为1.建立方程关系，进行求解即可． 【详解】设这一年该口罩厂的月平均增长率为，去年12月份的产量为1. 因为今年12月份的产量是去年12月份产量的倍， 所以，即，即. 故选：B. 41．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知(a，b是常数)是定义在R上的奇函数，且对，都有，则（    ） A．仅有最小值，为 B．仅有最大值，为 C．既有最大值，为，又有最小值，为 D．既无最大值，也无最小值 【答案】B 【分析】利用函数是奇函数探求a与b的关系，再由条件可得在R上递增，然后借助均值不等式判断作答. 【详解】因(a，b是常数)是定义在R上的奇函数，则， 即，即， 因对，都有，则有函数在R上单调递增， 而在R上单调递增，即在R上单调递减，因此，，， 于是得，当且仅当时取“=”， 而， 所以，仅有最大值，为. 故选：B 42．（20-21高一上·山西运城·期末）已知（为常数）的图象经过点，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．8 【答案】C 【解析】将点代入解析式，求出，进而得出的值. 【详解】，即 故选：C 43．（19-20高一上·山西·期末）若，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据对数函数单调性，先比较的大小，确定大致范围；再根据指数函数的性质，确定，即可得出结果. 【详解】因为函数是单调递减函数，，，， 所以； 又根据指数函数的性质可得：， 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查比较对数与指数幂的大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型. 44．（24-25高一上·山西·月考）已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若对任意，总存在，使得成立，等价于，利用函数的单调性求得在固定区间的最值，即可求得参数范围. 【详解】若对任意，总存在， 使得成立，即， 又在上单调递减， 所以． 且在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，所以，解得， 即的取值范围是． 故选：C 45．（24-25高一上·山西·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，结合指数函数与一次函数的单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】由函数在上单调递减，则， 由函数在上单调递减，则，解得， 由题意可得，解得. 综上所述可得. 故选：A. 46．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 . 【答案】/0.5 【分析】利用奇函数的性质求函数值即可. 【详解】当时，，所以， 因为为奇函数，所以. 故答案为： 47．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则由得，解得，即不等式的解集为． 故答案为： 48．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复合函数单调性得出在区间上单调递减，对分类讨论，结合单调性得到不等关系，求出实数a的取值范围. 【详解】由函数在区间上单调递增， 得函数在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递减，符合题意． 当时，由在区间上单调递减， 得，解得：． 当时，由在区间上单调递减， 得，解得：． 综上所述，的取值范围是． 49．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则 ． 【答案】/0.75 【分析】根据条件求出，，再代入即可求解. 【详解】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，， 所以， 所以． 故答案为： 50．（24-25高一上·山西·期末）双曲函数是一种重要的函数，在物理学，工程学以及数学的其他领域中都有广泛应用.例如，在描述悬链线的形状，解决某些类型的微分方程时，都会用到双曲函数．最基本的双曲函数有双曲正弦函数：和双曲余弦函数：． (1)求证：； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若对，关于的方程有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据双曲正弦函数、双曲余弦函数的定义，结合指数的运算性质证明即可； （2）根据双曲正弦函数的奇偶性和单调性，可转化为恒成立，求的最小值即可； （3）关于的方程，即有解，利用基本不等式可得，所以恒成立，再结合的单调性求实数的取值范围即可. 【详解】（1）由题意可得 . （2）函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 又， 所以， 因为函数在上均为单调递增函数，所以在上单调递增， 所以，即， 故原问题转化为恒成立， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即实数的取值范围为． （3）因为，当且仅当时等号成立， 由于，所以， 因为关于的方程，即有解， 所以，即恒成立， 由（2）知在上单调递增，所以当， 所以，即的取值范围为． 51．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值. （2）利用换元法，结合函数的单调性、二次函数的性质来求得的值. （3）根据复合函数的单调性、恒成立、存在性等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 即，整理得， 所以，， 所以，检验可知符合题意， 所以． （2）由（1）知，，所以． 令，因为函数在区间上单调递增，所以， 则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，， 解得． 当，即时，， 解得，无解． 综上所述，实数的值为． （3）由题知， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，有最小值． 由（2）知当时，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递减， 所以函数在时单调递减，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 判断函数奇偶性时，依据奇函数或偶函数的定义，通过等式变形求出参数值，注意要进行检验. 解决函数恒成立和存在性问题时，常将其转化为函数最值问题，对于复合函数单调性的判断，根据内外层函数 “同增异减” 的原则进行分析. 52．（23-24高一上·山西·期末）已知函数． (1)若，且为奇函数，求的值； (2)若，且的最小值为，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由奇函数可得，代入求解即可 （2）利用换元法得，然后利用基本不等式求最值即可 【详解】（1）当时，， 因为是奇函数，所以， 即，得，可得． （2）令，则， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由题意，，所以．所以， 当且仅当时等号成立，由，解得， 所以的最小值为4 53．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数满足. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出后代入方程即可求解； （2）先求出，令，利用二次函数性质即可求解值域. 【详解】（1），由题意有， 化简得，解得（舍去）或，故； （2）由（1）可知，所以， 令（当且仅当时取等号）， 所以所求函数为， 由函数在上单调递增，所以， 即函数的值域为. 54．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据题意，得到函数是奇函数且是减函数，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）证明：由函数， 可得，且的定义域为， 因为， 所以函数是定义域上的奇函数. （2）解：根据指数函数的性质，可得为减函数，则也为减函数， 所以函数是奇函数且是减函数， 由不等式，可得， 所以，即，解得或， 解得不等式的解集为. 55．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且，，都有成立. (1)求，的值，并判断的奇偶性. (2)已知函数，当时，. （i）判断在上的单调性； （ii）若均有，求满足条件的最小的正整数. 【答案】(1)，，是奇函数 (2)（i）单调递减；（ii） 【分析】（1）利用赋值法，根据函数的奇偶性的定义证明即可； （2）（i）根据函数的单调性的定义证明即可；(ii)根据函数单调性和奇偶性的性质得到关于的不等式，解出即可． 【详解】（1）令，得，解得， 令，得，故. 令，得，即， 又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数. （2）（i）由，可得， 即. ，且， 有， 因为，所以， 从而，得， 因此在上单调递减. （ii）因为，，所以是偶函数. ，而在上单调递减， 则有或，由题可知，只需考虑成立， 从而有. 因为，所以，则的最大值在处取到， 故只需. 综上，满足条件的最小的正整数. 【点睛】本题难点在证明单调性时，构造，结合已知进行证明，属于难题. 56．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)若是偶函数，求的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助偶函数的性质，计算即可得； （2）参变分离后换元求解即可的. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 即，故． （2）由题意知在上恒成立， 则， 又因为，所以，则， 令，则， 可得， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即a的取值范围是． 57．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到解析式，令结合二次函数的性质求出函数的值域； （2）首先可得在上单调递增，则问题转化为在上有两个不同的实数解，令，则问题转化为在上有两个不同的实数解，根据一元二次方程根的分布得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）若则，令， 令，二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时， 所以的值域为； （2）因为，所以在上单调递增， 所以当的定义域为时，的值域为， 即， 即在上有两个不同的实数解， 即在上有两个不同的实数解， 令，所以在上有两个不同的实数解， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 地 城 考点04 对数函数及其性质 58．（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据对数的反函数为指数函数可求，然后代入求值即可. 【详解】是的反函数，，． 故选：D 59．（24-25高一上·山西运城·期末）已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先由得，进而由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】由得，得，故， 由得， 因单调递增，故，即， 故， 由二次函数的性质可知，当时，得的值最大为， 故选：B 60．（24-25高一上·山西·期末）某企业在2024年12月对产品的生产线进行了技术改造，采用新技术后力争每个月的产量比上个月增长，要使月产量提高到原来的2倍，至少需要个月，那么（    ） （结果精确到整数，参考数据：） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由题意列出不等式，通过取对数求解不等式再取整即得. 【详解】可得由题意：由题意可得：.即， 两边取对数，，即， 因为，故得， 因，故. 即至少要经过8个月，才能使月产量提高到原来的2倍. 故选：C. 61．（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数奇偶性、函数值的正负，并结合排除法即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD. 又当时，，故排除A. 故选：C. 62．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的对称性及其在区间上的单调性，即可得出、、的大小关系. 【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 所以，函数的图象关于直线对称， 当时，， 函数在上为增函数， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为减函数， 所以，函数在上为减函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，， ，且， 因为，，则， 所以，，同理可得， 故， 所以，，即， 故选：A. 63．（24-25高一上·山西太原·期末）已知，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性计算限定出的取值范围，可得结论. 【详解】易知，即； ，即， 而，即； 所以可得. 故选：A 64．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使在上单调递增，需要在上也单调递增且在上恒成立.我们将分情况讨论的取值范围. 【详解】当时，此时，这是一个一次函数，其斜率，函数在上单调递减，不满足在上单调递增的条件，所以. 当时，对于二次函数，其对称轴为. 要使在上单调递增，则对称轴，即. 同时，要使在上恒成立，即当时，， 解不等式，得到，即.综合起来，. 当时，二次函数的图象开口向下，在上不可能单调递增，所以这种情况不符合要求. 综上，实数的取值范围是. 故选；C. 65．（23-24高一上·山西吕梁·期末）下面四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为R，定义域不相同，故A错误； 对于B，因为和的对应关系不一致，故B错误； 对于C，因为和的定义域都为R，且，，对应关系一致，故C正确； 对于D，因为的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故D错误； 故选：C． 66．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知且，则“”是“函数是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可得出结果. 【详解】当时，，又因为是增函数，所以是增函数； 当是增函数时，或， 所以“”是“函数是增函数”的充分不必要条件， 故选：A. 67．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据定义域排除C、D选项，再由趋于正无穷时的符号，结合排除法即可得到答案. 【详解】对于B，，当趋于正无穷时，是一个负数，即为负数，排除B选项； 因为和的定义域都为不满足所给图象，排除C、D选项； 故选： A 68．（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零. 【详解】令，则函数为减函数， 又函数为增函数， 所以函数是减函数， 故在区间上的最大值是，最小值是， 由题设得，则， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 69．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域． 【详解】．故的值域为． 故选：B． 70．（22-23高一上·山西太原·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：B. 71．（24-25高一上·山西运城·期末）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的最大值是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象与直线有三个交点 【答案】AD 【分析】选项A，根据奇函数的定义可判断；选项B，根据由函数是奇函数，考虑时，由的正负分为和分别求函数的值域即可；选项C由函数的定义域可判断；选项D结合函数的奇偶性和单调性画出图象即可判断. 【详解】选项A：由，得函数的定义域为， ，故函数是奇函数，A正确； 选项B：由于函数是奇函数，先考虑， 当时，， 此时函数在区间上单调递增， 因，故，， 当时，， 此时函数在区间上单调递减， 因时，，， 故时，， 由奇函数的性质，当时，，故B错误； 选项C：由函数的定义域为，可知函数的图象不关于直线对称，故C错误； 选项D： 如图所示，结合选项B可知， 当时，，当时，， 所以函数的图象与直线有三个交点，故D正确， 故选：AD 72．（24-25高一上·山西晋中·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，在不等式的两边同时除以可得，A对； 对于B选项，，则，B错； 对于C选项，因为，则，则， 因为对数函数为上的增函数，则，C对； 对于D选项，取，，，则，D错. 故选：AC. 73．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数，，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象过定点 B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用对数函数的性质判断A，C，举反例判断B，D即可. 【详解】对于A，当时，， 所以的图象过定点，故A正确， 对于B，令，，，此时， 而， ， ， 不满足，故B错误， 对于C，， 而， 因为，所以，故C正确， 对于D，令，，，此时， 此时，， 故，而，故， 得到，即，故， 而, , 此时不满足，故D错误. 故选：AC 74．（23-24高一上·山西阳泉·期末）下列命题中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则使得成立的x的取值范围为 C．若不等式对于恒成立，则 D．若，且，则的最小值为 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质、函数的单调性、一元二次不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，则，所以A选项错误. B选项，的定义域为，，所以是偶函数， 当时，根据复合函数单调性同增异减可知单调递增， 所以当时，单调递减， 由，得， 两边平方得， 解得或，所以B选项错误. C选项，若不等式对于恒成立， 则， 解得，所以C选项正确. D选项， ，当且仅当， 所以D选项正确. 故选：CD 75．（24-25高一上·山西运城·期末）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，令，则，再根据复合函数的单调性，求出单调区间，即得结果. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 令，，则， 函数的对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为为增函数，根据复合函数同增异减， 要使函数单调递减，则需函数单调递减， 所以原函数的单调递减区间为. 故答案为：. 76．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数，若，且，则 . 【答案】/ 【分析】不妨设，去绝对值符号，再根据对数的运算性质即可得解. 【详解】令，则， 函数在上单调递增， 不妨设， 由可得， 去绝对值化简得， 故，所以. 故答案为：. 77．（21-22高一上·山西长治·期末）函数且的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可. 【详解】因为函数且，令，解得， 所以，即函数恒过点. 故答案为：. 78．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 79．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可. 【详解】令，则或，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 80．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据函数的奇偶性以及可得函数的周期为2，进而利用周期性即可求解. 【详解】是定义在R上的函数满足，所以， 又因为，所以，所以， 则函数的周期为2，所以 故答案为： 81．（24-25高一上·山西大同·期末）已知． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明； (3)求的值． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)0 【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式组求解即可； （2）根据偶函数的定义证明即可； （3）根据对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为． （2）为偶函数，证明如下： 因为函数的定义域为，关于原点对称， 又 ， 所以函数为偶函数． （3） ． 82．（24-25高一上·山西·期末）已知函数． (1)当时，解方程； (2)若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）根据复合型对数函数的定义域和单调性，列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以可化为， 即，所以，或， 所以，或， 即方程的解为或． （2）因为对在上总有意义， 所以对在上恒成立． 令，则， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以恒成立，即，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减， 所以， 由题意知， 即， 所以，即， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 故实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：对于恒（能）成立问题，常常结合最值分析处理，而最值又结合函数的单调性，所以对于函数的单调性要灵活熟练应用. 83．（24-25高一上·山西运城·期末）设集合，． (1)当时，求，； (2)当时，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先确定集合，再进行集合的运算. （2）先明确集合的包含关系，结合集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）由，， 所以或， 则，． （2）由 ， 若，则，可得，此时； 若，则且可得， 综上，实数的取值范围是． 84．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是偶函数，其中k为实数，函数. (1)求k的值； (2)若，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数定义求出参数值； （2）含有量词的问题转化为最值问题即可. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以， 即， 所以， 所以. （2）由（1）知， 设函数，设任意， 则 ， 因为，所以， 那么恒成立，所以在上单调递增， 那么在上是单调递增函数， 又因为是偶函数，在上是单调递减函数， 所以时，， 所以，若，使得等价于在上有解， 即在上有解，即有解， 而在上的值域为， 则，即a的取值范围是. 85．（24-25高一上·山西·期末）已知函数在上的最大值与最小值之差为2． (1)求实数的值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用函数单调性确定最大值与最小值，列式求解即可； （2）令，将问题转化成对任意的恒成立，通过参变分离，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）时，函数在区间上单调递减， 所以， 解得． （2）由（1）知． 由，得． 令，当时，， 所以对任意的恒成立， 所以， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以， 所以，即的取值范围为． 86．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果； （2）由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）分离参数可得在上恒成立，再由单调性求得最值可得. 【详解】（1）设的定义域为， 由题意得对于任意，都有恒成立， 即恒成立， ∴，∴， 当时，无意义； 当时，是定义域为的奇函数. （2）在上单调递增. 证明：设，则 ， ∵， ∴， ∴，∴， ∴在上单调递增. （3）原不等式等价于， 令，， 由在上单调递增， ∴， ∴实数的取值范围为. 87．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数，且 (1)求a的值； (2)判断在上的单调性并根据定义证明； (3)已知，且，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据列方程，利用对数运算求解即可； （2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （3）不等式化为，根据对函数的单调性将不等式化为，令，则，解得，即，即可求解． 【详解】（1）因为函数，且，所以， 所以，解得； （2）由（1）知， 设任意的， 则 因为，所以，所以， 所以 ， 即，所以， 所以，即在上单调递增. （3），因为为定义域上单调递增函数， 所以，即， 令，则，解得或， 因为，所以，则，所以， 所以，即m的取值范围为. 88．（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知，函数的最大值为4，最小值为0. (1)求的值 (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)化简f(x)解析式，将看作整体即可求f(x)最值，即可求出a、b的值； (2)化简，化简不等式，参变分离k和t，得，问题等价于. 【详解】（1） ， 由得，， 又a＞0，因此的最大值为， 最小值为，解得． （2）， 又，， 而在上单调递减，在上单调递增． 因为，，所以． 由不等式在上有解， 得： ． 因此，的取值范围是． 【点睛】方法点睛： 对于对数函数与二次函数复合的函数最值问题，通常采用换元法将对数函数转化为新变量，转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解. 对于不等式有解求参数范围问题，常通过参变分离将参数与变量分离，转化为求函数最值问题，再结合函数单调性等性质求解. 89．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求实数m的值； (2)设，（且），若不等式对任意恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程，求出或2，由奇偶性舍去不合要求的解； （2）方法一：换元后得到，分和两种情况，变形后，结合对勾函数的单调性，求出答案；方法二：换元后得到，分和两种情况，结合二次函数的对称轴和最值，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，所以或2， 当时，为偶函数，不关于原点对称，舍去， 当时，关于原点对称， 所以； （2）方法一：由（1）得，， 令，，，记， 若函数在上恒成立， ①若时，则函数，即恒成立， 令，， 由对勾函数性质得在上单调递增，故， 则，所以，故． ②若时，则需在恒成立， 所以，，由对勾函数性质可得，故． 综上所述：函数在上恒成立时． 方法二：由（1）得，， 令，，，记， 若函数在上恒成立， ①若时，则函数， 由于对称轴，函数在区间上为增函数， 恒成立，所以，故符合题意． ②若时，则需在恒成立， 则：或， 或，解得， 综上所述：函数在上恒成立．则． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 90．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数 (1)求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先求，再求即可； （2）按照和分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由题意可得：①当时，，得； ②当时，，得. 综上所述：实数m的取值范围为：. 地 城 考点05 指对函数的实际应用 91．（23-24高一上·山西阳泉·期末）为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒．室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为，（为常数）．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过____________小时后，学生才能回到教室？ A．0.1 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】利用点求得，由此列不等式来求得正确答案. 【详解】由图可知过点， 即， 由得， 所以，解得，所以至少需要经过小时. 故选：C 92．（21-22高一上·山西运城·期末）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1200倍. （参考数据：，，，） A．122 B．124 C．130 D．136 【答案】A 【分析】设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解 【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为6%； 设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则 ，∴， ∴， ∵，∴大约经过122天能达到最初的1200倍. 故选：A. 93．（23-24高一上·山西忻州·期末）某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表： 销售人员个人每月销售额/万元 销售额的提成比例 不超过100万元的部分 5% 超过100万元的部分 记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）． 注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额． (1)试写出提成关于销售总额的关系式； (2)若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？ 【答案】(1) (2)135万元 【分析】（1）根据题意写出提成与销售额的关系式即可； （2）根据关系式，通过求解对数不等式可得答案. 【详解】（1）根据题意可知，当时，； 当时，． 故提成关于销售总额的函数关系式为 （2）当时，， 则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元， 令，得，解得， 即该销售人员当月的销售总额至少为135万元． 94．（22-23高一上·山西大同·期末）某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 62.5 156.3 为描述该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；. (1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； (2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？ （参考数据：，） 【答案】(1)； (2)9 【分析】（1）根据增长的速度越来越快可选择函数模型，再根据，即可求解； （2）令，求解即可. 【详解】（1）因为函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律， 函数刻画的是增长速度不变的规律， 根据表中的数据可知该生物增长的速度越来越快， 所以函数模型更适合. 根据题意有，解得， 所以，. （2）设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘， 则，解得 . 故约经过9个月此生物能覆盖整个池塘. 95．（20-21高一上·山西·期中）定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知. （1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围. 【答案】（1），不是，理由见解析；（2）. 【分析】（1）用换元法，结合二次函数性质求得值域，可得结论； （2）设，则可得，然后由二次函数性质求得函数的值域，再结合新定义可得参数范围． 【详解】（1）当时，， 令由， 可得， 令， 有， 可得函数的值域为 故函数在上不是有界函数; （2）由题意有，当时， 可化为 必有且， 令，由，可得， 由恒成立，可得， 令， 可知函数为减函数，有， 由恒成立， 可得 故若函数在上是以为上界的有界函数， 则实数的取值范围为. 96．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为. (1)求该学习率模型的表达式； (2)要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将时，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由条件列出不等式，结合指数，对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由条件可得，指数衰减的模型为， 当时，，代入可得，解得， 所以该学习率模型的表达式 （2）由学习率衰减到以下（不含），可得， 即，所以，即 ， 所以，则，即至少需训练迭代74轮. 97．（21-22高一上·山西·阶段练习）某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，产量不同其费用也不同，且已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式； (2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？ 【答案】(1) (2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式； （2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案. 【详解】（1）当时，. 当时，. 故 （2）当时，， 所以当时，取得最大值，且最大值为29； 当时，，此时单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为27. 综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $