专题08 选填压轴精选（期末真题汇编 山西专用）高二数学上学期

专题08 选填压轴题精选 板块01 空间向量与立体几何 板块02 直线与圆 板块03 圆锥曲线 板块04 数列 空间向量与立体几何 地 城 板块01 1．(24-25高二上·山西名校·期末)如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P在线段上，Q在底面内，则下列结论正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则点Q的轨迹长度为 C．存在平面 D．平面截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 【答案】ABD 【分析】求出三棱锥体积判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点Q的轨迹判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出点到平面的距离，利用球的截面性质求解判断D. 【详解】对于A，由，得的面积为定值， 由平面平面，得三棱锥的高为定值2， ，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，    设平面的法向量为，， 则，令，得， 设，， ，，则， 由平面， 得， 即点的轨迹方程为，令，得；令，得. 又点在底面内， 因此点的轨迹长度即为两点间的距离，B正确； 对于C，若存在平面，则，由， 得，，因此不存在平面，C错误； 对于D，由平面，得点到平面的距离为定值， 而，则， 而，则该球的半径， 截面圆的半径满足， 则截面面积的取值范围为，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的轨迹问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算建立动点坐标的关系解决. 2．(23-24高二上·山西运城·期末)如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点G，使得平面EFG C．G为中点时，直线EG与所成角最小 D．点F到直线EG距离的最小值为 【答案】AB 【分析】根据等体积法可知，即可判断A项；建系，假设存在点G﹐设 .根据向量的坐标，由，解出的值，即可判断B项；由已知推出，根据二次函数以及余弦函数的性质，结合的取值范围，即可判断C项；求出在方向上投影向量的长度为，然后根据勾股定理表示出点F到直线EG的距离，根据二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，，. 对于A项，在正方体中，平面平面，平面， 由面面平行的性质可得，平面， 由点G在线段上， 则到平面的距离，即点到平面的距离等于. 因为，所以. 则是个定值，故A项正确； 对于B项，假设存在点G﹐使得平面. 设 . ，，，， 则. 所以， ， 所以，满足条件. 此时有，，平面，平面，， 所以，存在点G﹐使得平面，故B项正确； 对于C项，设直线EG与所成角为. 因为，. 所以 ， 所以. 因为， 所以当时，有最小值，显然有，则有最大值， 根据余弦函数的单调性可知，当时，有最小值，故C项错误； 对于D项，因为，， 所以，在方向上投影向量的长度为， 由C知，当时，有最小值， 则有最大值为，又， 所以点F到直线EG距离的最小值为，故D项错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：由点为线段上的动点，设 .可以通过的坐标，表示出与点有关的向量. 3．(22-23高二上·山西临汾·期末)如图，在直三棱柱中，分别是的中点，是与的交点，为线段上的动点（包含线段的端点），则以下说法正确的是（    ） A．为线段的中点时， B．存在点，使得∥平面 C．与所成角的正弦值为 D．与平面所成的角可能为 【答案】BD 【分析】对于A，由向量的加法、减法及数乘运算即可判断； 利用空间向量解答B，C； 对于D，由题意可得为与平面所成的角，当运动到点时，取得最大，且，从而即可判断. 【详解】解：对于， ，故错误； 对于，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 所以 设平面的法向量为 则， 令，可得， 设， 则， 所以， 当时，可得∥平面， 所以，即. 所以在线段上存在点，且，故B正确； 对于， 所以与所成角的正弦值为，故C错误； 对于，在中，为的中点，所以， 又平面平面， 可得，而， 所以平面与平面所成的角即为， 由题可得当运动到点时，取得最大，且， 所以与平面所成的角可能为，此时，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：对于线线角、线面角、面面角的求解以及对线面、面面位置关系的判断，用空间向量法进行解答较为容易些. 4．(25-26高二上·山西晋中平遥县第二中学校·月考)已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则下列说法错误的是（   ） A．当，，时，平面 B．当，时，异面直线与所成的角为45° C．当，时， D．当时，线段的长度最小值为 【答案】B 【分析】以顶点为原点建立空间直角坐标系，由空间向量证明线面平行判断A；由空间向量的夹角公式求得线线角判断B；由空间向量证明线线垂直判断C；由基本不等式求得的模长的最小值判断D. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由，得， 对于A，，则， 即是平面的法向量，又，平面，则平面，A正确； 对于B，令，则，，设异面直线与所成的角为， 则，显然，错误； 对于C，点，即，则，，C正确； 对于D，由，得 ，则， 当且仅当时取等号，因此，D正确. 故选：B 5．(25-26高二上·山西晋中部分学校·)已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点（不含端点），则当三棱锥外接球半径最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设，三棱锥的外接球球心为，外接球半径为，利用得到，根据最小时的值即可得到的坐标即可求出. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 设，则. 设三棱锥的外接球球心为，外接球半径为，则， 即， 化简得，则， 当时，最小，此时，即，所以. 故选：D 6．(22-23高二下·山西吕梁名师高级中学校·开学考)如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法错误的是（    ） A．当运动时，不存在点使得 B．当运动时，不存在点使得 C．当运动时，二面角的最大值为 D．当运动时，二面角为定值 【答案】C 【分析】建立坐标系，利用向量法判断AC；由反证法判断B；平面即为平面，平面即为平面，从而得出二面角为定值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 因为在上，且，， 可设，则， 则， 所以， 故恒为正，故A正确． 若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故B正确． 设平面的法向量为， 又，所以，即， 取，则， 平面的法向量为，所以． 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，在上单调递减， 所以，故， 当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故C错误． 连接．平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，故D正确． 故选：C 7．(22-23高二上·山西朔州平鲁区李林中学·月考)在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为， 则，可得，所以，， ， 当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 所以，，所以，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解. 8．(25-26高二上·山西太原常青藤中学校、朔州平鲁区李林中学·)如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（ ） A．，，，四点共面 B．在方向上的投影向量为 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】对于A，在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C，， ， 则，故C不正确； 对于D，故 ， 故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 9．如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（    ） A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值 B．对于任意，平面 C．动点到直线的距离最小值为 D．满足的的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】由正方体中平面平面可得到平面的距离为定值即可判断A；由点运动到点时不垂直于可判断B；建系，设动点到直线的距离为，求出关于的表达式，可得的最小值即可判断C；利用到平面的距离确定平面内的位置，可得点的轨迹圆弧的半径可判断D． 【详解】对于选项A，易知在正方体中，平面平面，故动点在运动的过程中，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积是定值，故A正确； 对于选项B，当运动到点时，易知不垂直于，所以不垂直于平面，故B错误； 对于选项C，以点为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系，设，设（题眼），，，，，，则，故，设动点到直线的距离为，过作平面，过作于，连接，则，则（关键：主元法求最值），当，时，取最小值，且最小值为2，则动点到直线的距离最小值为，故C正确； 对于选项D，设到平面的距离为，由等体积法得，则，解得．如图2，取的中点，连接，作平面，垂足为，易知点在的延长线上．由选项C，可设平面内点，，又，，则解得所以，取的中点，连接，，延长，，交于点，作于点，作交于点，如图2，则，即，则，又，即，则，则，即，则，所以（提示：利用等比例确定平面内的位置）．由已知，点的轨迹为以为圆心的圆弧，不妨设该圆弧的半径为，则，则，则以为圆心的圆弧所对圆心角，故轨迹长为，故D正确． 故选：ACD． 10．(24-25高二上·山西大同·期中)在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【答案】BCD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，可判断AB选项；利用空间向量法可判断CD选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、， 因为， 对于A选项，当时，则点的轨迹为线段，A错； 对于B选项，若，即点， 此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对； 对于C选项，若，即点，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， ，则点到平面的距离为， 因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对； 对于D选项，若，则，其中， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，取最小值，此时取最大值，且，则， 因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 11．(23-24高二下·山西太原小店区山西百校联考·期末)如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．当时，若，则 C．当时，直线与直线所成角的大小为 D．当时，三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论. 【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点， 所以也是的中点，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，，，满足，故B正确； 对于C，过作交于，      可知面，与直线成角即为， 当时，，在中， 则， 所以，所以，故C错误； 对于D，易知是正三角形， 三棱锥体积为 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，分析得是正三角形，从而得到所需各线段长，从而利用三棱锥的体积公式即可得解. 12．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若的外心为，则为定值2 C．若，则点的轨迹长度为 D．若且，则存在点，使得的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到三点共线，得到平面，故点为平面的距离为定值，四面体的体积为定值，A正确；B选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，表达出，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，结合弧长公式求出答案；D选项，求出，，得到，画出图形，数形结合得到其最小值. 【详解】A选项，在上分别取，使得，， 因为，所以， 因为，所以，即， 故，即， 所以三点共线， 因为，，所以， 故平面，故点为平面的距离为定值， 又为定值，故四面体的体积为定值，A正确；    B选项，取的中点，因为的外心为，所以⊥， 又题意得， 则，B错误；    C选项，取的中点，因为底面为菱形，， 故⊥， 以为坐标原点，以，分别为轴，建立空间直角坐标系， 故，设， 则， 化简得， 点满足， 即点在正方形内，包括边界， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分， 如图所示：    因为，，故， 故为等腰直角三角形，， 故点的轨迹长度为，C正确； D选项，若且，， 即，即， 又，，设， 设，即， 解得，即， ， 如图所示，    设，且⊥，⊥， 在线段上取一点，设，则， 故， 显然，直接连接，此时取得最小值，最小值即为， 由勾股定理得， 故的最小值为， D正确. 故选：ACD 【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 13．(23-24高二上·山西运城稷山县稷山中学·月考)如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（    ）．    A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 【答案】BCD 【分析】根据空间向量数量积计算判断A； 通过线面平行的定义判断B； 根据截面形状计算面积判断C； 根据图形关系判断点到平面距离是否相等即可判断D. 【详解】如图所示，在棱长为的正方体中，建立以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，    因为、、分别为、、的中点， 则、、、， 对于A选项，、，∴，故A错误； 对于B选项，连接、，∵，∴、、、四点共面， ∵、，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面，故B正确； 对于C选项，连接、，∵， ∴四边形为平面截正方体所得的截面， 、、， ∴四边形为等腰梯形，高为， 则四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，连接交于点， 则是的中点，且是线段与平面的交点， ∴点和点到平面的距离相等，故D正确； 故选：BCD 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线进而求解； （2）坐标法：通过建立恰当的空间直角坐标系，结合空间坐标运算公式求解； （3）基底法：通过向量的基底转化以及向量的运算法则进行求解. 14．(23-24高二上·山西孝义·月考)在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．平面平面 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，存在点，使得 D．当时，存在点，使得平面 【答案】ABD 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的关系，即可判断A；利用向量法求点到平面的距离，即可判断B；利用向量数量积，即可判断C；要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，即可判断D. 【详解】以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 则，令，解得，， 所以平面的一个法向量， 又，， 因为， 故.设平面的一个法向量为， 则，令，解得，， 所以平面的一个法向量，又，所以， 所以平面平面，故A正确； 当时，点，设平面的一个法向量，，， 则， 令，解得，，所以平面的一个法向量为， 且，所以点到平面的胜离为， 又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 当时，此时，所以，， 所以， 所以不存在点，使得，故C错误； 当，此时，所以，，， 因为，要使平面， 则，解得，符合题意， 故存在点，使得平面，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查利用坐标法，解立体几何中的位置关系，本题的关键是点坐标的设法问题，利用坐标法解决位置关系问题. 15．(23-24高二上·山西运城教育发展联盟·调研)已知正方体棱长为为棱中点，为正方形上的动点，则（    ） A．满足的点的轨迹长度为 B．满足平面的点的轨迹长度为 C．存在点，使得平面经过点 D．存在点满足 【答案】AB 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，找出的坐标，设，进而对B进行计算验证即可； 对于B，利用线面平行的判定定理找出的轨迹，进而求解判断即可； 对于C，连接，取的中点，连接，，得到平面截正方体所得截面与正方形没有交点，进而即可判断； 对于D，借助空间直角坐标系，求得的最小值及处于边界处的的值，进而判断即可. 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，设，且，， 所以，，， 对于A，由，得，即， 因为，，所以点的轨迹为线段，且，， 则，即点的轨迹长度为，故A正确； 对于B，取的中点，的中点，如图，    因为点为的中点，由正方体的性质知，， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，， 所以平面平面，又平面， 所以平面， 所以点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，如图，连接，取的中点，连接，，    则平面截正方体所得截面为，与正方形没有交点， 所以不存在点，使得平面经过点，故C错误； 对于D，由A知，点关于平面的对称点为， 所以当三点共线时最小， 即， 且当与重合时，， 当与重合时，， 当与重合时，， 当与重合时，， 综上所述，不存在点满足，故D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：立体几何中关于动点轨迹问题，常常结合线、面判定定理及性质寻求，或借助空间直角坐标系进行辅助计算求解. 16．(25-26高二上·山西晋中平遥县第二中学校·月考)已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最大值. 【详解】依题意，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径， 由，平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，， 则平面平面，由平面，平面，得平面， 因此点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是点到平面的距离为， 圆的半径为， 由，得，则， 所以的最大值为. 故答案为： 17．(24-25高二·山西山西大学附属中学校·月考)在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，先求得点的轨迹，结合空间向量表示出与平面所成的角的正弦值，进而确定的坐标，从而求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，设， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即取，则. 在正方体中，可得平面，且平面， 所以，则， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为， 则，则，即， 又，设与平面所成的角为， 所以， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即时，与平面所成的角最大， 即，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略： 1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键. 18．(22-23高二上·山西晋城第一中学校·月考)阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】根据阅读材料可得平面的一个法向量，再在两平面的交线上取两个点，从而得交线的方向向量，由此利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解． 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量， 又直线：上有两个点，， 所以直线的方向向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：． 地 城 板块02 直线与圆 19．(25-26高二上·山西晋中部分学校·)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则当面积取最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理，利用几何法，结合圆的定义和性质进行求解即可. 【详解】由，得， 即， 因为， 所以， 所以，即；由，得. 以线段中点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，设， 所以， 化简得. 所以点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆（不包括和轴的两个交点）. 故的最大面积为.此时或， ， . 故面积取最大值时， . 故选：D 20．(24-25高二上·山西·期末)为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设长得到点坐标，设两机器人相遇点，由速度关系得到等量关系，求得点的轨迹方程，由题意得到圆与直线相切，由点到直线的距离等于半径得到等量关系，解得参数的值，再验证结果即可. 【详解】设，因为在第一象限，且直线的倾斜角为，所以， 设机器人甲在点处追上机器人乙，由机器人甲的速度是机器人乙的3倍，得， 所以，化简可得， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则圆在竞技区（含直线）内，即直线与圆相切或相离， 又点到直线的距离， 所以，解得或， 当时，在安全区，不满足要求， 所以，即长度的最大值是2. 故选：B. 【点睛】思路点睛，本题是点的轨迹方程以及直线与圆相切的综合运用，本题通过速度得到路程的关系，找到两个机器人相遇点的轨迹方程是解题关键，由在竞技区（含直线）内机器人甲一定能追上机器人乙，说明交点不能超过直线，即相切. 21．(23-24高三上·THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试·)已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值. 【详解】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.    故选：C 22．(25-26高二上·山西山西大学附属中学·期中)若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的几何意义是点与两点连线的斜率，利用直线与圆相切，列出方程，即可求解． 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径为1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时， 则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上， 所以. 故选：B. 23．(25-26高二上·山西太原·期中)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 【答案】D 【分析】根据两函数式结构构造动点到定点的距离形式，结合三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确. 故选：D 24．(25-26高二上·山西晋中部分学校·)圆：与圆：公切线的条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】求出两圆圆心距离和半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线的条数. 【详解】由圆，得圆心，半径； 由圆，得，即圆心，半径. 两圆圆心距， 所以，即两圆相交，所以两圆公切线有2条. 故选：C. 25．(25-26高二上·山西晋中·期中)已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】D 【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，然后转化成求两点间的距离求解即可. 【详解】因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则解得故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 26．(25-26高二上·山西卓越大联考·期中)已知圆与圆.则下列结论正确的是（   ） A．若圆与圆内切，则 B．当时，圆与圆相交，且公共弦所在的直线方程为 C．若为圆上一动点，则的最大值为 D．若、是圆上的两点，且，在直线上存在点，使得，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用圆与圆的位置关系可判断A选项；当时，判断出两圆相交，将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，可判断B选项；利用圆的几何性质可判断C选项；利用平面向量的运算性质可计算得出，可得出点的轨迹方程为，由此得出与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的范围，可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为. 对于A选项，若圆与圆内切，则， 即，解得或，A错； 对于B选项，当时，圆的圆心为， 则，此时，则圆与圆相交， 圆的一般方程为， 圆的一般方程为， 将两圆方程作差并化简得， 即两圆公共弦所在直线的方程为，B对； 对于C选项，因为，即原点在圆外，所以， 由圆的几何性质可得， 故的最大值为，C对； 对于D选项，由题意可知， 因为，， 所以， 因为，故，故点的轨迹方程为， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，直线与圆有公共点， 则，即，解得，D对. 故选：BCD. 27．(23-24高二上·山西太原·期中)已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为 D．过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，直线和圆相离， 所以的最小值为，A选项正确. 由于是直线上任意一点，所以没有最大值， B选项错误. 对于D选项，由于直线与直线的夹角为， 所以等于到直线的距离的倍， 所以的最大值为，D选项正确. 对于C选项，设，的中点为， ， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 整理得， 由、两式相减并化简得， 即直线的方程为， 到直线的距离为， 所以， 对于函数， 所以恒成立，当时， 取得最小值为， 所以，所以， 所以，所以C选项正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求解直线和圆的位置关系有关题目，主要的方法是数形结合的数学思想方法，根据图象以及圆的几何性质来对问题进行研究.求解圆与圆相交所得弦长，可利用两个圆的方程相减来求得相交弦所在直线方程. 28．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ） A．点恒在以线段为直径的圆上 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】对于A，由动点及圆的性质即可判断； 对于B，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求解； 对于C，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可得解； 对于D，先由直线的方程得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，在四边形中，不一定是直角，故A错误； 对于B，连接，由题易知，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，B正确； 设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，即，令，则，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为，C正确； 在中，分别令，得到点，，所以，因为点在直线上，所以且，，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，D正确． 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：与圆的切线有关的结论： （1）过圆上一点的切线方程为； （2）过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线的方程为． 29．(25-26高二上·山西太原·期中)平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，应用两点距离公式列方程求P轨迹，结合已知圆的方程求出点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】设，依题意，， 即， 整理得， 与对照得，解得， 因此； 由，得在圆内， 在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 30．(25-26高二上·山西吕梁离石区吕梁第一中学·月考)如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成.若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意利用点代入法得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为函数经过点，得，所以， 根据题意可知，的最大值为图象上的点到直线的最大距离的两倍， 设直线与函数相切， 联立，消去，得， 则由，解得， 则直线与直线间的距离为， 故的最大值为. 故答案为：. 31．(19-20高二上·山西·期末)给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是； （2）点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有个点到直线的距离为； （4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切. 其中正确的命题有 .（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】（2）（3）（4） 【解析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断． 【详解】（1）由于直线与线段AB有公共点，因此k的范围是，（1）错； （2）的中点坐标为，，即中点在直线上，又，直线的斜率是2，相乘等于，与直线垂直，（2）正确； （3）圆心C到直线l的距离为1，圆半径为2，与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切，因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确； （4）直线过抛物线的焦点F(1,0)，直线是抛物线的准线，设，由抛物线定义得，的中点到直线的距离为，∴以为直径的圆恰好与直线相切.（4）正确． 故答案为：（2）（3）（4）． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系等知识，在求直线与线段有公共点时，要研究斜率不存在的直线是否与线段有公共点，以确定直线斜率范围是两斜率之间，还是两斜率之外． 圆锥曲线 地 城 板块03 32．(24-25高二上·山西名校·期末)已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由抛物线定义和两点间的距离公式，结合基本不等式可求得的最大值，以及点的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式，可得所求值. 【详解】过点作准线的垂线交准线于点，则，由可得，设，则. 令，则， 当，即时，取到最大值，此时. 不妨设，因为双曲线的焦点坐标为， 所以可设双曲线的方程为，将代入上式，求得. 设该双曲线的离心率为，则，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力. 33．(24-25高二上·山西吕梁·期末)下面四个选项中，正确的是（    ） A．双曲线绕坐标原点O逆时针旋转得到曲线 B．曲线是由双曲线绕原点O顺时针旋转得到的 C．曲线的离心率为 D．曲线的渐近线方程是 【答案】B 【分析】根据旋转变换公式求得逆时针旋转得到曲线判断A；求得旋转后的曲线方程为双曲线是可判断B，进而判断C；利用B中结论，根据双曲线的性质，结合对称性可判断D. 【详解】对于选项A，设双曲线上任一点， 点绕坐标原点O逆时针旋转后得到斜双曲线C上一点． 则：，即，代入双曲线得：．故A错误； 对于选项B，C，设为上任一点， 点绕坐标原点O逆时针旋转后得到双曲线 上一点．则：， ∴∴……① 又……② 把①②代入得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 所以双曲线是 所以此双曲线的离心率 ， 即曲线的离心率为，故B正确，C错误； 对于选项D，因为的渐近线为， 设渐近线上一点绕原点O顺时针旋转后为， 则，同理可得渐近线绕原点O顺时针旋转后的渐近线为和，因为与关于y轴对称， 所以渐近线也关于y轴对称，故渐近线为和．故D错误， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两个：一是对旋转变换公式的理解与灵活应用；二是在解析过程中，对复杂的计算一定细心. 34．(24-25高二上·山西晋中·期末)已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得，可得其离心率. 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接，如下图所示： 由，根据对称性可知，又，所以四边形为矩形； 由可设，则; 由双曲线定义可知，所以，所以； 又，所以； 因为， 在中，，且， 所以，解得； 即，所以； 在中，，即， 解得，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系利用对称性，由双曲线定义和勾股定理计算得出的关系式，即可求解. 35．(23-24高二上·山西太原·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解. 36．已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，    则①，即， 由余弦定理得， ，故，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解. 37．(20-21高二下·山西·)如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解. 【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形， 设，则，，， 在中，，解得或m＝0（舍去）， 从而有，中，，整理得，， 所以双曲线E的离心率为． 故选：B 38．(19-20高二上·山西运城·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先由求出，然后求t的最小值要转化为求的最小值，在求的最小值时要用双曲线的定义将转化为，最后可得当点共线时，最小 【详解】 因为两条渐近线的方程为：，直线的方程为： 所以、 所以 由可知， 所以 所以   又因为 所以，可解得 因为双曲线上存在一点P使得 所以求t的最小值即为求的最小值 易得要使最小，点应在双曲线的右支上 由双曲线的定义可得： 所以 所以 由图可知，当点共线时，最小 最小值为 所以的最小值为 故选：D 【点睛】本题只要考查双曲线的定义、方程、几何性质和双曲线中的最值问题，属于较难题，双曲线中的最值问题一般要利用定义将双曲线上一点到两个焦点的距离相互转化. 39．(24-25高二上·山西阳泉·期末)已知双曲线的左顶点为，右顶点为，第一象限的点在上，且点不与点重合，若直线与直线的斜率分别为，则下列命题中正确的是（    ） A．存在点，使 B．存在点，使 C．对任意点，均有 D．对任意点，均有 【答案】BC 【分析】设， 则，对于A，可得，则，代入即可判断；对于B，由，得，代入即可判断；对于C，由，得，再计算斜率乘积即可判断C；对于D，由，若，即，代入，得即可判断D. 【详解】由题意，得左顶点，右顶点， 设，则， 所以. 对于A，由，得， 所以. 若，则，即， 代入，得，显然此方程无实数根，故A错误； 对于B，，若，则， 解得，代入，解得，故B正确； 对于C，由，得， 所以，故C正确； 对于D，， 若，则，即，代入，得，显然只存在一个点满足题意，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再结合点在双曲线上一一计算即可. 40．(24-25高二上·山西三晋卓越联盟·)已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（    ）． A．C的离心率为2 B． C．的面积为4 D．的周长为18 【答案】ABD 【分析】由双曲线方程可得，由，可得∽，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设A在第一象限，则， 由于，得，， 由于，所以∽， 故，可得，故， 而，故，由，得， 对于A，C的离心率，故A正确； 对于B，由以上分析可知，故B正确； 对于C，在中，，，， 故，故C错误； 对于D，的周长为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质定理得到比例式. 41．(24-25高二上·山西现代双语学校南校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，在求出，即可求出可判断A；再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B、C，再结合椭圆的定义可判断D. 【详解】对于A，椭圆，则，所以， 圆的圆心为，半径， 所以，所以点在椭圆外部，又，当且仅当、、三点共线（在之间）时等号成立，所以，解得，所以，解得（负值舍去），故A正确； 对于B， ， 又，所以，所以， 即的最大值为5，当且仅当点在左、右顶点时取最大值，故B正确； 对于C，设点为椭圆的上顶点，则，， 所以，所以，所以， 则存在点使得，，故C正确； 对于D，因为 ， 当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：对于D选项，关键点是转化为求的最小值，且当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立. 42．(24-25高二上·山西太原山西大学附属中学校·月考)已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．若，则外接圆的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A由题可得，然后可计算离心率；B等价于判断方程组是否有解；C设，由余弦定理及题目条件可得，然后由正弦定理可得外接圆半径，即可判断选项正误；D设，可将化为，后由基本不等式可得最小值. 【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1， 所以，解得：，所以，则椭圆， 椭圆的离心率，故A正确； B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，所以不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， 若，又， 所以，即， 在中，由余弦定理可得 ， 因为，所以， 设外接圆的半径为 根据正弦定理可知，，则， 即外接圆的面积为，故C正确； D选项，设，则 ， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 43．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】A选项，求出双曲线的两渐近线，数形结合得到的取值范围；B选项，根据，推出；C选项，由双曲线定义得到，求出，从而得到；D选项，由双曲线定义得到，结合余弦定理得到方程组，求出，求出三角形面积. 【详解】对于A，根据的渐近线方程为， 直线经过且与的右支交于，两点， 结合图象可得，所以A错误． 对于B，由题意得，解得，故， 在中，为的中点，且， 故， 因为， 所以，所以，所以B正确． 对于C，， 下面说明双曲线上右支上的点横坐标越小，越小， 设右支上的点为，， 则， 故随着的增大，增大， 由于与双曲线的右支交于两点，所以当与双曲线的渐近线平行时， 最小（不能达到）， 不妨设此时：，代入双曲线的方程得，解得， 所以， 则，所以C正确． 对于D，由，两边平方得①， 在中由余弦定理得， 即②，所以②－①得， 所以的面积为，所以D正确． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 44．(24-25高二上·山西大同·期中)已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ） A．若的纵坐标为2，则 B．若直线过点，则的最小值为4 C．若，则直线恒过定点 D．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BC 【分析】由点纵坐标可得点坐标，即可判断选项A错误；设直线方程，与抛物线方程联立，利用表示，即可得到选项B正确；设直线方程，与抛物线方程联立，计算，利用可得选项C正确；利用条件计算点坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误. 【详解】由题意得，，，准线方程. A. 由的纵坐标为2得，，故，选项A错误. B. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，当时，，选项B正确. C. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，解得， ∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确. D.如图，设点在第四象限. 由题意得，，则. 由准线方程为得，，故，， ∴， ∴四边形的周长为，选项D错误. 故选：BC. 45．(23-24高二上·山西太原·期末)已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 【答案】BCD 【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长交于点，根据三角形全等进而得，，再结合双曲线的定义，中位线定理得，由离心率求出可得双曲线方程可判断ABC；设，则，求出点到两条渐近线的距离之积可判断D. 【详解】对于A，不妨设点在双曲线的右支上，延长相交于点， 因为平分，且，所以， 在中，，所以， 所以，， 即为线段的中点，可得为的中位线， 根据双曲线的定义， 因为为的中位线，所以，即， 离心率为，可得，所以， 所以双曲线的标准方程为，故A错误； 对于B，因为为的中位线，，即，故B正确； 对于C，因为，所以双曲线的焦距为，故C正确； 对于D，双曲线的标准方程为， 所以渐近线方程为，即， 设，则，即， 点到两条渐近线的距离之积为，故D正确.    故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长相交于点，结合几何关系得到为的中点，进而求得双曲线的解析式. 46．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 【答案】BC 【分析】A选项，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点运算得解判断；B选项，运用点差法求得直线的斜率，即可得出直线方程可判断；C选项，设，将直线代入双曲线E方程，由，解得斜代回可得直线的方程；D选项，设出点，类比C选项，求出直线的方程，设出点代入直线，的方程比较可得直线的方程，从而得解. 【详解】因为双曲线与双曲线共渐近线， 所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点， 所以，即，所以双曲线的标准方程是，故A错误； 设，，由，在双曲线上，得两式相减， 得，即， 又的中点为，所以，，所以， 直线的方程为，即，故B正确； 设直线，代入曲线E的方程得，，令，得 ，解得，则切线方程为， 即直线的方程为，故C正确； 设，由选项C同理可得直线的方程为，由点在直线上运动，可设， 因为点在与上，所以，因此直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过点，故D错误． 故选：BC． 47．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，下列说法正确的是（    ） A．若椭圆上存在点，使，且，则 B．若的最大值为6，则 C．若的方程为是线段的中点，，则 D．若关于直线的对称点在椭圆上，则的离心率为 【答案】BCD 【分析】由椭圆定义和勾股定理联立求解可判断A；利用椭圆定义和焦点弦中通径最短可判断B；利用点差法求解可判断C；利用点到直线的距离公式求，结合椭圆定义建立齐次式即可求出离心率，可判断D. 【详解】由，得，即，又，则． 即，，A错误；    ，当线段长度最小时，最大． 当线段垂直于轴时，．故，即，B正确； 由题知．由点差法得， 又，得，C正确； 关于直线的对称点在椭圆上． 连接，交于点，则，且是的中点， 又是的中点．是的中位线，且． 点到直线的距离，, 由得 由 则D正确． 故选：BCD    48．(24-25高二上·山西太原第五中学·月考)已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为 . 【答案】 【分析】由已知结合直线与曲线的公共点个数先求出，然后结合抛物线的定义即可求解. 【详解】曲线表示抛物线与， 由得， 因为，所以， 可得抛物线与直线有两个交点， 曲线与直线有3公共点， 则直线与抛物线相切， 把代入得， 则，解得， 由对称性可知，设与轴的交点为， 则， 若为定值，则为定值， 则点分别为抛物线与的焦点， 此时为抛物线上一点到轴距离 与其焦点距离差的2倍，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）直接推理､计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 49．(23-24高二下·山西长治·期末)已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 . 【答案】 【分析】利用焦半径公式表示，进而利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可. 【详解】第一空，如图，设，，，，    故，，， 而，故， 可得，，即有， 由，所以， 所以，所以. 第二空，，故， 而，故，即， 又， 故， 即，，故得的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 50．(23-24高二上·山西朔州怀仁·调研)已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点，为坐标原点.有下列结论： ①四边形是平行四边形； ②若轴，垂足为，则直线的斜率为； ③若，则四边形的面积为； ④若△为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】对于①，利用双曲线的性质判断四边形的形状，对于②，利用斜率公式判断，对于③，由题意可判断四边形为矩形，从而可求出其面积，对于④，由△为正三角形，可表示出点A的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率. 【详解】对于①，因为双曲线的左，右焦点分别为， 直线与双曲线在第一、三象限分别交于点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以①正确； 对于②，设，则,因为轴，垂足为，所以, 所以，，所以②正确； 对于③，因为，所以， 所以△是直角三角形，所以四边形为矩形， 设，则，所以， 因为，所以， 所以，所以四边形的面积为，所以③错误； 对于④，因为△为正三角形，，所以， 因为点在双曲线上， 所以，化简得， 所以，， 所以， 所以， 所以，所以④正确， 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：考查双曲线的定义和几何性质的应用，结合双曲线的几何性质和题意找出等量关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 51．(23-24高二上·山西太原·期中)已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设出点坐标，求得坐标，进而求得的表达式，并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值. 【详解】依题意，设， 根据椭圆的对称性，以及题目所求“的最大值”，不妨设， ，则，即， 所以 由于，所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 故答案为：    【点睛】在椭圆中，求解最值有关问题，如线段长度、面积、角度等量的最值，可考虑先求得其表达式，然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解，如本题中，利用三角换元，然后结合基本不等式来求.还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来进行求解. 52．(22-23高二下·山西应县第一中学校·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，且点A在x轴下方.设，，的内切圆的半径分别 为，，.若椭圆C的离心率为，且，则直线l的斜率为 . 【答案】 【分析】依题意可得椭圆方程表示为，设直线为 ，，，，根据面积公式及椭圆的定义得到，再由，即可得到，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到、，代入解得. 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，，， 则椭圆方程可以表示为， 设直线为 ，，，， 由，消去整理得，显然， 所以，，则， 由， 由， 由， 又，所以，所以， 又，所以， 又，，所以， 所以，， 所以，所以，则或（舍去）， 所以直线的斜率为.    故答案为： 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 53．(22-23高二上·山西运城教育发展联盟·调研)已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【分析】由题意得，联立直线与椭圆方程得，，再利用，再代入值计算即可得答案. 【详解】如图所示，由椭圆定义可得，， 设的面积为，的面积为，因为， 所以，即， 设直线，则联立椭圆方程与直线，可得 ， 由韦达定理得：， 又，即 化简可得，即， 即时，有. 故答案为： 地 城 板块04 数列 54．(24-25高二上·山西·期末)已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】由等比数列的前项和公式和因式分解化简，求出的值，同理化简并求出的值，从而得到. 【详解】设等比数列的公比为， 由，显然， 则，即， 所以， 所以. 故选：C. 55．(24-25高二上·山西运城芮城县芮城中学·期末)已知数列的前项和为，且，则（    ） A．188 B．189 C．190 D．191 【答案】B 【分析】由通项公式结合分组求和、等差数列前项和公式即可求解； 【详解】因为 ， 所以. 故选：B. 56．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期性确定数列的周期，进而可得，利用周期性求. 【详解】因为是周期为4的周期数列，且， 所以，则. 故选：C 57．(23-24高二上·山西运城·期末)已知为等差数列的前n项和，，则下列选项正确的是（    ） A．数列是单调递增数列 B．当时，最大 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项性质，由，从而得，然后利用等差数列性质逐项判断即可求解. 【详解】对A：设数列的公差为，由，得， 又因为，所以，得，故A错误； 对B：因为，，，所以当时，有最大值，故B错误； 对C：，，故C错误； 对D：，因为，所以，故D正确. 故选：D. 58．(23-24高二上·山西长治·期末)已知数列满足，，若成立，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】通过等差数列的定义求出的通项公式，再利用裂项相消法求出，进而确定n的最大值. 【详解】因为，整理得，且， 可知是以首项为3，公差为1的等差数列， 所以，可得， 当时，可得， 且符合上式，所以， 则， 解得，即的最大值为8． 故选：B． 59．(23-24高二上·山西吕梁孝义·月考)在等差数列中，，则（    ） A． B． C．1345 D．2345 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质可得，，进而可得公差和通项公式，利用通项公式代入运算即可. 【详解】因为，得， 又因为，得， 可得数列的公差，则， 所以． 故选：A． 60．(22-23高二下·山西晋中平遥县第二中学校·月考)已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】D 【分析】利用等差数列性质“若则”和等差数列前项和公式计算可得答案. 【详解】因为，， 所以 ， 可得， 则 故选：D. 61．(24-25高二上·山西·期末)已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】AC 【分析】由的递推公式可判断A，由可判断B，确定数列中含的个数，可判断CD； 【详解】对于A：由， 可得：， 所以：， 所以，正确， 对于B： 所以， 即是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以 则，不是等比数列，错误； 对于C：数列的第106项为213， 又，，，，，，， 所以， 所以的前项和为 ， C对，D错； 故选：AC 62．(24-25高二上·山西运城·期末)已知为数列的前项和，为数列的前项积，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当取最大值时， 【答案】AC 【分析】先根据题意求出等比数列的通项公式，根据等比数列的基础知识能判断,结合等比数列的通项公式及指数运算，等差数列的求和公式来判断C选项，最后结合二次函数指数函数的性质来判断D选项. 【详解】已知数列满足，可得该数列的首项为，公比为的等比数列. 根据等比数列的通项公式可知：，故A正确. 由等比数列的求和公式可知,故B错误. 因为为数列的前项积，所以，故C正确. 易知: 由函数的知识可知：当或时可取得最小值， 当取得最小值时，能取到最大值.故D错误. 故选：AC 63．(24-25高三上·山西吕梁·期末)已知数列的通项公式为为其前项和，则下列说法正确的是（    ） A．是首项为，公差为2的等差数列 B．是首项为，公差为1的等差数列 C．或8时，取得最小值 D．若，则正整数的最小值为15 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的定义判断A，利用等差数列求和公式得到，再利用等差数列的定义判断是等差数列，利用二次函数的性质判断C，求解一元二次不等式得到的取值范围判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则， 则，， 则是首项为，公差为2的等差数列，故A正确， 对于B，由等差数列求和公式得， 则，而， 故，， 则是首项为，公差为1的等差数列，故B正确， 对于C，由已证得， 由二次函数性质得当时，取最小值，故C错误， 对于D，令，即，解得， 则最小正整数为15，故D正确． 故选：ABD． 64．(24-25高二上·山西吕梁·期末)设数列满足，，，则 ． 【答案】 【分析】运用累加，结合等比数列求和计算即可. 【详解】∵，∴且， 当时，有 ， 则 ，① ∴，② ①－②得： ∴ 当时也符合上式， ∴，∴ 故答案为：. 65．(24-25高二上·山西名校·期末)若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则 ．若数列的前n项和为，则 ． 【答案】 6 【分析】根据的定义求得和，进而是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】由题意知，小于等于9且与9互质的正整数有，共6个， 所以； 小于等于的正整数有， 与不互质的数是2的倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 小于等于的正整数有， 与不互质的数是3倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故答案为：6； 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 66．(24-25高二上·山西阳泉·期末)在数学中连加符号是“”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都加起来，例如：．类似的在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．已知数列满足：，则 ． 【答案】1 【分析】由条件等式两边取倒数后得到的代数式，再根据本题定义，分别求出和即可得到答案. 【详解】，∴，∴ ∴， ∴，，，， ∴， ，， 【点睛】方法点睛，本题重点在于将条件等式进行化简，通过所求代数式的形式，知道了化简方向，一般遇到多项求和就需要用到裂项相消，多项求乘积需要比例得形式. 67．(24-25高二上·山西太原某校·月考)设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质得，再利用等差中项有，最后利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】正项等差数列中，， . 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 68．(24-25高二上·山西太原小店区第一中学校·月考)数列和的通项公式分别为，它们的公共项由小到大排成的数列是，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质可判断数列，均为等差数列，进而可知也为等差数列，由首项和公差即可求解. 【详解】由，知：数列，均为等差数列，且公差分别为4，6， 因此数列也为等差数列，且公差为12，由，故，所以． 故答案为： 69．(23-24高二上·山西吕梁孝义·月考)已知各项均为正数的数列的前n项和为恒成立，则数列的通项公式为 ;数列的前n项和等于 ． 【答案】 【分析】当时，求出，当时，，求出为等差数列，得到，当时，，求出，检验是否满足，写出表达式; 根据，利用分母有理化和裂项相消法，求解前n项和. 【详解】当时，，又,所以； 当时，，所以， 所以数列为等差数列， 所以, 又,所以, 所以当时，， 显然时上式成立，故； , 故数列的前n项和 ． 故答案为：；. 70．(22-23高二上·山西晋城第二中学校·月考)在数列，中，，，且，记数列{bn}的前n项和为Sn，且，则数列的最小值为 . 【答案】 【分析】可由题意构建为等差，求出通项公式，可由得出的通项公式， 再利用作差法求出新数列单调性即可求出最小值. 【详解】由可得，即数列为等差数列，设公差为， 首项，，可得，则， 即， 由，可得当时，， ，代入后符合，即的通项公式为， 设新数列，，， 当时，得，即时，是递增数列； 当时，得，即，综上所述是最小值，即数列的最小值为， 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 选填压轴精选 板块01 空间向量与立体几何 板块02 直线与圆 板块03 圆锥曲线 板块04 数列 空间向量与立体几何 地 城 板块01 1．(24-25高二上·山西名校·期末)如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P在线段上，Q在底面内，则下列结论正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则点Q的轨迹长度为 C．存在平面 D．平面截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 2．(23-24高二上·山西运城·期末)如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点G，使得平面EFG C．G为中点时，直线EG与所成角最小 D．点F到直线EG距离的最小值为 3．(22-23高二上·山西临汾·期末)如图，在直三棱柱中，分别是的中点，是与的交点，为线段上的动点（包含线段的端点），则以下说法正确的是（    ） A．为线段的中点时， B．存在点，使得∥平面 C．与所成角的正弦值为 D．与平面所成的角可能为 4．(25-26高二上·山西晋中平遥县第二中学校·月考)已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则下列说法错误的是（   ） A．当，，时，平面 B．当，时，异面直线与所成的角为45° C．当，时， D．当时，线段的长度最小值为 5．(25-26高二上·山西晋中部分学校·)已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点（不含端点），则当三棱锥外接球半径最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 6．(22-23高二下·山西吕梁名师高级中学校·开学考)如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法错误的是（    ） A．当运动时，不存在点使得 B．当运动时，不存在点使得 C．当运动时，二面角的最大值为 D．当运动时，二面角为定值 7．(22-23高二上·山西朔州平鲁区李林中学·月考)在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高二上·山西太原常青藤中学校、朔州平鲁区李林中学·)如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（ ） A．，，，四点共面 B．在方向上的投影向量为 C． D．直线与所成角的余弦值为 9．如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（    ） A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值 B．对于任意，平面 C．动点到直线的距离最小值为 D．满足的的轨迹长度为 10．(24-25高二上·山西大同·期中)在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 11．(23-24高二下·山西太原小店区山西百校联考·期末)如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．当时，若，则 C．当时，直线与直线所成角的大小为 D．当时，三棱锥的体积的最大值为 12．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若的外心为，则为定值2 C．若，则点的轨迹长度为 D．若且，则存在点，使得的最小值为 13．(23-24高二上·山西运城稷山县稷山中学·月考)如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（    ）．    A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 14．(23-24高二上·山西孝义·月考)在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．平面平面 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，存在点，使得 D．当时，存在点，使得平面 15．(23-24高二上·山西运城教育发展联盟·调研)已知正方体棱长为为棱中点，为正方形上的动点，则（    ） A．满足的点的轨迹长度为 B．满足平面的点的轨迹长度为 C．存在点，使得平面经过点 D．存在点满足 16．(25-26高二上·山西晋中平遥县第二中学校·月考)已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为 . 17．(24-25高二·山西山西大学附属中学校·月考)在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为 . 18．(22-23高二上·山西晋城第一中学校·月考)阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 地 城 板块02 直线与圆 19．(25-26高二上·山西晋中部分学校·)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则当面积取最大值时，（   ） A． B． C． D． 20．(24-25高二上·山西·期末)为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（   ） A． B．2 C． D．1 21．(23-24高三上·THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试·)已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．(25-26高二上·山西山西大学附属中学·期中)若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．(25-26高二上·山西太原·期中)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 24．(25-26高二上·山西晋中部分学校·)圆：与圆：公切线的条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 25．(25-26高二上·山西晋中·期中)已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 26．(25-26高二上·山西卓越大联考·期中)已知圆与圆.则下列结论正确的是（   ） A．若圆与圆内切，则 B．当时，圆与圆相交，且公共弦所在的直线方程为 C．若为圆上一动点，则的最大值为 D．若、是圆上的两点，且，在直线上存在点，使得，则实数的取值范围为 27．(23-24高二上·山西太原·期中)已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为 D．过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为 28．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ） A．点恒在以线段为直径的圆上 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 29．(25-26高二上·山西太原·期中)平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为 ． 30．(25-26高二上·山西吕梁离石区吕梁第一中学·月考)如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成.若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为 . 31．(19-20高二上·山西·期末)给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是； （2）点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有个点到直线的距离为； （4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切. 其中正确的命题有 .（把所有正确的命题的序号都填上） 圆锥曲线 地 城 板块03 32．(24-25高二上·山西名校·期末)已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 33．(24-25高二上·山西吕梁·期末)下面四个选项中，正确的是（    ） A．双曲线绕坐标原点O逆时针旋转得到曲线 B．曲线是由双曲线绕原点O顺时针旋转得到的 C．曲线的离心率为 D．曲线的渐近线方程是 34．(24-25高二上·山西晋中·期末)已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 35．(23-24高二上·山西太原·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D． 37．(20-21高二下·山西·)如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．(19-20高二上·山西运城·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（    ） A． B． C． D． 39．(24-25高二上·山西阳泉·期末)已知双曲线的左顶点为，右顶点为，第一象限的点在上，且点不与点重合，若直线与直线的斜率分别为，则下列命题中正确的是（    ） A．存在点，使 B．存在点，使 C．对任意点，均有 D．对任意点，均有 40．(24-25高二上·山西三晋卓越联盟·)已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（    ）． A．C的离心率为2 B． C．的面积为4 D．的周长为18 41．(24-25高二上·山西现代双语学校南校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 42．(24-25高二上·山西太原山西大学附属中学校·月考)已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．若，则外接圆的面积为 D．的最小值为 43．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则的面积为 44．(24-25高二上·山西大同·期中)已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ） A．若的纵坐标为2，则 B．若直线过点，则的最小值为4 C．若，则直线恒过定点 D．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 45．(23-24高二上·山西太原·期末)已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 46．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 47．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，下列说法正确的是（    ） A．若椭圆上存在点，使，且，则 B．若的最大值为6，则 C．若的方程为是线段的中点，，则 D．若关于直线的对称点在椭圆上，则的离心率为 48．(24-25高二上·山西太原第五中学·月考)已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为 . 49．(23-24高二下·山西长治·期末)已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 . 50．(23-24高二上·山西朔州怀仁·调研)已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点，为坐标原点.有下列结论： ①四边形是平行四边形； ②若轴，垂足为，则直线的斜率为； ③若，则四边形的面积为； ④若△为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 . 51．(23-24高二上·山西太原·期中)已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ． 52．(22-23高二下·山西应县第一中学校·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，且点A在x轴下方.设，，的内切圆的半径分别 为，，.若椭圆C的离心率为，且，则直线l的斜率为 . 53．(22-23高二上·山西运城教育发展联盟·调研)已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率 ． 地 城 板块04 数列 54．(24-25高二上·山西·期末)已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 55．(24-25高二上·山西运城芮城县芮城中学·期末)已知数列的前项和为，且，则（    ） A．188 B．189 C．190 D．191 56．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 57．(23-24高二上·山西运城·期末)已知为等差数列的前n项和，，则下列选项正确的是（    ） A．数列是单调递增数列 B．当时，最大 C． D． 58．(23-24高二上·山西长治·期末)已知数列满足，，若成立，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 59．(23-24高二上·山西吕梁孝义·月考)在等差数列中，，则（    ） A． B． C．1345 D．2345 60．(22-23高二下·山西晋中平遥县第二中学校·月考)已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 61．(24-25高二上·山西·期末)已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C． D． 62．(24-25高二上·山西运城·期末)已知为数列的前项和，为数列的前项积，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当取最大值时， 63．(24-25高三上·山西吕梁·期末)已知数列的通项公式为为其前项和，则下列说法正确的是（    ） A．是首项为，公差为2的等差数列 B．是首项为，公差为1的等差数列 C．或8时，取得最小值 D．若，则正整数的最小值为15 64．(24-25高二上·山西吕梁·期末)设数列满足，，，则 ． 65．(24-25高二上·山西名校·期末)若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则 ．若数列的前n项和为，则 ． 66．(24-25高二上·山西阳泉·期末)在数学中连加符号是“”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都加起来，例如：．类似的在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．已知数列满足：，则 ． 67．(24-25高二上·山西太原某校·月考)设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 . 68．(24-25高二上·山西太原小店区第一中学校·月考)数列和的通项公式分别为，它们的公共项由小到大排成的数列是，则的通项公式为 ． 69．(23-24高二上·山西吕梁孝义·月考)已知各项均为正数的数列的前n项和为恒成立，则数列的通项公式为 ;数列的前n项和等于 ． 70．(22-23高二上·山西晋城第二中学校·月考)在数列，中，，，且，记数列{bn}的前n项和为Sn，且，则数列的最小值为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $