专题03 圆与方程（5大题型）（期末真题汇编 山西专用）高二数学上学期

专题03 圆与方程（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 弦长相关问题 考点05 切线相关问题 圆的方程 地 城 考点01 1．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得点在圆外，由此列出不等式求出范围. 【详解】依题意，得点在圆外，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 3．（24-25高二上·山西·期末）为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设长得到点坐标，设两机器人相遇点，由速度关系得到等量关系，求得点的轨迹方程，由题意得到圆与直线相切，由点到直线的距离等于半径得到等量关系，解得参数的值，再验证结果即可. 【详解】设，因为在第一象限，且直线的倾斜角为，所以， 设机器人甲在点处追上机器人乙，由机器人甲的速度是机器人乙的3倍，得， 所以，化简可得， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则圆在竞技区（含直线）内，即直线与圆相切或相离， 又点到直线的距离， 所以，解得或， 当时，在安全区，不满足要求， 所以，即长度的最大值是2. 故选：B. 【点睛】思路点睛，本题是点的轨迹方程以及直线与圆相切的综合运用，本题通过速度得到路程的关系，找到两个机器人相遇点的轨迹方程是解题关键，由在竞技区（含直线）内机器人甲一定能追上机器人乙，说明交点不能超过直线，即相切. 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此确定圆心坐标及半径. 【详解】圆的方程可化为. 所以圆心的坐标为，半径为， 故选：B. 5．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 6．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离 ，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论． 【详解】记双曲线的右焦点为，所以 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 7．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算得出椭圆的长轴长，即可得出以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，即可得出该圆的最小面积. 【详解】由题意知该椭圆的长轴长为， 以16为弦长的圆的最小半径为8， 所以圆的最小面积为， 故选：D． 8．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆、的圆心和半径，再由两圆没有公共点列不等式求解作答. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ， 因圆、没有公共点，则有或， 即或，又，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 9．（24-25高二上·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（    ） A．曲线表示圆 B．过点作圆的切线，其切线长为 C．过圆与可作4条公切线 D．直线的倾斜角范围是 【答案】BCD 【分析】将曲线方程配方可判断A；利用切线长公式求出切线的长可判断B；判断两圆的位置关系可判断C；求出斜率的范围，可得倾斜角的范围，从而可判断D. 【详解】对A选项，曲线可化为，不是圆，所以A错误； 对B选项，切线长为 ，所以B正确； 对C选项，因为圆的圆心坐标为，半径为2， 的圆心坐标为，半径为1， 所以两圆圆心距为大于两半径之和， 所以两圆相离，可作4条公切线，所以C正确； 对D选项，设直线的倾斜角的倾斜角为，， 因为直线的斜率，所以倾斜角范围．所以D正确， 故选：BCD. 10．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知两圆，直线，则（    ） A．圆的面积为 B．圆的圆心为 C．圆与直线相切 D．圆与圆外切 【答案】AD 【分析】由圆的一般方程写出圆的圆心与半径，运用几何法比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断直线与圆的位置关系，比较两圆心距与两圆的半径之和、半径之差的绝对值的大小来判断圆与圆的位置关系. 【详解】解：对于选项A，由题意得，圆的半径为3，所以圆的面积为，故选项A正确； 对于选项B，∵圆：，即：， ∴圆的圆心为 ，半径，故选项B错误； 对于选项C，由题得，圆的圆心为 ，半径， 所以圆心到直线l的距离为：，则 ，所以圆与直线相交，故选项C错误； 对于选项D，由题得，，所以圆与圆外切，故选项D正确. 故选：AD. 11．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 12．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 【答案】 【分析】根据中点坐标公式求得圆心坐标，结合两点之间的距离公式即可求得半径，则问题得解. 【详解】根据题意，，即圆心坐标为； 则圆的半径， 故所求圆的方程为：. 故答案为：. 13．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知点是椭圆 上的两点.且直线恰好平分圆 ，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，，则.由已知可推得，根据，可得出，然后即可求出离心率. 【详解】设，. 依题意有，两式相减得，所以. 因直线恰好平分圆，则， 则，. 由已知，， 所以，，即. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 14．（21-22高二上·山西朔州·期末）若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据点与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆心为，半径. 由于，所以原点在圆外， 所以的最大值为. 故答案为： 15．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知点、，以线段为直径的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】求出的中点坐标即为圆心，求出线段长度的一半即为半径，即可得圆的标准方程. 【详解】因为点、， 所以线段的中点坐标为， 因为，所以以线段为直径的圆的半径为， 所以以线段AB为直径的圆的标准方程是. 故答案为：. 16．（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，，M为线段AB的中点，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】因为M是AB的中点，所以，所以M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得答案. 【详解】当（或）中有一个在原点处时，则. 当均不在原点处时，三点构成以O为直角顶点的直角三角形. 由M为线段AB的中点，则 所以，则M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，其方程为： 故答案为： 17．（24-25高二上·山西太原·期末）已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程，并说明曲线C的形状； (2)若双曲线E的右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程. 【答案】(1)，曲线C是以为圆心，为半径的圆 (2) 【分析】（1）设，根据两点间距离公式得到方程，化简即可求解. （2）由（1）可设双曲线E的方程为（，），且，结合点到直线的距离公式与双曲线渐近线方程，即可求解. 【详解】（1）设，由题意得， 化简并整理可得曲线C的方程， ∴曲线C是以为圆心，为半径的圆. （2）由（1）可设双曲线E的方程为（，），， 圆心到双曲线E的渐近线的距离， ∴，，∴双曲线E的标准方程为. 18．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合方程表示圆的条件，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到圆心，半径为，得到，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是. （2）由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以. 19．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得. （2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程. 【详解】（1）圆：的圆心，半径 由点在圆内，得，解得， 所以的取值范围为. （2）显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2， 则直线是过点的圆的切线； 当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为， 由，解得，切线方程为，即， 所以圆的切线方程为或. 20．（23-24高二上·山西运城·期末）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，求得圆心和半径，即可求得结果； （2）设直线方程为，利用弦长公式，求解即可. 【详解】（1）设圆C的标准方程为 圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点， ，解方程组得； 所以圆C的标准方程为. （2）设直线的方程为：， 圆心到直线l的距离， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或 21．（22-23高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 【答案】(1)答案见解析 (2)米 【分析】 （1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可； （2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度. 【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为 易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得， 则该圆弧所在圆的一般方程为. （2）解：令代入圆的方程得，得或（舍）， 由于隧道的总高度为米，且（米）， 因此，车辆通过隧道的限制高度为米. 22．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求经过点A，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)求过点B的圆C的切线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，代入点坐标，求解即可.（2）设圆心坐标，借助于，解出C点坐标，利用直线和切线垂直求切线的斜率，进而写出切线方程. 【详解】（1）经过点A，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时， 设直线的方程为，代入点得，，即， 即直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为， 将点代入解得，即直线的方程为 ∴所求直线的方程为或； （2）因圆心C在直线上，则设圆心， 又圆C经过，两点，于是得圆C的半径， 即有，解得，圆心，∴， ∴，∴切线l的方程为：，即. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 23．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知曲线（）和直线有且仅有一个公共点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】法一，由圆心到直线的距离等于半径即可求解，法二，由图像判断斜率大于0，结合选项判断即可； 【详解】易知，直线过定点 ，曲线表示圆心为 ， 半径为2的上半圆，定点在半圆所在的圆外． 解法一：由与有且仅有一个公共点时，与半圆相切，此时圆心到直线的距离 ，解得 ，由图知， 故选：C． 解法二：当和有且仅有一个公共点时，存在，且，结合选项， 故选：C． 24．（24-25高二上·山西运城·期末）过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得点在圆外，由此列出不等式求出范围. 【详解】依题意，得点在圆外，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 25．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据曲线的方程确定为以为圆心，2为半径的下半圆，进一步利用经过定点的直线系和曲线的交点确定直线的斜率，最后确定实数k的取值范围． 【详解】 ,所以直线恒过定点，且斜率为； 曲线，整理得， 故该曲线是以为圆心，2为半径的下半圆， 如图所示，令，代入，整理得，解得或； 故， ，所以直线与曲线有交点，只需或即可， 故选：B. 26．（23-24高二上·山西朔州·期末）战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】先得到关于轴的对称点，然后根据反射光线经过，设出反射光线的方程，根据反射光线与圆相切列出关于的方程，则结果可求. 【详解】如图，设点与点关于轴对称，则点的坐标为， 反射光线所在直线经过点，且与圆相切， 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径， 则由圆心到反射光线所在直线的距离等于半径，可得， 即，解得或. 故选：A. 27．（21-22高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可. 【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则. 故选：C. 28．（21-22高二上·山西朔州·期末）若直线与圆只有一个公共点，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，化简求得的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切， 所以. 故选：D 29．（21-22高二上·山西晋中·期末）若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据题意得定点为抛物线的焦点，为准线，进而根据抛物线的定义判断即可. 【详解】解：由题知，定点为抛物线的焦点，为准线， 因为动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点， 所以根据抛物线的定义得动圆的圆心到直线的距离等于圆心到定点，即圆心到直线的距离等于动圆的半径， 所以动圆与直线相切. 故选：B 30．（21-22高二上·山西大同·期末）已知点P在圆M：上，点，，则最小和最大时分别为（    ） A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135° 【答案】B 【分析】作出图像，由图可得当与圆相切时对应的最大和最小，再根据相切求角度即可. 【详解】 如图所示，当与圆相切时对应的最大和最小，设最小时切于，最大时切于， 由，可得，所以，同理得 由点，，可知， 所以， . 故选：B. 31．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，结合图象求得直线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为. 依圆的知识可知，四点P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，所以 ，而， 当直线PC⊥l时，最小，此时最小. 结合图象可知，此时切点为，所以直线的方程为，即. 故选：A    32．（20-21高二上·山西吕梁·期末）若直线与圆有两个公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得圆心到直线的距离，解不等式即可得解. 【详解】圆，所以圆心为，半径为， 由题意可知圆心到直线的距离，化简得， 解得. 故选：D. 33．（19-20高二上·山西·期末）给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是； （2）点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有个点到直线的距离为； （4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切. 其中正确的命题有 .（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】（2）（3）（4） 【解析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断． 【详解】（1）由于直线与线段AB有公共点，因此k的范围是，（1）错； （2）的中点坐标为，，即中点在直线上，又，直线的斜率是2，相乘等于，与直线垂直，（2）正确； （3）圆心C到直线l的距离为1，圆半径为2，与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切，因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确； （4）直线过抛物线的焦点F(1,0)，直线是抛物线的准线，设，由抛物线定义得，的中点到直线的距离为，∴以为直径的圆恰好与直线相切.（4）正确． 故答案为：（2）（3）（4）． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系等知识，在求直线与线段有公共点时，要研究斜率不存在的直线是否与线段有公共点，以确定直线斜率范围是两斜率之间，还是两斜率之外． 34．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值； (3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程． 【答案】(1)相离 (2)最大值为，最小值为 (3)或 【分析】(1)判断圆心到直线的距离与半径的大小即可； (2)由(1)可知直线与圆相离，此时圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，利用公式即可求解； (3)圆与圆相切，分为内切和外切两种情况去求出半径，再写出圆的标准方程即可. 【详解】（1）圆可化为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离； （2）由(1)可知圆心到直线的距离， 圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为； （3） 设圆的半径为， 两圆相切，且， 当圆与圆外切时，，当圆与圆内切时，， 圆心为， 圆的方程为或. 35．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆过点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率不存在时，得到直线的方程，求出点的坐标，可证得；当直线的斜率存在时，设方程为，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与向量数量积运算的坐标表示，证明即可． 【详解】（1）由题意知，解得，， 所以椭圆的标准方程是； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或． 若直线的方程为，不妨设，，所以，所以； 若直线的方程为，不妨设，，所以，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 又直线与圆相切，所以，即． 设，， 由，得， 所以， ，， 所以 ，所以．    综上，以为直径的圆过原点． 36．（19-20高二上·山西吕梁·期末）已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动. (1)求线段AB的中点M的轨迹； (2)过B点的直线L与圆C有两个交点A，D.当时，求L的斜率. 【答案】(1)点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. (2) 【分析】(1) 设出A和M的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后可求线段AB的中点M的轨迹; (2) 由题意可知的斜率存在，设出其斜率, 结合 ，由弦心距和半径的关系得到弦心距，再由圆心到直线的距离公式列式求出直线的斜率. 【详解】（1）设，， 由中点公式得 ， 因为A在圆C上，所以，即， 点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； （2）设L的斜率为k，则L的方程为，即， 因为，为等腰直角三角形， 有题意知，圆心到L的距离为. 由点到直线的距离公式得， ∴. ∴，解得. 37．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知圆. (1)若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)求与圆和直线都相切的最小圆的方程. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据题意设出直线的方程，然后根据直线与圆相切，即可求出答案； （2）首先根据题意判断出最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为， 然后设出最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，从而可求出答案. 【详解】（1）因为直线不过原点，设直线的方程为， 圆的标准方程为， 若直线与圆相切，则，即，解得或者3， 所以直线的方程为或者； （2）因为，所以直线与圆相离， 所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上， 即最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为， 设最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 所以，即， 解得(舍)或， 所以最小的圆的方程为. 圆与圆的位置关系 地 城 考点03 38．（23-24高二上·山西大同·期末）设圆，圆，则是两圆相切的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据两圆相切求出，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由题可得圆的圆心坐标为，半径为2， 圆的圆心坐标为，半径为， 故圆心距， 因为两圆相切可分为外切和内切， 当两圆外切时，圆心距，解得； 当两圆内切时，圆心距，解得，或（舍去）， 所以是两圆相切的充分不必要条件. 故选：B． 39．（20-21高二上·山西长治·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】根据两圆的圆心距离来判断两圆关系. 【详解】两圆心间的距离为，两圆的半径分别为2,3，而3-2=1<4<3+2=5，故两圆相交. 故选：B 40．（19-20高二上·山西运城·期末）圆与圆的位置关系为 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】C 【解析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径和与差的关系，判断两个圆的位置关系. 【详解】解：圆的圆心，半径为1； 的圆心，半径为1， 两圆的圆心距为，恰好为两个圆的半径和， 所以两个圆外切，故选C. 【点睛】本题考查两个圆的位置关系的判断，求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键. 41．（19-20高二上·山西运城·期末）圆与圆恰有两条公切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆与圆恰有两条公切线可得出两圆相交，则有，建立不等式算出a的范围即可 【详解】将方程变形为 所以圆的圆心为， 圆的圆心为， 因为圆与圆恰有两条公切线 所以圆与圆相交，则有 所以 解得且 故选：C 【点睛】若两圆外离，则有4条公切线 若两圆外切，则有3条公切线 若两圆相交，则有2条公切线 若两圆内切，则有2条公切线 若两圆内含，则无公切线. 42．（23-24高二上·山西运城·期末）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆有3条公切线，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆公共弦长为，则 D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 【答案】ABD 【分析】选项A，由两圆有条公切线，则两圆外切，由两圆圆心距与半径关系得；选项B，若两圆相交，由两圆方程作差得公共弦方程，先待定再验证相交可知；选项C，由半弦长、半径及圆心距关系可得；选项D，结合图形，由，可得等量关系求解. 【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径， 设圆为圆，圆的圆心为，半径， . A选项，若两圆有3条公切线，则两圆外切， 所以，A选项正确； B选项，由两式相减并化简得， 则， 此时，满足两圆相交，B选项正确； C选项，由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以， 即，则解得或，C选项错误. D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为， 根据圆的几何性质可知， 所以，D选项正确. 故选：ABD    43．（24-25高二上·山西运城·期末）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条. 【答案】 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为， 的圆心坐标为，半径为， 则圆心距为， 故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条， 故答案为：3 44．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系为 ． 【答案】相交 【分析】根据圆的位置关系直接得出. 【详解】根据两圆的方程， 得，，， ， 两圆相交． 故答案为：相交. 45．（21-22高二上·山西吕梁·期末）写出一个同时满足下列条件①②③的圆C的标准方程： ． ①圆C的圆心在第一象限；②圆C与x轴相切；③圆C与圆外切． 【答案】(答案不唯一，但圆心坐标需满足，) 【分析】首先设圆的圆心和半径，根据条件得到关于的方程组，即可求解. 【详解】设圆心坐标为，由①可知，半径为， 由②③可知，整理可得， 当时，，， 所以其中一个同时满足条件①②③的圆的标准方程是. 故答案为：(答案不唯一，但圆心坐标需满足，) 46．（19-20高二上·山西·期末）以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是 . 【答案】 【解析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径． 【详解】设所求圆半径为，则由题意，， 所以所求圆方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径． 47．（18-19高二上·山西运城·期末）已知圆：. （1）若直线：与圆相切，求的值； （2）若圆：与圆相外切，求的值. 【答案】(1) 或.(2) . 【分析】（1）根据圆的一般方程，化为标准方程形式，求出圆心坐标和半径，利用点到圆切线的距离等于半径，求出的值； （2）根据两圆相外切时，两圆半径和等于两圆的圆心距，求出的值. 【详解】（1）由圆的方程为，即，∴圆心，半径为. 又∵直线：与圆相切，∴圆心到直线的距离，即， 解得或. （2）由题得，圆心，因为圆与圆相外切， 所以，又∵，∴解得. 【点睛】本题考查了圆的切线性质、圆与圆相外切的性质，考查了运算能力. 48．（25-26高二上·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆 ，圆，且． (1)判断圆与圆的位置关系； (2)若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】(1)相交 (2)证明见解析 【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标及半径，结合新定义判断关系即可； （2）根据（1）的结论得出坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理得出相应坐标关系式，并含参表示两直线与的方程，作商计算交点横坐标即可. 【详解】（1）易得圆的标准方程为，其半径， ， 或（舍去），圆的圆心为，半径为， ， 圆与圆相交； （2）由（1）得圆， 由得， 直线的方程为，直线的方程为， ， ， 直线与的交点在定直线上． 49．（24-25高二上·山西大同·阶段练习）已知圆与圆，则当两圆圆心之间的距离最短时，圆与圆的位置关系如何？ 【答案】圆与圆的位置关系是内含. 【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心距可求出最短距离，即可判断. 【详解】把两圆的方程化为标准方程，得圆，圆， 则两圆圆心的坐标分别为，，半径分别为，， 所以两圆的圆心距， 所以当时，有最小值，且，此时，所以圆与圆的位置关系是内含. 50．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知的边所在的直线方程分别为． (1)求以点A为圆心，与圆相切的圆的方程； (2)若为边的中点，求边所在的直线方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出A点坐标，设出圆A的方程，讨论圆A和圆D外切和内切情况，求得半径，即可得答案； （2）设，根据中点坐标公式表示出C点坐标，利用解方程组求得的值，即可求得边所在的直线方程. 【详解】（1）由，得，所以点， 满足，即A在圆外，      由题意知，所以． 设圆A的方程为， 当两圆外切时，有，所以， 故所求圆的方程为； 当两圆内切时，有，所以，故所求圆的方程为． 综上所述，所求圆的方程为或． （2）设，因为点B在直线上，故，① 因为为边的中点，所以点C的坐标为， 又点C在直线上，所以，② ①②联立，解得，即， 故边所在的直线方程为， 化简，得，即边所在的直线方程为． 地 城 考点04 弦长相关问题 51．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，根圆的弦长求出，根据两点的距离公式求出，再求出即可. 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 52．（22-23高二上·山西阳泉·期末）圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得直线的方程，然后利用弦长公式求得. 【详解】直线AB的斜率为，又直线AB过点， 所以直线AB的方程为：，即， 圆的圆心为，半径， 圆心到直线AB：的距离为， 则． 故选：A. 53．（22-23高二上·山西晋城·期末）若直线经过第四象限，且被圆截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，利用垂径定理结合点到直线距离公式得到，得到倾斜角. 【详解】因为直线经过第四象限，故， 因为直线被圆截得的弦长为2，设圆心到直线距离为， 故，又， 所以，结合，，解得：， 设该直线的倾斜角为，，故， 解得：， 所以该直线的倾斜角为； 故选：C 54．（21-22高二上·山西晋中·期末）若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据弦长求得的关系式，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 所以直线过圆心， 即， 由于为正数，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A 55．（21-22高二上·山西大同·期末）若直线y＝kx＋4经过第三象限，且被圆截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出弦长，由题意可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角． 【详解】由题意可得圆的半径为2，由弦长可得圆心到直线的距离， 而圆心到直线的距离，解得：， 所以直线的倾斜角为：或， 又直线y＝kx＋4经过第三象限， ∴倾斜角为锐角，即直线的倾斜角为. 故选：B 56．（20-21高二上·山西吕梁·期末）若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线C：的一条渐近线为，先求得圆的圆心到渐近线的距离d，再根据所截得的弦长为2，由求解. 【详解】设双曲线C：的一条渐近线为， 圆的圆心到渐近线的距离为：， 因为所截得的弦长为2， 所以，化简得， 所以C的离心率为， 故选：B 57．（24-25高二上·山西·期末）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【分析】由圆心到直线的距离可判断A；最短的弦长为垂直与该直径的弦长可判断B；当的值最小时，则，可判断C；当时，切线长最小，可判断D． 【详解】 A：圆，， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，故A正确； B：设过点的直线方程为， 所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心的距离为， 最短弦长为，故B错误； C：当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确； D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确. 故选：ACD． 58．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．直线与轴正半轴和正半轴围成的三角形面积的最小值是 D．直线和圆相交于两点，则最小值是4 【答案】AD 【分析】利用直线平行、垂直的判定求参数判断A、B；求直线与坐标轴的交点，应用三角形面积公式及基本不等式求面积的最小值，注意取值条件，判断C；将直线化为，即可得定点计算求出的最大值即可得出最小值判断D. 【详解】A：由题意，，则，A对； B：由题意，，则，B错； C：由题意，直线与负半轴均有交点， 令，则，令，则，知， 所以直线与轴正半轴和正半轴围成的三角形面积， 则， 当且仅当时取等号，所以直线和正半轴和正半轴构成的三角形面积最小值是4，C错误； D：直线可化为，联立，直线恒过点， 则垂直于直线时，原点到直线的距离最大， 最大值为，则最小值是，D对. 故选：AD 59．（22-23高二上·山西晋中·期末）以抛物线上的动点为圆心，半径为2的圆与直线相交于两个不同的点，则线段长度的最大值为 . 【答案】 【分析】 先求得点到直线的距离的最小值，进而利用垂径定理求得线段长度的最大值. 【详解】设点，则点到直线的距离， 故当时，d取到最小值为， 此时有最大值 . 故答案为： 60．（21-22高二上·山西运城·期末）已知直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为 . 【答案】11或 【分析】利用垂径定理列方程即可求解. 【详解】圆的标准方程是，圆心的坐标为，半径为4. 因为，所以圆到直线的距离为2， 所以，解得或. 故答案为：11或 61．（19-20高二上·山西运城·期末）已知点为圆的弦的中点,则弦所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】求出圆的圆心和半径，由弦的性质可得,求出CP的斜率，可得AB的斜率，由点斜式求得直线AB的方程. 【详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，直线PC的斜率,又，可得,故弦MN所在直线方程为，即. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，弦中点及两直线垂直的条件，相对不难. 62．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果； （2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【详解】（1）圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为； （2）当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. 63．（22-23高二上·山西·期末）已知圆和直线. (1)证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交； (2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程； (3)已知点在圆C上，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把直线的方程变形后，根据直线恒过定点，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离,发现小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线与圆恒交于两点； （2）根据直线与圆相交弦长公式，可确定当圆心到直线的距离最大值时，弦长最小，即直线与垂直时，求得直线方程； （3）表示圆C上的点到的距离的平方，求其最值即转化为点与圆上的点的距离最大值的平方，结合圆的性质可求． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 令解得，所以直线l过定点， 而，即点在圆内部，所以直线l与圆C相交； （2）解：如图所示，过圆心作于，设所过定点为 由图可知圆心到直线的距离，且， 又直线l被圆C截得的弦长为，故当取最大值时，弦长最小 所以当，即直线时直线被圆C截得的弦长最小时， 又圆心，所以，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. （3）解：因为，表示圆C上的点到的距离的平方，因为圆心到原点的距离， 所以. 地 城 考点05 切线相关问题 64．（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值. 【详解】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D 65．（22-23高二上·山西晋中·期中）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线,切点分别为A，B，根据切线的性质可得过点P，A，B的圆是以直径的圆，设其方程，联立方程组得出的直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设圆的动点为，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则过点P，A，B的圆是以直径的圆，该圆的方程为． 由,可得的直线方程为． 原点到直线的距离为， 故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为， 故选:B． 66．（21-22高二上·山西朔州·期中）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线斜率不存在时，直线为，和圆不相切；当直线斜率存在时，设出直线方程，根据点到直线的距离为，得到关于的方程，解出方程即可得到或，进而得到直线方程. 【详解】由题意可知，在圆的外部，故点不是切点； 圆 当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到切线的距离为，此时直线和圆不相切； 作圆的切线，斜率存在，设为， 则切线方程为，即． 圆，圆心到切线的距离为 ， 化简可得， 解得或， ∴切线方程为或， 化简可得或. 故选:C． 67．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知动点在椭圆C：上，为椭圆C的右焦点，若点满足．且，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，得，点在以为圆心，为半径的圆上，为圆的切线，当最小时，切线长最小，作出图形，可判断的最小值，再利用勾股定理求解. 【详解】由题意，在椭圆中，点在以为圆心，为半径的圆上，为圆的切线，当最小时，切线长最小，由图可知，当点为右顶点时，最小，最小值为，此时. 故选：A.    【点睛】解答本题的关键在于判断出动点的轨迹为圆，然后求的最小值即求圆的切线长的最小值，再利用椭圆的性质，数形结合判断. 68．（20-21高二上·山西长治·阶段练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线方程与垂直可求出切线斜率，由点斜式方程求解即可. 【详解】圆心为，，故切线的斜率为 故切线方程为： 即 故选：C 69．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆的方程作差可得到两圆的公共弦所在直线方程，联立公共弦所在直线方程与圆，求出交点，即得答案. 【详解】设圆，圆相交于两点， 把圆，化为一般式， ：， ， ， ：， ， ， 两圆作差得： ， ， 公共弦所在直线方程为 . 联立直线方程与圆得：， 解得或， 交点为 和 . . 故选：C    70．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【详解】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 71．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）圆与圆相交于两点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆与圆， 将两圆方程相减整理得直线的方程：， 又，即， 圆心为，半径为， 所以到直线的距离为， 所以. 故选：B. 72．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（ ） A．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 B．已知点在圆上，则的最大值是4 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 【答案】BD 【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B设，利用圆心到直线的距离不等于半径得到不等式，求出的范围；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断． 【详解】选项A：圆的圆心为 ，半径 ， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故A错误； 选项B：圆的圆心为，半径， 设，则，解得， 所以的最大值是4，故B正确； 选项C：圆的圆心 ，半径 ， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形， 所以 ， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故C错误； 选项D：设点为直线上一点， 则以，为直径的圆的方程为，即：， 两圆的方程相减得到直线方程为， 即，令，解得， 所以直线过定点，故D正确． 故选：BD． 73．（24-25高二上·山西大同·期中）已知圆，为圆上一点，点，，则（    ） A．当最小时， B．当最大时， C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据圆切线的性质，数形结合判断A、B；问题化为直线与圆有公共点，求参数范围判断C；问题化为点与点距离的平方判断D. 【详解】由，知且半径为，如下图示， 当取得最大值或最小值时，直线AP与圆相切， 利用切线的性质，两种情况的切线长均为，A，B正确； 设，则点在直线上， 又在圆上，故直线与圆有公共点， 所以，即，解得，故C错误； 表示点与点距离的平方， 点与点的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 74．（22-23高二上·山西运城·期末）圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹方程为 B．点P与圆M上点的距离的最小值为 C．以PM为直径的圆过定点 D．若直线PA与圆M切于点A，则 【答案】ABC 【分析】由题意可知过圆心，代入即可得作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果. 【详解】圆M：配方得： ， 圆M关于直线对称，直线过圆心. ,即 点P的轨迹方程为，A正确. 点P与圆M上点的距离的最小值的即为到直线的距离减去半径， 由于，则，B正确. 由，则在直线上，所以， 又，则， 则以PM为直径的圆过定点，C正确. 由于，要使取最小， 即取最小值，,，则D不正确. 故选：ABC. 75．（21-22高二上·山西长治·阶段练习）已知点在圆上，点，则下列选项正确的是（    ） A．到的距离小于8 B．到的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时 【答案】ACD 【分析】AB选项，到的距离的最大最小距离分别是圆心到的距离加上或减去半径得到，CD选项结合图像，计算切线长即可. 【详解】由直线的截距式方程马上得到，方程为： ，即，过圆心 作，垂足为，且和圆相交于，由点到直线的距离公式，，于是，如图所示，于是到的距离的范围是，由于，于是A正确，B错误； 的最大值最小值如图所示显然是恰好成为直线和圆的切点时取得，即在切点时，最小，即在切点时，最大，两处切线长都等于，CD选项都对. 故选：ACD 76．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 77．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 【答案】 【分析】由圆的几何性质可知，，利用勾股定理可求得的值. 【详解】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由已知可得， 由圆的几何性质可得，由勾股定理可得. 故答案为：. 78．（23-24高二上·山西朔州·期中）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理，结合直角三角形面积用表示，再借助点到直线的距离求出最小值. 【详解】圆：的圆心为，半径， 由过作圆的两条切线，切点分别为，，得，垂直平分， 因此，即有 设，则，显然当最小时，的值最大， 此时最小，又的最小值为点到直线的距离，即，， 所以的最小值为． 故答案为： 79．（21-22高二上·山西大同·阶段练习）过点作圆的切线，则切线长为 . 【答案】 【分析】求出圆心与点的距离，再利用勾股定理即可得出答案. 【详解】解：圆的圆心为，半径， 则圆心与点的距离， 所以切线长为. 故答案为：. 80．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知圆，点在直线上，过点作圆的两条切线，、为切点. （1）若点横坐标为，求直线的方程； （2）求切线长的最小值，及此时点的坐标. 【答案】（1）；（2）切线长的最小值为，此时点的坐标为. 【分析】（1）求出点的坐标，设点、，写出直线、的方程，将点的坐标代入两条切线方程，观察式子结构，说明点、所在的直线，进而可得出直线的方程； （2）利用勾股定理可得，可知当取最小值时，最小，可知，利用点到直线的距离公式可求得的最小值，求出此时直线的方程，将直线与直线的方程联立，可求得点的坐标. 【详解】（1）设点，则，解得，即点， 先证明：圆在其上一点处的切线方程为. 证明如下： 由于点在圆上，则， 圆心到直线的距离为， 且的坐标满足方程， 所以，圆在其上一点处的切线方程为. 由上可知，直线的方程为，同理可知，直线的方程为. 将点的坐标代入这两条直线方程并化简可得， 所以，点、的坐标满足方程， 而两点确定一条直线，因此，直线的方程为； （2）切线长，所以，当最小时，切线长最小， 当与直线垂直时，取得最小值，此时直线方程为， 则，. 联立，解得， 因此，切线长的最小值时，点的坐标为. 【点睛】方法点睛：求圆的切点弦所在直线的方法如下： （1）求出两切线与圆的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程； （2）写出两圆在切点（在圆上）处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程； （3）写出圆外一点为圆心，以圆外一点到切点的距离为半径的圆的方程，将两圆方程作差可得出切点弦所在直线的方程. 81．（20-21高二上·山西大同·期中）.已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）或；（2）过定点；定点，. 【解析】（1）设，解方程，即得解； （2）求出圆N方程：，解方程即得解. 【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设， 因为PA是圆M的一条切线，所以， 所以， 解得或， 所以点P的坐标为或. （2）设，因为， 所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 其方程为， 即， 由， 解得或， 所以圆过定点，. 【点睛】方法点睛：定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆与方程（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 弦长相关问题 考点05 切线相关问题 圆的方程 地 城 考点01 1．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西·期末）为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（   ） A． B．2 C． D．1 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 6．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 7．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（    ） A．曲线表示圆 B．过点作圆的切线，其切线长为 C．过圆与可作4条公切线 D．直线的倾斜角范围是 10．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知两圆，直线，则（    ） A．圆的面积为 B．圆的圆心为 C．圆与直线相切 D．圆与圆外切 11．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 12．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 13．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知点是椭圆 上的两点.且直线恰好平分圆 ，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 14．（21-22高二上·山西朔州·期末）若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为 ． 15．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知点、，以线段为直径的圆的标准方程是 . 16．（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，，M为线段AB的中点，则点M的轨迹方程为 ． 17．（24-25高二上·山西太原·期末）已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程，并说明曲线C的形状； (2)若双曲线E的右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程. 18．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 19．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 20．（23-24高二上·山西运城·期末）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 21．（22-23高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 22．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求经过点A，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)求过点B的圆C的切线方程. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 23．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知曲线（）和直线有且仅有一个公共点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 24．（24-25高二上·山西运城·期末）过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·山西朔州·期末）战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C． D． 27．（21-22高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（21-22高二上·山西朔州·期末）若直线与圆只有一个公共点，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 29．（21-22高二上·山西晋中·期末）若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 30．（21-22高二上·山西大同·期末）已知点P在圆M：上，点，，则最小和最大时分别为（    ） A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135° 31．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 32．（20-21高二上·山西吕梁·期末）若直线与圆有两个公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（19-20高二上·山西·期末）给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是； （2）点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有个点到直线的距离为； （4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切. 其中正确的命题有 .（把所有正确的命题的序号都填上） 34．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值； (3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程． 35．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆过点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点． 36．（19-20高二上·山西吕梁·期末）已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动. (1)求线段AB的中点M的轨迹； (2)过B点的直线L与圆C有两个交点A，D.当时，求L的斜率. 37．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知圆. (1)若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)求与圆和直线都相切的最小圆的方程. 38．（23-24高二上·山西大同·期末）设圆，圆，则是两圆相切的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 39．（20-21高二上·山西长治·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 40．（19-20高二上·山西运城·期末）圆与圆的位置关系为 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 41．（19-20高二上·山西运城·期末）圆与圆恰有两条公切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·山西运城·期末）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆有3条公切线，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆公共弦长为，则 D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 43．（24-25高二上·山西运城·期末）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条. 44．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系为 ． 45．（21-22高二上·山西吕梁·期末）写出一个同时满足下列条件①②③的圆C的标准方程： ． ①圆C的圆心在第一象限；②圆C与x轴相切；③圆C与圆外切． 46．（19-20高二上·山西·期末）以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是 . 47．（18-19高二上·山西运城·期末）已知圆：. （1）若直线：与圆相切，求的值； （2）若圆：与圆相外切，求的值. 48．（25-26高二上·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆 ，圆，且． (1)判断圆与圆的位置关系； (2)若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 49．（24-25高二上·山西大同·阶段练习）已知圆与圆，则当两圆圆心之间的距离最短时，圆与圆的位置关系如何？ 50．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知的边所在的直线方程分别为． (1)求以点A为圆心，与圆相切的圆的方程； (2)若为边的中点，求边所在的直线方程． 地 城 考点04 弦长相关问题 51．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 52．（22-23高二上·山西阳泉·期末）圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 53．（22-23高二上·山西晋城·期末）若直线经过第四象限，且被圆截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 54．（21-22高二上·山西晋中·期末）若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 55．（21-22高二上·山西大同·期末）若直线y＝kx＋4经过第三象限，且被圆截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 56．（20-21高二上·山西吕梁·期末）若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 57．（24-25高二上·山西·期末）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 58．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．直线与轴正半轴和正半轴围成的三角形面积的最小值是 D．直线和圆相交于两点，则最小值是4 59．（22-23高二上·山西晋中·期末）以抛物线上的动点为圆心，半径为2的圆与直线相交于两个不同的点，则线段长度的最大值为 . 60．（21-22高二上·山西运城·期末）已知直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为 . 61．（19-20高二上·山西运城·期末）已知点为圆的弦的中点,则弦所在直线的方程为 . 62．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 63．（22-23高二上·山西·期末）已知圆和直线. (1)证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交； (2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程； (3)已知点在圆C上，求的最大值. 地 城 考点05 切线相关问题 64．（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 65．（22-23高二上·山西晋中·期中）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（    ） A． B． C． D．4 66．（21-22高二上·山西朔州·期中）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 67．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知动点在椭圆C：上，为椭圆C的右焦点，若点满足．且，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．1 68．（20-21高二上·山西长治·阶段练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 69．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 70．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 72．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（ ） A．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 B．已知点在圆上，则的最大值是4 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 73．（24-25高二上·山西大同·期中）已知圆，为圆上一点，点，，则（    ） A．当最小时， B．当最大时， C．的取值范围为 D．的最小值为 74．（22-23高二上·山西运城·期末）圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹方程为 B．点P与圆M上点的距离的最小值为 C．以PM为直径的圆过定点 D．若直线PA与圆M切于点A，则 75．（21-22高二上·山西长治·阶段练习）已知点在圆上，点，则下列选项正确的是（    ） A．到的距离小于8 B．到的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时 76．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 77．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 79．（21-22高二上·山西大同·阶段练习）过点作圆的切线，则切线长为 . 80．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知圆，点在直线上，过点作圆的两条切线，、为切点. （1）若点横坐标为，求直线的方程； （2）求切线长的最小值，及此时点的坐标. 81．（20-21高二上·山西大同·期中）.已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $