专题07 数列（5大题型）（期末真题汇编 山西专用）高二数学上学期

专题07 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 数列的概念与简单的表示法 考点02 等差数列及其性质 考点03 等比数列及其性质 考点04 数列求和问题 考点05 数列不等式相关问题 数列的概念与简单的表示法 地 城 考点01 1．（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解. 【详解】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高二上·山西运城·期末）已知为等差数列的前n项和，，则下列选项正确的是（    ） A．数列是单调递增数列 B．当时，最大 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项性质，由，从而得，然后利用等差数列性质逐项判断即可求解. 【详解】对A：设数列的公差为，由，得， 又因为，所以，得，故A错误； 对B：因为，，，所以当时，有最大值，故B错误； 对C：，，故C错误； 对D：，因为，所以，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高二上·山西忻州·期末）若数列满足，，则（    ） A． B．11 C． D． 【答案】D 【分析】探索数列的周期性，根据数列的周期性求指定项. 【详解】因为 .所以数列周期为3的数列. 所以 ，所以 ， 故. 故选：D 4．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答案. 【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负， 分母为，分子为， 故该数列的一个通项公式可以为， 故选：D 5．（23-24高二上·山西朔州·期末）在数列中，，则等于（    ） A．-1 B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】由题意写出前面几项可得该数列是周期数列，由此即可得解. 【详解】由题意得，则由可得， 故数列的一个周期为3，从而. 故选：C. 6．（23-24高二上·山西长治·期末）在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察总结规律，直接可写出第12个数. 【详解】观察可得，数列的第个数可以写为，所以第12个数为： . 故选：D 7．（22-23高二上·山西大同·期末）在数列中，，，，设数列的前项和为，则（    ） A．6440 B．6702 C．6720 D．6740 【答案】D 【分析】根据，，及递推关系式，列举归纳可得是以6为周期的周期数列，是以3为周期的周期数列，从而利用周期性可得的值. 【详解】∵，， ∴，， 依次得，，，，，……， 故是以6为周期的周期数列，是以3为周期的周期数列， ∴. 故选：D. 8．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知数列满足，，则（    ） A．5 B．7 C．10 D．15 【答案】B 【分析】由递推关系求解即可. 【详解】解：因为，所以，. 故选：B 9．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】B 【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可. 【详解】数列，即数列， 由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列， 所以通项公式， 令，解得. 故选：B. 10．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】首先得到数列的周期，再计算的值. 【详解】由条件，可知，两式相加可得， 即，所以数列是以周期为的周期数列， . 故选：D 11．（21-22高二上·山西太原·期末）数学史上著名的“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列中，（m是正整数），若，则m所有可能的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析前6项均为偶数的情况求，排除B、C，再从A中选判断是否成立，即可确定正确答案. 【详解】由题设，若前6项均为偶数，则是公比为，首项为的等比数列，故，即为一个可能值，排除B、C； A：当，则，，，，，，即不可能为3，排除； 故选：D. 12．（21-22高二上·山西太原·期末）已知数列的前n项和，若，则数列的前n项和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用，求出，从而可求出，进而可求出数列的前n项和 【详解】当时，， 当时，，满足上式， 所以， 所以 ， 所以数列的前n项和是 故选：C 13．（23-24高二下·山西长治·期末）已知数列，满足，且，则（    ） A． B．当时，是等比数列 C．当时，是等差数列 D．当时，是递增数列 【答案】BCD 【分析】对于A，直接由已知得到，即可说明A错误；对于B，证明，结合即可验证；对于C，说明即可；对于D，验证，再利用即可验证. 【详解】对于A，由已知有，故A错误； 对于B，当时，由于，且，故是等比数列，故B正确； 对于C，当时，由，归纳即知. 所以，从而，故是等差数列，故C正确； 对于D，当时，由于，故. 所以，从而是递增数列，故D正确. 故选：BCD. 14．（23-24高二上·山西·期末）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据对于一次函数，二次函数及指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 由二次函数的单调性可得数列为递增数列； 对于B，因为， 由一次函数的单调性可得数列是递减数列； 对于C，因为， 由指数函数的单调性可得数列是递减数列； 对于D，因为， 当时，数列是递增数列， 当时， 数列为递增数列， 而，所以数列是递增数列. 故选：AD. 15．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据递推关系代入即可求解AB，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和，结合等比求和公式求解CD. 【详解】对于A选项， 取，得，又，所以， 取，得，所以，显然， 即数列一定不是等比数列，所以A错误； 对于B选项， 取，得，取，得，所以，所以B正确； 对于C，D选项， 由，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以， ，， ， 所以C，D均正确． 故选:BCD． 16．（24-25高二上·山西吕梁·期末）设数列满足，，，则 ． 【答案】 【分析】运用累加，结合等比数列求和计算即可. 【详解】∵，∴且， 当时，有 ， 则 ，① ∴，② ①－②得： ∴ 当时也符合上式， ∴，∴ 故答案为：. 17．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知数列的前项和为，若，且，则 . 【答案】4 【分析】由题意利用递推关系式确定数列为隔项等差数列，然后结合的值可得的值. 【详解】由题意可得：，， 两式作差可得：①，进一步有：②， 由①—②有：，故数列的偶数项为等差数列，且公差为2， 据此可得：，即：， 故答案为：4. 18．（24-25高二上·山西阳泉·期末）在数学中连加符号是“”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都加起来，例如：．类似的在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．已知数列满足：，则 ． 【答案】1 【分析】由条件等式两边取倒数后得到的代数式，再根据本题定义，分别求出和即可得到答案. 【详解】，∴，∴ ∴， ∴，，，， ∴， ，， 【点睛】方法点睛，本题重点在于将条件等式进行化简，通过所求代数式的形式，知道了化简方向，一般遇到多项求和就需要用到裂项相消，多项求乘积需要比例得形式. 19．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】由的关系对分类讨论即可求解. 【详解】当时，， 当时，不满足上式，所以. 故答案为：. 20．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列满足，则的通项公式 . 【答案】 【分析】分析和两种情况，根据题意运算求解即可. 【详解】因为， 若，可得； 若，则， 可得； 且符合上式，可得，所以. 故答案为：. 地 城 考点02 等差数列及其性质 21．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列为等差数列，公差为d，，，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】运用等差数列性质计算即可. 【详解】∵为等差数列，，∴． 故选：A 22．（24-25高二上·山西运城·期末）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．36 B．28 C．24 D．30 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得，解得， 又因为，所以， 所以， 故选：D 23．（24-25高二上·山西运城·期末）若数列满足，则数列的前50项和为（    ） A．2500 B．2550 C．2600 D．2650 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义可知数列是首项为，公差为的等差数列，再根据等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】由两式作差可得， 所以， 又，，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以的前50项和为， 故选：C 24．（24-25高二上·山西·期末）若3，，27成等差数列，则（   ） A．9 B．15 C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项可得答案. 【详解】若3，，27成等差数列，则， 解得. 故选：B. 25．（24-25高二上·山西运城·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．188 B．189 C．190 D．191 【答案】B 【分析】由通项公式结合分组求和、等差数列前项和公式即可求解； 【详解】因为 ， 所以. 故选：B. 26．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．188 B．189 C．190 D．191 【答案】B 【分析】由通项公式结合分组求和、等差数列前项和公式即可求解； 【详解】因为 ， 所以. 故选：B. 27．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B． C．2025 D．4050 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质计算可得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 则，所以. 故选：C. 28．（22-23高二上·山西太原·期末）已知等差数列中，，公差，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式：，进行求解即可. 【详解】由题意得， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，要熟记公式. 29．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 30．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过原点），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线结合共线向量的基本定理可求出的值，再利用等差数列的求和公式以及等差数列的基本性质可求得的值. 【详解】因为、、三点共线（该直线不过原点）， 设，即，可得， 又因为，则，，所以，， 因为等差数列的前项和为， 则. 故选：C. 31．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列的前项和为，且满足，，若，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据等差中项判断是等差数列， 然后由可得，由可得公差，即可求得. 【详解】因为，所以数列是等差数列，设公差为d， 则，可得， 又，可得， . 故选：C 32．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列性质求解可得. 【详解】等差数列中，因为， 所以，解得. 故选：B 33．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】通过等差数列的定义求出的通项公式，再利用裂项相消法求出，进而确定n的最大值. 【详解】因为，整理得，且， 可知是以首项为3，公差为1的等差数列， 所以，可得， 当时，可得， 且符合上式，所以， 则， 解得，即的最大值为8． 故选：B． 34．（24-25高二上·山西·期末）已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】AC 【分析】由的递推公式可判断A，由可判断B，确定数列中含的个数，可判断CD； 【详解】对于A：由， 可得：， 所以：， 所以，正确， 对于B： 所以， 即是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以 则，不是等比数列，错误； 对于C：数列的第106项为213， 又，，，，，，， 所以， 所以的前项和为 ， C对，D错； 故选：AC 35．（24-25高二上·山西运城·期末）已知为数列的前项和，为数列的前项积，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当取最大值时， 【答案】AC 【分析】先根据题意求出等比数列的通项公式，根据等比数列的基础知识能判断,结合等比数列的通项公式及指数运算，等差数列的求和公式来判断C选项，最后结合二次函数指数函数的性质来判断D选项. 【详解】已知数列满足，可得该数列的首项为，公比为的等比数列. 根据等比数列的通项公式可知：，故A正确. 由等比数列的求和公式可知,故B错误. 因为为数列的前项积，所以，故C正确. 易知: 由函数的知识可知：当或时可取得最小值， 当取得最小值时，能取到最大值.故D错误. 故选：AC 36．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列的首项为1 B． C． D．数列的公比为 【答案】BCD 【分析】根据得，不确定，故选项A错误，B正确；根据 ，得，选项C正确；根据可得选项D正确. 【详解】对于AB,设数列的公差为，由得， ∴，不确定，故A错误，B正确. 对于CD，设数列的公差为，由 ，得， ∴，∴，故 C正确，D正确. 故选：BCD. 37．（24-25高二上·山西·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时， ． 【答案】9 【分析】根据等差数列的性质可得以及，即可求解. 【详解】由可得，其中为公差， 由可得， 因此， 根据等差数列的性质得： 当时，；当时，. 因此当时，取得最小值， 故答案为：. 38．（22-23高二上·山西朔州·期末）设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列前n项和的性质直接求解即可. 【详解】由题意可得． 故答案为： 39．（2024高三下·全国·专题练习）已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】由化简得，从而求出是1为首项，2为公差的等差数列，从而可求解. 【详解】由得，则，当时，， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，即. 故答案为：. 40．（23-24高二上·山西运城·期末）已知等差数列的前n项和为，已知，则公差 ． 【答案】3 【分析】直接由等差数列的求和公式求解即可. 【详解】解：依题意，得，而，得， 故答案为：3 41．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知数列的前n项和公式为，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】由题意，可知当时，； 当时，. 又因为不满足，所以. 故答案为： 42．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知数列满足则数列的前项和 . 【答案】 【分析】由递推关系得出数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，然后由等差数列前项公式分组求和． 【详解】由题可知，当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以， 即隔项成等差数列，其中奇数项以为首项，以3为公差；偶数项以为首项，以3为公差， 所以 奇偶 . 故答案为：. 等比数列及其性质 地 城 考点03 43．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据等比数列的单调性判断时，的前n项积越来越大 ，当时，的前n项积越来越小 ，从而可得答案. 【详解】因为，所以数列是递减数列， ，， 所以 所以时，的前n项积越来越大 ， 当时，的前n项积越来越小 ， 所以当数列的前项积最大时的值为4． 故选：C． 44．（24-25高二上·山西运城·期末）在等比数列中，，则数列的公比是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式计算求解即可. 【详解】因为数列是等比数列，， 设公比为，所以，解得， 故选：C 45．（24-25高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】由等比数列的前项和公式和因式分解化简，求出的值，同理化简并求出的值，从而得到. 【详解】设等比数列的公比为， 由，显然， 则，即， 所以， 所以. 故选：C. 46．（24-25高二上·山西晋中·期末）设等比数列满足，，则公比（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】D 【分析】借助等比数列性质计算即可得. 【详解】由题意可得，即. 故选：D. 47．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质：等比数列的片断和成等比数列求解． 【详解】设，则， 因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为， 所以，即， 所以. 故选：B. 48．（21-22高二上·山西太原·期末）在等比数列中，，，是的前n项和，则（   ） A．63 B．48 C．31 D．15 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式，结合已知条件求基本量，进而由等比数列前n项和公式求. 【详解】令等比数列的公比为，则，， 解得，，所以. 故选：C 49．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知正项等比数列满足，则（　　） A．62 B．30或10 C．62或 D．30 【答案】A 【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前项和公式求出前项和. 【详解】设等比数列的公比为， 因为该正项等比数列满足， 所以，解得， 故. 故选：A. 50．（23-24高二上·山西运城·期末）各项为正的等比数列中，，则的前4项和（    ） A．40 B．121 C．27 D．81 【答案】A 【分析】先根据等比数列通项公式求出，再根据前项和公式求值即可. 【详解】设等比数列公比为, 故选：A. 51．（22-23高二上·山西大同·期末）等比数列中，已知，，，则为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式，可求项数，利用前项和公式求解即可得答案． 【详解】等比数列中，， ， ． . 故选：B． 52．（22-23高二上·山西太原·期末）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．7 B．14 C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求出，再利用等差数列性质及前n项和求解作答. 【详解】等比数列中，，而，解得，即， 等差数列中，. 故选：B 53．（22-23高二上·山西太原·期末）设是等比数列，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】由等比数列的性质求得，再代入中即可求得的值. 【详解】, . 故选：C. 54．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知数列满足，且，若，则下面表述正确的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等差数列，为等比数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等差数列，为等比数列 【答案】B 【分析】由可得到，结合即可判断为等比数列；通过累加法可得到，即可判断；通过等差数列的定义即可判断；通过反例即可判断 【详解】由可得，即，且， 则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则； 又，则有， 所以， 所以， 又满足上式，故，则为等比数列； 所以（定值），故为等差数列. 由可得，所以，故不为等差数列， 故选：B 55．（22-23高二上·山西晋城·期末）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行3项以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ）（提示：，，，） 4， 4，， 4，，， 4，，，， A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】C 【分析】 先求出大于零的最小值，然后再算第行的哪些项与和大于的最小值. 【详解】前行一共有项， 则有个，个，个， 个， 个； 所以 即 ① 则② ②减①得： 即 所以 设 又因为 所以数列是单调递增的数列. 又因为时， 又因为时， 第行的第个数记为 则 即 又因为是单调递增的数列， 当时 当时 所以的最小正整数的值为 故选：C 56．（22-23高二上·山西运城·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是：今有土墙厚尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠相逢需要的最少天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大鼠第天打洞尺，小鼠第天打洞尺，其中，分析可知两数列均为等比数列，确定这两个数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式以及数列的单调性可求得结果. 【详解】设大鼠第天打洞尺，小鼠第天打洞尺，其中， 则数列是首项为，公比为的等比数列，， 数列是首项为，公比为的等比数列，， 设数列的前项和为，则， 因为，故数列单调递增， 因为，故两鼠相遇至少需要天. 故选：C. 57．（21-22高二上·山西运城·期末）公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足．则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D． 【答案】B 【分析】假设与可判断D；利用等比中项的性质可判断A；由数列为各项为正的递减数列可判断C；由，可判断B. 【详解】若，则不合乎题意， 所以，故数列为正项等比数列， 因为，，， 若，则， 则，，则， 这与已知条件矛盾，所以不符合题意， 所以，故D错误； 因为，， 所以数列为各项为正的递减数列， 所以，无最大值，故C错误； 又， 所以，， 所以，故A错误； 又，， 所以是数列中的最大项，故B正确. 故选：B. 58．（23-24高二上·山西朔州·期末）存栏数是指某一阶段，养殖场中牲畜的实际数量.某牧场2024年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2024年起每年年初的计划存栏数依次为，其中，则下列结论正确的是（    ）（参考数据：） A． B．与的递推公式为 C．按照计划2030年年初存栏数首次突破1000 D．令，则 【答案】ABD 【分析】根据题意可得递推关系为，即可求解AB,根据构造法可得为等比数列，即可列不等式求解C，根据分组求和即可求解D. 【详解】由题意得，并且，故B正确；则，故A正确； 设，则，则，则， ，即数列是首项为，公比为1.2的等比数列， 则，则， 令， 则，则， 故2031年年初存栏数首次突破1000，故C错误； ,故D正确， 故选：ABD 59．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（    ） A． B．当时，最小 C．当时，最小 D．存在，使得 【答案】AC 【分析】由等比数列的性质、数列的单调性及不等式的性质可对每个选项进行判断即可得出. 【详解】对于A，∵，，∴，又，， ∴，故A正确； 对于B，C，等比数列满足，公比，， ， ， ， 为递增数列， 由等比数列的性质，， 又，， ，， ∵，， ，∴， ∵，，，∴，则， ，即， 为递增数列，故当时，最小，故B错误，C正确； 对于D，当时，，为递增数列，， 故D错误. 故选：AC 60．（22-23高二上·山西临汾·期末）在等比数列中,是方程的两个根,则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】AC 【分析】因为是方程的两个根,根据韦达定理,判断得到,求出的值,利用等比数列的性质和等比数列的定义即可逐个判断正误. 【详解】因为是方程的两个根, 所以, 所以,且,所以,故A正确，B错误; 由解得或, 当时,,则, 当时,,则,故C正确，D错误. 故选:AC. 61．（22-23高二上·山西晋中·期末）在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项． 【详解】设等比数列的公比为， ，，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC． 62．（22-23高二上·山西运城·期末）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质， 则或，，，所以，，推得公比，即可依次求解． 【详解】， 则或， ，， 和同号，且同为正， 且一个大于1，一个小于1， ， ，，即数列的前2022项大于1， 而从第2023项开始都小于1， 对于A，公比，故A正确， 对于B，， ，即，故B正确， 对于C，等比数列的前项积为， 且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1， 故是数列中的最大项，故C错误， 对于D，， ， ，即，故D正确． 故选：ABD 63．（24-25高二上·山西·期末）若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则 ．若数列的前n项和为，则 ． 【答案】 6 【分析】根据的定义求得和，进而是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】由题意知，小于等于9且与9互质的正整数有，共6个， 所以； 小于等于的正整数有， 与不互质的数是2的倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 小于等于的正整数有， 与不互质的数是3倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故答案为：6； 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 64．（23-24高二上·山西大同·期末）已知为等比数列，，，则 ． 【答案】 【分析】结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】设公比为．由题可得， 所以，即， 又，所以． 故答案为： 65．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列为等比数列，，，则 . 【答案】12 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得：，则， 且，所以. 故答案为：12. 66．（22-23高二上·山西临汾·期末）等比数列中，，公比，则 . 【答案】54 【分析】根据等比数列的定义和性质即可得出的值. 【详解】根据等比数列的定义和性质可知， 则. 故答案为：54. 67．（22-23高二上·山西晋中·期末）在各项均为正数的数列中，，，，则 ． 【答案】32 【分析】先把含有根式的方程两边平方，得到一个等比数列，再根据等比数列的性质求解即可. 【详解】由已知，， 得，即， 则数列为等比数列，，，． 故答案为：32. 地 城 考点04 数列求和问题 68．（24-25高二上·山西·期末）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式列出等式，联立方程组求得的值，从而写出通项公式； （2）由（1）写出的通项公式，然后由裂项相消求得其前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 由，得， 所以，所以． （2）由（1）知， 所以 69．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【详解】（1）由题意知，所以， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可知是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （3）由（2）知． 所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以 70．（24-25高二上·山西·期末）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，n次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，．已知数列． (1)求，，； (2)求，； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）由新定义即可求解. （2）通过定义得到经第次扩充后增加的项数为，由求得，再设第次扩充后数列的各项为，再构造等比数列求得. （3）由错位相减法及等差数列求和公式即可求解； 【详解】（1）依题意，由，得，，； 则，，； ，，. （2）由数列经每一次扩充后是在原数列的相邻两项中增加一项，得经第次扩充后增加的项数为， 则，即，而， 因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，， 所以； 设第次扩充后数列的各项为，则， 由每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 得 ，则， 而，，因此是首项为3，公比为3的等比数列，所以. （3）由（2）知，， 则 ， 令，则， 两式相减得， 因此， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二问：设经第次扩充后增加的项数为，得到. 71．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系结合等比数列定义计算即可得； （2）借助错位相减法计算即可得. 【详解】（1）当时，，则，即， 当时，，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，即； （2），则， ，则， 故 ， 故. 72．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由前三项和求得的值，然后由项之间的关系建立一个关于的二次方程，解得的值，从而写出数列的通项公式； （2）由写出数列的通项公式，利用错位相减求得数列的前项和． 【详解】（1），∴， 即，∴， ∴， （2）， 则 73．（21-22高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 74．（21-22高二上·山西太原·期末）已知数列满足． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知，表示出，然后代入计算可得，所以证明出数列是等差数列； （2）由（1）求出首项，利用等差数列通项公式计算，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以数列为首项为，公差为的等差数列. （2）数列为首项为，公差为的等差数列， 所以，解得. 因为，所以， 则， ， 于是， 两式相减得， 所以. 75．（21-22高二上·山西临汾·期末）已知公差为的等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质得到，是方程的两根，从而求得，进而求得的通项公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）是等差数列，， 又，，是方程的两根， 解，得或， 又，，，， ，，. （2）由（1）得， 所以， 则， 两式相减，得 ， . 76．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)65 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用求出和即可. （2）明确，再对适度放缩，可得答案. （3）根据（2），可以很容易证明. 【详解】（1）当时，， 又， 所以. （2） 因为，所以（时取“”）. 所以， 即（当且仅当时取“”）. （3）由（2）（当且仅当时取“”）. 所以，，，…，. 各式相加得： . 即 . 77．（23-24高二上·山西·期末）已知数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)v (2) 【分析】（1）分类讨论与，利用作差法即可得解； （2）利用错位相减法即可得解. 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减，得，则， 当时，，则，满足上式， 所以. （2）由（1）得， 所以， 则， 两式相减，得 ， 所以. 78．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由递推关系把拆到等号两边，变成后推出即可； （2）求出数列的通项，再用错位相减法求出即可. 【详解】（1）证明： 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，所以. （2）因为，所有， ， ， 作差可得， 所以. 79．（23-24高二上·山西运城·期末）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解. （2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为3， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 则有， 两式相减得： ， 于是得， 因为且，， 当时，数列是递增数列，所以的最小值为18， 因此. 80．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等差数列与正项等比数列满足，且既是等差数列，又是等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算分别求得公差、公比即可得解. （2）首先由错位相减法求得，又，则不等式恒成立，判断的单调性以及最大值即可得解. 【详解】（1）因为既是等差数列，又是等比数列，所以， 又，设的公差为的公比为， 则， 解得或（舍去），所以. （2）由（1）可得， 所以， ， 所以 ， 所以. 因为对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 令， 则， 所以单调递减，则的最大值为， 所以，即实数的取值范围为. 81．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式； (2)已知等差数列满足，其前9项和为63.令，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）将题设条件转化为，从而得证；再利用与的关系式即可得解； （2）先利用等差数列的基本量法求得，再利用裂项相消法即可得证. 【详解】（1）， ，又，则， 数列是以1为首项，为公差的等差数列， ，则， 当时，， 当时，也满足上式，. （2）由题意知， 等差数列的公差， ， ， ， ， . 82．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系式即可求得的通项公式为； （2）由（1）可得，利用裂项相消求和可得. 【详解】（1）当时，， 当时，. 符合， 所以的通项公式为. （2）由（1）可得， 则， 所以数列的前项和. 83．（23-24高二上·山西长治·期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件可得出关于的等式，解出的值，再利用等差数列的通项公式即可求得的表达式； （2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，，则，， 因为、、成等比数列，则， 即，可得，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得：， 所以. 84．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系即可求证是等比数列，由等比数列的通项即可求解， （2）根据裂项求和即可求解. 【详解】（1）当时，，得， 由，得， 所以，化简得， 又，所以，即数列是等比数列，且公比． 所以． （2）由（1）得， 所以． 则 ． 地 城 考点05 数列不等式相关问题 85．（24-25高二上·山西运城·期末）如果函数的导数，可记为．若，则 表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积． (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可. （2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论. （3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案. 【详解】（1）由，得. 由题意可得所求面积. 令，则是常数） 所以， 即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为. （2）令，可得（是常数）， 所以， 要证，只需证， 令， 当时，， 所以在上单调递减，所以当时，， 所以，即. （3）由（2）得，当时，. 因为，所以. 即. 所以. . . . 累加可得 ， 即， 所以. 【点睛】关键点点睛：构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案. 86．（21-22高二上·山西长治·期末）设数列的前项和为，，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对一切正整数，有. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用关系可得，根据等比数列的定义易知为等比数列，进而写出的通项公式； （2）由，将不等式左侧放缩，即可证结论. 【详解】（1）当时，，，两式相减得：， 整理可得：，而， 所以是首项为2，公比为1的等比数列，故，即，. （2）， . . 87．（21-22高二·全国·课后作业）已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【分析】（1）利用，，成等比数列，列出方程，求出公差，写出的通项公式，再利用，得到是公比为的等比数列，求出的通项公式； （2）利用分组求和及裂项相消法，得到，从而证明出结论. 【详解】（1）设数列的公差为d，则． 因为，且，，成等比数列， 所以， 所以d＝3， 所以． 由，得， 所以是公比为的等比数列， 又，所以． （2）， 所以 ． 因为，所以． 88．（21-22高二·全国·课后作业）甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是，，成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题 等比数列的前n项和为，已知______． (1)判断，，的关系； (2)若，设，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)，，成等差数列 (2)证明见解析 【分析】（1）根据，，成等差数列，结合等比数列的基本量关系求解可得，再代入，，判断即可； （2）由可得，代入可得，再根据错位相减求和求得即可证明. 【详解】（1）由，，成等差数列，得，即， 由题意知，所以． 又，所以． 综上可知缺少的条件是． 因为，所以，，所以，即，，成等差数列． （2）由，可得，解得， 所以， 则，， 上面两式相减可得， 化简可得，由，可得． 89．（20-21高二上·山西晋城·期中）已知数列{}满足a₁=1，(n≥2，n∈) （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用和与项的关系，作差消和得到项的递推关系，进而根据等比数列的定义证明，并求得通项公式； （2）利用放缩法转化成等比数列求和问题，进而证明. 【详解】（1）由题意得， ， 两式相减得， 化简得， ， ，， ∴， 故是等比数列，公比为3， ，； （2）由（1）知，， ， 当时，恒成立，∴恒成立， . 90．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知配成完全平方即可得证； （2）利用错位相减法求解可得； （3）分离参数，转化为求数列的最大值问题，考察数列单调性即可得解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列. （2）又（1）可得，， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以 （3）由（1）可得，， 所以，即， 记， 因为， 所以时，，即， 当时，，即， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 91．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知正项数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件分解因式得递推关系，再由递推关系得数列为等比数列，由基本量可得通项； （2）分离参数得恒成立，构造数列，通过研究数列的单调性求得数列的最大项，则可求得实数k的取值范围. 【详解】（1）因为，所以． 又因为，所以，又因为，所以， 所以数列是公比为2的等比数列，所以． （2）不等式恒成立，只需恒成立， 设， 则， 所以数列为递减数列，所以，即的最大值为， 因为对任意正整数，不等式恒成立， 所以，所以实数的取值范围为． 92．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)令，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将数列的递推公式变形，再结合等比数列的定义，即可证明； （2）由（1）得到数列的通项公式，再利用变形，放缩法，结合裂项相消法求和，即可证明. 【详解】（1）由，得，由，得， 则，所以，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）得，则，所以， 所以 ． 所以 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 数列的概念与简单的表示法 考点02 等差数列及其性质 考点03 等比数列及其性质 考点04 数列求和问题 考点05 数列不等式相关问题 数列的概念与简单的表示法 地 城 考点01 1．（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 2．（23-24高二上·山西运城·期末）已知为等差数列的前n项和，，则下列选项正确的是（    ） A．数列是单调递增数列 B．当时，最大 C． D． 3．（23-24高二上·山西忻州·期末）若数列满足，，则（    ） A． B．11 C． D． 4．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西朔州·期末）在数列中，，则等于（    ） A．-1 B．2 C． D．1 6．（23-24高二上·山西长治·期末）在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·山西大同·期末）在数列中，，，，设数列的前项和为，则（    ） A．6440 B．6702 C．6720 D．6740 8．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知数列满足，，则（    ） A．5 B．7 C．10 D．15 9．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 10．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 11．（21-22高二上·山西太原·期末）数学史上著名的“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列中，（m是正整数），若，则m所有可能的取值集合是（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高二上·山西太原·期末）已知数列的前n项和，若，则数列的前n项和是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·山西长治·期末）已知数列，满足，且，则（    ） A． B．当时，是等比数列 C．当时，是等差数列 D．当时，是递增数列 14．（23-24高二上·山西·期末）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B． C． D． 16．（24-25高二上·山西吕梁·期末）设数列满足，，，则 ． 17．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知数列的前项和为，若，且，则 . 18．（24-25高二上·山西阳泉·期末）在数学中连加符号是“”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都加起来，例如：．类似的在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．已知数列满足：，则 ． 19．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列的前项和为，若，则 . 20．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列满足，则的通项公式 . 地 城 考点02 等差数列及其性质 21．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列为等差数列，公差为d，，，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 22．（24-25高二上·山西运城·期末）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．36 B．28 C．24 D．30 23．（24-25高二上·山西运城·期末）若数列满足，则数列的前50项和为（    ） A．2500 B．2550 C．2600 D．2650 24．（24-25高二上·山西·期末）若3，，27成等差数列，则（   ） A．9 B．15 C． D． 25．（24-25高二上·山西运城·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．188 B．189 C．190 D．191 26．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．188 B．189 C．190 D．191 27．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B． C．2025 D．4050 28．（22-23高二上·山西太原·期末）已知等差数列中，，公差，则等于（   ） A． B． C． D． 29．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过原点），则的值为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列的前项和为，且满足，，若，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 32．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 33．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 34．（24-25高二上·山西·期末）已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C． D． 35．（24-25高二上·山西运城·期末）已知为数列的前项和，为数列的前项积，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当取最大值时， 36．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列的首项为1 B． C． D．数列的公比为 37．（24-25高二上·山西·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时， ． 38．（22-23高二上·山西朔州·期末）设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 39．（2024高三下·全国·专题练习）已知数列满足，则 ． 40．（23-24高二上·山西运城·期末）已知等差数列的前n项和为，已知，则公差 ． 41．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知数列的前n项和公式为，则的通项公式为 . 42．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知数列满足则数列的前项和 . 等比数列及其性质 地 城 考点03 43．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 44．（24-25高二上·山西运城·期末）在等比数列中，，则数列的公比是（    ） A． B．3 C． D． 45．（24-25高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 46．（24-25高二上·山西晋中·期末）设等比数列满足，，则公比（    ） A．8 B． C． D．2 47．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 48．（21-22高二上·山西太原·期末）在等比数列中，，，是的前n项和，则（   ） A．63 B．48 C．31 D．15 49．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知正项等比数列满足，则（　　） A．62 B．30或10 C．62或 D．30 50．（23-24高二上·山西运城·期末）各项为正的等比数列中，，则的前4项和（    ） A．40 B．121 C．27 D．81 51．（22-23高二上·山西大同·期末）等比数列中，已知，，，则为（    ） A． B． C．3 D．6 52．（22-23高二上·山西太原·期末）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．7 B．14 C． D． 53．（22-23高二上·山西太原·期末）设是等比数列，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 54．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知数列满足，且，若，则下面表述正确的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等差数列，为等比数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等差数列，为等比数列 55．（22-23高二上·山西晋城·期末）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行3项以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ）（提示：，，，） 4， 4，， 4，，， 4，，，， A．22 B．21 C．20 D．19 56．（22-23高二上·山西运城·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是：今有土墙厚尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠相逢需要的最少天数为（    ） A． B． C． D． 57．（21-22高二上·山西运城·期末）公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足．则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D． 58．（23-24高二上·山西朔州·期末）存栏数是指某一阶段，养殖场中牲畜的实际数量.某牧场2024年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2024年起每年年初的计划存栏数依次为，其中，则下列结论正确的是（    ）（参考数据：） A． B．与的递推公式为 C．按照计划2030年年初存栏数首次突破1000 D．令，则 59．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（    ） A． B．当时，最小 C．当时，最小 D．存在，使得 60．（22-23高二上·山西临汾·期末）在等比数列中,是方程的两个根,则（    ） A． B．或 C．或 D．或 61．（22-23高二上·山西晋中·期末）在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 62．（22-23高二上·山西运城·期末）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 63．（24-25高二上·山西·期末）若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则 ．若数列的前n项和为，则 ． 64．（23-24高二上·山西大同·期末）已知为等比数列，，，则 ． 65．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列为等比数列，，，则 . 66．（22-23高二上·山西临汾·期末）等比数列中，，公比，则 . 67．（22-23高二上·山西晋中·期末）在各项均为正数的数列中，，，，则 ． 地 城 考点04 数列求和问题 68．（24-25高二上·山西·期末）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 69．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 70．（24-25高二上·山西·期末）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，n次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，．已知数列． (1)求，，； (2)求，； (3)求数列的前n项和． 71．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 72．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足求数列的前项和． 73．（21-22高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 74．（21-22高二上·山西太原·期末）已知数列满足． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 75．（21-22高二上·山西临汾·期末）已知公差为的等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 76．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 77．（23-24高二上·山西·期末）已知数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 78．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 79．（23-24高二上·山西运城·期末）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 80．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等差数列与正项等比数列满足，且既是等差数列，又是等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 81．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式； (2)已知等差数列满足，其前9项和为63.令，设数列的前项和为，求证：. 82．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 83．（23-24高二上·山西长治·期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 84．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求． 地 城 考点05 数列不等式相关问题 85．（24-25高二上·山西运城·期末）如果函数的导数，可记为．若，则 表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积． (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：． 86．（21-22高二上·山西长治·期末）设数列的前项和为，，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对一切正整数，有. 87．（21-22高二·全国·课后作业）已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：． 88．（21-22高二·全国·课后作业）甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是，，成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题 等比数列的前n项和为，已知______． (1)判断，，的关系； (2)若，设，记的前项和为，证明：． 89．（20-21高二上·山西晋城·期中）已知数列{}满足a₁=1，(n≥2，n∈) （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）证明：. 90．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 91．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知正项数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 92．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)令，数列的前n项和为，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $