专题04 椭圆与方程（7大题型）（期末真题汇编 山西专用）高二数学上学期

专题04 椭圆与方程（7大题型） 7大高频考点概览 考点01 椭圆的定义与方程 考点02 椭圆的离心率 考点03 直线的椭圆的位置关系 考点04 椭圆的弦长、焦点弦、中点弦问题 考点05 椭圆中参数的最值与范围 考点06 椭圆中的定值、定点问题 考点07 椭圆中与向量有关的问题 椭圆的定义与方程 地 城 考点01 1．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程. 【详解】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 2．（25-26高二上·山西吕梁·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解. 【详解】由题可知：，所以. 如图：. 所以的周长为. 故选：B. 3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积. 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故选：C 4．（22-23高二上·山西大同·期末）如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由椭圆定义可得，再利用中位线的性质即可求解． 【详解】如图，连接，，，    由椭圆方程可得：，则， 由椭圆定义可得，所以， 因为是的中点，是的中点，则由中位线可得：. 故答案为：C. 5．（22-23高二上·山西太原·期末）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 【答案】C 【分析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，结合椭圆的性质即可判断A；根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，即可判断B；卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，即可判断C；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，由此即可判断D． 【详解】A选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； B选项：根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； C选项：卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C错误； D选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故D正确. 故选：C． 6．（24-25高二上·山西晋中·期末）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示椭圆可得出的取值范围，再根据范围大小可得结果. 【详解】若方程表示椭圆，则需满足， 解得， 显然是的真子集， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 7．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算得出椭圆的长轴长，即可得出以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，即可得出该圆的最小面积. 【详解】由题意知该椭圆的长轴长为， 以16为弦长的圆的最小半径为8， 所以圆的最小面积为， 故选：D． 8．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ）． A．长轴长为2 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，由此确定正确答案. 【详解】依题意椭圆， 所以， 所以长轴长为，焦距为，短轴长为，ABC选项错误. 离心率为，D选项正确. 故选：D 9．（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论. 【详解】如图：    因为椭圆的标准方程为：，所以：，，. 因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率， 所以必是：. 根据椭圆的定义，，故A正确； 在中，，， 由余弦定理：，故B错误； 由，到轴的距离为：，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 10．（23-24高二上·山西太原·期末）当时，方程表示的轨迹可能是（    ） A．两条直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 【答案】ABD 【分析】对所取范围分类讨论，即可求得不同情况下对应的轨迹. 【详解】对方程， 若，则，即，此时该方程表示两条直线与； 若，此时该方程表示椭圆； 若，此时该方程表示双曲线； 综上所述，该方程表示的轨迹可能是两条直线、椭圆或双曲线. 故选：ABD. 11．（20-21高二上·山东烟台·阶段练习）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（    ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 【答案】ACD 【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D. 【详解】设椭圆的左焦点为，则 所以为定值，A正确； 的周长为，因为为定值6， 所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误； 将与椭圆方程联立，可解得， 又因为，∴ 所以为直角三角形，C正确； 将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确. 故选：ACD 12．（21-22高二上·山西朔州·期末）若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答. 【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限， 因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，， 由双曲线定义知：，即，，， 所以双曲线的渐近线为：. 故答案为： 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线 (a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 13．（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】由得到，，再代入,化简即可. 【详解】设动点， 因为动点满足，其中， 所以， 所以解得，， 因为， 所以，整理得. 故答案为:. 14．（22-23高二上·山西大同·期末）已知分别为椭圆的左顶点､右焦点､上顶点､下顶点，直线与相交于点，且，则 . 【答案】 【分析】根据，确定为中点，从而可表示点坐标，再根据三点共线可得 ,列出方程即可求解. 【详解】由题可得设， 因为，所以为中点， 所以，解得，所以， 根据题意可知，三点共线，所以, 即解得，所以，解得. 故答案为：3. 15．（22-23高二上·山西·期末）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为1，则该椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由点差法可得 ，则，又，联立解得，即可得出椭圆方程． 【详解】设椭圆的标准方程为， 由题意，椭圆被直线所截得弦的中点的坐标为， 设，则， 由，得， 即，则， ，即，又，所以， 故椭圆的标准方程为． 故答案为：． 地 城 考点02 椭圆的离心率 16．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合角的值，化简得出离心率即可. 【详解】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 17．（23-24高二上·山西运城·期末）万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式． 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的长轴长为，则小椭圆的短轴长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到两椭圆离心率相同，从而得到两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，由此得解. 【详解】因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得， 所以小椭圆的短轴长为：． 故选：C． 18．（22-23高二上·山西晋中·期末）曲线和，则和更接近圆的是（    ） A． B． C．相同 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论. 【详解】分别将曲线和化为标准方程可得， ，，由椭圆的性质可得，曲线的离心率为， 曲线的离心率为，显然，因此曲线更接近圆. 故选：A. 19．（22-23高二上·山西运城·期末）椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求，再求离心率即可. 【详解】由题意可得：，且椭圆焦点在y轴上，则， 故椭圆的离心率是. 故选：A. 20．（21-22高二上·山西朔州·期末）若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率. 【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长， 所以椭圆离心率. 故选：C 21．（21-22高二上·山西大同·期末）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求得c，离心率和焦点的位置，然后再根据椭圆与双曲线的关系求解． 【详解】由椭圆，得，，焦点在轴上． 由题意得双曲线，焦点在轴上，， 所以，， 所以． 所以双曲线方程为． 故选：D 22．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为与的一个公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意为等腰直角三角形，继而可求得，则，在中，利用余弦定理即椭圆的定义列出方程，可求得，逐项判断即可. 【详解】因为，且，所以为等腰直角三角形. 设椭圆的半焦距为，则， 所以，则. 在中，， 设，双曲线的实半轴长为， 则（在中，由余弦定理可得）， 故，故， 又，所以， 即，故， 故选：BD. 23．（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设的中点为，根据已知条件可得，设，结合椭圆的定义和勾股定理解出与的关系，再根据离心率公式求解即可. 【详解】如图所示，设的中点为， 因为，，所以， 设，则，由可得，所以， 在中，①， 在中，②， 在中，③， 由①②③联立解得，， 所以在中，解得， 故答案为： 24．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于两点，的平分线交于点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆的对称性，角平分线性质可得，结合椭圆定义可求，利用余弦定理列出关于的方程，由此可求离心率. 【详解】  连接、，根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形， 所以， 根据角平分线定理得：， 所以，又 ，又， 又在中，由余弦定理得： ，所以. 故答案为：. 25．（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】 向量坐标化得Q的坐标，代入椭圆方程计算求解离心率. 【详解】根据椭圆性质，，，则，则点位于轴上， 设，，其中， 设，由于，得：，即， 代入椭圆得：，即，解得离心率. 故答案为：. 26．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知点是椭圆 上的两点.且直线恰好平分圆 ，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，，则.由已知可推得，根据，可得出，然后即可求出离心率. 【详解】设，. 依题意有，两式相减得，所以. 因直线恰好平分圆，则， 则，. 由已知，， 所以，，即. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 直线的椭圆的位置关系 地 城 考点03 27．（19-20高二上·山西忻州·期末）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于两点.若，则的方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【解析】先做出图形，由再结合椭圆第一定义，可得出四条线段的比例关系，判断出点过椭圆的上顶点，根据斜率定义得到，再考虑图形的对称性，即可求解 【详解】如图，不妨设，由，可得， 由椭圆第一定义可得，可判断点过椭圆的上顶点，则，则直线的方程为， 再由椭圆的对称性可知，当时，经过椭圆的右焦点，则直线的方程为 综上所述，直线方程为：或 故选：B 【点睛】本题考查椭圆基本性质的应用，数形结合思想，属于中档题 28．（19-20高二上·山西朔州·期末）已知椭圆（），，为椭圆上的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，的坐标分别为 和．因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即．又交点为，故．把点坐标代入，同时把，代入椭圆方程，最后联立方程即可得到关于和的关系式，最后根据和的范围确定的范围，再根据椭圆的性质即可求出离心率． 【详解】设，的坐标分别为 和． 因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即． 又交点为，故，即① ∵，在椭圆上， ∴ ． 将上式代入①，得② ∵，可得③． ∵，且， ∴， ∴， ∴，所以椭圆的离心率的取值范围是． 故选：C. 【点睛】本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力，属于难题． 29．（18-19高二上·山西运城·期末）直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，为的中点，为原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先确定焦点坐标，然后联立直线方程与椭圆方程求解直线的斜率即可. 【详解】由,得a2=2,b2=1,所以c2=a2−b2=2−1=1. 则c=1,则左焦点F(−1,0). 由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0， 则直线l的方程为y=kx+k. 设l与椭圆相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)， 联立,得：. 所以. 则PQ的中点M的横坐标为. 因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形， 所以.解得：. 本题选择B选项. 【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 30．（25-26高二上·山西晋中·月考）直线与椭圆交点个数为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线过定点结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线，得，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上.即直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 31．（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）已知直线与椭圆相交于、两点，若线段的中点纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线与椭圆方程得，整理得，设、，利用韦达定理和中点坐标公式，即可得出答案． 【详解】解：联立直线与椭圆方程得，整理得， 设、，则 线段的中点纵坐标为， 解得， 故选：D . 32．（22-23高二上·山西运城·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【分析】由题意得，联立直线与椭圆方程得，，再利用，再代入值计算即可得答案. 【详解】如图所示，由椭圆定义可得，， 设的面积为，的面积为，因为， 所以，即， 设直线，则联立椭圆方程与直线，可得 ， 由韦达定理得：， 又，即 化简可得，即， 即时，有. 故答案为： 33．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，且点A在x轴下方.设，，的内切圆的半径分别 为，，.若椭圆C的离心率为，且，则直线l的斜率为 . 【答案】 【分析】依题意可得椭圆方程表示为，设直线为 ，，，，根据面积公式及椭圆的定义得到，再由，即可得到，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到、，代入解得. 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，，， 则椭圆方程可以表示为， 设直线为 ，，，， 由，消去整理得，显然， 所以，，则， 由， 由， 由， 又，所以，所以， 又，所以， 又，，所以， 所以，， 所以，所以，则或（舍去）， 所以直线的斜率为.    故答案为： 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 34．（24-25高二上·山西·期末）已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)； (2)过定点，. 【分析】（1）根据已知条件代入求得，由此求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标. 【详解】（1）依题意，，由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，，则， 由消去整理得， 则，直线的方程为， 由椭圆的对称性知，若存在符合条件的定点，则该定点一定在轴上， 令，得 ， 所以直线过定点. 35．（24-25高二上·山西晋中·期末）在直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，它们的斜率之积为，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若斜率为且不经过原点的直线与交于，两点，线段的中点为，直线的斜率记为，求的值； (3)在（2）的条件下，点为上一点，且不与的顶点重合，点关于轴的对称点为，若直线与关于直线对称，求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用斜率的坐标公式列式化简即得. （2）根据给定条件，利用点差法列式，结合斜率的坐标公式求得答案. （3）设点及直线的斜率，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，结合（2）证得的斜率相等即可. 【详解】（1）设点，依题意，，，整理得， 所以的方程是. （2）设，则， 由点均在曲线上，得， 两式相减得，则， 而，所以. （3）设点，则，设直线的斜率为，则的斜率为， 直线的方程为，直线的方程为， 由消去得， 则①， 同理②， 直线的斜率，则 ，将①②代入并整理， 得③，而，即， 因此，由（2）知，，则， 又直线有公共点，所以，，三点共线. 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解. 36．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，长轴长为，点在椭圆上（不与重合），且，左右焦点分别为. (1)求的标准方程； (2)设过右焦点的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的性质得到，设点，表示出，再代入椭圆方程，求出，得到椭圆方程； （2）设直线的方程：，直曲联立，韦达定理表示出，再用其表示出三角形面积，最后结合基本不等式求出结果. 【详解】（1）   依题意可得，，所以. 设，则， 又因为所以， 所以，所以的标准方程为. （2）   因为在直线上，设直线的方程：， 联立，整理得， ， 由题可知∶ 当且仅当， 即时，面积最大为，此时直线的方程是∶. 地 城 考点04 椭圆的弦长、焦点弦、中点弦问题 37．（21-22高二上·山西朔州·阶段练习）已知椭圆：，则关于椭圆下列叙述不正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的两个焦点分别为和 C．椭圆的离心率等于 D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，，则 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再得到，即可判断各选项的正误. 【详解】由题意知椭圆标准方程为，则，， ∴. 长轴长为，A正确； 两焦点为，，B错误； 离心率为，C正确； 将代入椭圆方程得， 解得，∴，D正确. 故选：B 38．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知点是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上一点，且，则的面积为（ ） A．32 B．16 C．9 D．8 【答案】C 【分析】由，可得与得夹角为，由椭圆焦点三角形面积公式可得得大小． 【详解】解：由椭圆方程为，可得，=8， 设与得夹角为，由，可得，， 由椭圆焦点三角形面积公式可得：， 故选：C 39．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 40．（20-21高二上·山西长治·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求得，得到M的横坐标为,进而求得M的纵坐标，然后得出OM的斜率，由,得到，即可判定结论. 【详解】易得直线l的与x轴的交点横坐标为,∴椭圆的半焦距, 又∵，∴M的横坐标为,代入直线方程得到M的纵坐标为， ∴OM的斜率, 由于直线l的斜率, , ,,∴, ∴,∴, 逐项检验，即可判定只有C符合， 故选：C. 【点睛】是应当熟记的结论.检验法是快速求解选择题的重要思想方法. 41．（22-23高二上·山西太原·阶段练习）椭圆与直线相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为2，则=（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设,所以，利用点差法，做差化简，利用，解出． 【详解】解：设 ∴ 由AB的中点为M可得①，② 由A．B在椭圆上，可得 两式相减可得③， 把①②代入③可得 整理可得． 故选：A 42．（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆（ 且a为常数）的左、右两个焦点分别为和，动直线l经过椭圆的左焦点与椭圆交于A，B两点，且的最大值为7，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆C的离心率 C． D．若，则 【答案】BC 【分析】对A，根据椭圆的定义，利用通径长可求得；对B，根据方程求出，求出离心率；对C，由椭圆性质可得，对D，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，结合，求解判断. 【详解】如图所示：易知，由椭圆的定义可知， 因为的最大值为7，所以的最小值为， 当轴，即为通径时，最小，所以，有， 解得，故A错误； 可得椭圆方程为，易知，所以离心率， 故B正确； 当为长轴时，最大，此时，所以，故C正确； 因为，可设直线的方程为， 联立，整理可得， 因此； 若，可得，即， 所以；有 ， 整理得，解得． 由 ，故D错误. 故选：BC. 43．（21-22高二上·山西太原·阶段练习）已知椭圆：上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的有 . ①若，则满足题意的点有4个； ②若，则； ③的最大值为； ④若是钝角三角形，则的取值范围是. 【答案】①②③④ 【分析】根据椭圆焦点三角形的性质逐一判断即可. 【详解】由已知得，，， 对于①，因为，所以，所以这样的点有个，故①正确； 对于②，因为，，，故，故②正确； 对于③，，，所以，故③正确； 对于④，因为为钝角三角形，且由③得，所以或为钝角，当时，最大，此时，，解得，所以三角形面积，所以，故④正确； 故答案为：①②③④. 44．（20-21高二上·山西临汾·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的面积为 . 【答案】 【解析】先求出直线的方程,与椭圆方程联立,消去x,求出| y1- y2|,利用即可求出的面积. 【详解】由题意得: 直线:, 设,则有:消去x得:7y2+6y-9=0, ∴ 即的面积为 【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积: （1）直接求出弦长|AB|,利用; （2）利用. 45．（19-20高二上·山西太原·期末）已知分别是椭圆的左右焦点，为上一点，的内心为点，过作平行于轴的直线分别交于点，若椭圆的离心率，则 . 【答案】 【解析】根据椭圆的离心率可知，根据椭圆的定义可知的周长为，设的内切圆半径为，点，利用（为周长的一半），可得，再根据，即可求出结果. 【详解】设椭圆的焦距为， 由题设，所以， 由椭圆的定义可知，，， 的周长为， 设的内切圆半径为，点. 又. 设为周长的一半，则， 所以，得， 由题意可知，得. 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系和椭圆的性质，属于中档题. 46．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________. 【答案】 【分析】由点差法可求出直线的斜率，进而可求得直线的方程 【详解】设过点的直线与椭圆的两个交点分别为，， 则，， 两式相减得， 化简得，即， 直线AB的方程为， 所以直线AB的一般方程为， 故答案为： 47．（20-21高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的弦的中点M的坐标为，则的方程为 . 【答案】 【分析】设，利用点差法即可求出直线的斜率，根据所给数据，即可得解. 【详解】设，设直线的斜率为， 有，， 两式相减可得， 所以， 所以， 由， 所以，又直线过， 可得直线方程为， 故答案为：. 地 城 考点05 椭圆中参数的最值与范围 48．（25-26高二上·山西太原·期中）已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    对于A，由题意得椭圆， 可得，， 设,，，则， 则， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值如下， 为，故A错误， 对于B，由题意得椭圆的离心率，故B错误， 对于C，由于为定值，所以当位于椭圆的上下顶点时， 三角形的面积取得最大值为，故C正确， 对于D，设，由余弦定理得 ， 当且仅当时等号成立，而，则， 可得的最大值不为，故D错误. 故选：C 49．（23-24高二上·山西吕梁·月考）已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义及二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意知,半焦距,所以由椭圆定义知, 故, 且, 又，所以当或时， 取得最小值，且其最小值为，所以的最大值为． 故选:C． 50．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知动点在椭圆C：上，为椭圆C的右焦点，若点满足．且，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，得，点在以为圆心，为半径的圆上，为圆的切线，当最小时，切线长最小，作出图形，可判断的最小值，再利用勾股定理求解. 【详解】由题意，在椭圆中，点在以为圆心，为半径的圆上，为圆的切线，当最小时，切线长最小，由图可知，当点为右顶点时，最小，最小值为，此时. 故选：A.    【点睛】解答本题的关键在于判断出动点的轨迹为圆，然后求的最小值即求圆的切线长的最小值，再利用椭圆的性质，数形结合判断. 51．（24-25高二上·山西晋中·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，在求出，即可求出可判断A；再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B、C，再结合椭圆的定义可判断D. 【详解】对于A，椭圆，则，所以， 圆的圆心为，半径， 所以，所以点在椭圆外部，又，当且仅当、、三点共线（在之间）时等号成立，所以，解得，所以，解得（负值舍去），故A正确； 对于B， ， 又，所以，所以， 即的最大值为5，当且仅当点在左、右顶点时取最大值，故B正确； 对于C，设点为椭圆的上顶点，则，， 所以，所以，所以， 则存在点使得，，故C正确； 对于D，因为 ， 当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：对于D选项，关键点是转化为求的最小值，且当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立. 52．（23-24高二上·山西太原·期中）已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】椭圆，，， 设,，，则， 则 ， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，所以A选项正确. 椭圆的离心率，所以B选项错误. 由于为定值，所以当位于椭圆的左右顶点时， 三角形的面积取得最大值为，所以C选项错误. 设， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， 当取得最小值时，取得最大值，此时为锐角，， 所以此时也取得最大值，且的最大值为，所以D选项正确. 故选：AD 53．（21-22高二上·山西朔州·阶段练习）已知为椭圆上任一点，为椭圆的左焦点，为椭圆内一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设椭圆右焦点为，根据椭圆的定义可知，利用数形结合求解. 【详解】由已知可得，故，设右焦点为， 又为椭圆内一点，P为椭圆上一动点，如图， 则 ， 当共线且在两侧时，等号成立. 故答案为：. 54．（20-21高二上·山西太原·阶段练习）已知椭圆的离心率e的取值范围为，直线交椭圆于点M，N，O为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，联立和韦达定理求出，再根据，求出椭圆长轴长的取值范围. 【详解】联立，化简得 设，，则， 由，则 即，化简得， ， ，，即 ， 解得：， 所以椭圆长轴长的取值范围是 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 55．（19-20高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆 的离心率，，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于，的一点，直线，倾斜角分别为，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】设出点坐标，求得的表达式，化简后求得的最小值. 【详解】依题意.设，则，即，化简得①.由于是椭圆的左右顶点，所以，所以 ，由于，所以当时，取得最小值为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆中最值的求法，属于中档题. 56．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为． (1)求C的方程； (2)若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值． 【答案】(1) (2)存在定点 (3) 【分析】（1）利用三角形面积与椭圆性质，及离心率公式与基本关系式计算. （2）利用直线于椭圆联立方程，韦达定理与向量的数量积. （3）利用点到直线距离，与弦长公式，三角形面积公式，换元法与函数最值，求出最大值. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为． 当P在短轴的端点处时，的面积最大，所以， 又C的离心率，所以，结合， 得，，所以椭圆C的方程为． （2）解法一：由题意知直线的斜率不为0，否则， 所以可设直线的方程为， 联立得， 所以， ， 所以， ， 由（1）知， 因为，所以， 所以，即， 即，解得或（舍去）， 又满足，故存在定点. 解法二：将椭圆方程向右平移2个单位，得 ， 即 ①，设直线MN方程为， 代入（1）得：， 即， ，两边同时除以得：  ②， 设， ，、是②式的两根， 得，，平移回去（向左平移2个单位）， 得直线过定点. （3）解法一：由（2）知，，， 所以A到的距离， 所以面积 ， 令， ，因为， 所以当时，，此时，满足，故．          18题图 解法二： ，其余同上. 【点睛】思路点睛：知识点综合利用，解决直线与椭圆相交问题，坐标平移变换椭圆方程，通过点到直线距离公式和弦长公式得出三角形面积表达式，综合运算. 57．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求实数的取值范围； (3)若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可得出的值，利用椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，由结合可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）列出韦达定理，根据直线、、的斜率成等比数列，可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为焦距为2，所以，由椭圆的对称性得. 又因为，所以， 则，所以，，， 所以椭圆的方程为. （2）解：联立得，① 所以，所以. 又，所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为. （3）解：设、，由①式得，， 设直线、的斜率分别为、， 因为直线、、的斜率成等比数列， 所以，即， 整理可得，即， 因为 ， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，直线或的斜率不存在，等号取不到， 所以的面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 58．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设易得，结合椭圆定义及两点距离公式求得，进而可得椭圆方程； （2）讨论直线斜率，设直线方程并联立椭圆求相交弦长，进而得到四边形的面积关于直线斜率的表达式，即可得求最小值. 【详解】（1）由题意，椭圆的左、右焦点分别为，，即， 所以， 即，，所以椭圆的方程为． （2）①当直线的斜率不存在或为0时，，，，分别为椭圆的四个顶点，所以． ②当直线的斜率存在且不为0时，设，则， 设，，，， 联立，解得，即， 所以，同理， 所以． 令，则，， 所以，， 当时，又， 所以四边形的面积的最小值为． 地 城 考点06 椭圆中的定值、定点问题 59．（18-19高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点分别是,短轴的两个端点分别为，左右顶点分别为，若为等腰直角三角形，点在椭圆上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意首先确定的值，然后结合椭圆方程确定斜率的取值范围即可. 【详解】我们有如下结论：在椭圆方程中，点为椭圆上的点，椭圆的左右顶点分别为，则. 证明：点为椭圆上的点，则，据此计算可得：， 易知，结合斜率公式有：， 故. 回到原题，由为等腰直角三角形可知，则，故， 结合斜率的取值范围是，可得斜率的取值范围是 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查椭圆的性质，椭圆中的定值问题及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 60．（22-23高二上·山西晋城·月考）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设是椭圆上的点，设，求出为定值，从而能求出的值，然后根据求解. 【详解】设代入椭圆方程，则 整理得：设， 又，,所以 而，所以，所以 故选：B 61．（21-22高二上·山西运城·期中）已知椭圆，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为的直线l与E交于M，N两点，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设出点和直线l的方程，联立直线和椭圆方程得出韦达定理，结合两点距离公式和韦达定理化简即可求解. 【详解】设，直线l的方程为，将直线方程代入椭圆方程并化简得到，进而有， 所以 ． 故选：B． 62．（24-25高二上·山西·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②恒过点． 【分析】（1）根据焦距和求出和，利用求出，得到椭圆方程； （2）①设，则，计算出； ②设，若直线的斜率为0，得到，与不在轴上矛盾，不合题意，若直线的斜率不为0，设，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由①知，又，所以，列出方程，舍去不合要求的根，求出，所以直线恒过点． 【详解】（1）由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得， 又，所以椭圆的标准方程为； （2）①由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为． ②设， 若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以， 又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即， 由不在轴上，得，与矛盾， 所以直线的斜率不为0． 设直线的方程为， 由，得， 所以， 且， 由①知，又，所以， 所以，即， 化简，得， 将代入上式并化简，得 即，解得或， 当时，与矛盾，舍去， 当时，满足 所以直线恒过点． 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 63．（24-25高二上·山西太原·期末）椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆C的一个焦点发出的光线，被椭圆上点P反射后，反射光线经过另一个焦点，且椭圆在点P处的切线l与的平分线l＇（即法线）垂直.已知椭圆C的中心为坐标原点O，左、右顶点分别为A，B，焦点为，.由发出的光线经椭圆C两次反射后回到所经过的路程为8c.过点作直线l的垂线，垂足为D，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当点P，A，B不共线时，设内切圆的圆心为，求实数n的取值范围； (3)过点的直线与椭圆C交于M，N两点（均与A，B不重合），直线AM交直线于点G，证明：B，N，G三点共线. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）延长交的延长线于点Q，易得，即可求解椭圆方程； （2）设（），根据三角形面积公式可得，根据椭圆的范围即可求解； （3）设直线MN的方程为，，，求出，的坐标，即可证明. 【详解】（1）由题意设椭圆C的方程（），则，∴. 如图所示，延长交的延长线于点Q，由直线l＇平分，且，∴. ∵，∴. ∵，∴， ∴， ∴，，， ∴椭圆C的方程为. （2）由题意设（），由得， 由的面积， ∴，∴， ∴，且， ∴实数n的取值范围为. （3）由（1）得，，，设直线MN的方程为， 设，，直线BN与直线交于点E，如图所示. 直线AM的方程为，令，则，∴， 直线BN的方程为，令，则，∴， 由得， ∴，， ∵， ∴， ∴点G与E重合， ∴B，N，G三点共线. 【点睛】方法点睛：椭圆与直线的综合应用的解题通法为联立方程组、消元、利用韦达定理得到直线与椭圆交点坐标满足的关系式，再结合题中已知条件求解即可. 64．（23-24高二上·山西·期末）已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，解得、即可； （2）设、的斜率分别为、，，即可得到，，联立直线与曲线方程求出、点坐标，即可求出直线的方程，从而求出定点坐标. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，． 将代入，整理得， 解得或，则， 可得． 将代入可得，解得或， 则，所以． 直线的斜率为， 因此直线方程为， 化简得，于是直线经过定点． 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． （2）动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 65．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据，结合椭圆的对称性，求得，即可求得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，结合的斜率关系，求得对应参数的约束条件，即可求得直线恒过的顶点. 【详解】（1）由题意知， 由 ， ， 椭圆方程为； （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则 解得，不符合题设； 从而可设直线PQ的方程设为， ， 则有 由 ， （舍）或， 当且仅当时，， ， ∴PQ直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：处理第二问的关键是能够熟练应用韦达定理，合理转化已知条件，从而求得参数之间的关系. 66．（23-24高二上·山西长治·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为，，上焦点为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条互相垂直的弦交于，两点.当点变化时，直线是否过定点？并说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆的性质，求出，，的值，可得椭圆方程； （2）先设直线的方程，联立椭圆方程得到点坐标，同理得到点坐标，用两点式写出直线的方程，令可得为定值，即得直线过定点. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且 ，则. 所以椭圆的标准方程为：. （2）如图： 由题意：直线的斜率一定存在，设直线：， 联立，消去得：， 设，则，. 设，用代替得：，. 所以直线得方程为： 令，得： 所以直线过定点. 【点睛】关键点点睛：根据椭圆的对称性，直线所过的定点必定在轴上，所以两点式写出直线的方程后，直接求它与轴的交点就好了. 67．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知椭圆，，分别为的左､右顶点，为的上顶点，，且的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，点.若直线的斜率之和为0.求证：直线经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用数量积和离心率建立，，的方程，求解即可得椭圆的标准方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，韦达定理找到坐标关系，利用斜率和为0得到直线的斜率与截距的关系，求出直线恒过的定点 【详解】（1）由题设得. 则. 由得， 又由， 解得，椭圆的方程为 （2）设直线的方程为，联立消去得， ，， 设， 则，， 于是， 即 ，得. 故直线的方程为，过定点. 68．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆过点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率不存在时，得到直线的方程，求出点的坐标，可证得；当直线的斜率存在时，设方程为，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与向量数量积运算的坐标表示，证明即可． 【详解】（1）由题意知，解得，， 所以椭圆的标准方程是； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或． 若直线的方程为，不妨设，，所以，所以； 若直线的方程为，不妨设，，所以，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 又直线与圆相切，所以，即． 设，， 由，得， 所以， ，， 所以 ，所以．    综上，以为直径的圆过原点． 69．（21-22高二上·山西晋中·期末）已知点是椭圆上的一点，且椭圆的离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)两动点在椭圆上，总满足直线与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，由此求得，同理求得，从而化简求得直线的斜率为定值. 【详解】（1）由题可知，解得， 从而粚圆方程为. （2）证明设直线的斜率为， 则，， 联立直线与椭圆的方程，得， 整理得 ， 从而，于是， 由题意得直线的斜率为， 则，， 同理可求得， 于是 即直线的斜率为定值. 70．（20-21高二上·山西长治·期末）在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，． （1）设动点满足，求点的轨迹； （2）设，，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得、、的坐标,设动点，根据条件，结合两点间距离公式,化简即可得解； （2）根据，代入椭圆方程即可求得、的坐标，进而求得直线与直线的方程，联立两条直线方程即可求得交点的坐标； （3）设出直线与直线的方程，分别联立椭圆方程即可表示出、的坐标，讨论与，并分别求得的值，即可求得所过定点的坐标. 【详解】（1）设点，则，，， 由，得， 化简得， 故所求点的轨迹为直线． （2）将，分别代入椭圆方程，以及，， 得，， 直线方程为，即， 直线方程为，即， 联立方程组，解得， 所以点的坐标为． （3）点的坐标为， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，， 解得、， 若，且,得， 此时直线的方程为，过点； 若，则，直线的斜率， 直线的斜率， 所以,所以直线过点， 因此直线必过轴上一定点. 地 城 考点07 椭圆中与向量有关的问题 71．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示：    因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，由题意等价于是的中点， 所以， 又点在椭圆E上面， 所以， 进一步有，即， 所以直线的斜率可以表示为， 又、在直线上， 所以直线的斜率为， 从而， 所以解得，即E的方程为. 故选：D. 72．（21-22高二上·山西朔州·期中）设椭圆的右焦点为F．右顶点为A，上顶点为B．已知（O为原点）． (1)求椭圆的离心率， (2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线上，且，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，由求解； （2）设椭圆方程为，直线l的方程为，联立，得到，由圆心C在直线上，设，再根据求解. 【详解】（1）设椭面的半焦距为c，由已知有， 又由，消去b得， 解得，所以椭圆的离心率为； （2）由（1）知，， 故设椭圆方程为． 由题意，，则直线l的方程为， 点P的坐标满足， 消去y得， 解得 代入到l的方程，解得， 因为点P在x轴上方．所以， 由圆心C在直线上，可设， 因为，且由（1）知， 故，解得． （也可以用向量共线，．所以，解得）． 所以圆心为， 因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2， 又由圆C与l相切，得， 解得． 所以， 椭圆的方程为． 73．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，焦距为2，椭圆的上顶点为，为正三角形，过点的直线与椭圆相交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的一般方程. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由题知，，进而根据即可得答案； （2）设直线的方程为，，，进而根据可得即，再将直线与椭圆联立方程组并结合韦达定理可解，进而得答案. 【详解】（1）由题意得，即，若为正三角形，则， 故可得，从而椭圆的标准方程为； （2）由题意可得直线斜率不为0，所以设其方程为，， 将与联立，得 则①，② 若，则，所以③ 由①③得④ 由②③得⑤ 由④⑤得，解得， 所以直线的一般方程为或. 74．（19-20高二下·山西·期中）设点和分别是椭圆上不同的两点，线段最长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】(1)根据已知条件，可知，进而可得椭圆的标准方程； (2)根据已知条件，设直线的方程，再与椭圆的标准方程联立，结合韦达定理以及，可得的范围，再根据点差法找出与的关系即可求解. 【详解】(1)因为线段最长为4，所以，即， 所以椭圆的标准方程为． (2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 联立，整理得， 由，可得． 设，，则，， 所以． 因为，所以， 即，故． 设直线的斜率为， 因为，两式相减得， 所以，则， 故直线的斜率的取值范围是． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 75．（19-20高二上·山西运城·期末）已知椭圆是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心O，点C在第一象限，且，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求的最大值. 【答案】（1）（2）存在，的最大值为 【解析】(1)将化简可得出是等腰直角三角形，然后可得出点坐标，带入椭圆方程即可求出 (2)首先由的平分线总是垂直于x轴可得出，然后设出的直线方程，联立消元可求出和，然后可算出，进而可表示出并求出的最大值，也就可以得出的最大值. 【详解】（1）∵，∴， ∵，即， ∴是等腰直角三角形， ∵，， 而点C在椭圆上，∴，∴， ∴所求椭圆方程为. （2）对于椭圆上两点P，Q， ∵的平分线总是垂直于x轴， ∴与所在直线关于对称， ，则， ∵，∴的直线方程为，① 的直线方程为，② 将①代入，得，③ ∵在椭圆上，∴是方程③的一个根， ∴， 以替换k，得到. ∴， ∵，弦过椭圆的中心O， ∴，∴， ∴，∴， ∴存实数，使得， ， 当时，即时取等号， ， 又，， ∴的最大值为. 【点睛】本题考查的是椭圆的综合问题，属于难题，准确的将题目当中的条件进行转化是解题的关键，同时对计算能力要求也较高. 76．（2022·山西吕梁·二模）已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由椭圆的离心率及点在椭圆上，列方程组求椭圆参数，即可得椭圆C的方程； （2）讨论直线斜率的存在性，设及l为，联立椭圆方程，应用判别式求t、k的关系，结合韦达定理及已知条件求t的范围，再应用向量数量积的坐标表示得到关于t的关系式，进而其范围，注意直线斜率不存在时的值. 【详解】（1）由题意，，又，解得． 所以椭圆C为. （2）设， 若直线l的斜率存在，设l为，联立， 消去y得：，， 则，又 ， 故且，即，则，又， 所以， 整理得，则且恒成立． ， 又，且，故. 当直线l的斜率不存在时，，又 ，又，解得，则． 综上，的取值范围为． 77．（2022·山西晋城·三模）已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程. (2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在定圆始终与直线相切. 【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存时，直线AB的方程，再考虑斜率存在时，设出直线AB的方程，利用得到的关系式，再利用点到直线距离公式得到原点到直线AB的距离为定值，验证斜率不存在时是否符合，最后求出答案. 【详解】（1）由题意得：，故， 又在椭圆上，故 联立得：，故， 椭圆方程为 （2）当直线AB斜率不存在时，因为， 不妨设直线OA，OB的斜率分别为1，-1， 联立y=x与，解得：， 求得：直线AB为 当直线AB斜率存在时，设直线AB： 联立得：， 设， 则， 因为， 所以 所以， 由原点到直线AB的距离， 存在定圆始终与直线相切， 显然当直线斜率不存在时，满足要求， 综上：存在定圆始终与直线相切 【点睛】对于求解圆锥曲线定点定值问题，要合理设出直线方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，然后通过等量关系列出方程，进行求解. 78．（2019·山西太原·模拟预测）已知，是椭圆的左右焦点， （1）若是椭圆上一点，求的最小值； （2）直线与椭圆交于，两点，是坐标原点.椭圆上存在点满足，求的值. 【答案】（1）0；（2）. 【解析】（1）先求出两焦点坐标，设，由，得到x的函数，然后利用函数法求解. （2）联立直线方程和椭圆方程，由求得m的范围，然后利用韦达定理结合，求得点P的坐标，由点P在椭圆上，代入椭圆方程求解. 【详解】（1）由椭圆方程，可得，，设， 则， 所以， 由椭圆的几何性质可得，， 所以当时，的最小值为0. （2）设，，，， 联立，得， 判别式△， 解得， 由根与系数的关系得， ， ，， ， ， 又点在椭圆上， ， 解得，， . 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，简单的几何性质以及平面向量知识，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 椭圆与方程（7大题型） 7大高频考点概览 考点01 椭圆的定义与方程 考点02 椭圆的离心率 考点03 直线的椭圆的位置关系 考点04 椭圆的弦长、焦点弦、中点弦问题 考点05 椭圆中参数的最值与范围 考点06 椭圆中的定值、定点问题 考点07 椭圆中与向量有关的问题 椭圆的定义与方程 地 城 考点01 1．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西吕梁·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 4．（22-23高二上·山西大同·期末）如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 5．（22-23高二上·山西太原·期末）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 6．（24-25高二上·山西晋中·期末）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ）． A．长轴长为2 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 9．（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 10．（23-24高二上·山西太原·期末）当时，方程表示的轨迹可能是（    ） A．两条直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 【答案】ABD 11．（20-21高二上·山东烟台·阶段练习）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（    ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 12．（21-22高二上·山西朔州·期末）若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为 ． 13．（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 14．（22-23高二上·山西大同·期末）已知分别为椭圆的左顶点､右焦点､上顶点､下顶点，直线与相交于点，且，则 . 15．（22-23高二上·山西·期末）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为1，则该椭圆的标准方程为 . 地 城 考点02 椭圆的离心率 16．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·山西运城·期末）万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式． 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的长轴长为，则小椭圆的短轴长为（    ）      A． B． C． D． 18．（22-23高二上·山西晋中·期末）曲线和，则和更接近圆的是（    ） A． B． C．相同 D．无法判断 故选：A. 19．（22-23高二上·山西运城·期末）椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 20．（21-22高二上·山西朔州·期末）若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 21．（21-22高二上·山西大同·期末）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为与的一个公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 24．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于两点，的平分线交于点，且，则椭圆的离心率为 . 25．（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为 . 26．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知点是椭圆 上的两点.且直线恰好平分圆 ，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 直线的椭圆的位置关系 地 城 考点03 27．（19-20高二上·山西忻州·期末）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于两点.若，则的方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 28．（19-20高二上·山西朔州·期末）已知椭圆（），，为椭圆上的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率的取值范围是（      ） A． B． C． D． 29．（18-19高二上·山西运城·期末）直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，为的中点，为原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·山西晋中·月考）直线与椭圆交点个数为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 31．（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）已知直线与椭圆相交于、两点，若线段的中点纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高二上·山西运城·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率 ． 33．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，且点A在x轴下方.设，，的内切圆的半径分别 为，，.若椭圆C的离心率为，且，则直线l的斜率为 . 34．（24-25高二上·山西·期末）已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 35．（24-25高二上·山西晋中·期末）在直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，它们的斜率之积为，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若斜率为且不经过原点的直线与交于，两点，线段的中点为，直线的斜率记为，求的值； (3)在（2）的条件下，点为上一点，且不与的顶点重合，点关于轴的对称点为，若直线与关于直线对称，求证：，，三点共线. 36．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，长轴长为，点在椭圆上（不与重合），且，左右焦点分别为. (1)求的标准方程； (2)设过右焦点的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 地 城 考点04 椭圆的弦长、焦点弦、中点弦问题 37．（21-22高二上·山西朔州·阶段练习）已知椭圆：，则关于椭圆下列叙述不正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的两个焦点分别为和 C．椭圆的离心率等于 D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，，则 38．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知点是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上一点，且，则的面积为（ ） A．32 B．16 C．9 D．8 39．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 40．（20-21高二上·山西长治·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 41．（22-23高二上·山西太原·阶段练习）椭圆与直线相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为2，则=（　　） A． B． C． D．2 42．（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆（ 且a为常数）的左、右两个焦点分别为和，动直线l经过椭圆的左焦点与椭圆交于A，B两点，且的最大值为7，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆C的离心率 C． D．若，则 43．（21-22高二上·山西太原·阶段练习）已知椭圆：上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的有 . ①若，则满足题意的点有4个； ②若，则； ③的最大值为； ④若是钝角三角形，则的取值范围是. 44．（20-21高二上·山西临汾·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的面积为 . 45．（19-20高二上·山西太原·期末）已知分别是椭圆的左右焦点，为上一点，的内心为点，过作平行于轴的直线分别交于点，若椭圆的离心率，则 . 46．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________. 47．（20-21高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的弦的中点M的坐标为，则的方程为 . 地 城 考点05 椭圆中参数的最值与范围 48．（25-26高二上·山西太原·期中）已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．的最大值为 49．（23-24高二上·山西吕梁·月考）已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（    ） A．2 B． C． D． 50．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知动点在椭圆C：上，为椭圆C的右焦点，若点满足．且，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．1 51．（24-25高二上·山西晋中·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 52．（23-24高二上·山西太原·期中）已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．的最大值为 53．（21-22高二上·山西朔州·阶段练习）已知为椭圆上任一点，为椭圆的左焦点，为椭圆内一点，则的最大值为 . 54．（20-21高二上·山西太原·阶段练习）已知椭圆的离心率e的取值范围为，直线交椭圆于点M，N，O为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是 ． 55．（19-20高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆 的离心率，，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于，的一点，直线，倾斜角分别为，，则的最小值是 . 56．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为． (1)求C的方程； (2)若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值． 57．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求实数的取值范围； (3)若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 58．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 地 城 考点06 椭圆中的定值、定点问题 59．（18-19高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点分别是,短轴的两个端点分别为，左右顶点分别为，若为等腰直角三角形，点在椭圆上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 60．（22-23高二上·山西晋城·月考）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 61．（21-22高二上·山西运城·期中）已知椭圆，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为的直线l与E交于M，N两点，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 62．（24-25高二上·山西·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 63．（24-25高二上·山西太原·期末）椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆C的一个焦点发出的光线，被椭圆上点P反射后，反射光线经过另一个焦点，且椭圆在点P处的切线l与的平分线l＇（即法线）垂直.已知椭圆C的中心为坐标原点O，左、右顶点分别为A，B，焦点为，.由发出的光线经椭圆C两次反射后回到所经过的路程为8c.过点作直线l的垂线，垂足为D，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当点P，A，B不共线时，设内切圆的圆心为，求实数n的取值范围； (3)过点的直线与椭圆C交于M，N两点（均与A，B不重合），直线AM交直线于点G，证明：B，N，G三点共线. 64．（23-24高二上·山西·期末）已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 65．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 66．（23-24高二上·山西长治·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为，，上焦点为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条互相垂直的弦交于，两点.当点变化时，直线是否过定点？并说明理由. 67．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知椭圆，，分别为的左､右顶点，为的上顶点，，且的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，点.若直线的斜率之和为0.求证：直线经过定点. 68．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆过点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点． 69．（21-22高二上·山西晋中·期末）已知点是椭圆上的一点，且椭圆的离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)两动点在椭圆上，总满足直线与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值. 70．（20-21高二上·山西长治·期末）在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，． （1）设动点满足，求点的轨迹； （2）设，，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 地 城 考点07 椭圆中与向量有关的问题 71．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 72．（21-22高二上·山西朔州·期中）设椭圆的右焦点为F．右顶点为A，上顶点为B．已知（O为原点）． (1)求椭圆的离心率， (2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线上，且，求椭圆的方程． 73．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，焦距为2，椭圆的上顶点为，为正三角形，过点的直线与椭圆相交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的一般方程. 74．（19-20高二下·山西·期中）设点和分别是椭圆上不同的两点，线段最长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围． 75．（19-20高二上·山西运城·期末）已知椭圆是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心O，点C在第一象限，且，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求的最大值. 76．（2022·山西吕梁·二模）已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围． 77．（2022·山西晋城·三模）已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程. (2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由. 78．（2019·山西太原·模拟预测）已知，是椭圆的左右焦点， （1）若是椭圆上一点，求的最小值； （2）直线与椭圆交于，两点，是坐标原点.椭圆上存在点满足，求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $