专题02 直线与方程（4大题型）（期末真题汇编 山西专用）高二数学上学期

专题02 直线与方程 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 直线的综合问题 直线的倾斜角与斜率 地 城 考点01 1．（24-25高二上·山西运城·期末）已知直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 2．（24-25高二上·山西·期末）若直线与互相平行，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 3．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 4．（23-24高二上·山西运城·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（    ） A．曲线表示圆 B．过点作圆的切线，其切线长为 C．过圆与可作4条公切线 D．直线的倾斜角范围是 6．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．直线与轴正半轴和正半轴围成的三角形面积的最小值是 D．直线和圆相交于两点，则最小值是4 7．（22-23高二上·山西太原·期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与之间的距离为4 8．（24-25高二上·山西晋中·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 9．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若直线与直线平行，则 . 10．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知点是椭圆 上的两点.且直线恰好平分圆 ，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 11．（22-23高二上·山西晋城·期末）若直线与直线垂直，则m= . 12．（21-22高二上·山西长治·期末）设直线，直线，若，则 . 13．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则 ． 14．（19-20高二上·山西·期末）给出下列命题： （1）若函数在上是减函数，则； （2）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是； （3）点关于直线的对称点为，则的坐标为； （4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切. 其中正确的命题有 .（把所有正确的命题的序号都填上） 地 城 考点02 直线的方程 15．（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 18．（23-24高二上·山西大同·期末）直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 19．（22-23高二上·山西阳泉·期末）圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高二上·山西临汾·期末）设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 21．（22-23高二上·山西晋城·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 23．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点到原点的距离为 B．点到直线的距离为1 C．不论实数取何值，直线：都经过点 D．是直线的一个方向向量的坐标 24．（22-23高二上·山西晋中·期末）过点，且垂直于的直线的一般式方程为 . 25．（20-21高二上·山西晋城·期末）和是平面上圆上两点，过两点作圆的切线交于轴上同一点，则圆的面积为 . 26．（20-21高二上·山西吕梁·期末）过点且与直线平行的直线方程为 . 27．（20-21高二上·山西吕梁·期末）方程所表示的直线恒过定点 ． 28．（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知直线，则下列结论正确的是 ． ①直线l的倾斜角是； ②若直线，则； ③点到直线l的距离是4； ④过与直线l平行的直线方程是． 29．（23-24高二上·山西太原·期末）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 30．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求经过点A，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)求过点B的圆C的切线方程. 31．（22-23高二上·山西·期末）已知圆和直线. (1)证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交； (2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程； (3)已知点在圆C上，求的最大值. 32．（22-23高二上·山西运城·期中）已知直线与直线交于点. (1)直线经过点，且平行于直线，求直线的方程； (2)直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程. （注：结果都写成直线方程的一般式） 33．（21-22高二上·山西晋中·期末）在平面直角坐标系中，已知. (1)求直线的方程； (2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程. 直线的交点坐标与距离公式 地 城 考点03 34．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 35．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 36．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上一点，满足，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为（    ） A．1 B． C．2 D．    37．（22-23高二上·山西太原·期末）已知曲线，直线分别是曲线与直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 38．（22-23高二上·山西阳泉·期末）若两条直线与平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 39．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 40．（21-22高二上·山西大同·期末）若直线y＝kx＋4经过第三象限，且被圆截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高二上·山西运城·期末）已知为双曲线上一点，为其左右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．的内心为，到轴的距离为1 C．若，则的面积为 D．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 42．（24-25高二上·山西·期末）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 43．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 44．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 45．（21-22高二上·山西运城·期末）若实数，，，满足，则的最小值为 . 46．（20-21高二上·山西长治·期末）双曲线的右焦点到其渐近线的距离为 . 47．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程． 48．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知圆. (1)若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)求与圆和直线都相切的最小圆的方程. 地 城 考点04 直线的综合问题 49．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知直线，直线.若，则（    ） A．4 B．-2 C．4或-2 D．3 51．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（19-20高二上·山西·期末）两平行直线、分别过点、，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（22-23高二下·山西晋中·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点 B．点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上 C．若直线、的斜率分别为、，则 D．过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为 54．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的焦距为 ，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.直线与椭圆交于 ，两点，点为的中点. (1)求椭圆的方程； (2)用表示点的坐标. (3)设点，且，求直线的方程. 55．（22-23高二上·山西·期末）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且，求直线的方程. 56．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）已知菱形的中心为点边所在直线的方程是，对角线所在直线的方程是. (1)求对角线所在直线的方程； (2)求边所在直线的方程. 57．（25-26高二上·山西·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的标准方程； (2)若点是圆上的任意一点，求点到直线距离的取值范围. 58．（25-26高二上·山西·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的截距式方程. 59．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，直线． (1)若直线与圆有且仅有1个交点，求的值； (2)若直线与圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 60．（25-26高二上·山西太原·阶段练习）（1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与方程 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 直线的综合问题 直线的倾斜角与斜率 地 城 考点01 1．（24-25高二上·山西运城·期末）已知直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时，与平行， 当时，与平行，均符合题意， 故选：C 2．（24-25高二上·山西·期末）若直线与互相平行，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】A 【分析】由平行关系得到，求解并验证即可； 【详解】由题意知，所以或. 当时，两直线重合，不符合题意； 当时，两直线平行. 故选：A 3．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线的倾斜角的关系可求两条渐近线的倾斜角，结合离心率公式可得答案. 【详解】双曲线的两条渐近线方程分别为，易知. 又，解得.所以， 所以的离心率为. 故选：D. 4．（23-24高二上·山西运城·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率求倾斜角即可. 【详解】直线方程可化为， 则直线的斜率为，设倾斜角为，则， 由，则，即倾斜角为. 故选：C. 5．（24-25高二上·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（    ） A．曲线表示圆 B．过点作圆的切线，其切线长为 C．过圆与可作4条公切线 D．直线的倾斜角范围是 【答案】BCD 【分析】将曲线方程配方可判断A；利用切线长公式求出切线的长可判断B；判断两圆的位置关系可判断C；求出斜率的范围，可得倾斜角的范围，从而可判断D. 【详解】对A选项，曲线可化为，不是圆，所以A错误； 对B选项，切线长为 ，所以B正确； 对C选项，因为圆的圆心坐标为，半径为2， 的圆心坐标为，半径为1， 所以两圆圆心距为大于两半径之和， 所以两圆相离，可作4条公切线，所以C正确； 对D选项，设直线的倾斜角的倾斜角为，， 因为直线的斜率，所以倾斜角范围．所以D正确， 故选：BCD. 6．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．直线与轴正半轴和正半轴围成的三角形面积的最小值是 D．直线和圆相交于两点，则最小值是4 【答案】AD 【分析】利用直线平行、垂直的判定求参数判断A、B；求直线与坐标轴的交点，应用三角形面积公式及基本不等式求面积的最小值，注意取值条件，判断C；将直线化为，即可得定点计算求出的最大值即可得出最小值判断D. 【详解】A：由题意，，则，A对； B：由题意，，则，B错； C：由题意，直线与负半轴均有交点， 令，则，令，则，知， 所以直线与轴正半轴和正半轴围成的三角形面积， 则， 当且仅当时取等号，所以直线和正半轴和正半轴构成的三角形面积最小值是4，C错误； D：直线可化为，联立，直线恒过点， 则垂直于直线时，原点到直线的距离最大， 最大值为，则最小值是，D对. 故选：AD 7．（22-23高二上·山西太原·期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与之间的距离为4 【答案】ABC 【分析】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入，由韦达定理得可判断A；点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断B；根据抛物线的定义可知，可判断C；由于与平行，所以与之间的距离，可判断D． 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入得，则，故A正确； 点与均在直线上，则点的坐标为，由得，则点的坐标为，则，故B正确； 由抛物线的定义可知，，故C正确； 与平行，与之间的距离，故D错误， 故选：ABC． 8．（24-25高二上·山西晋中·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解. 【详解】因为，所以，所以，所以， 直线的斜率为，因为，所以， 故答案为：. 9．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若直线与直线平行，则 . 【答案】/ 【分析】由直线平行的充要条件即可求解. 【详解】由与平行，则，所以. 故答案为：. 10．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知点是椭圆 上的两点.且直线恰好平分圆 ，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，，则.由已知可推得，根据，可得出，然后即可求出离心率. 【详解】设，. 依题意有，两式相减得，所以. 因直线恰好平分圆，则， 则，. 由已知，， 所以，，即. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 11．（22-23高二上·山西晋城·期末）若直线与直线垂直，则m= . 【答案】 【分析】根据两直线垂直的充要条件列出方程，解之即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得：. 故答案为：. 12．（21-22高二上·山西长治·期末）设直线，直线，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据两直线平行可得，，即可求出． 【详解】依题可得，，解得． 故答案为： 13．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则 ． 【答案】或 【分析】首先判断渐近线的倾斜角，再求的值. 【详解】由条件可知双曲线的其中一条渐近线方程是， 因为两条渐近线的夹角是，所以直线的倾斜角是或， 即或. 故答案为：或 14．（19-20高二上·山西·期末）给出下列命题： （1）若函数在上是减函数，则； （2）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是； （3）点关于直线的对称点为，则的坐标为； （4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切. 其中正确的命题有 .（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】（3）（4） 【解析】对四个命题逐一分析，由此确定命题正确的选项. 【详解】对于（1），依题意在区间上恒成立，所以，所以，故（1）错误. 对于（2），直线过，而点在直线的两侧，所以的取值范围是，即，故（2）错误. 对于（3）直线的斜率为，，；的中点为，点满足直线.所以（3）正确. 对于（4），抛物线的焦点为，准线为，直线过焦点.直线与抛物线相交与两点，根据抛物线的定义可知，AB中点到抛物线准线距离等于AB一半，所以为直径的圆恰好与抛物线的准线相切，故（4）正确. 故答案为：（3）（4） 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查直线的斜率，考查点关于直线对称轴问题，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 地 城 考点02 直线的方程 15．（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 16．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据曲线的方程确定为以为圆心，2为半径的下半圆，进一步利用经过定点的直线系和曲线的交点确定直线的斜率，最后确定实数k的取值范围． 【详解】 ,所以直线恒过定点，且斜率为； 曲线，整理得， 故该曲线是以为圆心，2为半径的下半圆， 如图所示，令，代入，整理得，解得或； 故， ，所以直线与曲线有交点，只需或即可， 故选：B. 17．（23-24高二上·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】B 【分析】利用横纵截距的意义求解即得. 【详解】直线，当时，，当时，， 所以直线在轴和轴上的截距分别为，2. 故选：B 18．（23-24高二上·山西大同·期末）直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，令可解. 【详解】由题可得直线的斜率， 再由点斜式方程可得， 化简可得，令， 则直线在轴上的截距为． 故选：D． 19．（22-23高二上·山西阳泉·期末）圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得直线的方程，然后利用弦长公式求得. 【详解】直线AB的斜率为，又直线AB过点， 所以直线AB的方程为：，即， 圆的圆心为，半径， 圆心到直线AB：的距离为， 则． 故选：A. 20．（22-23高二上·山西临汾·期末）设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的齐次式求解. 【详解】直线的方程为，即. 原点到直线的距离为，于是有， 所以，两边平方，得. 又，所以， 两边同时除以，得，解得，则. 所以双曲线的离心率为. 故选：A． 21．（22-23高二上·山西晋城·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线可知，直线的方向向量为，代入直线方程即可. 【详解】由直线可知，直线的方向向量为，则直线的方向向量为. 故选：B 22．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 23．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点到原点的距离为 B．点到直线的距离为1 C．不论实数取何值，直线：都经过点 D．是直线的一个方向向量的坐标 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项计算、判断即得. 【详解】由，解得，则点， 对于A，到原点距离，A正确； 对于B，到直线的距离，B错误； 对于C，，当时，直线不过点，C错误； 对于D，直线的斜率，因此是直线的一个方向向量的坐标，D正确. 故选：AD 24．（22-23高二上·山西晋中·期末）过点，且垂直于的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】根据直线垂直的条件，设所求直线方程为，将点代入即可求解. 【详解】又题意可设所求直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以所求直线的一般式方程为， 故答案为：. 25．（20-21高二上·山西晋城·期末）和是平面上圆上两点，过两点作圆的切线交于轴上同一点，则圆的面积为 . 【答案】 【解析】求出AB中点E的坐标，求出直线的方程，求出点坐标，结合三角形相似求出的长，求出圆的面积即得解． 【详解】由题意可知中垂线为，中点， 则直线方程为：，故， 在中， ，，， ， 故，， 故圆面积为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式，后定量. 26．（20-21高二上·山西吕梁·期末）过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【解析】利用直线平行，求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程． 【详解】直线的斜率为 过点且与直线平行的直线斜率为 所以直线的方程为：，即． 故答案为：． 27．（20-21高二上·山西吕梁·期末）方程所表示的直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】将方程转化为求解. 【详解】方程可化为：， 由，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 28．（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知直线，则下列结论正确的是 ． ①直线l的倾斜角是； ②若直线，则； ③点到直线l的距离是4； ④过与直线l平行的直线方程是． 【答案】①② 【分析】由题意利用直线的斜率和倾斜角，用点斜式求直线的方程，点到直线的距离公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：对于直线， 由于它的斜率为，故它的倾斜角为，故①正确； 由于直线的斜率为， 显然，直线和直线的斜率之积等于，故，故②正确． 点到直线的距离是，故③错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故④错误， 故答案为：①②． 29．（23-24高二上·山西太原·期末）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形. 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）求出直线的斜率，结合（1）中信息及两点间距离公式计算判断即得. 【详解】（1）依题意，直线的斜率，则直线的方程为：， 化简得：. （2）直线的斜率，显然，即，是直角三角形， 又，则是等腰三角形， 所以是等腰直角三角形. 30．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求经过点A，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)求过点B的圆C的切线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，代入点坐标，求解即可.（2）设圆心坐标，借助于，解出C点坐标，利用直线和切线垂直求切线的斜率，进而写出切线方程. 【详解】（1）经过点A，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时， 设直线的方程为，代入点得，，即， 即直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为， 将点代入解得，即直线的方程为 ∴所求直线的方程为或； （2）因圆心C在直线上，则设圆心， 又圆C经过，两点，于是得圆C的半径， 即有，解得，圆心，∴， ∴，∴切线l的方程为：，即. 31．（22-23高二上·山西·期末）已知圆和直线. (1)证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交； (2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程； (3)已知点在圆C上，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把直线的方程变形后，根据直线恒过定点，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离,发现小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线与圆恒交于两点； （2）根据直线与圆相交弦长公式，可确定当圆心到直线的距离最大值时，弦长最小，即直线与垂直时，求得直线方程； （3）表示圆C上的点到的距离的平方，求其最值即转化为点与圆上的点的距离最大值的平方，结合圆的性质可求． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 令解得，所以直线l过定点， 而，即点在圆内部，所以直线l与圆C相交； （2）解：如图所示，过圆心作于，设所过定点为 由图可知圆心到直线的距离，且， 又直线l被圆C截得的弦长为，故当取最大值时，弦长最小 所以当，即直线时直线被圆C截得的弦长最小时， 又圆心，所以，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. （3）解：因为，表示圆C上的点到的距离的平方，因为圆心到原点的距离， 所以. 32．（22-23高二上·山西运城·期中）已知直线与直线交于点. (1)直线经过点，且平行于直线，求直线的方程； (2)直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程. （注：结果都写成直线方程的一般式） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）联立两直线方程求出交点的坐标，设，将点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）依题意设或，将点的坐标代入方程，求出、的值，即可得解； 【详解】（1）解：由联立得，， 设，将代入得，解得， 为. （2）解：由题意直线的斜率存在且不为，设或， 将代入得或 解得无解或， 所以，即， 为. 33．（21-22高二上·山西晋中·期末）在平面直角坐标系中，已知. (1)求直线的方程； (2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合点斜式求得直线的方程. （2）设，根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程. 【详解】（1）， 于是直线的方程为，即 （2）设动点，于是， 代入坐标得， 化简得， 于是动点的轨迹方程为 直线的交点坐标与距离公式 地 城 考点03 34．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A 35．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，可得，利用点到直线距离公式求a. 【详解】设圆心C到直线AB的距离为d， ∵圆的方程为∴  圆心，圆的半径为3，， 又，∴， 即点到直线的距离为， 所以， 所以解得或. 故选：D． 36．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上一点，满足，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出双曲线的焦点，结合已知求出点的坐标，进而求出，再求出到渐近线的距离作答. 【详解】双曲线的半焦距，则焦点，由，知点在的中垂线上，设点， 由，得，解得，即点或， 而点在双曲线上，于是，解得， 双曲线的渐近线为，点到渐近线的距离为， 所以该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为. 故选：D    37．（22-23高二上·山西太原·期末）已知曲线，直线分别是曲线与直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出曲线上点到直线距离最小值作答. 【详解】依题意，设曲线上点，而点在直线上， 由消去x得，，即直线与曲线相离， 则，当且仅当，即，且时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 38．（22-23高二上·山西阳泉·期末）若两条直线与平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系求解，进而根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由与平行，可得， 当时，两直线不重合，故，进而与间的距离为， 故选：B 39．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆、的圆心和半径，再由两圆没有公共点列不等式求解作答. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ， 因圆、没有公共点，则有或， 即或，又，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 40．（21-22高二上·山西大同·期末）若直线y＝kx＋4经过第三象限，且被圆截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出弦长，由题意可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角． 【详解】由题意可得圆的半径为2，由弦长可得圆心到直线的距离， 而圆心到直线的距离，解得：， 所以直线的倾斜角为：或， 又直线y＝kx＋4经过第三象限， ∴倾斜角为锐角，即直线的倾斜角为. 故选：B 41．（24-25高二上·山西运城·期末）已知为双曲线上一点，为其左右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．的内心为，到轴的距离为1 C．若，则的面积为 D．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 【答案】ABD 【分析】由双曲线的定义结合二次函数的性质可得A正确；由双曲线的定义结合几何关系可得B正确；由双曲线的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可得C错误；由渐近线方程和点到直线的距离可得D正确； 【详解】对于A，由双曲线的定义可得设，， 令，，则， 因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，设的内切圆半径为，在右上，由双曲线方程可知，， 设三角形内切圆三边的切点分别为，如图， 由几何关系可得， 所以，解得， 所以，所以到轴的距离为1，故B正确； 对于C，设 则由余弦定理可得， 即， 又，所以，所以，故C错误； 对于D，设，渐近线方程， 点到渐近线的距离， 同理到渐近线的距离， 所以， 因为点在双曲线上，所以，代入上式可得点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值，故D正确； 故选：ABD. 42．（24-25高二上·山西·期末）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【分析】由圆心到直线的距离可判断A；最短的弦长为垂直与该直径的弦长可判断B；当的值最小时，则，可判断C；当时，切线长最小，可判断D． 【详解】 A：圆，， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，故A正确； B：设过点的直线方程为， 所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心的距离为， 最短弦长为，故B错误； C：当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确； D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确. 故选：ACD． 43．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 【答案】BCD 【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长交于点，根据三角形全等进而得，，再结合双曲线的定义，中位线定理得，由离心率求出可得双曲线方程可判断ABC；设，则，求出点到两条渐近线的距离之积可判断D. 【详解】对于A，不妨设点在双曲线的右支上，延长相交于点， 因为平分，且，所以， 在中，，所以， 所以，， 即为线段的中点，可得为的中位线， 根据双曲线的定义， 因为为的中位线，所以，即， 离心率为，可得，所以， 所以双曲线的标准方程为，故A错误； 对于B，因为为的中位线，，即，故B正确； 对于C，因为，所以双曲线的焦距为，故C正确； 对于D，双曲线的标准方程为， 所以渐近线方程为，即， 设，则，即， 点到两条渐近线的距离之积为，故D正确.    故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长相交于点，结合几何关系得到为的中点，进而求得双曲线的解析式. 44．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由对称性，求得关于的对称点，即可求解； 【详解】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 45．（21-22高二上·山西运城·期末）若实数，，，满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，采用数形结合和对函数求导可知，函数在处的切线方程与直线之间的距离的平方为我们要求的的最小值. 【详解】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为. 故答案为：2. 46．（20-21高二上·山西长治·期末）双曲线的右焦点到其渐近线的距离为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的方程写出右焦点坐标以及一条渐近线的方程，由此求解出右焦点到渐近线的距离. 【详解】因为双曲线方程，所以，所以，所以右焦点坐标为， 令，所以，取其中一条渐近线， 所以到直线的距离为：， 故答案为：. 47．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程． 【答案】(1)； (2)理由见解析，圆的方程为. 【分析】(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解. (2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答. 【详解】（1）因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,， ，因此，，解得，， 所以椭圆C的标准方程是：. （2）由消去y并整理得：， 依题意，，设， ，因， 则 ， 于是得，此时，，则原点O到直线l的距离， 所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线l相切，此圆的方程为. 【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为， 再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解. 48．（21-22高二上·山西朔州·期末）已知圆. (1)若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)求与圆和直线都相切的最小圆的方程. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据题意设出直线的方程，然后根据直线与圆相切，即可求出答案； （2）首先根据题意判断出最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为， 然后设出最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，从而可求出答案. 【详解】（1）因为直线不过原点，设直线的方程为， 圆的标准方程为， 若直线与圆相切，则，即，解得或者3， 所以直线的方程为或者； （2）因为，所以直线与圆相离， 所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上， 即最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为， 设最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 所以，即， 解得(舍)或， 所以最小的圆的方程为. 地 城 考点04 直线的综合问题 49．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，根圆的弦长求出，根据两点的距离公式求出，再求出即可. 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 50．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知直线，直线.若，则（    ） A．4 B．-2 C．4或-2 D．3 【答案】A 【分析】由直线平行的必要条件列出方程求解参数，并注意回代检验是否满足平行而不是重合. 【详解】因为，所以，即，得或. 当时，，，符合题意； 当时， ，，，重合. 故. 故选：A. 51．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围 【详解】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 52．（19-20高二上·山西·期末）两平行直线、分别过点、，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】计算，故、之间的距离的最大值为，得到答案. 【详解】、，则，故、之间的距离的最大值为， 当、与垂直时等号成立. 故选：. 【点睛】本题考查了平行直线的距离范围，意在考查学生的计算能力. 53．（22-23高二下·山西晋中·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点 B．点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上 C．若直线、的斜率分别为、，则 D．过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为 【答案】BC 【分析】根据直线与双曲线的位置关系可判断出A选项；求出点关于双曲线的渐近线的对称点的坐标，再将点的坐标带入双曲线的方程，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；求出当直线的斜率为时的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点垂直于轴的直线、平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，所以至少有条，故A错误； 对于B选项，易得，双曲线的一条渐近线方程为， 设点关于的对称点为， 则，解得，所以， 又，即点在双曲线上，故B正确； 设，所以，即， 所以，故C正确； 当直线的斜率为时，，故D错误． 故选：BC. 54．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的焦距为 ，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.直线与椭圆交于 ，两点，点为的中点. (1)求椭圆的方程； (2)用表示点的坐标. (3)设点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由的关系可得b，进而得到椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式可得点的坐标； （3）利用两直线垂直的条件，可求得k的值，即可得直线方程． 【详解】（1）由椭圆的定义可得，， 解得，， 所以， 所以椭圆C的方程为． （2）由，得， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，得， 设， 则， ， 点为的中点，所以中点坐标. （3）因为，，即， 所以， 解得，满足， 所以直线l的方程为或. 【点睛】关键点睛：解答第3问求直线的方程，关键是根据直线的垂直，利用两直线斜率之积为，列出方程求得直线的斜率，即可求解. 55．（22-23高二上·山西·期末）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且，求直线的方程. 【答案】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的方程，再结合即可求出切线的方程． 【详解】因为，所以， 所以直线的方程为，即， 设直线与曲线相切于点， 则直线的方程为. 因为，所以，解得， 所以直线的方程为. 56．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）已知菱形的中心为点边所在直线的方程是，对角线所在直线的方程是. (1)求对角线所在直线的方程； (2)求边所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可设，将把代入直线的方程，求得，即可求得直线的方程； （2）联立方程组，求得的坐标，设为，根据中点公式，求得，再联立方程组，取得，结合直线的两点式方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为四边形为菱形，则的对角线互相垂直，即， 因为对角线所在直线的方程是，可设， 把代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为. （2）解：联立方程组，解得，即， 设点的坐标为， 因为，且为的中点，可得且， 解得，即， 再联立方程组，解得，即， 所以边所在的直线方程为，即. 57．（25-26高二上·山西·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的标准方程； (2)若点是圆上的任意一点，求点到直线距离的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据几何法求出圆心坐标及半径，进而可得圆的方程； （2）先判断直线与圆的位置关系，用几何法可得圆上的点到直线的距离的范围. 【详解】（1）由，，得中点坐标为. 由直线斜率，得中垂线斜率. 所以中垂线方程为，即. 由得，. 所以圆圆心为，半径. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可得直线方程为，即. 圆心到直线距离，显然直线与圆相交. 所以点到直线的最小距离为0，最大距离为. 故到直线距离的取值范围为. 58．（25-26高二上·山西·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的截距式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式确定中点，求得斜率即可求解； （2）由斜率之积为，确定斜率，即可求解. 【详解】（1）由，，得中点. 所以. 所以边上的中线所在直线方程为， 化为斜截式方程为. （2）由，，得. 所以边上的高所在直线斜率. 所以边上的高所在直线方程为， 化为截距式方程为. 59．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，直线． (1)若直线与圆有且仅有1个交点，求的值； (2)若直线与圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用直线与圆的位置关系的判断方法得，即可求解； （2）根据条件，得圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆有且仅有1个交点，则直线与圆相切， 所以，整理得到，解得或， 所以的值为或. （2）因为的面积为，则， 得到，所以，则，所以圆心到直线的距离为， 则，整理得到，解得或， 当时，直线方程为，即，当时，直线方程为， 所以直线方程为或.      60．（25-26高二上·山西太原·阶段练习）（1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求两直线的交点，再根据垂直关系求所求直线斜率，进而得直线方程； （2）先确定直线过定点，再求出与坐标轴正半轴交点的坐标表达式，结合面积最小利用基本不等式计算即可求周长. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）由可得，， 令，解得，所以直线过定点． 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $