期末复习讲义：专题07 解决问题的策略（考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练）-2025-2026学年五年级上册数学苏教版

期末复习讲义：专题07 解决问题的策略 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、列举策略的意义及适用场景 1. 列举策略的意义： （1）定义：将问题中所有可能的情况不重复、不遗漏地一一列出，从而找到问题答案的解题方法。 （2）核心思想：有序思考，全面覆盖所有可能性。 2. 适用场景： （1）问题答案有多种可能性，需找出所有符合条件的结果； （2）需通过比较不同方案得出最优解（如最大面积、最小费用等）； （3）题目中出现"有多少种不同的""可以怎样""有哪些可能"等表述时。 考点二、列举的基本方法 1. 列表法： （1）适用情况：涉及两个变化量的问题（如长和宽、单价和数量等）。 （2）操作步骤： ①确定表头（横栏、竖栏表示的量）； ②有序填写数据； ③标记符合条件的结果。 2. 画图法： （1） 适用情况：搭配问题、路线问题、几何图形问题。 （2） 操作步骤： ①用图形或符号表示事物； ②连线表示搭配关系； ③计数所有有效连线。 3. 列式计算法： （1） 适用情况：有规律的排列组合问题； （2）基本模型：分类相加、分步相乘。 考点三、用列举策略解决问题的步骤 1.审题分析： （1）明确问题：找出要解决的问题和限制条件； （2）确定类型：判断是否适合用列举策略（结果有多种可能）。 2.制定方案： （1）选择列举方法：根据问题特点选列表、画图或列式； （2）确定有序标准：按从小到大、从少到多等顺序列举。 3.实施列举： （1）不重复：避免相同情况多次出现； （2）不遗漏：确保所有可能情况都考虑到； （3）简洁记录：用符号、字母或编号简化记录。 4.检验作答： （1）检查列举是否完整：反向验证是否有遗漏或重复； （2）计算结果是否正确：核对总数或最值是否符合题意； （3）规范作答：写出明确答案并带单位（如"有7种不同订法"）。 考点四、列举策略的注意事项与优化技巧 1.有序列举的关键方法： （1）分类列举：按一定标准分类（如数量、大小、性质）； （2）分步列举：先确定一个量，再列举另一个量； （3）表格列举：用横行竖列表示不同维度，清晰呈现所有组合。 2.策略优化技巧： （1）极端值优先：从最大或最小值开始列举，快速找到边界； （2）算式简化：用加法原理（分类用加法）或乘法原理（分步用乘法）计算总数； （3）图表辅助：复杂问题用树状图、连线图等可视化工具。 例题讲解 一、用列举法解决图形问题 【例题1】（20-21五年级上·江苏盐城·期末）用24个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，一共有多少种不同的拼法？请在下面列举出来。再回答问题。 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 （1）一共有（    ）种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，拼成的长方形周长最大是（    ）厘米。 【答案】填表见详解 （1）4 （2）50 【分析】边长1厘米的小正方形面积是1平方厘米，用24个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，则拼成的长方形的面积是24平方厘米。长方形的面积＝长×宽，而24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，即长方形长24厘米，宽1厘米；或长12厘米，宽2厘米；或长8厘米，宽3厘米；或长6厘米，宽4厘米。长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此计算、填表并回答问题。 【详解】长方形长24厘米，宽1厘米；或长12厘米，宽2厘米；或长8厘米，宽3厘米；或长6厘米，宽4厘米。周长分别为： （24＋1）×2＝50（厘米） （12＋2）×2＝28（厘米） （8＋3）×2＝22（厘米） （6＋4）×2＝20（厘米） 长/厘米 24 12 8 6 宽/厘米 1 2 3 4 周长/厘米 50 28 22 20 （1）一共有4种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，拼成的长方形周长最大是50厘米。 【例题2】（24-25五年级上·江苏·单元测试）用30个边长1厘米的小正方形拼大长方形，一共有( )种不同的拼法，周长最小是( )厘米。 【答案】 4 22 【分析】用30个边长1厘米的小正方形拼大长方形，则拼成的长方形面积等于30平方厘米，又因长方形的面积＝长×宽，所以可以用列举法找出组成30的全部乘法算式，即可得出拼成长方形的长和宽，再根据长和宽的值计算出最短的周长。 【详解】因为30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，所以可以有以下4种拼法：宽1厘米，长30厘米；宽2厘米，长15厘米；宽3厘米，长10厘米；宽5厘米，长6厘米。它们的周长分别是（30＋1）×2＝31×2＝62（厘米），（15＋2）×2＝17×2＝34（厘米），（10＋3）×2＝13×2＝26（厘米），（6＋5）×2＝11×2＝22（厘米），所以周长最小是22厘米。 所以，用30个边长为1厘米的小正方形拼大长方形，一共有4种不同的拼法，周长最小是22厘米。 二、用列举法解决搭配问题 【例题1】（24-25五年级上·江苏·单元测试）实验小学在课后服务时间开展社团活动，小强想从2种文艺类社团和3种体育类社团中任意选择2种社团，他有多少种不同的选法？如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有多少种不同的选法？ 【答案】10种；6种 【分析】先给2种文艺类社团和3种体育类社团编号，然后用列举法把所有符合要求的组合列举出来，再数一数，即可得解。 【详解】设2种文艺类社团的编号为A、B；3种体育类社团的编号为C、D、E； 任意选择2种社团，可以是： AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，一共有10种不同的选法。 从文艺类社团和体育类社团中各选1种，可以是： AC、AD、AE、BC、BD、BE，一共有6种不同的选法。 答：他有10种不同的选法，如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有6种不同的选法。 【例题2】（24-25五年级上·江苏·课后作业）多这些骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个圆点，从中任取两个抛到桌面上，两个向上的点子数加起来，可能会得到多少种不同的数值呢？ 【答案】11种 【分析】由题意可知，此题我们可以运用列举的方法，将6个数字进行任意2个组合，算出不同的和；然后数出不同的和的个数即可，据此解答。 【详解】1＋1＝2、1＋2＝3、1＋3＝4、1＋4＝5、1＋5＝6、1＋6＝7； 2＋1＝3、2＋2＝4、2＋3＝5、2＋4＝6、2＋5＝7、2＋6＝8； 3＋1＝4、3＋2＝5、3＋3＝6、3＋4＝7、3＋5＝8、3＋6＝9； 4＋1＝5、4＋2＝6、4＋3＝7、4＋4＝8、4＋5＝9、4＋6＝10； 5＋1＝6、5＋2＝7、5＋3＝8、5＋4＝9、5＋5＝10、5＋6＝11； 6＋1＝7、6＋2＝8、6＋3＝9、6＋4＝10、6＋5＝11、6＋6＝12； 两个向上的点子数加起来，和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。 答： 两个向上的点子数加起来，可能会得到11种不同的数值. 考点练习 一、用列举法解决图形问题 1．（24-25五年级上·江苏·单元测试）王大爷准备用28块0.5米长的篱笆围一个长方形菜地，围成的菜地长和宽都是整米数，有( )种不同的围法，围成菜地的面积最大是( )平方米。 【答案】 3 12 【分析】根据题意可知，先计算出篱笆的总长度为14米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，一条长和一条宽的长度和是篱笆总长度的一半，为7米，因为长和宽都是整米数， 找出和为7的两个整数的所有可能的组合，则它们可分别作为长方形菜地的长和宽； 长方形的面积＝长×宽，计算每种组合的面积，通过比较，确定最大的面积，据此解答即可。 【详解】28×0.5＝14（米） 14÷2＝7（米） 1＋6＝7（米） 2＋5＝7（米） 3＋4＝7（米） 则有3种不同的围法； 1×6＝6（平方米） 2×5＝10（平方米） 3×4＝12（平方米） 12＞10＞6 则围成的菜地的面积最大是12平方米。 故用28块0.5米长的篱笆围一个长方形菜地，有3种不同的围法，围成菜地的面积最大是12平方米。 2．（23-24六年级上·山东青岛·单元测试）小红用20根1分米长的小棒围成一个长方形，有多少种不同的围法？用列表的方法把长和宽列举出来并算出围成的每个长方形的面积。（长和宽不相等且取整分米数） 【答案】4种；长方形的面积分别是24平方分米、21平方分米、16平方分米、9平方分米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，可知这个长方形的周长是20分米，用20÷2即可求出一条长和一条宽的和，也就是10分米，然后把10拆分成2个数相加，先从1开始，有顺序地一一列举，才能找到所有正确答案，可以用表格整理；最后计算出几种不同的围法的长方形的面积。 【详解】20÷2＝10（分米） 10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5 长和宽不相等且取整分米数，所以长和宽不等于5分米。 用表格整理： 长（分米） 6 7 8 9 宽（分米） 4 3 2 1 面积（平方分米） 24 21 16 9 答：有4种不同的围法，长方形的面积分别是24平方分米、21平方分米、16平方分米、9平方分米。 3．（22-23五年级上·河南洛阳·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃。李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家花圃面积更大的长方形花圃吗？（请用列举的策略说明理由） 【答案】能；理由见详解 【分析】由于李叔叔买来18根1米长的木条，由此即可知道长方形的周长是18米，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，由此即可知道长加宽的和是：18÷2＝9（米），当长是8米，宽为l米；长是7米，宽为2米；长是6米，宽为3米；长是5米，宽为4米；根据长方形的面积公式：长×宽，分别求出几种情况的面积，再和李叔叔的邻居家的长方形花圃的面积比较即可。 【详解】1×18＝18（米） 18÷2＝9（米） 长（米） 8 7 6 5 宽（米） 1 2 3 4 面积（平方米） 8 14 18 20 5×4＝20（平方米） 6×3＝18（平方米） 20＞18 答：他能围一个比邻居家面积更大的长方形花圃。 二、用列举法解决搭配问题 1．（24-25五年级上·江苏·单元测试）一次数学竞赛共有四道题，答对一道题得5分，答错一道题倒扣1分。丽丽参加了这次数学竞赛，并回答了所有题目，她有可能得多少分？在表中填一填。 答对题数/道 答错题数/道 得分/分 【答案】见详解 【分析】根据答对一道题得5分，答错一道题倒扣1分，共4道题，列举出所有出现的可能，然后分别进行计算即可。 【详解】4道题全答对得分：5×4＝20（分） 答对3题答错1题得分： 5×3－1 ＝15－1 ＝14（分） 答对2题答错2题得分： 5×2－1×2 ＝10－2 ＝8（分） 答对1题答错3题得分： 5×1－1×3 ＝5－3 ＝2（分） 答错4题得分：﹣4（分） 答对题数/道 4      3      2      1      0 答错题数/道 0      1      2      3      4 得分/分 20 14      8      2    ﹣4 2．（24-25五年级上·江苏·单元测试）有三张卡片，分别写上9、8、4三个数字，小英每次任意抽一张再放回去。抽两次，可能得到的数字和是多少？（列举出所有可能的答案） 【答案】18、17、13、16、12、8 【分析】9、8、4三个数字卡片，小英每次任意抽一张再放进去，抽两次，抽出的两个数字可能相同，也可能不同。则可能的结果为9，9；或9、8；或9、4；或8、8；或8、4；或4、4，共6种情况，然后将数字加起来即可解答。 【详解】9＋9＝18 9＋8＝17 9＋4＝13 8＋8＝16 8＋4＝12 4＋4＝8 答：可能得到的数字和是18、17、13、16、12、8。 3．（24-25五年级上·江苏·课后作业）一种电池有4节装和6节装两种不同的包装。买40节电池，可以怎样购买？一共有多少种不同的选择方法？ 【答案】选择方法见详解；4种 【分析】根据题意，要买40节电池，有4节装和6节装两种不同的包装，因为40能被4整除，由此可知4节装的可以买10盒；再逐步减少4节装的盒数，增加6节装的盒数，两种包装的电池总和等于40即可，列举出所有不同的选择方法，再数一数，得出一共有几种不同的选择方法。 【详解】方法一：4节10盒； 4×10＝40（节） 方法二：4节7盒，6节2盒； 4×7＋6×2 ＝28＋12 ＝40（节） 方法三：4节4盒，6节4盒； 4×4＋6×4 ＝16＋24 ＝40（节） 方法四：4节1盒，6节6盒； 4×1＋6×6 ＝4＋36 ＝40（节） 答：可以买10盒4节的，或买7盒4节的和2盒6节的，或买4盒4节的和4盒6节的，或买1盒4节的和6盒6节的，一共有4种不同的选择方法。 4．（24-25五年级上·江苏·单元测试）《上海市生活垃圾管理条例》规定，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类。上海某小区居民楼要摆放下图所示的四种垃圾桶（每种垃圾桶各放一个），其中有害垃圾桶不能放在最右边，一共有几种摆法？ 【答案】①②③④，②①③④，①③②④，③①②④，②③①④，③②①④，①②④③，②①④③，①④②③，④①②③，②④①③，④②①③，④③②①，③④②①，④②③①，②④③①，③②④①，②③④①；共18种。 【分析】因为有害垃圾桶不能放在最右边，所以最右边只能放“可回收物” “湿垃圾”“干垃圾”3种摆法，最右边摆放的垃圾种类固定后，剩下的几种垃圾可以随意排列摆放在左边3个位置上，可以有6种摆法，用画图连线表示如下： 【详解】答：可以按①②③④，②①③④，①③②④，③①②④，②③①④，③②①④，①②④③，②①④③，①④②③，④①②③，②④①③，④②①③，④③②①，③④②①，④②③①，②④③①，③②④①，②③④①的顺序摆放，一共有18种摆法。 5．（24-25五年级上·江苏·课后作业）4个茶杯的价格分别为32元、26元、18元和12元，3个杯垫的价格分别是7元、5元和2元。如果一个茶杯和一个杯垫配成一套，一共可以配成多少套不同价格的组合？ 【答案】12套 【分析】先固定32元的茶杯，再分别配上7元、5元和2元的杯垫，就可以得到3种不同的价格的组合；再固定26元的茶杯，再分别配上7元、5元和2元的杯垫，也可以得到3种不同的价格的组合；以此类推，计算出每一套的价格，注意找一找有没有相同的价格，如有相同的价格，只能算一种价格组合。据此解答即可。 【详解】32＋7＝39（元）32＋5＝37（元）32＋2＝34（元） 26＋7＝33（元）26＋5＝31（元）26＋2＝28（元） 18＋7＝25（元）18＋5＝23（元）18＋2＝20（元） 12＋7＝19（元）12＋5＝17（元）12＋2＝14（元） 答：一共可以配成12套不同价格的组合。 真题训练 1．（22-23五年级上·江苏泰州·期末）白田小学五年级美术社团开展了剪纸、图画和陶艺三种活动，每人可以选报一种，也可以选报两种，小孙一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】选报一种，有几种社团活动就有几种不同的选法；选报两种，关键是不重复也不遗漏列出所有情况，按顺序，先确定一种社团，用另外两种去搭配，列出所有情况，数一数，与选报一种的选法相加即可。 【详解】剪纸、图画和陶艺三种活动，每人可以选报一种，有3种不同的选法。 选报两种：剪纸和图画、剪纸和陶艺、图画和陶艺，有3中不同的选法。 3＋3＝6（种） 小孙一共有6种不同的选法。 故答案为：C 2．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）体育节到了，学校五年级举行足球比赛，一共有6个班参加。如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛（    ）场。 A．10 B．12 C．15 D．36 【答案】C 【分析】每个班都要与其余（6－1）个班比赛一场，共比赛6×（6－1）场，这样重复计算了一遍，再除以2，就是比赛总场数。 【详解】6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝15（场） 一共要比赛15场。 故答案为：C 3．（23-24五年级上·江苏泰州·期末）一列火车从泰州开往南京，途经江都、扬州、仪征、六合4个停靠站，这列火车往返于泰州与南京，一共需准备（     ）种不同的车票。 A．4 B．15 C．6 D．30 【答案】D 【分析】根据题意可知，中途要经过4个站，加上起点和终点，一共6个站。先考虑单程，从第一站到其他各站有5种，从第二站到下边各站有4种，从第三站到下边各站有3种，从第四站到下边各站有2种，从第五站到第六种有1种；据此计算出单程车票的种类，乘2即可求出往返车票的种类。 【详解】（5＋4＋3＋2＋1）×2 ＝（9＋3＋2＋1）×2 ＝（12＋2＋1）×2 ＝（14＋1）×2 ＝15×2 ＝30（种） 一列火车从泰州开往南京，途经江都、扬州、仪征、六合4个停靠站，这列火车往返于泰州与南京，一共需准备30种不同的车票。 故答案为：D 4．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数一共有( )个，其中最大的是( )。 【答案】 8 80 【分析】从8开始，由大到小，分别做十位数，据此把个位上的数和十位上的数相加得8的两位数写出来，即可得出答案 【详解】十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数有：80、71、62、53、44、35、26、17，一共有8个，其中最大的是80。 5．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，他们一共要通( )次电话，他们4个人互相发一条微信问候，一共要发( )条。 【答案】 6 12 【分析】小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，通过列举法分析：小明和小红、小明和小华、小明和小丽、小红和小华、小红和小丽、小华和小丽，依次为3次，2次，1次，所以一共要通6次电话。他们4个人互相发一条微信问候，小明要给小红、小华、小丽发微信，共3条；小红要给小明、小华、小丽发微信，共3条；小华要给小明、小红、小丽发微信，共3条；小丽要给小明、小红、小华发微信，共3条，所以总共4×3＝12条。 【详解】4人互相通话，两人通一次即可，按顺序累加3＋2＋1＝6次，所以小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，他们一共要通6次电话； 4人互相发微信，有发送接收顺序，即每人给另外3人发，4人就共发4×3＝12条，所以他们4个人互相发一条微信问候，一共要发12条。 6．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）用8、0、5三张卡片可以摆出( )个不同的三位数，其中最小的是( )。 【答案】 4 508 【分析】因为是组成三位数，百位上的数字不能为0，所以分情况讨论百位上的数字：当百位上是8时，十位和个位可以是0和5，能组成805和850这2个三位数；当百位上是5时，十位和个位可以是0和8，能组成508和580这2个三位数，所以一共可以摆出2＋2＝4个不同的三位数。 比较805、850、508、580的大小：先比较百位数字，再比较十位数字，508＜580＜805＜850，因此，其中最小的三位数是508。 【详解】用8、0、5三张卡片可以摆出4个不同的三位数，分别是805、850、508、580。 因为508＜580＜805＜850，所以其中最小的三位数是508。 7．（24-25五年级上·江苏苏州·期末）一张靶纸共3圈，投中内圈得8环，投中中圈得6环，投中外圈得4环。小明投中2次，一共得到( )种不同的环数。 【答案】5 【分析】把所有可能的情况，一一列举，进而找出一共几种不同的环数。 【详解】①投中2个8环，共得：8＋8＝16（环） ②投中2个6环，共得：6＋6＝12（环） ③投中2个4环，共得：4＋4＝8（环） ④投中1个8环，1个6环，共得：8＋6＝14（环） ⑤投中1个8环，1个4环，共得：8＋4＝12（环） ⑥投中1个6环，1个4环，共得：6＋4＝10（环） 其中②和⑤所得的环数相同，所以有5种不同的环数。 一张靶纸共3圈，投中内圈得8环，投中中圈得6环，投中外圈得4环。小明投中2次，一共得到5种不同的环数。 8．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）从下边选出几根小棒，可以摆出( )种不同的正方形，也可以摆出( )种不同的长方形。 【答案】 3 8 【分析】由正方形和长方形的特征可知，正方形的四条边都相等，长方形的对边相等，摆出的正方形或者长方形可以用两种及以上小棒进行拼接，如：正方形的边长可以是（3＋5）厘米，注意按顺序列举，做到不重复不遗漏，据此解答。 【详解】摆出的正方形有边长为3厘米、边长为5厘米、边长为3＋5＝8厘米，所以一共可以摆出3种不同的正方形。 宽（厘米） 长（厘米） 3 5 3 3＋5＝8 3 5＋5＝10 3 3＋5＋5＝13 5 3＋3＝6 5 3＋5＝8 5 3＋3＋5＝11 3＋3＝6 5＋5＝10 由上可知，可以摆出8种不同的长方形。 9．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）新年快到了，张杰和他的5个朋友每两人之间打一次拜年电话，一共要通( )次电话；如果互相寄贺卡，一共要寄( )张贺卡。 【答案】 15 30 【分析】张杰和他的5个朋友一共有6个人，设这六个小朋友分别为A、B、C、D、E、F，则A和B打电话的时候相当于B在和A打电话，算一次。但是相互寄贺卡的时候要注意A给B寄了贺卡，那么B给A寄了贺卡，算两次。 【详解】打电话： A分别给B、C、D、E、F打电话，5次； B分别给C、D、E、F打电话，4次； C分别给D、E、F打电话，3次； D分别给E、F打电话，2次； E别给F打电话，1次； 5＋4＋3＋2＋1＝15（次） 则一共要通15次电话。 寄贺卡： 每个人分别即了5张贺卡，一共有6个人， 5×6＝30（张） 则一共要寄30张贺卡。 10．（23-24五年级上·江苏南京·期末）用数字卡片8、2、5一共可以组成( )个没有重复数字的三位数，按照从小到大排列，582应该排在第( )个。 【答案】 6 4 【分析】列举出所有用数字卡片8、2、5组成的没有重复数字的三位数，然后按照从小到大的顺序排序即可解答。 【详解】2在百位上可以组成：258、285； 5在百位上可以组成：528、582； 8在百位上可以组成：825、852； 一共可以组成6个没有重复数字的三位数； 258＜285＜528＜582＜825＜852 所以按照从小到大排列，582应该排在第4个。 11．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）15支足球队参加比赛，每场比赛淘汰1支球队，一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 【答案】14 【分析】采用淘汰制，第一轮要赛15÷2＝7场…1支，所以第一轮之后剩下15－7＝8人，第二轮要赛8÷2＝4场，第三轮要赛4÷2＝2场，第四轮要赛2÷2＝1场；据此求出总场数即可。 【详解】第一轮：15÷2＝7（场）…1（支） 第二轮：（15－7）÷2＝8÷2＝4（场） 第三轮：4÷2＝2（场） 第四轮：2÷2＝1（场） 7＋4＋2＋1＝14（场） 即，15支足球队参加比赛，每场比赛淘汰1支球队，一共要进行14场比赛才能产生冠军。 12．（22-23五年级上·广西钦州·期末）五（1）班的张老师带42名同学去公园划船，每条大船限坐4人，每条小船限坐3人。如果每条船都不能有空位，有多少种不同的租法？（列表说明） 【答案】4种；列表见详解 【分析】由题意可知，张老师带42名同学去公园划船，则共有42＋1＝43人划船；再根据总人数及限坐人数分析即能得出如果每条船都没有空位，有多少种不同的租船方法：由于43＝1×4＋3×13，可以租1条大船、13条小船；43＝4×4＋3×9即可以租4条大船、9条小船；43＝7×4＋3×5，可以租7条大船、5条小船；43＝10×4＋3×1，即可以租10条大船、1条小船。据此列表即可。 【详解】43＝1×4＋3×13，可以租1条大船、13条小船； 43＝4×4＋3×9即可以租4条大船、9条小船； 43＝7×4＋3×5，可以租7条大船、5条小船； 43＝10×4＋3×1，即可以租10条大船、1条小船。 如下表： 大船（条） 1 4 7 10 小船（条） 13 9 5 1 人数 43 43 43 43 答：如果每条船都不能有空位，有4种不同的租法。 13．（22-23五年级上·江苏泰州·期末）用24张边长为1厘米的小正方形纸片拼成一个长方形，有几种不同的拼法？拼成的长方形的周长最长是多少厘米？ 【答案】4种；50厘米 【分析】根据题意，用24张边长为1厘米的小正方形纸片拼成一个长方形，24可以分解成24×1、12×2、8×3、6×4，所以有4种不同的拼法。再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出这4种长方形的周长，再比较，得出最长的周长。 【详解】如下表： 长/厘米 24 12 8 6 宽/厘米 1 2 3 4 周长/厘米 50 28 22 20 可以拼成长为24厘米、宽为1厘米，或长为12厘米、宽为2厘米，或长为8厘米、宽为3厘米，或长为6厘米、宽为4厘米的长方形，一共有4种。 （24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（厘米） （12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） （8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） （6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 50＞28＞22＞20 答：有4种不同的拼法，拼成的长方形的周长最长是50厘米。 14．（23-24五年级上·江苏常州·期末）一张靶纸共三圈，投中了内圈得10环，投中了中圈得8环，投中了外圈得6环。小明投中2次，可能得多少环？ 【答案】20环、18环、16环、14环或12环 【分析】投中一次时，可能投中的是外圈、中圈或内圈；投中两次，投中的可能是内圈和内圈，内圈和中圈，内圈和外圈；还可能是中圈和中圈，中圈和外圈，或者是外圈和外圈，据此采用穷举法进行分别列出投2次的所有情况。 【详解】①投中2个10环，共得：10＋10＝20（环）； ②投中2个8环，共得：8＋8＝16（环）； ③投中2个6环，共得：6＋6＝12（环）； ④投中1个10环，1个8环，共得：10＋8＝18（环）； ⑤投中1个10环，1个6环，共得：10＋6＝16（环）；重复； ⑥投中1个8环，1个6环，共得：8＋6＝14（环）； 综上，共有5种不同的结果。 答：小明投中2次，可能得20环、18环、16环、14环或12环。 15．（23-24五年级上·江苏南通·期末）用36个边长为1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再回答问题。 长/厘米 36 宽/厘米 1 周长/厘米 74 （1）一共有多少种不同的拼法？ （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？ 【答案】表格见详解 （1）5种；（2）74厘米；24厘米 【分析】（1）根据乘法的意义，将36拆分成2个数相乘，也就是36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6，一共有5种不同的拼法，分别是：拼成一排，每排36个小正方形；拼成2排，每排18个小正方形；拼成3排，每排12个小正方形；拼成4排，每排9个小正方形；拼成6排，每排6个小正方形； （2）根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，和正方形的周长＝边长×4，分别求出每种情况的周长，然后把周长按照从大到小的顺序排列，就可以得出周长的最大和最小。 【详解】（1）36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6 （36＋1）×2 ＝37×2 ＝74（厘米） （18＋2）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） （12＋3）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 6×4＝24（厘米） 长/厘米 36 18 12 9 6 宽/厘米 1 2 3 4 6 周长/厘米 74 40 30 26 24 答：一共有5种不同的拼法。 （2）74厘米＞40厘米＞30厘米＞26厘米＞24厘米 答：周长最大是74厘米，最小是24厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义：专题07 解决问题的策略 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、列举策略的意义及适用场景 1. 列举策略的意义： （1）定义：将问题中所有可能的情况不重复、不遗漏地一一列出，从而找到问题答案的解题方法。 （2）核心思想：有序思考，全面覆盖所有可能性。 2. 适用场景： （1）问题答案有多种可能性，需找出所有符合条件的结果； （2）需通过比较不同方案得出最优解（如最大面积、最小费用等）； （3）题目中出现"有多少种不同的""可以怎样""有哪些可能"等表述时。 考点二、列举的基本方法 1. 列表法： （1）适用情况：涉及两个变化量的问题（如长和宽、单价和数量等）。 （2）操作步骤： ①确定表头（横栏、竖栏表示的量）； ②有序填写数据； ③标记符合条件的结果。 2. 画图法： （1） 适用情况：搭配问题、路线问题、几何图形问题。 （2） 操作步骤： ①用图形或符号表示事物； ②连线表示搭配关系； ③计数所有有效连线。 3. 列式计算法： （1） 适用情况：有规律的排列组合问题； （2）基本模型：分类相加、分步相乘。 考点三、用列举策略解决问题的步骤 1.审题分析： （1）明确问题：找出要解决的问题和限制条件； （2）确定类型：判断是否适合用列举策略（结果有多种可能）。 2.制定方案： （1）选择列举方法：根据问题特点选列表、画图或列式； （2）确定有序标准：按从小到大、从少到多等顺序列举。 3.实施列举： （1）不重复：避免相同情况多次出现； （2）不遗漏：确保所有可能情况都考虑到； （3）简洁记录：用符号、字母或编号简化记录。 4.检验作答： （1）检查列举是否完整：反向验证是否有遗漏或重复； （2）计算结果是否正确：核对总数或最值是否符合题意； （3）规范作答：写出明确答案并带单位（如"有7种不同订法"）。 考点四、列举策略的注意事项与优化技巧 1.有序列举的关键方法： （1）分类列举：按一定标准分类（如数量、大小、性质）； （2）分步列举：先确定一个量，再列举另一个量； （3）表格列举：用横行竖列表示不同维度，清晰呈现所有组合。 2.策略优化技巧： （1）极端值优先：从最大或最小值开始列举，快速找到边界； （2）算式简化：用加法原理（分类用加法）或乘法原理（分步用乘法）计算总数； （3）图表辅助：复杂问题用树状图、连线图等可视化工具。 例题讲解 一、用列举法解决图形问题 【例题1】（20-21五年级上·江苏盐城·期末）用24个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，一共有多少种不同的拼法？请在下面列举出来。再回答问题。 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 （1）一共有（    ）种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，拼成的长方形周长最大是（    ）厘米。 【例题2】（24-25五年级上·江苏·单元测试）用30个边长1厘米的小正方形拼大长方形，一共有( )种不同的拼法，周长最小是( )厘米。 二、用列举法解决搭配问题 【例题1】（24-25五年级上·江苏·单元测试）实验小学在课后服务时间开展社团活动，小强想从2种文艺类社团和3种体育类社团中任意选择2种社团，他有多少种不同的选法？如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有多少种不同的选法？ 【例题2】（24-25五年级上·江苏·课后作业）多这些骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个圆点，从中任取两个抛到桌面上，两个向上的点子数加起来，可能会得到多少种不同的数值呢？ 考点练习 一、用列举法解决图形问题 1．（24-25五年级上·江苏·单元测试）王大爷准备用28块0.5米长的篱笆围一个长方形菜地，围成的菜地长和宽都是整米数，有( )种不同的围法，围成菜地的面积最大是( )平方米。 2．（23-24六年级上·山东青岛·单元测试）小红用20根1分米长的小棒围成一个长方形，有多少种不同的围法？用列表的方法把长和宽列举出来并算出围成的每个长方形的面积。（长和宽不相等且取整分米数） 3．（22-23五年级上·河南洛阳·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃。李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家花圃面积更大的长方形花圃吗？（请用列举的策略说明理由） 二、用列举法解决搭配问题 1．（24-25五年级上·江苏·单元测试）一次数学竞赛共有四道题，答对一道题得5分，答错一道题倒扣1分。丽丽参加了这次数学竞赛，并回答了所有题目，她有可能得多少分？在表中填一填。 答对题数/道 答错题数/道 得分/分 2．（24-25五年级上·江苏·单元测试）有三张卡片，分别写上9、8、4三个数字，小英每次任意抽一张再放回去。抽两次，可能得到的数字和是多少？（列举出所有可能的答案） 3．（24-25五年级上·江苏·课后作业）一种电池有4节装和6节装两种不同的包装。买40节电池，可以怎样购买？一共有多少种不同的选择方法？ 4．（24-25五年级上·江苏·单元测试）《上海市生活垃圾管理条例》规定，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类。上海某小区居民楼要摆放下图所示的四种垃圾桶（每种垃圾桶各放一个），其中有害垃圾桶不能放在最右边，一共有几种摆法？ 5．（24-25五年级上·江苏·课后作业）4个茶杯的价格分别为32元、26元、18元和12元，3个杯垫的价格分别是7元、5元和2元。如果一个茶杯和一个杯垫配成一套，一共可以配成多少套不同价格的组合？ 真题训练 1．（22-23五年级上·江苏泰州·期末）白田小学五年级美术社团开展了剪纸、图画和陶艺三种活动，每人可以选报一种，也可以选报两种，小孙一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）体育节到了，学校五年级举行足球比赛，一共有6个班参加。如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛（    ）场。 A．10 B．12 C．15 D．36 3．（23-24五年级上·江苏泰州·期末）一列火车从泰州开往南京，途经江都、扬州、仪征、六合4个停靠站，这列火车往返于泰州与南京，一共需准备（     ）种不同的车票。 A．4 B．15 C．6 D．30 4．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数一共有( )个，其中最大的是( )。 5．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，他们一共要通( )次电话，他们4个人互相发一条微信问候，一共要发( )条。 6．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）用8、0、5三张卡片可以摆出( )个不同的三位数，其中最小的是( )。 7．（24-25五年级上·江苏苏州·期末）一张靶纸共3圈，投中内圈得8环，投中中圈得6环，投中外圈得4环。小明投中2次，一共得到( )种不同的环数。 8．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）从下边选出几根小棒，可以摆出( )种不同的正方形，也可以摆出( )种不同的长方形。 9．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）新年快到了，张杰和他的5个朋友每两人之间打一次拜年电话，一共要通( )次电话；如果互相寄贺卡，一共要寄( )张贺卡。 10．（23-24五年级上·江苏南京·期末）用数字卡片8、2、5一共可以组成( )个没有重复数字的三位数，按照从小到大排列，582应该排在第( )个。 11．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）15支足球队参加比赛，每场比赛淘汰1支球队，一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 12．（22-23五年级上·广西钦州·期末）五（1）班的张老师带42名同学去公园划船，每条大船限坐4人，每条小船限坐3人。如果每条船都不能有空位，有多少种不同的租法？（列表说明） 13．（22-23五年级上·江苏泰州·期末）用24张边长为1厘米的小正方形纸片拼成一个长方形，有几种不同的拼法？拼成的长方形的周长最长是多少厘米？ 14．（23-24五年级上·江苏常州·期末）一张靶纸共三圈，投中了内圈得10环，投中了中圈得8环，投中了外圈得6环。小明投中2次，可能得多少环？ 15．（23-24五年级上·江苏南通·期末）用36个边长为1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再回答问题。 长/厘米 36 宽/厘米 1 周长/厘米 74 （1）一共有多少种不同的拼法？ （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $