期末复习讲义：专题08 垂线与平行线（考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练）-2025-2026学年四年级上册数学苏教版

该小学数学期末复习讲义以“垂线与平行线”为核心，通过表格对比、分类梳理构建知识体系，涵盖直线射线线段的特征、角的度量与分类、垂直平行的定义及应用等考点，清晰呈现重难点及内在联系，培养学生空间观念与几何直观。 讲义亮点在于分层练习设计与实操指导，例题涵盖生活实例（如手电筒光线看作射线）、操作题（过点画垂线平行线）及真题训练，通过易错点提示（如直线射线不可比长度）培养推理意识，帮助不同层次学生掌握方法，支持教师精准复习教学。

期末复习讲义：专题08 垂线与平行线 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、直线、射线和线段的认识（基础） 1.三种线的定义与特点： 类型 定义 端点数量 延伸性 可度量性 线段 直线上两点间的部分 2个 不可延伸 可度量长度 射线 直线上一点向一方无限延伸 1个 向一方无限延伸 不可度量 直线 没有端点，向两方无限延伸 0个 向两方无限延伸 不可度量 2.区别与联系： （1）联系：射线和线段都是直线的一部分；线段可以度量，射线和直线不可度量。 （2）易错点：误认为“直线比射线长”（两者均不可度量，无法比较长度）。 3.两点间的距离： （1）两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 （2）两点之间，线段最短：连接两点的所有线（曲线、折线、线段）中，线段的长度最短。 考点二、角的认识与度量（重点） 1.角的定义与组成： （1）定义：从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。 （2）组成部分： 角通常用符号“∠”表示。下图的角可以记作∠1。∠1读作角一。 2.角的度量： （1）度量工具：量角器（中心点、0°刻度线、内圈刻度、外圈刻度）。 （2）度量步骤： ①点重合：量角器中心点与角的顶点重合； ②线重合：量角器0°刻度线与角的一条边重合； ③读度数：角的另一条边所对的刻度（注意区分内圈/外圈刻度，0°在右读内圈，0°在左读外圈）。 3.角的分类（按度数） 角的类型 度数范围 特殊关系 锐角 0°＜锐角＜90° —— 直角 等于90° 符号：Rt∠ 钝角 90°＜钝角＜180° —— 平角 等于180° 1平角=2直角 周角 等于360° 1周角=2平角=4直角 考点三、垂直与平行的认识（核心） 1.垂直的定义与表示： （1）定义：两条直线相交成直角（90°） 时，这两条直线互相垂直。 （其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足）。 （2）表示方法：直线a与直线b互相垂直，记作“a⊥b”，读作“a垂直于b”。 （3）生活实例：墙角的两条边、课本的邻边、黑板的长和宽。 2.平行的定义与表示： （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 （若两条直线不平行且不相交，则不在同一平面内，四年级阶段暂不涉及）。 （2）表示方法：直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”，读作“a平行于b”。 （3）生活实例：铁轨的两条轨、黑板的上下边、五线谱的横线。 3.垂直与平行的关系： （1）垂直：相交的特殊情况（必须成直角）； （2）平行：永不相交（前提是同一平面内）。 考点四、画垂线与平行线（重点操作） 1.画垂线（用直尺和三角尺） （1）过直线上一点画垂线 步骤： ①靠：三角尺一条直角边与已知直线重合； ②移：沿直线移动三角尺，使另一条直角边与已知点重合； ③画：沿直角边画直线（标出直角符号“┐”）。 （2）过直线外一点画垂线 步骤：（与上类似，三角尺直角边先与直线重合，再移动使另一直角边过该点，画直线并标直角符号）。 （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离（垂线段最短）。 2.画平行线（用直尺和三角尺） 步骤： ①靠：三角尺一条直角边与已知直线重合； ②贴：直尺紧贴三角尺的另一条直角边； ③移：固定直尺，沿直尺移动三角尺至指定位置； ④画：沿三角尺直角边画直线（所画直线与已知直线平行）。 考点五、垂线与平行线的应用 1.几何图形中的应用： （1）长方形/正方形：对边互相平行，邻边互相垂直（4个直角）； （2）平行四边形：对边互相平行（邻边不一定垂直）。 2.解决实际问题: （1）最短路径：从A点到河边取水，沿垂线段走最短（点到直线的距离最短）； （2）道路规划：两条平行线之间的距离处处相等（如铁轨宽度保持不变）。 例题讲解 一、线段、直线、射线的认识及特征 【例题1】（23-24四年级上·江苏常州·期末）手电筒向天空射出的光线可以近似看成（    ）。 A．射线 B．线段 C．直线 D．垂线 【答案】A 【分析】直线没有端点，无限长。射线有一个端点，无限长。线段有两个端点，有限长。垂线指的是当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线。手电筒射出来的每一条光线只有一个端点并且都是直的，则手电筒射出的光线可以看成射线，据此解答即可。 【详解】手电筒向天空射出的光线可以近似看成射线。 故答案为：A 【例题2】（24-25四年级上·江苏南通·期末）连接同一条直线上的三个点可以画（    ）条线段。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】根据题意，三个点在同一条直线上，因为两点确定一条直线，假设在同一条直线上的三点分别为A、B、C，分别连接AB，AC，BC，则一共可以画3条线段。 【详解】如图： 连接同一条直线上的三个点可以画3条线段。 故答案为：C 【例题3】（23-24四年级上·贵州毕节·期末）把一条2厘米长的线段分别向两端延长30厘米后得到一条( )，向一端无限延长后得到一条( )，分别向两端无限延长后得到一条( )。 【答案】 线段 射线 直线 【分析】把一条2厘米长的线段分别向两端延长30厘米后，它的长度变为（厘米）。因为它有两个端点，并且长度是可以测量的，所以得到的是一条线段。把线段向一端无限延长后，它有一个端点，另一端可以无限延伸，这种图形是射线。把线段分别向两端无限延长后，它没有端点，可以向两边无限延伸，这种图形是直线。 【详解】把一条2厘米长的线段分别向两端延长30厘米后得到一条线段，向一端无限延长后得到一条射线，分别向两端无限延长后得到一条直线。 二、角的认识与度量 【例题1】（24-25四年级上·江苏南京·期末）量出下面每个角的度数。                  ( )                ( ) 【答案】 75 130 【分析】量角时，把量角器的中心点与角的顶点重合，角的一条边和量角器的0°刻度线重合，再看角的另一条边指着的刻度就是这个角的度数；注意要从第一条边所指的0°刻度数起，如果0°刻度数在内圈，角的度数就以内圈的刻度数为准，如果0°刻度数在外圈，角的度数就以外圈的刻度数为准。 【详解】根据解析可知，左图中的角的度数为75°，右图中的角的度数为130°。 【例题2】（24-25四年级上·贵州毕节·期末）度量一个角时，角的一条边与量角器内圈“0”刻度线重合，另一条边对着外圈“80”刻度线，这个角的度数是( )°。 【答案】100 【分析】用量角器量角的度数步骤如下：先把角的顶点和量角器的中心重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边所对应的刻度就是角的度数。读角的度数时，如果看的是内圈的0刻度线，那么角的度数也需要看内圈。如果看的是外圈的0刻度线，那么角的度数也需要看外圈。在量角器上，内圈的刻度和外圈的刻度加起来刚好等于180°。据此解答。 【详解】由题意得，角的一条边与量角器内圈“0”刻度线重合，另一条边对着外圈“80”刻度线。180°－80°＝100°，即角的另一条边对折内圈100°刻度线，故这个角的度数为100°。 【例题3】（24-25四年级上·江苏南通·期末）残缺创造美！小华的量角器坏了，他用这个残缺的量角器测量一个角的度数。如图所示，这个角是（    ）度。 A．90 B．80 C．70 D．55 【答案】B 【分析】用量角器量角：用量角器内圈与角的一边重合大的刻度减去量角器内圈与角的一边重合小的刻度，可得出角的度数，据此选择即可。 【详解】角的一条边指向量角器外圈45°，另一条边指向量角器外圈125°。 125°－45°＝80° 这个角是80度。 故答案为：B 三、平角、周角的认识及特征 【例题1】（24-25四年级上·江苏·课后作业）360°的角是( )，它等于( )个平角或( )个直角。 【答案】 周角 2 4 【分析】等于90°的角是直角；等于180°的角是平角；等于360°的角是周角，据此可知，360°的角是周角，它等于（360÷180＝2）个平角或（360÷90＝4）个直角。 【详解】360÷180＝2（个） 360÷90＝4（个） 所以，360°的角是周角，它等于2个平角或4个直角。 【例题2】（24-25四年级上·安徽合肥·期末）10时整，钟面上时针和分针组成的角是( )角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是( )角。 【答案】 锐 平 【分析】钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；10时整，时针指向10，分针指向12，相差2个大格，夹角为30°×2＝60°，大于0°小于90°的角是锐角；6时整，时针指向6，分针指向12，时针和分针相差6个大格，夹角为30°×6＝180°，180°的角是平角。 【详解】360°÷12＝30° 30°×2＝60° 30°×6＝180° 10时整，钟面上时针和分针组成的角是锐角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是平角。 【例题3】（22-23四年级上·安徽六安·期末）平角比125°的角大( )°；43°的角比直角小( )°。 【答案】 55 47 【分析】已知平角＝180°，直角＝90°，用180°减125°，用90°减43°，分别计算出结果即可。 【详解】180°－125°＝55° 90°－43°＝47° 所以，平角比125°的角大55°；43°的角比直角小47°。 四、用量角器画角 【例题1】（24-25四年级上·江苏泰州·期末）用图中的一条射线作边，画一个135°的角。 【答案】见详解 【分析】用量角器画角：将量角器的中心和顶点重合，零刻度线和图中射线重合，在量角器上135度数刻度线的地方点一个点，然后以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，两条射线所夹的角就是135°的角，据此作图即可。 【详解】 如图： 【例题2】（24-25四年级上·江苏·课后作业）用量角器分别画出65°、120°和155°的角。 【答案】见详解 【分析】根据角的画法，先画一射线，再把量角器的中心与射线的端点重合，0刻度线与射线重合，在要求所画的度数的刻度上点点，再以原射线的端点为端点过这一点画射线，两射线所成的角就是所画的角。 【详解】画图如下： 五、用三角尺画角 【例题1】（23-24四年级上·江苏盐城·期末）下图是用一副三角尺拼成的角，它是（    ）。 A．150° B．120° C．105° D．75° 【答案】C 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；因此用60°加45°即可选择。 【详解】60°＋45°＝105° 图中的角是用一副三角尺拼成的角，它是105°。 故答案为：C 【例题2】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）用三角板画一个75度和105度的角。 【答案】见详解 【分析】先画一条射线，把射线的端点与三角尺中30°角的顶点重合，射线与30°角的一边重合，再沿着三角尺画出30°角的另一边，再把30°角的一边与三角尺中45°角的一边重合，角的顶点与45°角的顶点重合，在30°角的外部沿着45°角的另一边画出这个角的另一边，即可得到一个75°的角。因为60°与45°的和是105°，借助三角尺，再按照上面同样的方法画出这个105°的角。 【详解】30°＋45°＝75° 60°＋45°＝105° 六、角度的计算 【例题1】（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）从13时到13时20分，钟面上分针转动了( )°，是( )角。 【答案】 120 钝 【分析】根据对钟面的了解，一共有12大格，每大格的夹角是30°，13时分针指向12，13时20分，分针指向4，经过了4大格，用30°×4即可求出转动了多少度；根据锐角小于90°，直角等于180°，钝角小于180°且大于90°，据此判断是什么角即可。 【详解】30°×4＝120° 从13时到13时20分，钟面上分针转动了120°，是钝角。 【例题2】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）在图中，已知( )°，那么( )°，( )°。 【答案】 130 50 130 【分析】观察发现∠1＋∠2＝平角，平角为180°，那么∠2＝180°－∠1；∠2＋∠3＝180°，则∠3＝180°－∠2；∠3＋∠4＝180°，则∠4＝180°－∠3；据此解答。 【详解】根据分析： ∠2：180°－50°＝130° ∠3：180°－130°＝50° ∠4：180°－50°＝130° 所以130°，那么50°，130°。 【例题3】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）如图，∠1＝45°，那么∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 135 45 【分析】∠5是直角是90°，平角是180°，∠1＋∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠2＝180°－∠5，∠2＝180°－∠5－∠1，∠2＋∠3＝180°，∠3＝180°－∠2，∠4＋∠3＝180°，∠4＝180°－∠3，据此解题。 【详解】180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 180°－45°＝135° 180°－135°＝45° 如图，∠1＝45°，那么∠3＝135°，∠4＝45°。 【例题4】（24-25四年级上·广西贵港·期中）下图，∠2＝34°。∠1是多少度？ 【答案】28° 【分析】 直角是90°，长方形的四个角都是直角，如图所示：，此时∠1＝∠3，且∠1＋∠2＋∠3＝90°，所以用90°－34°，然后再除以2即可解题。 【详解】（90°－34°）÷2 ＝56°÷2 ＝28° 所以，∠1是28°。 七、垂直与平行的特征 【例题1】（24-25四年级上·江苏淮安·期末）如下图所示，A到BE的所有线段中，（    ）的长度是点A到线段BE的距离。 A．AE B．AD C．AC D．AB 【答案】B 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短，这条线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。据此解答即可。 【详解】由分析可知，从图中看到AD垂直于BE，所以A到BE的所有线段中，AD的长度是点A到线段BE的距离。 故答案为：B 【例题2】（24-25四年级上·贵州毕节·期末）下面各组直线中，互相垂直的是( )，互相平行的是( )。（填序号） 【答案】 ③ ② 【分析】同一平面内，不相交的两条直线互相平行。两条直线相交成90度，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。据此解答。 【详解】根据分析，互相垂直的是③，互相平行的是②。 【例题3】（24-25四年级上·河南新乡·期末）一个长方形有( )组对边互相平行，长和宽互相( )。 【答案】 2 垂直 【分析】根据长方形的特性，两组对边互相平行的是长方形，这两组对边就是长和宽，所以长和宽互相垂直，据此解答。 【详解】根据分析：一个长方形有2组对边互相平行，长和宽互相垂直。 八、画垂线与平行线 【例题1】（24-25四年级上·江苏南通·期末）经过点A画出已知直线的平行线，经过点B画出已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可；过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 如图： 【例题2】（24-25四年级上·江苏无锡·期末）一只老虎追赶一只狐狸，狐狸掉进河里的点A处，狐狸要想尽快上岸，还不被老虎抓住，它应该选择怎样的路线？请你在图上画一画。 【答案】图见详解 【分析】狐狸要想不被老虎抓住，不能逃向老虎所在的岸边，应垂直向对岸逃。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此画出点A处到对岸的垂线段，即狐狸逃跑的路线；过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此作图。 【详解】根据分析如图： 【例题3】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）过点P分别画直线a的垂线和直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】用三角板的一条直角边与已知直线a重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画垂线即可。 把三角板的一条直角边与已知直线b重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板与P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】过点P分别画直线a的垂线和直线b的平行线，如图所示： 考点练习 一、线段、直线、射线的认识及特征 1．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条射线 B．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条直线 C．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条线段 D．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一个直角 【答案】C 【分析】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。射线和直线的长度无法测量。从一点引出的两条射线可以组成角。直角的度数是90°。据此解答。 【详解】A．射线的长度无法测量，该选项说法错误。 B．直线的长度无法测量，该选项说法错误。 C．线段的长度可以测量，该选项说法正确。 D．把一条线段向任意一端延长100米，无法得到一个角，更无法得到一个直角。该选项说法错误。 故答案为：C 2．（24-25四年级上·江苏·单元测试）下面图形中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。         ①                  ②                ③ 【答案】 ② ③ ① 【分析】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。据此分析。 【详解】由分析可得，②是直线，③是线段，①是射线。 3．（24-25四年级上·江苏·课后作业）线段有( )个端点，它可以量出( )。直线没有端点，可以向( )端无限延伸。射线有( )个端点，可以向( )端无限延伸。 【答案】 2 长度 两 1 一 【分析】由直线、射线和线段的概念可知，直线没有端点，向两端无限延伸；射线有1个端点，向一边无限延伸；线段有2个端点，可以量出长度，据此填空即可。 【详解】线段有2个端点，它可以量出长度。直线没有端点，可以向两端无限延伸。射线有1个端点，可以向一端无限延伸。 4．（24-25四年级上·江苏·单元测试）在纸上任意画两个点，经过这两个点最多能画( )条直线；任意画三个点，每次经过其中的两个点，最多能画( )条直线。 【答案】 1 3 【分析】过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。在纸上分别画2个点和3个点，尝试画出直线个数，即可解答。 【详解】 如图： 即在纸上任意画两个点，经过这两个点最多能画1条直线；任意画三个点，每次经过其中的两个点，最多能画3条直线。 5．（24-25四年级上·江苏·期末）连接下图的任意两点，共可以画( )条线段；经过任意一点可以画( )条直线。 【答案】 3 无数 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，把线段的两端无限延长，可以得到一条直线，根据题意连接AB、AC、BC都可以得到一条线段；经过任意一点可以画无数条直线，据此填空即可。 【详解】由分析可得：连接下图的任意两点，共可以画3条线段；经过任意一点可以画无数条直线。 二、角的认识与度量 1．（24-25四年级上·江苏苏州·期末）下面用量角器量角的方法中，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解答。 【详解】A．由图可知，角的顶点和量角器的中心没有重合，所以该选项量角的方法错误。 B．由图可知，角的两条边的任意一条边没有和量角器的0°刻度线重合，所以该选项量角的方法错误。 C．由图可知，角的一条边和量角器的0°刻度线重合，另一条边没有对准量角器的刻度，所以该选项量角的方法错误。 D．由图可知，量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边对着的量角器上的刻度。该选项量角的方法正确。 故答案为：D 2．（23-24四年级上·江苏南通·期末）晓莉的量角器坏了，聪明的她这样去量了这个角，这个角的度数是（    ）。 A．40° B．60° C．80° D．120° 【答案】C 【分析】角的一边指在40°的位置，角的另一边指在120°的位置，用120°减40°即可求出这个角的度数。 【详解】120°－40°＝80° 这个角的度数是80°。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）用一个3倍的放大镜看一个45°的角，这个角是（    ）。 A．45° B．48° C．135° D．60° 【答案】A 【分析】因为角的大小与角的两边的长短没有关系，只与两边叉开的大小有关；用放大镜看一个角，只能把两边的粗细和长度放大，两边叉开的角度不变，所以看到的角大小不变，仍然是45°。据此判断。 【详解】用一个3倍的放大镜看一个45°的角，角的两边的长度变长了，但两边的叉开大小不变，这个角还是45°。 故答案为：A 4．（23-24四年级上·江苏淮安·期末）从3时整到9时整，时针转过了（    ）度。 A．30 B．90 C．120 D．180 【答案】D 【分析】钟面上有12个格，一个大格所对应的度数是30度，时针一个小时就转过一个大格也就是30度，先算出3时到9时经过了几个小时，再乘30度，即可求出时针转过的度数。 【详解】（9－3）×30 ＝6×30 ＝180（度） 从3时整到9时整，时针转过了180度。 故答案为：D 5．（24-25四年级上·江苏南京·期末）观察量角器上的刻度，填出每个角的度数。 ( )°                           ( )° 【答案】 50 50 【分析】由图可知，第一幅图角的一条边指向量角器的0°刻度线，另一条边指向量角器的50°刻度线，所以第一个角的度数为50°。 第二幅图的一条边指向量角器的70°刻度线，另一条边指向量角器的120°刻度线，所以第二个角的度数为120°－70°＝50°。 【详解】如图： 6．（24-25四年级上·江苏连云港·期末）小马虎用量角器测量一个角时，错把外圈刻度当成内圈刻度来读，度数为70°，正确的度数应该是( )°。 【答案】110 【分析】通过观察，量角器上外圈刻度和内圈刻度的和是180°，所以，用180°减70°，则得到正确的度数。据此解答。 【详解】180°－70°＝110° 所以，正确的度数应该是110°。 7．（23-24四年级上·江苏淮安·期末）用量角器量出下面的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 60 110 【分析】此题主要考查用量角器测量角的方法。注意读数时要看一下零刻度线对齐的是内刻度还是外刻度。 根据量角器测量角的度数的方法：量角器中心和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，看角的另一条边对的刻度数就是这个角的度数。据此解答即可。 【详解】根据分析可知： 用量角器量出下面的∠1＝60°，∠2＝100°。 三、平角、周角的认识及特征 1．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）钟面上9时30分，时针与分针所成的夹角是（    ）。 A．75度 B．90度 C．105度 D．120度 【答案】C 【分析】把钟面看作一个周角是360°，已知钟面上一共有12个大格，每个大格是360°÷12＝30°；时针走过一个大格表示1小时，9时30分时针走在9和10的中间，分针指着6，时针与分针的夹角刚好是3个大格加半格，据此用每个大格的度数30°乘3个大格再加上半格的度数（30°÷2），即得到夹角的度数；据此解答。 【详解】360°÷12＝30° 30°×3＋30°÷2 ＝90°＋15° ＝105° 所以，时针与分针所成的夹角是105度。 故答案为：C 2．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）在5°、105°、20°、45°、90°、150°、91°、180°中有( )个锐角，( )个钝角。 【答案】 3 3 【分析】小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角，等于90°的角是直角，等于180°的角是平角，依此解答。 【详解】5°、20°、45°是锐角，105°、150°、91°是钝角，90°是直角，180°是平角，即有3个锐角，3个钝角。 3．（23-24四年级上·广西防城港·期末）直角＝( )度，平角＝( )度，1个周角＝( )个直角。 【答案】 90 180 4 【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角＝360度，1平角＝180度，1直角＝90度；据此即可直接解答。 【详解】直角＝90度，平角＝180度，1个周角＝4个直角。 4．（24-25四年级上·江苏盐城·期末）把一个平角分成两个角，如果其中一个角是钝角，那么另一个角是( )角；若6个同样的角刚好组成一个周角，则每个角都是( )°。 【答案】 锐 60 【分析】钝角是大于90°小于180°的角，如果分成两个角其中一个角是钝角，另一个角一定小于90°，小于90°的角是锐角； 周角＝360°，用360°÷6，即为每个角的度数，据此填空即可。 【详解】360°÷6＝60° 所以把一个平角分成两个角，如果其中一个角是钝角，那么另一个角是锐角；若6个同样的角刚好组成一个周角，则每个角都是60°。 5．（24-25四年级上·江苏无锡·期末）如图，用线段表示0度到360度（周角）。 （1）请在线段上用点C表示出直角。 （2）点A表示（    ）角，点B表示（    ）角。（填“锐”“直”或“钝”） 【答案】（1）见详解 （2）钝；锐 【分析】根据题图，将线段表示的0度到360度，平均分成了4份，每份是360÷4＝90（度），由等于90度的角为直角，据此可标出直角的位置；A点在第一段和第二段之间，表示大于90度，小于180度的角，是钝角；B点在0度和90度之间，是锐角；据此可解此题。 【详解】根据分析： （1）直角位置如图C点： （2）点A表示钝角，点B表示锐角。 四、用量角器画角 1．（23-24四年级上·贵州毕节·期末）以点A为顶点，用量角器画一个90°的角。 【答案】见详解 【分析】先从点A出发画一条射线，使量角器的中心和点A重合，0刻度线和射线重合，在量角器90°的地方点一个点，以点A为端点，通过刚画的点，再画一条射线，最后标出度数即可。 【详解】如下图： 2．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）以点为顶点，用量角器画一个的角。 【答案】见详解 【分析】角的画法： 以A为端点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点A重合，0°刻度线和射线重合。 ② 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点。 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【详解】 3．（24-25四年级上·江苏苏州·期末）如图，以A为顶点，已知射线为一条边，画一个120°的角。 【答案】图见详解 【分析】使量角器的中心和A点重合，0刻度线和已知射线重合（两重合）；在量角器120°角刻度线的地方点一个点（找点）；把点和A点连接，然后标出角的度数。 【详解】 4．（24-25四年级上·江苏南通·期末）以下面的射线为角的一条边，用量角器分别画出50°和125°的角。 【答案】画图见详解 【分析】根据用量角器画角的方法，把量角器的中心点与射线的端点重合，把0°刻度线与射线重合，再从这条0°刻度线数到要画的刻度，打上一点，连接射线的端点和这一点画另一条射线，再标上角的符号和度数，即画出指定的角。据此作图。 【详解】根据分析作图如下： 5．（24-25四年级上·河南周口·期末）画出下面的角。 30°        65°        135° 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的步骤： 1、两重合：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2、点度数：在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点。 3、画射线：以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【详解】 五、用三角尺画角 1．（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）用一副完整的三角尺不能拼出（    ）°的角。 A．105 B．75 C．135 D．125 【答案】D 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°，依此即可选择。 【详解】A．60°＋45°＝105°，因此用一副三角尺能拼出105°的角。 B．30°＋45°＝75°，因此用一副三角尺能拼出75°的角。 C．90°＋45°＝135°，因此用一副三角尺能拼出135°的角。 D．用一副三角尺不能拼出125°的角。 故答案为：D 2．（24-25四年级上·江苏盐城·期末）用一副三角尺画出的角中，最小的角与最大的角的度数分别是（    ）。 A．30°、150° B．75°、150° C．15°、180° D．30°、180° 【答案】C 【分析】一副三角尺的度数分别为30°、60°、90°；45°、45°、90°，其中45°减30°的差是15°，所以能画的最小的角是15°，90°与90°的和最大，和是180°，所以能画的最大的角是180°，据此解答。 【详解】45°－30°＝15° 90°＋90°＝180° 最小的角与最大的角的度数分别是15°、180°。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·江苏常州·期末）下面表示的角中，（    ）最小。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平角等于180°。一副三角尺上的度数分别是30°、60°、90°和45°、45°、90°，是两个角拼成的就相加起来即可。不是两个角拼成的看最终组成的角，用最终组成的角的度数减去其中一个角的度数，即可求出另一个角的度数。最后比较大小即可解答。 【详解】 A．，是和45°组成一个平角，用平角减去45°等于另一个角，即180°－45°＝135°； B．，是60°和45°拼成的角，即60°＋45°＝105°； C．，是和60°组成一个平角，用平角减去60°等于另一个角，即180°－60°＝120°； D．，是90°和30°拼成的角，即90°＋30°＝120°。 105°＜120°＜135° 即表示的角最小。 故答案为：B 4．（23-24四年级上·江苏南通·期末）用一副三角尺，我们可以拼出( )°的角，还可以拼出( )°的角。（每空填写一种答案即可） 【答案】 180（答案不唯一） 75（答案不唯一） 【分析】一副三角板的度数是90°、30°、60°，90°、45°、45°，将两个角拼在一起可以拼出一个较大的角，也可以将一个小角放置在大角内，可以拼出一个较小的角，据此可知，若将2个90°拼在一起，可以得到一个180°的角，若将45°的角与30°的角拼在一起可以得到一个75°的角，还可以拼出一些其它角度的角。 【详解】45°＋30°＝75° 90°＋90°＝180° 用一副三角尺，我们可以拼出180°的角，还可以拼出75°的角。（答案不唯一） 5．（23-24四年级上·云南昆明·期中）用三角尺或者量角器画角。 50°        105° 【答案】见详解 【分析】（1）我们使用的三角尺有30°、45°、60°、90°，105°＝60°＋45°，用60°和45°的角拼组即可画出105°的角。 （2）用量角器画角：首先画出角顶点和其中的一条边，使量角器的中心位置和角的顶点重合，然后使角的一边和零刻度线重合（两个重合很重要），根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。 据此选用喜欢的工具画出题文中的角即可。 【详解】画出的50°和105°的角如下图所示： 六、角度的计算 1．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）清代高鼎用“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”生动描绘了儿童放风筝的情景。如果把风筝线和地面的夹角记作∠1，∠1等于下面四个角度中的（    ）时，风筝飞得最高。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为线的长度是固定的，所以谁与地面的夹角接近90°，谁的风筝飞得就高。 用90°分别减去每个选项的度数，差越小，说明其与地面的夹角越接近，风筝飞得最高。 【详解】A．90°－30°＝60° B．90°－45°＝45° C．90°－60°＝30° D．90°－75°＝15° 60°＞45°＞30°＞15° 所以∠1等于下面四个角度中的75°时，风筝飞得最高。 故答案为：D 2．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）1个平角和1个钝角的差一定是( )角；1个直角和1个锐角的和一定是( )角。 【答案】 锐 钝 【分析】平角是180°，钝角是大于90°小于180°的角，所以1个平角和1个钝角的差一定是小于90°的，也就是锐角；直角是90°，锐角是大于0°小于90°的角，所以1个直角和1个锐角的和一定大于90°，也就是钝角。 【详解】1个平角和1个钝角的差一定是锐角；1个直角和1个锐角的和一定是钝角。 3．（25-26四年级上·江苏南京·期末）看图填一填。 已知∠2＝60°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 120 120 60 【分析】根据图示可知，∠2和∠1组成一个平角，所以用180°减去∠2的度数，即可求出∠1的度数；∠1和∠4组成一个平角，所以用180°减去∠1的度数，即可求出∠4的度数；∠4和∠3组成一个平角，所以用180°减去∠4的度数，即可求出∠3的度数。据此解答。 【详解】∠1：180°－60°＝120° ∠4：180°－120°＝60° ∠3：180°－60°＝120° 所以已知∠2＝60°，∠1＝120°，∠3＝120°，∠4＝60°。 4．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）如图中，已知∠1＝35°，∠3是一个直角。那么，∠2＝( )°，∠4＝( )°，∠5＝( )°。 【答案】 55 35 145 【分析】根据观察图形和对题意的了解：∠3是一个直角，根据平角＝180° ，∠1＋90°＋∠2＝180°， 已知∠1＝35°，所以∠2＝180°－∠1－90°，代入即可求出∠2的度数，据此作答； 同理可得：∠2＋90°＋∠4＝180°， 已知∠2的度数，所以∠4＝180°－∠2－90°，代入即可求出∠4的度数；根据平角＝180° ，∠4＋∠2＝180°， 已知∠4的度数，所以∠5＝180°－∠4，代入即可求出∠5的度数，据此作答。 【详解】根据分析得：已知∠1＝35°，所以∠2＝180°－∠1－90°＝180°－35°－90°＝145°－90°＝55° ∠4＝180°－∠2－90°＝180°－55°－90°＝125°－90°＝35° ∠5＝180°－∠4＝180°－35°＝145° 所以如图中，已知∠1＝35°，∠3是一个直角。那么，∠2＝55°，∠4＝35°，∠5＝145°。 5．（24-25四年级上·江苏扬州·期末）用一张长方形的纸折成如下图的样子，已知∠1＋∠2＋∠3＝210°，那么∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 30 150 【分析】观察发现∠1＋∠2＝平角，∠2＋∠3＝平角，平角为180°，那么180°＋180°＝∠1＋∠2＋∠2＋∠3，再减去∠1＋∠2＋∠3所表示的度数，可以计算出∠2的度数，再用180°减去∠2的度数，计算出∠1的度数；据此解答。 【详解】根据分析： ∠1＋∠2＋∠2＋∠3＝180°＋180°＝360° ∠2＝360°－210°＝150° ∠1＝180°－150°＝30° 所以∠1＝30°，∠2＝150°。 6．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）如下图，先量出长方形中和的度数，再算出和的度数。 【答案】65°；65° 【分析】用量角器量角时，把量角器的中心和角的顶点重合，0°刻度线与长方形的长重合，看0°刻度线在内圈还是外圈。角的另一条边所对的量角器上的刻度就是这个角的度数，据此量出∠1、∠2的度数。 长方形的四个角都是直角，直角是90°，用90°减去∠1的度数就是∠3的度数。90°减去∠2的度数就是∠4的度数。 【详解】用量角器测得∠1和∠2都是25°。 90°－25°＝65° 答：∠3和∠4的度数都是65°。 七、垂直与平行的特征 1．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）同一平面内，两条直线的位置关系正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同一平面内，两条直线不是相交就是平行，垂直是特殊的相交关系，据此选择即可。 【详解】A．同一平面内，两条直线不是相交就是平行，垂直在相交的位置关系里，选项说法正确； B．垂直属于特殊的相交关系，选项说法错误； C．平行不可能在相交的关系里，选项说法错误； D．垂直是特殊的相交关系，但是相交的两条直线不一定垂直，选项说法错误； 两条直线的位置关系正确的是。 故答案为：A 2．（24-25四年级上·江苏常州·期末）下面三个生活中的现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．都可以 【答案】B 【分析】“两点之间，线段最短”指的是在平面上，连接两点的所有线中，线段的长度是最短的。据此解答。 【详解】甲：量跳远距离时是利用了垂线段最短，与“两点之间，线段最短”这一概念无关。 乙：走近路，意味着从一个地点到另一个地点，人们会选择路程最短的路径，而在平面上，两点之间的最短路径就是线段，所以走近路也可以用“两点之间，线段最短”来解释。    丙： 固定木条是利用了两点确定一条直线，与“两点之间，线段最短”这一概念无关。    故答案为：B 3．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）如果把一张正方形纸对折两次后展开，两条折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相平行，也可能互相垂直 D．既不互相平行，也不互相垂直 【答案】C 【分析】把一张正方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方向，一种情况是沿一条边的同一个方向对折两次，两条折痕是互相平行的；另一种情况是沿两条边的两个方向对折，两条折痕是互相垂直的；据此解答即可。 【详解】如果把一张正方形纸对折两次后展开，两条折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 故答案为：C 4．（23-24四年级上·海南儋州·期末）下图中，与线段DE互相平行的是线段( )，与线段DC互相垂直的有线段( )和线段( )。 【答案】 AB AD BC 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【详解】根据解析可知，与线段DE互相平行的是线段AB，与线段DC互相垂直的有线段AD和线段BC。 5．（24-25四年级上·福建宁德·期末）图中，ABDC与CDFE都是长方形，那么，线段AB与线段BF相互( )直线与直线相互( )。 【答案】 垂直 平行 【分析】根据长方形的特点，它的对边互相平行且相等，相邻的边互相垂直。在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；平行于同一条直线的两直线平行。两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。据此可以解答。 【详解】因为ABDC与CDFE都是长方形，所以线段AB与线段CD互相平行且相等。线段CD与线段EF互相平行且相等。那么线段AB与线段BF相互垂直，直线a与直线c相互平行。 6．（24-25四年级上·江苏南京·期末）如图的字母中，有线段互相平行的有( )个，有线段互相垂直的有( )个。 【答案】 5 4 【分析】根据平行和垂直的性质：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；据此判断即可。 【详解】如图的字母中，有线段互相平行的有E、F、H、N、Z，共5个，有线段互相垂直的有E、F、H、L，共4个。 八、画垂线与平行线 1．（24-25四年级上·河南新乡·期末）过点A分别画已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 2．（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）过点A画出直线a、b的垂线和直线a的平行线。 【答案】见详解 【分析】把直角三角尺一条直角边与已知直线a重合，使得点A在另一条直角边上，沿着这条直角边过点A向直线a画线段即为所求的垂线，再按照同样的方法过点A作出直线b的垂线，标上垂直符号。把直角三角尺一条直角边与直线a重合，再把直尺紧靠三角尺的另一条直角边，使得点A在另一条直角边上，移动直尺，当点A也在直尺的一边上时，固定直尺，过点A沿着直尺画直线，即为直线a的平行线。 【详解】 3．（24-25四年级上·江苏·课后作业）用画平行线的方法把下面图形画成有两组对边分别平行的四边形。 【答案】见详解 【分析】平行线的画法： 首先让直角板的一条边和已知直线重合，让直角板的一条边和直尺的一条边完全重合，这是两个重合。 然后紧贴着直角板平移三角板。在平移的过程当中要注意三角板要和直角和直尺的边始终重合在一起。 当不断向上平移刚才和已知直线重合的那条边通过点小超家的时候，这就是要画的平行线，可以稍微的延长一点。 第一幅图：分两步画，第一步过左边的上端点画下边的平行线，第二步过下边右端点画左边的平行线与刚才所画平行线相交后把线段长出的部分擦去即可。 第一幅图：分两步画，第一步过右边的上端点画下边的平行线，第二步过下边左端点画右边的平行线与刚才所画平行线相交后把线段长出的部分擦去即可。 【详解】 如图： 4．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）光明村和幸福村的位置如下图。 （1）光明村计划接通天然气总管道，怎样接才能使所用的费用最少？ （2）如果要修一条路与幸福村相连，如何修才能使费用最少？ 【答案】见详解 【分析】（1）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使所用费用最少，过光明村向天然气总管道作垂线段，沿此垂线段接费用最少。 （2）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短。要使李村与王村之间的修路费用最少，即修的路最短，连接光明村与幸福村，沿此线段修路费用最少。 【详解】（1）（2）作图如下： 5．（21-22四年级上·山东聊城·期末）请画出小方家到小青家最近的路，请画出小青家到公路最近的路，请画出通过小超家与公路平行的路。 【答案】见详解 【分析】连接两家之间的线段就是两家之间的最短距离；从小青家作到公路的垂直线段就是小青家到公路最近的路，过小超家作公路的平行线。 垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线。 平行线的画法： 首先让直角板的一条边和已知直线重合，让直角板的一条边和直尺的一条边完全重合，这是两个重合。 然后紧贴着直角板平移三角板。在平移的过程当中要注意三角板要和直角和直尺的边始终重合在一起。 当不断向上平移刚才和已知直线重合的那条边通过点小超家的时候，这就是要画的平行线，可以稍微的延长一点。 【详解】如图： 真题训练 1．（24-25四年级上·江苏南京·期末）把一条6厘米的线段两端各延长100米，得到的是一条（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．曲线 【答案】C 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不能测量长度；射线只有一端有端点，另一端可无限延长，不能测量长度；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，能测量长度，据此解答即可。 【详解】A．直线两端无限延长，不能测量长度，不符合题意。 B．射线一端可无限延长，不能测量长度，不符合题意。 C．线段有两个端点，能测量长度，把一条6厘米的线段两端各延长100米，得到的线段的长度为6厘米与2个100米的和，符合题意。 D．曲线无法用尺子测量，不符合题意。 故答案为：C 2．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）一副三角尺不能拼出（    ）度角。 A．65 B．120 C．135 D．180 【答案】A 【分析】一副标准三角尺的两个三角板角度分别为：等腰直角三角尺：45°、45°、90°；30－60－90三角尺：30°、60°、90°。通过叠加或组合这些角度可以拼出以下常见角：15°（如45°＋ 30°）；75°（如45° ＋ 30°）；105°（如60° ＋ 45°）；120°（如90° ＋ 30°）；135°（如90° ＋ 45°）；180°（平角，两三角板直线拼接），65°无法通过上述角度相加或相减得到，因此一副三角尺不能拼出65°角。 【详解】A．65°无法通过一副三角尺角度相加或相减得到。 B．120°如90° ＋ 30°可以拼成。 C．135°如90° ＋ 45°可以拼成。 D．180°如90°＋90°可以拼成。 故答案为：A 3．（24-25四年级上·江苏南通·期末）下面图形（    ）中，既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；依此选择。 【详解】 A．，图形中既没有互相平行的线段，也没有互相垂直的线段； B．，图形中有互相平行的线段，没有互相垂直的线段； C．，图形中既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段； D．，图形中没有互相平行的线段，没有互相垂直的线段； 则图形中，既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段。故答案为：C 4．（24-25四年级上·江苏扬州·期末）度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是( )度。 【答案】70 【分析】根据题意，测量的角的两边一边所对应的量角器的外圈的刻度是30°，另一条边所对应的量角器的外圈的刻度是100°，用100°－30°，即为所测量角的度数，据此解答即可。 据此解答即可。 【详解】100°－30°＝70° 度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是70度。 5．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）从张丽家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是360米、150米、110米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 【答案】110 【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，看哪条小路的长度最短，即是垂线段，据此解答。 【详解】360米＞150米＞110米； 从张丽家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是360米、150米、110米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是110米。 6．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）下图中有( )个直角，有( )个锐角，有( )个钝角。 【答案】 2 1 1 【分析】90°的角叫做直角，大于0°小于90°的角叫做锐角，大于90°小于180°的角叫做钝角，据此解答即可。 【详解】如图所示，有2个直角，有1个锐角，有1个钝角。 7．（24-25四年级上·贵州贵阳·期末）如图，∠1＝( )°，是( )角。∠2＝( )°，是( )角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出( )°。 【答案】 150 钝 75 锐 135 【分析】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是90°，45°，45°，另一个三角尺的三个角分别是90°，60°，30°。由图可知，∠1是直角和三角尺上60°的角组成的，直接用加法即可算出∠1的度数；∠2是三角尺上45°的角和三角尺上30°的角组成的，直接用加法即可算出∠2的度数；大于0°小于90°的角叫作锐角，直角的度数等于90°，大于90°小于180°的角叫作钝角；用一副三角板去拼角，直接把三角尺上的两个角相加或相减即可算出可以拼出的角的度数。 【详解】∠1＝90°＋60°＝150°，∠1是钝角。 ∠2＝45°＋30°＝75°，∠2是锐角。 90°＋45°＝135°，即一副三角板可以拼出135°的角。 60°＋45°＝105°，即一副三角板可以拼出105°的角。 90°＋30°＝120°，即一副三角板可以拼出120°的角。 故∠1＝150°，是钝角。∠2＝75°，是锐角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出135°。（答案不唯一） 8．（24-25四年级上·河南新乡·期末）2021年3月，教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，要求小学生每天睡眠至少应达到9小时。张桦晚上8：45睡觉，第二天早上6：45起床，这时钟面上的时针和分针成( )角，时针转动了( )度。 【答案】 锐 300 【分析】6：45时分针指向9，时针指向6和7之间，这时时针和分针所成的角小于90°，所以这时钟面上的时针和分针成锐角；从晚上8：45到次日6：45共10小时。每小时转30°，10小时转动 10×30°＝300°。 【详解】6：45时分针指向9，时针指向6和7之间，这时钟面上的时针和分针成锐角； 晚上12：45－晚上8：45＝4（小时） 次日6：45－凌晨0：45＝6（小时） 4＋6＝10（小时） 10×30°＝300° 时针转动了300度。 9．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）图中直角有( )个，锐角有( )个。如果，那么( )°。 【答案】 2 3 45 【分析】依据角的概念及分类：小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°且小于180°的角是钝角； 如图：∠1＝45°，用90°减去∠1的度数，求出∠3的度数，再用180°减去90°再减去∠3的度数，求出∠2的度数。 【详解】图中直角有2个，锐角有3个； 90°－45°＝45° 180°－90°－45°＝45° ∠2＝45° 10．（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是( )°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是( )°。 【答案】 120 45 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，4时整，时针走了4大格，即4×30°＝120°；再过30分钟，即4时＋30分钟＝4时30分，4时30分，时针过了4，在4和5的中间位置，分针指在6上，时针和分针相距1个半格，半个为30°÷2＝15°，时针和分针所成的角是15°＋30°＝45°，据此解答即可。 【详解】4×30°＝120° 30°÷2＝15° 15°＋30°＝45° 现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是120°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是45°。 11．（24-25四年级上·江苏南通·期末）下面左图中，∠1是( )°；右图中，直线a与直线b互相( )，图中共有( )个直角，已知∠2是64°，∠3是( )°。 【答案】 85 垂直 4 116 【分析】通过量角器的读数，量角器的一端是145°，另一端是60°，用145°－60°可得出∠1的度数； 如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直； 利用平角＝180°，可求出∠3的度数，即180°－∠2。 【详解】145°－60°＝85° 180°－∠2＝180°－64°＝116° ∠1是85°，右图中，直线a与直线b互相垂直，图中共有4个直角，已知∠2是64°，∠3是116°。 12．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）下面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝( )°。 【答案】60 【分析】如图：∠1与∠2的和等于长方形的一个直角，也就是90°，又∠1是∠2的2倍，因此由此可以计算出，又因为∠3与∠2的和也等于长方形的一个直角，也就是90°，因此。 【详解】根据分析可得： 因此： 因此： 13．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）下面图③中，小明在A点位置，要到河里取水，画出最短的行走路线。 【答案】见详解 【分析】连接点到直线的线段中，垂线段最短，据此画出点A到河岸的垂线段即可。 【详解】 14．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）在下面图中，过C点分别画出OB边的垂线，OA边的平行线。 【答案】见详解 【分析】过点C画OB边的垂线：把三角尺的一条直角边与已知直线OB重合，沿着直线移动三角尺，使直线外的点C在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是OB边的垂线。 过点C作OA边的平行线：固定三角尺，一条直角与OA边重合，用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直到与C点重合停止，沿直角边画出一条直线即得到OA的平行线，据此即可解答。 【详解】作图如下图所示： 15．（24-25四年级上·江苏徐州·期末） （1）“紫金路”穿过江北小区，与彩虹路平行，请画图并标上名称。 （2）急民小区要铺设煤气管道，与育英路上的主管道连通，要使管道最短，应该怎样铺设？请画出铺设管道的线路图。 （3）该城市计划从中心广场出发，向东南方向修建一条“阳光大道”，该道路与彩虹路之间形成一个105°角，请在图上画出这条大道。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【分析】（1）用三角板的一条直角边和彩虹路重合，移动三角板使另一条直角边和江北小区重合，用直尺靠紧和江北小区重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过江北小区画直线即可。 （2）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。过急民小区作育英路的垂线，因此垂线段的位置，就是接管道的位置，据此解答即可。 （3）由题意可知，阳光大道应该在中心广场的右下角，使量角器的中心和中心广场重合，0°刻度线和彩虹路重合，然后在量角器105°刻度线的地方点一个点，最后将这个点与中心广场相连接，所形成的角为105°，据此解答即可。 【详解】（1）（2）（3）如图： 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义：专题08 垂线与平行线 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、直线、射线和线段的认识（基础） 1.三种线的定义与特点： 类型 定义 端点数量 延伸性 可度量性 线段 直线上两点间的部分 2个 不可延伸 可度量长度 射线 直线上一点向一方无限延伸 1个 向一方无限延伸 不可度量 直线 没有端点，向两方无限延伸 0个 向两方无限延伸 不可度量 2.区别与联系： （1）联系：射线和线段都是直线的一部分；线段可以度量，射线和直线不可度量。 （2）易错点：误认为“直线比射线长”（两者均不可度量，无法比较长度）。 3.两点间的距离： （1）两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 （2）两点之间，线段最短：连接两点的所有线（曲线、折线、线段）中，线段的长度最短。 考点二、角的认识与度量（重点） 1.角的定义与组成： （1）定义：从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。 （2）组成部分： 角通常用符号“∠”表示。下图的角可以记作∠1。∠1读作角一。 2.角的度量： （1）度量工具：量角器（中心点、0°刻度线、内圈刻度、外圈刻度）。 （2）度量步骤： ①点重合：量角器中心点与角的顶点重合； ②线重合：量角器0°刻度线与角的一条边重合； ③读度数：角的另一条边所对的刻度（注意区分内圈/外圈刻度，0°在右读内圈，0°在左读外圈）。 3.角的分类（按度数） 角的类型 度数范围 特殊关系 锐角 0°＜锐角＜90° —— 直角 等于90° 符号：Rt∠ 钝角 90°＜钝角＜180° —— 平角 等于180° 1平角=2直角 周角 等于360° 1周角=2平角=4直角 考点三、垂直与平行的认识（核心） 1.垂直的定义与表示： （1）定义：两条直线相交成直角（90°） 时，这两条直线互相垂直。 （其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足）。 （2）表示方法：直线a与直线b互相垂直，记作“a⊥b”，读作“a垂直于b”。 （3）生活实例：墙角的两条边、课本的邻边、黑板的长和宽。 2.平行的定义与表示： （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 （若两条直线不平行且不相交，则不在同一平面内，四年级阶段暂不涉及）。 （2）表示方法：直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”，读作“a平行于b”。 （3）生活实例：铁轨的两条轨、黑板的上下边、五线谱的横线。 3.垂直与平行的关系： （1）垂直：相交的特殊情况（必须成直角）； （2）平行：永不相交（前提是同一平面内）。 考点四、画垂线与平行线（重点操作） 1.画垂线（用直尺和三角尺） （1）过直线上一点画垂线 步骤： ①靠：三角尺一条直角边与已知直线重合； ②移：沿直线移动三角尺，使另一条直角边与已知点重合； ③画：沿直角边画直线（标出直角符号“┐”）。 （2）过直线外一点画垂线 步骤：（与上类似，三角尺直角边先与直线重合，再移动使另一直角边过该点，画直线并标直角符号）。 （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离（垂线段最短）。 2.画平行线（用直尺和三角尺） 步骤： ①靠：三角尺一条直角边与已知直线重合； ②贴：直尺紧贴三角尺的另一条直角边； ③移：固定直尺，沿直尺移动三角尺至指定位置； ④画：沿三角尺直角边画直线（所画直线与已知直线平行）。 考点五、垂线与平行线的应用 1.几何图形中的应用： （1）长方形/正方形：对边互相平行，邻边互相垂直（4个直角）； （2）平行四边形：对边互相平行（邻边不一定垂直）。 2.解决实际问题: （1）最短路径：从A点到河边取水，沿垂线段走最短（点到直线的距离最短）； （2）道路规划：两条平行线之间的距离处处相等（如铁轨宽度保持不变）。 例题讲解 一、线段、直线、射线的认识及特征 【例题1】（23-24四年级上·江苏常州·期末）手电筒向天空射出的光线可以近似看成（    ）。 A．射线 B．线段 C．直线 D．垂线 【例题2】（24-25四年级上·江苏南通·期末）连接同一条直线上的三个点可以画（    ）条线段。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【例题3】（23-24四年级上·贵州毕节·期末）把一条2厘米长的线段分别向两端延长30厘米后得到一条( )，向一端无限延长后得到一条( )，分别向两端无限延长后得到一条( )。 二、角的认识与度量 【例题1】（24-25四年级上·江苏南京·期末）量出下面每个角的度数。                  ( )                ( ) 【例题2】（24-25四年级上·贵州毕节·期末）度量一个角时，角的一条边与量角器内圈“0”刻度线重合，另一条边对着外圈“80”刻度线，这个角的度数是( )°。 【例题3】（24-25四年级上·江苏南通·期末）残缺创造美！小华的量角器坏了，他用这个残缺的量角器测量一个角的度数。如图所示，这个角是（    ）度。 A．90 B．80 C．70 D．55 三、平角、周角的认识及特征 【例题1】（24-25四年级上·江苏·课后作业）360°的角是( )，它等于( )个平角或( )个直角。 【例题2】（24-25四年级上·安徽合肥·期末）10时整，钟面上时针和分针组成的角是( )角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是( )角。 【例题3】（22-23四年级上·安徽六安·期末）平角比125°的角大( )°；43°的角比直角小( )°。 四、用量角器画角 【例题1】（24-25四年级上·江苏泰州·期末）用图中的一条射线作边，画一个135°的角。 【例题2】（24-25四年级上·江苏·课后作业）用量角器分别画出65°、120°和155°的角。 五、用三角尺画角 【例题1】（23-24四年级上·江苏盐城·期末）下图是用一副三角尺拼成的角，它是（    ）。 A．150° B．120° C．105° D．75° 【例题2】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）用三角板画一个75度和105度的角。 六、角度的计算 【例题1】（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）从13时到13时20分，钟面上分针转动了( )°，是( )角。 【例题2】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）在图中，已知( )°，那么( )°，( )°。 【例题3】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）如图，∠1＝45°，那么∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【例题4】（24-25四年级上·广西贵港·期中）下图，∠2＝34°。∠1是多少度？ 七、垂直与平行的特征 【例题1】（24-25四年级上·江苏淮安·期末）如下图所示，A到BE的所有线段中，（    ）的长度是点A到线段BE的距离。 A．AE B．AD C．AC D．AB 【例题2】（24-25四年级上·贵州毕节·期末）下面各组直线中，互相垂直的是( )，互相平行的是( )。（填序号） 【例题3】（24-25四年级上·河南新乡·期末）一个长方形有( )组对边互相平行，长和宽互相( )。 八、画垂线与平行线 【例题1】（24-25四年级上·江苏南通·期末）经过点A画出已知直线的平行线，经过点B画出已知直线的垂线。 【例题2】（24-25四年级上·江苏无锡·期末）一只老虎追赶一只狐狸，狐狸掉进河里的点A处，狐狸要想尽快上岸，还不被老虎抓住，它应该选择怎样的路线？请你在图上画一画。 【例题3】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）过点P分别画直线a的垂线和直线b的平行线。 考点练习 一、线段、直线、射线的认识及特征 1．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条射线 B．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条直线 C．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条线段 D．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一个直角 2．（24-25四年级上·江苏·单元测试）下面图形中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。         ①                  ②                ③ 3．（24-25四年级上·江苏·课后作业）线段有( )个端点，它可以量出( )。直线没有端点，可以向( )端无限延伸。射线有( )个端点，可以向( )端无限延伸。 4．（24-25四年级上·江苏·单元测试）在纸上任意画两个点，经过这两个点最多能画( )条直线；任意画三个点，每次经过其中的两个点，最多能画( )条直线。 5．（24-25四年级上·江苏·期末）连接下图的任意两点，共可以画( )条线段；经过任意一点可以画( )条直线。 二、角的认识与度量 1．（24-25四年级上·江苏苏州·期末）下面用量角器量角的方法中，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（23-24四年级上·江苏南通·期末）晓莉的量角器坏了，聪明的她这样去量了这个角，这个角的度数是（    ）。 A．40° B．60° C．80° D．120° 3．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）用一个3倍的放大镜看一个45°的角，这个角是（    ）。 A．45° B．48° C．135° D．60° 4．（23-24四年级上·江苏淮安·期末）从3时整到9时整，时针转过了（    ）度。 A．30 B．90 C．120 D．180 5．（24-25四年级上·江苏南京·期末）观察量角器上的刻度，填出每个角的度数。 ( )°                           ( )° 6．（24-25四年级上·江苏连云港·期末）小马虎用量角器测量一个角时，错把外圈刻度当成内圈刻度来读，度数为70°，正确的度数应该是( )°。 7．（23-24四年级上·江苏淮安·期末）用量角器量出下面的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 三、平角、周角的认识及特征 1．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）钟面上9时30分，时针与分针所成的夹角是（    ）。 A．75度 B．90度 C．105度 D．120度 2．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）在5°、105°、20°、45°、90°、150°、91°、180°中有( )个锐角，( )个钝角。 3．（23-24四年级上·广西防城港·期末）直角＝( )度，平角＝( )度，1个周角＝( )个直角。 4．（24-25四年级上·江苏盐城·期末）把一个平角分成两个角，如果其中一个角是钝角，那么另一个角是( )角；若6个同样的角刚好组成一个周角，则每个角都是( )°。 5．（24-25四年级上·江苏无锡·期末）如图，用线段表示0度到360度（周角）。 （1）请在线段上用点C表示出直角。 （2）点A表示（    ）角，点B表示（    ）角。（填“锐”“直”或“钝”） 四、用量角器画角 1．（23-24四年级上·贵州毕节·期末）以点A为顶点，用量角器画一个90°的角。 2．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）以点为顶点，用量角器画一个的角。 3．（24-25四年级上·江苏苏州·期末）如图，以A为顶点，已知射线为一条边，画一个120°的角。 4．（24-25四年级上·江苏南通·期末）以下面的射线为角的一条边，用量角器分别画出50°和125°的角。 5．（24-25四年级上·河南周口·期末）画出下面的角。 30°        65°        135° 五、用三角尺画角 1．（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）用一副完整的三角尺不能拼出（    ）°的角。 A．105 B．75 C．135 D．125 2．（24-25四年级上·江苏盐城·期末）用一副三角尺画出的角中，最小的角与最大的角的度数分别是（    ）。 A．30°、150° B．75°、150° C．15°、180° D．30°、180° 3．（24-25四年级上·江苏常州·期末）下面表示的角中，（    ）最小。 A． B． C． D． 4．（23-24四年级上·江苏南通·期末）用一副三角尺，我们可以拼出( )°的角，还可以拼出( )°的角。（每空填写一种答案即可） 5．（23-24四年级上·云南昆明·期中）用三角尺或者量角器画角。 50°        105° 六、角度的计算 1．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）清代高鼎用“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”生动描绘了儿童放风筝的情景。如果把风筝线和地面的夹角记作∠1，∠1等于下面四个角度中的（    ）时，风筝飞得最高。 A． B． C． D． 2．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）1个平角和1个钝角的差一定是( )角；1个直角和1个锐角的和一定是( )角。 3．（25-26四年级上·江苏南京·期末）看图填一填。 已知∠2＝60°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 4．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）如图中，已知∠1＝35°，∠3是一个直角。那么，∠2＝( )°，∠4＝( )°，∠5＝( )°。 5．（24-25四年级上·江苏扬州·期末）用一张长方形的纸折成如下图的样子，已知∠1＋∠2＋∠3＝210°，那么∠1＝( )°，∠2＝( )°。 6．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）如下图，先量出长方形中和的度数，再算出和的度数。 七、垂直与平行的特征 1．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）同一平面内，两条直线的位置关系正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25四年级上·江苏常州·期末）下面三个生活中的现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．都可以 3．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）如果把一张正方形纸对折两次后展开，两条折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相平行，也可能互相垂直 D．既不互相平行，也不互相垂直 4．（23-24四年级上·海南儋州·期末）下图中，与线段DE互相平行的是线段( )，与线段DC互相垂直的有线段( )和线段( )。 5．（24-25四年级上·福建宁德·期末）图中，ABDC与CDFE都是长方形，那么，线段AB与线段BF相互( )直线与直线相互( )。 6．（24-25四年级上·江苏南京·期末）如图的字母中，有线段互相平行的有( )个，有线段互相垂直的有( )个。 八、画垂线与平行线 1．（24-25四年级上·河南新乡·期末）过点A分别画已知直线的垂线。 2．（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）过点A画出直线a、b的垂线和直线a的平行线。 3．（24-25四年级上·江苏·课后作业）用画平行线的方法把下面图形画成有两组对边分别平行的四边形。 4．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）光明村和幸福村的位置如下图。 （1）光明村计划接通天然气总管道，怎样接才能使所用的费用最少？ （2）如果要修一条路与幸福村相连，如何修才能使费用最少？ 5．（21-22四年级上·山东聊城·期末）请画出小方家到小青家最近的路，请画出小青家到公路最近的路，请画出通过小超家与公路平行的路。 真题训练 1．（24-25四年级上·江苏南京·期末）把一条6厘米的线段两端各延长100米，得到的是一条（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．曲线 2．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）一副三角尺不能拼出（    ）度角。 A．65 B．120 C．135 D．180 3．（24-25四年级上·江苏南通·期末）下面图形（    ）中，既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段。 A． B． C． D． 4．（24-25四年级上·江苏扬州·期末）度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是( )度。 5．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）从张丽家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是360米、150米、110米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 6．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）下图中有( )个直角，有( )个锐角，有( )个钝角。 7．（24-25四年级上·贵州贵阳·期末）如图，∠1＝( )°，是( )角。∠2＝( )°，是( )角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出( )°。 8．（24-25四年级上·河南新乡·期末）2021年3月，教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，要求小学生每天睡眠至少应达到9小时。张桦晚上8：45睡觉，第二天早上6：45起床，这时钟面上的时针和分针成( )角，时针转动了( )度。 9．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）图中直角有( )个，锐角有( )个。如果，那么( )°。 10．（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是( )°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是( )°。 11．（24-25四年级上·江苏南通·期末）下面左图中，∠1是( )°；右图中，直线a与直线b互相( )，图中共有( )个直角，已知∠2是64°，∠3是( )°。 12．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）下面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝( )°。 13．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）下面图③中，小明在A点位置，要到河里取水，画出最短的行走路线。 14．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）在下面图中，过C点分别画出OB边的垂线，OA边的平行线。 15．（24-25四年级上·江苏徐州·期末） （1）“紫金路”穿过江北小区，与彩虹路平行，请画图并标上名称。 （2）急民小区要铺设煤气管道，与育英路上的主管道连通，要使管道最短，应该怎样铺设？请画出铺设管道的线路图。 （3）该城市计划从中心广场出发，向东南方向修建一条“阳光大道”，该道路与彩虹路之间形成一个105°角，请在图上画出这条大道。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $