期末复习讲义：专题01 长方体和正方体（考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练）-2025-2026学年六年级上册数学苏教版

期末复习讲义：专题01 长方体和正方体 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识 1.基本特征： （1）长方体： ①有6个面（一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形）。 ②相对的面完全相同。 ③有12条棱，相对的棱长度相等。可分为3组（长、宽、高各4条）。 ④有8个顶点。 （2）正方体： ①有6个面，都是正方形，6个面完全相同。 ②有12条棱，所有棱的长度都相等。 ③有8个顶点。 （3）关系： 正方体是一种特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 2.长、宽、高： （1）长方体中，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做它的长、宽、高。 （2）正方体中，所有棱的长度都叫做棱长。 3.观察物体： 能辨认从不同方向（前面、右面、上面）看到的长方体和正方体的形状图。 考点二、长方体和正方体的棱长总和 1.长方体的棱长总和 = (长 + 宽 + 高) × 4 （1）字母公式： （2）已知棱长总和，求长/宽/高：长 = 棱长总和÷4 - 宽 - 高 2.正方体的棱长总和 = 棱长 × 12 （1）字母公式： （2）已知棱长总和，求棱长：棱长 = 棱长总和÷12 考点三、长方体和正方体的表面积 1.表面积的意义： 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2.计算公式： （1）长方体的表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 ①字母公式： （2）正方体的表面积 = 棱长×棱长 × 6 ①字母公式： 3.特殊情况的表面积计算（无盖或无底）： （1）如：计算游泳池、鱼缸、抽屉、粉刷教室墙壁（地面不刷、扣除门窗）等的表面积时，需要根据实际情况少算一个或几个面的面积。 （2）例如：无盖的长方体鱼缸的表面积 = 长×宽 + (长×高 + 宽×高) × 2 4.展开与折叠： （1）能辨认长方体和正方体的展开图。 （2）能根据展开图判断能否折成相应的长方体或正方体。 考点四、长方体和正方体的体积（容积） 1.体积的意义： 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.容积的意义： 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。 3.常用体积单位： 立方米 (m³)、立方分米 (dm³)、立方厘米 (cm³) （1）单位换算： 1立方米 = 1000立方分米 (1m³ = 1000dm³) 1立方分米 = 1000立方厘米 (1dm³ = 1000cm³) 4.常用容积单位： 升 (L)、毫升 (mL) （1）单位换算： 1升 = 1立方分米 (1L = 1dm³) 1毫升 = 1立方厘米 (1mL = 1cm³) 1升 = 1000毫升 (1L = 1000mL) 5.体积计算公式： （1）长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 ①字母公式： （2）正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 ①字母公式： (读作：a的立方，表示3个a相乘) （3）统一公式（长方体和正方体通用）： ①体积 = 底面积 × 高 (V = S × h 或 V = Sh) ②对于长方体，底面积可以是长×宽、长×高或宽×高，取决于将哪个面看作底面。 ③对于正方体，底面积 = 棱长×棱长。 考点五、解决实际问题 1.不规则物体体积的测量： 排水法。 （1）规则：物体的体积 = 上升（或溢出）的水的体积 （2）具体方法：放入物体前水的体积为V1，放入物体后水的体积（或水和物体的总体积）为V2，则物体体积V = V2 - V1。 2.拼、切问题对表面积和体积的影响： （1）拼： 几个相同的正方体或长方体拼成一个大的长方体，体积不变，表面积减少（因为拼合处的面被遮住了）。 （2）切： 一个大的正方体或长方体切成几个小的正方体或长方体，体积不变，表面积增加（因为切开处增加了新的面）。 3.综合应用： （1）结合生活实际，计算物体的表面积（注意是否有盖、是否需要扣除某些部分）。 （2）计算物体的体积或容积（注意单位换算）。 （3）已知体积（或表面积）和部分棱长，求其他棱长。 考点六、表面涂色的正方体 1.表面涂色正方体的基本特征： （1）定义：将棱长为n（n≥2，且n为正整数）的正方体表面涂色后，切成棱长为1的小正方体，研究不同位置小正方体的涂色情况。 （2）分类：根据小正方体在大正方体中的位置，可分为三类： ①三面涂色：位于大正方体顶点处 ②两面涂色：位于大正方体棱上（不含顶点） ③一面涂色：位于大正方体面上（不含棱） ④没有涂色：位于大正方体内部（不接触任何表面） 2.涂色小正方体的数量规律： 位置特征 数量计算公式 字母含义 三面涂色 8个 任何正方体都有8个顶点 两面涂色 12×(n-2) n为大正方体棱长，每条棱上有(n-2)个 一面涂色 6×(n-2)² 每个面上有(n-2)²个 没有涂色 (n-2)³ 内部形成棱长为(n-2)的小正方体 例题讲解 一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】乐乐和他的好朋友用磁力棒分别搭一个长方体框架来探究长方体的特征，下面是他们搭出的部分框架，其中能决定长方体形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【例题2】如下，这是一款产品的参数图片，这个产品最有可能是（    ）。 产品尺寸506×620×1280mm 包装尺寸560×652×1343mm A．微波炉 B．家用冰箱 C．电视机 D．普通手机 【例题3】用5个相同的小正方体摆成下面的立体图形，要想摆成正方体，至少还需（    ）个这样的小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题1】做一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体框架，至少用（    ）的铁丝。 A．32分米 B．22分米 C．44分米 D．11分米 【例题2】一个正方体的棱长是5分米，棱长的和是( )分米。 三、长方体和正方体的展开图 【例题1】下面的图形沿折痕能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【例题2】下面各图形中，不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【例题3】下图是一个正方体的展开图，其中与A面相对的是( )面；与B面相对的是( )面；与C面相对的是( )面。 四、长方体和正方体表面积的计算及应用 【例题1】一个正方体棱长总和是48米，它的表面积是( )平方米。 【例题2】根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是( )平方厘米。 【例题3】计算下面长方体和正方体的表面积。      【例题4】用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 【例题5】一间教室长12米，宽5米，高3.5米，现在要用涂料粉刷教室的四壁和顶棚，门窗和黑板的面积一共是20平方米。要粉刷的面积是多少平方米？ 五、体积和容积的认识 【例题1】物体所占空间的大小叫作物体的( )。容器所能容纳物体的体积叫作容器的( )。 【例题2】一种洗发水的瓶子上标注“净含量200毫升”，它指的是（    ）。 A．瓶子的重量 B．瓶子的体积 C．洗发水的体积 D．洗发水的重量 六、体积、容积单位的选择 【例题1】一个汽车油箱的容积是60（    ）。 A．立方米 B．平方分米 C．升 D．毫升 【例题2】在括号里填上合适的单位名称。 文具盒的体积大约是180( )        水桶的容积大约是12( ) 七、体积与容积单位间的进率及换算 【例题1】在括号里填上合适的数字。 5升＝( )立方厘米              500立方分米＝( )立方米 500平方分米＝( )平方米        50毫升＝( )立方分米 【例题2】在括号里填合适的数。 0.75立方分米＝( )立方厘米                400立方厘米＝( )毫升＝( )升 8立方米40立方分米＝( )立方米         5.09升＝( )升( )毫升 八、长方体和正方体的体积 【例题1】一个长方体的体积是60立方分米，底面积是15平方分米，高是( )分米。 【例题2】一个正方体的一个面的面积是64平方厘米，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【例题3】计算下面长方体和正方体的体积。 九、体积的等积变形（长方体、正方体） 【例题1】把一块长15厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体钢块，熔铸成横截面面积是4平方厘米的长方体钢条，钢条的长是多少米？ 【例题2】把一个棱长6分米的正方体容器里满容器的水倒入一个长8分米，宽5分米，高25分米的容器里，水深多少分米？ 十、立体图形的切拼（长方体、正方体） 【例题1】如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是( )。 【例题2】把如图所示的长方体沿虚线切开，表面积比原来增加( )平方厘米。 【例题3】一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。( ) 【例题4】一个长方体，高截去2厘米，表面积就减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 十一、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 【例题1】如图是用棱长1厘米的正方体木块摆成的几何体，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【例题2】明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是( )cm3。 【例题3】计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 十二、长方体、正方体的容积 【例题1】如图，小红在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个大小完全相同的1立方厘米小正方体。这个玻璃容器的容积是( )立方厘米，还要( )个这样的小正方体才能刚好摆满这个玻璃容器。 【例题2】学完长方体和正方体这一单元后，浩然准备做一个长4分米，宽3分米，高6分米长方体无盖玻璃鱼缸，至少需要玻璃( )平方分米。向鱼缸里注水，当鱼缸中的水所形成的长方体第一次出现一组相对的面是正方形时，容器里有( )升水。 【例题3】一种饼干的外包装是一个长方体铁盒，这个铁盒长25厘米、宽20厘米、高30厘米。 （1）做这样一个铁盒，至少要用多少平方分米的铁皮？ （2）这个铁盒的容积是多少立方分米？（铁盒的厚度忽略不计） 十三、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题1】一个长方体水缸，长20厘米，宽15厘米，水深6厘米。将一块石头投入水中（石头完全浸入水中），水面上升4厘米，石头的体积是( )立方厘米。 【例题2】将一块长和宽都是20厘米的长方体铁块浸没在长60厘米、宽40厘米的长方体水池的水中时，水面比原来上升了2厘米（水池中的水没有溢出）。求长方体铁块的高。 十四、表面涂色的正方体 【例题1】正方体魔方中，每个面三行三列的是三阶魔方（如图），给这个魔方表面涂色，其中1个面涂色的有( )块，2个面涂色的有( )块。 【例题2】将一个表面涂色的大正方体棱长若干等份，切割成64个相同的小正方体，其中两面涂色的小正方体有( )个；一面涂色的小正方体有( )个。 【例题3】把一个棱长为8厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长为2厘米的小正方体，一共可以锯成( )块，其中两面涂色的正方体有( )块，一面涂色的正方体有( )块。 考点练习 一、长方体和正方体的认识及特征 1．在数学课上，小亮用学具棒搭一个长方体框架，搭了其中的三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 2．将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（    ）个这样的小正方体。 A．8 B．4 C．9 D．16 3．小华用黏土球和塑料棒搭一个正方体框架（如图），要继续搭建，还需( )个黏土球，( )根( )cm长的塑料棒。 4．有12根长9分米的铁棒，8根长7分米的铁棒，4根长5分米的铁棒，用这些铁棒可以焊成( )种不同的长方体或正方体框架。（每条棱上只用一根铁棒） 二、长方体和正方体有关棱长的应用 1．用一根（    ）长的铁丝正好可以做一个棱长是6cm的正方体框架。 A．36cm B．48cm C．72cm D．144cm 2．小明把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架铁丝拉直重新做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米。 3．蒋阿姨买了一箱苹果，外包装用丝带捆扎起来（如图），其中打结处用去18厘米丝带，捆扎这个箱子一共需要多少分米丝带？ 三、长方体和正方体的展开图 1．左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 2．下面（    ）幅图不是正方体的展开图。 A． B． C． D． 3．下图的展开图围成正方体后，与5号面相对的是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．下面是一个长方体的前面，左面和下面的展开图。画出展开图的另外三个面，并标出名称。 四、长方体和正方体表面积的计算及应用 1．一个正方体的底面周长是16厘米，它的表面积是( )平方厘米。 2．讲台上摆放着一个长方体，如果照下图的样子摆放，这个长方体占地面积是( )平方厘米；这个长方体的表面积是( )平方厘米。 3．一种薯片的包装盒是一个底面周长20厘米的正方形，高25厘米的长方体，做这样一个包装盒至少需要( )平方厘米的纸板。 4．张伯伯要在墙角搭一个正方体形状的鸡笼（两面靠墙）。搭鸡笼用的3根框架共用去钢筋12米（如图）。如果露在外面的面用塑料网包裹，那么至少需要( )平方米的塑料网。 5．求下面长方体和正方体的表面积。（单位：cm）        6．一种通风管长3.2米，它的横截面是边长为20厘米的正方形，做10节这样的通风管至少用多少平方米的铁皮？ 7．大厅里有8根长方体柱子需要油漆，柱子的截面是边长8分米的正方形，高是5米。按1千克油漆可以漆4平方米计算，这8根柱子需要多少千克油漆？ 8．“千门开锁万灯明，正月中旬动帝京。”正月十五元宵佳节，糖糖用同样长的铁丝，分别制作了花灯（如图）的灯架。现在给这个正方体花灯每个面上糊纸，纸的面积不能少于多少平方厘米？（不考虑接头处，单位：厘米） 五、体积和容积的认识 1．下列说法正确的是（    ）。 A．一张崭新的面值十元纸币是一个长方形 B．一个物体的体积越大，容积也越大 C．碗中装满牛奶，牛奶的体积就是碗的容积 D．体积一样大的容器，容积也一样大 2．下面物品中，（    ）的体积比1立方分米大，同时比1立方米小。 A．草莓 B．乒乓球 C．纸巾盒 D．公共汽车 3．计算一个木箱所占空间的大小，是计算这个木箱的体积。( ) 六、体积、容积单位的选择 1．一个汽油桶最多可装汽油180升，说明它的（    ）是180升。 A．体积 B．容积 C．表面积 D．重量 2．填上合适的单位名称。 一个保温瓶大约能装水2( )      一个集装箱的容积大约是250( ) 3．在括号内填上合适的单位名称。 一间教室占地60( )，一个水桶的容积大约是18( )，一个橡皮的体积大约是6( )，一台冰箱的体积是1.2( )。 七、体积与容积单位间的进率及换算 1．单位转化。 6200毫升＝( )升            1350立方厘米＝( )立方分米＝( )升 8.02立方分米＝( )立方厘米    3.8立方米＝( )立方米( )立方分米 2．在（    ）里填上合适的数。 301升＝( )毫升              7.8立方米＝( )立方分米 6立方分米＝( )升          80立方厘米＝( )立方分米 0.49立方分米＝( )升＝( )毫升 3．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7080毫升( )70.8立方分米          3.4立方分米( )34立方厘米 9.2立方分米( )9200立方厘米        4.6立方分米( )4.06升 八、长方体和正方体的体积 1．如图，长方体长30厘米，高10厘米，两个涂色的面的面积一共是200平方厘米，这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．1500 B．3000 C．6000 D．7500 2．一个长方体的棱长总和是56分米，底面是边长为3分米的正方形，这个长方体的高是( )分米，体积是( )立方分米。 3．一根铁丝正好可以焊接成长、宽、高分别是8厘米、6厘米、4厘米的长方体框架，在长方体表面糊上一层纸，做成一个无盖的纸盒，至少需要纸( )平方厘米；如果把这根铁丝焊接成正方体框架，这个正方体体积是( )立方厘米。 4．计算长方体和正方体的体积。 九、体积的等积变形（长方体、正方体） 1．把一个棱长10厘米的正方体铁块放入一个长方体玻璃缸内，并往缸内注水把铁块全部浸没。量得玻璃缸长50厘米，宽40厘米，此时缸内水深20厘米。若把铁块从缸中取出，缸内水深多少厘米？ 2．如图是一个长方体木质花盆，从里面量，长35厘米，宽16厘米，高12厘米。这个长方体花盆中装有10厘米高的营养土，如果将这些营养土全部倒入一个从里面量棱长20厘米的空的正方体花盆中，那么正方体花盆中营养土的高度是多少厘米？ 3．一块棱长是0.6米的正方体的钢坯，锻成横截面边长（横截面是正方形）是0.3米的长方体钢材，锻成的钢材有多长？（用方程解答） 十、立体图形的切拼（长方体、正方体） 1．把一根长2米的长方体木料，沿横截面平均锯成4段，表面积增加了300平方厘米，这根木料的体积是( )立方分米。 2．一根长方体木料，长6分米，横截面是边长为1.5分米的正方形。这块木料的体积是( )立方分米，如果将它截成最大的正方体可以截( )个。 3．3个棱长为2厘米的小正方体拼成一个长方体，长方体表面积是( )平方厘米，体积是( )立方分米。 4．一个长方体木块，长16厘米、宽12厘米、高8厘米，把它锯成若干个同样大小的正方体（没有浪费），最少可以锯成( )个，每个小正方体的体积是( )立方厘米。 5．一个长方体木料，从上部和下部分别截去高为2厘米和3厘米的长方体，剩下的部分便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的底面积是( )平方厘米。 6．求下面物体的表面积和体积。 7．一个长方体，按以下三种方法分割成了两个长方体（如图），表面积分别增加了30平方厘米、40平方厘米和24平方厘米。原来长方体的表面积是多少？ 十一、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 1．下图都是用棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 2．用棱长1分米的小正方体搭成一个模型，从前面看是，从上面看是，从右面看是，这个模型的表面积是( )平方分米，体积是( )立方厘米。 3．一个零件的形状如图（单位：厘米），这个零件的体积是多少立方厘米？ 4．下图物体是由一个正方体和一个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 5．一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 十二、长方体、正方体的容积 1．用8个1立方厘米的小正方体分别测量3个盒子的容积，得到的结论是（    ）。 A．①号最大 B．②号最大 C．③号最大 D．一样大 2．李大伯按照如图裁剪一块长是8分米的长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体容器。这个长方体容器的容积是( )升。（铁皮厚度和损耗忽略不计） 3．用铁皮做一个有盖的长方体油桶，长和宽都为3分米，高为5分米，用掉铁皮多少平方分米？桶内放汽油，每升油重0.82千克，油桶可装汽油多少千克？ 4．一种长方体无盖玻璃鱼缸，长40厘米、宽25厘米、高20厘米，做一个这样的鱼缸至少要用玻璃多少平方分米？这个鱼缸大约可以盛水多少升？（玻璃的厚度忽略不计） 5．“互联网＋”背景下，京东生鲜快递运送海鲜时使用了一种可以密封的长方体泡沫箱（如下图），从外面量长是56厘米，宽是36厘米，高是35厘米。已知泡沫厚3厘米，这种泡沫箱的容积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 6．如图，有5块铁皮（单位：分米），正好可以焊接成一个无盖的长方体油箱。给这个油箱加个盖，至少要铁皮多少平方分米？ 7．为了引水灌溉，南河村修建了一条长120米的水槽，水槽的横截面是一个边长8分米的正方形。 （1）如果要在水槽的底部和两面内壁上抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个水槽的容积是多少立方米？ 8．把一张长20厘米、宽12厘米的硬纸板，从四个角各剪去一个边长2厘米正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。 （1）这个纸盒的表面积是多少平方厘米？ （2）纸盒的容积是多少立方厘米？ 十三、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．下图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（    ）。 A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下 2．一个正方体容器，边长为20厘米，倒入5升水，再把一块石头没入水中。这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是( )立方厘米。 3．张军在一个长8厘米，宽8厘米，高12厘米的长方体容器中加入一些水后，准备测量一块石头的体积，具体情况如下图所示，请问这个石头的体积是( )立方厘米。 4．小红周末在家做了一个实验，实验步骤如下 第一步：准备了一个长方体的玻璃缸，从里面量出玻璃缸的长10厘米，宽8厘米，高15厘米。 第二步：倒入高是8厘米的水。 第三步：把一块石头完全浸没水中，出现两个面是正方形。 请你根据以上信息计算：（1）石头的体积是多少立方厘米？ （2）这时候水与容器的接触面是多少平方厘米？ 十四、表面涂色的正方体 1．在一个正方体表面涂色，然后把每条棱平均分成四份，切成若干个小正方体，这些小正方体中，三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个。 2．用棱长1厘米的64个小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色。那么一面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。 3．一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成5份，切成同样大小的正方体，这些小正方体两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 4．下图正方体的表面都已涂上油漆，然后被切成同样大小的小正方体。其中3面涂色的小正方体有( )个，2面涂色的小正方体有( )个，1面涂色的小正方体有( )个。 5．把一个棱长12厘米的正方体木块表面涂上颜色，再把它切割成棱长为2厘米的小正方体，一共可以切割成( )块，其中两面涂色的有( )块。 6．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有36个，一面涂色有( )个，原来正方体的体积为( )立方厘米。 真题训练 1．（24-25六年级上·江苏连云港·期中）下列图形中，（    ）图形沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·山西临汾·期末）在括号里填上合适的单位。 一瓶墨水的包装盒的体积约是150( )；一台大型电冰箱的容积约是300( )；一间教室的空间约是200( )；一个文具盒的表面积约是5( )。 3．（24-25六年级上·江苏·期末）3升＝( )毫升         2500立方厘米＝( )立方分米 0.5立方米＝( )立方分米     1.5立方米＝( )升 4．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了( )米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要( )平方米玻璃。 5．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）徐老师制作了一个长方体礼品盒，长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米。这个长方体礼品盒的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 6．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用一根长为96厘米的铁丝做成一个最大的正方体，并在表面糊上彩纸，糊彩纸的面积是( )平方厘米，做成的正方体的体积是( )立方厘米。 7．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）一根长方体木料，长1.5米，横截面是一个边长是3分米的正方形，把它锯成3段，表面积比原来增加( )平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。 8．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）小欣从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面（展开后如右图，单位：厘米），这个纸盒的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 9．（24-25六年级上·安徽蚌埠·期末）在一个无盖的长方体玻璃容器内摆棱长为1厘米的小正方体（如图），一层可以摆( )个，一共可以摆( )个，做这个容器需要玻璃( )平方厘米。（玻璃厚度忽略不计） 10．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）用棱长1厘米的小正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是( )平方厘米；至少再添加( )个同样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 11．（22-23六年级上·江苏泰州·期末）计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。 12．（24-25六年级上·海南海口·期末）李大叔家挖了一个长方体蓄水池，从里面量长35分米，宽2米，深1.5米。 （1）这个蓄水池占地多少平方米？在蓄水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）如果在蓄水池里蓄水8.4吨，那么蓄水池里的水深多少米？（每立方米水重1吨） 13．（24-25六年级上·安徽蚌埠·期末）安安为了测量一块不规则石头的体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长18厘米，宽12厘米，高40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为20厘米。 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为28厘米。 这块石头的体积是多少立方厘米？ 14．（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 15．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）一个花坛（如图），底面是边长2米的正方形，高0.8米。四周用木条围成。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）做这样一个花坛，四周大约需要木条多少平方米？（木条空隙忽略不计） （3）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 67 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义：专题01 长方体和正方体 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识 1.基本特征： （1）长方体： ①有6个面（一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形）。 ②相对的面完全相同。 ③有12条棱，相对的棱长度相等。可分为3组（长、宽、高各4条）。 ④有8个顶点。 （2）正方体： ①有6个面，都是正方形，6个面完全相同。 ②有12条棱，所有棱的长度都相等。 ③有8个顶点。 （3）关系： 正方体是一种特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 2.长、宽、高： （1）长方体中，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做它的长、宽、高。 （2）正方体中，所有棱的长度都叫做棱长。 3.观察物体： 能辨认从不同方向（前面、右面、上面）看到的长方体和正方体的形状图。 考点二、长方体和正方体的棱长总和 1.长方体的棱长总和 = (长 + 宽 + 高) × 4 （1）字母公式： （2）已知棱长总和，求长/宽/高：长 = 棱长总和÷4 - 宽 - 高 2.正方体的棱长总和 = 棱长 × 12 （1）字母公式： （2）已知棱长总和，求棱长：棱长 = 棱长总和÷12 考点三、长方体和正方体的表面积 1.表面积的意义： 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2.计算公式： （1）长方体的表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 ①字母公式： （2）正方体的表面积 = 棱长×棱长 × 6 ①字母公式： 3.特殊情况的表面积计算（无盖或无底）： （1）如：计算游泳池、鱼缸、抽屉、粉刷教室墙壁（地面不刷、扣除门窗）等的表面积时，需要根据实际情况少算一个或几个面的面积。 （2）例如：无盖的长方体鱼缸的表面积 = 长×宽 + (长×高 + 宽×高) × 2 4.展开与折叠： （1）能辨认长方体和正方体的展开图。 （2）能根据展开图判断能否折成相应的长方体或正方体。 考点四、长方体和正方体的体积（容积） 1.体积的意义： 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.容积的意义： 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。 3.常用体积单位： 立方米 (m³)、立方分米 (dm³)、立方厘米 (cm³) （1）单位换算： 1立方米 = 1000立方分米 (1m³ = 1000dm³) 1立方分米 = 1000立方厘米 (1dm³ = 1000cm³) 4.常用容积单位： 升 (L)、毫升 (mL) （1）单位换算： 1升 = 1立方分米 (1L = 1dm³) 1毫升 = 1立方厘米 (1mL = 1cm³) 1升 = 1000毫升 (1L = 1000mL) 5.体积计算公式： （1）长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 ①字母公式： （2）正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 ①字母公式： (读作：a的立方，表示3个a相乘) （3）统一公式（长方体和正方体通用）： ①体积 = 底面积 × 高 (V = S × h 或 V = Sh) ②对于长方体，底面积可以是长×宽、长×高或宽×高，取决于将哪个面看作底面。 ③对于正方体，底面积 = 棱长×棱长。 考点五、解决实际问题 1.不规则物体体积的测量： 排水法。 （1）规则：物体的体积 = 上升（或溢出）的水的体积 （2）具体方法：放入物体前水的体积为V1，放入物体后水的体积（或水和物体的总体积）为V2，则物体体积V = V2 - V1。 2.拼、切问题对表面积和体积的影响： （1）拼： 几个相同的正方体或长方体拼成一个大的长方体，体积不变，表面积减少（因为拼合处的面被遮住了）。 （2）切： 一个大的正方体或长方体切成几个小的正方体或长方体，体积不变，表面积增加（因为切开处增加了新的面）。 3.综合应用： （1）结合生活实际，计算物体的表面积（注意是否有盖、是否需要扣除某些部分）。 （2）计算物体的体积或容积（注意单位换算）。 （3）已知体积（或表面积）和部分棱长，求其他棱长。 考点六、表面涂色的正方体 1.表面涂色正方体的基本特征： （1）定义：将棱长为n（n≥2，且n为正整数）的正方体表面涂色后，切成棱长为1的小正方体，研究不同位置小正方体的涂色情况。 （2）分类：根据小正方体在大正方体中的位置，可分为三类： ①三面涂色：位于大正方体顶点处 ②两面涂色：位于大正方体棱上（不含顶点） ③一面涂色：位于大正方体面上（不含棱） ④没有涂色：位于大正方体内部（不接触任何表面） 2.涂色小正方体的数量规律： 位置特征 数量计算公式 字母含义 三面涂色 8个 任何正方体都有8个顶点 两面涂色 12×(n-2) n为大正方体棱长，每条棱上有(n-2)个 一面涂色 6×(n-2)² 每个面上有(n-2)²个 没有涂色 (n-2)³ 内部形成棱长为(n-2)的小正方体 例题讲解 一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】乐乐和他的好朋友用磁力棒分别搭一个长方体框架来探究长方体的特征，下面是他们搭出的部分框架，其中能决定长方体形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方体有12条棱，分为3组，每组4条棱长度相等，分别对应长方体的长、宽、高。长方体的形状和大小由长、宽、高这三个维度的长度决定。 【详解】A．只呈现了部分棱，没有明确体现出长、宽、高三个维度的信息，不能决定长方体的形状与大小。 B．展示的是一个类似长方形的部分框架，仅涉及长和宽（或长和高、宽和高）两个维度，缺少第三个维度的信息，无法完整决定长方体的形状与大小。 C．呈现出了从一个顶点出发的三条棱，这三条棱分别对应长方体的长、宽、高。因为长方体的长、宽、高确定了，它的形状和大小也就确定了，所以该选项能决定长方体的形状与大小。 D．只是一段棱的部分展示，没有涉及长、宽、高的完整信息，不能决定长方体的形状与大小。 故答案为：C 【例题2】如下，这是一款产品的参数图片，这个产品最有可能是（    ）。 产品尺寸506×620×1280mm 包装尺寸560×652×1343mm A．微波炉 B．家用冰箱 C．电视机 D．普通手机 【答案】B 【分析】根据题意可知：产品、包装尺寸单位是mm，转化为m，产品尺寸0.506×0.62×1.28m，包装尺寸0.56×0.652×1.343m。据此结合生活实际，逐项判断即可。 【详解】产品尺寸506×620×1280mm=0.506×0.62×1.28m A．微波炉的尺寸中是没有长度超过1m的，该选项不符合题意； B．家用冰箱的长、宽接近，高也在1m左右，该选项符合题意； C．电视机的厚度不可能达到0.6m，该选项不符合题意； D．普通手机的尺寸中是没有长度超过0.5m，该选项不符合题意。 故答案为：B 【例题3】用5个相同的小正方体摆成下面的立体图形，要想摆成正方体，至少还需（    ）个这样的小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据正方体的特点，小正方体摆成大正方体至少需要8块，再减去已经摆好的小正方体数量，即可求出还需要的小正方体数量。据此解答。 【详解】8－5＝3（块） 则至少还需3个这样的小正方体。 故答案为：B 二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题1】做一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体框架，至少用（    ）的铁丝。 A．32分米 B．22分米 C．44分米 D．11分米 【答案】C 【分析】求长方体的框架，即为求长方体的棱长总和，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入计算即可。 【详解】（5＋3＋3）×4 ＝11×4 ＝44（分米） 所以至少用44分米的铁丝。 故答案为：C 【例题2】一个正方体的棱长是5分米，棱长的和是( )分米。 【答案】60 【分析】正方体有12条棱，且每条棱的长度都相等 。要求正方体棱长的和，只需要用一条棱的长度乘12，正方体棱长和＝棱长×12即可。 【详解】5×12＝60（分米） 一个正方体的棱长是5分米，棱长的和是60分米。 三、长方体和正方体的展开图 【例题1】下面的图形沿折痕能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方体与正方体展开图类似，正方体展开图是由6个相同的正方形组成的，而长方体展开图是由6个长方形组成的（特殊长方体有两个相对面是正方形），对应的长方形相同，然后再根据正方体展开图的11种特征解答即可；正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。 【详解】A．属于正方体展开图“1－4－1”结构，能围成长方体； B．图形中面的排列方式混乱，相对面无法对应，不符合长方体展开图的规则，不能围成长方体； C．展开图中相对面的位置不匹配，不能围成长方体； D．展开图中面的布局不合理，相对面的大小，位置无法正确重合，不能围成长方体。 所以能围成长方体的是。 故答案为：A 【例题2】下面各图形中，不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即第一行有1个，第二行有4个，第三行有1个；“2－2－2”型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2个，两两相连每行之间错开一个；“3－3”型，即第一行有3个，第二行有3个，两排相连且只有一个对齐；“2－3－1”型，即第一行有2个，第二行有3个，第三行有1个，2个和3个紧连且只有一个对齐，3个和1个相连；据此结合给出的展开图判断即可。 【详解】 A． 属于“1－4－1”型，能折成正方体；     B．不属于正方体展开图的任何一种类型，所以不能折成正方体；     C．属于“3－3”型，能折成正方体；     D．属于“2－2－2”型，能折成正方体。 故答案为：B 【例题3】下图是一个正方体的展开图，其中与A面相对的是( )面；与B面相对的是( )面；与C面相对的是( )面。 【答案】 D E F 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：位于同一行或同一列且中间间隔1个正方形面的两个正方形面是正方体的相对面；位于“Z”字两端处的两个正方形面是正方体的相对面。据此解答。 【详解】A面与D面位于“Z”字两端，是相对面； B面与E面中间间隔C面，是相对面； C面与F面中间间隔E面，是相对面。 所以与A面相对的是D面；与B面相对的是E面；与C面相对的是F面。 四、长方体和正方体表面积的计算及应用 【例题1】一个正方体棱长总和是48米，它的表面积是( )平方米。 【答案】96 【分析】正方体有12条棱，根据题意可得出正方体的棱长为（米），再根据正方体的表面积公式代入计算可得。 【详解】（米） （平方米） 所以正方体的表面积是96平方米。 【例题2】根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】40 【分析】由图可知，长方体的长是5厘米、宽是1厘米、高是2.5厘米，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”即可计算出该长方体的表面积。 【详解】（5×1＋5×2.5＋1×2.5）×2 ＝（5＋12.5＋2.5）×2 ＝（17.5＋2.5）×2 ＝20×2 ＝40（平方厘米） 所以长方体的表面积是40平方厘米。 【例题3】计算下面长方体和正方体的表面积。      【答案】62平方分米；54平方分米 【分析】这个长方体的长为5分米，宽为2分米，高为3分米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求解； 这个正方体的棱长为3分米，根据正方体的表面积＝（边长×边长）×6即可求解。 【详解】（5×2＋5×3＋2×3）×2 ＝（10＋15＋6）×2 ＝31×2 ＝62（平方分米） 即这个长方体的表面积为62平方分米； （3×3）×6 ＝9×6 ＝54（平方分米） 即这个正方体的表面积为54平方分米。 【例题4】用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 【答案】2332.8平方厘米 【分析】根据题意，用彩纸包装一个的正方体礼品盒，实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，先根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出礼盒的表面积，再乘1.2即是包装这个礼盒至少用纸的面积。 【详解】18×18×6 ＝324×6 ＝1944（平方厘米） 1944×1.2＝2332.8（平方厘米） 答：包装这个礼盒用纸至少是2332.8平方厘米。 【例题5】一间教室长12米，宽5米，高3.5米，现在要用涂料粉刷教室的四壁和顶棚，门窗和黑板的面积一共是20平方米。要粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】159平方米 【分析】已知教室长12米，宽5米，高3.5米，现在要用涂料粉刷教室的四壁和顶棚，根据“无底长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”可求出它的5个面的总面积；又已知门窗和黑板的面积一共是20平方米，然后用5个面的总面积减去门窗和黑板的面积即可求出需要粉刷的面积。 【详解】12×5＋12×3.5×2＋5×3.5×2－20 ＝60＋42×2＋17.5×2－20 ＝60＋84＋35－20 ＝144＋35－20 ＝179－20 ＝159（平方米） 答：要粉刷的面积是159平方米。 五、体积和容积的认识 【例题1】物体所占空间的大小叫作物体的( )。容器所能容纳物体的体积叫作容器的( )。 【答案】 体积 容积 【详解】体积和容积的概念虽然相似，但它们所描述的对象是不同的，体积描述的是物体本身的大小，而容积描述的是容器能够容纳物体的空间大小。 例如：一个立方体盒子的体积可能是100立方厘米。一个水杯的容量可能是300毫升，可以装满300毫升的液体。 根据体积和容积的意义可知：物体所占空间的大小叫作物体的体积，容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 【例题2】一种洗发水的瓶子上标注“净含量200毫升”，它指的是（    ）。 A．瓶子的重量 B．瓶子的体积 C．洗发水的体积 D．洗发水的重量 【答案】C 【分析】体积：指物体外部所占空间的大小；容积：指容器（箱子、仓库、油桶等）的内部体积；据此解答。 【详解】根据分析可知：洗发水的瓶子上标注“净含量200毫升”指的是洗发水瓶的容积，即洗发水的体积。 故答案为：C 六、体积、容积单位的选择 【例题1】一个汽车油箱的容积是60（    ）。 A．立方米 B．平方分米 C．升 D．毫升 【答案】C 【分析】容积指的是容器所能容纳物体的体积，固体、气体的容积单位与体积单位相同，液体的容积单位一般用升、毫升。 【详解】1滴眼泪大约为1毫升，2瓶矿泉水约为1升，升更合适，即一个汽车油箱的容积是60升。 故答案为：C 【例题2】在括号里填上合适的单位名称。 文具盒的体积大约是180( )        水桶的容积大约是12( ) 【答案】 立方厘米/ 升/L 【分析】体积单位用于衡量物体所占空间的大小，容积单位用于衡量容器所能容纳物体的体积。需要结合生活中对文具盒和水桶实际大小的认知，来选择合适的单位。对于体积单位，常见的有立方厘米、立方分米、立方米等。分析文具盒体积的单位：1立方厘米大概是一个手指头尖的大小，1立方分米大概是一个粉笔盒的大小，而文具盒的体积相对较小，180立方厘米比较符合实际情况； 对于容积单位，常见的有升和毫升。分析水桶容积的单位：1毫升大概是20滴水的体积，1升大概是两瓶矿泉水的体积。水桶能容纳的水比较多，12升更符合水桶容积的实际大小。 【详解】由分析可知， 文具盒的体积大约是180立方厘米，水桶的容积大约是12升。 七、体积与容积单位间的进率及换算 【例题1】在括号里填上合适的数字。 5升＝( )立方厘米              500立方分米＝( )立方米 500平方分米＝( )平方米        50毫升＝( )立方分米 【答案】 5000 0.5 5 0.05 【分析】1升＝1立方分米=1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1平方米＝100平方分米，1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。据此解答。 【详解】5×1000＝5000（立方厘米） 500÷1000＝0.5（立方米） 500÷100＝5（平方米） 50÷1000＝0.05（立方分米） 所以5升＝5000立方厘米，500立方分米＝0.5立方米，500平方分米＝5平方米，50毫升＝0.05立方分米。 【例题2】在括号里填合适的数。 0.75立方分米＝( )立方厘米                400立方厘米＝( )毫升＝( )升 8立方米40立方分米＝( )立方米         5.09升＝( )升( )毫升 【答案】 750 400 0.4 8.04 5 90 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米进行单位换算。 高级单位换算成低级单位要乘进率，低级单位换算成高级单位要除以进率。 把复名数换算成高级单位的单名数：先把复名数中低级单位的数除以进率，化成高级单位的数。再加上复名数中高级单位的数。 单名数换算成复名数时，把单名数的整数部分直接作为复名数中高级单位的数值，小数部分按照单位间的进率换算成低级单位的数值。 【详解】0.75×1000＝750（立方厘米） 即0.75立方分米＝750立方厘米； 400×1＝400（毫升） 400÷1000＝0.4（升） 即400立方厘米＝400毫升＝0.4升； 40÷1000＝0.04（立方米） 8＋0.04＝8.04（立方米） 即8立方米40立方分米＝8.04立方米； 5.09＝5＋0.09 0.09×1000＝90（毫升） 即5.09升＝5升90毫升。 在括号里填合适的数。 0.75立方分米＝750立方厘米                    400立方厘米＝400毫升＝0.4升 8立方米40立方分米＝8.04立方米                5.09升＝5升90毫升 八、长方体和正方体的体积 【例题1】一个长方体的体积是60立方分米，底面积是15平方分米，高是( )分米。 【答案】4 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高，已知体积和底面积，求高，用体积除以底面积即可。 【详解】高＝体积÷底面积 60÷15＝4（分米） 所以高是4分米。 【例题2】一个正方体的一个面的面积是64平方厘米，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 384 512 【分析】正方体有6个面，每个面都是正方形且面积相等。已知一个面的面积是64平方厘米，则表面积是6个面的面积之和，用乘法计算即可。正方体的体积需要先求出边长，因为正方形面积等于边长乘边长，8×8＝64，所以边长是8厘米，再根据正方体的体积＝边长×边长×边长，计算体积。 【详解】64×6＝384（平方厘米） 8×8＝64 所以边长是8厘米。 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 一个正方体的一个面的面积是64平方厘米，这个正方体的表面积是384平方厘米，体积是512立方厘米。 【例题3】计算下面长方体和正方体的体积。 【答案】长方体的体积：640m3 正方体的体积：8000dm3 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答。 【详解】长方体的体积；8×5×16＝640（m3） 正方体的体积：20×20×20＝8000（dm3） 九、体积的等积变形（长方体、正方体） 【例题1】把一块长15厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体钢块，熔铸成横截面面积是4平方厘米的长方体钢条，钢条的长是多少米？ 【答案】1.8米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出钢块的体积，钢块熔铸为钢条，体积不变，再根据长方体的高＝长方体体积÷底面积解答即可。注意单位名数的转换。 【详解】15×8×6÷4 ＝720÷4 ＝180（厘米） 180厘米＝1.8米 答：钢条的长是1.8米。 【例题2】把一个棱长6分米的正方体容器里满容器的水倒入一个长8分米，宽5分米，高25分米的容器里，水深多少分米？ 【答案】5.4分米 【分析】水的体积看作是正方体的体积，把水倒入容器后，水的体积相当于长为8分米，宽为5分米，高未知的长方体体积。由水的体积不变，即长方体体积＝正方体体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高。据此求出未知的高。 【详解】6×6×6÷（8×5） ＝36×6÷40 ＝216÷40 ＝5.4（分米） 答：水深5.4分米。 十、立体图形的切拼（长方体、正方体） 【例题1】如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是( )。 【答案】288 【分析】根据题意可知，增加的表面积等于4个长等于长方体的宽，宽等于长方体的高的长方形，用增加的面积÷4，求出一个面的面积，也就是长方体的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】2.4m＝24dm 48÷4×24 ＝12×24 ＝288（dm3） 原来长方体木料的体积是288dm3。 【例题2】把如图所示的长方体沿虚线切开，表面积比原来增加( )平方厘米。 【答案】88 【分析】根据图示，把如图所示的长方体沿虚线切开，表面积比原来增加了2个长是6厘米、宽是4厘米的长方形和2个长是5厘米、宽是4厘米的长方形的面积，据此解答即可。 【详解】6×4×2＋5×4×2 ＝48＋40 ＝88（平方厘米） 表面积比原来增加88平方厘米。 【例题3】一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。( ) 【答案】× 【分析】分析题目，挖掉一个小正方体之后，减少了2个边长是1厘米的正方形的面，又增加了4个边长是1厘米的正方形的面，据此确定表面积的变化情况；挖掉一个小正方体之后的体积等于原来的长方体的体积减去一个棱长是1厘米的正方体的体积，据此解答。 【详解】根据分析可知：挖掉1个小正方体之后，表面积会增加，体积会减少。 一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积增加了，体积减少了；原说法错误。 故答案为：× 【例题4】一个长方体，高截去2厘米，表面积就减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】288立方厘米 【分析】截去2厘米高后剩下部分为正方体，说明原长方体的长和宽相等，即底面为正方形，高为底面边长＋2；减少的表面积是截去部分的侧面积，即4个侧面的面积之和为48平方厘米，每个侧面的面积为原长方体的底面边长×2，所以用48 ÷ 4可求出一个侧面的面积，再用1个侧面面积÷2可得到原长方体的底面边长，进而求出高；再根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】原长方体的底面边长： 48÷4÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 原长方体的高： 6＋2＝8（厘米） 原长方体的体积为： 6×6×8 ＝36×8 ＝288（立方厘米） 答：原来长方体的体积是288立方厘米。 十一、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 【例题1】如图是用棱长1厘米的正方体木块摆成的几何体，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 15 46 【分析】根据正方体的体积公式V＝a3，可知棱长1厘米的正方体的体积是1立方厘米；从图中数出正方体的个数，再乘用正方体的体积，即是这个几何体的体积。 已知正方体的棱长是1厘米，那么正方体一个面的面积是1平方厘米。求这个几何体的表面积，就是求露出正方体的面的面积之和，分别数出从上下面、前后面、左右面看到的小正方形的个数，再乘一个面的面积即可。 【详解】1×1×1×15＝15（立方厘米） （9＋7＋7）×2 ＝23×2 ＝46（个） 1×1×46＝46（平方厘米） 它的体积是15立方厘米，表面积是46平方厘米。 【例题2】明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是( )cm3。 【答案】5 【分析】从上面看，几何体最下层有3个小正方体；从正面看，有2层，下层有2个小正方形体，上层有2个小正方体；从左面看有2层，上层1个小正方体，下层2个小正方体，可知这个几何体是，共有5个小正方体组成；根据正方体的体积：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出1个小正方体的体积，进而求出几何体的体积。 【详解】根据分析可知，几何体为，一共由5个小正方体组成。 1×1×1×5 ＝1×1×5 ＝1×5 ＝5（cm3） 明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是5cm3。 【例题3】计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积428平方厘米，体积507立方厘米 【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，由此列式求出正方体和长方体的表面积，再相加求出表面积之和。正方体和长方体相接的部分是两个正方形，再将表面积之和减去两个正方形的面积，即可求出组合体的表面积； 正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式先分别求出正方体和长方体的体积，再相加求出组合体的体积。 【详解】表面积： 3×3×6＋（12×5＋12×8＋5×8）×2－3×3×2 ＝54＋（60＋96＋40）×2－18 ＝54＋196×2－18 ＝54＋392－18 ＝446－18 ＝428（平方厘米） 体积： 3×3×3＋12×5×8 ＝27＋480 ＝507（立方厘米） 十二、长方体、正方体的容积 【例题1】如图，小红在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个大小完全相同的1立方厘米小正方体。这个玻璃容器的容积是( )立方厘米，还要( )个这样的小正方体才能刚好摆满这个玻璃容器。 【答案】 90 78 【分析】要确定长方体玻璃容器的容积，需先明确其长、宽、高（由小正方体的棱长推导，小正方体体积是1立方厘米，小正方体棱长为1厘米）。通过观察容器内小正方体的摆放，得出长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式容积＝长×宽×高计算容积；然后算出容器总共能摆的小正方体数量，减去已摆的数量，得到还需的小正方体数量。 【详解】确定长方体的长、宽、高。 观察可知，长方体的长有6个小正方体棱长，即长6厘米；宽有5个小正方体棱长，即宽5厘米；高有3个小正方体棱长，即高3厘米。 根据长方体容积公式，容积＝6×5×3＝90立方厘米。 容器总共能摆的小正方体数量为6×5×3＝90个，数一数得到图中已摆了12个，还需摆90－12＝78个。 小红在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个大小完全相同的1立方厘米小正方体。这个玻璃容器的容积是90立方厘米，还要78个这样的小正方体才能刚好摆满这个玻璃容器。 【例题2】学完长方体和正方体这一单元后，浩然准备做一个长4分米，宽3分米，高6分米长方体无盖玻璃鱼缸，至少需要玻璃( )平方分米。向鱼缸里注水，当鱼缸中的水所形成的长方体第一次出现一组相对的面是正方形时，容器里有( )升水。 【答案】 96 36 【分析】第一个空要求计算无盖长方体鱼缸的玻璃面积，即计算五个面的面积之和（底面、前后面、左右面）。第二个空要求找出当水形成一组相对的面是正方形时的水量；由于鱼缸长4分米、宽3分米、高6分米，注水时水深变化，当水深等于宽3分米时，左右面成为正方形，这是第一次出现，此时水的体积为长方体体积长×宽×水的高，代入数据进行计算4×3×3＝36（立方分米），再应用1立方分米＝1升，换算为36升。据此解答。 【详解】4×3＋2×4×6＋2×3×6 ＝12＋48＋36 ＝60＋36 ＝96（平方分米） 4×3×3 ＝12×3 ＝36（立方分米） 36立方分米＝36升 则至少需要玻璃96平方分米，容器里有36升水。 【例题3】一种饼干的外包装是一个长方体铁盒，这个铁盒长25厘米、宽20厘米、高30厘米。 （1）做这样一个铁盒，至少要用多少平方分米的铁皮？ （2）这个铁盒的容积是多少立方分米？（铁盒的厚度忽略不计） 【答案】（1）37平方分米 （2）15立方分米 【分析】（1）这个长方体的铁盒需要的铁皮面积为长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求出表面积，再根据1平方分米＝100平方厘米即可换算。 （2）这个长方体的铁盒的容积为长方体的体积，根据长方体的表面积＝长×宽×高即可求出容积，再根据1立方分米＝1000立方厘米即可换算。 【详解】（1）（25×30＋25×20＋30×20）×2 ＝（750＋500＋600）×2 ＝1850×2 ＝3700（平方厘米） 3700÷100＝37（平方分米） 答：至少要用37平方分米的铁皮。 （2）25×20×30 ＝500×30 ＝15000（立方厘米） 15000÷1000＝15（立方分米） 答：这个铁盒的容积是15立方分米。 十三、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题1】一个长方体水缸，长20厘米，宽15厘米，水深6厘米。将一块石头投入水中（石头完全浸入水中），水面上升4厘米，石头的体积是( )立方厘米。 【答案】1200 【分析】因为石头全部浸没在水中，所以石头的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于长20厘米、宽15厘米、高4厘米的长方体的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算即可。 【详解】20×15×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 石头的体积是1200立方厘米。 【例题2】将一块长和宽都是20厘米的长方体铁块浸没在长60厘米、宽40厘米的长方体水池的水中时，水面比原来上升了2厘米（水池中的水没有溢出）。求长方体铁块的高。 【答案】12厘米 【分析】根据水中浸物（水未溢出），水面上升部分水的体积＝放入物体的体积；水面上升部分体积相当于长60厘米、宽40厘米、高2厘米的长方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，可算出上升水的体积；再根据高＝长方体体积÷长÷宽，即可求出长方体铁块的高。 【详解】60×40×2÷20÷20 ＝2400×2÷20÷20 ＝4800÷20÷20 ＝240÷20 ＝12（厘米） 答：长方体铁块的高为12厘米。 十四、表面涂色的正方体 【例题1】正方体魔方中，每个面三行三列的是三阶魔方（如图），给这个魔方表面涂色，其中1个面涂色的有( )块，2个面涂色的有( )块。 【答案】 6 12 【分析】1个面涂色的在正方体魔方的每个面上，每个面上有1块；2个面涂色的在正方体魔方的每条棱上，每条棱上有1块，由此解答本题。 【详解】1×6＝6（块） 1×12＝12（块） 所以，1个面涂色的有6块，2个面涂色的有12块。 【例题2】将一个表面涂色的大正方体棱长若干等份，切割成64个相同的小正方体，其中两面涂色的小正方体有( )个；一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 24 24 【分析】假设切割成的小正方体的棱长是1厘米，64＝4×4×4，所以原来大正方体的棱长是4厘米，正方体有8个顶点，12条棱，6个面，且已知把这个棱长4厘米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体，三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点上，即有8个三面涂色的小正方体；除了顶点只剩下2个小正方体，即由12×2＝24（个）两面涂色的小正方体；一面涂色的小正方体位于大正方体的面的中心，每个面有4个这样的小正方体，即有6×4＝24（个）小正方体，据此解答。 【详解】12×2＝24（个） 6×4＝24（个） 所以其中两面涂色的小正方体有24个，一面涂色的小正方体有24个。 【例题3】把一个棱长为8厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长为2厘米的小正方体，一共可以锯成( )块，其中两面涂色的正方体有( )块，一面涂色的正方体有( )块。 【答案】 64 24 24 【分析】 沿着每条棱都可以锯成（8÷2）个小正方体，如图，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出锯成的个数；两面涂色的正方体在棱的中间，每条棱上2个，正方体有12条棱，每条棱上的个数×棱的数量＝两面涂色的正方体个数；一面涂色的正方体在面的中间，每个面上4个，正方体有6个面，每个面上的个数×面的个数＝一面涂色的正方体个数。 【详解】8÷2＝4（个） 4×4×4＝64（个） 2×12＝24（个） 4×6＝24（个） 一共可以锯成64块，其中两面涂色的正方体有24块，一面涂色的正方体有24块。 考点练习 一、长方体和正方体的认识及特征 1．在数学课上，小亮用学具棒搭一个长方体框架，搭了其中的三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要确定长方体的形状与大小，只需要明确长方体的长、宽、高，即交于同一顶点的三条棱。据此逐一分析。 【详解】A．三根棱未交于同一顶点，无法确定长、宽、高； B．三根棱未交于同一顶点，无法确定长、宽、高； C．三根棱交于同一顶点，即为长方体的长、宽、高，能唯一确定长方体的形状与大小； D．三根棱未交于同一顶点，无法确定长、宽、高。 故答案为：C 2．将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（    ）个这样的小正方体。 A．8 B．4 C．9 D．16 【答案】A 【分析】正方体的12条棱都相等，要使小正方体个数最少，那么大正方体的棱长由2个小正方体的棱长组成，根据个数＝行×列×层，由此求出小正方体的个数。 【详解】2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 即至少需要8个这样的小正方体。 故答案为：A 3．小华用黏土球和塑料棒搭一个正方体框架（如图），要继续搭建，还需( )个黏土球，( )根( )cm长的塑料棒。 【答案】 4 7 4 【分析】根据正方体的特征，正方体有8个顶点，12条棱，每条棱长均相等，据此即可填空。 【详解】由图可知，已经搭好了5条棱和4个顶点，则还有8－4＝4个顶点，12－5＝7条棱，每条棱长均为4cm； 即要继续搭建，还需4个黏土球，7根4cm长的塑料棒。 4．有12根长9分米的铁棒，8根长7分米的铁棒，4根长5分米的铁棒，用这些铁棒可以焊成( )种不同的长方体或正方体框架。（每条棱上只用一根铁棒） 【答案】6 【分析】长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等，按棱的长度可以分为三组，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体中最少有4条棱的长度相等，最多有8条棱的长度相等；正方体有12条棱，12条棱的长度都相等，据此解答。 【详解】第1种：用12根长9分米的铁棒焊成一个正方体框架； 第2种：用8根长9分米的铁棒、4根长7分米的铁棒焊成一个长方体框架； 第3种：用8根长9分米的铁棒、4根长5分米的铁棒焊成一个长方体框架； 第4种：用8根长7分米的铁棒、4根长9分米的铁棒焊成一个长方体框架； 第5种：用8根长7分米的铁棒、4根长5分米的铁棒焊成一个长方体框架； 第6种：用4根长9分米的铁棒、4根长7分米的铁棒、4根长5分米的铁棒焊成一个长方体框架。 综上所述，用这些铁棒可以焊成6种不同的长方体或正方体框架。 二、长方体和正方体有关棱长的应用 1．用一根（    ）长的铁丝正好可以做一个棱长是6cm的正方体框架。 A．36cm B．48cm C．72cm D．144cm 【答案】C 【分析】求用多长的铁丝正好可以做一个棱长是6cm的正方体框架，就是求棱长是6cm的正方体的棱长总和。根据正方体的棱长总和＝棱长×12，代入数据计算即可。 【详解】6×12＝72（cm） 即用一根72cm长的铁丝正好可以做一个棱长是6cm的正方体框架。 故答案为：C 2．小明把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架铁丝拉直重新做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米。 【答案】6 【分析】铁丝的总长度不变，即长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。长方体的棱长总和计算公式为：4 × （长 ＋ 宽 ＋ 高）。正方体的棱长总和计算公式为：12 × 棱长。通过计算长方体的棱长总和，再除以12，即可得到正方体的棱长。 【详解】长方体的棱长总和为： 4 × （8 ＋ 6 ＋ 4） ＝ 4 × 18 ＝ 72（厘米） 正方体的棱长总和等于铁丝总长度，即72厘米。 正方体有12条相等的棱，因此棱长为： 72 ÷ 12 ＝ 6（厘米） 所以这个正方体的棱长是6厘米。 3．蒋阿姨买了一箱苹果，外包装用丝带捆扎起来（如图），其中打结处用去18厘米丝带，捆扎这个箱子一共需要多少分米丝带？ 【答案】23.8分米 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于2条长、2条宽、4条高，再加打结处用去的18厘米，由此列式解答，最后根据“1分米=10厘米”进行单位换算。 【详解】（40＋30）×2＋20×4＋18 ＝70×2＋20×4＋18 ＝140＋80＋18 ＝238（厘米） 238厘米＝23.8分米 答：捆扎这个箱子一共需要23.8分米丝带。 三、长方体和正方体的展开图 1．左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方体表面展开图的特征，题干中的长方体有4个面一样大，另两个面一样大，逐一分析每个选项，看哪个选项的立体图形能与给定的展开图对应起来。 【详解】A．是一个普通的长方体，它的六个面中，相对的面大小形状相同。但是观察给定的展开图，它有两个面明显比其他面小一些，而选项A的六个面没有这样的特征，所以选项A不符合。 B．是一个正方体，正方体的六个面都是完全相同的正方形。而给定的展开图明显不是六个相同的正方形组成的，所以选项B不符合。 C．它的各个面的大小比例关系与给定的展开图不匹配。从展开图可以看出有两个相对较小的面，以及四个较大的面，且四个较大的面一样大，选项C的形状和比例与展开图不一致，所以选项C不符合。 D．它的形状和大小关系与给定的展开图相符合。展开图中两个较小的面可以对应选项D长方体的两个侧面，四个较大的面可以对应长方体的上下底面和前后侧面，所以选项D符合。 所以最有可能是下面图中的展开图。 故答案为：D 2．下面（    ）幅图不是正方体的展开图。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，正方体的展开图有11种基本类型，可分为“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型。需要逐一分析每个选项的结构，判断是否符合正方体展开图的类型。据此解答。 【详解】A．属于“1－4－1”型，是正方体的展开图。 B．属于“2－3－1”型，是正方体的展开图。 C．不符合正方体展开图的11种基本类型，不是正方体的展开图。 D．属于“3－3”型，是正方体的展开图。 故答案为：C 3．下图的展开图围成正方体后，与5号面相对的是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】属于正方体“2—3—1”型的展开图，正方体的展开图找相对面时，先找同行，同行中间隔1个正方形的是相对面，再找异行，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面；据此解答。 【详解】分析可知，2号和4号是相对面，3号和6号是相对面，1号和5号是相对面，即与5号面相对的是1号面。 故答案为：A 4．下面是一个长方体的前面，左面和下面的展开图。画出展开图的另外三个面，并标出名称。 【答案】见详解 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形，相对的面的面积相等，由题意可知，图中给出了3个不相对的面，即下面、前面和左面，上面和下面是完全相同的长方形，后面和前面是完全相同的长方形，右面和左面是完全相同的长方形，据此结合展开的三个面的位置画出上面、右面、后面即可。 【详解】画图如下： 四、长方体和正方体表面积的计算及应用 1．一个正方体的底面周长是16厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】96 【分析】根据正方体的特征可知，正方体的6个面都是完全一样的正方形。已知正方体的底面周长是16厘米，根据正方形的周长＝边长×4可知，正方形的边长＝周长÷4，也就是正方体的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出它的表面积。 【详解】16÷4＝4（厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 它的表面积是96平方厘米。 2．讲台上摆放着一个长方体，如果照下图的样子摆放，这个长方体占地面积是( )平方厘米；这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 12 94 【分析】长方体的占地面积就是长方体与讲台接触那个面的面积；长方体的表面积公式为：S＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此计算。 【详解】长方体占地面积：4×3＝12（平方厘米） 长方体表面积：S＝（4×3＋4×5＋3×5）×2 ＝（12＋20＋15）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 所以，长方体的占地面积为12平方厘米，表面积为94平方厘米。 3．一种薯片的包装盒是一个底面周长20厘米的正方形，高25厘米的长方体，做这样一个包装盒至少需要( )平方厘米的纸板。 【答案】550 【分析】包装盒是一个底面周长20厘米的正方形，高25厘米的长方体，即长方体的长和宽相等，根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出长方体的底面边长（即长方体的长和宽），长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可。 【详解】20÷4＝5（厘米） （5×5＋5×25＋5×25）×2 ＝（25＋125＋125）×2 ＝（150＋125）×2 ＝275×2 ＝550（平方厘米） 做这样一个包装盒至少需要550平方厘米的纸板。 4．张伯伯要在墙角搭一个正方体形状的鸡笼（两面靠墙）。搭鸡笼用的3根框架共用去钢筋12米（如图）。如果露在外面的面用塑料网包裹，那么至少需要( )平方米的塑料网。 【答案】48 【分析】正方体有12条棱，每条棱的长度都是相等的。3根框架共用去钢筋12米，表示正方体3条棱的总长度为12米，可求每条棱的长度。露在外面的面，是3个正方形，所以塑料网的总面积就是求3个正方形的面积之和。据此解答。 【详解】每条棱的长度：（米） 塑料网的总面积：（平方米） 所以，至少需要48平方米的塑料网。 5．求下面长方体和正方体的表面积。（单位：cm）        【答案】360；486 【分析】长方体的底面是一个边长为6cm的正方形，长方体的表面积＝底面周长×高＋两个边长为6cm的底面积；据此代入数据计算即可； 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此代入数据计算即可。 【详解】6×4×12＋6×6×2 ＝24×12＋36×2 ＝288＋72 ＝360（） 9×9×6 ＝81×6 ＝486（） 长方体的表面积是360，正方体的表面积是486。 6．一种通风管长3.2米，它的横截面是边长为20厘米的正方形，做10节这样的通风管至少用多少平方米的铁皮？ 【答案】25.6平方米 【分析】用边长乘求出通风管的底面周长。再根据侧面积底面周长高计算出一节通风管的侧面积，再乘可以求出至少用多少平方米的铁皮。 【详解】厘米米 （平方米） 答：做节这样的通风管至少用平方米的铁皮。 7．大厅里有8根长方体柱子需要油漆，柱子的截面是边长8分米的正方形，高是5米。按1千克油漆可以漆4平方米计算，这8根柱子需要多少千克油漆？ 【答案】32千克 【分析】长方体前后左右4个面的面积和＝底面周长×高，据此求出1根柱子需要油漆的面积，乘8求出需要油漆的总面积，需要油漆的总面积÷1千克油漆可以漆的面积＝需要的油漆质量。注意统一单位。 【详解】8分米＝0.8米 0.8×4×5×8 ＝16×8 ＝128（平方米） 128÷4＝32（千克） 答：这8根柱子需要32千克油漆。 8．“千门开锁万灯明，正月中旬动帝京。”正月十五元宵佳节，糖糖用同样长的铁丝，分别制作了花灯（如图）的灯架。现在给这个正方体花灯每个面上糊纸，纸的面积不能少于多少平方厘米？（不考虑接头处，单位：厘米） 【答案】1944平方厘米 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长方体的棱长总和，也就是正方体的棱长总和，正方体的12条棱长都相等，用长方体的棱长总和除以12求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6解答即可。 【详解】（20＋17＋17）×4 ＝（37＋17）×4 ＝54×4 ＝216（厘米） 216÷12＝18（厘米） 18×18×6 ＝324×6 ＝1944（平方厘米） 答：纸的面积不能少于1944平方厘米。 五、体积和容积的认识 1．下列说法正确的是（    ）。 A．一张崭新的面值十元纸币是一个长方形 B．一个物体的体积越大，容积也越大 C．碗中装满牛奶，牛奶的体积就是碗的容积 D．体积一样大的容器，容积也一样大 【答案】C 【分析】体积是指物体所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积，两者的概念及意义不同，由此即可判断。 【详解】A．实际制作人民币因工艺问题可能会存在细微误差，严格意义上不能视为长方形，故说法错误； B．物体的体积越大，表示其所占的空间越大，所以一个物体的体积越大，而容积是物体里面容量的大小，物体的体积大，里面容量可能小，故说法错误； C．碗中装满牛奶，牛奶的体积就是碗的容积，说法正确； D．因为物体的体积和容积是两个概念，体积大，但它的容纳物体的空间不一定大，所以原题说法错误。 故答案为：C 2．下面物品中，（    ）的体积比1立方分米大，同时比1立方米小。 A．草莓 B．乒乓球 C．纸巾盒 D．公共汽车 【答案】C 【分析】1立方分米是棱长为1分米的正方体的体积，生活中，粉笔盒、魔方、小型闹钟的体积大约就是1立方分米；1立方米是棱长为1米的正方体的体积，生活中，洗衣机、电脑桌、小型冰柜的体积大约是1立方米。据此逐一分析。 【详解】A．草莓体积远小于粉笔盒体积，即远小于1立方分米，不符合要求； B．乒乓球体积也小于粉笔盒体积，即小于1立方分米，不符合要求； C．纸巾盒体积大于粉笔盒体积，且小于洗衣机体积，即在1立方分米到1立方米之间，符合要求； D．公共汽车体积远大于洗衣机的体积，即远超于1立方米，不符合要求。 故答案为：C 3．计算一个木箱所占空间的大小，是计算这个木箱的体积。( ) 【答案】√ 【分析】根据体积的定义，物体所占空间的大小叫做它的体积。木箱作为一个物体，计算其体积就是求它所占据的空间大小。据此判断。 【详解】体积是指物体所占空间的大小，题目中要求计算木箱“所占空间的大小”，即木箱本身的体积，因此原题说法正确。 故答案为：√ 六、体积、容积单位的选择 1．一个汽油桶最多可装汽油180升，说明它的（    ）是180升。 A．体积 B．容积 C．表面积 D．重量 【答案】B 【分析】汽油桶最多可装汽油的容量是指其内部所能容纳物体的体积，属于容积的概念。体积是物体所占空间的大小，而容积是容器能容纳物体的体积。表面积和重量与容量无关。 【详解】容积是指容器所能容纳物体的体积。题目中汽油桶最多可装180升汽油，说明它的容积是180升。体积是物体外部所占空间的大小，与内部容量无关。 故答案为：B 2．填上合适的单位名称。 一个保温瓶大约能装水2( )      一个集装箱的容积大约是250( ) 【答案】 升/L 立方米/m3 【分析】体积表示物体所占的空间大小；计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，大拇指尖大约是1立方厘米，粉笔盒大约是1立方分米，电视纸箱大约是1立方米。 容积表示所能容纳物体的体积，形容液体的容积一般用升和毫升。 容积单位的选择：1盒牛奶大约是200~300毫升，1升大概是4盒牛奶；根据生活经验，对体积单位和数据的大小认识，1瓶矿泉水大约500毫升，根据题目中的数据，可知计量保温瓶的容积用“升”作单位；可知计量一个集装箱的体积用“立方米”作单位。 【详解】一个保温瓶大约能装水2升；      一个集装箱的容积大约是250立方米。 3．在括号内填上合适的单位名称。 一间教室占地60( )，一个水桶的容积大约是18( )，一个橡皮的体积大约是6( )，一台冰箱的体积是1.2( )。 【答案】 平方米/m2 升/L 立方厘米/cm3 立方米/m3 【分析】1平方米约1张桌子桌面的大小，所以计量教室的占地面积用平方米作单位比较合适。 1升大约是一个大矿泉水瓶的容积，所以计量水桶的容积用升作单位比较合适。 1立方厘米约是1个骰子体积的大小，所以计量橡皮的体积用立方厘米作单位比较合适。 1立方米约是一个小型衣柜体积的大小，所以计量冰箱的体积用立方米作单位比较合适。 【详解】一间教室占地60平方米（m2）； 一个水桶的容积大约是18升（L）； 一个橡皮的体积大约是6立方厘米（cm3）； 一台冰箱的体积是1.2立方米（m3）。 七、体积与容积单位间的进率及换算 1．单位转化。 6200毫升＝( )升            1350立方厘米＝( )立方分米＝( )升 8.02立方分米＝( )立方厘米    3.8立方米＝( )立方米( )立方分米 【答案】 6.2 1.35 1.35 8020 3 800 【分析】本题考查体积和容积单位的换算。需要掌握以下单位换算关系：1升＝1000毫升，1立方分米＝1000立方厘米，1立方分米＝1升，1立方米＝1000立方分米。根据这些关系，进行除法或乘法计算即可。 【详解】（1）6200毫升转换为升：因为1升＝1000毫升，所以6200÷1000＝6.2，即6200毫升＝6.2升。 （2）1350立方厘米转换为立方分米和升：因为1立方分米＝1000立方厘米，所以1350÷1000＝1.35，即1350立方厘米＝1.35立方分米；又因为1立方分米＝1升，所以1.35立方分米＝1.35升。 （3）8.02立方分米转换为立方厘米：因为1立方分米＝1000立方厘米，所以8.02×1000＝8020，即8.02立方分米＝8020立方厘米。 （4）3.8立方米转换为立方米和立方分米：3.8立方米整数部分是3立方米，小数部分0.8立方米转换为立方分米，因为1立方米＝1000立方分米，所以0.8×1000＝800，即3.8立方米＝3立方米800立方分米。 2．在（    ）里填上合适的数。 301升＝( )毫升              7.8立方米＝( )立方分米 6立方分米＝( )升          80立方厘米＝( )立方分米 0.49立方分米＝( )升＝( )毫升 【答案】 301000 7800 6 0.08 0.49 490 【分析】1升＝1000毫升；1立方米＝1000立方分米；1立方分米＝1升；1立方分米＝1000立方厘米；1立方分米＝1000毫升；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】301×1000＝301000（毫升） 所以301升＝301000毫升 7.8×1000＝7800（立方分米） 所以7.8立方米＝7800立方分米 6立方分米＝6升 80÷1000＝0.08（立方分米） 所以80立方厘米＝0.08立方分米 0.49立方分米＝0.49升 0.49×1000＝490（毫升） 所以0.49立方分米＝0.49升＝490毫升 3．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7080毫升( )70.8立方分米          3.4立方分米( )34立方厘米 9.2立方分米( )9200立方厘米        4.6立方分米( )4.06升 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＞ 【分析】根据1立方分米＝1升＝1000毫升、1立方分米＝1000立方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率。先统一单位，再比较数的大小。据此解答。 【详解】（毫升） ，所以7080毫升＜70.8立方分米； （立方厘米） ，所以3.4立方分米＞34立方厘米； （立方厘米） ，所以9.2立方分米＝9200立方厘米； 4.6立方分米＝4.6升 4.6＞4.06，所以4.6立方分米＞4.06升。 八、长方体和正方体的体积 1．如图，长方体长30厘米，高10厘米，两个涂色的面的面积一共是200平方厘米，这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．1500 B．3000 C．6000 D．7500 【答案】A 【分析】根据题意，两个涂色的面展开合并是一个长方形，长方形的面积是200平方厘米，长是30＋10＝40厘米，根据长方形的面积÷长即可得出长方形的宽，长方形的宽就是长方体的宽，再根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答。 【详解】200÷（30＋10） ＝200÷40 ＝5（厘米） 30×5×10＝1500（立方厘米） 这个长方体的体积是1500立方厘米。 故答案为：A 2．一个长方体的棱长总和是56分米，底面是边长为3分米的正方形，这个长方体的高是( )分米，体积是( )立方分米。 【答案】 8 72 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，那么高＝棱长总和÷4－（长＋宽），把数据代入公式即可求出长方体的高，再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出长方体的体积。 【详解】56÷4－（3＋3） ＝14－6 ＝8（分米） 3×3×8 ＝9×8 ＝72（立方分米） 因此这个长方体的高是8分米，体积是72立方分米。 3．一根铁丝正好可以焊接成长、宽、高分别是8厘米、6厘米、4厘米的长方体框架，在长方体表面糊上一层纸，做成一个无盖的纸盒，至少需要纸( )平方厘米；如果把这根铁丝焊接成正方体框架，这个正方体体积是( )立方厘米。 【答案】 160 216 【分析】根据一根铁丝焊接成长方体框架，这根铁丝的长度就是长方体棱长和。用最少的纸做一个无盖的纸盒，需要去掉一个最大面，就是长宽所在的面，则这个无盖纸盒有下、左、右、前、后共5个面，则最少需要纸的面积是：长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。用一根丝焊接成正方体框架，这根铁丝的长度就是正方体的棱长和，接着用正方体棱长和÷12计算出正方体棱长，用棱长×棱长×棱长来计算出正方体体积。据此解答。 【详解】（8＋6＋4）×4 ＝18×4 ＝72（厘米） 8×6＋8×4×2＋6×4×2 ＝48＋64＋48 ＝160（平方厘米） 72÷12＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 则做成一个无盖的纸盒，至少需要纸160平方厘米；如果把这根铁丝焊接成正方体框架，这个正方体体积是216立方厘米。 4．计算长方体和正方体的体积。 【答案】120立方分米；343立方厘米 【分析】根据题目，计算长方体和正方体的体积，根据长方体体积公式：长方形体积＝长×宽×高，正方体体积公式：正方形体积＝棱长×棱长×棱长即可解答。 【详解】长方体体积＝长×宽×高 ＝8×3×5 ＝24×5 ＝120（立方分米） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长 ＝7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 九、体积的等积变形（长方体、正方体） 1．把一个棱长10厘米的正方体铁块放入一个长方体玻璃缸内，并往缸内注水把铁块全部浸没。量得玻璃缸长50厘米，宽40厘米，此时缸内水深20厘米。若把铁块从缸中取出，缸内水深多少厘米？ 【答案】19.5厘米 【分析】由题意可知，正方体铁块和水对应的总的水位高度是20厘米，铁块在玻璃缸内对应的水位高度＝铁块的体积÷玻璃缸的底面积，取出铁块后缸内水深＝正方体铁块和水对应的总的水位高度－铁块在玻璃缸内对应的水位高度，据此解答。 【详解】10×10×10÷（50×40） ＝10×10×10÷2000 ＝1000÷2000 ＝0.5（厘米） 20－0.5＝19.5（厘米） 答：缸内水深19.5厘米。 2．如图是一个长方体木质花盆，从里面量，长35厘米，宽16厘米，高12厘米。这个长方体花盆中装有10厘米高的营养土，如果将这些营养土全部倒入一个从里面量棱长20厘米的空的正方体花盆中，那么正方体花盆中营养土的高度是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】营养土从长方体花盆倒入正方体花盆，其体积不变。所以先求出长方体花盆中营养土的体积，再用该体积除以正方体花盆的底面积，即可得到正方体花盆中营养土的高度。 【详解】35×16×10＝5600（立方厘米） 5600÷（20×20） ＝5600÷400 ＝14（厘米） 答：正方体花盆中营养土的高度是14厘米。 3．一块棱长是0.6米的正方体的钢坯，锻成横截面边长（横截面是正方形）是0.3米的长方体钢材，锻成的钢材有多长？（用方程解答） 【答案】2.4米 【分析】由题意可知，把正方体的钢坯锻成长方体的钢材后，钢坯的体积不变，则正方体和长方体的体积相等，等量关系式：长方体横截面的面积×长方体钢材的长＝正方体钢坯的棱长×棱长×棱长，据此列方程解答。 【详解】解：设锻成的钢材长x米。 0.3×0.3×x＝0.6×0.6×0.6 0.09x＝0.36×0.6 0.09x＝0.216 0.09x÷0.09＝0.216÷0.09 x＝2.4 答：锻成的钢材长2.4米。 十、立体图形的切拼（长方体、正方体） 1．把一根长2米的长方体木料，沿横截面平均锯成4段，表面积增加了300平方厘米，这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】10 【分析】把长方体木料沿横截面方向锯成4段，需要锯4－1＝3次，每锯1次会增加2个横截面，因此锯3次共增加2×3＝6个横截面。表面积总共增加了300平方厘米，且增加的是6个横截面的面积，因此单个横截面的面积为：300÷6＝50（平方厘米），木料长2米，1米＝100厘米，2米为2×100＝200厘米，根据V＝Sh，把数据代入计算即可得出木料的体积。 【详解】4－1＝3（次） 2×3＝6（个） 300÷6＝50（平方厘米） 2米＝200厘米 50×200＝10000（立方厘米） 10000立方厘米＝10立方分米 这根长方体木料的体积是10立方分米。 2．一根长方体木料，长6分米，横截面是边长为1.5分米的正方形。这块木料的体积是( )立方分米，如果将它截成最大的正方体可以截( )个。 【答案】 13.5 4 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，求长方体木料体积，已知长方体木料的长、宽、高，直接代入公式即可。要截成最大的正方体，正方体的棱长最大只能是1.5分米，因为长方体的宽和高都是1.5分米，长方体木料长6分米，6里面包含几个1.5即可截成几个最大的正方体，列式为6÷1.5，据此即可解答。 【详解】6×1.5×1.5 ＝9×1.5 ＝13.5（立方分米） 6÷1.5＝4（个） 一根长方体木料，长6分米，横截面是边长为1.5分米的正方形。这块木料的体积是13.5立方分米，如果将它截成最大的正方体可以截4个。 3．3个棱长为2厘米的小正方体拼成一个长方体，长方体表面积是( )平方厘米，体积是( )立方分米。 【答案】 56 0.024 【分析】3个棱长为2厘米的小正方体拼成一个长方体，长方体的长＝2×3＝6厘米，宽＝2厘米，高是2厘米；根据长方形表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出表面积；根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体体积，注意单位名数的换算。 【详解】拼成的长方体的长：2×3＝6（厘米）；宽：2厘米；高：2厘米。 表面积：（6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝（24＋4）×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米） 6×2×2 ＝12×2 ＝24（立方厘米） 24立方厘米＝0.024立方分米 3个棱长为2厘米小正方体拼成一个长方体，长方体表面积是56平方厘米，体积是0.024立方分米。 4．一个长方体木块，长16厘米、宽12厘米、高8厘米，把它锯成若干个同样大小的正方体（没有浪费），最少可以锯成( )个，每个小正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 24 64 【分析】由题意可知，正方体的棱长同时是长、宽、高的因数时大长方体木块没有剩余，正方体的棱长最大时锯成的正方体木块最少，即长、宽、高的最大公因数就是最大正方体木块的棱长，利用“长方体的体积＝长×宽×高”“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”分别求出大长方体的体积和小正方体的体积，锯成小正方体的个数＝大长方体的体积÷小正方体的体积，据此解答。 【详解】 16、12和8的最大公因数：2×2＝4 大长方体的体积：16×12×8 ＝192×8 ＝1536（立方厘米） 小正方体的体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 1536÷64＝24（个） 所以，最少可以锯成24个，每个小正方体的体积是64立方厘米。 5．一个长方体木料，从上部和下部分别截去高为2厘米和3厘米的长方体，剩下的部分便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的底面积是( )平方厘米。 【答案】36 【分析】从长方体上部和下部分别截去高为2厘米和3厘米的长方体后，剩下的部分是正方体，说明原长方体的底面是正方形。表面积减少的部分，是截去的两个长方体的侧面积之和。上下两个截去的部分可拼接成一个高为2＋3＝5厘米的长方体，侧面积即为减少的120平方厘米。 长方体侧面积＝底面周长×高。已知侧面积减少了120平方厘米，拼接后的高为5厘米，底面是正方形，因此底面周长为120÷5＝24厘米，根据正方形周长＝边长×4，则底面正方形的边长为：24÷4＝6厘米。长方体的底面积＝边长×边长，把边长6厘米代入计算即可。 【详解】2＋3＝5（厘米） 120÷5＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 原长方体的底面积是36平方厘米。 6．求下面物体的表面积和体积。 【答案】96 cm2；56 cm3 【分析】观察图可知：这个物体的表面积比大正方体少了3个小正方形的面积，然后切割部分多了3个小正方形的面积，即表面积和原来大正方体的表面积相等。体积用大正方体的体积减去小正方体的体积，即可求得物体的体积。根据正方体的表面积：棱长×棱长×6；正方体的体积：棱长×棱长×棱长，把数代入即可求解。 【详解】表面积： 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 体积： 4×4×4－2×2×2 ＝64－8 ＝56（cm3） 7．一个长方体，按以下三种方法分割成了两个长方体（如图），表面积分别增加了30平方厘米、40平方厘米和24平方厘米。原来长方体的表面积是多少？ 【答案】94平方厘米 【分析】把长方体分割成两个小长方体时，表面积增加的部分是两个切面的面积。 当切面平行于“长×高”面时，表面积增加30平方厘米，则“长×高”面的面积为30÷2＝15平方厘米； 当切面平行于“长×宽”面时，表面积增加40平方厘米，则“长×宽”面的面积为40÷2＝20平方厘米； 当切面平行于“宽×高”面时，表面积增加24平方厘米，则“宽×高”面的面积为24÷2＝12平方厘米； 最后根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”即可求出原来长方体的表面积。 【详解】30÷2＝15（平方厘米） 40÷2＝20（平方厘米） 24÷2＝12（平方厘米） （20＋15＋12）×2 ＝（35＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 十一、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 1．下图都是用棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 30 8 【分析】边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，从前面看有6个小正方形，从上面看有5个小正方形，从右面看有4个小正方形，前后面看到的小正方形个数一样，左右面看到的小正方形个数一样，上下面看到的小正方形个数一样，因此表面积＝（从前面看到的小正方形个数＋从上面看到的小正方形个数＋从右面看到的小正方形个数）×2； 棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，底层5个小正方体，中间1层2个小正方体，最上层1个小正方体，组合体的体积＝小正方体的总个数，据此分析。 【详解】（6＋5＋4）×2 ＝15×2 ＝30（平方厘米） 5＋2＋1＝8（立方厘米） 它的表面积是30平方厘米，体积是8立方厘米。 2．用棱长1分米的小正方体搭成一个模型，从前面看是，从上面看是，从右面看是，这个模型的表面积是( )平方分米，体积是( )立方厘米。 【答案】 22 6000 【分析】根据图中几何体的三视图还原这个几何体如下图所示： 这个模型的体积＝小正方体体积的个数；这个模型的表面积可以通过数一数来确定，据此解决即可。 【详解】由分析可知：棱长1分米的小正方体，则每个面的面积为：1平方分米，每个立方体的体积为1立方分米。 这个模型第一层有4个正方体，第二层有2个正方体，一共有4＋2＝6（个），即6立方分米，6立方分米＝6000立方厘米； 这个模型前面有3个面，后面有3个面，左面有4个面，右面有4个面，上面有4个面，下面有4个面， 3＋3＋4＋4＋4＋4 ＝6＋4＋4＋4＋4 ＝10＋4＋4＋4 ＝14＋4＋4 ＝18＋4 ＝22（平方分米） 所以这个模型的表面积是22平方分米，体积是6000立方厘米。 3．一个零件的形状如图（单位：厘米），这个零件的体积是多少立方厘米？ 【答案】1760立方厘米 【分析】这个零件的体积等于两个长方体的体积和，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出体积，相加即可。 【详解】10×8×4＋18×8×10 ＝320＋1440 ＝1760（立方厘米） 这个零件的体积是1760立方厘米。 4．下图物体是由一个正方体和一个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 【答案】1620；3528 【分析】（1）观察图可知，正方体的棱长与长方体的宽相等，即12cm。长方体与正方体连接处有2个边长为12cm的正方形被遮挡了，所以这个组合图形的表面积相当于一个长方体的表面积加上4个边长为12cm的正方形的面积。根据长方体的表面积公式：，正方形的面积公式：，代入数据计算再相加即可。 （2）这个组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积。，，代入数据计算即可。 【详解】 （） （） 5．一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 【答案】182平方分米 【分析】计算与水接触的面积需要分三步：先算原正方体表面积，再减去被挖去的面积，最后加上新增的内部通道侧面积。特别注意两个通道交叉处的重复部分需要扣除。 计算原正方体表面积。正方体有6个面，每个面都是边长为5分米的正方形。根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，即5×5×6； 计算被挖去的面积。从前面和右面各挖穿一个孔，每个孔在入口和出口处各挖去1个1×1的正方形。共挖去4个面：前面、后面、右面、左面各1个，列式为1×1×4； 计算新增内部通道侧面积。每个通道有4个侧面，每个侧面是长5分米、宽1分米的长方形。两个通道一共的面积列式为：4×5×1×2，即40平方分米。但交叉处有4个1×1的面被重复计算，需要扣除，即新增的内部通道侧面积列式为40－1×1×4； 求总接触面积。将原表面积减去被挖去的面积，再加上新增的内部通道侧面积。据此列式计算。 【详解】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：与水接触的区域的面积是182平方分米。 十二、长方体、正方体的容积 1．用8个1立方厘米的小正方体分别测量3个盒子的容积，得到的结论是（    ）。 A．①号最大 B．②号最大 C．③号最大 D．一样大 【答案】B 【分析】由“长方体的体积＝长×宽×高”可知，盒子里面可以装的小正方体数量＝长方体盒子长的小正方体数量×长方体盒子宽的小正方体数量×长方体盒子高的小正方体数量，盒子里面可以装的小正方体数量越多，该盒子的容积越大，据此解答。 【详解】①3×2×3 ＝6×3 ＝18（个） ②4×3×3 ＝12×3 ＝36（个） ③4×4×2 ＝16×2 ＝32（个） 因为36＞32＞18，所以②号最大。 故答案为：B 2．李大伯按照如图裁剪一块长是8分米的长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体容器。这个长方体容器的容积是( )升。（铁皮厚度和损耗忽略不计） 【答案】16 【分析】由题意可知长方体底面正方形的边长＝8÷2＝4（分米），也是长方体的长和宽。长方体的高＝底面正方形的边长÷4。由长方体的体积＝长×宽×高，求得长方体的体积后，单位换算成升即可。 【详解】8÷2＝4（分米） 4÷4＝1（分米） 4×4×1 ＝16×1 ＝16（立方分米） 16立方分米＝16升 所以这个长方体容器的容积是16升。 3．用铁皮做一个有盖的长方体油桶，长和宽都为3分米，高为5分米，用掉铁皮多少平方分米？桶内放汽油，每升油重0.82千克，油桶可装汽油多少千克？ 【答案】78平方分米；36.9千克 【分析】已知这个油桶有盖，所以求出它的6个面的总面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，求出这6个面的总面积就是需要铁皮的面积，再根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，求出所装汽油的体积，然后用汽油的体积乘每升汽油的质量即可。 【详解】（3×3＋3×5＋3×5）×2 ＝（9＋15＋15）×2 ＝39×2 ＝78（平方分米） 3×3×5×0.82 ＝9×5×0.82 ＝45×0.82 ＝36.9（千克）； 答：用铁皮78平方分米，这个油桶可装汽油36.9千克。 4．一种长方体无盖玻璃鱼缸，长40厘米、宽25厘米、高20厘米，做一个这样的鱼缸至少要用玻璃多少平方分米？这个鱼缸大约可以盛水多少升？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】36平方分米；20升 【分析】由题意可知，求做一个这样的鱼缸需要玻璃的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为这种玻璃鱼缸无盖，所以只需要计算长方体5个面的面积，最后根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个鱼缸的容积，计算过程中注意单位的换算，据此解答。 【详解】40×25＋（40×20＋25×20）×2 ＝40×25＋（800＋500）×2 ＝40×25＋1300×2 ＝1000＋2600 ＝3600（平方厘米） 3600平方厘米＝36平方分米 40×25×20 ＝1000×20 ＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20立方分米＝20升 答：做一个这样的鱼缸至少要用玻璃36平方分米，这个鱼缸大约可以盛水20升。 5．“互联网＋”背景下，京东生鲜快递运送海鲜时使用了一种可以密封的长方体泡沫箱（如下图），从外面量长是56厘米，宽是36厘米，高是35厘米。已知泡沫厚3厘米，这种泡沫箱的容积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【答案】43500立方厘米；43.5立方分米 【分析】因为长方体泡沫箱的泡沫厚3厘米，所以从里面量的长为（56－3×2）厘米、宽为（36－3×2）厘米、高为（35－3×2）厘米；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这种泡沫箱的容积；再根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位即可。 【详解】（56－3×2）×（36－3×2）×（35－3×2） ＝（56－6）×（36－6）×（35－6） ＝50×30×29 ＝1500×29 ＝43500（立方厘米） 43500立方厘米＝43.5立方分米 答：这种泡沫箱的容积是43500立方厘米，合43.5立方分米。 6．如图，有5块铁皮（单位：分米），正好可以焊接成一个无盖的长方体油箱。给这个油箱加个盖，至少要铁皮多少平方分米？ 【答案】25平方分米；40.8千克 【分析】根据长方体的特征可知，长方体是由6个长方形围成的立体图形，相对的面完全相同，并且相对面的面积相等。根据题意，长方体油箱无盖，而5×5的铁皮只有一块，所以这块铁皮为无盖油箱的底面，同时也是要加的油箱盖的大小；根据正方形面积＝边长×边长，求出油箱盖的面积；根据题意可知，长方体的长是5分米，宽是5分米，高是2.4分米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这个油箱的容积。1立方分米＝1升，再把立方分米化成升，再乘0.68，即可解答。 【详解】5×5＝25（平方分米） 5×5×2.4 ＝25×2.4 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×0.68＝40.8（千克） 答：至少要铁皮25平方分米，这个油箱最多能装40.8千克油。 7．为了引水灌溉，南河村修建了一条长120米的水槽，水槽的横截面是一个边长8分米的正方形。 （1）如果要在水槽的底部和两面内壁上抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个水槽的容积是多少立方米？ 【答案】（1）288平方米 （2）76.8立方米 【分析】（1）先根据进率“1米＝10分米”把横截面的边长8分米换算成0.8米。要在水槽的底部和两面内壁上抹水泥，水槽的底部和两面内壁都是长120米、宽0.8米的长方形。根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘3即可求出抹水泥的面积。 （2）已知水槽的横截面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出横截面的面积；再根据长方体的体积（容积）公式V＝Sh，用横截面的面积乘水槽的长，即是这个水槽的容积。 【详解】（1）8分米＝0.8米 0.8×120×3 ＝96×3 ＝288（平方米） 答：抹水泥的面积是288平方米。 （2）0.8×0.8×120 ＝0.64×120 ＝76.8（立方米） 答：这个水槽的容积是76.8立方米。 8．把一张长20厘米、宽12厘米的硬纸板，从四个角各剪去一个边长2厘米正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。 （1）这个纸盒的表面积是多少平方厘米？ （2）纸盒的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）224平方厘米；（2）256立方厘米 【分析】根据题意，原硬纸板的长为20厘米，宽为12厘米。剪去四个边长为2厘米的正方形后，折成的无盖纸盒的底面长为20－2×2＝16厘米，底面宽为12－2×2＝8厘米，高度为2厘米。因为长方体纸盒是无盖的，所以表面积应该是一个底面积（底面长×底面宽）＋四个侧面积（2×底面宽×高＋2×底面长×高）；容积计算公式为长×宽×高，代入数据可求得。 【详解】20－2×2＝16（厘米） 12－2×2＝8（厘米） （1）表面积：16×8＋2×16×2＋2×8×2 ＝128＋64＋32 ＝224（平方厘米） （2）容积：16×8×2 ＝128×2 ＝256（立方厘米） 答：这个纸盒的表面积是224平方厘米。容积是256立方厘米。 十三、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．下图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（    ）。 A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下 【答案】C 【分析】先根据题意，求出杯子的剩余容量是多少：500－300＝200，再结合图2放入四颗玻璃球时，水没有满，可知：四颗玻璃球总体积小于200，和图3放入五颗玻璃球时，水满溢出，可知：五颗玻璃球总体积大于200，从而求出一颗玻璃球的体积范围，据此解答。 【详解】（1）根据图1“将300的水倒进一个容量500的杯子中”可知：杯子剩余容量：500－300＝200（）； （2）根据图2“将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满”可知：四颗玻璃球的总体积小于200，因为200÷4＝50（），因此，一个玻璃球的体积小于50； （3）根据图3“再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出”可知：五颗玻璃球的总体积大于200，因为200÷5＝40（），因此，一个玻璃球的体积大于40。 所以，一个玻璃球的体积在40以上，50以下。 故答案为：C 2．一个正方体容器，边长为20厘米，倒入5升水，再把一块石头没入水中。这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是( )立方厘米。 【答案】1000 【分析】5升＝5000立方厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；代入数据，求出容器内水深15厘米的体积，再减去5升水的体积，即可解答。 【详解】5升＝5000立方厘米 20×20×15－5000 ＝400×15－5000 ＝6000－5000 ＝1000（立方厘米） 一个正方体容器，边长为20厘米，倒入5升水，再把一块石头没入水中。这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是1000立方厘米。 3．张军在一个长8厘米，宽8厘米，高12厘米的长方体容器中加入一些水后，准备测量一块石头的体积，具体情况如下图所示，请问这个石头的体积是( )立方厘米。 【答案】128 【分析】根据图中所示，在放入石头后，刚好把容器装满，这时水的高度是12厘米，当把石头取出后，水面下降到10厘米，说明下降的2厘米的水体积就是石头的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高来解答。 【详解】8×8×（12－10） ＝8×8×2 ＝128（立方厘米） 所以，这个石头的体积是128立方厘米。 4．小红周末在家做了一个实验，实验步骤如下 第一步：准备了一个长方体的玻璃缸，从里面量出玻璃缸的长10厘米，宽8厘米，高15厘米。 第二步：倒入高是8厘米的水。 第三步：把一块石头完全浸没水中，出现两个面是正方形。 请你根据以上信息计算：（1）石头的体积是多少立方厘米？ （2）这时候水与容器的接触面是多少平方厘米？ 【答案】（1）160立方厘米 （2）440平方厘米 【分析】（1）玻璃缸的长10厘米，宽8厘米，高15厘米。倒入高是8厘米的水，把一块石头完全浸没水中，出现两个面是正方形。 则水面升高为10厘米，则正面和后面均为10×10的正方形； 根据长方体的体积＝长×宽×水面高即可计算放入石头前的体积与放入石头后的体积，二者作差即为石头的体积。 （2）水与容器的接触面是四个侧面和底面，根据（长×水面高＋宽×水面高）×2＋长×宽即可求出这时候水与容器的接触面的面积。 【详解】（1）10×10×8－10×8×8 ＝10×8×（10－8） ＝80×2 ＝160（立方厘米） 答：石头的体积是160立方厘米。 （2）（10×10＋8×10）×2＋10×8 ＝（100＋80）×2＋80 ＝180×2＋80 ＝360＋80 ＝440（平方厘米） 答：这时候水与容器的接触面是440平方厘米。 十四、表面涂色的正方体 1．在一个正方体表面涂色，然后把每条棱平均分成四份，切成若干个小正方体，这些小正方体中，三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个。 【答案】 8 24 【分析】大正方体平均切成了64个小正方体，那么每条棱上有4个小正方体，分割的小正方体中，根据题意可发现顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外，位于棱上的中间部分的小正方体两面涂色，此解答即可。 【详解】①正方体有8个顶点，即这些小正方体中，三面涂色的有8个； ②正方体有12条棱，即 12×（4－2） ＝12×2 ＝24（个） 即这些小正方体中，两面涂色的有24个。 2．用棱长1厘米的64个小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色。那么一面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 24 24 【分析】一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中心，每个面一面涂色的小正方体有4个，一面涂色的小正方体一共有（4×6）个；两面涂色的小正方体位于大正方体每条棱的中间，每条棱上两面涂色的小正方体有2个，两面涂色的小正方体一共有（2×12）个，据此解答。 【详解】 4×6＝24（个） 2×12＝24（个） 分析可知，一面涂色的小正方体有24个，两面涂色的小正方体有24个。 3．一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成5份，切成同样大小的正方体，这些小正方体两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 【答案】 36 54 【分析】位于每条棱非两端的都两面涂色，一个正方体有12条棱，每条棱上有（5－2）块小正方体，处于每个面非边缘的小正方体一面涂色，一个正方体有6个面，每个面上有（5－2）2块小正方体；据此解答即可。 【详解】（5－2）×12 ＝3×12 ＝36（块） （5－2）2×6 ＝32×6 ＝54（块） 故这些小正方体两面涂色的有36块，一面涂色的有54块。 4．下图正方体的表面都已涂上油漆，然后被切成同样大小的小正方体。其中3面涂色的小正方体有( )个，2面涂色的小正方体有( )个，1面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 8 12 6 【分析】3面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，大正方体有8个顶点，即有8个3面涂色的小正方体； 2面涂色的小正方体在大正方体的棱上（除去顶点处的2个3面涂色的小正方体），观察题图可知，大正方体的每条棱上有（3－2）个2面涂色的小正方体，大正方体有12条棱，用（3－2）×12即可求出2面涂色的小正方体的个数； 1面涂色的小正方体在大正方体的面上（除去棱上和顶点处的小正方体），观察题图可知，1面涂色的小正方体在大正方体的面上为一个边长为（3－2）的正方形，用边长（3－2）乘边长（3－2）即可求出大正方体的一个面上有几个1面涂色的小正方形，大正方体有6个面，再乘6即可求出1面涂色的小正方体的个数。 【详解】3面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，有8个； 2面涂色的小正方体在大正方体的棱上（除去顶点处的2个3面涂色的小正方体）， （个） 1面涂色的小正方体在大正方体的面上（除去棱上和顶点处的小正方体）， （个） 题图正方体的表面都已涂上油漆，然后被切成同样大小的小正方体。其中3面涂色的小正方体有8个，2面涂色的小正方体有12个，1面涂色的小正方体有6个。 5．把一个棱长12厘米的正方体木块表面涂上颜色，再把它切割成棱长为2厘米的小正方体，一共可以切割成( )块，其中两面涂色的有( )块。 【答案】 216 48 【分析】因为12÷2＝6，所以大正方形每条棱长上都有6个小正方体，再根据正方体体积公式：V＝棱长×棱长×棱长，代入数值可以求出总共能锯成多少块小正方体；根据正方体特征可知：三面涂色的是每条棱顶点处的小正方体，在每条棱上，除去顶点处的正方体，剩下的就是两面涂色的，在每个面上，除去棱上的所有正方体，剩下的都是一面涂色，所有的小正方体的块数减去有色的小正方体的块数，就是没有涂色的小正方体块数，据此解答即可。 【详解】12÷2＝6（块） 6×6×6＝216（块） （6－2）×12 ＝4×12 ＝48（块） 答：一共可以切割成216块，其中两面涂色的有48块。 6．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有36个，一面涂色有( )个，原来正方体的体积为( )立方厘米。 【答案】 54 125 【分析】两面涂色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有两面涂色的小正方体（）个，每条棱上有（）个小正方体，一面涂色的小正方体在大正方体上的面上，由此解答本题。 【详解】每条棱上有两面涂色的小正方体：（个） 每条棱上有：（个） 一共有： （个） 每个面上有一面涂色小正方体： （个） （个） （立方厘米） 所以一面涂色有54个，原来正方体的体积为125立方厘米。 真题训练 1．（24-25六年级上·江苏连云港·期中）下列图形中，（    ）图形沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。 【详解】A．该展开图属于“1-3-2”结构，正确； B．该展开图属于“1-4-1”结构，正确； C．该展开图不属于展开图，错误； D．该展开图属于“3-3”结构，正确； 故答案为：C 2．（24-25六年级上·山西临汾·期末）在括号里填上合适的单位。 一瓶墨水的包装盒的体积约是150( )；一台大型电冰箱的容积约是300( )；一间教室的空间约是200( )；一个文具盒的表面积约是5( )。 【答案】 立方厘米/cm3 升/L 立方米/m3 平方分米/dm2 【分析】根据体积（容积）单位、面积单位和数据大小的认识，结合生活实际，1立方厘米大约有大母手指头的大小，所以一块橡皮用立方厘米比较合适；容积单位是升和毫升，较大的容积用升，较小的容积用毫升，所以一台大型电冰箱的容积用升比较合适；1米的正方体体积是1立方米，所以一间教室的空间用立方米比较合适；常见的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米、平方千米和公顷，比较小的面积用平方厘米，如一张邮票的表面积大约4平方厘米，文具盒的表面积比邮票大得多，所以用平方分米比较合适，据此解答。 【详解】一瓶墨水的包装盒的体积约是150立方厘米。 一台大型电冰箱的容积约是300升。 一间教室的空间约是200立方米。 一个文具盒的表面积约是5平方分米。 3．（24-25六年级上·江苏·期末）3升＝( )毫升         2500立方厘米＝( )立方分米 0.5立方米＝( )立方分米     1.5立方米＝( )升 【答案】 3000 2.5 500 1500 【分析】根据进率：1升＝1000毫升，1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方米＝1000升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）3×1000＝3000（毫升） 3升＝3000毫升 （2）2500÷1000＝2.5（立方分米） 2500立方厘米＝2.5立方分米 （3）0.5×1000＝500（立方分米） 0.5立方米＝500立方分米 （4）1.5×1000＝1500（升） 1.5立方米＝1500升 4．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了( )米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要( )平方米玻璃。 【答案】 12 5.92 【分析】根据长方体的特点，长、宽、高各有4条，即选在4根1米为长，4根1.2米为宽，4根8分米为高，再根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4；注意单位换算，将8分米换算成以米作单位，即低级单位转化为高级单位用除以两个单位之间的进率，1米＝10分米。 给这个柜台6个面安装玻璃，就是求这个长方体的表面积，根据代入公式计算即可 【详解】8分米＝0.8米 （1＋1.2＋0.8）×4 ＝3×4 ＝12（米） 做这个柜台一共用了12米。 （1×1.2＋1×0.8＋1.2×0.8）×2 ＝（1.2＋0.8＋0.96）×2 ＝2.96×2 ＝5.92（平方米） 则至少需要5.92平方米。 5．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）徐老师制作了一个长方体礼品盒，长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米。这个长方体礼品盒的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 480 376 【分析】长方体的体积＝长×宽×高；长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，据此代入数据解答即可。 【详解】10×8×6 ＝80×6 ＝480（立方厘米） 10×8×2＋10×6×2＋8×6×2 ＝160＋120＋96 ＝280＋96 ＝376（平方厘米） 所以这个长方体礼品盒的体积是480立方厘米，表面积是376平方厘米。 6．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用一根长为96厘米的铁丝做成一个最大的正方体，并在表面糊上彩纸，糊彩纸的面积是( )平方厘米，做成的正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 384 512 【分析】根据题意，铁丝长度就等于正方体的棱长和。先算出正方体的棱长，用96除以12即可。再根据正方体的表面积公式：边长×边长×6，代入数据，即可求出糊彩纸的面积。再根据正方体的体积公式：边长×边长×边长，代入数据计算即可。 【详解】96÷12＝8（厘米） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 所以糊彩纸的面积是384平方厘米，做成的正方体的体积是512立方厘米。 7．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）一根长方体木料，长1.5米，横截面是一个边长是3分米的正方形，把它锯成3段，表面积比原来增加( )平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】 36 135 【分析】把长方体木料锯成3段，表面积比原来增加了4个横截面的面积，据此求出一个横截面的面积，再乘4即可求出增加的面积。把1.5米化为15分米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】 （个） （平方分米） 1.5米＝15分米 （立方分米） 原来这根长方体木料的体积是135立方分米。 8．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）小欣从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面（展开后如右图，单位：厘米），这个纸盒的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 18 144 【分析】由于图是相邻的两个侧面，那么可知，6厘米和3厘米分别是底面长方形的长和宽，根据长方形的面积公式：长×宽，把数代入即可求解；再根据长方体的体积公式：底面积×高，把数代入即可。 【详解】6×3＝18（平方厘米） 18×8＝144（立方厘米） 这个纸盒的底面积是18平方厘米，体积是144立方厘米。 9．（24-25六年级上·安徽蚌埠·期末）在一个无盖的长方体玻璃容器内摆棱长为1厘米的小正方体（如图），一层可以摆( )个，一共可以摆( )个，做这个容器需要玻璃( )平方厘米。（玻璃厚度忽略不计） 【答案】 20 60 74 【分析】观察图形可知，长方体玻璃容器的长可以摆5个，宽摆4个，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，据此求出一层可以摆小正方体的个数； 长方体容器的长摆5个，宽摆4个，高摆3个；根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，即可求出长方体容器可以摆小正方体的数量； 求做这个容器需要玻璃的面积，就是求长方体容器的5个面积的面积和；根据长方体5个面的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】5×4＝20（个） 5×4×3 ＝20×3 ＝60（个） 长：1×5＝5（厘米）；宽：1×4＝4（厘米）；高：1×3＝3（厘米） 5×4＋（5×3＋4×3）×2 ＝20＋（15＋12）×2 ＝20＋27×2 ＝20＋54 ＝74（平方厘米） 在一个无盖的长方体玻璃容器内摆棱长为1厘米的小正方体，一层可以摆20个，一共可以摆60个，做这个容器需要玻璃74平方厘米。 10．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）用棱长1厘米的小正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是( )平方厘米；至少再添加( )个同样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 【答案】 32 18 【分析】（1）观察可知，上下、左右各有5个小正方形，前后各有6个小正方形，根据，小正方体的每个面的面积是（平方厘米），用每个面的面积乘小正方形的总个数即可。 （2）观察可知，要搭一个大正方体，每条棱长最多有3个小正方体，即搭成的大正方体的棱长至少是3厘米，根据，代入数据可计算搭成的大正方体的体积及小正方体的体积，用大正方体体积除以小正方体体积，得到搭成的大正方体需要多少个小正方体，再减图中小正方体的个数即可得解。 【详解】 （平方厘米） （个） 用棱长1厘米的小正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是32平方厘米；至少再添加18个同样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 11．（22-23六年级上·江苏泰州·期末）计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】表面积：736平方厘米；体积：1176立方厘米 【分析】组合体的表面积＝长是12，宽是10，高是8的长方体的表面积＋棱长是6厘米的正方体的侧面积；根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体侧面积公式：侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，求出组合体的表面积； 组合体的体积＝长是12，宽是10，高是8的长方体的体积＋棱长是6厘米的正方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】（12×10＋12×8＋10×8）×2＋6×6×4 ＝（120＋96＋80）×2＋36×4 ＝（216＋80）×2＋144 ＝296×2＋144 ＝592＋144 ＝736（平方厘米） 12×10×8＋6×6×6 ＝120×8＋36×6 ＝960＋216 ＝1176（立方厘米） 12．（24-25六年级上·海南海口·期末）李大叔家挖了一个长方体蓄水池，从里面量长35分米，宽2米，深1.5米。 （1）这个蓄水池占地多少平方米？在蓄水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）如果在蓄水池里蓄水8.4吨，那么蓄水池里的水深多少米？（每立方米水重1吨） 【答案】（1）7平方米；23.5平方米 （2）1.2米 【分析】（1）根据题意，这个蓄水池是一个长方体，求蓄水池的占地面积，就是求这个蓄水池的底面面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出蓄水池的底面积；求抹水泥的面积，就是求这个蓄水池的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 （2）根据每立方米水重1吨，则8.4吨水的体积是8.4立方米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷长÷宽，代入数据，即可求出蓄水池里的水深，据此解答。 【详解】（1）35分米＝3.5米 3.5×2＝7（平方米） 3.5×2＋（3.5×1.5＋2×1.5）×2 ＝7＋（5.25＋3）×2 ＝7＋8.25×2 ＝7＋16.5 ＝23.5（平方米） 答：这个蓄水池占地7平方米，抹水泥的面积是23.5平方米。 （2）8.4吨水的体积是8.4立方米。 8.4÷3.5÷2 ＝2.4÷2 ＝1.2（米） 答：蓄水池里水深1.2米。 13．（24-25六年级上·安徽蚌埠·期末）安安为了测量一块不规则石头的体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长18厘米，宽12厘米，高40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为20厘米。 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为28厘米。 这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】1728立方厘米 【分析】根据题意，把一块石头浸没在一个长方体透明容器中，水面由20厘米升高到28厘米，上升了（28－20）厘米，那么水上升部分的体积就是这块石头的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这块石头的体积。 【详解】18×12×（28－20） ＝18×12×8 ＝216×8 ＝1728（立方厘米） 答：这块石头的体积是1728立方厘米。 14．（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）6.3升 （2）1970平方厘米 【分析】（1）已知长方体容器长35厘米、宽10厘米、水深18厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出水的体积，再根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位即可。 （2）观察图形可知，水与容器接触的面是长方体的底面、前后面和左右面共5个面，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是水与容器接触的面积。 【详解】（1）35×10×18 ＝350×18 ＝6300（立方厘米） 6300立方厘米＝6.3升 答：容器中水的体积是6.3升。 （2）35×10＋35×18×2＋10×18×2 ＝350＋1260＋360 ＝1970（平方厘米） 答：水与容器接触的面积是1970平方厘米。 15．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）一个花坛（如图），底面是边长2米的正方形，高0.8米。四周用木条围成。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）做这样一个花坛，四周大约需要木条多少平方米？（木条空隙忽略不计） （3）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ 【答案】（1）4平方米 （2）6.4平方米 （3）3.2立方米 【分析】（1）求花坛占地面积，实际是求花坛的底面积，底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，用2×2，即可求出花坛占地面积； （2）观察图形可知，四周的面积等于前面、后面、左面和右面的面积和，因为底面是个正方形，所以前面、后面、左面和右面这四个面的面积相等，则用2×0.8×4，即可求出四周大约需要木条多少平方米。 （3）根据长方体的体积＝长×宽×高，则用2×2×0.8，即可求出泥土的体积。 【详解】（1）2×2＝4（平方米） 答：这个花坛的占地4平方米。 （2）2×4×0.8 ＝8×0.8 ＝6.4（平方米） 答：四周大约需要木条6.4平方米。 （3）2×2×0.8 ＝4×0.8 ＝3.2（立方米） 答：大约需要泥土3.2立方米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 67 页 学科网（北京）股份有限公司 $