精品解析：山东省德州市宁津县第四实验中学、大柳中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026八年级（上）期中数学试卷 注意事项： 1．答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的两边长分别为2和3，则第三边的值可能是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形的稳定性 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点A（a，－l），与点B（4，b）关于y轴对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段与相交于点O，使，，只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. B. C. D. 8. 下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，是的中线，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，交于点E，若，，则中线的长是（ ） A. 12 B. 7 C. 13 D. 10 11. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 12. 已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是______．（写出一个即可） 14. 由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点间的距离是_______cm． 15. 一个等腰三角形的边长为6cm，周长为20cm，则其他两边长为____________． 16. 如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 17. 如图所示的方格中，______度． 18. 如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接．随下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有_____． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，，．填空： ， ． ． ． ． 20. 如图，已知点在一条直线上，，，，求证：． 21. 如图，已知，求证： （1）； （2）． 22. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ） （3）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹） （4）点Q在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有__________个． 23. 如图，在中，． （1）用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到的距离相等： （2）若，求点P到的距离． 24. 如图，是等边三角形，D、E分别是的边上的点，且，与相交于点P，于点F． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 25. 已知∶在中，，，是过点A的一条直线，且，垂足为点D，，垂足为点E． （1）当直线处于如图①的位置时，有，请说明理由； （2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026八年级（上）期中数学试卷 注意事项： 1．答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形特征．轴对称图形的定义是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，利用轴对称图形定义对各选项一一进行分析解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意； 故选：C． 2. 若三角形的两边长分别为2和3，则第三边的值可能是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得， ∴第三边可能为4， 故选：B． 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用．根据三角形具有稳定性．构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：D． 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 5. 若点A（a，－l），与点B（4，b）关于y轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据y轴对称的坐标特点求解确定即可． 【详解】∵A（a，－l），与点B（4，b）关于y轴对称， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了点的坐标的对称性，熟记对称点的坐标特点是解题的关键． 6. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和为，逐个判断条件能否推出三角形有一个内角为90°，即可得到符合要求的条件个数． 【详解】解：三角形内角和为，逐个推导如下， ① ， ， 代入内角和得，得， 是直角三角形； ② ， 设， 则，解得， ， 是直角三角形； ③ ， ， ， 是直角三角形； ④ ，， ， 是钝角三角形，不是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件共3个． 7. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段与相交于点O，使，，只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离， 故选：B． 8. 下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当的垂直平分交于点D时，，然后证明的周长等于，即可进行判断． 【详解】解：当的垂直平分交于点D时， ∴， ∴的周长． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 9. 如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义，求出、，再根据三角形的内角和定理求出结果即可． 【详解】解：由方向角的定义可知， ，， ． 故选：D． 10. 如图，是的中线，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，交于点E，若，，则中线的长是（ ） A. 12 B. 7 C. 13 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，根据线段的和差关系可得的长，再求出的长，进而可求出中线的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 12. 已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边应角、对应边相等的性质是解题的关键． 先证明，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：为的角平分线， ， 在和中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过作，交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，④正确； 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形． 根据得出，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴，即是等边三角形； ②当时， ∵， ∴，即是等边三角形； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 14. 由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点间的距离是_______cm． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：15． 15. 一个等腰三角形的边长为6cm，周长为20cm，则其他两边长为____________． 【答案】8cm、6cm或7cm、7cm 【解析】 【分析】已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【详解】解：若底边长为6cm，则腰长为：（20﹣6）÷2＝7，所以另两边的长为7cm，7cm，此时能构成三角形； 若腰长为6cm，则底边长为：20﹣6×2＝8，所以另两边的长为8cm，6cm，此时也能构成三角形． 故答案为：8cm、6cm或7cm、7cm 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，正确分类、熟练掌握基本知识是解题的关键． 16. 如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 【答案】SSS 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质． 根据题意可知和三边对应相等，可证明，可得对应角相等，从而可得射线是的平分线，即可得这种作法的依据． 【详解】解：根据题意，， ， ∴射线即是的平分线， ∴这种作法的依据是“SSS”． 故答案为：SSS． 17. 如图所示的方格中，______度． 【答案】135 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理．根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键．标注字母，然后根据网格结构可得与所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出的度数；再根据所在的三角形是等腰直角三角形可得，然后进行计算即可得解． 【详解】解：如图， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． 18. 如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接．随下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 首先判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理，得到是等边三角形，即可得到②正确，又由，可得④正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 在和中，， ∴， ∴，， 故③不正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，，．填空： ， ． ． ． ． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查平行线性质定理以及三角形内角和定理，牢记相关定理内容并能灵活应用是解题的重点． 根据两直线平行的性质定理，结合三角形内角和定理推理即可得到正确结果． 【详解】， ． ． ． ． 20. 如图，已知点在一条直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可 【详解】略 21. 如图，已知，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，且，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质，等边对等角，平行线的判定定理等， （1）根据全等三角形的性质得到∴，由此证得，进而推出； （2）根据，得到，利用三角形内角和定理及，推出，即可证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ） （3）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹） （4）点Q在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有__________个． 【答案】（1） 如图1： （2）4，1；2，3；−1，−2； （3）如图2： （4）10． 【解析】 【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，P点即为所求； （4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知A（−4，1），B（−2，3），C（1，−2）， ∴A点关于y轴对称的点为（4，1），B点关于y轴对称的点为（2，3），C点关于y轴对称的点为（−1，−2）， ∴A′（4，1），B′（2，3），C′（−1，−2）， 故答案为：4，1；2，3；−1，−2； 【小问3详解】 作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， 此时PA＋PB值最小； 【小问4详解】 如图：以B为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点， 以C为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点， 作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点， ∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个， 故答案为：10． 【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． 23. 如图，在中，． （1）用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到的距离相等： （2）若，求点P到的距离． 【答案】（1） 如图，点P即为所求； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． （1）作的平分线即可； （2）过点作于点，利用直角三角形的性质求出的度数，然后利用角平分线的性质求出的度数，利用含30度角的直角三角形的性质求出长度，最后利用角平分线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）可得平分， ∴， ∴， ∴， ∴点P到的距离为3． 24. 如图，是等边三角形，D、E分别是的边上的点，且，与相交于点P，于点F． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质； （1）由等边三角形的性质得出，，由即可证明； （2）由得出对应角相等，根据三角形的外角性质得出； （3）由含角的直角三角形的性质即可得出与的关系，再根据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 已知∶在中，，，是过点A的一条直线，且，垂足为点D，，垂足为点E． （1）当直线处于如图①的位置时，有，请说明理由； （2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 又， ； （2） ，理由如下： ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得； （2）同（1）的方法，先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $