15.4 等腰三角形（1）课件 2025-2026学年 沪科版数学八年级上册

该初中数学课件系统讲解等腰三角形的概念、“等边对等角”“三线合一”性质及等边三角形内角推论。导入通过问题情境引发观察，结合折纸活动让学生动手操作，从具体图形抽象出等腰三角形，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以活动探究为主线，通过对折操作引导发现重合线段和角培养几何直观，三种方法证明性质体现推理意识与一题多解思维，例题联系房屋结构等生活情境发展应用意识。总结梳理数学思想，帮助学生构建知识体系，教师可直接使用完整教学流程提升教学效率。

15.4 等腰三角形（1） 新知导入 都有等腰三角形 图中的三角形有什么特点呢？ 等腰三角形: 有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形. 等腰三角形的概念 相等的两条边叫做腰, 另一条边叫做底边, 底边与腰的夹角叫做底角. 两腰所夹的角叫做顶角, A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 回顾 新知导入 活动探究一：思考以下问题，动手做一做。 （小组讨论，3min） 如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分,再把它展开,得到的△ABC有什么特点? A B C AB=AC 等腰三角形 新知讲解 活动探究二：思考以下问题。 1、等腰三角形是轴对称图形吗？ 2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。 新知讲解 重合的线段 重合的角 　 AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC 猜一猜:等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的角有什么性质吗? A B C D 新知讲解 定理1:等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角” A B C D 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C 想一想：1.如何证明两个角相等？ 议一议：2.如何构造两个全等的三角形？ 你能证明这个性质吗？ 新知讲解 　　符号语言: ∵AB ＝AC， ∴∠B=∠C. 活动探究三：思考以下问题（小组讨论） 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 取BC的中点D，连接AD. AB=AC ， （ 已知 ） BD=CD ，（ 已作） AD=AD ，（公共边） ∴ △ABD ≌ △ACD （SSS）. ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△ABD和△ACD中， 法一：作底边BC上的中线AD 同学们，还有别的方法来证明吗？ 新知讲解 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作底边的高线AD，则∠BDA=∠CDA=90° AB=AC ( 已知 ) AD=AD (公共边) ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 法二：作底边BC上的高线AD 在Rt△BAD和Rt△CAD中， 同学们，除了作中线和高线，还有别的方法来证明吗？ 新知讲解 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作顶角的平分线AD，则∠1=∠2 AB=AC ( 已知 ) ∠1=∠2 ( 已作 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 法三：作顶角∠BAC的平分线AD 在△BAD和△CAD中， 1 2 新知讲解 B A C D 如图，AB=AC，∠ACD等于∠B吗？ “等边对等角”必须在同一个等腰三角形中才成立 新知讲解 由此可知，等腰三角形的角平分线、底边上的中线和底边上的高“三线合一”. A B C D 定理2 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边. 　　符号语言: ∵AB=AC， ∴ AD⊥BC. BD＝CD. ∠BAD=∠CAD. 新知讲解 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ “三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高 新知讲解 我们都知道，等边三角形是特殊的等腰三角形.根据等腰三角形的性质可得，等边三角形有什么性质？ 推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. 想一想 新知讲解 总结 性质1　等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 性质2　等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)。 等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线(顶角平分线,底边上的高)所在直线。 推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60° 新知讲解 已知：如图，在△ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120°，点D,E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度数. 解：∵AB=AC，（已知） ∴∠B=∠ C.（等边对等角） ∴∠B= ∠C= (180°-120°)=30°. 又∵BD= AD,（已知） ∴∠ABD= ∠B=30°.（等边对等角） 同理，∠CAE=∠ C=30°. ∴∠DAE=∠BA C-∠BAD-∠CAE =120°-30°-30° =60°. A B C D E 新知讲解 1.已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º, 过屋顶A的立柱AD  BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数. A B D C ∴∠BAD=∠CAD=50°. ∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）. 又∵AD⊥BC， ∴∠B=∠C= (180°－∠BAC)=40°(三角形内角和定理). 解：在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）. 又∵∠BAC=100 º， 课堂练习 17 　　 2.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=______． 解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°， ∴∠ADC=90°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED= (180°- ∠CAD) =75°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°． 2 1 2 1 课堂练习 　　 　　 如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD 相交于F． （1）求证：BF=AC；（2）若CD=3，求AF的长． 解：（1）AD⊥BD，∠BAD=45°， ∴AD=BD， ∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠BFD=∠ACD， 在△BDF和△ACD中， ， ∴△BDF ≌ △ADC（AAS）， ∴BF=AC； 拓展提高 　　 　　 如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F． （1）求证：BF=AC；（2）若CD=3，求AF的长． （2） 连接CF， ∵△BDF≌△ADC， ∴DF=DC， ∴△DFC是等腰直角三角形． ∵CD=3，CF= ， CD=3 ， ∵AB=BC，BE⊥AC， ∴AE=EC，BE是AC的垂直平分线． ∴AF=CF， ∴AF=3 拓展提高 轴对称图形 两个底角相等，简称“等边对等角” 顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高 互相重合，简称“三线合 一” 等腰三角形 学习的数学思想及方法 分类讨论和一题多解。 解决等腰三角形问题时常用的辅助线 课堂总结 板书设计 15.4 等腰三角形（1） 定理1：等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角 定理2： 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60° $