18.1.1 从分数到分式-课件 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

第十八章 分式 18.1.1 从分数到分式 1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系． 2．掌握分式有意义的条件，并能进行计算． 01 学习目标 我们知道，整式可以表示一些问题中的数量和数量关系．在表示有些问题中的数量和数量关系时，还需要用到其他类型的代数式． 02 新知导入 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 题目中相等的数量关系是： 顺流航行90km所用的时间=逆流航行60km所用的时间 顺流航行的速度＝轮船在静水中的速度＋江水的流速； 逆流航行的速度＝轮船在静水中的速度－江水的流速． 02 新知导入 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 题目中相等的数量关系是： 顺流航行90km所用的时间=逆流航行60km所用的时间 解：设江水流速为vkm/h， 则轮船顺流航行90km所用的时间为h， 逆流航行60km所用的时间为h， 根据题意，可列方程 ＝ 02 新知导入 像和这样，分母中含有字母的式子都是分式． 像＝这样，分母中含有未知数的方程是分式方程． 02 新知导入 分式与分数具有类似的形式，我们类比分数学习分式的概念和基本性质． 02 新知导入 7 我们知道，两个数相除可以表示成分数的形式． 例如，3÷4，(－7)÷2可以分别表示成， ． 整式的除法也可以类似表示． 例如，在章引言中，江水流速为vkm/h，轮船顺流航行90km所用时间［90÷(30＋v)］h可以用h来表示． 03 新知讲解 思考1： （1）长方形的面积为10，长为7，则宽为__________；长方形的面积为S，长为a，则宽为__________． （2）在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行akm用时bh，则他的平均速度为__________km/h；若他在上坡滑行akm比在平地滑行同样的距离多用ch，则他的平均速度为__________km/h． 03 新知讲解 思考2： 式子，，以及本章引言中的式子，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 共同点：这些式子与分数一样都是(即A÷B)的形式． 不同点：分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含有字母． 03 新知讲解 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．在分式中，A叫作分子，B叫作分母． 03 新知讲解 分式是不同于整式的另一类代数式． 上面的，，，和等都是分式． 因为字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性． 例如，分数仅表示2÷3的商，而分式既可以表示2÷3，又可以表示(－5)÷2，8÷(－9)等． 03 新知讲解 试一试：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？ 解：分式有，，，，， 整式有，. 03 新知讲解 思考3： 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义． 03 新知讲解 例1：下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0； （2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1； （3）要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠； （4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y． 03 新知讲解 例2：当 x 取何值时，分式的值为0？ 解：由分子x2－1＝0，得x＝1或x＝－1， 当x＝1时，分母x－1＝1－1＝0； 当x＝－1时，分母x－1＝－1－1＝－2； 故当x＝－1时，原分式的值为0． 03 新知讲解 例3：（1）当 x 取何值时，分式的值为正？ （2）当 b 取何值时，分式的值为负？ 解：（1）当分子 x＞0，分母 x－1＞0，即x＞1时，的值为正； 当分子x＜0，分母x－1＜0，即x＜0时，的值为正． （2）当分子b＞0，分母5－3b＜0，即b＞ 时，的值为负； 当分子b＜0时，分母5－3b＞0 ，即b＜0时，的值为负. 03 新知讲解 分式取特殊值的条件 分式的值为 0：分子为0，且分母不为0； 分式的值为正：分子、分母符号相同； 分式的值为负：分子、分母符号不同． 注意：必须在分式有意义的前提下才能讨论分式的值等于或者不等于0的条件． 03 新知讲解 【知识技能类练习】必做题： 1．在式子，，，，，中，分式的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 B 04 课堂练习 【知识技能类练习】必做题： 2．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 解：∵分式的值为正数，且分子， ∴分母， 解得， 又∵分母，即，而已满足此条件， 故答案为：． 04 课堂练习 【知识技能类练习】必做题： 3．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，， 解：由题意得，整式有，； 分式有，，，． 04 课堂练习 【知识技能类练习】选做题： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 4．关于和的值如下表： 则代表的分式是（ ） A． B． C． D． C 04 课堂练习 【综合拓展类练习】 5．若分式的值为零，则x的值为 ． 2 解：∵分式的值为零， ∴分子，得，解得或， ∵当时，分母，分式无意义， ∴当时，分母 ，满足条件， 故答案为：2． 04 课堂练习 分式 分式有意义的条件 分式的概念 分式取特殊值的条件 05 课堂小结 【知识技能类作业】必做题： 1．在分式中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． C 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2．走一段10千米的路，步行小时，骑自行车所用的时间比步行所用时间少t小时，则骑自行车的平均速度为 千米/时． 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 3．下列分式中的字母x满足什么条件时分式有意义？ (1)；(2)；(3)；(4)． 解：（1）由分式的分母不为零可得； （2）由得； （3）由得； （4）因为对任意实数，都有， 所以， 故恒成立， 所以的取值为全体实数． 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 的取值 分数的值 无意义 4．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． (1)原分式中的值是　　　；(2)求出，的值． 1 解：（2）当时，分式的值为0， ，解得，∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即，解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5．取何值时，下列分式的值是零？ (1)； (2)． 解：（1）的值是零， ， 且， ，，， ； （2）的值是零， ， 且， ，，， ． 06 作业布置 $