2.3用公式法解一元二次方程同步训练2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.3 用公式法解一元二次方程 同步训练 一、单选题 1．用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（    ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，， 2．在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的值可能是（    ） A．2 B．4 C．0 D． 4．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 7．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 8．方程的根是 ． 9．定义运算：．例如：，则方程的根 ． 10．对于任意的实数a，b，定义一种新运算◆，规定，若，则的值为 ． 11．定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 12．解下列方程： (1)； (2)． 13．已知方程：． (1)当m______时，它是关于未知数x的一元二次方程； (2)在（1）的条件下，若方程有两个不相同的实数根，求m的取值范围． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程其中一个根为正数，求m的取值范围． 15．若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数，现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数 ．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为______． (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元二次方程与（n为整数）都是“快乐方程”，它们的“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可． 【详解】解：将方程整理得：， 这里， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值． 通过求根公式，分析出a，b，． 【详解】一元二次方程求根公式为，已知， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 将代入一元二次方程， 得到，对应选项B． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，掌握方程有无实数根的条件是解决本题的关键． 根据一元二次方程无实数根的情况进行求解即可． 【详解】解：∵方程无实数根，且， ∴当时，方程无实数根， ∴m的值可能是， 故选D． 4．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据方程的系数结合根的判别式的值与0进行比较，进而可得出方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其转化为常规方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴方程的左边：， 方程的右边：， ∴方程化为， 展开：， 即， 移项：， 解方程：， ∴，， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题关键是时需注意二次项系数不为零的条件． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程需满足二次项系数不为零且判别式大于零． 【详解】解：方程化为标准形式， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，且， 解得：且． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根的定义与方程的求解．利用方程根的性质化简得到，求解方程得两根后计算出，再代入求出结果． 【详解】∵是方程的根， ∴，即． ∴． 解方程： 判别式， ∴， 得两根，， 故． ∴． 故选：A． 8．， 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法及换元法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．先把方程化为一元二次方程的一般形式，再利用公式法解方程即可得答案． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴，． 故答案为：， 9．， 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴,． 故答案为：,． 10．或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 11． 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式等知识，根据新运算定义，将方程转化为一元二次方程，利用根的判别式求参数范围即可． 【详解】解：由新运算定义，，得， 故方程化为， 由于该方程有两个实数根， ∴判别式， 解得． 故答案为：． 12．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 由此可得， ； （2）解：． 方程化为， ， ， ， 即． 13．(1)； (2)且． 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握公式法是解题的关键； （1）根据一元二次方程的定义即可求解； （2）根据一元二次方程根的判别式的意义，得到，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵是关于未知数x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． （2）∵方程有两个不相同的实数根， ∴，即， 解得：且． 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． （）求出的值即可求证； （）求出方程的解，再根据解的情况列出关于的不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∵该方程有一个根为正数， ∴， ∴． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解答本题的关键是熟练运用“快乐方程”的定义解决问题； （1）按照快乐数公式即可求解； （2）按照快乐数公式即可求解； （2）由，求出的值，再由，求出，，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：方程：的“快乐数，，； 故答案为：； （2）解：关于的一元二次方程，△， ，即：， 或36， ，（舍去）； （3）解：， ； ， ， ，，， 依题意得： ， 解得：或（不合题意）， n的值3． 学科网（北京）股份有限公司 $