1 菱形的性质与判定(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在四边形 ABCD 中， AB∥CD ， E ， F 为对角线 AC 上的两点， 且 AE=CF ， DF∥BE ， AC 平分 ∠BAD． 求证： 四边形 ABCD 为菱形 ． 【分析】 首先证得 △ABE≌△CDF ， 得到 AB=CD ， 从而得到四边形 ABCD 是平行四边形， 然后证得 AD=CD ， 利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可 ． 【解答】 证明： ∵AB∥CD ， ∴∠DCA=∠BAC. ∵DF∥BE ， ∴∠DFA=∠BEC ， ∴∠AEB=∠CFD. 又 ∵AE=CF ， ∴△AEB≌△CFD （ ASA ）， ∴AB=CD. ∵AB∥CD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵AC 平分 ∠BAD ， ∴∠BAE=∠DAF. ∵∠BAE=∠DCF ， ∴∠DAF=∠DCF. ∴AD=CD. ∴ 四边形 ABCD 是菱形 ． 【点拨】 本题考查菱形的判定， 掌握菱形的几种判定方法并能灵活运用是解答本题的关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 互相平分， 要使它变为菱形， 需要添加的 条件为 （只填一个你认为正确的即可） . 2. 如图， 已知 AD 是 △ABC 的角平分线， E ， F 分别是边 AB ， AC 的中点， 连接 DE ， DF ， 在不作其他辅助线的前提下， 要使四边形 AEDF 成为菱形， 还需添加一个条件， 那 么这个条件可以是 . 3. 用直尺和圆规作一个以线段 AB 为边的菱形， 作图痕迹如图所示， 能得到四边形 ABCD 是菱形的依据是 （ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 O A B C D E F A B C D 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 A B C D 例题图 E F A B CD 1 菱形的性质与判定 （第 2课时） 4 特殊平行四边形 第一章 4. 如图 ， 在 荀ABCD 中 ， 点 M ， N 分别在 AB ， AD 上 ， 且 AM=AN ， BM=DN ， MG∥AD ， NF∥AB. 点 F ， G 分别在 BC ， CD 上， MG 与 NF 相交于 点 E ， 则图中的菱形共有 （ ） A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 5. 如图， 将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE ， 连接 AD ， 下列条件能 够判定四边形 ABCD 为菱形的是 （ ） A. AB=BC B. AC=BC C. ∠B=60° D. ∠ACB=60° 6. 如图， 在四边形 ABCD 中， AB=AD ， BC=DC ， AC ， BD 相交于点 O． 在 OC 上截取 OE=OA ， 连接 BE ， DE． 求证： 四边形 ABED 是菱形 ． 7. 如图， 在 △ABC 中， AD⊥BC 于点 D ， 点 D ， E ， F 分别是 BC ， AB ， AC 的中点 ． 求 证： 四边形 AEDF 是菱形 ． 能力提升 综合拓展 8. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， ∠B=60° ， AD 平分 ∠FAC ， CD 平分 ∠ACE. 求证： 四 边形 ABCD 是菱形 ． 9. 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， ∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D ， CM⊥AB 于点 M ， 交 AD 于点 F ， DE⊥AB 于点 E. 求证： 四边形 CDEF 是菱形 . E F M A B C D 第 9 题图 E F A B C D 第 8 题图 E F A B CD 第 7 题图 E A B C D 第 5 题图 E F M A B C D N G 第 4 题图 第 6 题图 E O A B C D 5 九年级上册 （北师大版）数学 * 10. 如图， 在四边形 ABCD 中， BC=CD ， ∠C=2∠BAD． O 是四边形 ABCD 内一点， 且 OA= OB=OD． 求证： （ 1 ） ∠BOD=∠C. （ 2 ） 四边形 OBCD 是菱形 ． * 11. 如图， 已知 D 是等腰 Rt△ABC 的直角边 BC 上的一点， AD 的垂直平分线 EF 分别 交 AC ， AD ， AB 于点 E ， O ， F ， BC=2. （ 1 ） 当 CD= 2 姨 时， 求 AE 的长 . （ 2 ） 当 CD=2 （ 2 姨 －1 ）时， 求证： 四边形 AEDF 是菱形 . 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·沈阳） 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， AD 是 BC 边上的中线， 点 E 在 DA 的延 长线上， 连接 BE ， 过点 C 作 CF∥BE 交 AD 的延长线于点 F ， 连接 BF ， CE． 求证： 四边形 BECF 是菱形 ． 13. （ 2023 ·张家界） 如图， 已知点 A ， D ， C ， B 在同一条直线上， 且 AD=BC ， AE=BF ， CE=DF． （ 1 ） 求证： AE∥BF. （ 2 ） 若 DF=FC 时， 求证： 四边形 DECF 是菱形 ． 第 11 题图 第 13 题图 E F O A B C D 第 12 题图 D A E B C F A D F E C B 第 10 题图 A O B C D 6 参考答案与提示 上册 第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 （第 1 课时） 1. 96 cm 2 2. A 3. 60 4. D 5. C 6. B 7. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AD=AB ， BO=DO. ∴∠EBO=∠FDO. ∵E ， F 分别是 AB ， AD 的中点 ， ∴BE= 1 2 AB ， DF= 1 2 AD. ∴BE=DF. ∴△BOE≌△DOF. ∴OE=OF. 8. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC ， AB=AD ， ∠BAC=∠DAC. ∵EF⊥AC ， ∴∠AHG=∠AHE=90°. 又 ∵AH=AH ， ∴△AGH≌△AEH. ∴AE=AG. ∵E 是 AD 的中点， ∴AE= 1 2 AD. ∴AG= 1 2 AB. ∴AG=BG. ∵AD∥FC ， ∴∠F= ∠AEG. 又 ∵∠AGE=∠FGB ， ∴△AEG≌△BFG. ∴EG=FG ， 即 AB 与 EF 互相平分 . 9. 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AB=BC=CD=AD ， ∠ACD=∠ACB. ∵∠B=∠EAF=60° ， ∴∠ACD=∠BAC= ∠ACB=60° ， AC=AB. ∵∠FAC+∠CAE=∠BAE+∠CAE=60° ， ∴∠FAC=∠BAE. ∴△ABE≌△ACF. ∴AE=AF. ∴∠AEF= ∠AFE=∠EAF=∠B=60°. ∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=120°. ∴∠CEF=∠BAE=18°. 10． 6 提示： 延长 EF 交 DC 的延长线于点 P ， 易证四边形 AEPC 是平行四边形 . 11. 10° 或 80° 12. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AB=AD ， ∠B=∠D. 又 ∵AE⊥BC 于点 E ， AF⊥CD 于点 F ， ∴ ∠AEB=∠AFD=90°. ∴△ABE≌△ADF （ AAS ） . ∴AE=AF. （ 2 ） 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴∠B+∠BAD=180°. ∵∠B=60° ， ∴∠BAD=120° . 又 ∵∠AEB=90° ， ∠B=60° ， ∴∠BAE=30° . 由 （ 1 ） 知 △ABE≌△ADF ， ∴∠BAE= ∠DAF=30°. ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°. 又 ∵AE=AF ， ∴△AEF 是等边三角形 . ∴∠AEF=60°. 1 菱形的性质与判定 （第 2 课时） 1. AB=BC 或 AC⊥BD 2. AB=AC （或 ∠B=∠C 或 AE=AF ） 3. B 4. C 5. A 6. 证明： ∵AB=AD ， BC=DC ， ∴AC⊥BD ， OB=OD. ∵OE=OA ， ∴ 四边形 ABED 是平行四边形 . 又 ∵AE⊥BD ， ∴ 四边形 ABED 是菱形 . 7. 证明： ∵ 点 D ， E ， F 分别是 BC ， AB ， AC 的中点， ∴DE ， DF 是 △ABC 的中位线 . ∴DE∥AC ， DF∥AB ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . 又 ∵AD⊥BC ， BD=CD ， ∴AB=AC. ∴AE=AF. ∴ 四边形 AEDF 是菱形 . 8. 证明： ∵∠B=60° ， AB=AC ， ∴△ABC 为等边三角形 . ∴AB=BC ， ∠ACB=∠BAC=60°. ∴∠FAC=∠ACE=120°. ∵AD 平分 ∠FAC ， CD 平分 ∠ACE ， ∴∠CAD=∠ACD=∠DCE=60°. ∴∠DCE=∠B=60° ， ∠CAD=∠ACB=60°. ∴AB∥CD ， BC∥AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵AB=BC ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 9. 证明 ： ∵∠ACB=90° ， DE⊥AB ， AD 平分 ∠BAC ， ∴CD=DE ， ∠CAD=∠DAB. ∵CM⊥AB ， ∴∠DAB+ ∠AFM=90°. ∵∠CAD+∠ADC=90° ， ∴∠ADC=∠AFM. ∵∠AFM=∠CFD ， ∴∠CFD=∠ADC. ∴CF=CD=DE. 又 ∵CM⊥AB ， DE⊥AB ， ∴CF∥DE. ∴ 四边形 CDEF 是菱形 . * 10. 证明： （ 1 ） 如图， 延长 AO 到点 E. ∵OA=OB ， ∴∠ABO=∠BAO. 又 ∠BOE=∠ABO+ ∠BAO ， ∴∠BOE=2∠BAO. 同理 ∠DOE=2∠DAO. ∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO= 2 （ ∠BAO+∠DAO ）， 即 ∠BOD=2∠BAD. 又 ∠C=2∠BAD ， ∴∠BOD=∠C. （ 2 ） 连接 OC ， ∵OB=OD ， CB=CD ， OC=OC ， ∴△OBC≌△ODC. ∴∠BOC=∠DOC ， ∠BCO=∠DCO. ∵∠BOD=∠BOC+∠DOC ， ∠BCD=∠BCO+∠DCO ， ∴∠BOC= 1 2 ∠BOD ， ∠BCO= 1 2 ∠BCD. 又 ∠BOD=∠BCD ， ∴∠BOC=∠BCO. ∴BO=BC. 又 ∵OB=OD ， BC=CD ， ∴OB=BC=CD=DO. ∴ 四边形 OBCD 是菱形 ． * 11. （ 1 ） 解： 设 AE=x ， ∵EF 是 AD 的垂直平分线， ∴AE=ED=x. 又 ∵BC=AC=2 ， ∴EC=2-x. 在 Rt△CED 中， 由 勾股定理得， DE 2 -CE 2 =CD 2 ， 即 x 2 - （ 2-x ） 2 = （ 2 姨 ） 2 . 解得 x= 3 2 ， 即 AE= 3 2 . （ 2 ） 证明： ∵CD=2 （ 2 姨 -1 ）， 同 （ 1 ） 方法可得方程 x 2 - （ 2-x ） 2 = ［ 2 （ 2 姨 -1 ） ］ 2 . 解得 x=4-2 2 姨 ， 即 AE=4-2 2 姨 . ∴EC=2 2 姨 -2. ∴EC= CD=2 2 姨 -2. ∵∠C=90° ， ∴∠CDE=∠B=45°. ∴DE∥AF. 又 ∵EF 是 AD 的垂直平分线， ∴AE=ED ， AF=DF ， EF=EF. 参考答案与提示 第 10 题答图 E O A B C D 211 九年级上册 （北师大版）数学 ∴△AEF≌△DEF. ∴∠EDF=∠EAF=45°. ∴∠FDB=180°-∠CDE-∠EDF=90°. ∴AE∥DF. ∴ 四边形 AEDF 是菱形 . 12. 证明 ： ∵AB=AC ， AD 是 BC 边上的中线 ， ∴AD 垂直平分 BC. ∴EB=EC ， FB=FC. ∵CF∥BE ， ∴∠BED= ∠CFD ， ∠EBD=∠FCD. ∵DB=CD ， ∴△EBD≌△FCD （ AAS ） . ∴BE=FC. ∴EB=BF=FC=EC. ∴ 四边形 EBFC 是菱形 . 13. 证明： （ 1 ） ∵AD=BC ， ∴AD+CD=BC+CD. ∴AC=BD. ∵AE=BF ， CE=DF ， ∴△AEC≌△BFD （ SSS ） . ∴∠A= ∠B. ∴AE∥BF. （ 2 ） ∵△AEC≌△BFD ， ∴∠ECA=∠FDB. ∴EC∥DF. ∵EC=DF ， ∴ 四边形 DECF 是平行四边形 . ∵DF=FC ， ∴ 四边形 DECF 是菱形 . 1 菱形的性质与判定 （第 3 课时） 1. 5 2. 54 cm 3. 3 3 姨 4. D 5. B 6. A 7． （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D. ∵AE⊥BC ， AF⊥CD ， ∴∠AEB= ∠AFD=90°. ∵BE=DF ， ∴△AEB≌△AFD. ∴AB=AD. ∴荀ABCD 是菱形 ． （ 2 ） 解： 如图， 连接 BD 交 AC 于点 O． ∵ 四边形 ABCD 是菱形， AC=6 ， ∴AC⊥BD. AO=OC= 1 2 AC= 1 2 ×6=3. ∵AB= 5 ， AO=3 ， ∴BO= AB 2 -AO 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4. ∴BD=2BO=8. ∴S 荀ABCD = 1 2 AC · BD=24． 8. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠2=∠ACB. 又 ∵∠1=∠2 ， ∴∠1=∠ACB. ∴AB= BC. ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . （ 2 ） 解 ： ∵AD∥BC ， ∴∠AFE=∠EBC. 又 ∵AF=AE ， ∴∠AFE=∠AEF=∠BEC. ∴∠EBC=∠BEC. ∴BC=CE. ∵AC=2OA=AE+CE ， ∴2OA=AF+BC. ∴OA= 1 2 （ AF+BC ） . 又 ∵AB=BC ， ∴AO= 1 2 （ AF+AB ） . 9. （ 1 ） 证明 ： ∵OA＝OC ， OB＝OD ， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 . ∴AB∥CD. ∴∠ABD＝∠CDB. ∵∠BOE= ∠DOF ， OB=OD ， ∴△BOE≌△DOF （ ASA ） . ∴BE＝DF. ∵BE∥DF ， ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形 . ∵EF⊥BD ， ∴ 四 边形 DEBF 是菱形 . （ 2 ） 解： 如图， 过点 F 作 FG⊥AB 于点 G. ∵AD∥EF ， EF⊥ BD ， ∴∠ADB＝∠BOE=90° . ∴ 在 Rt△ABD 中 ， 由勾股定理 ， 得 AD 2 +BD 2 ＝AB 2 . ∵AD+AB＝12 ， BD＝4 3 姨 ， ∴AD 2 + （ 4 3 姨 ） 2 ＝ （ 12-AD ） 2 . 解得 AD＝4 ， AB＝8. ∵ 四边 形 DEBF 是菱形， ∴DE∥BF ， DE=BE=BF=DF. ∵BE∥DF ， AD∥EF ， ∴ 四边形 AEFD 是平行四边形 . ∴DF=AE=BE=BF= 1 2 AB=4. ∴AE=DE=AD＝4. ∴△AED 是等边三角形 . ∴∠AED＝60°. ∵DE∥BF ， ∠ABF＝∠AED＝60° ， ∴△EBF 是等边三角形 . ∵FG⊥BE ， ∴EG＝BG＝2. 在 Rt△BGF 中， BF＝4 ， BG＝2 ， 由勾股定理， 得 FG＝ 4 2 -2 2 姨 =2 3 姨 . 在 Rt△AGF 中， AG＝6 ， 由勾股定理， 得 AF＝ AG 2 +FG 2 姨 ＝ 6 2 + （ 2 3 姨 ） 2 姨 ＝4 3 姨 . 10. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD ， AD∥BC. ∵AE ， CF 分别是 ∠BAD ， ∠BCD 的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE= 1 2 ∠BAD ， ∠BCF＝∠DCF= 1 2 ∠BCD ， ∴∠DAE＝∠BCF. ∵AD∥BC ， ∴∠DAE＝∠AEB. ∴∠BCF＝∠AEB. ∴AE∥FC. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵AE＝AF ， ∴ 四边形 AECF 是 菱形 . （ 2 ） 解 ： 如图 ， 连接 AC ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD∥BC ， ∴ ∠DAE ＝∠AEB. ∵AE 平 分 ∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠DAE. ∴∠BAE ＝∠AEB. ∴AB ＝EB. ∵ ∠ABC＝60° ， ∴△ABE 是等边三角形 . ∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°. ∵△ABE 的面积等于 4 3 姨 ， ∴ 3 姨 4 AB 2 =4 3 姨 . ∴AB＝4. ∴AE＝EB＝AB＝4. 由 （ 1 ） 知， 四边形 AECF 是菱形， ∴AE＝CE＝4. ∴∠EAC＝∠ECA. ∵∠AEB 是 △AEC 的一个外角， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°. ∴∠EAC＝∠ECA＝30°. ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90° ， 即 AC⊥AB. 由勾股定理， 得 AC= BC 2 -AB 2 姨 = （ 4+4 ） 2 -4 2 姨 =4 3 姨 . ∴ 平行线 AB 与 DC 间的距离是 4 3 姨 . 2 矩形的性质与判定 （第 1 课时） 1. 12 ， 6 2. 8 cm 3. 30 4. C 5. D 6. C 7. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AB=DC ， ∠BAD=∠ADC=90° . ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. ∴∠PAB= ∠PDC. ∴△PAB≌△PDC （ SAS ） . ∴ PB=PC. 8. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD ， AB∥DC. ∴BE∥DC. ∵CE∥DB ， ∴ 四边形 BDCE 是平行四边形 . ∴BD=CE. ∴AC=CE. ∴△ACE 是等腰三角形 . 9. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥DC. ∴∠BAC=∠DCA ， ∠AEO=∠CFO. ∵EF 垂直平分 AC ， ∴AO=CO. 第 7 题答图 O E F A B C D 第 9 题答图 E F O A B C D G A F D CEB 第 10 题答图 212