江苏省南通市通州区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2026届南通高三上学期期中 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 6. 已知圆锥的高为，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，已知，平面，，点是棱上的动点，点是平面内的动点，，点为中点，则点到平面距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则（ ） A. 原始数据的分位数为8.6 B. 原始数据的均分等于有效数据的均分 C. 若原始数据的方差为，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为，则 D. 原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 10. 已知正方体的棱长为分别是的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 二面角的正切值的取值范围是 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 的最小值为9 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为第二象限角，若，则__________. 13. 若的展开式中，的系数为-50，则__________. 14. 平面直角坐标系中，圆，直线.若圆上存在3个点到直线的距离为，则__________；若直线上存在两点，圆上存在两点，使得四边形为正方形，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. （1）求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； （2）设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列和数学期望. 16. 已知函数是奇函数，是偶函数，且. （1）求的值； （2）设函数，证明：曲线是轴对称图形. 17. 如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； （3）当线段最短时，求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆的右顶点，上顶点，过点的直线交椭圆于两点. （1）若直线与垂直，求； （2）过点作轴的垂线，分别交和于点，求证：是的中点. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，设函数. （i）求证：； （ii）若恒成立，求实数的值. 2026届南通高三上学期期中 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为 【16题答案】 【答案】（1）1 （2） 首先，则 其次设，则 因为 即. 因此，曲线是对称轴为的轴对称图形. 【17题答案】 【答案】（1） 在矩形中，分别是的中点， 所以和是全等的正方形， 所以. 又因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面， 所以平面. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 设直线，， 联立方程，消去得， 则. 因为直线分别交和于，则. 且直线，可得. 方法一：要证是的中点，只需证明：， 只需证明. 因为 ， 且 ， 所以，得证； 方法二：因为在椭圆上， 则，整理可得， 显然，可得 ①-②得③ 因为共线，且斜率必存在， 则，即 可得④ 将④代入③得，即， 即， 可得 ， 所以是的中点. 【19题答案】 【答案】（1） 当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （i）首先证明：，当且仅当时等号成立. 记， 当时，，当，， 则在上单调递减，在上单调递增； 所以， 即，当且仅当时等号成立. 由， 所以有，当且仅当时等号成立， 所以有， 当且仅当时等号成立. 若，函数. 当时，； 当时，； 综上，. （ii）1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $