专题04双曲线与抛物线（12大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

专题04 双曲线与抛物线 12大高频考点概览 考点01 抛物线的标准方程 考点02 双曲线的标准方程 考点03 双曲线的性质 考点04 双曲线的离心率 考点05 双曲线中的焦点三角形问题 考点06 抛物线方程相关的最值问题 考点07 直线与双曲线相交问题 考点08 直线与抛物线相交问题 考点09 抛物线的焦点弦相关问题 考点10 双曲线、抛物线中的三角形，四边形面积问题 考点11 抛物线中的定值定点问题 考点12 双曲线中的定值定点问题 地 城 考点01 抛物线的标准方程 1．(24-25高二上·河南漯河·期末)抛物线 的焦点到准线的距离为 . 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p. 【详解】由抛物线方程知，，， 所以焦点到准线的距离为2. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题. 2．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ． 【答案】 【分析】作垂直轴于点，根据题意利用抛物线的定义与直角三角形的性质分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线， 作垂直轴于点， 若，则， 不妨设，则， 由勾股定理可知，则， 所以，解得，所以． 故答案为：． 3．(23-24高二上·河南济源·期末)在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是 （填曲线的类型，填方程不给分）. 【答案】直线 【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，即可求解. 【详解】由， 得， 所以等式左边表示点到点的距离， 右边表示点到直线的距离，两距离相等， 而点在直线上， 所以点的轨迹是垂直直线于点的直线. 故答案为：直线. 4．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为拋物线的焦点是，所以， 因为点在抛物线上，所以． 故选：C． 5．(23-24高二上·河南郑州·期末)已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线定义得到方程，求出答案. 【详解】由抛物线定义得，解得. 故选：B 6．(23-24高二上·河南驻马店·)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为标准方程，然后可得. 【详解】将抛物线方程化为标准方程得， 所以，抛物线开口向上，且，故焦点坐标为. 故选：C 7．(23-24高二上·河南开封·期末)已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线方程与准线的关系，可得答案. 【详解】因为，所以，所以抛物线的准线方程为. 故选：A. 8．(22-23高二上·河南驻马店·期末)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先将抛物线方程化为标准方程，然后由标准方程的准线方程即可求解. 【详解】由题意将抛物线方程变形为， 因为抛物线的准线方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 9．(23-24高二上·河南部分名校·期末)曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】首先得抛物线方程，由导数的运算求得曲率表达式，进而得解. 【详解】由题可知抛物线方程为，即，则， 则该抛物线在各点处的曲率，当时，取最大值. 故选：D. 地 城 考点02 双曲线的标准方程 10．(23-24高二上·河南信阳·期末)方程（为常数）表示的曲线可能是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】根据题意取不同的值代入方程，可得方程所表示的曲线的形状，从而可得出答案. 【详解】解析：若，方程表示直线；若，方程表示椭圆； 若，方程表示双曲线；，方程不表示任何曲线； 由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线． 故选：ABC． 11．(24-25高二上·河南驻马店·期末)若圆锥曲线：的焦距是6，则实数的值为（   ） A．40 B．13 C．40或 D．13或 【答案】D 【分析】分焦点在轴、焦点在轴讨论可得答案. 【详解】焦距，所以， 当焦点在轴上时，，， 由得，所以； 当焦点在轴上时，，故不可能为椭圆，只能为双曲线，故， 由得，所以. 故选：D. 12．(23-24高二上·河南南阳·)已知焦点在轴上的双曲线实轴长为4，渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】依题意， 由于双曲线的焦点在轴上， 且渐近线方程为， 所以，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D 13．(24-25高二上·河南南阳·期末)已知分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知有，设，则，结合角平分线的性质、双曲线的定义得到，在中应用余弦定理得到双曲线参数的关系，即可得方程. 【详解】如图，易知， 设，则， 由平分，则， 由双曲线定义知，， 所以，即， 在中，化简得， 由得，到渐近线的距离为，则， 所以，故双曲线的方程为：． 故选：D 14．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由，所以点在以为直径的圆上可得， 联立曲线方程，解出交点坐标关系，代入得，由正整数条件找出解的个数即可. 【详解】由题意，曲线的方程分别为、， 故，且，且，且. 联立方程组解得 由且，得， 又因为，所以点在以为直径的圆上，故， 所以， 解得，所以有序数对可以为： ，共6个． 故选：D． 15．(24-25高二上·河南三门峡·期末)已知两点，，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，再结合双曲线的性质逐项判断即可得解. 【详解】由点，，得， 由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线右支，方程为， 由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线左支，方程为， 直线为“两全其美线”，当且仅当直线与双曲线的两支相交， 对于A，双曲线的渐近线为，直线与双曲线无公共点，A不是； 对于B，直线与双曲线左支无公共点，B不是； 对于C，由，知直线过双曲线的中心， 且在两条渐近线所夹含焦点的区域，直线与双曲线两支相交，C是； 对于D，由，知直线过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含虚轴的区域， 直线与双曲线无公共点，D不是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义，求出点的轨迹是解决问题的关键. 16．(24-25高二上·河南许昌·期末)已知双曲线，圆与轴的交点分别为的一个顶点和一个焦点，设分别为的左，右焦点，若为右支上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出双曲线方程，令，根据双曲线定义可得：，然后利用函数的单调性即可求出结果. 【详解】圆与轴的交点分别为 故，根据双曲线定义得，即, 令，则， 又函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故， 所以 . 故选：C 【点睛】关键点点睛：先根据双曲线定义得出，再换元令，得出所求式子关于参数t的表达式，利用函数的单调性即可求得结果. 17．(24-25高二上·河南商丘·期末)（1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设椭圆方程为，依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设双曲线方程为，将点的坐标代入方程求出即可. 【详解】（1）设椭圆方程为， 依题意，解得，所以椭圆方程为； （2）依题意设双曲线方程为，则，解得， 所以双曲线方程为. 18．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)曲线 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，，即可求的取值范围. （2）当时，曲线为双曲线，设，则，因为，所以，求出点的横坐标. 【详解】（1）曲线表示双曲线，则， 即，解得. （2）当时，曲线为双曲线， 点在曲线上，设，则，所以， 因为， 所以， 解得，故点的横坐标为. 地 城 考点03 双曲线的性质 19．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的实半轴长为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴长、虚半轴长、半焦距，再逐项计算判断即可. 【详解】双曲线：的标准方程为， 则双曲线的实半轴长、虚半轴长， 半焦距， 所以双曲线的离心率，故A正确； 双曲线的虚轴长为，B正确； 双曲线的实半轴长为，故C错误； 双曲线的渐近线方程为，故D错误． 故选：． 20．(23-24高二上·河南开封·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程可设双曲线，代入运算，即可得双曲线方程，进而可得实轴长. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 可设双曲线， 代入可得：， 则双曲线，即， 可知，所以C的实轴长为. 故选：B. 21．(24-25高二上·河南信阳·期末)双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线知识求解即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A 22．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解. 【详解】依题意，设，则，， 由，得，在中，， 整理得，因此， ， 在中，有，整理得， 显然，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：C 【点睛】易错点睛：双曲线 的渐近线方程为 ，而双曲线 的渐近线方程为 （即 ），应注意其区别与联系. 23．(23-24高二上·河南三门峡·期末)已知双曲线的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质即可求解即可求解. 【详解】如图所示，根据对称性，不妨设在左支, 由于 ，且， 所以， 由于关于原点对称，所以,结合可得 ，所以 故渐近线的倾斜角为， 双曲线的渐近线方程为． 故选：B 24．(23-24高二上·河南漯河·期末)若双曲线C：的实轴长与虚轴长相等，则 ． 【答案】1 【分析】根据双曲线知识并结合实轴长与虚轴长相等，从而求解. 【详解】由题可知：， 解之得：或（舍去）． 故答案为：1. 25．(23-24高二上·河南新乡·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 . 【答案】 【分析】根据渐近线方程得到双曲线方程，求出，进而求出焦距. 【详解】由题可知，解得，所以， 故的焦距为. 故答案为： 26．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】. 【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合，可得，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得． 【详解】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支， 由，得，即恒成立， ∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°， ∴其中一条渐近线的斜率， ∴a≥1， 所以实数a的取值范围为． 故答案为：[1，+∞）． 27．(24-25高二上·河南开封·期末)已知A，B为双曲线C的左，右顶点，点M在C上，且是顶角为的等腰三角形，写出C的一条渐近线方程 . 【答案】或 【分析】由题意，求出M的坐标，代入双曲线方程，化简，可求双曲线的渐近线方程. 【详解】令双曲线方程为，，， 因为是顶角为的等腰三角形， 则，故横坐标为，纵坐标为, 故，代入双曲线方程：， 双曲线的渐近线方程为 故答案为：或 28．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知双曲线的离心率为，把上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为 . 【答案】 【分析】根据曲线方程确定曲线的对称轴，结合双曲线性质确定实轴所在直线，进而求顶点坐标，最后求出参数，即可得答案. 【详解】设在曲线上， 也在曲线上且也在曲线上， 曲线的两条对称轴分别为，而与曲线没有交点， 为曲线实轴所在的直线，联立， 则实轴端点为， ，而双曲线旋转前后离心率都为， 因为旋转前后虚轴长度不变， 的虚轴长为4. 故答案为：4 地 城 考点04 双曲线的离心率问题 29．(23-24高二上·河南漯河·期末)双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线（）的渐近线为， 依题意可得，则双曲线的离心率. 故选：B 30．(24-25高二上·河南郑州·期末)已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据渐近线方程求出，从而根据求出离心率. 【详解】化为， 则，因为双曲线 的渐近线方程为 ， 故，故双曲线的离心率为. 故选：D. 31．(23-24高二上·河南济源·期末)抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得，由此求得双曲线的离心率. 【详解】抛物线即的焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为，即， 所以点到直线的距离为，则， 则双曲线的离心率为. 故选：A 32．(24-25高二上·河南洛阳·期末)设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，且，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义结合余弦定理可求离心率. 【详解】 由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，且， 因为，故，故在左支上， 故即，故， 而，故，故， 所以，所以， 所以，即离心率为， 故选：D. 33．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】由题意可得：渐近线方程为，分析，，进而可得，再结合渐近线的结合性质可得，即可得离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则的右焦点到的距离，即， 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为与直线无公共点，则， 所以的离心率． 故选：BC． 34．(23-24高二上·河南开封·期末)已知过双曲线左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先利用斜率和点求出直线的方程，令得B的坐标，利用中点坐标关系求出点A的坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率定义及范围，计算即可求解. 【详解】由题意，，所以直线的方程为， 令得，因为A是的中点，所以， 将点代入得， 结合化简得，所以， 所以或，所以或， 又，所以，所以. 故答案为： 35．(24-25高二上·河南漯河·期末)设双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，过作直线的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据条件可得，从而可得，再结合条件可得，即可求解. 【详解】由，令，得到，所以， 如图所示，， 则，又，所以， 得到，即，整理得到， 所以，解得或（舍），所以， 故答案为：. 36．(24-25高二上·河南许昌·期末)已知双曲线的上焦点为，过作与轴平行的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若 且满足，则双曲线的离心率 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程可得渐近线，可得，，的坐标，由已知向量式可得，，解之可得、的值，可得，的关系，由离心率的定义可得． 【详解】双曲线的渐近线为：，设焦点， 则，，联立得或（舍去）， 即，，， ，，解得，， 又由，得，解得，（负根舍去）． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求出点的坐标，利用向量的坐标运算求得，，代入已知得到关系，即可求解离心率. 37．(24-25高二上·河南信阳·期末)已知分别是双曲线的左、右焦点，如图，过的直线与的左支交于，，若，设双曲线的离心率为，则 ． 【答案】/ 【分析】设，根据双曲线定义表示出，在中，由勾股定理解得，从而各边都可以用表示，在中得到和的关系，从而得到的值. 【详解】 设，因为，所以，， 因为点、在双曲线右支上，根据双曲线定义得，， 因为，所以， 在中，由勾股定理得，即，解得，所以，， 在中，由勾股定理得，即，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：双曲线定义的应用 双曲线上的点均符合双曲线的定义，即，，再根据点在右支得到，，再结合，从而各边均可用来表示. 38．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)已知双曲线 的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于下部分，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，需使渐近线的斜率，利用离心率的定义计算即可求得范围. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为， 因为位于上部分，不位于下部分，而， 故得，则的离心率． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：正确理解渐近线把平面分成4个部分内的点的特征，建立渐近线斜率与对应点和原点所在直线斜率之间的大小关系，即可利用齐次式不等式求得离心率范围. 39．(24-25高二上·河南商丘·期末)已知为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于一条渐近线的直线交的右支于点，若，则的离心率 . 【答案】/ 【分析】利用条件计算、、，根据正弦定理表示，由双曲线定义表示，利用余弦定理得到的关系，即可计算离心率. 【详解】    由得，， 又∵， ∴. 由双曲线渐近线方程为得，，即， 又∵， ∴. 在中，由正弦定理得，， ∴，解得， 由双曲线定义可得，，故， 在中，由余弦定理得，， ∴，故双曲线离心率. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合问题，具体思路如下： （1）利用由求，利用且垂直于一条渐近线求直线的斜率，得到. （2）在中，由正弦定理表示，由双曲线定义表示，利用余弦定理表示得到的关系，即可计算离心率. 40．(23-24高二上·河南三门峡·期末)过双曲线：（，）的左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，这条垂线与另一条渐近线在第一象限内交于点，为坐标原点，若，，成等差数列，则的离心率为 . 【答案】 【分析】先找到渐近线，渐近线，直线的方程.通过联立求交点，利用两点间距离公式得到，，的长，再根据其为等差数列即可求解. 【详解】如图，设（），渐近线：，渐近线：，直线：， 因为点在第一象限，所以，得，原点到直线的距离，即. 将直线与联立方程组可解得，故. 所以. 在中，，整理可得， 所以，整理得，所以离心率. 故答案为： 41．(23-24高二上·河南部分名校·期末)已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据条件得出，在中，根据条件，得到，再根据双曲线的定义得出，即可建立等式，从而求出结果. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 因为，所以， 在中，，所以为等边三角形，所以， 根据双曲线定义可得， 在中，由勾股定理可得，整理得， 所以，解得， 所以的离心率为. 故答案为：. 42．(23-24高二上·河南郑州·期末)松脆辛香的品客薯片蕴藏着数学、物理、哲学的奥秘，它的形状叫双曲抛物面（马鞍面），其标准方程为（，），当时截线方程为：（，），如图从的一个焦点射出的光线，经过，两点反射后，分别经过点和，且反射光线的反向延长线交于的另一个焦点．已知，，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】分别延长交双曲线的左焦点为，根据题意得，且，设，则，，设，则，再根据求出的值，从而可得，，再根据离心率的定义即可求解. 【详解】 如图，分别延长交双曲线的左焦点为， 因为，两边平方得，，所以， 因为，所以， 设，则，， 设，则， 又， 所以，所以， 所以，又，， 所以， 所以， 所以离心率为 ， 故答案为：. 地 城 考点05 双曲线中的焦点三角形问题 43．(23-24高二上·河南南阳·)若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】利用椭圆，双曲线的定义求出，进而可求出，，利用余弦定理求出，进而可得，最后利用面积公式计算即可. 【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点， 则由已知得， 则， ， ， 则， 所以. 故选：A. 44．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得，根据，得的内切圆的半径为，再根据内切圆的性质可得，结合可求得，利用勾股定理可求得点到焦点的距离． 【详解】由题意知，，，所以，，， 又由双曲线的定义可知， 设的内切圆的半径为， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，如下图所示： 由内切圆的性质可得，，， 因为，所以， 即，由， 所以，，因为，， 所以，即点到焦点的距离是． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据双曲线定义及内切圆的性质求出内切圆圆心横坐标与左顶点横坐标相同，再由勾股定理即可求得结论. 45．(22-23高二上·河南驻马店·期末)已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得，结合离心率可得，在中，利用余弦定理可得，进而结合椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，分析求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 又因为，可得， 由直线与轴的交点的坐标为可得， 在中，由余弦定理可得 ， 可得，整理得，解得或（舍去）， 且，所以， 由椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值， 此时， 且，则，所以，即. 故选：A. . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解. 46．(24-25高二上·河南周口·期末)已知点为双曲线上一点，分别为的左，右焦点，，且的面积为2，若双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义得，再用勾股定理得到，结合离心率，即可求出即得. 【详解】不妨设点为双曲线右支上一点，则， 由的面积为2得，.，所以， 因为，则，即， 所以，又，所以，则，解得， 故双曲线的实轴长为. 故答案为：. 47．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：. 地 城 考点06 抛物线方程相关的最值问题 48．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则， 所以，令，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故选：B. 49．(24-25高二上·河南洛阳·期末)过抛物线（）的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分直线的倾斜角为锐角、钝角讨论，分别过作准线的垂线，垂足为，直线交准线于，作，垂足为，结合抛物线定义、图形性质可得答案. 【详解】当的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线（）的焦点为， 准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为， 直线交准线于，作，垂足为， 则，，， 所以，， 所以，则，所以直线的倾斜角；      当直线的倾斜角为钝角时， 如图所示，由抛物线（）的焦点为， 准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为， 直线交准线于，作，垂足为， 则，，， 所以，， 所以，则， 则的倾斜角为.    故选：BC. 50．(24-25高二上·河南焦作·期末)已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，结合抛物线定义圆的性质把的最小值转化为即可得答案. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为， 抛物线的焦点为，准线方程为， 如图，连接，，， 因为是抛物线上的动点，到轴的距离为， 到圆上动点的距离为， 所以， ． 当且仅当三点共线时等号成立，且点在线段上， 所以， 又，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 设与抛物线的交点为，由图可知当点在的位置时，取得最小值， 且的最小值为． 故选：C. 51．(24-25高二上·河南三门峡·期末)设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD 52．(24-25高二上·河南漯河·期末)已知曲线E：，其焦点为F，下列说法中正确的是（   ） A．若P为曲线E上一点，，则 B．若P为曲线E上一点，则P到直线l：的距离最小值为 C．过F的直线l交曲线E于A，B两点，若l的倾斜角为，则 D．过F的直线，分别交曲线E于A，B，C，D四点，若，则的最小值为16 【答案】ABD 【分析】利用抛物线定义，结合几何图形求解判断A；利用点到直线距离公式求出最小值判断B；利用弦长公式求解判断CD. 【详解】抛物线的焦点，准线 对于A，过作准线的垂线，垂足分别为，交抛物线于，连接， 则， 当且仅当重合时取等号，A正确； 对于B，设，P到直线l：的距离， 当且仅当，即点时取等号，B正确； 对于C，直线的方程为，由消去得， 设的横坐标分别为，则，，C错误； 对于D，直线的斜率都存在且不为0，设直线的方程为，， 由消去得，则， ，直线的方程为， 同理，因此， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 53．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值. 由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 54．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义求得，从而得解. 【详解】依题意，，设抛物线的准线为， 分别过点作，为垂足，则，如图， 则， 所以周长 . 故答案为：. 55．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据抛物线定义可得点到直线的距离等于，结合结论两点之间线段最短，垂线段最短求结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由抛物线定义可得点到直线的距离等于， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以点到直线与到直线的距离之和等于， 由两点之间线段最短可得， 过作直线的垂线，垂足为， ， 所以 ， 当且仅当三点共线时等号成立． 故答案为：.    56．(23-24高二上·河南漯河·期末)已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 57．(24-25高二上·河南洛阳·期末)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号. 【详解】设，已知，， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 抛物线的焦点，准线方程为，    则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 又， 所以的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是利用三角形两边之和大于第三边，当三点共线时取等号. 地 城 考点07 直线与双曲线相交问题 58．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则 . 【答案】20 【分析】根据双曲线和圆都关于轴对称，不妨设，，然后将圆的方程和双曲线的方程联立，利用两点间的距离和韦达定理求解. 【详解】解：双曲线和圆都关于轴对称， 不妨设，， 所以. 联立，得， 则， 故 . 故答案为：20 59．(23-24高二上·河南驻马店·)已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可得解； （2）解法一：设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由整理得到，即可表示出，从而求出其最小值； 解法二：设，，联立直线与双曲线方程，即可求出、，即可得到，同理得到，从而得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过， 所以，解得， 故双曲线的方程为. （2）解法一：设，直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，即，即， 即， 即，整理得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于， 设，， 由，即， 联立，解得， 则，同理，其中， 故， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 60．(22-23高二上·河南驻马店·期末)已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解； （2）不妨设，，，由可得，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由条件可得，即， 则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支， 则，可得， 所以曲线的方程为． （2） 由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即， 由于且直线的斜率不等于0， 不妨设，，， 则，， 由可得， 联立方程，消去x得 则，由韦达定理可得， 由，解得， 代入可得， 解得，即， 因此直线，即. 61．(24-25高二上·河南驻马店·期末)已知双曲线：，若与双曲线有相同的渐近线，且的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)设过右焦点的直线与交于，两点，以为直径圆恰好过原点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意设，，再结合四个交点为顶点的四边形的面积为得到，从而得到双曲线的标准方程. （2）首先让直线与双曲线联立，利用根系关系结合向量的数量积公式计算求参. 【详解】（1）设双曲线的方程为，， 因为的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为，， 所以，即双曲线的方程为 （2）由（1）可知双曲线的方程为，右焦点 设直线的方程为，， 联立方程，得， 所以，， 因为直线与双曲线交于，两点，得， 因为以为直径的圆过原点，所以 所以，即， 所以， 整理得，所以直线的方程，即. 地 城 考点08 直线与抛物线相交问题 62．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（   ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程求得，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由，得，易得， 设，则， . 故选：B. 63．(24-25高二上·河南许昌·期末)已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【详解】   如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得，， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：， 解得或， 当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得： ，设交点，则， 而， 当直线斜率不存在时，， 综上，， 由得，此时. 由得，此时. 故选：D. 64．(23-24高二上·河南新乡·期末)已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若F恰好为的中点，则直线的斜率为 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】设直线的方程、，，联立抛物线方程，利用韦达定理表示、，结合弦长公式计算即可判断A；利用中点坐标公式表示出点P、Q坐标，结合平面向量的数量积坐标表示和基本不等式即可判断B；由中点坐标公式可得，进而求得，结合两点表示斜率公式计算即可判断C；根据直线的点斜式方程表示直线PQ方程，即可求出直线恒过的定点，进而判断D. 【详解】A：设直线的方程为，，， 联立方程组得，则，， 所以，同理可得， 所以，故A正确； B：由选项A知，， 因为P分别为的中点，所以，同理可得， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确． C：，若F为的中点，则．因为， 所以．所以，故， 所以，故C错误． D：当直线的斜率存在时，，所以直线的方程为， 整理得，所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，过点， 所以直线过定点．故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 65．(24-25高二上·河南开封·期末)已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 (1)求点M的轨迹方程; (2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设点，再求出斜率，列方程求值. （2）设直线l的方程为：联立，根据垂直得到所以即，整理带入得到答案. 【详解】（1）设，则，，所以，化简得 （2）易知直线l的斜率存在，记为k，设直线l的方程为：，，， 联立得，所以① 因为，所以即，即， 整理可得，将①代入，得，即， 所以 66．(23-24高二上·河南济源·期末)已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解； （2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解. 【详解】（1）由抛物线过点，且， 得 所以抛物线方程为； （2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点， 设，联立 得， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 则， ，即， 解得或， 又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合， 不符合题意，故舍去； 所以实数的值为. 67．(24-25高二上·河南周口·期末)已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取，计算可求得抛物线的焦点坐标； （2）设直线的方程为，求得点，求得直线的方程，进而求得点的坐标，设切线方程为，利用可求得，进而可得结论. 【详解】（1）当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. （2）由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 68．(23-24高二上·河南洛阳·期末)在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得点到点的距离与到直线的距离相等，设，则，化简可得结论； （2）设直线的方程为，设点，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理求解点坐标，证明，，三点纵坐标相等即可． 【详解】（1）由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线， 即，又因为，即点到点的距离与到直线的距离相等， 设，则，化简得， 所以动点的轨迹的方程为． （2）证明：设直线的方程为，设点，， 联立，得，显然， 由韦达定理可得，， 又因为直线的方程为， 将代入，可得，即点， 所以， 因为，则， 所以直线的方程为， 联立，得，则， 故，， 故G，，三点纵坐标相同，即三点共线． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 地 城 考点09 抛物线的焦点弦相关问题 69．(23-24高二上·河南南阳·)已知抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的面积为定值 D．若在轴上，则为直角三角形 【答案】ABD 【分析】利用焦点坐标求出抛物线方程，利用抛物线性质解决焦点弦相关问题. 【详解】由椭圆的方程可知，椭圆的右焦点坐标为，则抛物线焦点为， 所以，抛物线的标准方程为，准线方程为， 抛物线的焦点弦中，通径最短，通径长为，则，A选项正确； 显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，， 联立，得，， 得，，所以，， 则， 因为与垂直，所以直线的斜率为，其方程为， 联立，解得，即， 所以点M到直线AB的距离， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，即选项B正确； 的面积 当且仅当时，等号成立，所以的面积最小值为4，即选项C错误； 若在轴上，则，此时为通径，设，， ，，满足， 则为直角三角形，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 70．(23-24高二上·河南郑州·期末)抛物线：的焦点是，准线与对称轴相交于点，过点的直线与相交于，两点（点在第一象限），，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．若以为圆心，为半径的圆经过点，则是等边三角形 B．两条直线，的斜率之和为定值 C．已知抛物线上的两点，到点的距离之和为8，则线段的中点的纵坐标是4 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的焦半径即可判断A；利用联立方程和韦达定理，结合斜率公式即可求解B；由抛物线的定义结合中点坐标公式判断C；由题意可知外接圆圆心的纵坐标为，结合抛物线的定义分析求解可判断D； 【详解】对于A，由抛物线的定义知，， 因为以为圆心，为半径的圆与相交于和两点，所以， 所以为等边三角形，故A正确； 对于B，设直线的方程是，代入并消去得， 设，，则，. ，，所以 ， 所以两条直线，的斜率之和为定值，故B正确； 对于C，设，则，即， 则线段的中点的纵坐标为，故C错误； 对于D，因为的外接圆与抛物线的准线相切， 所以圆心在抛物线上，且圆心在线段OF的垂直平分线， 可知外接圆圆心的纵坐标为， 所以外接圆半径为，故D正确. 故选：ABD. 71．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，． (1)证明：的纵坐标之积为定值； (2)若，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先判断直线的斜率不为0，可设直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可得的纵坐标之积为定值； （2）若，则，可得，结合韦达定理求出，即可求此时直线的方程． 【详解】（1）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0， 抛物线的焦点为， 设直线， 由消去，得， 所以，即的纵坐标之积为定值． （2）由（1）可知，， 若，则，即， 所以，即， 即解得， 所以直线的方程为即． 72．(24-25高二上·河南商丘·期末)已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． (1)求和的值； (2)为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 【答案】(1)p的值为2，t的值为4． (2)． 【分析】（1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解； （2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可； 法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解； 【详解】（1）由抛物线的定义及，知，解得． 将点的坐标代入抛物线C的方程，得， 又，所以，故p的值为2，t的值为4． （2）法一：设B点的坐标为， 因为，A点的坐标为（4，4），所以， 解得或（舍去）． 所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为． 法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得． 设点A，B的坐标分别为， 联立方程，得， 所以． 因为，所以，解得或． 当时，直线的方程为，经过原点O不合题意； 当时，直线的方程为，满足题意， 故直线的方程为． 73．(24-25高二上·河南郑州·期末)已知抛物线上的点与抛物线焦点的距离为3，点到 轴的距离为 . (1)求抛物线的方程； (2)若点在第一象限，则经过抛物线焦点和点的直线交抛物线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点与抛物线焦点的距离为3、点到 轴的距离为列出方程组可得答案； （2）联立直线的方程、抛物线的准线方程可得点的纵坐标，再由直线的方程和抛物线联立，可得点的纵坐标，再由点和点的纵坐标相等可得答案. 【详解】（1）抛物线的准线方程为：， 由题意可得，整理可得， 所以抛物线为：； （2）由题意可知， 则直线的方程为：①， 抛物线的准线方程是②， 联立① ②可得点的纵坐标为：， 因为焦点的坐标为，故直线的方程为 ③ 把③式和抛物线联立，即，消去得 ， 又因为点的纵坐标为，故可得点的纵坐标为， 点和点的纵坐标相等，于是可得 平行于轴. 地 城 考点10 双曲线、抛物线中的三角形，四边形面积问题 74．(24-25高二上·河南信阳·期末)直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义得出，从而得出方程； （2）设直线的方程，联立方程，由点的横坐标以及韦达定理得出，由弦长公式得出，由距离公式得出点到直线的距离，进而结合平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由，得出，所以抛物线的方程为. （2），设直线的方程为， 联立，得，则. . ，四边形为平行四边形， 由点的横坐标为3，得. , 点到直线的距离， 所以四边形的面积为.    75．(23-24高二上·河南商丘部分学校·期中)已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，． (1)求的方程； (2)过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设直线的方程为，代入抛物线方程，利用弦长公式计算出，再根据点到直线的距离公式计算出点到直线的距离，根据面积公式建立等式计算即可求解. 【详解】（1）由题知，， 由抛物线的定义知，， ，的方程为． （2）由（1）知，设，， 直线的方程为，代入，整理得， 由题易知，，， ， 到直线的距离为， ，解得， 直线的方程为或． 76．(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知圆C：，定点，N为圆C上一动点，线段的中垂线与直线交于点P. (1)证明为定值，并求出点P的轨迹E的方程； (2)若曲线E上存在一点Q，点A，B分别为直线：在第一象限上的点与直线：在第四象限上的点，，，求（O为坐标原点）面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由中垂线得到，再根据双曲线的定义求解即可； （2）利用表示出，，再结合点在双曲线上可得，从而表示出，再根据双勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1）易得圆C：的圆心为，半径为2. 因为在线段的中垂线上，所以， 所以为定值. 又. 由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以C，M为焦点，实轴长为2的双曲线. 设双曲线E的方程为（，），则，又， 所以，所以双曲线E的方程为； （2） 由题意知，为双曲线的渐近线. 根据题意设，，，， 因为，所以，， 所以，. 因为Q点在双曲线上，所以， 所以，所以， 易得，. 易知， 则 ， 即， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 面积的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据向量共线表示出Q点的横纵坐标，利用Q在双曲线上得到，后转化为函数求值域. 77．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍． (1)求与的标准方程； (2)有心圆锥曲线（椭圆，圆，双曲线）有下列结论：若为曲线上的点，过点作的切线，则切线的方程为．利用上述结论，解答问题：过作椭圆的切线（为切点），求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用抛物线与椭圆的定义与性质即可得解； （2）先根据题意得到直线的方程，联立方程求得，进而求得弦长，再利用点线距离公式求得点到直线的距离，从而得解. 【详解】（1）由抛物线定义可知，曲线为抛物线，为抛物线的焦点， 则，所以的方程为； 由，即，又， 所以，故椭圆的标准方程. （2）设， 由上述结论知，过点的椭圆的切线方程分别为 ， 因为在两条切线上，所以， 即， 则点的坐标都满足方程， 故直线的方程为，    联立，得，解得， 所以， 而点到直线的距离， 所以. 地 城 考点11 抛物线中的定值定点问题 78．(23-24高二上·河南郑州·期末)在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知直线过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线定义求出轨迹方程； （2）设的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出，得到结论. 【详解】（1）曲线上的动点到点的距离比到直线的距离小1， 动点到直线的距离与它到点的距离相等． 故所求轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且， ． 点的轨迹的方程为． （2）证明：由题知直线的斜率存在且不为零， 设的方程为， 联立得， ，所以. 设，，   ，． ， ，． 即直线与直线的倾斜角互补． 79．(23-24高二上·河南驻马店·)已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1)和 (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线性质得到点，直曲联立，令判别式得零，解出斜率，得到切线方程； （2）由点斜式设出直线方程，直曲联立，由判别式为零，得到关于的一元二次方程，再由韦达定理得到斜率之积为定值. 【详解】（1） 由抛物线C的方程为，则其准线方程为 由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 此时抛物线C的两条切线方程分别为和. （2） 点P在抛物线C的准线上，设 由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0， 设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根 故. 80．(24-25高二上·河南三门峡·期末)已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4． (1)求抛物线C的方程． (2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)证明过程见解析. 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可. 【详解】（1）该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4， 所以有，所以抛物线C的方程为：； （2）该抛物线的准线方程为， 设直线l的方程为：， 与抛物线方程联立，得， 不妨设，因此， 直线的斜率为：，所以方程为：， 当时，，即，同理， 因为，所以有，而， 所以有，所以直线l的方程为：，因此直线l恒过. 【点睛】关键点睛：把直线l的方程为：，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 81．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知是抛物线的焦点，不过原点的动直线交抛物线于，两点，是线段的中点，点在准线上的射影为，当时，. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由对称性可知，当时，轴，写出此时的坐标，由即可求出，从而求出抛物线方程； （2）设出直线方程，利用韦达定理表示，再由条件即可解出，从而证明直线过定点． 【详解】（1）由对称性可知，当时，轴且过焦点， 不妨设在轴上方，则 此时，， 因为，所以， 解得或（舍去）， 所以抛物线方程为； （2）当直线的斜率为0时，显然不符合题意； 当直线的斜率不为0时， 设直线，、、， 由化简得，， ，，， 所以，所以，， 所以 若，即，解得或（舍去）， 所以直线过定点；    82．(23-24高二上·河南漯河·期末)动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 【答案】(1); (2)证明见解析，. 【分析】（1）利用几何意义转化为坐标运算，即可得抛物线方程； （2）①利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，再假设直线方程，再利用两交点纵坐标之积为定值，得到定点坐标； ②求这两个三角形的面积时，都只需要用到它们的纵坐标，然后都转化到两点的纵坐标上来，再利用韦达定理把面积转化到关于系数的函数上来求解最值即可. 【详解】（1）设动点的坐标为， 由动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小1， 可得：，移项平方得：， 整理得：， 所以动点的轨迹的方程为； （2） ①设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标，则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，由交点坐标则， 而，即，解得， 所以直线为，即直线过定点； ②与面积之和为 ， 当时，即垂直于轴时，面积之和取到最小值. 【点睛】关键点点睛：利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，反之，如果两个交点的纵坐标之积为定值，就这条直线必过轴上的一个定点. 地 城 考点12 双曲线中的定值定点问题 83．(24-25高二上·河南南阳·期末)在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据两点距离、点线距离求曲线E的方程； （2）法一：讨论直线MN斜率存在性，设直线方程并联立双曲线方程，利用韦达定理及求出相关参数，得到直线方程，进而确定直线是否过定点；法二：将视作对称中心，齐次化处理相关方程、设直线方程，联立方程并结合求方程中所含的参数值，进而确定直线是否过定点； 【详解】（1）设，因为P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， 所以，化简得，曲线E的方程为． （2）解法一：设， 当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为， 分别联立，有，可得或（点横坐标，舍），则， 此时直线MN的方程为，过点； 当直线MN斜率存在时，设其方程为， 由，消去y得， 所以， 由根与系数的关系得， 因为，所以，即， 即， 即， 将，代入化简得， 所以或， 当时，直线MN方程为（不合题意，舍）， 当时，直线MN方程为，MN恒过定点， 综上所述，直线MN过定点．    解法二：（齐次化）设不过点A的直线MN的方程为， 将双曲线E的方程变形为：，即， 将直线MN的方程代入得，， 整理得，， 变形得． 由题意，直线AM、AN的斜率存在，且， 设， 则是方程的两个根， 所以，解得， 则直线MN的方程为，整理得， 令，得，所以直线MN恒过定点． 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程，联立双曲线方程并应用韦达定理及求出直线方程中的相关参数为关键. 84．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)已知双曲线过点，离心率为，斜率为k的直线l交双曲线C于A，B两点，且直线的斜率之和为0． (1)求双曲线C的方程； (2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用离心率与双曲线过点得到关于的方程，解之即可得解； （2）假设存在这样的直线，联立直线与椭圆方程得到，从而利用直线的斜率之和为0求得，再由等腰三角形三线合一求得，再检验即可得解. 【详解】（1）根据题意，，即， 所以，则， 因为双曲线过点， 所以，即，解得，则. 所以双曲线的方程为. （2）假设存在直线满足题意，设直线方程为， 联立，得， 由， 设，则， 由，得，即， 整理得，. 有， 整理得，， 当时，直线为，显然过点，不满足题意； 所以，即，直线， 因为是以为顶点的等腰三角形， 设的中点，则，即， 由，得，解得， 此时，故这样的直线不存在.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 85．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标，即可求出点到直线的距离. 【详解】（1）解：由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． （2）解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、，    联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 86．(24-25高二上·河南漯河·期末)如果一条双曲线的实轴和虚轴分别为一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆为“共轴”曲线，且椭圆，（，分别为曲线的离心率）．已知O为坐标原点，点，点P为双曲线右支上不同于顶点的一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段PO到点Q，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)点A，B分别为双曲线的左、右顶点，直线PM交双曲线的左支于点R，直线AP，BR的斜率分别为，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)存在， 【分析】（1）由题意，设双曲线方程为：，利用求出的值，即得双曲线方程； （2）设，由得到，由题意建立方程组，解之即得； （3）设直线的方程为，，，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，计算并化简，利用韦达定理和积互化，即得定值，从而得解. 【详解】（1）由题意，可设双曲线方程为：， 因为，解得， 则双曲线的方程为. （2） 设，因为，所以，， 因为点在椭圆上，则得，① 因为点P为双曲线上任意一点，所以，② 联立①②，解得，由于，所以点P的坐标为或． （3） 由已知得，直线PR的斜率必存在且不为0， 设直线PR的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 因为双曲线的渐近线方程为，直线PM交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，， 可得到关系式：， 所以 ． 综上所述存在实数，使得． 【点睛】关键点点睛：关键在于将直线与圆锥曲线方程联立，写出韦达定理后，要建立两根和与积的数量关系，为下一步处理非对称式时和积互化奠定基础. 87．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.已知点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，按照上述方法构造点. (1)求曲线的方程； (2)证明为等差数列，并求出的通项公式； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）利用抛物线的定义即可得到结果； （2）联立直线方程和抛物线方程，用韦达定理即可证明为等差数列，进而求出的通项公式； （3）对n为奇数或者偶数分情况讨论，利用分组求和，即可求得数列的前项和. 【详解】（1）因为动圆经过定点，且与直线相切， 即动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等. 又点不在直线上，由抛物线的定义可知， 动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动圆圆心的轨迹方程，即曲线的方程为. （2）由题可知，， 可设直线的方程为. 将它与方程联立得， 所以，即， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. 故. （3）由题可知，故， 则. 当为偶数时，令，则 . 当为奇数时，. 故. 试卷第74页，共74页 试卷第73页，共74页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04双曲线与抛物线 ☆12大高频考点概览 考点01抛物线的标准方程 考点02双曲线的标准方程 考点03双曲线的性质 考点04双曲线的离心率 考点05双曲线中的焦点三角形问题 考点06抛物线方程相关的最值问题 考点07直线与双曲线相交问题 考点08直线与抛物线相交问题 考点09抛物线的焦点弦相关问题 考点10双曲线、抛物线中的三角形，四边形面积问题 考点11抛物线中的定值定点问题 考点12双曲线中的定值定点问题 目目 载点01 抛物线的标准方程 1.(24-25高二上河南漯河·期末)抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为 2.(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M是抛物线C的准线与x轴的交点，点 P在抛物线上（点P在第一象限），若an-PFM=-品，则PP=一， 3.(23-24高二上河南济源期末)在平面直角坐标系中，若P(x,y)的坐标x,y满足方程V(x-1)2+y-2)2= 3x+y-1,则点P(xy)的轨迹是 (填曲线的类型，填方程不给分)· 5 4.(24-25高二上河南豫东名校·期末)已知拋物线y2=2px的焦点是P(2,0),点M(3,yo)在抛物线上，则PM 试卷第1页，共15页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =() A.3V3 B.2V2 C.5 D.3 5.(23-24高二上河南郑州期末)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为4，到 y轴的距离为3，则p=() A.1 B.2 C.3 D.6 6.(23-24高二上·河南驻马店)抛物线y=2x2的焦点坐标为（） A.(0,) B.(G0 c.(o,副 D.(G0 7.(23-24高二上·河南开封期末)已知抛物线的标准方程是y2=4x,则它的准线方程是() A.x=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1 8.(22-23高二上·河南驻马店期末)抛物线y=2ax2(a≠0)的准线方程为() A,y=±品 B.y=±8 C.y=-品 D.y=-8 9.(23-24高二上河南部分名校期末)曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线y=f(x),其 If(xo)I 在点(xo,f(xo)处的曲率K= +o,其中f()是f)的导函数，f(c)是f()的导函数已知抛物线2 =2py(p>0)的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为() A.2 B.1 C. D. 栽点02 双曲线的标准方程 10.(23-24高二上河南信阳·期末)方程mx2+(m-1)y2=1(m为常数)表示的曲线可能是() A,直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 11.24-25高二上河南驻马店期末)若圆锥曲线C:器+￥=1的焦距是6，则实数m的值为() A.40 B.13 C.40或-32 D.13或-5 12.(23-24高二上河南南阳)已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为4，渐近线方程为x士2y=0,则双曲线的 标准方程为() A.总-学=1 B.￥-6=1 C.y2-￥=1 D.￥-y2=1 试卷第2页，共15页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2425高二上河南南阳期未)已知F1,52分别是双曲线号-荒=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点0为坐 标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点，点C在x轴上，CB=3F2A,BF2平分LF1BC,F1 到渐近线的距离为6，则双曲线的方程为() A.号-若=1B.号-若=1 c.号-若=1 D.x2-若=1 x2 y2 14.(24-25高二上河南豫东名校期末)设一组曲线Ck16二k一兰。=1，若存在两条曲线CmCm (m,n∈N,m<n),其交点P与F1(-√7,0)，F2(√7,0)满足PF1·PF2=0,则满足条件的所有有序数对(m,n) 的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 15.(24-25高二上·河南三门峡·期末)已知两点M(一4,0)，N(4,0),若直线上存在点P,使|PM川-PN川=6， 同时存在点Q,使|Q一|QM=6,则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是 () A.y= B.x=4 C.y= D.y=2x 16.2425高二上河南许昌期末)已知双曲线E器-带=1(a>0,b>0),圆C:(x-12+y2=9与x轴的交点 分别为E的一个顶点和一个焦点，设P1P2分别为E的左，右焦点，若P为B右支上任意一点，则6的取 值范围为() A.(1, B. (o, c.品) D.[0,1) 17.2425高二上河南商丘期末)(1)求两焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),且过点A(,-》的椭圆的标准 方程： (2)求与双曲线2-号=1共渐近线，且过点(1,2√2的双曲线的标准方程 18.2425高二上河南驻马店环际大联考“逐梦计划)曲线C2一若m=1 (1)若曲线C表示双曲线，求的取值范围； (②)当m=1时，点P在曲线C上，F1(-2,0),F2(2,0),PF11PF2,求点P的横坐标 裁点03 双曲线的性质 试卷第3页，共15页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(23-24高二上河南洛阳期末)已知双曲线C:9x2-16y2=144,则() A,双曲线G的离心率为 B,双曲线C的虚轴长为6 C.双曲线C的实半轴长为8 D.双曲线C的渐近线方程为y=士 20.23-24高二上河南开封期末)已知双曲线c:器-兰=1〔a>0,b>0)的一条南近线方程为2x-y=0,且 经过点A(3,2),则C的实轴长为() A.22 B.4V2 C.2W7 D.47 21.(Q425高二上河南信阳期未)双曲线号-片=1的渐近线方程为(） A,y=±V2xB.y=±2x C.x=±2y D.x=±V2y 22.(23-24高二上河南信阳固始县期末)如图，已知F,F2分别是双曲线C号-后=1(a>0,b>0)的左、 右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左支交于点A,B,若AF1·AF2=0,BF1=F1A,则双曲线C的海近 线方程为() A.y=±5x B.y=x C.y= D.y= 23.(23-24高二上河南三门陕期末)已知双曲线C:器-芳=1〔a>0,b>0)的左焦点为F,M为C的渐近 线上一点，M关于原点的对称点为N,若LMF1N=90°，且IF1N=V31F1M,则C的渐近线方程为(） A.y=±x B.y=±3x C.y= D.y=±V6x 24.(23-24高二上河南漯河期末)若双曲线C:示千十02=1的实轴长与虚轴长相等，则m=一 25.(23-24高二上河南新乡期末)已知双曲线c号-兴=1的一条渐近线方程为3x-22y=0,则C的焦距 为 26.(23-24高二上河南洛阳期末)已知P,(x,),P2(x2,y2)两点均在双曲线T:爱-y2=1(>0) 的右支上，若x1x2>y1y2恒成立，则实数a的取值范围为一 试卷第4页，共15页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 27.(24-25高二上河南开封期末)己知A,B为双曲线C的左，右顶点，点M在C上，且△ABM是顶角为 120的等腰三角形，写出C的一条渐近线方程 28.(2425高二上河南驻马店环际大联考“逐梦计划”)已知双曲线C爱-荒=1(Q>0,b>0)的离心率为V3, 把C上所有点绕原点逆时针旋转0角所得曲线的方程为x2+y2+6xy=8,则C的虚轴长为 载点04 双曲线的离心率问题 29.(23-24高=上河南漯河期未)双曲线紧-荒=1(a>0b>0)的一条渐近线为y=x,则其离心率为 () A.9 B.9 C.9或5 D.或V6 30.(2425高二上河南郑州期末)已知双曲线需+号=1(m>0,m<0)的海近线方程为y=±2x,则该 双曲线的离心率为（) A.9 B.6 C.3 D.√5 31.(23-24高二上河南济源期未抛物线x=2的焦点到双曲线号-盖=1(a>0,b>0)的海近线的距离是9， 则该双曲线的离心率为() A.√2 B.3 C.2 D.9 32.(2425高二上河南洛阳期末)设双曲线C:三-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为P1,F2, 过坐标原点的直线与C交于A,B两点，且31F1B1=2F1A,F2A·FzB=8Q2,则C的离心率为() A,√7 B.V11 C.√15 D.V17 3.(23-24高二上河南商丘中州联盟期末)已知双曲线C器-带=1(Q>0,b>0)与直线y=3x无公共点，过 C的右焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M,O为坐标原点，若sinzMOF>sinMFO,则C的离心率可以 是() A.2 B.2 C.3 D.4 34.(23-24高二上河南开封期末)已知过双曲线C爱-荒=1〔a>0,b>0)左焦点F1且倾斜角为60的直线与 C交于点A,与y轴交于点B,且A是BF的中点，则C的离心率为 试卷第5页，共15页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 35.Q425高二上河南漯河期末)设双曲线器-茶=1(a>0,b>0)的右焦点为P,左、右顶点分别为A1, A2,过F作直线A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点，若A2B1A1C,则该双曲线的离心率为一 36.（2425高二上河南许昌期末)已知双曲线c器-盖=1(a>0,b>0)的上焦点为P,过F作与x轴平行的直 线交两渐近线于A,B两点，且与双曲线在第一象限的交点为M,设0为坐标原点，若OM=1OA+OB,λ，！∈R 且满足2+2=号则双曲线C的离心率e=一· 37.(Q425高二上河南信阳期末)已知F1,P2分别是双曲线C器-器=1(a>0,b>0)的左、右焦点，如图， 过F1的直线与C的左支交于A,B,若AF1·AF2=0,BF1=3F1A,设双曲线的离心率为，则e2 38.(2425高二上河南豫东名校期末)已知双曲线C答-发=1(Q>0,b>0)的两条海近线将双曲线所在平 面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若A(1,2)位于上部分，B(-1,-1)不位于下部分， 则C的离心率的取值范围为一， 39.(2425高二上河南商丘期末)已知F1P2为双曲线C器-器=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1且垂 直于一条渐近线的直线交C的右支于点B,若itanzP1BF2=,则C的离心率e= 40.(23-24高二上河南三门陕期末)过双曲线C:器-荒=1(Q>0,b>0)的左焦点F作C的一条海近线的 垂线，垂足为P,这条垂线与另一条渐近线在第一象限内交于点A,O为坐标原点，若|OP叫，IPA,OA成等 差数列，则C的离心率为一· 41.23-24高二上河南部分名校期末)已知F1,F2是双曲线C器-兰=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为C上一 点，且∠P0OF2=(0为坐标原点)，PF11PF2,则C的离心率为 42.(23-24高二上·河南郑州·期末)松脆辛香的品客薯片蕴藏着数学、物理、哲学的奥秘，它的形状叫双曲 抛物面（马鞍面，其标准方程为号-芳=22(a,b>0,当z=时截线方程为C:器-器=1(a,b>0, 试卷第6页，共15页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图从C的一个焦点F射出的光线，经过P,Q两点反射后，分别经过点M和N,且反射光线的反向延长线交 于C的另一个焦点.已知PM+P网=PM-P,cosPQN=-器则C的离心率为 目目 裁点05 双曲线中的焦点三角形问题 43.23-24高二上河南南阳)若椭圆爱号+若=1和双曲线号-片=1的共同焦点为P1,P2,P是两曲线的一个 交点，则△PF1F2的面积值为() A.4 B.8 C.12 D.16 4.(23-24高二上河南洛阳期末)已知P为双曲线号-号=1左支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦 点，N为△PF1F2的内心.若S△PNF2=SAPNE+2V3,则点N到焦点F1的距离是() A.1 B.2 c.3 D.5 45.Q2,23高=上河南驻马店期末已知特圆C:荒+芳=1(a1>61>0)与双曲线c2看-黄=1 (@2>0,b2>0)具有相同的左、右焦点F1,F2,点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C1上，若记曲 线C1,C2的离心率分别为e1,e2,满足e1e2=1,且直线PF1与y轴的交点的坐标为(0,3)，则F1QF2的 最大值为() A.罗 B.8 C. D. 46.(Q425高二上河南周口期末)已知点P为双曲线C塔-荒=1(a>0,b>0)上一点，P1,P2分别为C的左， 右焦点，∠F1PF2=90°，且△PF1F2的面积为2，若双曲线C的离心率为V2,则双曲线C的实轴长为 47.(2425高二上河南驻马店环际大联考逐梦计划)已知P1,P2分别是双曲线C器-器=1(a>0b>0)的 左、右焦点，P为C上一点，PF11PF2,且△F1PF2的面积等于8，则b=() A.2 B.2 C.2W2 D.4 试卷第7页，共15页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 载点06 抛物线方程相关的最值问题 48.(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划°)抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于 A,B两点，则AFI+4BFI的最小值为() A.5 B.9 C.8 D.10 49.(24-25高二上·河南洛阳·期末)过抛物线y2=2px（p>0)的焦点F作直线L,交抛物线于A,B两点，若|FA川 =3FB引，则直线的倾斜角可能为() A.30° B.60 C.120 D.150 50.(24-25高二上·河南焦作期末)已知P是抛物线y2=4x上一动点，若点P到y轴的距离为d1,到圆C:(x+2)2 +(y-2)2=1上的动点Q的距离为d2,则d1+d2的最小值为() A,V13-1 B.2W5-1 C.V13-2 D.2W5-2 51.(24-25高二上·河南三门峡期末)设拋物线Cy2=4x的焦点为F,M为C上一动点，E(3,1)为定点，则下 列结论正确的是() A.准线的方程是x=一2 B,IME+IMFI的最小值为4 C.IME-IMFI的最大值为5 D.以线段MF为直径的圆与y轴相切 52.(24-25高二上·河南漯河·期末)已知曲线E:y2=4x,其焦点为F,下列说法中正确的是() A.若P为曲线E上一点，N(5,3),则PN|+IPFI≥6 B.若P为曲线E上一点，则P到直线1：x+2y+9=0的距离最小值为√⑤ C.过F的直线1交曲线E于A,B两点，若1的倾斜角为，则AB=6 D.过F的直线1,2分别交曲线E于A,B,C,D四点，若l1⊥l2,则AB+ICD川的最小值为16 53.(24-25高二上河南新乡·期末)已知抛物线C:y2=4x的准线为l,直线'：V3x+y+5V3=0,动点M在C上 运动，记点M到直线l与的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最小值为() A.23 B.3V3 C.4v3 D.6V3 54.(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)已知点A(5,3),抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上的点，则 △APF周长的最小值为 55,(23-24高二上河南商丘中州联盟期末)己知点P是抛物线C:y2=8x上任意一点，则点P到直线 试卷第8页，共15页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2x一y+2=0与到直线x=-2的距离之和的最小值是 56.(23-24高二上·河南漯河期末)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1、F2,M是它们的一个交点，且cos∠F1 MP2=子，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的最小值为 57.(24-25高二上·河南洛阳·期末)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内 到两个定点A,B的距离之比为定值入（入>0，且入≠1）的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字 命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系x0y中，A(-2,1),B(-2,一2)，点P是满足 入=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ;若点Q为抛物线E:y2=8x上的动点，Q在轴y 上的射影为H,则PA+|PQI+|QH的最小值为 目目 载点07 直线与双曲线相交问题 58.(24-25高二上河南新乡.期末)已知0为坐标原点，双曲线M:x2-y2=a2与圆N:(x-m)2+y2=5相交于 A,B,C,D四个点，则0A2+|OB2+|OC12+|ODI2= 59.23-24高=上河南驻马店)已知双曲线G器-景=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=V2x,0为坐 标原点，点P(V3,2)在双曲线C上。 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与双曲线C交于M,N两点，且OM.O=0,求1MNI的最小值. 60.(22-23高二上河南驻马店期末)己知圆C1(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1,动圆M与圆C1,C2 均外切，记圆心M的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程： (2)直线过点C2,且与曲线C交于A,B两点，满足AC2=3C2B,求直线的方程， 61.(2425高二上河南驻马店期末)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0),若C与双曲线x2-号=1有相同 的渐近线，且C的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为16√3， (1)求C的方程； (②)设过C右焦点F的直线与C交于A,B两点，以AB为直径圆恰好过原点，求直线的方程 试卷第9页，共15页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 裁点08 直线与抛物线相交问题 62.(23-24高二上河南信阳固始县期末)直线y=kx+2与抛物线x2=4y交于A,B两点，则0A·0B(0为 抛物线顶点)的值为() A.-6 B.-4 C.4 D.12 63.(24-25高二上·河南许昌期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于点M,直线过F且与C交 于A,B两点，若直线AM的斜率为，则AB|=（) A.5 B. c.￥ D.9 64.(23-24高二上河南新乡，期末)已知抛物线Ey2=4x的焦点为F,过点F作互相垂直的两条直线与抛物 线E分别交于点A,B,C,D,P,Q分别为AB,CD的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是() A高+动= B.0p.00≥5 C.若F怡好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±号 D.直线PQ过定点(3,0) 65.(24-25高二上·河南开封期末)已知A,B两点的坐标分别是（一1,0），(1,0)，直线AM,BM相交于 点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2. (I)求点M的轨迹方程： 2)若经过点F(0,的直线1与点M的轨迹相交于C,D两点，OC1OD,O为坐标原点，求线段CD的长 66.(23-24高二上河南济源期末)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,y0)为抛物线上一点，且 AF=4. (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线l:y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若0P⊥OQ,求m的值 67.(24-25高二上河南周口期末)已知抛物线Cy2=2px(p>0),过点A(2p,0)的直线与C交于P,Q两点，设0 为坐标原点，当PQ1x轴时，△P0Q的周长为6(1+V2 (1)求抛物线C的焦点坐标： (2)若点M为抛物线C上异于原点O的一动点，且直线OM与直线PQ的交点D恒在定直线x=-3上.证明过点M 与抛物线C相切的直线平行于直线PQ 68.(23-24高二上河南洛阳期末)在平面直角坐标系x0y中，己知点F(2,0),直线：x=-2,点P在直线l上 试卷第10页，共15页