专题01直线的方程专题（9大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

专题01 直线方程 9大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角、斜率问题 考点02 直线垂直、平行求参数问题 考点03 根据直线平行、垂直求直线方程 考点04 直线过定点问题 考点05 直线两点式、截距式方程 考点06 直线的点斜式、斜截式方程 考点07 点点距、点线距、线线距问题 考点08 直线相关的对称性问题 考点07 直线与其他曲线的综合问题 地 城 考点01 直线的倾斜角、斜率问题 1．(22-23高二上·河南驻马店·期末)直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】利用倾斜角的定义分析运算即可得解. 【详解】解：直线即为轴，轴和轴垂直， 又知倾斜角的范围是， ∴由定义可知直线倾斜角为. 故选：B. 2．(24-25高二上·河南三门峡·期末)经过两点的直线的斜率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由斜率计算公式即可求解； 【详解】由， 可得， 故选：C 3．(24-25高二上·河南许昌·期末)若直线过点和，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点斜率公式即可求解. 【详解】因为直线过点和，所以斜率为，设直线的倾斜角为，则有， 故选：C. 4．(23-24高二上·河南驻马店·)已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式求出，再根据斜率与倾斜角的关系判断即可. 【详解】因为，，所以， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：D 5．(23-24高二上·河南洛阳·期末)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设倾斜角为，由题意可得，即可求出． 【详解】直线的斜率为，设直线倾斜角为， 则，，． 故选：C． 6．(24-25高二上·河南开封·期末)已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用两点式求斜率，结合方向向量与斜率关系列方程求斜率，进而确定倾斜角的大小. 【详解】由题意，，解得，则， 设倾斜角为，则，解得或. 故选：BC 地 城 考点02 直线垂直、平行求参数问题 7．(24-25高二上·河南漯河·期末)已知直线：，：，若，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系列式计算得解. 【详解】由，得，解得， 所以. 故选：B 8．(24-25高二上·河南焦作·期末)已知直线与互相垂直，则（   ） A．-2或0 B．-1 C．0 D．-2 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【详解】由题可得，解得或（舍去）. 故选：D. 9．(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知直线：，：，若，则实数（   ） A．或1 B．1 C． D．或 【答案】C 【分析】根据直线平行的充要条件列式计算，即得答案. 【详解】由题意知直线：，：，， 故，解得， 故选：C 10．(23-24高二上·河南郑州·期末)若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线无交点，利用平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于无解，则表示两直线无交点， 故两直线是平行关系，因此，解得，经检验满足题意， 故选：C 11．(23-24高二上·河南驻马店·)已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 12．(24-25高二上·河南信阳·期末)“”是“直线与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分析可得两直线垂直恒成立，结合充分条件与必要条件的定义可确定选项. 【详解】∵对于任意，恒成立， ∴直线与垂直恒成立， ∴“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 13．(24-25高二上·河南开封·期末)设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行的公式计算可得或 ，进而可判断充分与必要条件. 【详解】直线与直线平行则， 即，可得或 ， 故“ ”是“直线与直线平行”的充分不必要条件， 故选：A 14．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据直线一般方程垂直系数关系求参，再结合充分必要条件定义判断即可. 【详解】因为“直线与直线互相垂直”可得, 所以，故或. 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 地 城 考点03 根据直线平行、垂直求直线方程 15．(22-23高二上·河南驻马店·期末)已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由直线的垂直关系结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解. 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为， 所以由题意可知，， 所以， 因为所求直线过点， 所以由直线的点斜式方程可知直线的方程为：， 化简并整理得或. 故答案为：或. 16．(24-25高二上·河南开封·期末)中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式得，根据两直线垂直斜率之积等于可得，然后利用点斜式即可得 【详解】由题意，得D是AB的中点，则，且， 又，则， 则直线CD的方程为，即 故选：B 17．(24-25高二上·河南周口·期末)已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，代入点的坐标可求直线方程. 【详解】由题意设直线的方程为，将点代入，得，所以直线的方程为. 故选：D. 18．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数. 【详解】设与直线平行的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是． 故选:A 19．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂直直线的斜率关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】由题意，直线与直线垂直，故直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 20．(24-25高二上·河南南阳·期末)直线l经过两直线和的交点． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l与圆相切，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求已知直线的交点，根据直线的垂直关系求直线方程即可； （2）讨论直线l的斜率存在性，结合直线与圆相切的性质列方程求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）由，得，所以交点坐标为； 又直线l与直线垂直，设直线l的方程为， 将代入得，所以直线l的方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时圆心到直线l的距离为3，等于圆的半径，故直线l与圆相切，满足题意； 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即， 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离，解得， 此时直线l的方程为， 综上所述，直线l的方程为或． 21．(24-25高二上·河南三门峡·期末)已知直线和的交点为，求： (1)过点且与直线垂直的直线的方程； (2)以点为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程求得交点，根据直线垂直设出方程，代入交点坐标，可得答案； （2）求得圆心到直线的距离，利用弦长公式建立方程，可得答案. 【详解】（1）联立方程可得，解得，则， 与直线的直线可设为， 将代入上式可得，解得， 所以直线的方程为. （2）点到直线的距离， 设圆的半径为，由圆与直线相交所得弦长为， 则，即，解得， 所以圆的方程为. 地 城 考点04 直线过定点问题 22．(23-24高二上·河南三门峡·期末)已知直线，其中，则（    ） A．直线过定点 B．当时，直线与直线垂直 C．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D．若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 【答案】ABD 【分析】根据直线方程确定定点判断A；由并确定斜率，根据垂直判定判断B；求出坐标轴上的截距判断C；利用平行线距离公式求距离判断D. 【详解】由直线方程，若，即直线过定点，A对； 时，斜率为1，而斜率为，显然斜率乘积为， 所以直线与直线垂直，B对； 时，，令则，令则，显然截距不相等，C错； 若直线与直线平行，即，则两条平行直线之间的距离，D对. 故选：ABD 23．(23-24高二上·河南济源·期末)已知直线：，其中，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】由直线的点斜式方程可判定A；由两直线平行，斜率相等可判定B；对于C、D，分别求出直线即可判断. 【详解】由已知，直线：， 则直线过定点，A正确； 若直线与直线平行，则， 得，或，B错误； 当时，直线：，则， 所以倾斜角为，C正确； 当时，直线：，其在轴上的截距分别为， 不相等，D错误. 故选：AC. 24．(24-25高二上·河南商丘·期末)已知直线：，：，点在上，点在上，则（    ） A．的最小值为 B．原点到的距离的最大值为 C．的充要条件为 D．的充要条件为或 【答案】BCD 【分析】利用直线过定点的求法判断B，利用直线一般方程下垂直与平行的条件判断CD，利用直线可能相交直接排除A，从而得解. 【详解】对于B，：可化为， 令，得，则过定点， 当垂直于定点与原点的连线时，原点到的距离最大， 最大距离为，故B正确； 对于C，的充要条件为，即，故C正确； 对于D，的充要条件为且，即或，故D正确. 对于A，因为直线：，：不一定平行， 当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误； 故选：BCD. 地 城 考点05 直线两点式、截距式方程 25．(24-25高二上·河南三门峡·期末)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】利用分类讨论思想，分截距为与不为两种情况，设出直线方程，代入点求得参数，可得答案. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 26．(23-24高二上·河南漯河·期末)直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【详解】直线的方程化为截距式方程为，因此，直线在轴上的截距为. 故选：C. 27．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C．1012 D．2024 【答案】B 【分析】利用截距的定义，结合直线方程即可得解. 【详解】因为，令，得， 所以直线在y轴上的截距为. 故选：B. 28．(24-25高二上·河南驻马店·期末)直线：在轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意结合截距的概念运算即可得解. 【详解】令，代入，得， 故选：B 地 城 考点06 直线的点斜式、斜截式方程 29．(23-24高二上·河南郑州·期末)过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B 30．(23-24高二上·河南开封·期末)已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意求得直线方程再逐个检验点是否在直线上即可得出结论. 【详解】由题意可知，直线l的方程可表示为， 即； 经检验可得点，，在直线l上，不在直线l上. 故选：ACD 31．(23-24高二上·河南济源·期末)过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程； 【详解】解：因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，又函数过点，所以直线方程为，即； 故选：B 32．(23-24高二上·河南郑州·期末)已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (1)求边上的高所在直线方程； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点的坐标，利用垂直关系得到高所在直线的斜率，得到高所在直线方程； （2）联立两直线得到点的坐标，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由题意可知，为的中点， ，， ． 又， ． 所在直线方程为，即． （2）由，解得，所以． 又直线方程为，即． 点到直线的距离． 33．(23-24高二上·河南南阳·)在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线垂直；②一个方向向量为； 问题：已知直线过点，且______. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求弦的长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）若选①根据垂直关系得到所求直线的斜率，利用点斜式求解；若选②根据方向向量直接求所求直线的斜率，然后利用点斜式求解直线方程. （2）利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离然后根据公式求弦长. 【详解】（1）（1）若选①，因为直线的斜率为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 依题意，直线的方程为，即； 若选②，因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 直线的方程为，即. （2）（2）由（1）可得：直线的方程为. 圆的圆心到直线的距离为：. 又圆的半径为， 所以. 地 城 考点07 点点距、点线距、线线距问题 34．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 【答案】ABC 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 35．(24-25高二上·河南周口·期末)若直线与平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用两直线平行确定的值，再由两平行直线的距离公式计算即得. 【详解】直线即，因，可得， 则直线与之间的距离为. 故选：A. 36．(23-24高二上·河南南阳·)点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 37．(22-23高二上·河南驻马店·期末)点到直线距离的最大值为（    ） A．5 B． C． D．3 【答案】A 【分析】首先确定直线所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值. 【详解】直线：，    令，，得直线过定点 ， 所以直线表示过定点的直线，如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A 地 城 考点08 直线相关的对称性问题 38．(24-25高二上·河南郑州·期末)一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程 . 【答案】 【分析】根据入射光线与反射光线所在直线的斜率关系，即可求反射光线所在直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】由条可知入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数， 入射光线的斜率，所以反射光线所在直线的斜率为，且过点， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故答案为： 39．(24-25高二上·河南南阳·期末)唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，再求出到圆上的点的距离最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 的中点为， 故，解得，即， 依题意即为点到军营最短的距离， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 地 城 考点09 直线与其他曲线的综合问题 40．(24-25高二上·河南驻马店·期末)已知曲线：，直线：，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．存在实数，使得直线与曲线没有公共点 C．若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 D．若直线与曲线交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】用代替，方程不变，可判断；时，曲线：，时，曲线：，画出曲线的图象，结合图象可判断，联立直线与曲线的方程，利用韦达定理及面积公式，解不等式继而可判断. 【详解】对于A：若满足曲线：时， 点也满足曲线的方程，故曲线关于轴对称，故A正确； 对于B：时，曲线：， 时，曲线：，图象如图所示； 直线：过定点， 由图可知，对任意，直线与曲线恒有公共点，故B错误；    对于C：当时，直线与双曲线的渐近线平行， 结合图象可知，直线与曲线有且只有一个公共点时， ，故C正确； 对于D：由图可知，直线与曲线的交点在双曲线 上， 代入，得， 结合图象可知，当时，直线与曲线有两个公共点， 设两个交点，， 所以，且， ，， 所以， 所以， 即，解得， 所以，或， 所以，故正确； 故选：ACD.    【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形面积的处理方法： （1）（其中为弦长，为顶点到直线的距离）； （2）拆分法：为了方便找底边，可以将三角形沿着轴，轴，拆分成两个三角形. 41．(23-24高二上·河南漯河·期末)已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 【答案】AD 【分析】根据题意，对y分类讨论，画出图形，对于A,找出最大值，运用两点间距离求解；对于B,对m分类讨论，解方程可解；对于C,作出临界状态的切线，求出切线方程即可；对于D,找出封闭图形，借助扇形和三角形面积公式计算. 【详解】曲线.当 ， 当 . 曲线可以看作是以点和为圆心，半径为的两段优弧组成，构成“8”字形， 不含圆的虚线部分，如图., 对于A,曲线上两点间的最大距离为,故A正确. 对于B,因为点在曲线上，将点代入曲线方程. 当时，，解得或. 当时，，展开解得.此时无解. 所以或，选项B错误. 对于C,直线与曲线有公共点,则如图在切线a，b之间即可. 当直线与上圆切时，则，解得，则. 同理，可得当直线与下圆切时，求得，则. 则，选项C错误. 对于D,在，则，则, 则扇形的面积为. 直角三角形的面积为. 则弓形面积为. 圆的面积为：. 曲线C所围成的封闭图形的面积为两个圆的面积减去两个弓形面积即可. 即为.选项D正确. 故选：AD. 42．(24-25高二上·河南洛阳·期末)过抛物线（）的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分直线的倾斜角为锐角、钝角讨论，分别过作准线的垂线，垂足为，直线交准线于，作，垂足为，结合抛物线定义、图形性质可得答案. 【详解】当的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线（）的焦点为， 准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为， 直线交准线于，作，垂足为， 则，，， 所以，， 所以，则，所以直线的倾斜角；      当直线的倾斜角为钝角时， 如图所示，由抛物线（）的焦点为， 准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为， 直线交准线于，作，垂足为， 则，，， 所以，， 所以，则， 则的倾斜角为.    故选：BC. 43．(23-24高二上·河南开封·期末)已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线过定点，且点在圆内，根据圆的性质结合垂径定理求弦长的最小值. 【详解】因为直线，即， 可知直线过定点， 又因为圆的圆心，半径， 且， 即点在圆内，可知直线与圆相交， 由圆的性质可知：当且仅当时，取到最小值. 故答案为：. 试卷第22页，共22页 试卷第19页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $null