专题07等差数列与等比数列（11大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

专题07 等差数列与等比数列 11大高频考点概览 考点01 等差数列通项公式 考点02 等比数列通项公式 考点03 等差数列基本量计算 考点04等比数列基本量计算 考点05 等差、等比数列性质 考点06 等差数列前n项和最值 考点07 等差数列的判定 考点08 等比数列的判定 考点09 等差数列前n项和公式 考点10 等比数列前n项和公式 考点11 等差、等比数列模型应用 地 城 考点01 等差数列通项公式 1．(23-24高二上·河南济源·期末)等差数列，0，，…的第20项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出等差数列通项公式，即可求解. 【详解】由题意，， 所以， 则. 故选：C. 2．(23-24高二上·河南部分名校·期末)已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．是等差数列 D．是递增数列 【答案】AC 【分析】由即可判断A；由的关系即可判断B；从第2项开始为等差数列，由此即可判断C；由可判断D. 【详解】，故A正确； 当时，， 当时，，不适合上式，故B错误； 从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC. 3．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为的等比数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求； 运用数列的分组求和与等差数列、等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，， 可得，， 解得，， 则； 数列是公比为的等比数列，且， 可得， 即有； （2）由（1）知， 4．(23-24高二上·河南郑州·期末)设等差数列的前项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的首项为，且对任意的都有，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，则由题意列出方程组，解方程可求出，再由等差数列的通项公式即可得出答案； （2）先求出，再由分组求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则由题意得解得 数列的通项公式为． （2）由题意得，数列为等比数列，公比为， 所以的通项公式为． ． 当为偶数时，； 当为奇数时，． 综上所述，． 5．(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的首项为，公差为d，根据条件建立方程组，解出，即可求解； （2）由（1）可得，利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）设的首项为，公差为d， 由题可得， 解得，，所以. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 6．(24-25高二上·河南开封·期末)已知是等差数列，且， (1)求的通项公式; (2)设数列，若，求满足条件的最大整数 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用等差数列的性质求出，求出公差，即可求得答案； （2）由（1）的结果可求出的表达式，利用裂项求和法求出，解不等式即得答案. 【详解】（1）是等差数列，设公差为d，由得，， 由得，，， 所以 （2）， 则， 由，解得，，即， 所以满足条件的最大整数n为 7．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)记为等差数列的前项和，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列公差，依题列出方程组，求得，代入通项公式即得； （2）由（1）结论求得，再求，判断是等差数列，利用等差数列的前项和公式求解即得. 【详解】（1）设的公差为，由，，得, 解得.故的通项公式为. （2）由，，得， 所以， 由可得数列是等差数列， 因首项为1，公差为1 ，故. 8．(23-24高二上·河南新乡·期末)设等差数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求正整数的最大值. 【答案】(1); (2)15. 【分析】（1）运用等差数列通项公式及前项和公式计算即可； （2）表示出数列，利用裂项相消法计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意得， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以， 所以. 令，解得， 即正整数的最大值为15. 地 城 考点02 等比数列通项公式 9．(24-25高二上·河南开封·期末)已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 【答案】D 【分析】根据条件构造等比数列，逐个求解即可判断各项. 【详解】， ， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，即， 对于A、令，解得2，故A错误； 对于B、令，解得2，故B错误； 对于C、令，解得2，故C错误； 对于D、令，解得2，是第10项，故D正确 故选： 10．(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知等比数列和等差数列满足：，，，，的前n项和为. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设的公比为q（），等差数列的公差为d，根据条件建立方程组，解出，即可求解； （2）由（1）中结果，可得，利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）等比数列满足，所以为递增数列， 设的公比为q（），等差数列的公差为d， 又，，，所以， 解得或（舍去） 所以，. （2）因为，所以， 故， . 11．(24-25高二上·河南周口·期末)设为正项等比数列的前项和，已知，. (1)求数列的公比； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，即可解出的值； （2）求出的值，代入等比数列的通项公式可求得数列的通项公式； （3）利用等比数列的求和公式可求得的表达式. 【详解】（1）因为数列是正项等比数列，则， 由题意得，， 整理得，即， 解得或（舍去）. （2）因为，所以， 故. （3）. 12．(23-24高二上·河南濮阳·期末)记等比数列的前项和为，已知，且，写出满足条件的一个的通项公式： . 【答案】（或者） 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解首项和公比，即可求解. 【详解】由可知公比不为1，所以， 当时，，所以 当时，，所以， 故答案为：（或者） 13．(24-25高二上·河南信阳·期末)设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据递推公式代入数据可得结果. （2）（i）根据递推公式及可证明结论. （ii）根据递推公式及可证明结论. （3）设，根据条件求，利用的取值及等比数列的通项公式可得结果. 【详解】（1）由题意得，，，，， ，，. （2）（i） . （ii） . （3）设，对比得，， 解得或. 当时，， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴①， 当时，同理可得②， ②－①得，. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是利用递推公式及数据特征进行凑项计算，逐步推导可证明结论.解决第（3）问的关键是构造等比数列，利用等比数列的通项公式可求结果. 14．(24-25高二上·河南许昌·期末)已知数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先化简得到，可得出数列为等比数列，求出该数列的首项和公比可得出数列的通项公式，由此得出数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和. 【详解】（1），且， 数列是以为首项，为公比的等比数列，即，； （2）， ，① ，② ①②得， 因此，. 15．(24-25高二上·河南郑州·期末)已知数列的前项和为且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列. （i）记，求数列的通项公式; （ii）求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据和与项的关系结合等比数列的通项公式即可求解； （2）（i）根据题意可得，从而可求； （ii）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，，即. 又 所以数列是1为首项，2为公比的等比数列，所以； （2）（i）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则为新数列的第1项，为新数列的第项， 即，即； （ii）①， ②， ①一②得，， ， ， 所以. 16．(24-25高二上·河南新乡·期末)设数列的前项和为，已知，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，即可求解； （2）由错位相减法即可求解； 【详解】（1）当时，由，得， 两式相减得，即，所以是公比为2的等比数列. 由，可得，即， 所以. （2）由（1）得. ， 则， 所以 ， 即. 地 城 考点03 等差数列基本量计算 17．(23-24高二上·河南部分名校·期末)已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合等差中项列式求得，即可得结果； （2）由（1）可知：等差数列的首项为，公差为，结合等差数列得通项公式和求和公式运算求解. 【详解】（1）设的公比为， 因为成等差数列，则， 即，解得或1（舍去）， 所以. （2）由（1）可知的前三项为， 则等差数列的首项为，公差为， 所以，即. 所以. 18．(24-25高二上·河南许昌·期末)在等差数列中，，则公差等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式列出等式，联立两个等式即可求得结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以,解得， 故选：B 19．(24-25高二上·河南周口·期末)在等差数列中， ，则的公差（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的等和性求出，即可求出公差. 【详解】由等差数列的性质可知，，所以， 又，所以. 故选：C. 20．(23-24高二上·河南济源·期末)设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由可得，进而可得，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】根据题意可得， 由等差数列性质可知． 因为，所以， 所以， 所以数列是递增数列，的前项和有最小值为，所以. 所以A，B正确，C，D不正确； 故选：AB． 21．(23-24高二上·河南新乡·期末)等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 【答案】ACD 【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A，B；根据等差数列通项公式以及前n项和公式即可判断C，D. 【详解】设的公差为d，由，，得， 解得，故A正确，B错误； ，，C，D正确. 故选：ACD 22．(23-24高二上·河南三门峡·期末)已知等差数列的前5项和为105，且.对任意的，将数列中不大于的项的个数记为，则数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设数列的公差为，根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】设数列的公差为，前项和为， 因为，可得，解得， 所以， 对任意的，若，则，所以， 所以数列是首项为1，公比为7的等比数列，故. 故选：C. 地 城 考点04 等比数列基本量计算 23．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)已知数列为等比数列，若，则公比的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用基本量法可求公比. 【详解】因为，所以． 故选:B． 24．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)设数列是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列说法正确的是（   ） A．数列为递减数列 B．若，则 C．存在正整数，使得成等比数列 D．将数列与的所有项从小到大排列组成一个新的数列，则 【答案】BD 【分析】根据等差数列，等比数列的性质，结合基本不等式逐个计算判定即可. 【详解】由题易知 对A,因为，故A错误； 对B,根据等差数列的性质，若，则， 又数列中各项均为正数，所以，即，故B正确； 对C,若成等比数列，则，即，显然时不成立， 当时，等式左边为偶数，右边为奇数，所以等式不成立，故C错误； 对D,因为，，又，所以，故D正确． 故选：BD． 25．(24-25高二上·河南三门峡·期末)已知公比为的等比数列满足，且，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先判断的符号和公比的关系，求得关于的表达式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，得时，；时，， 由，得，所以， 若，可得，可得，则， 此时，； 若，则，此时，，矛盾. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在求解关于等比数列有关的取值范围时，通过构造函数并结合函数的基本性质求出函数的取值范围，这种方法可以有效地处理涉及不等式与单调性的范围问题. 26．(24-25高二上·河南郑州·期末)已知正项等比数列 的前 项和为 254，则 （    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据等比数列基本量的计算可得首项和公比，即可由求和公式求解. 【详解】由于为正项数列，故，公比， 由可得， 由则，故公比为， 因此，故，解得， 故选：C 27．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比中项和前n项和与通项之间的关系求解. 【详解】解；. 故选：B 28．(24-25高二上·河南漯河·期末)在正项等比数列中，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列下标和性质计算可求得结果. 【详解】因为数列为正项等比数列，， 所以， 又. 故答案为：. 29．(24-25高二上·河南商丘·期末)在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据等比数列项的性质计算求解即可. 【详解】因为等比数列中，若，则. 故选：C. 30．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由等比数列下角标和性质直接求解. 【详解】由等比数列的性质易知. 故选：C. 31．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合等比数列的求和公式求出，再由通项公式即可求解． 【详解】解：因为等比数列的首项为， 若，则， 可得，解得， 所以． 故选：． 32．(23-24高二上·河南部分名校·期末)已知是公比为2的等比数列，若，则（    ） A．100 B．80 C．50 D．40 【答案】B 【分析】由题意，解得，然后由即可得解. 【详解】设的公比为，则， 所以，所以. 故选：B. 33．记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由，，求得，代入等比数列前n项和公式求解. 【详解】解：设等比数列的公比为q， 因为，， 所以，， 解得， 所以， 故选：C 34．(23-24高二上·河南漯河·期末)已知等比数列的首项为1，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式将相应条件化简，即可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由题可知. 则； . 注意到不能推出，但能推出. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 地 城 考点05 等差、等比数列性质 35．(24-25高二上·河南漯河·期末)已知数列为等差数列，且，则（   ） A．24 B．26 C．27 D．28 【答案】D 【分析】根据等差数列的项的性质，再结合等差数列的求和公式计算. 【详解】因为数列为等差数列，且， 所以，所以， 则. 故选：D. 36．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据等差数列性质和求和公式可知是定值，再理由等差数列性质逐项分析判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 若始终是一个定值，所以是定值，故B正确； 又因为，， 所以与也为定值，所以C，D正确； 没有足够条件判断A，故A错误； 故选：BCD． 37．(23-24高二上·河南开封·期末)已知为等差数列，且，为方程的两根，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由已知结合方程的根与系数关系可求，然后根据等差数列的性质可求． 【详解】因为数列是等差数列，且，是方程的两根， 所以， 则． 故选：D． 38．(23-24高二上·河南三门峡·期末)已知等差数列满足，则的值为 . 【答案】3 【分析】由等差数列通项公式得，即，进而求出 【详解】由等差数列通项公式得， 即，故， . 故答案为：3 39．(24-25高二上·河南开封·期末)已知等比数列的公比为，前项和为，若，则 . 【答案】5 【分析】利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】根据等比数列前项和公式可得：， 所以，则， 因此，所以 故答案为： 40．(24-25高二上·河南周口·期末)在等比数列中，，则 . 【答案】4 【分析】根据等比数列的性质若，则，，结合条件求，由此可得结论. 【详解】因为数列为等比数列， 所以若，则，， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 41．(23-24高二上·河南漯河·期末)首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比 . 【答案】2 【分析】根据等差中项可得，利用等比数列通项公式代入即可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为首项为1，所以， 所以，故. 故答案为：2 42．(23-24高二上·河南济源·期末)已知数列均为正项，且是等差数列，，则 . 【答案】100 【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解. 【详解】因为且是等差数列，设公差为， 所以，所以是正项等比数列， 所以 ， 所以， 故答案为：100. 地 城 考点06 等差数列前n项和最值 43．(23-24高二上·河南济源·期末)已知数列满足，且成等比数列， (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)最小值为, 【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）求出，求出最小值及的值. 【详解】（1）由知为等差数列，设的公差为，则， 成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； （2）由(1)得， 所以当时，取得最小值，最小值为 44．(24-25高二上·河南信阳·期末)设等差数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C．最大时， D．的整数的最大值为 【答案】ABD 【分析】由得到，根据得，判断A选项，根据等差数列通项公式判断B选项，根据和求的最大值，判断C选项，由等差数列前项和公式判断D选项. 【详解】因为，所以，从而， 因为，所以，A正确；，B正确； 因为，所以，所以为的最大值，C错误； ，令，解得，所以整数的最大值为，D正确. 故选：ABD. 45．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)已知等差数列的前项和有最小值，若，则当取得最小正值时，（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】根据题意，找出正负相间的项，再结合等差数列和的性质计算即可. 【详解】因为有最小值，所以数列的公差，又，即， 所以，且，所以， 所以为的最小正值． 故选：C． 46．(24-25高二上·河南新乡·期末)设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为9 D．当时，取得最大值 【答案】AD 【分析】由条件，结合等差数列求和公式及性质证明，判断A，由结合等差数列通项公式证明公差，判断B，利用求和公式证明当时，，结合，判断C，由时，，时，，结合前项和的定义判断D. 【详解】设数列的公差为， 对于A，由，得， 又，所以，故A正确； 对于B，由A知，则，故B错误； 对于C，当时，，当时，， 又， 所以当时，， 且， 所以当时，的最大值为8，故C错误； 对于D，因为当时，，当时，， 所以当取得最大值时，，故D正确. 故选：AD. 47．(24-25高二上·河南商丘·期末)已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 48．(23-24高二上·河南开封·期末)已知等差数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时n的值． 【答案】(1) (2)最大值为，n取值5或6 【分析】（1）运用基本量的计算求解通项公式即可. （2）写出前n项和公式，利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）记的公差为d，因为，所以， 因为，所以， 所以． （2）因为 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大， 最大值为． 49．(24-25高二上·河南郑州·期末)已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（    ） A． B．数列的最小项为 C． D．能使时的最大值为15 【答案】BC 【分析】根据给定条件，可得，再结合单调性及前项和公式逐项判断. 【详解】在等差数列中，由，得， 对于A，，A错误； 对于B，数列是递增数列，前8项均为负，从第9项起为正，则数列的最小项为，B正确； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 地 城 考点07 等差数列的判定 50．(23-24高二上·河南郑州·期末)已知数列中，，，，设数列，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由题意首先得，进一步有，由此即可顺利得解. 【详解】由题意，，， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列， 所以，所以， 即，所以数列是以为首项，6为公差的等差数列， 所以. 故答案为：. 51．(24-25高二上·河南商丘·期末)在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断； （2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论. 【详解】（1）因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. （2）①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②证明：由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 52．(23-24高二上·河南漯河·期末)已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 53．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知数列的前项的积为，且，则满足的最小正整数的值为 ． 【答案】 【分析】利用，结合等差数列的定义与通项公式，可得，再根据等差数列的求和公式，利用结果求解即可． 【详解】当时，有，所以； 当时，由，得，即， 则有数列是等差数列，其中公差为，首项为， 可得，即， 所以， 若，则，即， 因为数列是单调递增数列，且当时，；当时，， 所以满足的最小正整数的值为． 故答案为：． 54．(23-24高二上·河南部分名校·期末)已知数列的各项都是正数，前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据和与项的关系可得，化简为，从而可证明； （2）先求得，再根据错位相减法即可求解. 【详解】（1）在中，令，得， 当时，由，得， 整理得， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）知. 所以①， ② ①-②，得， 所以. 55．(23-24高二上·河南新乡·期末)在首项为1的数列中，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为 ． 【答案】或. 【分析】通过累加法，求出，解出不等式，找到与即可. 【详解】结合题意： ， 所以，解得或， 当为偶数时，，递增，可得的最小值为，则， 递增，可得的最小值为,则, 当为奇数时，，递减，可得的最大值为，， 递减，可得的最大值为，， 综上所述：要使得存在，使得不等式成立， 只需或， 所以的取值范围为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是能够通过递推关系式得到数列的通项公式，结合数列的单调性特点可得到不等式的解集，从而确定解集上下限的最值，进而得到结果. 56．(24-25高二上·河南三门峡·期末)已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则 ， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 地 城 考点08 等比数列的判定 57．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)已知数列的前项和为，且，.设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前40项和为 . 【答案】973 【分析】当时，，解得；当 时，由，得，两式相减，结合等比数列的通项公式可得，进而得到，数列的前40项和是由数列 的前45项去掉数列 的前5项后构成的，利用求和公式即可得出结论． 【详解】当时，，解得； 当 时，由，得， 两式相减，得，即， ，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 因此，，即 是数列 中的第项， ，， 数列的前40项和是由数列 的前45项去掉数列 的前5项后构成的， 数列 的前40项和为 ． 故答案为：973． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列公共项问题，关键是求出 是数列 中的第项. 58．(24-25高二上·河南商丘·期末)已知数列的前项和为，下列各条件能推出数列一定为等比数列的是（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【分析】A由等比数列定义可判断选项正误；B通过举反例可判断选项正误；C、D由前n项和与数列通项关系可判断选项正误. 【详解】对于A，由等比数列的定义，知是等比数列； 对于满足，但不是等比数列； 对于C，可得，则是1为首项和公比的的等比数列； 对于D，由且，， 可得 ，因，则是以为首项，公比为的等比数列. 故选：ACD 59．(24-25高二上·河南漯河·期末)已知数列的前项和为，，，其中． (1)若，求证：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由条件取，结合可求，当时，用替换，两式相减可得，结合等比数列定义证明结论； （2）由（1）可得，利用错位相减法求结论即可. 【详解】（1）对任意的，，， ①当时，，又， 解得， ②当时，因为， 用替换可得， 两式相减可得， 即有，可得， 因为，则， 因为，，所以， 对任意的，，所以， 因此是首项和公比均为的等比数列． （2）由（1）可得， ∵，∴， ∴上式两端同乘以得到等式， 两式相减可得： 所以 化简可得． 60．(24-25高二上·河南许昌·期末)若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】由与关系可得出数列的通项公式，再对选项逐一判断即可. 【详解】当时，， 当时，由有， 所以， 所以数列时以为首项，2公比的等比数列，故C正确； ，故A正确； 由，故B错误； 因为，所以是等比数列，故D正确. 故选：ACD. 61．(23-24高二上·河南新乡·期末)在数列中，已知. (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，证得为等比数列，再由等比数列的通项公式，即可求得数列的通项公式； （2）根据题意得到，求得，结合等差、等比的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：由数列中，已知， 可得，即， 因为，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列， 所以，可得，即数列的通项公式为. （2）解：因为，可得， 由数列与的公共项为，可得，所以， 所以，即，所以， 所以， 所以. 62．(23-24高二上·河南开封·期末)已知数列的首项，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可求得结果. 【详解】（1）由可得， 因为，所以，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （2）设数列的前n项和为，则， 所以． 63．(23-24高二上·河南青桐鸣·)已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)探究数列是否存在最大项，并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，由条件可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式； （2）根据题意，由（1）可得，则，然后作差，即可得到当时，为单调递减数列，从而得到结果. 【详解】（1）因为，即， 且，可得，所以， 即数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即，所以，又， 则. （2）由（1）可得，，则， 所以， 当时，，，则，所以， 所以当时，为单调递减数列， 又，，， 所以当或时，数列有最大项为. 64．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知数列的前项和为，，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，，即，进而证得数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （2）由（1）知，，则，再利用裂项相消法求和即可． 【详解】（1）由得，，即， 又，，， 即数列是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由（1）知，，， 则， ， 数列的前项和． 地 城 考点09 等差数列前n项和公式 65．(24-25高二上·河南三门峡·期末)在等差数列中，公差，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式两边利用和的代数式加以表示，即可求得实数的值. 【详解】因为， ， 因为，则， 因为，解得. 故选：D. 66．(24-25高二上·河南洛阳·期末)记等差数列的前n项和为，且，，则（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】B 【分析】先根据等差数列项的性质得出，再根据求和公式计算求解. 【详解】等差数列，且，则， 所以. 故选：B. 67．(24-25高二上·河南开封·期末)已知等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列分段和的性质可得，，仍然成等差数列，进而化简求解即可. 【详解】等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C， ，，仍然成等差数列， ， 化为，即 故选：D 68．(23-24高二上·河南漯河·期末)等差数列中，，则其前100项和为（    ） A．5050 B．10010 C．10100 D．11000 【答案】C 【分析】利用等差数列性质得，再利用求和公式求解得答案 【详解】∵， ∴，解得， 所以. 故选：C. 69．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2048 【答案】B 【分析】利用等差数列的下标和性质与求和公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 70．(23-24高二上·河南郑州·期末)已知数列中，，，，记的前项和为，则（    ） A．中任意三项都不能构成等差数列 B． C． D． 【答案】AC 【分析】由等比数列的定义、通项公式及求和公式可判断B,C；由等差中项和等比数列的通项公式可判断A；由裂项相消法求和结合数列的单调性可判断D. 【详解】因为，，可得， 则，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 即，故B错误； 假设中任意三项都构成等差数列，可设， 则成等差数列，可得，即， 即有，由，可得， 由，可得，则不成立，故A正确； ，故C正确； ，所以， ， 因为为递增数列，所以 可得，故D错误. 故选：AC. 71．(24-25高二上·河南三门峡·期末)在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列（，）满足（），（），，求， 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解； （2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解； （3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个， 与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个， 所以. （2）由（1）中的方法，同理可得， 又，所以， 设，得， 所以，解得，则， 因为， 所以数列是首项为1，公比为5的等比数列， 所以，则. （3）因为（）， 所以， 所以， 所以. 【点睛】知识点点睛：新定义题型，弄清题意是关键.第二问考查了构造等比数列求数列的通项公式，第三问考查了裂项相消法. 地 城 考点10 等比数列前n项和公式 72．(24-25高二上·河南信阳·期末)已知数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可求出首项，继而结合的关系可判断为等比数列，即可求得答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 当时，，则， 即， 故是以为首项，3为公比的等比数列， 故，， 故选：C 73．(24-25高二上·河南漯河·期末)已知数列的前n项和为，且，则使不等式成立的正整数n的最大值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】利用等比数列前n项和公式求出，再利用裂项相消法求和并解不等式即可. 【详解】依题意，，， 则 ，不等式为，即， 因此，解得，所以所求正整数n的最大值为9. 故选：C 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 74．(23-24高二上·河南新乡·期末)已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解. 【详解】由， 当时，，可得， 当时，， 因为数列为等比数列，可得，解得. 故选：D. 75．(24-25高二上·河南三门峡·期末)已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意求出公比，求出和代入选项验证即可. 【详解】由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对； ，， 代入C，D选项验证，C正确； D选项右边，D错误. 故选：BC 76．(23-24高二上·河南部分名校·期末)已知数列的通项公式为，其前项和为，不等式对任意的恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出，分奇偶求出的范围，结合函数单调性求出的范围，进而求出的范围，得出答案. 【详解】由题意可得， 当为奇数时，，随着值的增大而减小， 所以， 当为偶数时，，随着值的增大而增大， 所以，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以当，时，， 所以，所以的最小值为. 故答案为： 77．(23-24高二上·河南洛阳·期末)数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（    ） A．是数列中的项 B．数列是首项为，公比为的等比数列 C．数列的前项和 D．数列的前项和 【答案】BCD 【分析】由等差数列的定义和通项公式求得，由数列的通项与前项和的关系，求得，结合数列的裂项相消求和、错位相减法求和，可得结论． 【详解】解：数列满足，， 可得，即有，即， 由，可得，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 即为，即数列是首项为，公比为的等比数列，则，故B正确； 令，解得，不为整数，故A错误； ，则，故C正确； ，，， 两式相减可得， 化为，故D正确． 故选：BCD． 78．(23-24高二上·河南济源·期末)已知数列满足：，，设. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将变形为，是等比数列 （2）由（1）得到数列的通项公式 （3）结合（2）中通项利用错位相减法求得 【详解】（1）由，，可得.因为，即，. 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）可得：，即，所以. （3）由（2）可知：， 则，可得， 两式相减可得：. 所以. 地 城 考点11 等差、等比数列模型应用 79．(23-24高二上·河南漯河·期末)2022年12月底，某厂的废水池已储存废水750吨，以后每月新产生的4吨度水也存入废水池.该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨. (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的处理后废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，当月排放的处理后废水能被全部净化？（参考数据：） 【答案】(1)2025年1月底 (2)2024年8月份 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为，写出，再分析其单调性即可. 【详解】（1）设从2023年1月起第个月处理后的废水排放量为吨， 则由已知条件知:数列是首项为10，公差为2的等差数列，故. 令， 化简得，解得或； 由是正整数，则. 故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕. （2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为吨. 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为的等比数列， 故，（为正整数）. 显然，当时，. 当时，由，得. 设， 则，， 因为，， 所以当时，，即数列单调递增，且； 当时，，即数列单调递减. 由于. 所以不等式的解为(为正整数). 故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化. 80．(23-24高二上·河南新乡·期末)某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（    ） A．30 B．33 C．38 D．40 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为5，公差为3. 设该阶梯大教室共有排，则，整理得， 因为，所以. 故该阶梯大教室最后一排的座位数为38. 故选：C 81．(23-24高二上·河南洛阳·期末)周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为（尺）． 故选：C 82．(24-25高二上·河南洛阳·期末)如图，已知四边形中，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列的首项为，是数列的前项和，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用、、三点共线，推导得出，结合递推公式可判断A选项；利用等比数列的定义可判断B选项；利用等比数列的通项公式可判断C选项；利用分组求和法可判断D选项. 【详解】因为、、三点共线，设，其中， 则，可得， 又因为，且、不共线， 若，则，则三点共线，即重合， 则也重合，矛盾； 则，所以，，可得， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，因为， 且，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，B对； 对于C选项，由B选项可知，，所以，，C对； 对于D选项， ，D对. 故选：BCD. 83．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一，假设环的数量为，解开n连环所需总步数为，解下每个环的步数为，数列满足：，，，则（    ）    A． B． C． D．成等比数列 【答案】AC 【分析】根据题意逐一计算与的前6项，从而判断ABC，利用，结合等比数列的定义判断D，从而得解. 【详解】因为，，， 所以，， ，，故AC正确，B错误； 当时，，即， 则，所以不是等比数列，故D错误. 故选：AC. 84．(22-23高二下·河南郑州十校联盟·)如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ）    A． B． C． D．存在正整数，使得为质数 【答案】BC 【分析】根据每层的球的个数可得，利用累加法求得，即可求得的值，判断A，B；根据，可判断C；根据，结合数的奇偶性，可判断D. 【详解】依题意因为， 以上个式子累加可得︰, 又满足上式，所以，故，故A错误； 因， 所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，故当且为整数时，， 此时、必有一个为大于的偶数，则为合数， 则不存在正整数，使得为质数，D错误， 故选：BC 85．(24-25高二上·河南许昌·期末)在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现如图形状，被后人称为“三角垛”．已知＂三角垛＂的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设各层球数构成数列，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】归纳出数列的通项公式，利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】因为，，，， 以此类推可知，故， 因此，数列的前项和为. 故选：B. 试卷第50页，共50页 试卷第49页，共50页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07等差数列与等比数列 ☆11大高频考点概览 考点01等差数列通项公式 考点02等比数列通项公式 考点03等差数列基本量计算 考点04等比数列基本量计算 考点05等差、等比数列性质 考点06等差数列前n项和最值 考点07等差数列的判定 考点08等比数列的判定 考点09等差数列前n顶和公式 考点10等比数列前n项和公式 考点11等差、等比数列模型应用 目目、数点1 等差数列通项公式 1.(23-24高二上·河南济源期末)等差数列-V5,0,V5,的第20项为() A.165 B.175 C.185 D.19V5 2.(23-24高二上·河南部分名校·期末)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3,则() A,a2=3 B.an =2n-1 C.{a2n}是等差数列D.{an}是递增数列 3.(23-24高二上河南洛阳·期末)已知数列{an}是等差数列，满足a2=5,a4=11,数列b+an}是公比为2 的等比数列，且b1=2. (I)求数列{an}和bn}的通项公式； (2)求数列bn}的前n项和Sn 试卷第1页，共13页 4.(23-24高二上河南郑州期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,己知S5=3S3-2,a2m=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的首项为-1，且对任意的n∈N*都有bn+bn+1=0,求数列{an·bn的前n项和Tn, 5.(24-25高二上·河南洛阳期末)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S4=3S2,a2m=2an-1. (1)求数列{a}的通项公式； (2)记bn=3m·a,求数列{bn}的前n项和Tn 6.(24-25高二上河南开封期末)已知{a}是等差数列，且a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=21. (I)求{a}的通项公式， (②)设数列b,=d,若b1+b2+bg十+ha<碧求满足条件的最大整数n 7.(23-24高二上河南商丘中州联盟期末)记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a5=14,S5=a23 (I)求{a}的通项公式； (2)若bn=VSm-5n,求数列bn}的前n项和Tm 8.(23-24高二上·河南新乡·期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知2(a1+a2)=a4,S5=35 (I)求{an}的通项公式： (2)设b=2s十n数列b的前n项和为1，若Tm≤ ,求正整数m的最大值 目目 裁点02 等比数列通项公式 9.(24-25高二上河南开封期末)已知数列{an}的首项a1=3,且满足am+1=2an-1,则下列是这个数列中 的项的是() A.191 B.193 C.1023 D.1025 10.(24-25高二上河南洛阳·期末)已知等比数列{an}和等差数列{bn}满足：an+1>an,a1=b1=1,a2= b2,3a3=4b3,{an}的前n项和为Sn. (I)求数列an}和bn}的通项公式； 2an (2②)设cn=n求数列[cn的前n项和Tm 11.(24-25高二上河南周口期末)设Sn为正项等比数列[an}的前n项和，己知a3=日S2=子 (I)求数列{an}的公比q; (2)求数列{an}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和Sn 试卷第2页，共13页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(23-24高二上河南濮阳期末)记等比数列{an}的前n项和为S,m,己知S4=10S2,且a1一a2=2,写出满 足条件的一个{an}的通项公式：an= 13.(24-25高二上河南信阳期末)设Sn为数列{an}的前n项和，a1=1,a2=2,an+2=an+1+a: (1)求ag; (2)证明： (i)an+2=Sn+2; (ii)a1+a3+a5+…+a2m-1=a2n-1; (3)求{an}的通项公式. 14.(24-25高二上河南许昌·期末)己知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,neN°. (1)求数列{an的通项公式； (2)设bn=n(an+1),求数列{bn}的前n项和Sn 15.(24-25高二上河南郑州期末)己知数列{an}的前n项和为Sm,a1=1且an+1=Sn+1(n∈N) (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列 (i)记bn=,求数列bn的通项公式bn: (i)求数列{b,m}的前n项和Tm 16.(24-25高二上河南新乡·期末)设数列am}的前n项和为Sn,己知a2=a1+1,且Sm=2an+m. (1)求{a}的通项公式： (2)设bm=(n+1)an,数列{bn}的前n项和为Tm,求Tn 裁点03 等差数列基本量计算 17.(23-24高二上河南部分名校期末)己知公比不为1的等比数列{an}满足a1=1,且a2,a3,a1是等差数列bn} 的前三项 (I)求{a的通项公式； (2)求数列{4bn}的前n项和Sn 18,(24-25高二上·河南许昌·期末)在等差数列{an}中，a5=8,2a3=a2+6,则公差等于() A.1 B.2 C.3 D.4 19.(24-25高二上河南周口·期末)在等差数列{an}中，a5+ag=6,a6=10,则{an}的公差d=() 试卷第3页，共13页 A.- B.-4 C.-7 D.-8 20.(23-24高二上·河南济源·期末)设{a}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且a1<0,S8=S2o24, 则下列结论正确的是() A.d>0 B.S2032=0 C.a1016=0 D.Sn≥S1015 21,(23-24高二上河南新乡期末)等差数列{a}的前n项和为Sm,若a7=9,S4=3a4,则() A.{an的公差为1 B.{an}的公差为2 C.S4=18 D.a2023=2025 22.(23-24高二上·河南三门峡期末)己知等差数列{an}的前5项和为105，且a10=2a5.对任意的m∈N+, 将数列{an}中不大于7m的项的个数记为bm,则数列bm}的前m项和Sm等于(） A.72m-1-7 B.72m-1+7 C.7"-1 D.7m+1 48 48 6 6 目目 裁点04 等比数列基本量计算 23.(2425高二上河南豫东名校期末)已知数列a为等比数列，若2二二=4，则公比g的值为() A.±2 B.± C.2 D.月 24.(24-25高二上·河南豫东名校期末)设数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，{bn}是首项为1，公 比为2的等比数列，则下列说法正确的是() A.数列侣}为递减数列 B.若m+n=2p(m,n,p∈N,则aman≤a弓 C.存在正整数k,使得ak,bk,ak+1成等比数列 D,将数列{anJ与{bn}的所有项从小到大排列组成一个新的数列{cn},则c1o0=185 25.(24-25高二上河南三门峡期末)已知公比为q的等比数列{a}满足a8+q2=3,且n∈，an+1>a, 则a1o的取值范围为。 26.(24-25高二上河南郑州期末已知正项等比数列{an}的前n项和为Sm,a1·a5=64,a1+a3=10, Sm=254,则n=() A.5 B.6 C.7 D.8 27.2425高二上河南新乡期末已知S,是等比数列a,的前n项和，若a2=3,3=13,则片+品=（） A. B.9 c. D.8 试卷第4页，共13页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 28.(2425高二上河南漯河期末在正项等比数列[aJ中，若a1+a2+a3+a4=15,a120a4=45,则哈 ++是+2=一 a4 29.(2425高二上河南商丘期末)在等比数列a中，若a1a3a5a7ag=立则a5=（） A. B.9 c. D.1 30.(23-24高二上河南商丘中州联盟期末)在等比数列[a,}冲，a2=子a6=乏则a10=（) A.青 B.器 C.3 D.4 31.(23-24高二上河南洛阳期末)已知等比数列a的首项为-1，前n项和为5，若爱=名则as=（) A.-16 B.-4 c.- D.-后 32.(23-24高二上河南部分名校期末)已知{an}是公比为2的等比数列，若a1+a3=25,则a5=（) A.100 B.80 C.50 D.40 33.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1+a2+ag=1,a2+a3+a4=2,则S6=() A.6 B.8 C.9 D.12 34.(23-24高二上河南漯河期末)已知等比数列{an}的首项为1，则“a2023<a2025”是“a2021<a2024”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 目目 裁点05 等差、等比数列性质 35.(24-25高二上·河南漯河·期末)己知数列{an}为等差数列，且a2+2a3+ag=16,则S7=() A.24 B.26 C.27 D.28 36.(23-24高二上·河南商丘中州联盟期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,无论首项a1和公差d如何变化， S19始终是一个定值，则下列各数也为定值的是() A.ag B.a10 C.a7+a11+a12 D.a1+a14+a15 37.(23-24高二上河南开封期末)己知{an}为等差数列，且a3,a7为方程x2-2x一1=0的两根，则a5= () 试卷第5页，共13页 A.-2 B.2 C.-1 D.1 38.(23-24高二上·河南三门峡期末)已知等差数列{a}满足a3+a6+ag+a11=12,则2ag-a11的值 为 39.Q425高二上河南开封期末)已知等比数列a3的公比为-分前n项和为5S,若要=品则n=一 40.(24-25高二上·河南周口·期末)在等比数列{an}中，a6=a2a7=8,则a5= 41.(23-24高二上河南漯河期末)首项为1的等比数列a}中，4a1,2a2,a成等差数列，则公比q=一 42.(23-24高二上·河南济源·期末)己知数列{an}均为正项，bn=lgan且bn}是等差数列，b1+b2+b3十…+ bg9=198,则a50= 目目点06 等差数列前n项和最值 43.(23-24高二上河南济源期末)已知数列{a}满足an+1-an=2(n∈N,且a5,a6,ag成等比数列， (1)求{a的通项公式： (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值及此时n的值 44.(24-25高二上·河南信阳·期末)设等差数列{a}的前n项和为Sm,若a1>0,S2=S13,则() A.d<0 B.as=0 C.Sn最大时，n=15 D.Sn>0的整数n的最大值为14 45.(2425高二上河南豫东名校期末)已知等差数列a}的前n项和Sn有最小值，若<-1，则当Sn取得最 小正值时，n=() A.12 B.11 C.10 D.9 46.(24-25高二上河南新乡·期末)设等差数列{am}的前n项和为Sn,公差为d,己知S8>0,a5<0,则() A.a4>0 B.d>0 C.当Sn>0时，n的最大值为9 D.当n=4时，Smn取得最大值 47.(24-25高二上河南商丘·期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12>S10>S11,则使得Sn<0成 立的正整数n的最大值为() 试卷第6页，共13页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.20 B.21 C.22 D.23 48.(23-24高二上·河南开封期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3-a5=a4=4. (I)求{an}的通项公式： (2)求Sn的最大值及取得最大值时n的值， 49.(24-25高二上·河南郑州期末)已知Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，且S7>Sg>S8,下列说法 正确的是() A.d<0 B.数列{S,n}的最小项为S8 C.lael lagl D.能使Sm<0时n的最大值为l5 目目 裁点07 等差数列的判定 50.23.24高二上河南郑州期末已知数列a冲，4=1，a2=2,=2,设数列b=2”a,则 {bn}的通项公式为bn= 51.(24-25高二上河南商丘期末)在数列{an}中，记△an=an+1一an,若{Aan}为等差数列，则称{an3为二阶 等差数列， (1)若an=2n2-n+3,判断{an}是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列{a}满足a1=1,a2=2,a3=4 ①求数列{a}的通项公式： ②若ba=”D记b,的前n项和为S,正明：≤5，<1 52.(23-24高二上河南漯河期末)已知数列a,}满足：a1=1,a+1=2a+1 ()若bn=,求证：b,为等差数列 (2)求数列{anan+1的前n项和Sn 53.(23-24高二上河南洛阳期末)已知数列a,的前n项的积为7，且忌+会=2，则满足71+T2+…+T >50的最小正整数n的值为_， 54.(23-24高二上·河南部分名校期末)已知数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sm,且2Sman=a+1. (①)证明：{S是等差数列： (2)求数列{2n.S2}的前n项和Tn 5.(23-24高二上河南新乡期末在首项为1的数列a,}中a+1-an=(-》”,若存在nEN,使得不等式 试卷第7页，共13页 (m-an)(m+an+3)>0成立，则m的取值范围为 56.(24-25高二上河南三门峡期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a+1=2an+2(nEN),a1=1. ()证明：数列为等差数列，并求数列(a的通项公式； (2)求数列{a}的前n项和为Sn; (3)若Sn≤2an-4n-λ对任意neN恒成立.求实数的取值范围. 目目栽点8 等比数列的判定 57.(23-24高二上河南商丘中州联盟期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sm=2an-2(n∈N+),bm=log2 am.设数列{bn}中不在数列{an}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn},则数列{cn}的前40项和为 58.(24-25高二上河南商丘期末)己知数列an}的前n项和为Sn,下列各条件能推出数列an}一定为等比数 列的是() A.=8 an+1 B.anan+2=an+1 C.Sn=tn(t≠0) D.Sn=an+1-a(a≠0且a≠1) 59,(24-25高二上河南漯河期末)已知数列{anJ的前n项和为Sn,2Sn+2n=an+1-2,a2=8,其中n∈ N+ (1)若bn=an+1,求证：bn}为等比数列； (2)若cn=(2n-1)bn,求数列{cn的前n项和Tn 60.(24-25高二上河南许昌期末)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sm=2an+1(n∈N),则下列说法中正确 的是() A.a3=-4 B.S5=-64 C.{an}是等比数列 D.{Sn-1是等比数列 61.(23-24高二上河南新乡·期末)在数列{an}中，己知a1=3,an+1=4am+3n-1. (I)证明数列{a,+n是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)设bn=2n-1,若数列{an}与{bn}的公共项为bm,记m由小到大构成数列{cn},求{cn}的前n项和Sn 62.(23-24高二上河南开封期末)已知数列{an}的首项a1=0,且am+1+2an=3n+1. (I)求证：{an一n是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn 63.(23-24高=上河南青桐鸣)已知数列[a,}满足a+1-2au=1,a4=1,bn=m+ anti+inEN 试卷第8页，共13页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求数列b}的通项公式； (2)探究数列bn}是否存在最大项，并说明理由. 64.(23-24高二上河南洛阳期末已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=4,Sm+1+4Sm-1=5Sn(n≥2) (I)求数列{an}的通项公式； Q)令ba=s,求数列bn的前n项和T 目目 点09 等差数列前n项和公式 65.(2425高二上河南三门峡·期末)在等差数列{an}中，公差d≠0，若S21=7(a5+a10+ak),则k的值为 () A.15 B.16 C.17 D.18 66.(24-25高二上河南洛阳·期末)记等差数列an}的前n项和为Sm,且a2+a6=4,a7=5,则S10=（) A.25 B.35 C.45 D.55 67.(24-25高二上河南开封期末)已知等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A,B,C,则 () A.A+B=C B.A+C=2B C.2A+C=3B D.3(B-A)=C 68.(23-24高二上河南漯河·期末)等差数列{an}中，a2+a3+a4=18,a5=10,则其前100项和为() A.5050 B.10010 C.10100 D.11000 69.(23-24高二上河南信阳固始县期末)己知数列{a}为等差数列，前n项和为Sm,若a25+a2o00=2,则S2024 等于() A.2023 B.2024 C.2025 D.2048 70.(23-24高二上河南郑州期末)己知数列{an}中，a2=2,an+1-2an=0,bn=l10g2an+1,记{an}的前n 项和为Sn,则() A.{an}中任意三项都不能构成等差数列B.Sn=2am+1 n.∑，点c6 71.(24-25高二上河南三门峡期末)在n个数码1,2，.，n(neN,n≥2)构成的一个排列jj2…jn中， 若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如j2>j5,则j2与j5构成逆序），这 个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为T0j2…jm),例如，T(312)=2, 试卷第9页，共13页 (1)计算T(51243): (2)设数列{an}满足an+1=an·T(51243)-T(3412),a1=2,求{an}的通项公式； (3)设排列ji2…ja(neN,n之2)满足j=n+1-i(i=12,…n,b.=T(i2jn),S.=+房 1 1 +…+求S 目目、载点10 等比数列前n项和公式 72.(24-25高二上河南信阳·期末)已知数列{a}的前n项和为Sn,若2Sn-3an=1,则Sn=() A.-3n-1 B.-3n c.-2 D.-+1 73.2425高二上河南漯河期已知数列a,的前n项和为5，且a=2”,则使不等式茶+器+…+ SnSn+1 <品成立的正整数n的最大值为() A.11 B.10 C.9 D.8 74.(23-24高二上河南新乡·期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sm,若Sn=3×2n+1+入，则1=(） A.3 B.-3 C.6 D.-6 75.(24-25高二上河南三门峡期末)己知等比数列an的公比为q,前n(neN)项和为S,若a1=S6=9 S3,则下列结论正确的是() A.q=月 B.q=2 C.Sn=2an-H(nEN) D.Sn+1=2Sn+(nE N) 76.23-24高二上河南部分名校期末)已知数列a,的通项公式为a=3-(-)”,其前n项和为5n,不等 式p≤受-是≤q对在意的nEN恒成立，则g一p的最小值为 77.(23-24高二上河南洛阳·期末)数列{a}满足a1=2am-an+1=2anan+1(n∈N),数列{bn的前n项和 为S,且bm=1+sn(nEN),则下列正确的是(） A.02是数列a冲的项 B.数列{b}是首项为3，公比为3的等比数列 C.数列[anam+i的前n项和Tn<} 试卷第10页，共13页