专题05空间向量及其运算（9大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

null 专题05 空间向量及其运算 9大高频考点概览 考点01 空间向量的基底表示 考点02 空间向量的坐标运算 考点03 空间向量的基底运算 考点04 空间向量的垂直关系 考点05 空间向量的平行关系 考点06 空间坐标系 考点07 空间向量的投影向量 考点08 空间向量的共面问题 考点09 空间向量求解距离、角度问题 地 城 考点01 空间向量的基底表示 1．(24-25高二上·河南漯河·期末)已知三棱锥中，为上一点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】设,则 , 故 故选：A 2．(24-25高二上·河南信阳·期末)是三棱锥底面所在平面内的一点，满足的一组数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量基本定理得到，代入验证即可. 【详解】因为根据共面向量基本定理得，从而， 代入选项验证，只有B选项满足条件. 故选：B. 3．(24-25高二上·河南郑州·期末)在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作图，利用空间向量的线性运算，可得答案. 【详解】根据题意，作图， . 故选：C 4．(24-25高二上·河南周口·期末)已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算可求得. 【详解】因为为的重心， 所以，因为为棱的中点， 所以， 则. 故选：C. 5．(23-24高二上·河南驻马店·)在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算可得正确的选项. 【详解】 ， 化简得：， 故选：A . 6．(23-24高二上·河南新乡·期末)如图所示，在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理分解向量即可. 【详解】因为点在线段上，且为线段的中点， 所以. 故选：B. 7．(24-25高二上·河南许昌·期末)如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算直接得解. 【详解】由是的中点， 可知， 所以， 故选：D. 8．(22-23高二上·河南驻马店·期末)如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减法和数乘向量即可以为基底表示向量 【详解】 故选：D 9．(24-25高二上·河南新乡·期末)如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量线性运算判断A、B，根据数量积的定义及运算律判断C、D. 【详解】依题意可得， 同理，，故C正确； 连接， 则，故A正确； ，故B错误； ，故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点02 空间向量的坐标运算 10．(24-25高二上·河南开封·期末)已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】首先得到点的坐标，结合向量模的计算公式即可得解. 【详解】点B是点在坐标平面Oxy内的射影， ， ， 故选：A. 11．(24-25高二上·河南信阳·期末)在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线l的方程为，则到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到直线上的点和直线的方向向量，再根据空间中点到直线的距离公式求得点到直线的距离. 【详解】直线的方程标准化得， 从而直线过点，方向向量， 与同向的单位向量， ，，， 点到直线的距离， 故选：D. 【点睛】结论点睛：空间中点到直线的距离公式 ，其中是直线的单位方向向量，是分别以点与直线上的任一点为始点和终点的向量. 12．(23-24高二上·河南新乡·期末)在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】因为，所以， 则点到直线的距离. 故选：B 13．(23-24高二上·河南郑州·期末)已知点，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设，则， 因为，故， 即， 解得，故点的坐标为. 故选：C 14．(23-24高二上·河南开封·期末)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点坐标可求得向量，计算可得结果. 【详解】易知，所以； 因此可得. 故选：C 15．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A：根据数量积的坐标运算分析判断；对于BD：根据向量垂直分析判断；对于C：根据向量平行分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若，则，所以，A正确； 对于选项B：若， 则，解得，故B错误； 对于选项C：若，则，解得，故C正确； 对于选项D：若，则，解得，故D错误． 故选：AC． 16．(24-25高二上·河南郑州·期末)已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 【答案】AD 【分析】我们可以利用平面向量的基本定理判断选项A；然后利用向量的坐标运算计算其他选项即可. 【详解】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确； ，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：AD 地 城 考点03 空间向量的基底运算 17．(23-24高二上·河南部分名校·期末)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本运算及数量积公式表示出，计算即可. 【详解】底面为菱形，， , 为棱的中点, ， 解得. 故选: A. 18．(24-25高二上·河南驻马店·期末)如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】利用空间向量线性运算判断A；利用空间向量数量积的运算性质求解判断B，C；根据投影的定义求解判断D； 【详解】对A：由题意，所以， ，故A正确； 对B：因为 ， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：向量在方向上的投影数量为，故D错误； 故选：AC. 19．(23-24高二上·河南开封·期末)已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 20．(23-24高二上·河南济源·期末)如图，在四棱台中，，，设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，面，得到，从而将问题转化成求四棱台的高，再根据题设条件，即可解决问题. 【详解】如图，因为，令，则面， 则，所以的最小值即为四棱台的高， 过作面于，过作于，过作于， 连接， 因为面，面，所以， 又，，面，所以， 又，，得到，， 同理可得，，，所以，得到， 在中，，所以， 得到， 故答案为：. 21．(24-25高二上·河南开封·期末)如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据，再平方求解可得答案. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）依题意，得，， 所以， ， 所以. 地 城 考点04 空间向量的垂直关系 22．(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意可得，利用数量积的坐标表示列式求解，即得答案. 【详解】由，可知， 即 ， 解得， 故答案为： 23．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)已知，平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【分析】利用直线与平面垂直得到直线的方向向量与平面的法向量共线，从而利用空间向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为，所以与共线， 又，，则， 所以，. 故答案为：. 24．(24-25高二上·河南三门峡·期末)已知，，且．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，，且， 则，解得. 故选：B. 25．(24-25高二上·河南南阳·期末)若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】由题意，利用空间向量共线的坐标表示求参数值. 【详解】由题意知，即，解得． 故选：C 26．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知空间向量，，满足，则实数的值是（   ） A．-5 B．-4 C．4 D．5 【答案】D 【分析】依据向量垂直的坐标运算计算即可. 【详解】，， 即，解得：. 故选：D 27．(24-25高二上·河南郑州·期末)在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设，， ，， 因为，所以，即， 所以， 当时，线段的最小值为. 故选：A 地 城 考点05 空间向量的平行关系 28．(24-25高二上·河南商丘·期末)已知，若，则的值为 . 【答案】5 【分析】由向量平行的坐标表示计算可得，即可得答案. 【详解】由可知，因此， 即可得， 所以. 故答案为：5 29．(24-25高二上·河南驻马店·期末)已知，，三点在同一条直线上，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先利用空间向量的坐标运算求出与的坐标，再利用列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 又因为，，三点共线， 所以，， 解得，，所以， 故选：C 30．(23-24高二上·河南郑州·期末)已知，，且，则和可分别作为（    ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 【答案】A 【分析】由题意可得，结合圆锥曲线离心率范围即可得解. 【详解】由题意，，且， 所以，解得， 所以和可分别作为双曲线和抛物线的离心率. 故选：A. 31．(23-24高二上·河南洛阳·期末)若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案． 【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，， 若，即，又由，则有， 依次分析选项： 对于A，，，，即成立，符合题意； 对于B，，，，即不成立，不符合题意； 对于C，，，，即不成立，不符合题意； 对于D，，，，即不成立，不符合题意． 故选：A． 32．(23-24高二上·河南新乡·期末)已知为平面的一个法向量， ，则下列向量是平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 ，可知平面的法向量与平面的法向量共线，由选项判断即可求解. 【详解】记，因为，所以 ， 故是平面的一个法向量，故D正确. 易知A，B，C中的向量均不与向量平行，所以均不能作为平面的一个法向量. 故选：D. 33．(23-24高二上·河南濮阳·期末)已知向量与共线，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】C 【分析】根据两向量共线的坐标关系，列出方程求解即可. 【详解】因为向量与共线， 显然：,所以， 所以， 故． 故选：C. 地 城 考点06 空间坐标系 34．(23-24高二上·河南郑州·期末)在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用点关于面对称的结论求解即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故答案为：. 35．(23-24高二上·河南开封·期末)在空间直角坐标系中，点在坐标平面，内的射影分别为点，则 ． 【答案】 【分析】利用空间中点的射影可得两点坐标，再由空间向量模长公式计算即可得出结果. 【详解】根据空间中点的坐标特征可知，， 则，所以. 故答案为： 36．(23-24高二上·河南济源·期末)在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为. 故选：B. 37．(24-25高二上·河南商丘·期末)如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的特征，将向量数量积转化为投影向量，即可判断结果. 【详解】因为平面，平面，平面均与直线垂直， 所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同， 且互不相等，故共有个不同的值． 故选：A 38．(23-24高二下·湖南郴州·期末)如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 【答案】ACD 【分析】取的中点，分析可知平面.对于A：分析可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线与所成角即为，即可得结果；对于C：根据数量积的几何意义分析判断；对于D：分析可知，进而求球的半径和表面积. 【详解】取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为平面，则平面， 由平面，可得. 对于选项A：在中，， 可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆， 所以动点的轨迹长度为，故A正确 对于选项B：因为∥，∥，则∥， 可知异面直线与所成角即为，其正切值为，故B错误； 对于选项C：因为线段在平面内的投影为， 结合选项A可知：在方向上的投影数量的最大值为1， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为平面，且为的外接圆圆心，可知， 则，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确； 故选：ACD. 39．(23-24高二上·河南新乡·期末)已知为正方体所在空间内一点，且，，则（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．存在唯一的，使得平面平面 D．存在唯一的，使得 【答案】AB 【分析】对A：由可得点在线段上，建立空间直角坐标系后由坐标计算即可得；对B：借助线面平行得到三棱锥的高为定值，由底面积亦为定值，故体积为定值；对C：由题意可得平面，故C错误；对D：借助空间向量计算即可得. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，, 因为，故， 即有，即，故点在线段上，有， 则有，， 则，故，故A正确； 由点在线段上，且，又平面， 平面，故平面，故点到平面距离不变， 故三棱锥的体积为定值，故B正确； 在正方体中，平面，， 又平面，故，又平面， 且平面，故平面，又平面， 故平面平面恒成立，故C错误； ， 故， 由，得，方程无解， 故不存在实数，使得，故D错误. 故选：AB. 40．(23-24高二上·河南三门峡·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，则（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B． C． D．点到直线的距离为 【答案】AB 【分析】过作，垂足为，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出坐标，代入空间向量夹角公式计算可判断A；求出可判断B；求出可判断C；利用空间向量求点到直线的距离公式计算可判断D. 【详解】过作，垂足为，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以与不垂直，故C不正确； 设点到直线的距离为，则， 即点到直线的距离为，故D不正确. 故选：AB. 地 城 考点07 空间向量的投影向量 41．(24-25高二上·河南漯河·期末)已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A．-19 B．-20 C．-22 D．-27 【答案】C 【分析】根据投影向量的知识列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，在上的投影向量为， 所以， 解得. 故选：C 42．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 地 城 考点08 空间向量的共面问题 43．(23-24高二上·河南济源·期末)若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】 由题意可知不共面，由此分别判断各选项中的向量是否共面，即得答案. 【详解】由于构成空间的一个基底，故不共面， 对于A，与共面，不共面，故，，不共面， 否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误； 对于B，假设，，共面，则存在实数，使得， 即，则，方程组无解， 假设不成立，故，，不共面，B错误； 对于C，，与共面，由于不共面， 故，与不共面，C错误； 对于D，，故，，共面， 故选：D 44．(23-24高二上·河南南阳·)已知空间直角坐标系中，点，，，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先计算，根据点共面列方程，从而确定正确答案. 【详解】，不共线，设为平面内一点， 则， ，由于无解，所以不在平面内. ，由，解得，所以在平面内. ，由，解得，所以在平面内. ，由于，所以在平面内. 故选：BCD 45．(23-24高二上·河南漯河·期末)已知空间单位向量两两互相垂直，设，则下列说法正确的有（    ） A．与的夹角为 B． C．夹角的余弦值为 D．不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量 【答案】CD 【分析】A选项，计算出，得到与的夹角为；B选项，设，得到方程组，方程组无解，故不平行；C选项，计算出，，，从而利用，求出两向量夹角余弦值；D选项，设，从而得到方程组，求出，所以共面，不能作为基底，D正确. 【详解】A选项，因为空间单位向量两两互相垂直， 所以， 故 ，故与的夹角为，A错误； B选项，， 又，设， 则，所以，无解， 故与不平行，B错误； C选项， ， 其中， 则，同理得， 故夹角的余弦值为，C正确； D选项，设，即， 则，解得， 故，所以共面， 不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量，D正确. 故选：CD 46．(23-24高二上·河南济源·期末)如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，，分别为侧棱，的中点，点在上且. (1)求证：，，，四点共面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，通过计算得出，由平面向量基本定理得到，，共面，即可证明结果； （2）由（1）结果，得到，并求得平面的法向量为，再利用线面角的向量法即可求出结果. （3）由（1）和（2）得，平面的法向量，再由空间距离的向量法即可求出结果. 【详解】（1）（1）因为平面是菱形，所以， 又因为底面，面，所以，， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系： 因为，，，则，，，，， 因为，分别为侧棱，的中点，所以，， 设，，因为， 所以，解得，即. 所以，，. 所以，由向量共面的充要条件可知，，，共面. 又，，过同一点，从而，，，四点共面. （2）由（1）可得，，，， 又因为，所以，. 设平面的法向量，由，得到， 取，可得，，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）和（2）知，平面的法向量， 设到平面的距离为，则. 地 城 考点09 空间向量求解距离、角度问题 47．(24-25高二上·河南信阳·期末)如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 48．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)如图，正四面体中，为的中点，点在上，且，则两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题根据正四面体的几何性质选出一组基底，通过线性运算表示出所求向量，根据数量积运算，可得答案. 【详解】设 ，，，， ， 为中点，， ． ， 根据题意知道，同理，代入上面式子， . 故选：C． 49．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)如图，在平行六面体中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】先用向量线性运算表示出，再利用数量积的运算法则计算，从而得解. 【详解】依题意，设,，， 因为， 所以，，，， 又， 所以 . 故选：A. 50．(24-25高二上·河南南阳·期末)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求二面角余弦值. 【详解】由，且， 得， 故，即， 所以，即二面角的余弦值为. 故选：D 51．(23-24高二上·河南南阳·)已知平行六面体的底面是边长为1的正方形，，. (1)求对角线的长； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：求出、，对两边平方化简计算可得答案；方法二：以为原点，，分别为、轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，再求即可； （2）方法一： 设直线与所成角为，利用计算可得答案；方法二：以为原点，，分别为、轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出、，设直线与所成角为，利用计算可得答案. 【详解】（1）方法一：因为， 又底面是正方形，，，， 所以， 所以 ； 方法二：    如图所示，以为原点，，分别为、轴正方向， 过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， ，所以； （2）方法一：因为， 所以， 又， 设直线与所成角为， 所以， 即直线与所成角的余弦值为； 方法二：    与（1）中的方法二，以为原点，，分别为、轴正方向， 过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设直线与所成角为，所以， 即直线与所成角的余弦值为. 52．(23-24高二上·河南开封·期末)如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 53．(23-24高二上·河南三门峡·期末)在正四棱柱中，，，在线段上，且.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量模的坐标运算求出即可； （2）将直线与平面所成角的正弦值转化为平面的法向量和向量所成角的余弦值，然后利用向量数量积的公式求解. 【详解】（1）由题意得，，，，，， 所以， 所以； （2）由已知得，, ， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 54．(23-24高二上·河南济源·期末)在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. (1)证明：平面； (2)当为何值时，的长最小并求出最小值； (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)时，最小为 (3) 【分析】（1）推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间两点间的距离公式可求得的最小值及其对应的的值； （3）写出点、的坐标，利用空间向量法可求出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，所以，. 则，易知平面的一个法向量为. 因为，所以. 又平面，所以平面. （2）解：，其中. ， 当时，最小，最小值为. （3）解：由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短， 此时、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以，， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 试卷第36页，共36页 试卷第33页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $