专题02 圆的方程（8大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更离效 专题02 圆的方程 ☆8大高频考点概览 考点01与圆的方程相关的参数问题 考点02求圆的方程 考点03直线与圆相交的弦长问题 考点04直线与圆相交的其他问题 考点05圆与圆的位置关系 考点06直线与圆相切问题 考点07与圆相关的距离最值问题 考点08圆的综合问题 目目 裁点01 与圆的方程相关的参数问题 1.(24-25高二上·河南周口期末)已知曲线x2+y2+2my+1=0表示圆，则实数m的取值范围为() A.(2,+∞) B.(-∞，-1)U(1,+∞) C.(-1,1) D.(-∞，-2)U(2,+0) 2.(24-25高二上河南信阳期末)圆x2+y2-4mx+2y+3m2+2m+4=0的圆心在第三象限，则m的取值 范围为() A,(-∞，-1)B.（-∞，0) C.(-1,3) D.(-∞，-1)U(3,+∞) 3.(24-25高二上河南新乡·期末)已知点A(-2,1)在圆C:x2+y2+x-y+m-1=0的外部 (1)求m的取值范围； (2)若mEN+,求过点B(-1,一1)且与圆C相切的直线的方程 4.(23-24高二上河南信阳固始县期末已知圆C:x2+y2-2mx+4y+2m2-4m-1=0,直线：x+y-1=0. (1)求m的取值范围； (2)当圆C的面积最大时，求直线被圆C截得的弦长。 5.(24-25高二上河南商丘期末)若点A(1,2)在圆x2+y2+2x-4y+a=0外，则实数a的取值范围为() 试卷第1页，共9页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a>1 B.1<a<5 C.a<5 D.2<a<6 6.(23-24高二上·河南漯河期末)已知点(3，m)在圆x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0外，则实数m的 取值范围为 目目 裁点02 求圆的方程 7.(24-25高二上·河南开封期末)圆C的圆心在x轴上，且经过A(0,1),B(2,1)两点，则圆C的标准方程 为 8.(24-25高二上河南新乡·期末)己知0为坐标原点，A(1,0),B(0,7).若动点P满足IPA=V21P0PB1=a,则 正数a的最大值为() A.3√2 B.4V2 C.5√2 D.6V2 9.(22-23高二上河南驻马店期末)以A(0,0),B(2,0)为直径两端点的圆的方程为（) A.x2+y2-2x=0 B.x2+y2+2x=0 C.x2+y2-2y=0 D.x2+y2+2y=0 10.(23-24高二上河南驻马店)已知曲线C:mx2+y2=1(m,n∈R),下列命题错误的是() A.若mn<0,则C是双曲线 B.若mn>0,则C是椭圆 C.若m=n,则C是圆 D.若mn=0,则C是两条直线 11.(24-25高二上河南豫东名校期末)在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-1,1),B(2,-1),C (1,4),则() A.△ABC为直角三角形 B.△ABC为等腰三角形 C.△ABC的外接圆方程为(x-}°+(0-引=号 D.△ABC的重心位于直线y=x上 12.(23-24高二上·河南漯河·期末)求符合下列条件的曲线方程： (1)已知点A(-2,0),B(4,0),C(3,5),D(4,4)四点，你只需任意选择其中三个点作圆，求所作圆的标准方程 (2)以x轴，y轴为对称轴，且同时过M(一1,1)，N(2,-3)两点的圆锥曲线的标准方程 13.(24-25高二上·河南漯河·期末)已知圆C:x2+y2+ax-by=0关于直线y=-3x对称，且过点P (0,3). (1)求圆的圆心坐标和半径； 试卷第2页，共9页 密学科同 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若直线1过点(1,0)，且与圆C交于A,B两点，满足|AB=1,求直线1的方程 14.(23-24高二上·河南济源·期末)已知圆C关于直线x-y-1=0对称，且圆C与直线2x+3y-10=0相切 于点P(2,2) (1)求圆C的标准方程； (2)若过点Q(2,3)的直线被圆C截得的弦AB长为6，求直线的方程 15.(23-24高二上河南开封期末)已知圆心为C的圆经过A(2,-4),B(-1,-1)两点，且圆心C在直线 l:2x+y=0上. (1)求圆C的标准方程； (②)求与直线AB平行且与圆C相切的直线的方程. 16.(23-24高二上·河南新乡·期末)己知圆C过点A(-5,-1)和B(2,0),且圆心C在直线x+y-1=0上， (1)求圆C的标准方程； (2)经过点(3,4)的直线1与圆C相切，求的方程 17.(24-25高二上河南信阳期末)已知A(0,-2),B(2,2),过A,B两点的圆的圆心为M,且M在y轴上. (I)求线段AB垂直平分线方程和⊙M的方程； (2)设P为y轴正半轴上的点，过P作⊙M的两条切线PC,PD,C,D为切点，当LCPD=60时，求点P的坐 标. 目目 裁点03 直线与圆相交的弦长问题 18.(24-25高二上河南新乡期末)己知直线x+y=0与圆C:(x-4)2+y2=11相交于A,B两点，则AB1= () A.2√113 B.2V6 C.23 D.2 19.(24-25高二上河南开封期末)已知直线1与圆0：x2+y2=5相交，且直线1被圆0所截得的弦长为4，则直 线的方程可能是（) A.x+2y+5=0 B.x+2y+V5=0 C.x+2y+2=0 D.x+2y+V2=0 20.(23-24高二上河南开封期末)已知圆C:x2+(y-2)2=4,若直线：mx-y+(m+1)=0(mER)与圆C 相交于两个不同的点A,B,则AB的最小值是一· 21.(24-25高二上·河南郑州期末)己知圆心为C的圆经过A(-1,一1)，B(-2,2)两点，且圆心C在直线1： x-y-1=0上 试卷第3页，共9页 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求圆C的标准方程， (2)过点M(0,3)的直线被圆C截得的弦长为8，求直线的方程 22.(23-24高二上·河南南阳)在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答 ①与直线4x-3y=0垂直：②-个方向向量为元=(1，-)： 问题：已知直线过点P(1,-2),且 (1)求直线的一般式方程； (2)若直线l与圆x2+y2=10相交于A、B两点，求弦AB的长 23,(24-25高二上·河南三门峡期末)己知直线l1:2x-y-1=0和l2x-y+2=0的交点为Q,求： (1)过点Q且与直线l33x+y-2=0垂直的直线的方程； (2)以点Q为圆心，且与直线3x+4y+1=0相交所得弦长为12的圆的方程 24.(2425高二上河南许昌期末)已知点A(2,2)、B(5,2),动点P(x,y)到A、B的距离之比为号，设动点P的轨 迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)已知直线过点(2,1)且与曲线E交于M、N两点，若|MN=2W3,求直线的方程， 25.(24-25高二上河南周口·期末)已知圆E经过点P(-2,4,且与圆C1x2+y2-2x=0相切于点A(2,0) (I)求圆心C1的坐标； (2)求圆E的标准方程： (3)过点A的直线l与圆C1和圆E分别交于x轴上方的B,C两点，若|BC=3V2,求直线的方程 裁点04 直线与圆相交的其他问题 26.(24-25高二上河南三门峡期末)若圆(x-a)2+(y+2)2=16上存在到直线4x-3y-2=0的距离等于 1的点，则实数a的取值范围是() A.[-9到 B.[- C.(-o,-u眼+) D.(-o,-uA,+) 27.(24-25高二上河南洛阳期末)已知O为坐标原点，点M满足|0M]=1,则点M到直线x-my+m-2=0 距离的最大值为 28.(24-25高二上河南驻马店环际大联考“逐梦计划”)己知平面直角坐标系中，圆0：x2+y2=8,点P 试卷第4页，共9页 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更离效 （-4,2), (I)若A是圆O上的动点，线段AP的中点为M,求M的轨迹方程； (2)过点Q(-1,2)作直线l与点M的轨迹方程交于C、D两点，若CD=2,求直线的方程 29.(23-24高二上河南驻马店)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平 面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，在平面直角坐 标系x0y中，N0,0),M(3,0.动点Q满足8=2，设动点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (②)直线l:x+my+m=0(m∈R)与曲线C交于A,B两点，若m∈{-1,0,1}，从中任选一个m值，求此时相应的 弦长|AB引· 30.(24-25高二上·河南漯河·期末)己知圆C1x2+y2-2x-4y=0,圆C2:x2+y2+mx+y=0,若圆C2平 分圆C1的周长，则n2-m的最小值为（) A.4 B.6 C.8 D.9 裁点05 圆与圆的位置关系 31.(24-25高二上河南豫东名校期末)若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-2m+1=0恰有一个公共点， 则m的值为， 32.(23-24高二上河南济源期末)若圆C1x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x-8y-m=0只有唯一的公共点， 则m= 33.(23-24高二上河南郑州期末)写出圆M:(x-2)2+(y-1)2=5与圆N:(x+2)2+(y+1)2=5的一条 公切线方程—· 34.(24-25高二上河南南阳期末)已知圆C1(x+1)2+(y+1)2=2,圆C2x2+y2-4x-4y=0,则两圆 的公切线条数为() A.4 B.3 C.2 D.1 35.(23-24高二上河南开封期末)己知圆C1x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-8=0,则C1与C2的位置 关系是() A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 36.(23-24高二上河南三门峡期末)圆C:x2+y2-2x+4y=r2-5(r>0)与圆D:x2+y2=9的位置关系 不可能是() 试卷第5页，共9页 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 37.(23-24高二上河南部分名校期末)已知圆01x2+y2-2x=0和圆02x2+y2+2x-4y+1=0,则 () A,圆02与x轴相切 B.两圆公共弦所在直线的方程为x一y+1=0 C.有且仅有一个点P,使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 D.两圆的公切线段长为√7 38.(23-24高二上·河南郑州期末)已知两圆C1:x2+y2=9,C2:x2+y2-4x+3=0,则下列说法正确的 是() A.点(4,0)在圆C2内 B.圆C2关于直线x+3y-2=0对称 C.圆C1与圆C2外切 D.点P在圆C1上，点Q在圆C2上，则PQ的最大值为6 39.(23-24高二上河南郑州·期末)已知圆C的圆心为(1,0)，过直线2x-y+3=0上一点P作圆的切线，且切 线段长的最小值为2. (1)求圆C的标准方程； ②若圆C与圆C:(x-)}+(-》=相交于A,B两点，求两圆公共弦AB的长. 目目点06 直线与圆相切问题 40.(24-25高二上河南许昌期末)若过点P(1,2)的直线l1与圆C:(x-2)2+y2=5相切，又与直线L2 :ax-y+1=0平行，则a=() A.2 B.1 c.-月 D. 41.(24-25高二上河南郑州期末)已知P是直线：x-y+6=0上一动点，过点P作圆C:x2+y2-4x=0 的两条切线，切点分别为A,B,则四边形PACB周长的最小值为() A.2+27 B.4+4V7 C.4+2W7 D.8 42.(24-25高二上河南驻马店·期末)已知点P(1,2)是圆C:x2+y2+x-2y+m=0(meN*)外一点，以CP 为直径的圆与圆C相交于A,B两点，则四边形PACB的面积为() A.四 B.3 4 c.9 D.3 4 试卷第6页，共9页 函学科同 www.zxxk.com 让教与学更离效 43.(23-24高二上河南商丘中州联盟·期末)已知圆C:x2+y2+4x-2ay+a2=0关于直线x-3y+8=0对 称，过点D(1,0)分别作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则cos∠ACB=() A.吕 B.-号 c.品 D.-品 44.(24-25高二上河南南阳·期末)直线1经过两直线l1x+2y-6=0和l2:2x一3y+2=0的交点. (1)若直线1与直线3x+y-2=0垂直，求直线1的方程； (2)若直线1与圆(x+1)2+y2=9相切，求直线1的方程. 45.(24-25高二上.河南洛阳·期末)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4 (1)若直线1过点A(1,1))且与圆C相切，求直线1的方程； (2)若直线1过点B(5,0)与圆C相交于P,Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线1的方程 46.(23-24高二上河南洛阳·期末)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4. (1)若直线过定点A(1,3),且与圆C相切，求的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线m:x+y一4=0上，且与圆C外切，求圆D的方程 47.(22-23高二上·河南驻马店·期末)已知点A(-1,0),B(3,0),动点P满足|PA2+1PB12=26. (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线过点Q(-2,3)且与点P的轨迹只有一个公共点，求直线的方程. 48.(23-24高二上河南部分名校期末)己知圆C:(x-a)2+y2=(a-1)2(a>0),过点P(1,V3作圆C的两条 切线，切点分别为A,B,且∠APB= (I)求a的值： (2)过点D(1,O)作两条互相垂直的直线，分别与圆C交于不同于点D的两点M,N,若MDND=V2,求直线MN 的方程 目目 载点07 与圆相关的距离最值问题 49.(24-25高二上河南商丘期末)已知点M,W在直线：2x-y-2=0上运动，且MN1=2V5,点P在圆C: (x+4)2+y2=5上，则△PMN的面积的最大值为() A.8W5 B.4v5 C.20 D.15 50.(23-24高二上·河南济源·期末)我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入 微；数形结合百般好，隔离分家万事休”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图结合起来是解决数学问题的有 效途径若x2+y2-2x-2=0,则十的取值范围为（) 试卷第7页，共9页 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A[-,2B.[-9 C.[-2V3,23D.[-V33 51.(24-25高二上河南驻马店环际大联考“逐梦计划)已知点A(-1,0),B(0,3),点P是圆(x-3)2+y2=1 上任意一点，则△PAB面积的最小值为() A.6 B.号 c.3 D.6-o 2 52.(23-24高二上·河南新乡·期末)已知圆0：x2+y2=4,动直线过点P(3,0),下列结论正确的是() A.当l与圆0相切于点E时，PE1=V5 B.点P到圆O上点的距离的最大值为5 C.点P到圆0上点的距离的最小值为2 D.若点Q(0,1)在上，1与圆O相交于点M,N,则MN=30 10 53.(23-24高二上河南洛阳期末)若圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,2)的距离为3，则实数a的取值范 围是() A.(2,4 B.(0,4) C.（-23,23 D.（-2V3,0)U(0,23 54.(22-23高二上河南驻马店·期末)己知动点P在抛物线y2=8x上，过点P引圆(x-5)2+y2=4的切线， 切点分别为A,B,则AB的最小值为， 55.(23-24高二上河南新乡期末)若直线x+3y-1=0是圆x2+y2-2ax-8=0的一条对称轴，则点P(2,W3 )与该圆上任意一点的距离的最小值为 目目 点08 圆的综合问题 56.(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知曲线B:xx+yy川=1，则下列结论中正确的是() A.曲线E关于直线y=-x对称 B.曲线E上的点到直线y=x的最大距离是V2 C.曲线E与直线y=x无公共点 D.曲线E与圆(x+V2)2+(y+V2)2=9有三个公共点 57.(24-25高二上河南周口·期末)如图，“倒M形”曲线E由两部分组成，y轴左侧部分曲线为C1x+ V-y2+2例=0(x<0,y及其右侧部分曲线为Czx-a1-景=0(x≥0，a>b>0),且a2-b2=4,若P 试卷第8页，共9页 密学科同 www.zxxk.com 让教与学更高效 (x,y)为倒M形”曲线E上一动点，则下列说法正确的是() P(x,y) A.曲线C1与y轴所围成区域的面积为2π B.曲线c2的方程为号+￥=10x≥0) C.IOPI的最大值为2 D.若直线y=-2x+t与曲线E有四个交点，则实数t的取值范围为(1-V5,0) 58.(24-25高二上·河南洛阳·期末)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内 到两个定点A,B的距离之比为定值1(1>0，且)≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字 命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2,1),B(-2,一2)，点P是满足 1=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为一；若点Q为抛物线E:y2=8x上的动点，Q在轴y 上的射影为H,则PA+IPQI+IQH的最小值为一 59,(23-24高二上·河南驻马店)法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭 圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C:号+y2=1,其蒙日圆为圆M,过直线 l:x一y一4=0上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A,B,则下列选项正确的是（) A.圆M的方程为x2+y2=3 B.四边形PAMB面积的最小值为4 C.PA.PB的最小值为8W2-12 D.当点P为(1，-3)时，直线AB的方程为x-3y-4=0 60.(23-24高二上河南漯河·期末)已知曲线C:(x-1)2+(1y川-1)2=2，则() A.曲线C上两点间的最大距离为2+2V2 B.点P(m,m)在曲线C上，则m=2 C.直线x+y-m=0与曲线C有公共点，则-2≤m≤5 D.曲线C所围成的封闭图形的面积为3π+2 试卷第9页，共9页 专题02 圆的方程 8大高频考点概览 考点01 与圆的方程相关的参数问题 考点02 求圆的方程 考点03 直线与圆相交的弦长问题 考点04 直线与圆相交的其他问题 考点05 圆与圆的位置关系 考点06 直线与圆相切问题 考点07 与圆相关的距离最值问题 考点08 圆的综合问题 地 城 考点01 与圆的方程相关的参数问题 1．(24-25高二上·河南周口·期末)已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【详解】若曲线表示圆， 则由圆的一般方程可知，，解得或. 故选：B. 2．(24-25高二上·河南信阳·期末)圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可. 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 3．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知点在圆的外部. (1)求的取值范围； (2)若，求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用点在圆的外部，将A点代入方程大于0，又圆C成立的条件为,联立两个方程即可求得结果. （2）分情况讨论，当斜率不存在时（不符合题意）；当斜率存在时，利用点到线的距离等于半径即可求得结果. 【详解】（1）因为点在圆的外部， 所以 解得，所以的取值范围为. （2）因为，所以. 由圆化简可得，圆心，半径为. 当垂直于轴时，显然不与圆相切，故设的方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得或， 则的方程为或. 4．(23-24高二上·河南信阳固始县·期末)已知圆，直线． (1)求m的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求直线被圆截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将圆的一般方程进行配方，从而由半径大于0得到关于的不等式，解之即可得解. （2）利用配方法求得圆的面积取得最大值时的值，从而利用弦长公式即可得解. 【详解】（1）因为圆， 可化为， 由，得， 故的取值范围为. （2）因为， 故当时，半径取得最大值，则圆的面积最大， 此时，圆的方程为， 圆心到直线的距离， 则所求弦长为， 故当圆的面积最大时，直线被圆截得的弦长为. 5．(24-25高二上·河南商丘·期末)若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为点在圆外，则，解得. 故选：B. 6．(23-24高二上·河南漯河·期末)已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可. 【详解】由表示圆， 标准方程是, 所以，解得， 由点在圆外， 即， 所以或， 综上. 故答案为：. 地 城 考点02 求圆的方程 7．(24-25高二上·河南开封·期末)圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程. 【详解】解：设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆C的标准方程为 故答案为：； 8．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点，再根据计算得出，最后结合圆与圆的位置关系计算求参即可. 【详解】设，则. 因为，所以， 化简得，故点在以为圆心，为半径的圆上. 又因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上. 结合题意可知两圆相交或外切或内切，所以， 解得，故正数的最大值为. 故选：D. 9．(22-23高二上·河南驻马店·期末)以，为直径两端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中点坐标公式求出圆心坐标，两点间距离公式求出圆的直径，得解. 【详解】，， 的中点坐标为， 以为直径的圆的圆心为，又， 圆的半径为1， 以为直径的圆的方程为即. 故选：A. 10．(23-24高二上·河南驻马店·)已知曲线，下列命题错误的是（    ） A．若，则是双曲线 B．若，则是椭圆 C．若，则是圆 D．若，则是两条直线 【答案】BCD 【分析】就的关系或符号分类讨论后可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，异号，故曲线是双曲线，故A正确； 对于B，若，则曲线是圆，故B错误； 对于C，若，则曲线不存在，故C错误； 对于D，若，满足，但曲线不存在，故D错误. 故选：BCD. 11．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 【答案】ABC 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 12．(23-24高二上·河南漯河·期末)求符合下列条件的曲线方程： (1)已知点四点，你只需任意选择其中三个点作圆，求所作圆的标准方程. (2)以轴，轴为对称轴，且同时过两点的圆锥曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选、，可以推导出圆心为、的中点，半径，即可求出圆的方程；若选、、或、、设出圆的一般式方程，即可得到方程组，解得即可； （2）首先判断不可能为抛物线，设为，代入点的坐标得到方程组，解得即可. 【详解】（1）若选择、、三点，因为，， 所以，即， 所以圆心为、的中点，半径， 所以过、、三点的圆的方程为； 若选择、、三点， 设圆的方程为，则，解得， 所以过、、三点的圆的方程为； 若选择、、三点，因为，， 所以，即， 所以圆心为、的中点，半径， 所以过、、三点的圆的方程为； 若选择、、三点， 设圆的方程为，则，解得， 所以过、、三点的圆的方程为； （2）依题意该圆锥曲线不可能为抛物线，故设曲线方程为， 则，解得， 所以曲线方程为. 13．(24-25高二上·河南漯河·期末)已知圆C：关于直线对称，且过点． (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线l过点，且与圆C交于A，B两点，满足，求直线l的方程． 【答案】(1)，． (2)或． 【分析】（1）由圆的一般式方程可得圆心为，用两点之间的距离得到径,即可得到结果. （2）首先将直线分为斜率不存在时与斜率存在时，再利用弦长公式即可得到直线方程. 【详解】（1）根据题意，圆C：的圆心为， 因为圆C关于直线对称，所以点C在直线上，可得，即， 由点在圆C上，可得，解得，所以， 圆心为，半径． （2）由（1）得圆C的标准方程为， ①当直线l的斜率不存在时，直线l：，交圆C于点，，此时，符合题意； ②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即． 若圆心到直线l的距离为d，则，解得． 所以，解得，所以直线l的方程为． 综上：直线l的方程为或． 14．(23-24高二上·河南济源·期末)已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线PC的方程，再与直线联立求出圆心坐标即可求解作答. （2）设出直线l的方程，求出圆心C到直线l的距离，借助点到直线距离公式计算作答. 【详解】（1）因为圆与直线相切于点 所以过点与直线垂直的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 由，解得圆心.所以半径. 故圆的标准方程为：； （2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：， 即，所以圆心到直线的距离， 又因为，，所以，解得. 此时直线的方程为. ②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径， 弦长为，符合题意. 综上，直线的方程为或.    15．(23-24高二上·河南开封·期末)已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆心坐标利用圆过两点以及圆心位置即可求得圆心坐标和半径，可得圆C的标准方程； （2）由直线平行可设直线方程为，再由直线与圆相切可求得直线方程. 【详解】（1）如下图所示： 设圆心，因为圆心C在直线上，所以， 因为A，B是圆上的点，所以， 根据两点间距离公式，有，即， 解之可得，， 所以圆心，半径， 所求圆的标准方程为． （2）直线斜率为，所以所求直线的斜率也为， 设所求直线方程为， 所以圆心C到该直线的距离为，解之得， 所以所求直线方程为：． 16．(23-24高二上·河南新乡·期末)已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点的直线与圆相切，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以圆的方程为. （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 17．(24-25高二上·河南信阳·期末)已知，过A，B两点的圆的圆心为M，且M在y轴上． (1)求线段垂直平分线方程和的方程； (2)设P为y轴正半轴上的点，过P作的两条切线为切点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据两直线的位置关系求出线段垂直平分线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求出垂直平分线方程；利用待定系数法计算即可求出圆的方程； （2）如图，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 所以线段垂直平分线的斜率为， 因为中点坐标为， 所以其方程为，即； 设，则，圆的标准方程为， 有，解得， 所以圆的标准方程为. （2）如图，， 则，所以，即. 地 城 考点03 直线与圆相交的弦长问题 18．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由圆方程求圆心的坐标，圆的半径，再求圆心到直线的距离，利用弦长公式求结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 则. 故选：C. 19．(24-25高二上·河南开封·期末)已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂径定理和点到直线的距离公式逐项判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为弦长为4，所以圆心到直线的距离， 对于A，，不符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，不符合题意； 故选：B 20．(23-24高二上·河南开封·期末)已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线过定点，且点在圆内，根据圆的性质结合垂径定理求弦长的最小值. 【详解】因为直线，即， 可知直线过定点， 又因为圆的圆心，半径， 且， 即点在圆内，可知直线与圆相交， 由圆的性质可知：当且仅当时，取到最小值. 故答案为：. 21．(24-25高二上·河南郑州·期末)已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线 : 上. (1)求圆的标准方程; (2)过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 . 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程； （2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，再讨论直线的斜率，代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 故圆心的坐标为， 因为圆心在直线上， 所以 因为是圆上两点，所以 ，根据两点间的距离公式，有 ，即 ， 由①②可得 ， 故圆的方程为 ， （2）由(1)知，圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为,则 , 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为3，符合题意; 若直线的斜率存在，设直线的方程为,即, 由题意可得 ，解得， 此时，直线的方程为,即. 综上所述，直线的方程为或. 22．(23-24高二上·河南南阳·)在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线垂直；②一个方向向量为； 问题：已知直线过点，且______. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求弦的长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）若选①根据垂直关系得到所求直线的斜率，利用点斜式求解；若选②根据方向向量直接求所求直线的斜率，然后利用点斜式求解直线方程. （2）利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离然后根据公式求弦长. 【详解】（1）（1）若选①，因为直线的斜率为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 依题意，直线的方程为，即； 若选②，因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 直线的方程为，即. （2）（2）由（1）可得：直线的方程为. 圆的圆心到直线的距离为：. 又圆的半径为， 所以. 23．(24-25高二上·河南三门峡·期末)已知直线和的交点为，求： (1)过点且与直线垂直的直线的方程； (2)以点为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程求得交点，根据直线垂直设出方程，代入交点坐标，可得答案； （2）求得圆心到直线的距离，利用弦长公式建立方程，可得答案. 【详解】（1）联立方程可得，解得，则， 与直线的直线可设为， 将代入上式可得，解得， 所以直线的方程为. （2）点到直线的距离， 设圆的半径为，由圆与直线相交所得弦长为， 则，即，解得， 所以圆的方程为. 24．(24-25高二上·河南许昌·期末)已知点、，动点到、的距离之比为，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知直线过点且与曲线交于、两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由平面内两点间的距离公式结合化简可得出曲线的方程； （2）计算出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可知即，化简可得， 所以曲线的方程． （2）由（1）可知，曲线是以为圆心，为半径的圆． 因为，所以，圆心到直线的距离，    当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时直线的方程为． 当直线斜率不存在时，直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为，直线符合题意． 综上，直线的方程为或． 25．(24-25高二上·河南周口·期末)已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆心的坐标； (2)求圆的标准方程； (3)过点的直线与圆和圆分别交于轴上方的两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由配方得到标准方程即可； （2）由两圆位置关系及圆心在轴上，列出等式求解即可； （3）过分别作，，得到，再结合圆的性质得到，进而得到，再通过中，，即可求解； 【详解】（1）由圆配方得，， 所以圆心. （2）因为圆经过点，且与圆相切于点， 所以圆与圆内切，且圆心在轴上， 设圆心，圆的半径为， 则， 解得 故圆的标准方程为. （3）如图，过分别作，，垂足分别为， 因为， 所以， 由圆的性质可知，，，所以， 所以， 又，所以， 在圆中，得， 在中，，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 地 城 考点04 直线与圆相交的其他问题 26．(24-25高二上·河南三门峡·期末)若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程可得圆心与半径，分直线与圆的位置为相离、相切与相交三种情况，建立不等式，可得答案. 【详解】由圆可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 当直线与圆相离或相切时，即，圆上的点到直线的距离最小值为， 由题意可得，解得或； 当直线与圆相交时，即，圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 由题意可得，由，不等式显然成立，由不等式，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 27．(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知O为坐标原点，点M满足，则点M到直线距离的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，而直线恒过定点，则点M到直线距离的最大值为：即可求解． 【详解】解：由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆， 如图所示： 直线，即， 则直线恒过定点， 则点M到直线距离的最大值为：． 故答案为： 28．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知平面直角坐标系中，圆，点， (1)若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹方程交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）是线段的中点，利用中点坐标公式表示出点坐标，代入圆即可. （2）斜率存在时，设，则的圆心到直线的距离，解得，得到的直线方程，斜率不存在时也符合. 【详解】（1）设，，因为线段的中点为， 则，所以， 点在圆上，代入圆，得， 化简得，即为的轨迹方程； （2）由（1）知：的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当直线的斜率存在时，设，即， 则的圆心到直线的距离， 所以，解得，故直线为； 当直线斜率不存在时，，也符合题意， 所以直线的方程为或. 29．(23-24高二上·河南驻马店·)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，由距离公式得到，整理即可得解； （2）根据所选的值确定直线的方程，再求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式计算可得. 【详解】（1）设， 由，得， 整理得， 即曲线的方程为. （2）①如果选，此时直线的方程为 而圆的半径，圆心到直线的距离为， 故弦长， ②如果选，此时直线的方程为， 由，解得或， 则直线与圆的两个交点坐标为，， 故弦长. ③如果选，此时直线的方程为， 可知直线经过圆心，圆的半径， 所以弦长. 30．(24-25高二上·河南漯河·期末)已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在直线的方程．由题意知圆的圆心在直线上，可得，再利用二次函数的性质可求最小值． 【详解】∵方程表示圆， ∴，即． 圆，圆， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程：． 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在直线上， ∵圆的圆心为， ∴，即， ∴， ∴当时，取最小值9． 故选：D． 地 城 考点05 圆与圆的位置关系 31．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)若圆与圆恰有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或6 【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果. 【详解】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）. 而圆的圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时， ，可得，解得； 当两圆内切时， ，可得. 当时，解得. 当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）. 故的值为或. 故答案为：或. 32．(23-24高二上·河南济源·期末)若圆与圆只有唯一的公共点，则 . 【答案】或 【分析】求出两圆圆心坐标与半径长，分两圆外切和内切两种情况讨论，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，其中， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，两圆外切或内切，且， 若两圆外切，则，即，解得； 若两圆内切，则，即，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 33．(23-24高二上·河南郑州·期末)写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 34．(24-25高二上·河南南阳·期末)已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数． 【详解】圆标准方程为， 则已知两圆圆心分别为，半径分别为， 圆心距为， 因此两圆外切，它们有三条公切线， 故选：B． 35．(23-24高二上·河南开封·期末)已知圆，圆，则与的位置关系是（   ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【分析】由圆的方程得出两圆圆心坐标和半径大小，再由圆心距和半径之间的关系可得结论. 【详解】易知圆的标准方程为， 可得圆心，半径； 圆的标准方程为， 可得圆心，半径； 显然圆心距，且，即，可得两圆内切. 故选：D 36．(23-24高二上·河南三门峡·期末)圆：与圆：的位置关系不可能是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】将圆化为标准方程得出其圆心与半径，根据圆的标准方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离，与两半径距离之和与差对比即可得出答案. 【详解】圆：化为标准方程， 则圆的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 则两圆心距离为， 所以两圆不可能外切. 故选：D. 37．(23-24高二上·河南部分名校·期末)已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 38．(23-24高二上·河南郑州·期末)已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】BD 【分析】根据点与圆的位置关系判断A；圆的圆心在上，判断B；圆与圆位置关系判断判断C；根据圆与圆相内切，得到的最大值，判断D. 【详解】圆：，整理得，圆心为，半径为 对于A选项，由于点到圆圆心的距离为，故点在圆外，故A错误； 对于B选项，由于满足，故圆关于直线对称，故B正确； 对于C选项，由于圆：，圆心，半径为3，两圆圆心距为， 所以圆与圆内切，故C错误； 对于D选项，点在圆上，点在圆上，因为圆与圆内切， 所以的最大值为圆的直径6，故D正确， 故选：BD. 39．(23-24高二上·河南郑州·期末)已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长． 地 城 考点06 直线与圆相切问题 40．(24-25高二上·河南许昌·期末)若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设与直线平行的直线为，根据题意有，由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设与直线平行的直线为， 又直线过点，所以，所以直线为， 又因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 故选：D. 41．(24-25高二上·河南郑州·期末)已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 42．(24-25高二上·河南驻马店·期末)已知点是圆：外一点，以为直径的圆与圆相交于，两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆求出，再由，求出、，再由可得答案. 【详解】圆：， 因为，所以，，， 因为以为直径的圆与圆相交于，两点， 所以，， 又，， 所以， 所以. 故选：C. 43．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知直线过圆心，代入解得，再根据切线性质可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】圆可化为． 可知圆心为，半径， 因为圆关于对称，即直线过圆心， 则，解得， 可得，且， 所以． 故选：D． 44．(24-25高二上·河南南阳·期末)直线l经过两直线和的交点． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l与圆相切，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求已知直线的交点，根据直线的垂直关系求直线方程即可； （2）讨论直线l的斜率存在性，结合直线与圆相切的性质列方程求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）由，得，所以交点坐标为； 又直线l与直线垂直，设直线l的方程为， 将代入得，所以直线l的方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时圆心到直线l的距离为3，等于圆的半径，故直线l与圆相切，满足题意； 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即， 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离，解得， 此时直线l的方程为， 综上所述，直线l的方程为或． 45．(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）先判断点在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，与圆相切，即可求解. （2）设直线l的方程为，求出圆心到直线l的距离，结合弦长公式利用基本不等式求解面积的最大值，求出，列式求解，即可求出直线方程. 【详解】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为2，即，解的， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为直线与圆相交，所以斜率k存在，且. 设直线l的方程为，即， 所以圆心到直线l的距离， 故可得， 当且仅当时等号成立， 此时，解的或. 所以直线的方程为：或. 46．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线； （2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 47．(22-23高二上·河南驻马店·期末)已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线过点且与点的轨迹只有一个公共点，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设，应用两点距离公式及已知条件，整理化简求轨迹方程； （2）由题意，直线与相切，讨论所求直线斜率，设直线方程，根据圆心与直线距离求参数求直线方程. 【详解】（1）设，由条件，则， 整理：，即点的轨迹方程为. （2）过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，即直线与相切，    当直线的斜率存在时，不妨设， 则圆心到直线的距离，得：，此时； 当的斜率不存在时，直线此时直线与圆相切； 综上所述，满足题意得直线的方程为：或 48．(23-24高二上·河南部分名校·期末)已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求的值； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作出图形后利用勾股定理求解即可. （2）利用等面积法求解即可. 【详解】（1）由题意可知圆的圆心为，半径. 因为，所以，从而， 即，两边平方整理得， 又因为，所以. （2）由（1）知圆，点在圆上， 又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心， 显然直线的斜率不为0，设其方程为， 点到直线的距离为. 根据三角形的面积公式可得. 所以，解得， 所以直线的方程为或. 地 城 考点07 与圆相关的距离最值问题 49．(24-25高二上·河南商丘·期末)已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．20 D．15 【答案】D 【分析】根据题意，当到直线的距离最大时，的面积最大，再结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设圆心到直线的距离为，到直线的距离为， 又圆心坐标为，所以，又半径为， 则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为. 故选：D. 50．(23-24高二上·河南济源·期末)我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从斜率角度考虑，可看作圆上的点与点连线的斜率，数形结合，利用点到直线距离公式进行求解. 【详解】可看作圆上的点与点连线的斜率， 如图，只需求出临界状态：相切时的斜率， 设直线为， 则圆心到直线距离，解得：， 所以的取值范围为. 故选：D 51．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 52．(23-24高二上·河南新乡·期末)已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（    ） A．当与圆相切于点时， B．点到圆上点的距离的最大值为5 C．点到圆上点的距离的最小值为2 D．若点在上，与圆相交于点，则 【答案】AB 【分析】结合切线长公式计算可判断A项，运用圆上的点到圆外一定点的距离的最大值为，最小值为（为圆心到圆外定点的距离）可判断B项、C项，运用圆内弦长公式计算可判断D项. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为2， 对于A项，如图所示，    则，故A项正确； 对于B项，    如图所示，点到圆上点的距离的最大值为，故B项正确； 对于C项，    如图所示，点到圆上点的距离的最小值为，故C项错误． 对于D项，    直线的方程为，则点到直线的距离， 所以，故D项错误． 故选：AB. 53．(23-24高二上·河南洛阳·期末)若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可． 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 54．(22-23高二上·河南驻马店·期末)已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设圆心为，由四边形的面积得，利用转化为，再由距离公式求的最小值即可. 【详解】 设圆心为，半径为2，则四边形的面积， 所以， 又在中，， 所以， 设，则， 所以当时，有最小值， 此时有最小值 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题中求有最小值关键是利用四边形的面积将的表达式求出来，再转化为的函数求最值. 55．(23-24高二上·河南新乡·期末)若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为 ． 【答案】1 【分析】 利用圆关于直线对称可知该直线过圆心，可得，再利用定点到圆上点距离的最值的求法即可求得结果. 【详解】 由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心， 则，解得， 则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为， 易知圆心与的距离为， 故点与该圆上任意一点的距离的最小值为． 故答案为：1 地 城 考点08 圆的综合问题 56．(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知曲线，则下列结论中正确的是（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线上的点到直线的最大距离是 C．曲线与直线无公共点 D．曲线与圆有三个公共点 【答案】D 【分析】对于A，设点是曲线上任一点，判断其关于直线的对称点是否在曲线上，即可求解；对于B，利用曲线的图象，即可判断；对于C，联立方程直接求解即得；对于D，利用圆与圆的位置关系的判断方法，再结合图象，即可判断. 【详解】对于A，设点满足， 易知点关于直线对称的对称点是， 将点代入，得， 整理得，故曲线不关于直线对称，故A错误； 对于B，当时，曲线方程为，表示圆的一部分， 当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的等轴双曲线的一部分， 当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的等轴双曲线的一部分， 当时，方程不表示任何曲线， 所以图象如图所示： 由图知，曲线上的点到直线的距离无最大值，所以B错误； 对于C，联立，将代入， 得，即，显然满足， 所以曲线与直线有公共点，故C错误； 对于D，圆的圆心为，半径是， 与圆弧（）的圆心距为， 所以圆与圆内切，切点为. 结合图象可知曲线与圆有三个公共点，故D正确. 故选：D. 57．(24-25高二上·河南周口·期末)如图，“倒形”曲线由两部分组成，轴左侧部分曲线为轴及其右侧部分曲线为，且，若为“倒形”曲线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线与轴所围成区域的面积为 B．曲线的方程为 C．的最大值为2 D．若直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】化简曲线的方程，确定轨迹形状，结合面积公式判断A，化简曲线的方程可得 ，，结合条件求，由此判断B，结合曲线方程的最大值不小于，判断C，结合图象确定满足条件的直线的临界位置，由此确定其范围，判断D. 【详解】曲线0可化为， 表示以为圆心，半径为1的两个半圆， 易得与轴所围成的区域的面积为，A错误； 因为，曲线， 化为 ，，表示右焦点为的椭圆在轴上及轴右侧的部分， 由图可知，，又，解得， 所以曲线的方程为，B正确； 点在曲线上，该点到原点的距离为， 所以曲线上的动点到原点的距离的最大值不小于，C错误； 由图可知，若直线与曲线有四个交点， 则直线位于和之间（与不重合）， 其中过原点，是第二象限的半圆的切线， 当直线与第二象限的半圆相切时，， 解得舍去）， 所以实数的取值范围为，D正确. 故选：BD. 58．(24-25高二上·河南洛阳·期末)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号. 【详解】设，已知，， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 抛物线的焦点，准线方程为，    则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 又， 所以的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是利用三角形两边之和大于第三边，当三点共线时取等号. 59．(23-24高二上·河南驻马店·)法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．当点为时，直线的方程为 【答案】BD 【分析】利用椭圆的性质，找特殊位置容易求得圆的方程，结合直线与圆的位置关系，可以推出. 【详解】当切线的切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可以得到两切线的交点为，所以蒙日圆的方程为，故A不正确； 四边形面积为：，只需求出的最小值，而的最小值为点到直线的距离，所以的最小值为，故B正确； 设,则，故， 所以， 又，当且仅当取等号， 而的最小值，故的最小值8，故等号取不到，故C不正确； 当点为时，点，，，四点共以为直径圆上， 所以这个圆的方程为，与圆方程联立，可得直的方程为，故D正确. 故选：BD. 【点睛】易错点睛：C选项中等号取不到，容易出错，同时考查推理运算能力. 60．(23-24高二上·河南漯河·期末)已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 【答案】AD 【分析】根据题意，对y分类讨论，画出图形，对于A,找出最大值，运用两点间距离求解；对于B,对m分类讨论，解方程可解；对于C,作出临界状态的切线，求出切线方程即可；对于D,找出封闭图形，借助扇形和三角形面积公式计算. 【详解】曲线.当 ， 当 . 曲线可以看作是以点和为圆心，半径为的两段优弧组成，构成“8”字形， 不含圆的虚线部分，如图., 对于A,曲线上两点间的最大距离为,故A正确. 对于B,因为点在曲线上，将点代入曲线方程. 当时，，解得或. 当时，，展开解得.此时无解. 所以或，选项B错误. 对于C,直线与曲线有公共点,则如图在切线a，b之间即可. 当直线与上圆切时，则，解得，则. 同理，可得当直线与下圆切时，求得，则. 则，选项C错误. 对于D,在，则，则, 则扇形的面积为. 直角三角形的面积为. 则弓形面积为. 圆的面积为：. 曲线C所围成的封闭图形的面积为两个圆的面积减去两个弓形面积即可. 即为.选项D正确. 故选：AD. 试卷第38页，共44页 试卷第37页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $