专题07任意角的三角函数，三角恒等变换（12大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高一数学上学期

专题07 任意角的三角函数，三角恒等变换 12大高频考点概览 考点01 任意角、终边相同的角 考点02 圆心角、弧长、面积问题 考点03 三角函数的概念 考点04 三角函数的符号 考点05 诱导公式化简求值问题 考点06 同角三角函数关系求值问题 考点07 三角恒等变换给值求值问题 考点08 三角恒等变换给值求角问题 考点09 二倍角公式求值问题 考点10 三角恒等变换给角求值问题 考点11 三角恒等变换研究三角函数性质 考点12 三角恒等变换的应用问题 地 城 考点01 任意角、终边相同的角 1．(24-25高一上·河南三门峡·期末)下列各角中，与735°终边相同的角是（    ） A．5° B．15° C．25° D．35° 【答案】B 【解析】利用终边相同的角的集合求解. 【详解】，所以与的终边相同. 故选：B 2．(23-24高一上·河南商丘·期末)下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的定义列式逐项检验即可. 【详解】与角终边相同的角为， 对于选项A：令，解得，故A错误； 对于选项B：令，解得，故B错误； 对于选项C：令，解得，故C错误； 对于选项D：令，解得，故D正确； 故选：D. 3．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)已知角与的终边相同，则角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】依题意，判断选项. 【详解】依题意，当时，，当时，，所以选项符合，选项不符合. 故选:. 4．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知一个手表慢了10分钟，如果转动分针将其校准，则分针应转动 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用任意角的意义求解即得. 【详解】依题意，将钟表拨快10分钟，则分针顺时针旋转 ， 所以分针应转动 . 故答案为： 地 城 考点02 圆心角、弧长、面积问题 5．(24-25高一上·河南新乡·期末)若扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长和面积公式列式运算求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 则，解得，. 故选：C. 6．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据周长和面积列方程组求得扇形的半径和弧长，代入求角公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为r，所对弧长为l，则有解得故． 故选：A 7．(23-24高一下·河南南阳·期中)在扇形中，，弦，则扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弦长求出扇形的半径，根据扇形面积公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为，由题意可知，， 所以，所以扇形的面积. 故选：B 8．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可. 【详解】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为，为圆心，如下图， 取的中点，连接，则，则， 则扇形的半径，所以扇形的弧长， .    故选：D. 9．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)如图是杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”，将其视为一扇面，若的长为的长为，则扇面的面积为（    ）      A．190 B．192 C．380 D．384 【答案】D 【分析】根据题意设，构造方程组，求出，进而求出扇形面积. 【详解】如图，设，由题意可知解得，扇面的面积为. 故选：D.    10．(23-24高一下·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积. 【详解】如图， 设小圆的圆心为，则， 设，每个扇环形小拼盘对应的圆心角为， 则的长为，解得， 所以每个扇环形小拼盘的面积为 . 故选：C 11．(24-25高一上·河南许昌·期末)一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，利用扇形弧长公式求得，再求扇形面积即可. 【详解】设扇形的半径为，则由，可得， 则扇形的面积为. 故答案为：. 12．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为 ． 【答案】 【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解. 【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为，由题意， 解得，所以扇形的周长为. 故答案为：. 13．(24-25高一上·河南开封·期末)如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的纵坐标为，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据扇形的弧长、面积公式进行计算. （2）利用和角公式结合三角函数的定义求解. 【详解】（1）记圆的半径为，扇形的弧长与面积分别为，， 则由得， 由得，所以圆心角的弧度数为． （2）由题意，所以， ， 所以点横坐标． 地 城 考点03 三角函数的概念 14．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知角的终边经过点，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用三角函数的定义可求出的值. 【详解】由三角函数的定义可得. 故答案为：D. 【点睛】本题考查利用三角函数的定义计算余弦值，考查计算能力，属于基础题. 15．(24-25高一上·河南漯河·期末)在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点,利用倍角公式可求答案. 【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以； 因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：C 16．(23-24高一上·河南许昌·期末)已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据正切函数的定义知，然后弦化切代入求值即可. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：C 17．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求得的一个三角函数值，再结合角所在象限可得． 【详解】由题意点坐标为，因此是第一象限角，又，∴， 又，∴． 故选：D． 18．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)若角的终边上有一点，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据的终边上有一点，分和，利用三角函数的定义求解. 【详解】解：若的终边上有一点， 当时，，， 此时； 当时，，， 此时． 故选：BD 19．(23-24高一上·河南洛阳·期末)在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，线段绕点顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先判断出以为终边的角的大小，然后顺时针旋转，判断以为终边的角的大小即可得出答案. 【详解】因为，所以点在单位圆上， 且点在角的终边所在的直线上， 则点的初始位置坐标， 线段绕点顺时针转动后，点在角的终边所在的直线上， 所以点所在位置的坐标为． 故答案为：． 20．(24-25高一上·河南濮阳·期末)按要求完成下列各题． (1)求值：； (2)已知点为角终边上一点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数式与对数式运算法则，可得答案； （2）根据正切函数的定义可得正切值，利用同角三角函数的商式，可得答案. 【详解】（1），，， 故原式． （2）由三角函数的概念可得， 故． 21．(23-24高一上·河南济源·期末)如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边和单位圆交于A点，将绕点O按逆时针方向旋转角后，终边在第二象限和单位圆交于B点．点A的横坐标为，点B的横坐标为．    (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及诱导公式计算即可； （2）利用诱导公式，二倍角公式计算即可； （3）利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及商数关系结合余弦的差角公式计算即可. 【详解】（1）由题意及三角函数定义可知，，所以， 由诱导公式可知； （2）由（1）及二倍角公式可知 ， 又，所以，故（负值舍去）； （3）由题意可知，为第二象限角， 所以， 所以 ， 因为，为第二象限角，， 则为第二象限角，即， 所以 地 城 考点04 三角函数的符号 22．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)若，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得，再求出角所在象限. 【详解】由，，得，， 因此，所以角是第四象限角. 故选：D 23．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，然后结合集合相等的条件即可求解． 【详解】由题意得，， 当时，， 当或时，， 当时，，则， 若，且，则，， 所以，． 故选：B． 24．(24-25高一上·河南开封·期末)已知是第一象限角，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第一象限角，可得角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，角的终边在第一象限或第三象限，再根据三角函数在各象限的符号判断即可. 【详解】因为是第一象限角， ∴，所以 则角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上， ，A不正确；，B不正确； 由，角的终边在第一象限或第三象限， 所以 ，D正确； 角的终边在第三象限时，，C不正确； 故选：D． 地 城 考点05 诱导公式化简求值问题 25．(24-25高一上·河南新乡·期末)（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式求解即可 【详解】. 26．(24-25高一上·河南周口·期末)（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式化简即可直接得答案． 【详解】． 故选：B. 27．(24-25高一上·河南开封·期末)已知，是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】由，得，则， 而，且是第三象限角，则， 所以. 故选：A 28．(24-25高一上·河南许昌·期末)角的终边与单位圆交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式来化简所求式子，再根据已知点在单位圆上求出角的相关三角函数值，进而求出式子的值. 【详解】点的坐标为,根据三角函数定义可得，. 化简, 把，代入，可得. 故选：B. 29．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知，求的值． 【答案】 【分析】根据诱导公式将条件式化简得代入求解的式子得解. 【详解】由诱导公式可得，， 则． 30．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知. (1)化简； (2)若，且为第三象限角，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式化简，再结合同角三角函数关系，即可求值. 【详解】（1）； （2）由，得， 又为第三象限角，则， 所以，则. 31．(23-24高一上·河南中州联盟·期末)（1）已知为第二象限角，求的值； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同角三角函数平方式，由正弦值求得余弦值，结合余弦差角公式，可得答案； （2）利用三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】（1）为第二象限角， ， 所以． （2）因为， ，， 所以原式. 32．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)（1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式将目标式子化为，然后化为正切函数代入求值即可； （2）结合利用已知求出和，即可得解. 【详解】（1）由题意知 ． （2）因为，， 解得，或，， 又，所以，，所以. 地 城 考点06 同角三角函数关系求值问题 33．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由及，解出与即可求解. 【详解】因为，且， 所以，因为，所以，， 所以. 故选：A. 34．(24-25高一上·河南许昌·期末)已知角满足，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角的三角函数关系式化弦为切，解正切方程即得. 【详解】由，解得：. 故选：C. 35．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)若，是第二象限的角，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，然后求得. 【详解】由于，是第二象限的角， 所以， 所以. 故选：C 36．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】将弦化切后计算即可得. 【详解】由，故， 则有. 故选：C. 37．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知＜α＜0，sin α＋cos α＝ ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角基本关系式得到cos α－sin α，从而得到结果. 【详解】因为＜α＜0， 所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0， 因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2， 所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－＝， cos α－sin α＝，cos2α－sin2α＝， 所以的值为. 故选：B 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 38．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 39．(23-24高一上·河南许昌·期末)下列命题正确的是（    ） A．若是第二象限角、则是第一象限角 B．扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为 C．是函数的一条对称轴 D．若，且，则 【答案】CD 【分析】对A：表示出第二象限角后计算可得是第一或第三象限角；对B：借助扇形周长公式及面积公式计算即可得；对C：由余弦型函数的性质计算即可得；对D：借助三角函数基本关系计算即可得. 【详解】对A：若是第二象限角，则，， 则，，故是第一或第三象限角，故A错误； 对B：由周长，即，可得，则 ，故B错误； 对C：时，，由是函数的一条对称轴， 故是函数的一条对称轴，故C正确； 对D：，故， 故与异号，又，故，，即 则，则， 则 ，故D正确. 故选：CD. 地 城 考点07 三角恒等变换给值求值问题 40．(23-24高一上·河南新乡·期末)若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：D. 41．(24-25高一上·河南周口·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案. 【详解】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 42．(24-25高一上·河南三门峡·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将已知等式进行化简，得到关于的表达式，再换元利用二倍角公式求出的值. 【详解】由可得. 因为，变形为.得到. 两边同时平方得，即. 设，则，即.解得或. 当时，，得到，. 当时，，得到， 由于，这种情况舍去. 故选：D. 43．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式、同角三角函数关系及两角和余弦公式求解即可. 【详解】由诱导公式得，因为，， 所以， 所以. 故选：A 44．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合诱导公式和二倍角公式对已知等式化简变形可求出，再利用二倍角公式可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，解得或（舍）， 所以． 故选：A． 45．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角关系式求得，然后由两角差的正切公式求解； （2）由两角差的正切公式求得，再利用二倍角公式、同角关系化为齐次式，再得关于的式子，代入求值． 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以. （2）， 所以. 46．(24-25高一上·河南周口·期末)已知. (1)求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，结合正弦余弦齐次式，弦化切即可求解; （2）利用同角三角函数的基本关求出，根据二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1） , . （2） ,且 , , , , , , , . 地 城 考点08 三角恒等变换给值求角问题 47．(24-25高一上·河南洛阳·期末)（1）求值：. （2）在锐角三角形ABC中，，求的值. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）利用对数运算性质及换底公式化简求值即可； （2）先根据二倍角余弦公式得，利用同角三角函数基本关系得，，然后利用两角和正切公式得，根据角的范围得，即可得解. 【详解】（1） . （2）由已知A，B，C均为锐角， 由，得， ∴， ∴， 又，∴. 又，故， ，故， ∴. 从而. 48．(24-25高一上·河南商丘·期末)已知. (1)化简； (2)若均为锐角，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式和三角函数的周期性化简即可. （2）把所求角用已知角表示（整体思想），即，之所以用余弦是因为用正弦无法判断是第几象限角. 【详解】（1）原式 （2）由（1）得，所以， 因为均为锐角，所以， 又，所以， 由，得， 所以 ， 又为锐角，故. 49．(23-24高一上·河南商丘·期末)已知角的终边经过点，为第一象限角，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的终边经过点可得，，然后由为第一象限角求得，利用正弦函数两角差公式从而求解. （2）利用倍角公式求得，再结合正切函数两角差公式从而可求解. 【详解】（1）角的终边经过点，为第一象限角，， ，，， . （2）由（1）得，， ， 地 城 考点09 二倍角公式求值问题 50．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知，则 . 【答案】 【分析】由二倍角公式及诱导公式即可求得结果. 【详解】因为，所以. 由，得， 则. 故答案为：. 51．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由已知利用诱导公式可求得的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以，解得或舍去， 则 ． 故选：D． 52．(21-22高二下·河南开封五县·期末)若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案. 【详解】因为，，所以，， 所以 ． 故选: C． 53．(23-24高一上·河南部分学校·期末)下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式计算后判断． 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C， ，故C错误； 对D，，故D正确； 故选：BD． 54．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)已知，则 . 【答案】 【分析】由二倍角公式，然后构造齐次式，由的值求得结果. 【详解】. 故答案为：. 55．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】把看成一个整体角，再利用诱导公式和二倍角公式求值即可. 【详解】因为， 所以 ． 故答案为：. 56．(23-24高一上·河南漯河·期末)设函数，其中是一个正整数，若对任意实数，均有，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】利用同角公式、二倍角的正余弦公式化简函数，再利用函数周期列式求解即得. 【详解】 ， 若对任意实数，均有， 则函数的最小正周期，即，而，于是，即， 所以的最小值为7. 故答案为：7 57．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)设，是关于的方程（其中）的两个实数根 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得. （2）利用诱导公式以及（1）的结论来求得正确答案. （3）利用同角三角函数的基本关系式以及（1）的结论来求得正确答案. 【详解】（1），是关于的方程（其中）的两个实数根， 所以，或， 由两边平方得， ，解得（舍）或. 所以. （2） . （3） . 58．(24-25高一上·河南新乡·期末)已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据诱导公式化简条件式，结合商数关系求解； （2）利用两角和的正切公式求解； （3）利用二倍角公式和平方关系，将原式化为齐次式，再将弦化切计算可得. 【详解】（1）因为，所以，         所以，         则. （2）         . （3）     . 地 城 考点10 三角恒等变换给角求值问题 59．(24-25高一上·河南洛阳·期末)（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值. 【详解】. 故选：C. 60．(23-24高一上·河南名校联盟·期末) . 【答案】/ 【分析】根据和角余弦公式的逆用，即可求解. 【详解】 故答案为： 61．(24-25高一上·河南三门峡·期末)若，则 . 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式可得出，由此可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此，. 故答案为：. 62．(23-24高一上·河南洛阳·期末)（1）求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用两角和的正切公式，即可得出答案； （2）利用同角三角函数平方关系得，，可得，，再利用两角和正弦公式及二倍角公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为，所以， 所以，又，则， 所以， 与联立得，， 所以 . 63．(24-25高一上·河南漯河·期末)（1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2）-1 【分析】（1）通过联立方程组求解的值，再结合角的范围确定，进而求出和；（2）先对原式进行切化弦化简，利用三角函数差角公式逐步变形，最终得出结果. 【详解】（1）由可得. 解得或， 由，故. 所以. 于是. （2）原式 . 64．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)（1）求值：. （2）在非直角中，求证：； （3）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基人之一，享有数学“王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界的三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，符号表示不大于x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如，，.在非直角中，角A、B、C满足，若，试求. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）利用，可求结论； （2）利用，可证结论； （3）由，，结合条件可得，所以.可得、、必是整数.进而可求结论. 【详解】（1）∵，∴， ∴， . （2）证明：在非直角中，，则有. ∴. ∴， ∴. （3）∵， 又得 ∴. ∵，，， ∴ ∴. ∴、、必是整数. 又∵，∴，∴，∴. ∴ ∴ ∴ ∴，. ∴. 65．(24-25高一上·河南三门峡·期末)已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求的值； (2)求的值. (3)若锐角满足，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角函数定义求出的值，可得出、，即可求得的值； （2）利用弦化切可得出所求代数式的值； （3）由两角差的余弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）由三角函数定义可得，则， 所以，，则. （2）原式. （3）由（1）知角为第四象限角，不妨设， 因为，则， 又因为，所以. 由得， 即. 所以. 地 城 考点11 三角恒等变换研究三角函数性质 66．(23-24高一上·河南郑州·期末)设函数． (1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将函数化为形式，求函数的最小正周期及其图象的对称轴即可； （2）利用三角函数图象变换的规则，得到函数的解析式，再求函数在上的值域即可. 【详解】（1）由题可得： ， 所以的最小正周期为：． 由得：， 所以该函数图象的对称轴方程为： （2）由题可得 ． 因为，所以， 得：， 所以的值域为. 67．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数. (1)将化为的形式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式即可求解. （2）先根据求出；再结合，利用平方关系求出；最后利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为 . （2）由，得，则. 因为， 所以， 所以. 所以 . 68．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知． (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再结合三角函数性质求解， （2）转化为与图象有两个交点，数形结合求解， 【详解】（1）， 由得，， 故的单调递增区间为 （2）令，当时，， 作函数的图象， 数形结合可得，当或时，与有两个交点， 即有两解， 综上，当函数在区间上恰有两个零点时， 的取值范围为 69．(24-25高一上·河南漯河·期末)已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由恒等变换公式将函数的解析式化简，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由正弦型函数的性质，化简不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） . 令. 解得. 所以函数的单调递增区间为. （2）由，得. 所以. 解得. 所以不等式的解集为：. 70．(23-24高一上·河南洛阳·期末)在中，且． (1)求角的大小； (2)设函数，当时，求的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】依题意，可得，从而可求得角的大小； 先利用和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为且， 所以． 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为，所以． （2） ， 当时，， 所以． 则的值域为． 71．(23-24高一上·河南济源·期末)如图，在扇形中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为．    (1)求； (2)求的最大值及此时x的值； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)，此时； (3). 【分析】（1）解直角三角形结合三角恒等变换计算即可； （2）利用三角函数的图象与性质计算即可； （3）利用三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】（1）根据题意可知， 所以， 整理得 ， （2）由（1）知， 所以，显然时，，此时； （3）由（1）（2）知， 且 所以， 即不等式的解集为. 72．(23-24高一上·河南许昌·期末)已知函数为奇函数，且的最小正周期是. (1)求的解析式； (2)当时，求满足方程的的值. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）利用二倍角余弦公式和辅助角公式化简函数，然后根据奇函数性质和最小正周期求得解析式即可； （2）先解二次方程得或，然后结合角的范围即可求解正弦函数方程. 【详解】（1）由题意可得 ， 因为的最小正周期是，所以，又为奇函数，则， 所以，又，所以，故. （2）由，即，则或， 所以或，即或. 因为，所以，则，或，或， 所以或或. 73．(24-25高一上·河南许昌·期末)若的最大值为1． (1)求常数a的值； (2)若，且，求角； (3)在（2）的条件下，若关于x的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据函数的最大值为1列方程可求常数a的值； （2）根据求出，再结合角的范围即可求角的值； （3）由（2）知，原方程通过换元可得，则即或，再根据的范围即可求实数m的取值范围． 【详解】（1） ， ， ， （2）因为， ， ， ， ， ； （3）由（2）知，则方程在上两根． 令，则， ， ， 则原方程可化为，整理得 即或， 因关于x的方程有且仅有两根，且， ①当时，， 此时有两个根，无解，满足题意； ②当时，有1个根， 要使原方程有两个根，则有1个根， 则需，所以， 综上：m的取值范围为或. 地 城 考点12 三角恒等变换的应用问题 74．(24-25高一上·河南新乡·期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为，转盘直径为，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后，距离地面的高度为. (1)在转动一周的过程中，求关于的函数关系式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)当游客距离地面的高度不低于时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长. 【答案】(1)，. (2). (3)10分钟 【分析】（1）设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点，以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，依据题意建立三角函数模型，求出即可； （2）将代入，根据特殊角的三角函数值求解即可； （3）根据正弦函数的图象和性质解不等式即可. 【详解】（1）设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点，以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 当时，，此时，以为终边的角是， 因为该摩天轮转一周约需要，该摩天轮的角速度约为， 所以，. （2）当时，， 即游客甲在开始转动后距离地面的高度约为. （3）由题意可得，即. 因为，所以， 所以，解得， 则游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长为. 75．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知函数，给定，定义的“－关联跟踪函数”为． (1)求的取值范围； (2)已知当时，恒成立．若对于任意的都有，求的取值集合； (3)若，证明：轴为函数图象的对称轴． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用辅助角公式对变形，再利用正弦函数的性质可求出其范围； （2）由，化简得，再由当时，恒成立，可得，从而可求出的取值集合； （3）由，得或，然后分别化简，再判断的奇偶性可得结论. 【详解】（1） ，其中， 故的取值范围为． （2）由题意可得， 则， 又因为当时，恒成立，故只需满足即可， 故满足题意的的取值集合为． （3）证明：由，得． ①当即时，， 因为，所以为偶函数， 所以其图象关于轴对称． ②当即时，， 则， 所以为偶函数， 故其图象关于轴对称． 综上所述，轴为函数图象的对称轴． 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的性质，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查函数奇偶性的应用，第（3）问解题的关键是分情况对化简，再判断其奇偶性，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 76．(24-25高一上·河南开封·期末)如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知． (1)求证：的周长为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析，2； (2). 【分析】（1）法一：设，，，，应用和角正切公式得并变形代入的周长为化简即可证；法二：延长至点，使，连接，证明得，进而得到，即可证结论； （2）法一：由 ，结合，应用基本不等式及一元二次不等式的解法得，即可求最值；法二：设，，结合三角形全等有，由和角正切公式得，应用基本不等式求得，即可求最值. 【详解】（1）法一：设，，，，则，， 因为，所以，变形得①， 的周长为②， 将①变形得代入②， 所以， 又，所以， 所以的周长为定值2； 法二：延长至点，使，连接， 易得，则，，， 所以，则， 的周长为. （2）法一： ， 由①得，当且仅当时取等号③， 将③变形得，， 所以或（舍去）， 所以， 所以面积的最小值为， 法二：设，，则，， 由第一问知，， 所以， 因为，所以，展开得， 由基本不等式变形可得，解得， 所以，所以面积的最小值为. 试卷第44页，共45页 试卷第45页，共45页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07任意角的三角函数，三角恒等变换 ☆12大高频考点概览 考点01任意角、终边相同的角 考点02圆心角、孤长、面积问题 考点03三角函数的概念 考点04三角函数的符号 考点05诱导公式化简求值问题 考点06同角三角函数关系求值问题 考点07三角恒等变换给值求值问题 考点08三角恒等变换给值求角问题 考点09二倍角公式求值问题 考点10三角恒等变换给角求值问题 考点11三角恒等变换研究三角函数性质 考点12三角恒等变换的应用问题 目目 栽点01 任意角、终边相同的角 1.(24-25高一上河南三门峡·期末)下列各角中，与735°终边相同的角是（) A.5° B.15° C.25 D.35 2.(23-24高一上·河南商丘期末)下列与44角终边相同的角为（) A.326 B.-326 C.342° D.-316° 3.23-24高一上河南名校联盟期末)已知角6与-的终边相同，则角9可以是（） A.- B. C.4n D. 试卷第1页，共12页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(23-24高一上河南郑州期末)已知一个手表慢了10分钟，如果转动分针将其校准，则分针应转动 rad 目 裁点02 圆心角、弧长、面积问题 5.24-25高一上河南新乡期末)若扇形0AB的圆心角为，面积为？，则该扇形的弧长是() A.智 B.π C. D. 6.(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的 弧度数是() A.2 B.1 c.3 D. 7.(23-24高一下·河南南阳期中)在扇形A0B中，∠A0B=2,弦AB=2,则扇形A0B的面积是() 1 A.sint B.(sin1)2 C.sin1 D.(sin1)2 8.(23-24高一上河南漯河期末)已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为() A,品 B.sin22 9 c品 9 D.sin21 9.(23-24高一上河南名校联盟期末)如图是杭州第19届亚运会的会徽潮涌”，将其视为一扇面ABCD,若AB 的长为16，CD的长为48，AD=12,则扇面ABCD的面积为() 19th Asian Games Hangzhou 2022 A.190 B.192 C.380 D.384 10.(23-24高一下·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如 图2所示，中间是一个直径为24c的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓 意“八方来财，阖家团圆“若AB的长为cm,则每个扇环形小拼盘的面积为《） 试卷第2页，共12页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 入腿5 D 图1 图2 A.45cm2 B.4经cm2 C.189m 2℃m2 D.189cm2 11.(24-25高一上河南许昌期末)一个扇形的圆心角是经，弧长是4m,则扇形的面积为 12.(23-24高一上河南信阳普通高中期末)若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为 13.(24-25高一上河南开封期末)如图，以x轴的非负半轴为始边的角α，B的终边分别交圆0(0为坐标原 点)于A,B两点，其中A点在第一象限，已知扇形AOB的弧长与面积的数值都是？， (1)求圆心角LAOB的弧度数； (②)若点A的纵坐标为，求点B的横坐标. 目目 载点03 三角函数的概念 14.(24-25高一上河南信阳普通高中.期末)已知角a的终边经过点P(-12,5),则cosa= A.品 B.~高 c普 D.-腊 15,(24-25高一上河南漯河·期末)在平面直角坐标系中，函数f(x)=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定 点P,若角0的终边过点P,则cos2θ=() A.-昌 B. c.- D. 16.Q3-24商-上河南许昌期末)已知P(1,3)为角终边上一点，则+2品=《) 试卷第3页，共12页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-7 B.-1 C.1 D.2 17.(23-24高一上河南部分学校期末)已知角a(0≤《<2m)的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， P(sin,cos)为角a的终边上一点，则a=(） A.日 B.8 C. D.号 18.(24-25高一上河南豫东名校·期末)若角a的终边上有一点P(a,-3a)(a≠0)，则sina-2cosa的值可以是 () A,-1o 10 B.-v0 2 C. D.v1o 2 19.(23-24高一上河南洛阳期末)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点P(,), 线段0P绕点0顺时针 方向旋转90°后，得到线段0Q,则点Q的坐标为 20.(24-25高一上河南濮阳·期末)按要求完成下列各题. (1求值：（合）2-(e-1)°+log23-log层 (②已知点P25)为角9终边上一点，求1的值. 21.(23-24高一上河南济源期末)如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的正 半轴重合，终边和单位圆交于A点，将OA绕点O按逆时针方向旋转角β后，终边在第二象限和单位圆交于B 点。点1的横坐标为岁点8的横坐标为-器 (1)求2cos(+a)+cos(m-a)的值； ②求cos保+)的值； (3)求tanβ的值， 目目裁点04 三角函数的符号 22.(23-24高一上河南信阳普通高中.期末)若sinatana>0,且cosatana<0,则角a是() 试卷第4页，共12页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 23.(23-24高-上河南洛阳期未)已知集合M={y=(m。+8)}N=a,blg,若M=N,则ab= () A.-4 B.-1 C.1 D.4 24.(24-25高一上·河南开封期末)已知α是第一象限角，则下列正确的是(） A.0<sin2a<1 B.0<cos2a<1 C.cos>0 D.tan>0 目目 载点05 诱导公式化简求值问题 25.(24-25高一上·河南新乡·期末)2c0s(-840°)=() A.-V3 B.-1 C.1 D.3 26.(24-25高一上·河南周口·期末)si3720°=（) A.月 B. 3 c.- D.-9 27.24-25高一上河南开封期末)已知tan(x+m)=2,x是第三象限角，则sin(x+爱=() A.-9 B.5 C.-25 5 D.9 28.(24-25高一上河南许昌期末角a的终边与单位圆交于点P(sin,cos),则sin(g-a)+cos(:+a)的 值为() A.1+ 2 B.1+3 C.-1-返 2 2 D.1-3 2 29.Q3-24高一上河南郑州期末已知sin(僧-d)+cos(r-)=sina,求二+的值， tan(r-a)sin(n-a)sin(+a) 30.(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知f()= cos(3π+a)cos(经-a） (1)化简f(a): (2)若cos(2m-)=-,且a为第三象限角，求f(a)的值. 31.(23-24高一上河南中州联盟期末)(1)己知si0=5,0为第二象限角，求cos(0-昭)的值； (2)化简： tan(r-a)sin(2n+a)cos(--a) sin(3t-a)cos(π-a) 试卷第5页，共12页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.(Q425高一上河南豫东名校期末)1）已知ama=号求e+习-m+的值， `2sin(a+5π)+cos(4π-a) (2)若5<B<m,且2sinB+cosB=1,求sinB-cosB的值. 目目裁点06 同角三角函数关系求值问题 33.(2425高一上河南郑州期末)已知tana=2,π<a<牙则cosa-sina=（) A.9 B.-9 C.35 D.-3V5 5 34.(2425高一上河南许昌期末已知角a满足o平2。=京则an的值为() A.2 B.-2 c.月 D.-月 35.(23-24高一上河南名校联盟期末)若sina=,a是第二象限的角，则tana的值等于() A. B. c.- D.- 36.23-24高-上河南部分学校期末已知ana=子则2平=（) A. B.9 C. D.2 37.(23-24高一上河南漯河期末)已知-<a<0,sima十cosa=,则m%的值为（） A.写 B.9 c.3 D.治 38.(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)下列化简正确的是() A.sin(2024n-a)=-sina B.tan(a-2025n)=tana C.sim(g+ad）=-cosa D.cos(-a)=sina 39.(23-24高一上河南许昌·期末)下列命题正确的是() A.若α是第二象限角、则是第一象限角 B,扇形的周长为30cm,圆心角为3rad,则此扇形的面积为48cm2 C.x=是函数f(x)=2cos(2x+)的一条对称轴 D.若sina+cosa=号且0<a<m,则sina-cos4a= 试卷第6页，共12页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 裁点0忆 三角恒等变换给值求值问题 40.(23-24高一上河南新乡·期末)若tana=2,tan(2ac+β)=8，则tan(a+β)=() A.9 B.- c. D.9 41.(24-25高一上河南周口期末)已知sina+cosB=2y2,cosa+simB=m,则sin(a+B)=(） 3 A.号-受 B.-号 c.受- D.8-m2 42.(24-25高一上河南三门峡期末若1-tm=V3,则sin2a=（) sino A.-9 B.9 c.- D. 43.(Q3-24高一上河南郑州期末)已知aB∈(0，引，若sin(a+)=os6=是则cos(a+A)=（） A.-号 B.3 C. D.-裙 4.(24-25高一上河南濮阳期末)已知3sim(2a-习=7cosa,则cos2a=() A.-号 B.- c. D.g 45.(23-24高一上河南部分学校期末)已知ae(0,习，cosa=tan(2a-B)=-V2 (I)求tan(a-): (2)求sin2β. 46.(24-25高一上河南周口期末)已知tama=2. (1)求cos(m+2a): (Q)若B∈(0，m),且sinf-cosf=,求tan(2a+). 目目 裁点08 三角恒等变换给值求角问题 47.24-25高一上河南洛阳期末)(1)求值：(lg5)2-(lg2)2+1+i1og5 2 (2)在锐角三角形ABC中，tanA=sinB=D,求A+2B的值， 101 48.(2425高一上河南商丘期末)已知f(cw=i血a-mcos号m- cos(4nt-a)tan(nt +a) (1)化简f(a): 试卷第7页，共12页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)若aB均为镜角，fa=-沿sin(a-)=9求B的值 49.(23-24高一上河南商丘期末)已知角α的终边经过点(-4,3)，B为第一象限角，cosB= 5 (I)求sin(a-)的值； (2)求tan(2a-)的值. 目目 裁点09 二倍角公式求值问题 50.(23-24高一上河南新乡期未)已知a∈(（gm),cos2a=-名则sim(a+习= 51.23-24高-上河南洛阳期末)已知an(2023π+网）-mo2n-0=号ae(（怎)，则V2sn2a+9)+2 1 c0s2C=() A.-月 B.- c.- D.0 52.(21-22高二下河南开封五县期末)若}<0<，an0=-3,则4+m20+20m0-os0=（） V2 2cos20 A.-昌 B.- c.- D. 53.(23-24高一上河南部分学校期末)下列各式的值为的是() A.sin B.2sin zsin C.cos+sin)D.1tm 54.(24-25高一上河南商丘商师联盟期末)已知tan0=9,则cos20= 55.(2425高一上河南信阳普通高中期末)若cos(a+)=号则sin(2a-智)=一 56.(23-24高一上河南漯河期末)设函数f()=sin6经+cos6经，其中k是一个正整数，若对任意实数a,均 有f(x)川a<x<a+1}=f(x)引x∈R},则k的最小值为 57.(23-24高一上河南信阳普通高中.期末)设sin0,cos0是关于x的方程x2-ax+a=0(其中aeR)的两 个实数根 ()求a的值； 2)求cos3(g-0)+sin3(G-0)的值； (③)求tan(π-)一品o的值 58.(2425高一上河南新乡期末)已知v3sin(0+)+2cos(0-习=0. 试卷第8页，共12页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求tand的值； 2)求tan(g+)的值： (3)求2sin20-cos20的值 目目、裁点10 三角恒等变换给角求值问题 59.(24-25高一上河南洛阳·期末)sin40cos20°+cos40cos70°=() A.月 B.号 c. D.1 60.(23-24高一上河南名校联盟·期末)cos84cos51°-sin84°sin51°= 61.(24-25高一上河南三门陕期末)若a+B=-京则(1-ana)(1-anp)= 62.(23-24高一上河南洛阳期末)(1)求am20°+am40.3的值； tan20tan40° (2)已知sina-cosa=号ae[0,,求sin(2a+)的值 63.(24-25高一上河南漯河期末)(1)己知sinB+cosB=BE(0,m),求tanS的值； (2)化简：tan70°cos10°（√3tan20°-1）. 64.(24-25高一上·河南信阳普通高中.期末)(1)求值：tan13°+tan47°+3tan13tan47°， (2)在非直角△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC; (3)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基人之一，享有数学“王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并 列为世界的三大数学家，用其名字命名的高斯函数”为设x∈R,符号[x表示不大于x的最大整数，则y= [x称为“高斯函数”，例如[-3.5=-4，[2.5]=2，【-3)]=-3.在非直角△ABC中，角A、B、C满足tanA· tanB.tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC,若A≤B≤C,试求tanC-tanB 65.(2425高一上河南三门峡期末)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P (3),且ana=-等 (1)求sina+cosa的值； sin(t-a)+2cos(π+a) (Q求mg-。osgr+a的值 3)若镜角B满足sin(a+)=9,求cos2的值 试卷第9页，共12页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 裁点11 三角恒等变换研究三角函数性质 66.(23-24高一上河南郑州期末)设函数f(x)=sin(2x+)+V3sin2x-V3cos2x-2 (1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴； (②)将函数f()的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在 (-受司上的值域。 67.(23-24高一上河南新乡期末)已知函数f()=-4cos2x+2V3sin(2x+) ()将f()化为f()=Asin(ox+p)+B(A>0,ω>0，pl<)的形式： ②)若f(B)=-B∈(G,)求cos2f的值， 68.(23-24高一上河南漯河期末)已知f(x)=sin2(x+)+V2sin(x+)cos(x+9-2 (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若函数y=f(1一m在区间[-是，上恰有两个零点x1,x,求m的取值范周。 69.(24-25高一上河南漯河期末)已知函数f()=cos(2x-爱月-cos(2x+羽月-2sin2x,xER, (1)求f(x)的单调递增区间； (2)求不等式f(x)≥0的解集 70.(23-24高一上河南洛阳期末)在△ABC中，C=且cosA+sinB=sinA+cosB. (1)求角A的大小； (2)设函数f)=2 eosxsin(x+)-2sim2 xsinA+3 Bsinvcosxcos((2A+B),当xe[原，时，求f)的值 域 71.(23-24高一上河南济源期末)如图，在扇形0PQ中，半径0P=1,圆心角∠P0Q=C是扇形弧上的 动点，矩形ABCD内接于扇形，记LPOC=x,矩形ABCD的面积为f(x). O D BP (I)求f(x): 试卷第10页，共12页