专题03函数及其表示（7大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高一数学上学期

· 专题03 函数及其表示 7大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数相等 考点03 函数的定义域 考点04 函数的值域 考点05 函数的解析式 考点06 分段函数 考点07 函数新定义 地 城 考点01 函数的概念 1．(23-24高一上·河南南阳·)如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 3．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若当时，，则在上单调递增 4．(24-25高一上·河南周口·期末)若函数满足对任意，，都有，且当时，，则（   ） A．的值不可能是0 B． C．是奇函数 D．是增函数 5．(23-24高一上·河南商丘·期末)表示不超过的最大整数，称为高斯函数，高斯函数在数学及工程学等领域有着广泛应用.下列式子的值一定为0的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·河南济源·期末)记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是（    ） A． B．也是的函数 C． D．不是周期函数 7．(23-24高一上·河南开封·期中)集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．(23-24高一上·河南漯河·期末)设函数满足，则 ． 9．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知是偶函数，当时，，且，则 . 10．(23-24高一上·河南济源·期末)已知，函数，． (1)若，，求； (2)若，，求m； (3)若，，求证：． 11．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是. (1)把商品的利润表示为生产量的函数； (2)当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？ 地 城 考点02 函数相等 12．(23-24高一上·河南南阳·)下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)下列函数中与函数是同一个函数的是(    ) A． B． C． D． 14．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．函数与表示同一个函数 C．函数的最小值为3 D．若关于x的不等式的解集为或，则 15．(23-24高一上·河南许昌·期末)下列说法正确的是（     ） A．式子表示同一个函数 B．与表示同一个函数 C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 16．(23-24高一上·河南济源·期末)下列说法正确的是（    ） A．幂函数的图象都过点 B．函数与是同一函数 C．函数与的图象关于直线对称 D．，是以为周期的函数 地 城 考点03 函数的定义域 17．(24-25高一上·河南郑州·期末)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 18．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 19．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 20．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．已知函数的定义域为，则的定义域为 C．函数的值域为 D．若方程有两个根，其中一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为 21．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)函数的定义域为 . 22．(23-24高一上·河南驻马店·)函数的定义域为 （用区间表示）． 23．(23-24高一上·河南济源·期末)设函数的定义域为集合的定义域为集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 地 城 考点04 函数的值域 24．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)设集合，则（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．(24-25高一上·河南焦作·期末)已知函数，其中，则下列说法中错误的是（   ） A．若a为偶数，则与的值域相同 B．若a为奇数，则与的值域相同 C．若a为偶数，则与的定义域相同 D．若a为奇数，则与的定义域相同 27．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．(23-24高一上·河南驻马店·)设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 A． B． C． D．不能确定 29．(24-25高一上·河南驻马店·期末)若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 30．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 地 城 考点05 函数的解析式 31．(24-25高一上·河南新乡·期末)已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并根据定义加以证明； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 32．(23-24高一上·河南南阳·)已知定义在R上的函数，满足. (1)求的解析式； (2)若点在图像上自由运动，求的最小值. 33．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围， (3)已知实数，，满足，当时，恒成立，求的最大值． 34．(23-24高一上·河南商丘·期末)函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数m的值． 地 城 考点06 分段函数 六、分段函数 35．(24-25高一上·河南三门峡·期末)已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 36．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 37．(23-24高一上·河南南阳·)已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 38．(24-25高一上·河南焦作·期末)已知函数则满足不等式的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知函数，当时，，则a的最小值为（   ） A．0 B．1 C．e D．﹒ 40．(24-25高一上·河南漯河·期末)已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．(24-25高一上·河南新乡·期末)已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．(23-24高一下·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知函数（且）是值域为的单调递减函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 43．(24-25高一上·河南许昌·期末)设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 B．若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围为 C．若函数有3个零点名，则的取值范围为 D．对任意，函数在内无最小值 44．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知函数则以下说法正确的是（    ） A．若，则是上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 45．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 46．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知，若，则 . 47．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ． 地 城 考点07 函数新定义 48．(23-24高一上·河南郑州·期末)用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 49．(24-25高一上·河南开封·期末)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（   ） A．是偶函数 B．任意非零有理数都是的周期 C．， D．若，则 50．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 51．(23-24高一上·河南驻马店·)给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为 ．若为“函数”，则实数的取值范围为 ． 52．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数”. (1)若，求的值域并判断是否为的“2重覆盖函数”，请说明理由； (2)求证：是的“4重覆盖函数”； (3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. 试卷第32页，共33页 试卷第31页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 专题03 函数及其表示 7大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数相等 考点03 函数的定义域 考点04 函数的值域 考点05 函数的解析式 考点06 分段函数 考点07 函数新定义 地 城 考点01 函数的概念 1．(23-24高一上·河南南阳·)如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将容器看做一个球体，根据的实际意义求解． 【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间， 高度的变化较大，即较大， 到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大． 故选：D． 2．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，分析出函数是柯西函数方程，所以，代入求出，根据代入计算即可. 【详解】令，可得，可得， 令，则，对任意的、， 总有，则，这是柯西函数方程. 由于当时，，可得对于时，，表明是一个线性函数， 形式为，，因此. 因为，所以将代入，得到，即， 因此函数，又因为， 所以，即， 因此，不等式的解集为. 故选：D. 3．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若当时，，则在上单调递增 【答案】ACD 【分析】赋值法求解判断AC，通过赋值得，然后利用奇函数的定义判断B，由题设可得，结合时，，利用函数单调性的定义即可判断D. 【详解】因为，所以令，得，故A正确； 令，得，所以， 令，得，所以， 令，得，又，所以， 又因为定义域为R，所以函数是奇函数，故B错误； 令，得， 令，，得， 所以，故C正确； 当时，由，可得， 又，所以， 任取， 所以， 又，所以，，故， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量，再根据单调性的定义及奇偶函数的定义判断即可. 4．(24-25高一上·河南周口·期末)若函数满足对任意，，都有，且当时，，则（   ） A．的值不可能是0 B． C．是奇函数 D．是增函数 【答案】AC 【分析】AB选项，赋值，得到或，当时，，排除，得到，；C选项，令得，C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】AB选项，中，令得 ，解得或， 令得，又或， 当时，， 因为当时，，故不合要求， 当时，， 由于当时，，故，满足要求， 故，A正确，B错误； C选项，中，令得 ， 由于，故是奇函数，C正确； D选项，满足要求，但不是增函数，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：处理抽象函数问题，常用方法为赋值法，经常赋值0，等，并结合函数奇偶性和单调性来解决问题 5．(23-24高一上·河南商丘·期末)表示不超过的最大整数，称为高斯函数，高斯函数在数学及工程学等领域有着广泛应用.下列式子的值一定为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据高斯函数的定义，一一求出各选项中的函数值，即可得答案. 【详解】因为，，A正确； ，B错误； 因为，故，则，C正确； 当时，，即不一定为0，D错误. 故选：AC. 6．(23-24高一上·河南济源·期末)记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是（    ） A． B．也是的函数 C． D．不是周期函数 【答案】AD 【分析】根据给定信息求出函数的定义域，值域为，再逐项判断即可. 【详解】由题可得，，则不是的子集，所以C不正确， 无理数小数点后第4位上的数为2，故，A正确， 当时，对应的不是唯一确定的，根据函数的定义可知不是的函数，故B不正确， 由于为无理数，所以不是周期函数，故D正确. 故选：AD 7．(23-24高一上·河南开封·期中)集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数， 选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数. 故选：AC. 8．(23-24高一上·河南漯河·期末)设函数满足，则 ． 【答案】/ 【分析】先令求出，从而可求出，进而可求出 【详解】因为， 所以，得，， 所以， 所以， 故答案为： 9．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知是偶函数，当时，，且，则 . 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知， 【详解】因为是偶函数，所以，解得. 故答案为：2 10．(23-24高一上·河南济源·期末)已知，函数，． (1)若，，求； (2)若，，求m； (3)若，，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据指数与对数的运算法则计算即可； （2）利用函数解析式及指数与对数的运算法则消元转化计算即可； （3）利用函数解析式得出，作商得，根据换元法设，则，结合函数单调性计算即可证明. 【详解】（1）若，，则依题意， 所以； （2）若，，则，， 所以； （3）若，，则，， 所以， 设，则， 易知，设，显然在R上单调递增， 又，即恰有一个根， 故，得证. 【点睛】思路点睛：第一二问，均借助函数解析式结合指数对数的运算法则计算即可；第三问利用函数解析式得出，要证，显然作商可得结构，利用换元法设，得，借助函数的单调性计算即可证明. 11．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是. (1)把商品的利润表示为生产量的函数； (2)当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？ 【答案】(1) (2)生产量为千件时，最大利润为万元 【分析】（1）设利润是（万元），由即可得利润关于生产量的函数； （2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解. 【详解】（1）设利润是（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本， 则， 所以. （2）当时， ， 当，即时，， 当时，是减函数，时，， 所以当时，， 所以生产量为千件时，最大利润为万元. 地 城 考点02 函数相等 12．(23-24高一上·河南南阳·)下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断是否为同一函数，一般考查两个方面：① 定义域相同；② 对应法则相同.只有两个方面都分别相同，才能称为同一函数. 【详解】对于A项，因函数的定义域为R，而函数的定义域为，故该组函数不是同一函数，A项错误； 对于B项，两函数的定义域相同，但对应法则不同，故该组函数也不是同一函数，B项错误； 对于C项，函数的定义域为，而函数的定义域为R，故该组函数不是同一函数，C项错误； 对于D项，两函数的定义域都是，且对应的法则相同，故该组函数是同一函数，D项正确. 故选：D. 13．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)下列函数中与函数是同一个函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项比对定义域及化简后的解析式即可选出答案. 【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为， 所以两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B中，函数与函数的定义域都是，对应法也相同，所以是同一函数； 对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数； 对于D中，函数的定义域为，因为函数的定义域为， 所以两函数的定义域不同，不是同一函数. 故选：B. 14．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．函数与表示同一个函数 C．函数的最小值为3 D．若关于x的不等式的解集为或，则 【答案】AB 【分析】根据指数函数的性质求得定点判断A，根据同一函数的概念判断B，根据基本不等式的应用条件判断C，根据二次不等式的解集及韦达定理求解即可判断D. 【详解】对于A，因（且）恒过定点，故函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，函数与的定义域为， 且，，故它们为同一个函数，故B正确； 对于C， ， 当且仅当时取等号，但方程无解，等号不成立，故C错误； 对于D，依题意关于x的方程有两根为和2，故必有 解得所以，故D错误． 故选：AB 15．(23-24高一上·河南许昌·期末)下列说法正确的是（     ） A．式子表示同一个函数 B．与表示同一个函数 C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 【答案】ABD 【分析】对A、B，由相同函数的定义计算即可得；对C，结合分段函数单调性计算即可得；对D，由函数定义即可得. 【详解】对A：，故与有相同的定义域及对应关系， 故表示同一个函数，故A正确； 对B：的定义域需满足， 解得，的定义域需满足，解得， 故两函数有相同的定义域及对应关系，故表示同一个函数，故B正确； 对C：由题意可得，解得，即，故C错误； 对D：由函数定义，若函数的定义域中只含有一个元素， 则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确. 故选：ABD. 16．(23-24高一上·河南济源·期末)下列说法正确的是（    ） A．幂函数的图象都过点 B．函数与是同一函数 C．函数与的图象关于直线对称 D．，是以为周期的函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质可判定A，利用同一函数的定义可判定B，利用反函数的性质可判定C，利用周期性定义可判定D. 【详解】对于A，易知幂函数，显然恒过定点，故A正确； 对于B，由可知，即其定义域为，而的定义域为R，所以两函数定义域不同，故B错误； 对于C，由反函数的定义易知函数与互为反函数， 故其函数图象关于直线对称，故C正确； 对于D，根据周期性定义知对于定义域内，，不满足周期性定义，故D错误. 故选：AC. 地 城 考点03 函数的定义域 17．(24-25高一上·河南郑州·期末)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、分式性质列方程求函数定义域. 【详解】由解析式知，可得且. 故选：C 18．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据，再利用集合运算性质求解即可. 【详解】， ， 所以. 故选：A 19．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数大于零和分式函数的分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】由题意知解得且， 所以函数的定义域为． 故选：D 20．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．已知函数的定义域为，则的定义域为 C．函数的值域为 D．若方程有两个根，其中一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】由定义域和解析式相同可得A正确；由抽象函数的定义域求法可得B错误；由函数的单调性可得C正确；由二次方程根的分布可得D错误； 【详解】对于A，因为与的定义域都为，解析式相同，故A正确； 对于B，由的定义域为，则，所以的定义域为，故B错误； 对于C，由函数知，且为增函数，所以，值域为，故C正确； 对于D，令，由题意则或， 即或，解得，故D错误. 故选：AC. 21．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数定义域的定义列出不等式求得自变量的取值范围即可得到结果. 【详解】由题意可知解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 22．(23-24高一上·河南驻马店·)函数的定义域为 （用区间表示）． 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】由解得， 所以的定义域为. 故答案为： 23．(23-24高一上·河南济源·期末)设函数的定义域为集合的定义域为集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据真数大于0列不等式求得集合A，根据被开方数不小于0列不等式求得集合B，最后根据集合的交并补混合运算求出答案; (2)由题意可得集合B是集合A的子集，从而列不等式可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由，解得或， 所以， 所以． 当时，由，得，即， 解得，所以． 所以． （2）由（1）知，． 由，得，即，     解得，所以． 因为“”是“”的必要条件，所以． 所以，解得． 所以实数的取值范围是． 地 城 考点04 函数的值域 24．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求解，再求解其，判断选项. 【详解】 所以. 故选：C 25．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合和集合，再求其交集即可. 【详解】集合为函数的值域，故， 集合为函数的值域，故， ∴. 故选：A. 26．(24-25高一上·河南焦作·期末)已知函数，其中，则下列说法中错误的是（   ） A．若a为偶数，则与的值域相同 B．若a为奇数，则与的值域相同 C．若a为偶数，则与的定义域相同 D．若a为奇数，则与的定义域相同 【答案】C 【分析】分奇偶数，求解对数函数及对数复合函数的定义域及值域分别判断各个选项即可. 【详解】当为偶数时，定义域为与的定义域不同， 此时为偶函数，，与的值域相同，故A正确；C错误； 当为奇数时，定义域为与的定义域相同， ，与的值域相同，故B，D正确； 故选:C． 27．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数，显然该函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，则， 等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则， 解得. 故选：D. 28．(23-24高一上·河南驻马店·)设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】定义域是的解集， 的根为x1与x2， 由题意可知：， 值域为， 由，得到故选B． 29．(24-25高一上·河南驻马店·期末)若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数在定义域上递减，且值域为，可得，根据二次函数的性质可得答案. 【详解】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以，设，则， 由可得， 在上递增，所以， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 30．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）利用的图象过坐标原点得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用指数函数的单调性，分类讨论的取值范围，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 地 城 考点05 函数的解析式 31．(24-25高一上·河南新乡·期末)已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并根据定义加以证明； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）利用换元法可求函数的解析式； （2）利用单调性的定义可证在上单调递减； （3）分，两种情况求得的最小值，再结合已知求得的值. 【详解】（1）设，得， 则， 故. （2）在上单调递减.         证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且，所以，，， 所以，所以， 则在上单调递减. （3）当时，是上的减函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 所以是上的增函数， 所以，解得.     当时，是上的增函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 则是上的减函数， 所以，解得.     综上，或. 32．(23-24高一上·河南南阳·)已知定义在R上的函数，满足. (1)求的解析式； (2)若点在图像上自由运动，求的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）用替换已知中的，然后解方程； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，① 所以，② 由①②可解得：. （2）由题知：， ∴ （当且仅当，即时取“＝”）. ∴的最小值为8. 33．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围， (3)已知实数，，满足，当时，恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）换元法求函数解析式即可得解； （2）分离参数后利用均值不等式求最值可得参数取值范围； （3）由题意转化为，利用均值不等式分析最小取值，解出的取值范围即可. 【详解】（1）令，得，则， 故的解析式为． （2）对任意的，不等式恒成立， 即， 因为，所以． 设， 因为，所以，，所以， 则， 故，即的取值范围为． （3）由，得， 由，得， 即，，当且仅当时，等号成立． 因为，所以， 所以，即，，解得， 因为，所以的最大值为2． 34．(23-24高一上·河南商丘·期末)函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数m的值． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解； （2），有，解方程即可得解. 【详解】（1）令，则， 由，此时； （2）由，， 所以， 解得或或（舍）. 地 城 考点06 分段函数 六、分段函数 35．(24-25高一上·河南三门峡·期末)已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据分段函数的函数解析式求值即可； （2）根据实数和分类讨论，列不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得，因为， 所以. （2）当时，由得，，即，解得，因此； 当时，由得，，解得，因此； 综上所述，的取值范围是. 36．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式直接求解即可. 【详解】依题意得. 故选：B 37．(23-24高一上·河南南阳·)已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】运用指数函数的单调性，求得的的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的关系，可得的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围． 【详解】函数函数， 当时，的范围是； 时，，， 由题意存在最小值，， 故选：CD． 38．(24-25高一上·河南焦作·期末)已知函数则满足不等式的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析单调性得到在上单调递增，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】当时，，由复合函数的单调性可知在上单调递增； 当时，因为，易得在上单调递增， 又因为当时，，所以在上单调递增， 因此可化为，解得， 故实数的取值范围为． 故选：A． 39．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知函数，当时，，则a的最小值为（   ） A．0 B．1 C．e D．﹒ 【答案】D 【分析】易得在R上递增，令，得到恒成立，将，转化为，即恒成立求解. 【详解】当时，，在上递增，且； 当时，在上递增，且， 所以在R上递增， 令， 当时，， 当时，， 所以恒成立， 因为，即， 即， 所以，即， 令，,则在上递增， 所以， 则，即，所以a的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：令，可得恒成立，从而可转化不等式，进而利用单调性解不等式. 40．(24-25高一上·河南漯河·期末)已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知分且，或者且两种情况讨论，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】因为和同属于和时，都不可能有， 所以且，或者且. ①当且时，则，所以且. 若存在非零实数，使得成立， 则， 由得，所以； ②当且时，则，所以且. 若存在非零实数，使得成立， 则， 由得，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 41．(24-25高一上·河南新乡·期末)已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由在R上单调递增求得的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 【详解】由在上单调递增，得，解得， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 42．(23-24高一下·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知函数（且）是值域为的单调递减函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是值域为的单调递减函数，知， 解得，，函数图像如图， 由，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 综上，，的解集为， 故选：B. 43．(24-25高一上·河南许昌·期末)设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 B．若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围为 C．若函数有3个零点名，则的取值范围为 D．对任意，函数在内无最小值 【答案】ABD 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，可判定A；令，结合指数函数与二次函数的性质，可判定B正确；得到，令，求得函数的单调性和最值，可判定C；当时，函数，根据二次函数的性质，和指数函数的单调性，列出不等式组，可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数，要使得在上单调递增， 则，即，所以，所以A正确； 对于B中，令，当时，可得， 若函数有3个零点，则需有一个零点，则； 当时，可得，若函数有3个零点， 则需有两个不等的小于1的实根，则满足，解得， 所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确. 对于C中，设函数的3个零点分别是， 则，可得， 令，则在上单调递减，所以， 即的取值范围是，所以C错误； 对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数，对称轴是， 当时，函数在单调递减，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在单调递减，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 44．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知函数则以下说法正确的是（    ） A．若，则是上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】ABC 【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项. 【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确； 对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确； 对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确； 对于D，若，当时，； 当时，； 当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误. 故选：ABC 45．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时探讨函数的最小值，再探讨当时，函数的取值范围，列式求解作答. 【详解】当时，若，即，有， 在上递减，在上递增， 则与是的最小值矛盾， 若，即，有在上递减， 所以，，则， 当时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 因是的最小值，则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 46．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知，若，则 . 【答案】或 【分析】应用分段函数解析式计算求解. 【详解】当时，，得（正值舍去）， 当时，，得（负值舍去）， 所以或. 故答案为：或 47．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ． 【答案】 【分析】分析给定函数的性质，作出图象，数形结合求出取值范围. 【详解】当时，函数在是递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为，当时，是增函数，函数值集合为R， 方程的实数解个数，即为函数与直线的交点个数， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象，当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程的实数解个数为3时取值范围是. 故答案为： 地 城 考点07 函数新定义 48．(23-24高一上·河南郑州·期末)用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合不等式及函数新定义求解函数解析式，然后根据分段函数性质求解函数的最小值即可求解恒成立问题. 【详解】当时，若，则，解得或（舍去）， 若，则，解得， 所以，作出函数图象，如图： 当时，函数单调递增，所以当时，有最小值为1； 当时，函数单调递减，所以； 综上，的最小值为1，因为不等式恒成立，所以， 所以，所以实数m的最大值是2. 故选：B 49．(24-25高一上·河南开封·期末)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（   ） A．是偶函数 B．任意非零有理数都是的周期 C．， D．若，则 【答案】ABC 【分析】选项A根据偶函数的定义可判断；选项B根据周期函数的定义可得；选项C根据函数解析式分类代入可得；选项D举反例若，，可判断. 【详解】选项A：当为有理数时，则也是有理数，则， 当为无理数时，则也是无理数，则， 故当时，，故A正确； 选项B：，当为有理数时，则也是有理数，， 当为无理数时，则也是无理数，，故B正确 选项C：当为有理数时，，， 当为无理数时，，，故C正确； 选项D：若，，则，但，故D错误， 故选：ABC 50．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 51．(23-24高一上·河南驻马店·)给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为 ．若为“函数”，则实数的取值范围为 ． 【答案】 3 【分析】对于第一空，由题可知，代入相应解析式可得答案； 对于第二空，为“函数”，则函数，与函数图象有交点，据此可得答案. 【详解】对于第一空，因是的一个“点”，则； 对于第二空，由题可知为“函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数的图象， 与函数关于原点对称的函数的图象有交点，即方程有大于0的解. ，当且仅当， 即时取等号，故答案为：. 故答案为：3；. 52．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数”. (1)若，求的值域并判断是否为的“2重覆盖函数”，请说明理由； (2)求证：是的“4重覆盖函数”； (3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，不是的“2重覆盖函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用换元法，结合三角的恒等变换和三角函数的图象与性质求出的值域，结合新定义可得当时函数与直线在上只有1个交点，即可判断； （2）分别求出函数的值域，结合新定义证明函数与直线在上有4个交点即可； （3）分类讨论两种情况下的性质，结合的值域，根据新定义即可求解. 【详解】（1）不是的“2重覆盖函数”，理由如下： 设，则， 令， 则， 由，得，所以，得. 函数的定义域为，且， 当时，函数与直线只有1个交点， 所以不是的“2重覆盖函数”. （2）设，定义域为，则， 又，所以，解得，即的值域为； 的定义域为，且， 当时，，令， 则且， 所以函数与直线有2个交点， 即函数与直线在上有2个交点； 同理当时，函数与直线在上亦有2个交点， 所以是的“4重覆盖函数”. （3）函数的定义域为，即， 由，得，所以的值域为； 函数的定义域为， 因为为的“2重覆盖函数”， 所以函数图象与有2个交点. 当时，，与有一个交点， 所以当时，函数与有且只有一个交点， 下面讨论当时，函数情况 若，与有且只有一个交点，满足题意； 若，函数开口向下，对称轴为， 此时， 此时函数与有2个交点，不满足题意； 若，函数开口向上，对称轴为， 当即时，函数对称轴，由于， 故函数与有且只有一个交点，所以； 当即时，此时， 要使函数与有且只有一个交点， 只需，解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 试卷第32页，共33页 试卷第31页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $