专题04函数的基本性质专（11大题型）解析版（期末真题分类汇编 河南专用）高一数学上学期

null 专题04 函数的基本性质 10大高频考点概览 考点01 函数单调性与奇偶性的判断 考点02 根据函数奇偶性求函数值 考点03 定义证明函数单调性 考点04 根据函数奇偶性求参数 考点05 抽象函数的性质研究 考点06 函数的图象 考点07 根据函数单调性、奇偶性解不等式 考点08 函数最值问题 考点09 根据函数单调性求参数 考点10 函数的周期性与对称性 考点11 函数新定义问题 地 城 考点01 函数单调性与奇偶性的判断 1．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是偶函数 D．函数是增函数 【答案】BC 【分析】根据对数函数真数大于0求解定义域判断A，根据偶函数定义判断C，根据函数图象判断BD. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是定义域为的偶函数， 故选项A错误，C正确； 作出函数的图象，如图： 由图象可知，函数的值域为， 也可根据偶函数性质易得函数的值域为，故选项B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，故选项D错误. 故选：BC 2．(24-25高一上·河南漯河·期末)下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的类型，结合单调性和奇偶性的概念，直接判断A，B，C，作出函数的图像，即可判断D． 【详解】对于A，是奇函数，且在定义域上单调递增，故A正确； 对于B，当时，；当时，，所以在定义域不是增函数，故B错误； 对于C，是偶函数，故C错误； 对于D，作出函数的图像， 由图可知，函数的图像关于原点对称，此函数为奇函数，且在定义域上单调递增． 故选：AD． 3．(23-24高一上·河南驻马店·)下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数，对数函数，幂函数的图象与性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A:结合对数函数可知在上单调递减，所以在上单调递增，故选项A错误； 对于选项B: 结合指数函数可知在上单调递增，所以在上单调递增，故选项B错误； 对于选项C: 因为，结合幂函数图象与性质可知在上单调递减，故选项C正确； 对于选项D: 结合幂函数可知在上单调递增，故选项D错误. 故选：C. 4．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是增函数 C．若，则 D．，，且， 【答案】BD 【分析】依题意，可得，可判断其奇偶性，判断，通过分离常数，可判断其单调性，判断，结合单调性解不等式进而可判断． 【详解】的定义域为， 且， 是奇函数，A错误； 又在上单调递增，B正确； 或，C错误； 是上单调递增的奇函数， ，，且， 即，D正确． 故选：． 5．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】根据奇偶性定义可判断AB；根据复合函数单调性可判断CD. 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 所以，， 所以和均为偶函数，A正确，B错误； 又因为，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减， 故C正确，D错误. 故选：AC 地 城 考点02 根据函数奇偶性求函数值 6．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)已知函数是奇函数，当时，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用奇函数的定义将转化为，结合的解析式求解即可. 【详解】当时，，则； 因为函数是奇函数，则. 故选：. 7．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知是偶函数，当时，，且，则 . 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知， 【详解】因为是偶函数，所以，解得. 故答案为：2 8．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知函数. (1)设函数，实数满足，求； (2)若在时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性进行求解； （2）分类讨论，分别求出在上的最小值，从而得出结论，注意利用勾形函数的性质得出单调性． 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 且， 则是奇函数，从而， 因为，所以，得， 所以. （2）若，则在上单调递增， 因为在时恒成立，所以，解得，所以. 若，由可得，当且仅当，即时等号成立， 则在上单调递减，在上单调递增. 若，则，解得，与矛盾； 若，则，解得，所以. 综上所述，的取值范围是. 9．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知函数是奇函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出a值作答. 【详解】函数是奇函数，，则，又当时，， 即有，解得， 所以. 故选：D 地 城 考点03 定义证明函数单调性 10．(23-24高一上·河南郑州·期末)对于函数． (1)判断函数的单调性，并给出证明； (2)是否存在实数a使函数为奇函数？ 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2)存在 【分析】（1）利用单调性的定义证明函数的单调性； （2）假设存在实数a，使函数为奇函数，由奇函数定义得到等式恒成立，则可求出. 【详解】（1）在区间上的单调递增． 证明如下：对任意，且， ， 因为在单调递增，且，所以，即， 又，则， 即，所以， 所以在区间上单调递增． （2）假设存在实数a，使函数为奇函数， 则对任意， 都有 ，解得， 故存在实数，使函数是奇函数． 11．(24-25高一上·河南新乡·期末)已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并根据定义加以证明； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）利用换元法可求函数的解析式； （2）利用单调性的定义可证在上单调递减； （3）分，两种情况求得的最小值，再结合已知求得的值. 【详解】（1）设，得， 则， 故. （2）在上单调递减.         证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且，所以，，， 所以，所以， 则在上单调递减. （3）当时，是上的减函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 所以是上的增函数， 所以，解得.     当时，是上的增函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 则是上的减函数， 所以，解得.     综上，或. 12．(23-24高一上·河南郑州河南实验中学·月考)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性，并用定义证明. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据计算，再验证即可. （2）函数单调递减，设，计算得到证明. （3）根据函数的奇偶性和单调性得到，解得答案. 【详解】（1）定义域为的函数是奇函数，则，， ，，，函数为奇函数； （2）函数在上单调递减. 设，则， ，，故，故， 即，故函数在上单调递减. （3）是定义在上的减函数和奇函数， ，即，即， ，即，解得. 13．(24-25高一上·河南开封·期末)已知函数的定义域为，且，． (1)借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和； (2)设函数． （i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明； （ii）求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）在区间上单调递增，证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用函数奇偶性定义推理得证. （2）（i）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证；（ii）利用函数单调性求解不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，则函数，的定义域也为， 由，，得，函数为偶函数， 由，，得，函数为奇函数， 又， 所以函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和. （2）（i）函数在区间上单调递增， ，且， ， 由，知，则，，， 因此，，所以在区间上单调递增. （ii）因为为偶函数图象关于轴对称，在区间上单调递增， 不等式等价于，即，解之得， 所以不等式的解集为. 14．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知函数（且）在上的最大值和最小值之和为20，函数是奇函数． (1)求a和b的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据指数函数的单调性求得最值，利用最值列式求出，根据奇函数的定义求得，然后利用奇函数的定义进行检验. （2）根据单调性定义按照步骤证明即可. （3）根据指数运算化简及零点的概念，将问题转化为有两个不同的实数解，令，则在上有两个不同的实数解，然后利用二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之和为，解得． 所以，的定义域为R，又函数是奇函数， 所以，解得， 当时，， 所以， 所以函数是奇函数，满足题意． （2）证明：任取，且， 所以 ， 又，所以，，，所以， 即， 所以函数在R上单调递增． （3）因为 ， 所以有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则在上有两个不同的实数解， 令，又，所以 解得，即m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 四、根据函数奇偶性求参数 15．(24-25高一上·河南漯河·期末)已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 16．(24-25高一上·河南焦作·期末)已知函数是偶函数，则 . 【答案】6 【分析】因为函数为偶函数，对函数变形，由奇函数奇函数=偶函数，即可求得a的值. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，所以为奇函数， 因此，即，经检验适合题意. 故答案为：6. 17．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)已知函数，若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】构造函数，计算可得为奇函数且在上单调递增，则由可得，再借助基本不等式计算即可得解. 【详解】令，所以， 又定义域为，所以为奇函数，又，都在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 18．(24-25高一上·河南南阳·期末)已知函数是奇函数，且，若使得，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据为奇函数求出的值，再将零点问题转化为函数值域问题求解即可. 【详解】若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性， ，由函数解析式有意义可得，且， 且，定义域必须关于原点对称，，解得， 由得，，，经验证，符合为奇函数. 若使得， 则由，得，即， 易知在上单调递增且恒大于0， 且当时，，所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据奇函数的定义域关于原点对称，求出的值，将存在零点问题转化为函数的值域问题. 19．(24-25高一上·河南许昌·期末)已知函数． (1)若，求的值域； (2)若为偶函数，求实数t的值； (3)在（2）的条件下，若对使得恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，结合二次函数及指数函数的性质求值域； （2）根据偶函数的性质得到，即可求出实数t的值； （3）结合基本不等式求出，依题意可得对使得恒成立，令，参数分离可得在恒成立，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）时，， 因为，因此，，即的值域是． （2）因为为偶函数，且的定义域为， 所以由得：， 整理得， 由可知，得． （3）由题意可知：只需， 由（2）得：， 当且仅当时等号成立，因此，即， 因此在恒成立， 即在恒成立， 令，则， 因此在恒成立， 即在恒成立， 所以在恒成立， 只需， 显然函数在内单调递减， 因此，， 所以，即实数m的取值范围是． 20．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数为偶函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)0 (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由偶函数的概念即可求解； （2）根据函数单调性的定义，利用定义法证明即可. 【详解】（1）由题意可得， 则， 解得. （2）在上单调递减. 证明：令，则， ， 即， 故在上单调递减. 21．(23-24高一上·河南南阳·)已知（a，），且为奇函数， (1)求a，b的值； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解； （2）将问题转化为恒成立，再利用两次换元法，结合基本不等式求得的最小值，从而得解. 【详解】（1）由题意，，即， 又为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称， 则必有，得， 故的定义域为， 因为为奇函数，所以，即，， 验证：当，时，，定义域为， 而， 所以是奇函数， 综上：，. （2）由（1）知，，， 由有意义，得，故， 因为，所以恒成立， 设， 令，则，即， 再令，则，， 得， 因为，当且仅当时“＝”成立， 所以， 故，可得， 所以实数m的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 22．(24-25高一上·河南周口·期末)已知（且）是偶函数. (1)求a的值； (2)用单调性的定义证明在上单调递增； (3)解关于x的不等式. 【答案】(1)4 (2)证明过程见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）变形得到，由得到方程，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）不等式变形为，分，，，和，五种情况，求出不等式解集. 【详解】（1）， 故， 由题意得，即， 若且，无解， 若且，解得，负值舍去， 故； （2）由（1）知，， 任取，， 则 ， 因为，，在R上单调递增， 所以，， 故，即， 所以在上单调递增； （3），故， 变形为， 当时，，解得，解集为 当时，有两个根，分别为 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式解集为； 当时，不等式为，解集为； 当时，，不等式解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 23．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质列方程组求解即可，并注意检验. （2）由分离常数，结合指数函数、复合函数单调性得单调性，是奇函数的性质并通过换元，将原问题等价转换为恒成立，由此即可求解. 【详解】（1）是上的奇函数，，即． 又 检验：当时，定义域为，且满足， 即是上的奇函数． 故满足题意. （2）由（1）知，易知在上为减函数， 令，因为，故， 又是奇函数，等价于， 又因为减函数，由上式推得， 即对一切有恒成立， ，令， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，则， 即，所以实数的取值范围为. 地 城 考点05 抽象函数的性质研究 24．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若当时，，则在上单调递增 【答案】ACD 【分析】赋值法求解判断AC，通过赋值得，然后利用奇函数的定义判断B，由题设可得，结合时，，利用函数单调性的定义即可判断D. 【详解】因为，所以令，得，故A正确； 令，得，所以， 令，得，所以， 令，得，又，所以， 又因为定义域为R，所以函数是奇函数，故B错误； 令，得， 令，，得， 所以，故C正确； 当时，由，可得， 又，所以， 任取， 所以， 又，所以，，故， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量，再根据单调性的定义及奇偶函数的定义判断即可. 25．(24-25高一上·河南驻马店·期末)设函数，对任意的非零实数x，y，恒有 ，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】令 可判断；令 可判断；由结合单调性的定义判断C；利用函数的单调性与奇偶性转化原不等式即可判断D. 【详解】项，令 ，则 ，所以 ，故正确； 项，令，则 ，所以 令 ，则 ，所以，所以为偶函数，故正确； C项，令 ，则，所以 ， ，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在 上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，故C不正确； 项， ，即， 所以 ，所以或，解得或， 所以的解集为，故正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解，抽象函数问题往往利用赋值法求解. 26．(24-25高一上·河南周口·期末)若函数满足对任意，，都有，且当时，，则（   ） A．的值不可能是0 B． C．是奇函数 D．是增函数 【答案】AC 【分析】AB选项，赋值，得到或，当时，，排除，得到，；C选项，令得，C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】AB选项，中，令得 ，解得或， 令得，又或， 当时，， 因为当时，，故不合要求， 当时，， 由于当时，，故，满足要求， 故，A正确，B错误； C选项，中，令得 ， 由于，故是奇函数，C正确； D选项，满足要求，但不是增函数，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：处理抽象函数问题，常用方法为赋值法，经常赋值0，等，并结合函数奇偶性和单调性来解决问题 27．(24-25高一上·河南许昌·期末)已知函数是定义在上的减函数，且对任意，恒成立，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数方程，通过赋值将化成，再利用函数的单调性求解即得. 【详解】由，，令，可得， 而， 则由可得， 因函数是定义在上的减函数，则有，解得. 故选：A. 28．(23-24高一上·河南许昌·期末)已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．，使得成立 【答案】BC 【分析】先令，即可判断函数的周期性，即可判断C；再令，求出，进而可判断AD；再令，判断出函数的奇偶性，进而可判断B. 【详解】由， 令，则， 则，即， 所以， 所以函数为周期函数，故C正确； 令，则，解得或， 当时，令，则， 所以，故AD错误； 所以，其图象关于原点对称，是奇函数； 当时，令，则， 所以，所以函数是偶函数， 所以， 又因为，所以， 则，所以函数为奇函数， 综上所述，为奇函数，故B正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 29．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数对任意恒有，且，则（   ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 【答案】AB 【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确； 令，得，则， 对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确； 对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误； 对于选项C，令，得，所以选项C错误； 故选：AB. 30．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A． B． C．在上的最大值是10 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 又因为，即， 所以，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 31．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知函数满足：①；②若，则．则下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用赋值法判断A，C，利用基本不等式结合给定条件取舍判断B，利用特殊函数法判断D即可. 【详解】对于A，令，而， 代入得，解得或， 当时，令，得到，解得， 此时也有，与若，则矛盾，故排除， 综上，，故A正确，对于B，令，结合， 得到， 化简得， 由基本不等式得， 当且仅当时取等， 故， 解得或， 而，故不成立， 综上，成立，故B正确， 对于C，若，令，得到， 故，则，故C正确， 对于D，令，满足， 由指数函数性质得在上单调递增，满足当时，， 而， ， 故满足， 得到，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，解题关键是合理构造特殊函数，然后表证明其符合给定条件，得到所要求的函数值即可． 地 城 考点06 函数的图象 32．(24-25高一上·河南驻马店·期末)函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 33．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【详解】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 34．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)下列可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象特征先根据定义域排除A,B,再根据特殊值排除D即可得出选项. 【详解】函数定义域为R，排除选项A,B， 当时，，排除选项D. 故选：C. 35．(23-24高一上·河南济源·期末)华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、三角函数的单调性及复合函数的单调性判定选项即可. 【详解】由的图象在纵轴右侧先单调递增再递减， 又和在纵轴右侧均先递增，而和在纵轴右侧均先递减，由复合函数的单调性可排除B、C， 若，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象不符，故D错误； 而，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象相符，故A正确. 故选：A 36．(23-24高一上·河南郑州·期末)函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数图象性质排除选项AB，然后根据特殊值的符号排除D. 【详解】由题意得设，函数的定义域为， ，所以函数为奇函数. 对A、B：由图象可知函数为偶函数，因为函数为奇函数，故A、B错误； 对C、D：由图象可知函数为奇函数，令，得，故D错误，故C正确. 故选：C 37．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定. 【详解】由于，，，故为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B和C；又因为，故排除D项， 故选：A. 38．(22-23高二下·河南焦作博爱县第一中学·期末)函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】通过分析函数的奇偶性和函数的取值范围即可得出结论. 【详解】因为，定义域为，关于原点对称，所以， ， ∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误， ∵恒成立，且当时，，所以B、C错误. 故选：A. 地 城 考点07 根据函数奇偶性、单调性解不等式 39．(24-25高一上·河南新乡·期末)已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 . 【答案】或 【分析】先得到在上单调递增，，从而得到，再由函数的奇偶性，得到在上单调递增，且，当时，需满足，解得，从而得到不等式解集. 【详解】，在上均单调递增， 故在上单调递增，又， 故当时，，需满足，解得， 当时，，由于此时，不合要求， 由于是上的奇函数，故在上单调递增，且， 当时，，故需满足，解得， 综上，的解集为或， 故答案为：或 40．(23-24高一上·河南南阳·)已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据对数的性质可得，进而根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】, 所以, 由于函数为单调递减函数，且当时，， 所以， 故答案为： 41．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知函数，若，使得有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意先构造，可得为奇函数，且在上单调递增，即可由得，将看作为关于的一次函数，结合，有解，根据一次函数的单调性分类可得的取值范围. 【详解】由得， 设则 故为奇函数， 由得， 即， 当时，， 根据在单调递增，在单调递增， 故在单调递增，又为奇函数， 故在上单调递增， 故由得即， 由题意使得有解， 当时，，不符合题意； 当即时，，解得或，故； 当即时，，解得或，故， 综上可得实数的取值范围为， 故答案为： 42．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性可求不等式的解集. 【详解】因为为奇函数，故在上为增函数，而， 故的解为或， 的解为或， 当时，由可得，故或，此时不等式无解； 当时，可得，故或，故 综上可得：不等式的解集为. 故选：C. 43．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知函数，当时，，则a的最小值为（   ） A．0 B．1 C．e D．﹒ 【答案】D 【分析】易得在R上递增，令，得到恒成立，将，转化为，即恒成立求解. 【详解】当时，，在上递增，且； 当时，在上递增，且， 所以在R上递增， 令， 当时，， 当时，， 所以恒成立， 因为，即， 即， 所以，即， 令，,则在上递增， 所以， 则，即，所以a的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：令，可得恒成立，从而可转化不等式，进而利用单调性解不等式. 44．(24-25高一上·河南三门峡·期末)已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由的单调性与奇偶性，把不等式转化为求解． 【详解】令，定义域为， 在上单调递增； 在单调递增且，在上单调递增， 则在上单调递增， 所以在上单调递增． ， 故为奇函数，在上单调递增， 关于的不等式可化为， 即， 则，解得， ∴关于的不等式的解集为． 故选：B． 45．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数性质可将转化为，由函数单调性计算即可得. 【详解】， 则， 由，故， 故， 又，随增大而增大， 故在上单调递减，又， 故可转化为， 则有，即，即，故. 故选：D. 46．(23-24高一上·河南济源·期末)设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，判断出的奇偶性、单调性，由此求得不等式的解集. 【详解】设，由于是定义在上的奇函数， 所以，所以是定义在上的偶函数. 任取，，则： ，， 所以在上递增，则在上递减. ，， 对于不等式， 当时，有，即； 当时，由，即， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A 47．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知函数． (1)求的最小值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用基本不等式的性质，利用取等条件，得到答案. （2）利用函数单调性，得到不等式进行计算，得到答案. 【详解】（1）， 当且仅当即时取等号，故的最小值为2， （2）易知在上单调递增， 因为，故， 整理得，即，解得， 故所求为． 48．(24-25高一上·河南周口·期末)已知函数 且. (1)若的图象经过点，求不等式的解集； (2)若存在x，使得，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入解析式，得到，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出不等式解集； （2）先求出，变形得到在上有解，求出，从而得到，求出a的取值范围. 【详解】（1）将代入得，，解得， 故，其在上单调递增， ，故，解得， 故不等式的解集为； （2）， ，解得， 且，故在上有解， 即在上有解， 其中在上单调递增，且， 当时，，故， 所以， 又且，解得. 49．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数且. (1)若，函数，求的定义域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数性质求解析式有意义的x的范围即可； （2）分和两种情况，分别研究和恒成立问题，即可得到答案. 【详解】（1），代入可得： ， 有意义可得，所以， 的定义域为. （2）. 因为且，所以恒成立. 若，则函数是增函数. 因为，所以，即. 设，要使时，恒成立， 只需或 解得. 故符合题意. 若，则函数是减函数. 因为，所以，即. 结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立. 故不符合题意. 综上，的取值范围为. 50．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数，即可得函数解析式； （2）应用单调性定义证明函数单调性； （3）利用函数的奇偶性、单调性列不等式组求解集. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时，恒成立． （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， 而，，，故在上单调递增． （3）因为为奇函数，原不等式等价于， 又在上单调递增，所以，解得， 综上． 地 城 考点08 函数的最值问题 51．(24-25高一上·河南三门峡·期末)已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．函数的零点是 C．在上单调递增 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；解方程可判断B选项；利用复合函数法可判断C选项；利用函数的单调性求出函数的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以，函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，A对； 对于B选项，因为，令，可得， 所以，函数的零点是，B对； 对于C选项，当时，， 因为内层函数在上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为减函数， 所以，函数在上为增函数，在上为减函数，C错； 对于D选项，当时，；当时，且， 要考虑函数的最大值，只需考查函数在上的最大值. 由C选项可知，函数在上为增函数，在上为减函数， 则，D对. 故选：ABD. 52．(23-24高一上·河南商丘·期末)函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数m的值． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解； （2），有，解方程即可得解. 【详解】（1）令，则， 由，此时； （2）由，， 所以， 解得或或（舍）. 53．(24-25高一上·河南漯河·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. （2）由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 54．(23-24高一上·河南许昌·期末)已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可； （2）分离参数得在上恒成立，令，则，构造函数，利用函数单调性求解最值即可； （3）把问题转化为函数的值域为函数值域的子集，利用函数单调性求解其值域，结合余弦函数性质，分类讨论求解函数的值域，列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以， 即，所以，所以，解得. （2）由（1）知，则，所以， 故在上恒成立， 令，则，且，所以， 令，则函数在上为减函数， 所以，所以. （3）若，使得成立， 则函数的值域为函数值域的子集， ，则函数在上为减函数，所以. 因为，所以，所以， 当时，，则， 所以，所以； 当时，，则， 所以，所以； 当时，，显然成立. 综上可知. 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 55．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知函数是定义在R上的偶函数． (1)求k的值； (2)设，且，若，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由偶函数的性质即可求出； （2）由题设得，表示出，令，由，求得的值域，进而得到的取值范围. 【详解】（1）由得：， ∴， ∴， ∴， 从而．∴ （2）由（1）知 ∴， 又， ∴ 其中令, 则   由于，故， 对于函数， ， 所以函数是单调增函数. ∴，∴． 故面积的取值范围为． 地 城 考点09 根据函数单调性求参数 56．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由复合函数的单调性及在上恒成立，列出不等关系即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 由解得. 故答案为： 57．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)函数在上单调递减，则的范围为 . 【答案】 【分析】函数是由指数变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得的单调性，从而解出答案. 【详解】因为，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得在单调递增，在单调递减. 因为函数在上单调递减所以. 故答案为：. 58．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得. 【详解】不等式， 令，则， 依题意，，，因此函数在上单调递增， 令，而在上单调递增，则函数在上单调递增，且恒有 令，显然函数在上单调递增，因此在上单调递增，且，， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递增， 且恒成立，因此； 当时，由在上单调递增，得，解得， 由，，得，解得，因此， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 59．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数，显然该函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，则， 等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则， 解得. 故选：D. 60．(24-25高一上·河南周口·期末)若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数单调性得到，故，由于真数大于0，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得且， 由于在上单调递减， 而在上单调递减， 由复合函数单调性可知，需在上单调递增， 故，故， 又真数大于0，故在上恒成立， 由于在上单调递减，故只需，解得， 故. 故选：D 61．(24-25高一上·河南驻马店·期末)已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得1，3为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，从而可求得的解析式； （2）求出的图象的对称轴，然后由题意可得或，从而可求出实数的取值范围； （3）分，和三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）根据条件的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，得， 所以； （2）由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或， 即； （3）因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上递增， 此时； 当，即时，； 当，即时，在区间上递减， 此时； 综上所述：即为所求． 62．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）由求解的值，再检验即可； （2）根据单调性的定义判断和证明即可； （3）将问题转化为，利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由函数为奇函数，其定义域为， 所以， 即，解得，此时， 满足， 即为奇函数， 故的值为. （2）解：在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且， 则， 因为，所以，，， 所以，， 即函数在上单调递减； （3）由题知：当恒成立； 则； 令， 所以； 又，当且仅当时等号成立， 而，所以，则. 所以实数的取值范围为 地 城 考点10 函数的对称性与周期性 63．(23-24高一上·河南商丘·期末)已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，进而可得，即得. 【详解】∵函数，定义域为， 又， 所以函数关于对称， 当时，单调递增，故函数单调递增， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 由可得，， 解得，且. 故选：D. 64．(24-25高一上·河南郑州·期末)设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．在上为减函数 D．方程有且仅有5个实数根 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可求判断A；由已知可得，进而可求判断B；作出函数图象可判断C；在同一坐标系下作出的图象，可判断D. 【详解】令，由，可得， 所以，故A正确； 由，所以，所以是的一个周期， 所以，故B正确； 当，，由， 可得， 作出图象如图所示： 可知在上为增函数，故C错误； 由方程，可得与的交点个数，又， 结合与的图象，可知两函数有且只有5个交点， 所以方程有且仅有5个实数根，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：方程根的个数，零点个数问题，常常转化为两函数图象的交点个数问题处理. 65．(23-24高一上·河南济源·期末)设函数的定义域为R，且，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．为奇函数 C． D．函数有11个不同的零点 【答案】BC 【分析】利用抽象函数的对称性及奇偶性性质可判定A、B，利用函数的周期性可计算C，结合对数函数的图象与性质可判定D. 【详解】因为，， 所以的图象关于轴对称，且关于中心对称， 且， 即， 所以的一个正周期为， 因为当时，，则， 所以由题意可知：，故A错误； 同理， 所以为奇函数，故B正确； 易知， ， ， 所以， 故，故C正确； 函数的零点等价于与的交点个数， 作出函数图象如下：    如图所示，，当时，与无交点， 同理时，与无交点， 即两函数交点在上，易知共有10个交点，故D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 66．(24-25高一上·河南开封·期末)已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可. 【详解】若，则，故， 由函数的图象关于点成中心对称图形，则. 故选：A 67．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知函数的图象是中心对称图形，则其对称中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数的对称性得到对称中心的横坐标为，再设对称中心的坐标为，利用列式即可解得. 【详解】已知图象关于原点对称，故的图象关于点对称， 令，解得， 故对称中心的横坐标为2，故设其对称中心的坐标为， 则，可知，解得， 故其对称中心的坐标为． 故答案为：. 68．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知函数为奇函数，，若与图象仅有四个交点，分别为，则 . 【答案】0 【分析】先根据奇函数定义判断函数为奇函数，其图象关于原点对称，进而与图象的四个交点也关于原点对称，然后根据对称性求解即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是定义域为的奇函数， 所以的图象关于原点对称，又函数为奇函数，即的图象也关于原点对称， 所以它们的四个交点分为两组关于原点中心对称， 所以. 故答案为：0 69．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令（），由单调性求出的范围或最大值即可得． 【详解】与的图象关于直线对称，因此函数的图象上存在关于直线的对称点， 则函数与的图象在时有交点， 即在时有解，在时有解， 令（），设，则， ，，∴， 从而，∴在上是增函数， 由题意，所以的最大值是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关于直线对称可以转化为反函数（需有反函数的部分）的图象与函数图象（函数的另一部分）有公共点，从而转化为方程有解． 70．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)单调递增，. 【分析】（1）根据对称性的定义证明或者由函数的对称性进行证明； （2）利用对称性把不等式化为，再根据单调性转化求解. 【详解】（1）解法1：显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 由题意，， 所以， 所以函数的图象关于点对称. 解法2：由题意，令， 显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 所以函数的图象关于点对称. （2）由复合函数单调性可知单调递增， （证明：设，则，，从而， 所以，即，所以是增函数.） 由（1）知函数的图象关于点对称，故有，即， 所以， 因为，所以， 因为是单调递增函数，所以，即， 解得，所以实数的取值范围为. 地 城 考点11 函数新定义问题 71．(24-25高一上·河南周口·期末)给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”． (1)若是上的“单位距函数”，求a的值． (2)若函数在区间上的最小值为． （i）求的表达式； （ii）若为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）， 【分析】（1）当时，，根据题意可得，求解即可； （2）（i），令，分，，三种情况讨论可求得的表达式；（ii）由（i）知，当时，，，结合已知可求得的值. 【详解】（1）因为，                       当时，，当且仅当时取等号，             所以，此时； ，此时．                         因为为上的“单位距函数”， 所以， 所以． （2）（i）．                    设，               当，即时，在上单调递增， ；               当，即时，；             当，即时，在上单调递减， ．            综上，            （ii）由（i）知，当时，， ， 因为为整数，所以为整数， 因为，所以，所以，即．   由题意知为区间上的“单位距函数”，由（i）知在区间上单调递增， 所以 ， 所以． 【点睛】方法点睛：求含参数的函数的最小值，常通过换元法，通过分类讨论求得函数的最小值. 72．(24-25高一上·河南三门峡·期末)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)若是不动点，求的值； (2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； (3)若的两个不动点为、，且，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由可求得的值； （2）分析可知，关于的方程有两个不等的实根，可得出，可得出关于的二次不等式恒成立，结合判别式可求得实数的取值范围； （3）由韦达定理可得出，结合已知条件可得出，令，可得出，分析函数在上的单调性，求其值域，即可得出的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，即，解得， （2）因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立. 即对于任意，恒成立. 令， 则，整理可得，解得. （3）因为， 所以， 设，因为，所以， 则，其中，设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以得在上单调递增， 所以，， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 73．(24-25高一上·河南商丘·期末)给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”. (1)若是上的“单位距函数”，求a的值. (2)若函数在区间上的最小值为. （i）求的表达式； （ii）若，为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值. 【答案】(1)1 (2)（i）； （ii）， 【分析】（1）先得到为奇函数，并分和两种情况，变形后，结合对勾函数单调性和奇偶性得到，从而得到方程，求出答案； （2）（i）化简换元，变形得到，，分类讨论，结合函数单调性，得到答案； （ii）在（i）基础上，得到为整数，从而得到，为区间上的“单位距函数”，结合（i）可得单调性，从而得到方程，解得. 【详解】（1）定义域为R， 且，故为奇函数， 当时，， 当时，，， 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 理由如下：任取且， 则 ， 因为且， 所以，，， 故，即， 所以在单调递减，同理可证在上单调递增， 则， 所以，故， 由对称性可知，当时，， 所以，故，解得； （2）（i）， 令，变形为， 由于，则， 当，即时， 在上单调递减， 故， 当，即时， 在上单调递增， 故， 当，即时， ， 综上，； （ii），，由（i）可得， 故 为整数， 因为，所以， 需为整数，则，即时，为整数，满足要求， 为区间上的“单位距函数”，结合（i）可得在上单调递增， 故，其中， ，故，解得. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 试卷第58页，共59页 试卷第59页，共59页 学科网（北京）股份有限公司 $