2.2 二次函数的图象与性质 第1课时（教学设计）数学北师大版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=x²与y=-x²的图象（抛物线）及性质，通过复习一次函数、反比例函数的图象与画法（列表、描点、连线）引入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生探究抛物线的开口方向、对称轴等核心内容。 特色在于以“动手操作—对比归纳—应用拓展”为主线，学生通过列表描点画图象培养几何直观（数学眼光），对比两函数性质发展推理意识（数学思维），结合正方形面积等实例用数学语言表达关系。助力学生直观理解函数本质，教师教学流程清晰，可操作性强，有效突破重难点。

2.2 二次函数的图象与性质 第1课时 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版九年级下册“2.2 二次函数的图象与性质”第1课时，主要聚焦二次函数 y = x² 与 y = -x² 的图象及其基本性质。教材先从回顾一次函数、反比例函数的图象入手，继而引出二次函数的特点，强调抛物线这一核心图形。学生通过列表、描点、连线的方法绘制 y = x² 和 y = -x²，直观感知其对称性及顶点位置、开口方向。随后在探究活动中，学生逐步掌握抛物线的增减性和最值特点，体会对称轴对于二次函数图象研究的关键作用。整个内容串联了“观察—分析—总结”的学习过程，有利于学生建立函数与实际情境之间的联系，为后续学习更一般的二次函数以及应用题打下基础。 2.内容解析 本课核心在于绘制并理解最简单的二次函数图象，重点认识抛物线开口方向和对称轴。具体内容包括： 1.掌握 y = x² 的图象形状、顶点坐标与对称轴，能归纳出开口方向、增减区域和最小值。 2.掌握 y = -x² 的相关性质，确认其开口向下、顶点与最值特点。 3.通过对比两条抛物线，培养学生对二次函数图象变换规律的认识，明确开口朝上或朝下时增减区间的差异。 4.借助典型练习题，学生能熟练运用列表描点法，在坐标系中绘制二次函数图象，并能初步解决函数交点与几何面积问题。这些内容一方面巩固了学生对函数概念的理解，另一方面为后续对一般形式 y = ax² + bx + c 的研究奠定了操作与思维基础。 1.教学目标 •知道二次函数的图象是一条抛物线。 •会画二次函数 y = x² 与 y = -x² 的图象。 •掌握二次函数 y = x² 与 y = -x² 的性质，并会灵活应用。 2.目标解析 • 通过“列表-描点-连线”操作，让学生认识最基本的二次函数图象形状，建构“抛物线”概念，达成第一条目标。 • 通过典型例题演示和动手操作，学生能够在坐标平面正确绘制 y = x² 与 y = -x² 的图象，达到第二条目标。 • 在绘制图象基础上，学生分析开口方向、顶点位置、增减性和最值等特点，形成对二次函数性质的系统认识，提升应用能力，实现第三条目标。 3.重点难点 • 教学重点：掌握 y = x² 和 y = -x² 的图象基本性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性）。 • 教学难点：熟练运用描点法以及对称性原理，在实际问题中灵活应用这些性质。 学生普遍已掌握一次函数、反比例函数的图象绘制方法，具备列表描点、动态观察图象的能力，也对“对称”有一定的直觉感。但对于抛物线的增减区间与最值理解较为抽象，需要通过数形结合、亲手描点及观察对称轴位置来加深体会。实际教学中，应注重让学生反复在坐标系中比较 y = x² 与 y = -x² 的差异，并适时引导其对增减规律和抛物线对称性的探究，使其顺利过渡到一般的二次函数的研究。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①一次函数的图象是一条_直线__；反比例函数的图象是_双曲线_。 ②通常怎样画一个函数的图象？（提示：列表，描点，连线） 答： 列表，描点，连线 ③二次函数的一般形式为： (是常数，) 答：y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0). 2.情景引入 二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.在二次函数中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？ 我们先来研究最简单的二次函数，你能画出二次函数y=x2的图象吗？试一试！ 【设计意图】通过复习一次函数和反比例函数的图象，引导学生回想函数画法的基本步骤；并通过“情境引入”让学生初步感受二次函数在实际中的重要价值，激发学习兴趣，明确学习方向。 探究点1：二次函数y=的图象与性质 1.议一议 ①画二次函数y= 的图象. 解： （1）列表：观察y = 的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　 对应点的坐标为：(-3,9) (-2,4) (-1,1) (0,0) (1,1) (2,4) (3,9) （2）描点：根据表中x,y的数值在直角坐标系中描点； （3）连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到y= 的图象，如图所示. ②对于二次函数y＝的图象， (1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流． 解：二次函数y= 的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上. (2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 解：图象与x轴有一个交点，即原点(0,0). (3)当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？ 解：由图象可得，当x<0时，图象从左到右是下降的，y随x的增大而减小； 当x>0时，图象从左到右是上升的，y随x的增大而增大. (4)当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？ 解：由图象可得，图象有一个最低点（0，0），即x=0时，y有最小值0. (5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 解：这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,它是图象的最低点，为(0,0). 2.知识归纳 二次函数y=的图象： 二次函数y=的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的顶点，它是图象的最低点. 二次函数y=的性质(增减性)： 当x<0时（在对称轴的左侧），y随x的增大而减小； 当x>0时（在对称轴的右侧），y随x的增大而增大； 当x=0时，y有最小值0. 3.练一练 已知点(－3，)，(1，)，(，)都在函数y＝的图象上，则、、的大小关系是________． 解：方法一：把x＝－3，，1，分别代入y＝中， 得＝9，＝1，＝2，则>>； 方法二：如图，作出函数y＝的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知>>； 方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 而点(－3，)关于y轴的对称点为(3，)． 又∵3>>1，∴>>. 【设计意图】通过从列表、描点到连线的探究，学生直观得出抛物线的形状与开口方向，并掌握其顶点、对称轴、增减性等基本性质；配合简单计算和图象比较，进一步增强对二次函数图象性质的认识。 探究点2：二次函数 的图象与性质 1.做一做 二次函数y=－的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象，它与二次函数y=的图象有什么关系？与同伴进行交流． 解：（1）列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =- … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 对应点的坐标：(-3,-9) (-2,-4) (-1,-1) (0,0) (1,-1) (2,-4) (3,-9) （2）描点：根据表中x,y的数值在直角坐标系中描点； （3）连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到y=−的图象，如图所示. 教师提问：仿照y=的性质说出y=－有哪些性质？ 2.知识归纳 二次函数y=−的图象： 二次函数y=−的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的顶点，它是图象的最高点. 二次函数y=−的性质(增减性)： 当x<0时（在对称轴的左侧），y随x的增大而增大； 当x>0时（在对称轴的右侧），y随x的增大而减小； 当x=0时，y有最大值0. 3.议一议 对比二次函数y=和y=-的图象与性质，它们有什么相同点和不同点？ 二次函数 y= y＝- 图象 位置开口方向 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 对称性 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点和最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，=0 当x=0时，=0 增减性 在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减 4.练一练 抛物线y=和y=-的关系是(　　) A.开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B.开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C.开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D.开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 解：A. 5.典例分析 例1 设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象． 解：S=（a>0） 列表： a 0 1 2 3 … S 0 1 4 9 … 描点并连线． 例2 已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得y=3x+4， y= 解得x=4，y=6或x=−1,y=1 ∴两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴＝·CO·4＝8，＝×4×1＝2， ∴＝＋＝10. 【设计意图】通过对比与这两个基础的二次函数，帮助学生深入理解抛物线的开口方向、顶点位置与增减性之间的联系，进一步体会对称性的几何意义。 1．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C．开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值 解：C． 2.已知二次函数y=的图象过点（a，b），则它必过的另一点是（ ） A. （a，−b） B. （−a，b） C. （−a，−b） D. （b，a） 解：B． 3.已知正方形的边长为xcm,面积为 y,下列图象能够表示y与x之间的函数关系的是（ ） 解：C. 4.一定在函数y=的图象上的点是( ) A. (-1， 0) B.(1，0) C.(1,-1) D.(-1，1) 解：D． 5. 观察函数y=的图象，下列判断正确的是( ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相同 B.对于同一个自变量x，y有可能有两个值与之对应 C.对于同一个实数y，有两个x和它对应 D.对于任意实数x，都有y>0 解：A. 6.二次函数 y = -的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________． 解： 7.若点 A(2,m)在抛物线 y=上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是________． 解: (-2，4) 8.已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=________. 解：3 9.若点A(-3,),B(-2,)是二次函数y=-图象上的两点，那么与的大小关系是_____________. 解:＞ 10.如图，观察函数y=（ k−3）的图象,则k的取值范围是__________. 解:k＞3 11.函数y=的顶点坐标是_________，若点(n，9)在其图象上，则n= _________. 解:(0，0)，±3 12.若点A(-1,),B(2,)是二次函数y=-图象上的两点，那么与的大小关系是_____________. 解:＞ 13.已知二次函数y=，若x≥m时，y最小值为0，则m的取值范围是________． 解:m≤0 14.若等腰直角三角形的斜边长为2x cm，其面积为y. (1)求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围; (2)列出x=，1，，2，2，3时，y与x的对应值表; (3)画出y关于x的函数图象. 解：(1)y=(x＞0). (2)列表如下： x 1 2 2 3 y= 1 4 9 (3)函数图象如图所示： 【设计意图】通过基础巩固题让学生在画图、观察、计算、比较等多维角度训练中，进一步掌握二次函数的图象与性质，提高综合运用知识的能力。 主板书 2.2 二次函数的图象与性质 第1课时 探究点1 二次函数y=的图象与性质 探究点 2 二次函数 的图象与性质 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题2.2第1题。 2. 探究性作业：习题2.2第2题。 学科网（北京）股份有限公司 $