专题04 幂函数、指数函数和对数函数19大考点（期末真题汇编，甘肃专用）高一数学上学期湘教版

专题04 幂函数、指数函数和对数函数 高频考点 考点一 幂函数的概念 考点二 幂函数的图像与性质 考点三 指数函数的概念 考点四 指数函数过定点问题 考点五 指数不等式 考点六 指数型复合函数的单调性 考点七 指数函数的图像与性质 考点八 指、对数运算 考点九 对数函数过定点 考点十 对数不等式 考点十一 比较大小 考点十二 对数型复合函数的单调性 考点十三 对数函数的图像与性质 考点十四 对数型函数的综合问题 考点十五 函数零点的判断与求解 考点十六 零点区间的判断 考点十七 二分法 考点十八 根据零点存在定理求参数范围 1．(25-26高一上·甘肃甘南藏族临潭县第一中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则的值等于（   ）地 城 考点01 幂函数的概念 A．16 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设幂函数为，再将代入，求出函数的解析式，即可得答案. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 将点代入得：， 所以，则， 所以. 故选：A. 2．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中)幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 3．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ）地 城 考点02 幂函数的图像与性质 A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 4．(25-26高一上·甘肃多校·)已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 【答案】AB 【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】将点的坐标代入，可得，则， 对A，当，，所以的图象经过点，A正确； 根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性， 函数在内的值域为，故CD错误，B正确， 故选：AB． 5．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)已知幂函数满足,则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义,得,解得或,分别代入判断函数单调性即可. 【详解】由幂函数的定义可知,,即,解得或. 当时,在上单调递减,不满足； 当时,在上单调递增,满足. 综上,. 故答案为：. 6．(23-24高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)已知幂函数，且在上是减函数． （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论， （2）令，根据其单调性即可求解结论． 【详解】解：（1）函数是幂函数， ， 即， 解得或， 幂函数在上是减函数， ， 即， ， （2）令，因为的定义域为，，，且在和上均为减函数， ， 或或， 解得或， 故的取值范围为：或． 7．(25-26高一上·甘肃甘南藏族临潭县第一中学·期中)幂函数的定义域是全体实数， (1)求的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于实数的等式，解出的值，再由函数的定义域为进行检验，即可得解； （2）分析可知，不等式对任意的实数恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 化简得，解得或， 当时，，该函数的定义域为，满足题意； 当时，的定义域为，不满足题意， 所以的解析式为． （2）不等式即，其解集为， 则对任意的实数恒成立， 当时，，得，不合题意； 当时，则有，解得． 因此，实数的取值范围是. 8．(24-25高一上·甘肃武威第七中学·期末)幂函数的定义域是全体实数． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 根据幂函数定义得到系数为1，再结合定义域即可求得； （2）由（1）可得在区间 上恒成立，将不等式进行参变分离，得到在 上恒成立，由二次函数求出最小值，从而得出结论. 【详解】（1）由题意得 解得 ，所以 （2）由（1）得， 不等式 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 令 ，对称轴为,则函数在单调递减，在单调递增， 则 ， 所以 ，解得 ， 所以实数m的取值范围是 . 9．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)函数是指数函数，则a的取值范围是（    ）地 城 考点03 指数函数的概念 A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选． 10．(23-24高一上·甘肃·期末)写出一个同时具有下列三个性质的函数： .①函数为指数函数；②单调递增；③. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答. 【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得， 由于单调递增，则，又，解得，取， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 11．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)已知函数=的图象恒过定点,则点的坐标是地 城 考点04 指数函数过定点问题 A．( 1,5 ) B．( 1, 4) C．( 0,4) D．( 4,0) 【答案】A 【详解】令=，得x=1，此时y=1． 所以函数=的图象恒过定点(1，5)．选A． 12．(24-25高一上·甘肃武威第七中学·期末)幂函数在上单调递增，则的图像过定点 . 【答案】 【分析】由幂函数定义得到且，解得，结合指数函数的性质，得到定点坐标. 【详解】由题意得且，解得或-1（舍去）， 故，令，得，此时， 故的图象过定点. 故答案为： 13．(25-26高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)若，则的取值范围是（    ）地 城 考点05 指数不等式 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性有，即可得答案. 【详解】由在定义域上递增，且，则. 故选：B 14．(22-23高一上·甘肃甘谷第一中学等两校·期末)已知，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由一元二次不等式与指数不等式的解法求解即可 【详解】即，也即， 所以， 解得，解得. 所以的解集为， 故答案为： 地 城 考点06 指数型复合函数的单调性与最值 15．(25-26高一上·甘肃多校·)已知函数，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求函数的增区间. 【详解】函数定义域为， 令，又在上单调递增，的增区间为， 所以的增区间为. 故选：A. 16．(23-24高一上·甘肃定西·期末)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 17．(24-25高一上·甘肃武威第七中学·期末)已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可知内层函数在上单调递减，且，结合复合函数法可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为且，则内层函数在上单调递减， 且，可得， 因为函数且在区间上单调递增， 则外层函数为减函数，所以，， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 18．(23-24高一上·甘肃庆阳环县第四中学·期末)已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先判断复合函数的单调性，再根据单调性求最值； （2）首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，设， 函数在上递减，在上递增，函数在上递减， 则函数在上递增，在上递减，，，， 所以当，时，，. （2）函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若需满足题意，则，得. 综上，的取值范围是. 地 城 考点07 指数函数的图像与性质 19．(23-24高一上·甘肃陇南第一中学·期末)函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，探讨其奇偶性，再结合时函数值为正即可判断作答. 【详解】由，得，即函数的定义域为， 显然，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足； 当时，，于是，其图象在第一象限，C不满足，D满足. 故选：D 20．(23-24高一上·甘肃兰州第一中学·期末)若，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分和两种情况讨论，结合对数函数单调性解，再根据指数函数单调性分析判断. 【详解】由，可得： 当时，∵在定义域内单调递减， ∴， 此时，且在定义域内单调递减，B成立，D错误； 当时，∵在定义域内单调递增， ∴， 此时，且在定义域内单调递增，A错误，C成立． 故选：BC. 21．(24-25高一上·甘肃临夏州高中·期末)已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】画出函数图象，数形结合得到的取值范围及，再一一判断即可. 【详解】因为， 当时，， 则当时，，所以， 当时，令，即，解得， 当时，令，即，解得，又， 函数的图象如下所示： 因为关于的方程有三个不同的实数根，，且， 所以与有三个交点，结合图象可知，故A错误； 由图象及前述分析可知， 所以，故B正确； 由，即，所以，故C正确； 由，所以， 所以, 因为，所以，故D正确. 故选：BCD 地 城 考点08 指、对数运算 22．(23-24高一上·甘肃武威第一中学·期末)已知，是方程的两根，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数关系、对数运算求得正确答案. 【详解】方程的判别式， 则， 所以. 23．(23-24高一上·甘肃武威天祝藏族自治县·月考)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【详解】， 故选:B. 24．(23-24高一上·甘肃武威古浪县第一中学·期末)已知，则 ．（结果用含的式子来表示） 【答案】 【分析】根据换底公式及对数的运算法则求解. 【详解】． 故答案为： 25．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第一中学·期末)方程＝的解是（    ） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9 【答案】A 【分析】先化简为，再通过对指互化即得解. 【详解】由题得. 故选：A 26．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第二中学·期中)（1）已知，求的值； （2）化简； （3）． 【答案】（1）7；（2）5；（3）219 【分析】（1）由即可求解； （2）由指数和对数的运算性质即可求解； （3）由根式与分数指数幂的转换结合指数的运算性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以； （2）原式； （3） 27．(23-24高一上·甘肃庆阳环县第四中学·期末)计算： (1) (2). 【答案】(1)8 (2)3 【分析】（1）直接根据指数的运算性质计算即可； （2）直接根据对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式. 28．(23-24高一上·甘肃酒泉·期末)如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是 （写出一个即可）地 城 考点09 对数函数过定点 【答案】 【分析】由条件，分析乘积的函数值为函数值的和，考虑对数函数，即可得到结论. 【详解】由题意，函数对任意的正实数a，b，都有， 可考虑对数函数，满足， 故答案为：. 29．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质和图象进行求解即可. 【详解】令，则， 又，所以的图象过定点． 故答案为：. 30．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质和图象进行求解即可. 【详解】令，则， 又，所以的图象过定点． 故答案为：. 地 城 考点10 对数不等式 31．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照根式函数和对数函数的定义域求解. 【详解】因为， 所以 所以， 解得， 故选：D 32．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】（0，）∪（1，＋∞） 【分析】对分类讨论，再解不等式即得解. 【详解】当时，不等式为. 当时，不等式为. 综上所述，实数a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞） 故答案为（0，）∪（1，＋∞） 33．(24-25高一上·甘肃平凉庄浪县紫荆中学·)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用对数函数的单调性得到，然后利用不等式的基本性质判断A；利用特殊值判断B；利用指数函数和幂函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D即可. 【详解】因为， 所以， 所以，故选项A正确； 当时，，故选项B错误； 又，故选项C错误； 由指数函数和幂函数的单调性得，故选项D正确. 故选；AD. 34．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】（0，）∪（1，＋∞） 【分析】对分类讨论，再解不等式即得解. 【详解】当时，不等式为. 当时，不等式为. 综上所述，实数a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞） 故答案为（0，）∪（1，＋∞） 35．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第二中学·期中)设，则的大小关系为（    ）地 城 考点11 比较大小 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【详解】由，即. 故选：D 36．(24-25高一上·甘肃临夏州高中·期末)若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数，对数函数和三角函数的单调性可得，即可得出答案. 【详解】因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 37．(23-24高一上·甘肃庆阳环县第四中学·期末)设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的性质可以将三数与0，1比较大小，然后得到答案. 【详解】∵， ∴， 故选:D． 38．(23-24高一上·甘肃陇南第一中学·期末)已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断 ，进而比大小. 【详解】因为，，， 故 ，所以. 故选：B. 39．(23-24高一上·甘肃兰州第一中学·期末)已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及指数运算，再借助“媒介数”判断作答. 【详解】，，，而，即， 所以. 故选：D 40．(24-25高一上·甘肃平凉庄浪县紫荆中学·)函数的单调递增区间是地 城 考点12 对数型复合函数的单调性 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t=，则y=lnt， ∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数； x∈(4,+∞)时,t=为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D. 41．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)函数=的单调递增区间是 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，然后结合对数函数的单调性和二次函数的单调性，根据复合函数的法则求解即可. 【详解】由，可得，故函数的定义域为． 令=，则原函数可化为，是关于t的减函数． 又=在上是增函数，在上是减函数， 由复合函数的单调性可知，函数=的单调递增区间是． 故答案为： 42．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第二中学·期末)已知函数，且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，判断其单调性，根据复合函数的单调性，可判断的单调性，结合对数的真数大于0，解不等式，即可得答案. 【详解】令，则，因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. 43．(23-24高一上·甘肃定西·期末)已知且，则函数与的大致图象可能是（    ）地 城 考点13 对数函数的图像与性质 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项. 【详解】若，则函数的图象单调递减且过点， 函数的图象单调递减且过点； 若，则函数的图象单调递增且过点， 而函数的图象单调递增且过点； 只有BD的图象符合． 故选：BD. 44．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第二中学·期末)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】先根据函数解析式作出其图象，利用图象特征进行逐一判断，即得A,B项，对于C,D项，则必须结合图象分类考虑，并求解不等式即得. 【详解】      如图，依题意作出函数的图象， 因在上单调递增，在上单调递减，观察图形易判断A，B项正确； 对于C，D项，当时，若，则成立； 若，则由 ，即， 故得：，则成立，故C项正确，D项错误. 故选：ABC. 45．(23-24高一上·甘肃兰州榆中县恩玲中学·期末)函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数奇偶性，以及对数函数的图像性质，即可求解. 【详解】根据题意，由，可知函数是偶函数，函数图象关于y轴对称，因此CD错误；又由，知恒成立，可知B错误. 故选：A. 46．已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【详解】（1）因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得或. （2）因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 47．(24-25高一上·甘肃武威第七中学·期末)已知函数，则关于的不等式解集为(    )地 城 考点14 对数型函数的综合问题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得原不等式的解集. 【详解】因为 ， 由可得或， 即函数的定义域为， 因为， 所以，函数为偶函数， 任取、，且， 则，，，令， 则 ， 即，所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数， 由可得，可得， 解得或，因此，原不等式的解集为. 故选：C. 48．(24-25高一上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算公式可知，可知为偶函数，又当时，，可知当时，的解析式，结合复合函数单调性及函数的奇偶性可值的单调性，根据奇偶性及单调性可解不等式. 【详解】由对数运算公式可知， 所以，即函数为偶函数. 又当时，，即， 所以当时，. 又函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以不等式等价于，即，解得. 故选：C. 49．(23-24高一上·甘肃庆阳环县第四中学·期末)已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出两函数的值域，再根据题意转化为两个函数值域的包含关系，可分和两种情况进行分类讨论，列示求解. 【详解】当时，； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 50．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第二中学·期中)已知函数 (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 51．(25-26高一上·甘肃甘南藏族临潭县第一中学·期中)已知函数 （1）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数； （2）对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）定义域为；证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据对数真数大于零可解分式不等式求得定义域；根据奇偶性定义可得的奇偶性； （2）根据对数真数大于零可确定；通过分离变量的方式将不等式转化为，通过求解的最小值可求得范围. 【详解】（1）由得：或，定义域为； 当时，， 为定义在上的奇函数； （2）当时，，又，； 由得：， 对任意恒成立，， 又当时，由二次函数性质知：，； 综上所述：实数的取值范围为. 52．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)已知函数 (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【详解】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 53．(24-25高一上·甘肃平凉庄浪县紫荆中学·)函数的零点个数为（    ）地 城 考点15 函数零点的判断与求解 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的零点转化为方程的解，转化为函数与的交点，数形结合即可解得. 【详解】解：函数的零点，即方程的解， 即，转化为函数与的交点， 在同一平面直角坐标系上作出函数与的图象，如下所示： 从函数图象可知，与有两个交点，即方程有两个实数根，即函数有两个零点，故选： 54．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第二中学·期末)已知函数，则函数零点的个数为 ． 【答案】 【分析】解方程，即可得解. 【详解】当时，由，可得（舍）或； 当时，由，可得. 综上所述，函数零点的个数为. 故答案为：. 55．(23-24高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)已知函数是偶函数，且当时，，那么函数的零点个数可能是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】BC 【分析】函数零点可转化为方程根的个数问题，利用偶函数的对称性，可转化为研究时根的情况，从而求出定义域上根的个数. 【详解】因为时，， 时，可得， 当时，令，即， 若时，显然无解， 若时，，即时，在上有一个零点， 当时，在上没有零点， 综上，由函数是偶函数知，时，函数有4个零点， 当时，函数有6个零点. 故选：BC 56．(23-24高一上·甘肃陇南第一中学·期末)函数的所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，根据分段函数解析式，求出方程的解，即可得到函数的零点，从而得解. 【详解】解：因为， 当时，由，解得（舍去）或，则； 当时，由，解得，满足题意， 所以函数有个零点分别为和，所以函数的所有零点之和为. 故选：A 57．(23-24高一上·甘肃庆阳第二中学·期末)函数的零点所在区间为（    ）地 城 考点16 零点区间的判断 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断各个区间端点处函数值的符号，根据零点存在定理可判断得到结果. 【详解】由题意得：定义域为,且在定义域上为增函数, 故至多一个零点, ；；     零点所在区间为 故选： 58．(23-24高一上·甘肃武威第七中学·期末)函数零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即可得解. 【详解】由单调性的性质易得在上单调递增， 又，， 所以的零点所在的区间是. 故选：C. 59．(24-25高一上·甘肃临夏州高中·期末)已知幂函数，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义可得，再由单调性的性质可知在上单调递增，结合零点存在性定理即可得出答案. 【详解】因为为幂函数，所以， 所以，所以， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为. 故选：B. 60．(23-24高一上·河南洛阳强基联盟·)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别验证每个区间端点值的正负符号，由零点存在定理可判断出结果. 【详解】易知函数在其定义域上连续不断， 且，则函数的零点在区间上． 故选：B． 61．(23-24高一上·甘肃平凉静宁县文萃中学·期末)小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ）地 城 考点17 二分法 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，，，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 地 城 考点18 根据零点存在定理求参数范围 62．(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【分析】首先判断二次函数的根是否为两个异根，再根据零点存在定理使，最后解不等式即可求解. 【详解】若，即， 则此时的解为； 若，即或， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 63．已知且在内存在零点，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点在区间内可得关于的不等式组，从而可求的取值范围. 【详解】因为，故即. 而且在内存在零点， 故即，解得， 故选：C. 63．(23-24高一上·甘肃陇南·期末)已知函数只有两个零点，则（    ）地 城 考点19 函数零点综合问题 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】函数的零点，转化为函数与图象交点的横坐标，利用对称性求出的值，利用零点存在定理求零点所在区间. 【详解】，由，得. 设函数，，的零点为这两个函数图象交点的横坐标， 因为，， 所以与的图象都关于点对称，有，B选项错误，D选项正确. 因为，所以，又，，，， 所以，，AC选项均正确. 故选：ACD 64．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第一中学·期末)，的零点为，，的零点为，，的零点为，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三个函数等于，得到两个函数的交点的位置得到三个函数的零点的位置，根据零点所在的区间和区间的位置，得到大小关系． 【详解】解：在坐标系中画出：，，，的图象．如图：    ，的函数的零点在且靠近， 函数的零点在之间， ，函数的零点在之间且靠近， 、、的大小关系为． 故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂函数、指数函数和对数函数 高频考点 考点一 幂函数的概念 考点二 幂函数的图像与性质 考点三 指数函数的概念 考点四 指数函数过定点问题 考点五 指数不等式 考点六 指数型复合函数的单调性与最值 考点七 指数函数的图像与性质 考点八 指、对数运算 考点九 对数函数过定点 考点十 对数不等式 考点十一 比较大小 考点十二 对数型复合函数的单调性 考点十三 对数函数的图像与性质 考点十四 对数型函数的综合问题 考点十五 函数零点的判断与求解 考点十六 零点区间的判断 考点十七 二分法 考点十八 根据零点存在定理求参数范围 考点十九 函数零点综合问题 地 城 考点01 幂函数的概念 1．(25-26高一上·甘肃甘南藏族临潭县第一中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则的值等于（   ） A．16 B． C．2 D． 2．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第三高级中学·期中)幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 3．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ）地 城 考点02 幂函数的图像与性质 A．   B．   C．   D．   4．(25-26高一上·甘肃多校·)已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 5．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)已知幂函数满足,则 . 6．(23-24高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)已知幂函数，且在上是减函数． （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 7．(25-26高一上·甘肃甘南藏族临潭县第一中学·期中)幂函数的定义域是全体实数， (1)求的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围． 8．(24-25高一上·甘肃武威第七中学·期末)幂函数的定义域是全体实数． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 地 城 考点03 指数函数的概念 9．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)函数是指数函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 10．(23-24高一上·甘肃·期末)写出一个同时具有下列三个性质的函数： .①函数为指数函数；②单调递增；③. 地 城 考点04 指数函数过定点问题 11．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)已知函数=的图象恒过定点,则点的坐标是 A．( 1,5 ) B．( 1, 4) C．( 0,4) D．( 4,0) 12．(24-25高一上·甘肃武威第七中学·期末)幂函数在上单调递增，则的图像过定点 . 13．(25-26高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)若，则的取值范围是（    ）地 城 考点05 指数不等式 A． B． C． D． 14．(22-23高一上·甘肃甘谷第一中学等两校·期末)已知，则的解集为 ． 地 城 考点06 指数型复合函数的单调性与最值 15．(25-26高一上·甘肃多校·)已知函数，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高一上·甘肃定西·期末)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一上·甘肃武威第七中学·期末)已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．(23-24高一上·甘肃庆阳环县第四中学·期末)已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 地 城 考点07 指数函数的图像与性质 19．(23-24高一上·甘肃陇南第一中学·期末)函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D． 20．(23-24高一上·甘肃兰州第一中学·期末)若，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 21．(24-25高一上·甘肃临夏州高中·期末)已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，，且，则（   ） A． B． C． D． 地 城 考点08 指、对数运算 22．(23-24高一上·甘肃武威第一中学·期末)已知，是方程的两根，则等于（   ） A． B． C． D． 23．(23-24高一上·甘肃武威天祝藏族自治县·月考)已知，则（    ） A． B． C． D． 24．(23-24高一上·甘肃武威古浪县第一中学·期末)已知，则 ．（结果用含的式子来表示） 25．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第一中学·期末)方程＝的解是（    ） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9 26．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第二中学·期中)（1）已知，求的值； （2）化简； （3）． 27．(23-24高一上·甘肃庆阳环县第四中学·期末)计算： (1) (2). 28．(23-24高一上·甘肃酒泉·期末)如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是 （写出一个即可）地 城 考点09 对数函数过定点 29．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 30．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 31．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)函数的定义域是（ ）地 城 考点10 对数不等式 A． B． C． D． 32．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)若，则实数a的取值范围是 ． 33．(24-25高一上·甘肃平凉庄浪县紫荆中学·)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 34．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)若，则实数a的取值范围是 ． 35．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第二中学·期中)设，则的大小关系为（    ）地 城 考点11 比较大小 A． B． C． D． 36．(24-25高一上·甘肃临夏州高中·期末)若，，，则（   ） A． B． C． D． 37．(23-24高一上·甘肃庆阳环县第四中学·期末)设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 38．(23-24高一上·甘肃陇南第一中学·期末)已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39．(23-24高一上·甘肃兰州第一中学·期末)已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点12 对数型复合函数的单调性 40．(24-25高一上·甘肃平凉庄浪县紫荆中学·)函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 41．(23-24高一上·甘肃嘉峪关某校·期末)函数=的单调递增区间是 42．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第二中学·期末)已知函数，且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点13 对数函数的图像与性质 43．(23-24高一上·甘肃定西·期末)已知且，则函数与的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 44．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第二中学·期末)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 45．(23-24高一上·甘肃兰州榆中县恩玲中学·期末)函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 46．已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值； (2)解关于x的不等式. 地 城 考点14 对数型函数的综合问题 47．(24-25高一上·甘肃武威第七中学·期末)已知函数，则关于的不等式解集为(    ) A． B． C． D． 48．(24-25高一上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 49．(23-24高一上·甘肃庆阳环县第四中学·期末)已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 50．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第二中学·期中)已知函数 (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 51．(25-26高一上·甘肃甘南藏族临潭县第一中学·期中)已知函数 （1）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数； （2）对于，恒成立，求实数的取值范围. 52．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)已知函数 (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 地 城 考点15 函数零点的判断与求解 53．(24-25高一上·甘肃平凉庄浪县紫荆中学·)函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 54．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第二中学·期末)已知函数，则函数零点的个数为 ． 55．(23-24高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)已知函数是偶函数，且当时，，那么函数的零点个数可能是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 56．(23-24高一上·甘肃陇南第一中学·期末)函数的所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点16 零点区间的判断 57．(23-24高一上·甘肃庆阳第二中学·期末)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 58．(23-24高一上·甘肃武威第七中学·期末)函数零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 59．(24-25高一上·甘肃临夏州高中·期末)已知幂函数，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 60．(23-24高一上·河南洛阳强基联盟·)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点17 二分法 61．(23-24高一上·甘肃平凉静宁县文萃中学·期末)小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点18 根据零点存在定理求参数范围 62．(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 63．已知且在内存在零点，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 地 城 考点19 函数零点综合问题 64．(23-24高一上·甘肃陇南·期末)已知函数只有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 65．(23-24高一上·甘肃白银靖远县第一中学·期末)，的零点为，，的零点为，，的零点为，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $