专题01 集合与常用逻辑用语（期末真题汇编，甘肃专用）高一数学上学期湘教版

专题01 集合与常用逻辑用语 高频考点 考点一 集合的概念与关系 考点二 集合的运算 考点三 集合新定义 考点四 充分必要条件的判断 考点五 全称量词与存在量词 考点六 简易逻辑综合问题 地 城 考点01 集合的概念与关系 1.(25-26高一上·甘肃省武威市凉州区·期中)下面能构成集合的是（    ） A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数 C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生 2．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)已知集合，，则的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)已知集合，，若，则实数的值为 . 一、单选题地 城 考点02 集合的运算 5．(24-25高一上·甘肃武威第十八中学·期末)如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 6．(25-26高一上·甘肃兰州第一中学·期中)设集合，则（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一上·甘肃兰州第二十七中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高一上·甘肃渭源县第一中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高一上·甘肃兰州第二中学·期中)《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．5 B．10 C．6 D．9 二、多选题 10．(25-26高一上·甘肃兰州第二中学·期中)已知集合，集合，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 11．(25-26高一上·甘肃渭源县第一中学·期中)设集合或，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．(25-26高一上·甘肃部分学校·期中)图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 13．(25-26高一上·甘肃环县第四中学·期中)设，，若，则实数的值可以为（    ） A．2 B． C． D．0 地 城 考点03 集合新定义 14．(25-26高一上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 15．(25-26高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中)设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（    ） A．集合是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 一、单选题地 城 考点04 充分必要条件的判断 16．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．(24-25高一上·甘肃武威第十八中学·期末)已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．(25-26高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 20．(25-26高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中)已知，则成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 21．(25-26高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中)已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 23．设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路图是（    ） A． B． C． D． 24．(25-26高一上·甘肃兰州第一中学·期中)命题“”的否定是（    ）地 城 考点05 全称量词与存在量词 A．B． C． D． 25．(25-26高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．(25-26高一上·甘肃环县第四中学·期中)若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 27．(25-26高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)（多选题）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 28．(25-26高一上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)下列说法正确的有（    ） A．命题：，的否定是：， B．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 C．已知、，则“”是“”的必要不充分条件 D．若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是或 29．(25-26高一上·甘肃部分学校·期中)德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中假命题是 （ ）地 城 考点06 简易逻辑综合问题 A．函数是奇函数 B．，， C．函数是偶函数 D．，， 30．(25-26高一上·甘肃渭源县第一中学·期中)命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 31．(25-26高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中)全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是 . 32．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 33．(25-26高一上·甘肃兰州第一中学·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 34．(25-26高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中)已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 35．(25-26高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中)（1）已知p：，q：，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． （2）已知命题p：有两个异号的实数根，q：无实根，若命题p、q一真一假，求实数m的取值范围． 36．(25-26高一上·甘肃兰州第二中学·期中)设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：. (1)计算：； (2)，是否都有成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由； (3)若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 高频考点 考点一 集合的概念与关系 考点二 集合的运算 考点三 集合新定义 考点四 充分必要条件的判断 考点五 全称量词与存在量词 考点六 简易逻辑综合问题 地 城 考点01 集合的概念与关系 1.(25-26高一上·甘肃省武威市凉州区·期中)下面能构成集合的是（    ） A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数 C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生 【答案】B 【分析】结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案. 【详解】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合； 对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性. 故选：B. 2．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 3．(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)已知集合，，则的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题求出，利用集合的真子集个数公式求解. 【详解】由，得，所以，所以， 故的真子集个数为. 故选：C. 4．(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】由有，解出即可. 【详解】若，则，解得.故实数的值为1. 故答案为：1. 地 城 考点02 集合的运算 一、单选题 5．(24-25高一上·甘肃武威第十八中学·期末)如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据韦恩图以及交集、并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】是非空集合，阴影部分表示的集合是， ，，， ，则或 故选：D 6．(25-26高一上·甘肃兰州第一中学·期中)设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用并集运算求解，再利用补集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以， 又，所以 . 故选：B 7．(25-26高一上·甘肃兰州第二十七中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，故B正确. 故选：B 8．(25-26高一上·甘肃渭源县第一中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得.如图：    故选：A 9．(25-26高一上·甘肃兰州第二中学·期中)《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．5 B．10 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，如图所示： 则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有7人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C. 二、多选题 10．(25-26高一上·甘肃兰州第二中学·期中)已知集合，集合，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据集合并集的概念可得选项． 【详解】因为，，所以集合可能为A选项，，D选项， 而对于B选项，此时，不满足题意， 对于C选项，此时，不满足题意， 11．(25-26高一上·甘肃渭源县第一中学·期中)设集合或，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据参数范围确定集合间关系判断A，应用元素和集合关系列式计算判断B，应用交集及并集结果计算判断C，D. 【详解】对于A，若，则，则，故正确； 对于B，若，可得，故正确； 对于C，若，则，解得，故错误； 对于D，若，则，不等式无解，则若，故错误， 故选:AB 12．(25-26高一上·甘肃部分学校·期中)图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 13．(25-26高一上·甘肃环县第四中学·期中)设，，若，则实数的值可以为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】 先求出集合，再由可知，由此讨论集合B中元素的可能性，即可判断出答案. 【详解】集合，，， 又， 所以， 当时，，符合题意， 当时，则，所以或， 解得或， 综上所述，或或, 故选： 地 城 考点03 集合新定义 14．(25-26高一上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 15．(25-26高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中)设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（    ） A．集合是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】BCD 【分析】根据“闭集合”的定义可判断ABD选项；取，结合“闭集合”的定义可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，则，故集合不是“闭集合”，A错； 对于B选项，对任意的、，，故正整数集是“闭集合”，B对； 对于C选项，取，则、、，即为“闭集合”，C对； 对于D选项，对任意的、，则、且、， 因为集合、都是“闭集合”，所以且，故， 因此一定是“闭集合”，D对. 故选：BCD. 地 城 考点04 充分必要条件的判断 一、单选题 16．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且时，成立，但当时，且不一定成立，如且， 所以，， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 17．(24-25高一上·甘肃武威第十八中学·期末)已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式化简集合A，B，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】集合， ，显然集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 18．(25-26高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 19．(25-26高一上·甘肃定西渭源县第四高级中学·期中)“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】首先求解绝对值不等式与分式不等式，然后再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 20．(25-26高一上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中)已知，则成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得真时对应的取值范围，由此确定正确选项. 【详解】当真时，在区间上恒成立，所以， 所以成立的一个充分不必要条件可以是. 故选：A 21．(25-26高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中)已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据得到的取值范围，再进行判断. 【详解】， 若，则，解得， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 22．(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解不等式，得或，依题意可得集合是集合或的真子集，即可求出参数的取值范围. 【详解】根据题意，解不等式，即， 解得或，即不等式的解集为或. 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合或的真子集，所以. 二、多选题 23．设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路图是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断. 【详解】由题知，A中电路图，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮，开关不一定闭合，故A中是的充分而不必要条件； B中电路图，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，故B中是的充要条件； C中电路图，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，则开关一定闭合，故C中是的必要而不充分条件； D中电路图，开关闭合，则灯泡亮，灯泡亮，则开关闭合，故D中是的充要条件． 故选：BD. 24．(25-26高一上·甘肃兰州第一中学·期中)命题“”的否定是（    ）地 城 考点05 全称量词与存在量词 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解． 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D 25．(25-26高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由特称命题的否定转化得全称命题，再利用二次不等式恒成立问题的解法求解即可. 【详解】因为“，”为假命题， 所以，为真命题， 所以，解得， 故的取值范围为， 故选：D． 26．(25-26高一上·甘肃环县第四中学·期中)若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“，”为假命题，可得“”， ，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案. 【详解】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题， 所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D． 故选：C． 27．(25-26高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)（多选题）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据命题的真假以及命题的否定，可得的范围，从而得到结果. 【详解】因为，为假命题，所以，为真命题， 可得， 又，为真命题，可得，所以. 故选:BD. 28．(25-26高一上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)下列说法正确的有（    ） A．命题：，的否定是：， B．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 C．已知、，则“”是“”的必要不充分条件 D．若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是或 【答案】ACD 【分析】利用全称命题的否定可判断A选项；分、两种情况讨论，结合二次不等式可得出关于的不等式组，可求出的取值范围，可判断B选项；根据充分条件、必要条件的定义可判断C选项；分析可知命题“，”为真命题，可得出，可求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，命题：，为全称量词命题， 该命题的否定是：，，A对； 对于B选项，因为不等式对一切实数都成立， 当时，则有对一切实数恒成立， 当时，由题意可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是，B错； 对于C选项，已知、，若，不妨取，则不成立， 即由“”推不出“”； 若，则，可得，所以， 即由“”可推出“”， 因此，“”是“”的必要不充分条件，C对； 对于D选项，若命题“，”的否定是假命题， 故命题“，”为真命题， 则，解得或， 因此实数的取值范围是或，D对. 故选：ACD. 地 城 考点06 简易逻辑综合问题 29．(25-26高一上·甘肃部分学校·期中)德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中假命题是 （ ） A．函数是奇函数 B．，， C．函数是偶函数 D．，， 【答案】A 【分析】取为有理数计算判断A；取计算判断B；求出，再利用奇偶性定义判断C；按是有理数、无理数计算判断D. 【详解】对于选项，若是有理数，则也是有理数，则，因此不是奇函数，故错误； 对于选项B，当时，， ，此时，故B正确； 对于选项C，若是有理数，则；若是无理数，，， ，又，则，因此，函数是偶函数，故正确； 对于选项D，若是有理数，，则均是有理数，则； 若是无理数，，则均是无理数，则， 因此，故D正确. 故选：A. 30．(25-26高一上·甘肃渭源县第一中学·期中)命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 31．(25-26高一上·甘肃兰州第五十八中学·期中)全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据交集和补集运算求解，然后利用有解求解的范围即可. 【详解】因为，，所以， 图中阴影部分表示的集合为，即， 由题意，或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 32．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 33．(25-26高一上·甘肃兰州第一中学·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分式不等式的解法结合集合的运算可得； （2）由已知得到，再分和两种情况由集合的包含关系可得. 【详解】（1）当时，， ， 所以， 所以. （2）若，则， 当时，； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 34．(25-26高一上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中)已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）把代入，利用并集、交集的定义直接求解. （2）利用给定的交集结果，列式求出. 【详解】（1）当时，，而， 则，. （2）由，得或，解得或， 所以的取值范围是. 35．(25-26高一上·甘肃兰州大学附属中学·期中)（1）已知p：，q：，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． （2）已知命题p：有两个异号的实数根，q：无实根，若命题p、q一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据必要不充分条件得到集合包含关系，得到不等式，求出答案； （2）求出、为真命题时的取值范围，分真假和假真两种情况，得到答案. 【详解】（1）设，， 是的必要不充分条件，故是的真子集， 所以或，解得， 故实数的取值范围是； （2）有两个异号的实数根， 故，即，解得； 无实根，，解得， 命题、一真一假，若真假，则与或取交集得； 若假真，则与取交集得； 由与取并集得或， 综上，实数的取值范围是或. 36．(25-26高一上·甘肃兰州第二中学·期中)设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：. (1)计算：； (2)，是否都有成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由； (3)若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素. 【答案】(1) (2)，都有成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）按照题设规定即可求得； （2）将，代入运算规定即可； （3）按照题设条件得出，按照运算规则得出，此时要分类讨论为0的情况，而得出之后要代入题设验证，这样充分性必要性都得到了证明，即可得出结论. 【详解】（1）. （2），都有成立，证明如下： 依题意，设，则， ， 所以. （3）若中的元素，都有成立，则由（2）知，只需成立， 设，即，则， 当时，显然有成立，即元素为中任意元素， 当时，则，解得， 因此，当，都有成立时，得， 反之，当时，， 设， 所以“中的元素”是“，都有成立”的充要条件，元素. 学科网（北京）股份有限公司 $