专题04 图形的相似8考点（期末真题汇编，广东专用）九年级数学上学期北师大版

专题04 图形的相似 8大高频考点概览 考点01 成比例线段 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似多边形 考点04 相似三角形的判定 考点05 相似三角形的性质 考点06 相似三角形的判定和性质的综合运用 考点07 相似三角形的实际应用 考点08 位似 地 城 考点01 成比例线段 1．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)下列命题正确的是（   ） A．已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B．关于x的方程是一元二次方程 C．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D．已知点是函数图象上的两点，则 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据比例线段的定义，一元二次方程的定义，相似多边形的定义以及反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、已知：线段，则：，故a，b，c，d不是比例线段，原命题为假命题，不符合题意； B、∵，∴关于x的方程是一元二次方程，原命题为真命题，符合题意； C、角都对应相等，且边都对应成比例的多边形是相似多边形，原命题为假命题，不符合题意； D、∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点是函数图象上的两点，且， ∴，原命题为假命题，不符合题意； 故选B． 2．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A．，，8， B．5，6，7，8 C．3，6，4，7 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．对于按顺序给出的四条线段，我们通常检验其是否满足，即．据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，由，可知这一组线段是成比例线段．所以A符合题意； B中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以B不符合题意； C中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以C不符合题意； D中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以D不符合题意． 故选：A． 3．(24-25九上·广东清远清城区·期末)已知2，6，7，x成比例，则x的值为（   ） A． B． C． D．21 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段．根据成比例线段，可得，解方程即可求解． 【详解】解：∵2，6，7，x成比例，∴， 得， 解得， 故选：D． 4．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)已知，且，则a的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键． 利用设法进行计算即可解答． 【详解】解：∵， 设， ， ， ， ， 故选：C． 5．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)已知，则的值是（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键．先利用内项之积等于外项之积得到，然后把代入代数式中进行分式的计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)对于非零实数a、b，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 7.如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的性质，掌握比例、分式的性质的计算是解题的关键． 根据题意可得，，代入式子，运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 8．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，通过设参数的方法将比例式转化为具体的数值，再代入式子进行计算，这种方法在处理比例相关问题时经常用到，可以使计算更加简便． 【详解】解：因为，所以可设， 则． 故答案为：． 9．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，根据已知条件设，则再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：设， 则， ∴． 故答案为：． 10．两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，点P是的黄金分割点，且，设，则，则，即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】由题意知，点P是的黄金分割点，且，设，则， ∴， ∴， 化简得：， 故答案为：． 11．(23-24九上·广东连州·期末)已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质可得，，然后代入计算即可．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 12．(23-24九上·广东清远连山壮族瑶族自治县·期末)大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 （保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查的是成比例的线段，黄金分割的含义，由P为的黄金分割点，可得 先求解 再利用线段的和差求解即可. 【详解】解： P为的黄金分割点， ， 故答案为：． 13．(23-24九上·广东清远连山壮族瑶族自治县·期末)若，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，利用了等比性质．根据等比性质，可得答案． 【详解】解：， 由等比性质，得， 所以． 故答案为：6． 14．(23-24九上·广东珠海斗门区·期末)如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为 cm．（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：）    【答案】 【分析】本题考查黄金分割点的应用，解题的关键是掌握黄金分割的定义．根据黄金分割的定义直接求解即可． 【详解】解：∵C是弦靠近点B的黄金分割点，， ∴， 故答案为：． 15．(23-24九上·广东佛山禅城区·期末)黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏丰富的美学价值.佛山电视塔（如图）塔尖到底部的高度是238米，中间球体点（点、、在同一直线）恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且，则点到底部之间的高度是 米（结果保留根号）； 【答案】 【分析】本题考查黄金分割、认识立体图形，解答本题的关键是掌握黄金比是．根据黄金分割为和题意，可以求得底部到球体之间的距离． 【详解】解：由题意可得，底部到球体之间的距离是：米， 故答案为：． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 1．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，，（单位：），则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线等分线段定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ，即， 解得：． 故选B． 2．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，分式的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，由此代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 当时，原分式有意义， ∴的长为， 故选：C ． 3．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)如图，，若，，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据该知识求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 4．(23-24九上·广东河源龙川县老隆中学·期末)是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于H，根据三角形中位线定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【详解】解：作交于H， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵，且 ∴， ∴， 故选：C 5．(23-24九上·广东深圳·期末)一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运用．由平行线分线段成比例可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ， ， ， ． 故选：C 6．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点都在平行线上．若，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】解：五条平行横线的距离都相等， ， ， ， 故选：A． 7．(24-25九上·广东清远连州·期末)如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，再代入数据即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 8．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图是小明所设计的花架侧面简易图，已知，cm，cm，cm，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵cm，cm，cm， ∴， ∴， 故选：． 9．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理，可知，则的长可求． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 10．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点．如果，那么的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割，直接利用黄金分割的定义建立等式求解，即可解题． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ， 解得， 故答案为：． 11．(24-25九上·广东清远清新区·期末)小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的证明过程． 【尝试应用】 （2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：． 【拓展提高】 （3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例等知识， （1）根据平行线分线段成比例定理和中点的定义进行解答即可； （2）连接交于点，则点为的中点，点为的中点．根据（1）问可得．同理可得,由点为的中点得到，即可证明结论成立； （3）求出，得到，．根据即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 是的中点 ． 又 （2）证明：连接交于点，则点为的中点，点为的中点． 为的中点，根据（1）问可得 ． 同理可得 点为的中点 ． （3）由第（1）问可知 ， 同理可得， ． 12．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏．当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点．如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米．图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． (1)支柱的高度 米． (2)保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？ （填“会”或“不会”） (3)请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米（要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度）请在图中画图并分析说明． 【答案】(1) (2)不会 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理求解即可； （2）利用三角形中位线定理求解即可； （3）如图，将支点装在距离跷跷板端点米处，根据相似三角形的判定与性质，求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， 是的中位线， （米）， 故答案为：； （2）解：支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度不会变化，理由： 这个高度（米）， 故答案为：不会； （3）解：方案：如图，将支点装在距离跷跷板端点米处， 过点作于点，则， ， ， 米，米，米， ， 米， 即将支点装在距离跷跷板端点米处，满足要求． 地 城 考点03 相似多边形 1．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（   ） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质．根据相似多边形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变． 故选：B． 2．(24-25九上·广东清远清新区·期末)两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质即可求出较大多边形的面积． 【详解】解：设较小多边形的面积为， ∵两个相似多边形的相似比是，较大多边形的面积为， ∴， 解得：，即较小多边形的面积为． 故选：B． 3．如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为， ∴相似多边形的相似比为； ∴它们的面积比为； 故选：C． 4．(23-24九上·广东茂名崇文学校·期末)如果两个相似多边形的面积的比为，则它们的周长的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积的比为， ∴它们的周长的比为：． 故选：D． 5．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：16． 6．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） 【答案】随机 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，随机事件，根据相似多边形的性质及随机事件的定义解答即可． 【详解】解：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形， ∴任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形不一定相似， 故“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是随机事件． 故答案为：随机． 地 城 考点04 相似三角形的判定 1．(24-25九上·广东江门鹤山·期末)如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 2．(2024·广东省深圳市·适考)下列命题中，真命题是（   ） A．一个角相等，两边成比例的两个三角形相似 B．周长相等的两个矩形对角线相等 C．相似多边形都是位似多边形 D．一元二次方程的常数项为 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定、矩形的性质、相似图形的定义、一元二次方程的定义分别判断后即可得解． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似三角形的判定、矩形的性质、相似图形的定义、一元二次方程的定义等知识，难度不大． 【详解】解：A. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B. 周长相等的两个矩形的对角线不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C. 相似多边形不一定是位似多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D. 将一元二次方程化为标准形式为，它的常数项为，因此一元二次方程的常数项为，故原命题正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 3．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，，为与的交点，点在上，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，由得，由得，即得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 4．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)如图1是液体沙漏的截面示意图（数据如图），经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，此时 cm． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：，，， ∵， ∴分别是边上的高， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 6．(24-25九上·广东清远清城区·期末)如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．先证明，由，得，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决 （1）若四边形是菱形，边长为2，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，连接，则与的数量关系为 ，长度的最小值为 ． 【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决： （2）如图2，若四边形是正方形，边长为2，点O为中点，点P是射线上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接求： ①与的数量关系； ②求长度的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线的延长线上一动点时，以为直角边在边的右侧作等腰，，连接，若，，求的面积． 【答案】（1），1；（2）①，②长度的最小值为1；（3） 【分析】（1）连接，由菱形性质推出和是等边三角形，又是等边三角形，可证明，即得，，延长交于，则在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，可得，即可求出的最小值为1； （2）①连接，根据正方形性质可知是的中点，知是等腰直角三角形，有，，而是等腰直角三角形，可知，，即可推出，利用相似三角形性质可得结果；②延长交于，由在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，可求出，故可求出最小值； （3）连接交于点，过点作交于点，根据正方形性质，可得的长，证明，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，   四边形是菱形， ， ， 和是等边三角形， ，， ， ， ，， 四边形是菱形，， ， ， 如图，延长交于，则在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，   ，， ， ， 的最小值为1， 故答案为：，1； （2）①如图，连接，   四边形为正方形，为的中点， 是等腰三角形， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，， ； ②延长交于，如图，   ， 在射线上运动，当，即与重合时，取最小值， 四边形为正方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为1； （3）如图，连接交于点，过点作交于点，   四边形为正方形，， ，，， ，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， 在中，有勾股定理得：， ， 解得：，（舍去）， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了解直角三角形的相关运算，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、作辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键． 7．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【知识技能】（1）如图1，矩形与叠放在一起，（点Q，N分别与点A，B重合，点M落在对角线上），已知，则 ． 【数学理解】（2）如图2，以每秒1个单位长度的速度在线段上从点A向点C运动；同时，动点P以每秒2个单位长度的速度在线段上从点D向点A运动，设它们的运动时间为，连接．解答下列问题： ①当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ ②是否存在某一时刻t，使得与四边形面积之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，将绕着点M顺时针旋转得到，点N、Q的对应点是，连接，，当t为何值时，的值最小？ 【答案】（1）12；（2）①，②存在，理由见解析；（3） 【分析】（1）由勾股定理求得，进而根据面积法求得的值； （2）①根据点A在线段的垂直平分线上得出，进而列出方程求得结果； ②作于E，可先求出，根据得出，从而表示出的值，从而得出，进一步得出结果； （3）连接，作于H，根据垂直平分线的性质得出，从而得出，当共线时，最小，从而得出，连接，作于F，则，求出，，证明四边形是平行四边形，进一步证明，根据相似三角形的性质列式计算可得结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由得，， 故答案为：12； （2）①∵在矩形中， ∴， ∵在中，， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当t为时，点A在线段的垂直平分线上； ②存在，理由如下： 如图，过点M作于E， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵与四边形面积之比为， ∴与的面积之比为， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴当时，与四边形面积之比为； （3）如图，连接， ∵旋转得到， ∴ ∴， ∴当共线时，的值最小， 如图，连接，作于F，则， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵旋转得到， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∵ （对顶角相等） ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 8．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)【问题背景】如图，点是菱形的对角线上一点，连接，延长后交于点，交的延长线于点． 【知识技能】 （1）求证：； 【数学理解】 （2）若点为的中点，求的值； 【拓展探索】 （3）若菱形的边长为，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质得，，利用即可得证； （2）由中点的定义得，结合菱形的性质证明，得，证明，得，可得结论； （3）根据菱形的性质及三角形内角和定理，，继而推出，，，证明，得，继而得到，即，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形且点是菱形的对角线上一点， ∴，， 在和中， ∴； （2）解：∵点为的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，． ∴， ∴， 即的值为； （3）∵菱形的边长为，，， ∴， ，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， 解得：（舍去），， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等角对等边等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)如图，平行四边形的对角线与相交于点． (1)给定三个关系：①；②；③．其中能使得平行四边形为矩形的有______，选择其中一个作为条件进行证明； (2)在（1）的条件下，点从点开始沿边运动，速度为；点同时从点开始沿边运动，速度为．如果，，点到达点A时所有运动停止，那么何时与相似？ 【答案】(1)①③，证明见解析 (2)2秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识点，理解题意、灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形判定即可解答； （2）分和两种情况分别利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】（1）解：①③．证明如下： 若添加①： ∵ ， ∴， ∴平行四边形是矩形； 若添加③∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 故答案为∶①③． （2）解：设运动时间为．由题意可得：， ， 当时，， ∴，解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上，当运动2秒或秒时，与相似． 10．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．下图中点A、B、C均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图，不写作法，保留必要的作图痕迹． (1)在图1中，画出以B为顶点，为腰的等腰三角形； (2)在图2中，在线段上找一个点P，使； (3)在图3中，是格点三角形，找出一个格点D，连接，使平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题是四边形综合题，考查作图一应用与设计作图等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求的长，即，同理得，结合等腰三角形的判定：画图即可； （2）与（1）同理得，取格点E，格点F，连接，交于点P，结合网格，，所以，，即，则点P为所求点． （3）在的延长线上取格点E，使，结合等腰三角形的性质，再取的中点D，运用三线合一，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：以B为顶点，为腰的等腰三角形如图所示： （2）解：在线段上找一个点P，使，如图所示： （3）解：平分，如图所示： 11．(24-25九上·广东河源龙川第一实验学校·期末)如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再证出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）先证出，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 所以的长为． 12．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)综合运用  如图，中，，点在的下方，，平分，在线段上取点，使，设． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，判断、、之间的数量关系并说明理由． (3)如图3，现以所在的直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，、两点的坐标分别为，（实数）．若（为常数且），求面积关于的函数表达式． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，，证明，则可得出结论； （2）过点C作于M，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （3）与（2）同理可得：，得出，由题意可知：，，则，过点C作于H，证明，得出，求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由：过点C作于M， ∵，， ∴、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等腰与等腰的底角相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：依题意得：，， ∴， ∴， 与（2）同理可得：， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于H， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 即S关于n的函数表达式为． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握以上知识． 13．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)【建立模型】 （1）如图①，已知中，，，点D在上，且，点E是的中点，证明： 【知识拓展】 （2）如图②，已知中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，当与相似时，求的长度． 【问题解决】 （3）密室逃脱是一种实景逃脱游戏．在游戏中，玩家会被“关”在一个主题房间里，玩家在规定时间内，通过观察、推理和论证来解开一系列谜题，找到逃出房间的方法．如图③，一间地面为边长3米的正方形房间沿对角线分成两间密室，在密室中，墙底部嵌有一面可沿左右滑动的小镜子P（镜面与墙平行），墙底部中间位置E处有一固定激光笔（激光可射向的任何位置），当C处光感器能接收到激光时，密室解开．请计算密室解开时，镜子P与激光笔E的距离． 【答案】（1）证明见解析，（2）的长为或；（3）密室解开时，镜子P与激光笔E的距离为米． 【分析】本题考查的是正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质； （1）求解，证明，结合，即可得到结论； （2）求解，分两种情况讨论：当时，如图，当时，再进一步求解即可； （3）如图，由题意可得：为的垂直平分线，可得，证明，可得，进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵，，点D在上，且，点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，∵，，点D是的中点， ∴， 当时， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， 综上：的长为或． （3）如图，由题意可得：为的垂直平分线， ∴， ∵边长3米的正方形，为的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴密室解开时，镜子P与激光笔E的距离为（米）． 14．(24-25九上·广东清远英德·期末)如图，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得标杆的影子，同一时刻，测得建筑物的影子，求建筑物的高． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明，可得，再代入数据计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 15垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； 【答案】(1)1； (2)，见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识； （1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； 【详解】（1）解：∵平行四边形， ，， ∵为的中点， ∴ ， ， ∴，即，解得， ， ； 故答案为：1；； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； 16．(24-25九上·广东清远连州·期末)综合与实践 【主题】探究顶角为的等腰三角形 【实践操作】步骤1：如图1，在白纸上剪一个顶角为的等腰三角形； 步骤2：如图2，沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合； 步骤3：如图3，沿着虚线折叠，点恰好落在上． 【实践探索】 (1)证明：． (2)证明：． (3)若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，得到，由（1）知，，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据折叠的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，设，得到，由（）知，，列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合， ，， ， ， ， ； （2）证明：由（1）知， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ； （3）解：沿着虚线折叠，点恰好落在上， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ，， 由（2）知，， ∴， 或(不合题意舍去)， ， 故的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 17．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)综合与应用 【知识背景】如题图，在反比例函数的图象上有一点，过点作轴于点，连接，点为反比例函数图象上一动点，连接． 【基础尝试】 求反比例函数的表达式； 【深入探究】 若，求点的坐标； 如题图，若，求的面积． 【答案】；；． 【分析】把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出的值即可； 过点，作轴，垂足为，交于点，根据矩形的性质可证，根据等角对等边可知，设，则，，根据勾股定理可得，解得，从而可得直线的解析式为，因为点是直线与反比例函数图象的交点，解方程组求出点的坐标即可； 过点作轴，垂足为，交的延长线于点，根据直角三角形的性质可证，又因为，从而可证，根据相似三角形对应边成比例可知，设点的坐标为，可得，解方程求出的值，即可得点的坐标为，根据即可求出的面积． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 反比例函数表达式为； 解：如下图所示，过点，作轴，垂足为，交于点， 轴， ， ， 由题意可知，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 由图象可知，所在直线是正比例函数， 设所在直线的函数为， 将代入， 可得：， 解得， 所在直线的函数为， 联立构成方程组得：， 解得：或（不符合题意，舍去） 点的坐标为 解：如下图所示，过点作轴，垂足为，交的延长线于点， 则， ， ，即， 轴， ，即， ， ， ， ， ，即， 设，则，， 由，得，， ， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 点的坐标为， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合题，涉及到的知识点有：用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理． 地 城 考点05 相似三角形的性质 1．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，与位似，位似中心为点，，的周长为，则的周长为（） A．9 B．12 C． D．18 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可，掌握位似图形的概念，相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ， ， 的周长的周长， 的周长为， 的周长为， 故选：A． 2．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)已知，且．若的周长是6，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的对应角相等、周长的比等于相似比成为解题的关键． 直接根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算即可． 【详解】解：∵，且 ∴的周长的周长， ∵的周长为6， ∴的周长为12． 故选：C． 3．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)已知，与的面积分别为9和36，若，则其对应边的长为（    ） A．1 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵，它们的面积分别为 9 和36， ， ， ， ， 故选：C． 4．(24-25九上·广东清远连州·期末)若，，的周长是10，则的周长是（   ） A．10 B．15 C．25 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答． 【详解】解：，， 和的相似比为， 又的周长是10， 的周长是． 故选：C． 5．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．设的周长为，根据相似三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：设的周长为， ∵且相似比为，若的周长为20， ， 解得：， 所以的周长是15， 故答案为：15． 6．(24-25九上·广东清远英德·期末)如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平移的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 因为是平移，所以，所以，再通过相似三角形面积比是相似比的平方求出相似比，最后得出的长度，再求出长度即为平移的距离． 【详解】解：将沿方向平移得到， ∵ ∴ 故答案为： 7．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 8．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是 ． 【答案】81 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 根据题意可得，，，，可得，可得对应边的比为，设，则，，由此可得，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得，，，， ，，，， ， 的面积分别为， 对应边的比为， 又四边形与四边形为平行四边形， ， 设，则，， ， ， 由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出： ， ． 故答案为：81 ． 9．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)小明进行“测量家门口路灯高度”实践活动，方案如下：某晚，他在距离路灯的地方，测得父亲在地面上的影长是，已知小明父亲身高为，则路灯离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形，把实际问题抽象为相似三角形，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯灯泡距地面的高度．根据题意，可将原题转化如下图所示的几何模型，可得，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯灯泡距地面的高度即可． 【详解】解：如图，根据题意画出图形， 其中表示路灯，表示父亲身高，则有，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴路灯灯泡距地面的高度是 10．如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由平行线分线段定理可得，即；再证明可得，即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 11．(24-25九上·广东茂名化州·期末)如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据题意可以得到和相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以求得的面积，从而可求得四边形的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 12．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，，是的高．，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及矩形的性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．交于点，如图，设，则，先证明四边形为矩形得到，则，再证明，根据相似三角形的性质得到，即，然后求出，从而得到的长． 【详解】解：交于点，如图，设，则， 四边形为矩形， ，， 是的高， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为：． 56．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 m． 【答案】5.1 【详解】本题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 在同一时刻物高和影长对应成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 解：设树高是x米，则， 解得：， ∴树高为， 故答案为：5.1． 13.图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查三角形相似的应用，掌握相似三角形的性质是解题关键．过点O作，垂足为M，作，垂足为N，由题意可知，得出，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为M，作，垂足为N， 由图可知， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．(23-24九上·广东清远连山壮族瑶族自治县·期末)如图，小华做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛 的地方时，蜡烛焰是像的一半． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用和分式方程，设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，根据蜡烛焰是像的一半即可列方程求解． 【详解】解：设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，由题意得： 解得， 经检验，是原方程的解， 则小孔纸板应放在离蜡烛的地方时，蜡烛焰是像的一半． 故答案为：7． 15．(24-25九上·广东茂名化州·期末)如图，在中，，，点P、D分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)当，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）等边对等角，得到，三角形的外角和角的和差关系求出，即可得证； （2）利用相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即：， ∴． 15．(24-25九上·广东茂名化州·期末)如图，四边形是的内接矩形，是的高，，，求矩形的周长． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点L，由，得，由证明，而，则，可证明，由相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，周长公式求出矩形的周长即可． 【详解】解：设交于点L， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，且点D、G分别在上，边在边上， ∴，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即： 解得， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为． 17．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)综合探究  如图1，在矩形中，，动点在边上，连接． (1)过点作交于， ①当，求证：． ②当时，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图2，动点在边上，将矩形沿折叠，点、折叠后的位置分别是点、，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①，从而，，从而，从而得出，从而， ②可推出，，从而，从而； （2）取的中点，连接，作，交于，可证得四边形是平行四边形，从而；根据对称得出点和点关于对称，，，从而得出，从而，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）①证明：如图1， 设，交于点， 当，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ②解：由①知， ，， ， ； （2）解：如图2， 取的中点，连接，作，交于， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， ， 矩形沿折叠，点、折叠后的位置分别是点、，点恰好是线段的中点， 点和点关于对称，， ， ， 由②知，， ， 不妨设，，则， ， ， ， ． 18．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)路边有一口废弃的圆柱形枯并，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在处立一根长的铁管（），用聚光笔从铁管的顶端点照射井底点，光线与直径交于点O，测得． (1)求证： (2)求填平这口井需要泥土的体积．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆柱的体积．解决本题的关键是根据平行线的性质找到相等的角，判定两个三角形相似，再根据相似三角形对应边相等求出井的深度，从而求出井的容积． 根据可知，根据对顶角相等可知，根据有两个角对应相等的三角形相似可证； 根据相似三角形对应边成比例可得：，从而求出井的深度为米，利用圆柱的体积公式求出井的容积即为所需要的泥土的体积． 【详解】（1）证明：， ， 又， ； （2）解：； ， ，，， ， ， 解得， 圆柱形枯井的容积为． 答：填平这口井需要泥土的体积大约为． 19．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)如图，，与交于点，且，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， 即：， ； （2）证明：∵， ， ， 20．(24-25九上·广东广州·期末)如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)24 (2) (3)为或，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，函数关系式； （1）当秒时，，，，根据，，可得，，，，即可得； （2）分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （3）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【详解】（1）解：当秒时，，，， 矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 的值是24； （2）解：①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； （3）解：如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 21．(24-25九上·广东湛江·期末)如图，在中，，，．点M从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，点N从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．经过几秒，与相似？ 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出两种情况，再求出即可． 【详解】解：设经过秒，与相似，则，，， ， 可分为以下两种情况： ①当时， ， ∴， 解得； ②当时， ， ∴． 解得． ∴经过秒或秒，与相似． 22．(23-24九上·广东深圳龙岗区龙岗街道同乐主力学校·期末)由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． (1)在图1中，______； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据网格性质可得，进而可得，即得； （2）①仿照（1）的图形构造相似比为的相似三角形即可； ②利用对称，即可图形转化为（1）的形式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①如图中，点P即为所求； ②如图中，点P即为所求； 23．(23-24九上·广东佛山大沥镇大沥初级中学·期末)如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G． (1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）； (2)求点C的坐标； (3)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，根据矩形的性质可得，进而得到、即可解答； （2）由题意可得解得，作轴于H，即；再证明，利用相似三角形的性质列比例式可得，进而得到即可解答； （3）由勾股定理可得、，然后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵曲线经过点C、G， ∴， 解得：， 如图：作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴矩形的面积． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形、勾股定理、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 24．(23-24九上·广东佛山南海区里水镇和顺第一初级中学·期末)（1）在菱形中，，点P在边边上，连接，点Q在的延长线上，连接，，求证：； （2）菱形中，点P、Q分别是,上的动点，且满足，当时，求与的面积之和． （3）平行四边形中，，P是上一动点，Q是上一动点，且满足，，，当时，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）4 【分析】（1）连接，证明即可得证． （2）延长到H使得，连接，证明，判定三角形是等边三角形，得到，计算即可． （3）延长到H使得，证明，再证明是等边三角形，解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）解：延长到H使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （3）解：延长到H使得， ∵， ， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 25．(23-24九上·广东连州·期末)5．综合探究：等腰直角与等腰直角的直角顶点C重合．与相交于F，的延长线交于G，连接． (1)如图1，当点B，D，E在同一条直线上时，连接，求证：； (2)在（1）的条件下取的中点M，分别连接，，求证； (3)如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的综合应用，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定． （1）、均为等腰直角三角形，，，，，证明即可求解． （2）由（1）得，，在中，点为中点，，即可求证． （3）在和中，，证明，即可求证． 【详解】（1）证明：、均为等腰直角三角形， ，，，， ， ，    在和中， ． （2）证明：由（1）得， ， ， ，即 ， 在中 点为中点， ， ，       ． （3）证明：在和中， ， ， 又， ， ． 地 城 考点06 相似三角形的判定和性质的综合运用 1．(24-25九上·广东深圳·期末)【问题思考】 （1）如图1，已知正方形，M，N分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接． 则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是 ． 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接． ①当点E在上时． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是等腰三角形，求此时的长． ②当点E在的延长线上时，若，则线段的长为 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）①（ⅰ）；（ⅱ）或5；②． 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）（i）连接，利用正方形的性质得到，利用（）的结论得到：，设，则，，利用勾股定理列出方程求得值，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；（ii）过点作，交的延长线于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求得．设，则，，，再利用分类讨论的思想方法分三种情况推论解答：I．当时，，此种情况不存在；Ⅱ．当时，，则，点与点重合；Ⅲ．当时，．则，利用勾股定理解答即可． ②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和矩形的判定与性质得到，设，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：（1），之间的数量关系是：．理由： 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 即． ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）①（i）连接，如图， 四边形为正方形， ，， ， 由（）知：． 正方形的边长为，， ． 设，则，． ， ， ． ， ； （ii）过点作，交的延长线于点，如图， 四边形和四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 设，则，，． ． Ⅰ．当时，， ． ， ． 此时，不合题意，舍去； Ⅱ．当时，， ， 此时，点与点重合， 点与点重合， ； Ⅲ．当时，． 则， ． ， ． 解得： 综上，若是等腰三角形，的长为或； ②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，如图， 四边形和四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， 同理：四边形为矩形， ． ， ． 设，则， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加恰当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 2．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)点是正方形所在平面内一点． (1)如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，判断与之间的关系，说明理由； (2)如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明； (3)在（）的条件下，连接，延长交于点.当，时，求的面积． 【答案】(1)，，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)的面积为． 【分析】（）根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，得出，延长交于点，进而求出，从而证明即可； （）设，交于，设，求得，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到； （）由（）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：，，理由： 延长交于点，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴，； （2）解：，理由： 设，交于， ∵，， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即：； （3）解：如图，由（）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键 3．(24-25九上·广东清远英德·期末)在矩形中，点G是边的中点，点E，F是其所在平面的两个点，且，，连接，，点H是的中点，连接． (1)如图1，若点E在边上，点F在边上，且，请直接写出与的数量关系； (2)如图2，，将绕点B旋转，连接，若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，将绕点B旋转，连接，若． ①猜想与的数量关系（用m、n表示），并证明你的猜想； ②如图4，当绕点B顺时针旋转时，将沿翻折得到，若点K刚好与点F重合，则此时矩形的边长与应满足什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）先证明，，结合为的中位线，可得结论； （2）如图，连接，证明四边形为正方形，证明，可得，再结合三角形的中位线可得答案； （3）①仿照（2）的思路进行证明与计算即可；②如图，连接，当K与F重合时，，则，证明，可得，设，则，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∵点G是边的中点，点H是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ∵，矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中   ∴， ∴， ∵G、H分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． （3）解：①，理由见解析； 如图，连接， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； ②，理由如下： 如图，连接，当K与F重合时，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而，， 设，则 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等，找到需要相似三角形是解题的关键． 4．(24-25九上·广东清远英德·期末)如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规作图，过上一点作直线交于点，使所得的与相似；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定； （1）作交于点，则与相似； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 根据作图， 又∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 5．(24-25九上·广东清远连州·期末)综合探究 如图，将一张矩形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，取右下角纸片．展开后四边形的形状是菱形（如图）； 菱形中，对角线、交于点，点在边延长线上，平分交于点． (1)如图1，当时，证明：是的中点； (2)如图2，当，的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由； (3)如图3，与的交点为，当点移动时，写出图中新增加的等腰三角形（不增加字母的情况下）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)和 【分析】（1）延长交于点，利用菱形的性质得到，，再由得到，再利用直角三角形的性质以及等量代换可得，推出，再利用三线合一性质得到，最后通过证明，即可证明； （2）过点作交于点，设与交于点，由证出，得出，再由得出，得出，最后通过证明，即可得出为定值； （3）先证明，推出，则说明是等腰三角形，再根据菱形的性质和平行线的性质得出，利用直角三角形的性质以及等量代换可得，说明也是等腰三角形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， 菱形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 又平分， ， 又，， ， ， 是的中点． （2）解：过点作交于点，此时点使得为定值，理由如下： 如图，设与交于点， ， ， 菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为定值． （3）解：菱形， ，，， 又， ， ， 是等腰三角形，； 由（2）得，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形； 综上所述，新增加的等腰三角形有和． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 6．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)我们将四个顶点都在三角形边上的正方形，称为该三角形的内接正方形． (1)如1图，正方形是的内接正方形，请在图中找出一对相似三角形，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若三边分别为是边上的高，试求： ①边上的高的长； ②内接正方形的边长； (3)如3图，面积为的正方形内接于，如果的面积分别记为，请用含有的式子表示（不用说明理由）． 【答案】(1)，详见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定方法进行判断即可； （2）①根据勾股定理得出，代入数据得出，求出，再根据勾股定理求出即可； ②设正方形的边长为a，则，，根据相似三角形的性质得出，代入得：，求出，即可得出答案； （3）过点A作于点H，交于点I，设正方形的边长为a，得出，，，得出，根据相似三角形性质得出，即，整理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴； （2）解：①∵为边上的高， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②∵，， ∴， ∴为边上的高， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设正方形的边长为a，则，， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为． （3）解：过点A作于点H，交于点I，如图所示： 根据解析（2）可知：为边上的高， 设正方形的边长为a， ∴，，， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 整理得：， ∴，负值舍去． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 7．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如题图，已知点、点分别是正方形，边上的一点，且，连接，相交于点． (1)探究一：与有什么关系？请说明理由； (2)探究二：如题图，当时，求的值． 【答案】(1)，，详见解析； (2)． 【分析】（）由四边形是正方形，，，证明，由全等三角形的性质可得，，再利用角度和差即可； （）设，则，，由勾股定理求出，然后证明，根据相似三角形的性质，从而即可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， 由（）得，则， ∵中，， ∴， ∴， 由（）得，则， ∴， 又∵， ∴， ∴． 地 城 考点07 相似三角形的实际应用 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)如图，当点、、在同一直线上时，在处与处测得的视力相同．若米，米，米，则是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，然后根据相似三角形的性质计算的值即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴，解得：， 故选：． 2．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．先证明，得到，求出的长度即可． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， ， 即树高为， 故选：D． 3．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，一块三角板与投影面平行放置，测得，，边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换、中心投影，中心投影得到的阴影与原图形是位似图形，两个位似图形的位似比等于它们的对应边的比，根据、，可得位似比为，因为，所以边的中心投影的长为． 【详解】解：三角板与阴影是位似图形， 它们的位似比为， ， 解得：． 故选： B． 4．(24-25九上·广东河源连平县·期末)如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，解决本题应用了什么光学知识，该古城墙的高度是（   ） A．光的反射，米 B．光的折射，米 C．光沿直线传播，米 D．光的反射，米 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意得到，由光的反射定律可知，则可证明，得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴，即，∴米， 故选：A． 5．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)某兴趣小组的同学在同一时刻测量了直立在太阳下的四根竹竿的影长，结果如下： 竹竿高度/米 影长/米 小明在这一时刻测得一棵大树的影长为36米，则这棵大树的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 设这棵大树的高度为米，根据题意可得： ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6．(24-25九上·广东清远清城区·期末)小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】(1)①平行；②； (2)建筑物的高为15米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 7．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 【答案】河宽长为36米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，得到是解题的关键． 证明，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解： 河宽长为36米． 8．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】 步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤：小明从点出发沿着方向前进米，到达点； 步骤：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为米，米． 【问题解决】 已知点、、、与旗杆的底端在同一直线上，，，，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 【答案】(1)证明见解析 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求证； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 9．(24-25九上·广东茂名高州·期末)综合与实践 【任务】测量小水池的最大宽度，如图1． 【工具】一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2． ①皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度） ②测角仪的功能是测量角的大小．即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小，如图3． 【操作实践】 步骤1：在小水池外选点C，如图4，测得，； 步骤2：分别在，上测得，；测得． 【实践探索】 (1)请根据上述测量数据，用你所学的数学知识计算出小水池的最大宽度； (2)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母a，b，表示，角度用，，表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得；用皮尺测得，由此求解即可， 【详解】（1）解：由测量知，，，，， ， 又， ， ， 又， ； （2）解：测量过程： 在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得； 用皮尺测量得， 求解过程：由测量知，在中，，，， 过点C作，垂足为， 在中，， 即， 所以， 同理，， 在中，， 即， 所以， 所以， 故小水池的最大宽度为． 地 城 考点08 位似 1．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，位似比是解题的关键． 根据点，相似比为，点在第三象限即可求解． 【详解】解：，相似比为，以点为位似中心， ∴，即， 故选：C ． 2．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 3．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)原点为与的位似中心，位似比为．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或得到其对应点的坐标即可． 【详解】解：∵原点为与的位似中心，位似比为，点的坐标为， ∴点A其对应点的横坐标是，纵坐标为或横坐标是，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 4．(24-25九上·广东河源·期末)如图，在坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并写点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了作图—位似变换和轴对称变换，理解轴对称图形与位似图形的画法是解题的关键． （1）利用点关于y轴对称的性质得出的坐标，顺次连接点即可得出所求图形； （2）利用关于原点位似图形的性质得出，的坐标，顺次连接点即可得出所求图形，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 利用点关于y轴对称的性质得出坐标， 顺次连接点即可得； （2）解：如图，即为所作， ∵位似比为， 又要求在y轴的左侧， ∴得到点， 顺次连接点即可得． 5．(24-25九上·广东广东广州知用学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：，，都在格点上． (1)以原点O为位似中心，以相似比为，在格点图内画出； (2)直接写出点、、的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)，， 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或； （1）把、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用（1）中的坐标变换规律求解． 【详解】（1）解：如图，为所作， （2）解：把、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标， 即，，． 6．(24-25九上·广东阳江江城区·期末)如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为． (1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； (2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为 　　． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了位似作图、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． （1）如图：延长到点，使，延长到点，使，连接，即可得到； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：∵将放大到原来的2倍得到， ∴相似比为2， ∴的面积的面积的4倍， ∴的面积为． 故答案为：． 7．(24-25九上·广东广州花都区·期末)已知三顶点的坐标分别为，，． (1)画出； (2)以B为位似中心，将放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形性质，位似变换，解题的关键是根据两图形的位似比画出图形． （1）根据点A、B、C，在坐标系中找出连接即可； （2）根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：所画图形如下所示： ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04图形的相似 ☆8大高频考点概览 考点01成比例线段 考点02平行线分线段成比例 考点03相似多边形 考点04相似三角形的判定 考点05相似三角形的性质 考点06相似三角形的判定和性质的综合运用 考点07相似三角形的实际应用 考点08位似 目目 考点01 成比例线段 1.(24-25九上广东揭阳惠来县·期末)下列命题正确的是() A.已知：线段a=l1cm,b=2cm,c=3cm,d=4cm,则a,b,c,d是比例线段 B.关于x的方程m2+1x2-3=0是一元二次方程 C.角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D.已知点A-1,,B-2,是函数y=-3图象上的两点，则>y 1 2.(24-25九上广东揭阳榕城区·期末)下列四组线段中，是成比例线段的一组是() A.10,15,8,12 B.5,6,7,8 C.3,6,4,7 D.2,4,6,8 3.(24-25九上·广东清远清城区·期末)已知2,6,7，x成比例，则x的值为（) A日 c.2 D.21 7 4.2425九上广东清远阳山白中学期末已知号号-号且a+6-c=4,则a的值为() A.3 B.-3 C.6 D.-6 5.(2425九上广东揭阳普宁期末已知上-2， 知日后侧的的值是() a-b 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A.-5 B.5 C.-4 D.4 6.(24-25九上广东揭阳惠来县期末)对于非零实数a、b,若3a-7b=0,则只- h 7如果m:n=2:3,那么m+”= m-n 8.(2425九上广东茂名龙岭学校期末)若x:y=1:2,则-卫 x+y 9.(2425九上广东揭阳榕城区期末)已知=：-≠0，则+y+- 1089 x+y 1O.两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段AB上一点(AP>BP),若满足 BP AP AP AB ,即AP2=BP·AB,则称点P是AB的黄金分割点.黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人 如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上.问题：则x满足的方程是_ A P B 后弓则行6+d+0的值是」 11.(23-24九上广东连州期末)已知9=9=2， "'b+d 12.(23-24九上·广东清远连山壮族瑶族自治县·期末)大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴 含着“黄金分割”，如图，点P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AP的长度为6cm,那么AB的长度是_ cm(保留根号). B 13.23-24九上东清远避山汁族群族自治县期木若分-行-千2，且6+d+广=3，则一 a+c+e= 14.(23-24九上·广东珠海斗门区·期末)如图，乐器上的一根弦AB的长度为100cm,两个端点A、B固定在 乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段AC的长度为cm,(结果保留根号，参 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 考数据：黄金分割数： 5-1) 2 15.(23-24九上·广东佛山禅城区·期末)黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏丰富的美学价值 佛山电视塔（如图）塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P(点A、P、B在同一直线)恰好是整 个塔高的一个黄金分割点，且BP>AP,则P点到底部B之间的高度是_米（结果保留根号）； 目目 考点02 平行线分线段成比例 1.(24-25九上广东佛山禅城区·期末)某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中AB∥CD∥EF∥GH, AC=30,CE=40,DF=50,(单位：Cm),则BD的长度是() G A.37cm B.37.5cm c. 200 3-cm D.38.5cm 2.(24-25九上广东河源紫金县期末)如图，4I12I4,AC,DF两条直线与这三条平行线分别交于点A, B,C和D,E,F,若DF=I1, BCS,则DE的长为() AB 6 A.8 B.7 C.6 D.5 3.(24-25九上广东东莞长安实验中学期末)如图，AB∥CD∥EF,若AC=3,CE=6,BD=2,则DF的 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 长为() A.8 B.6 C.4 D.9 4.(23-24九上广东河源龙川县老隆中学期末)AD是ABC的中线，E是AD上一点，AE=AD,BE的 4 延长线交AC于F,则的值为C) B A.4 B C. 5.(23-24九上广东深圳期末)一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条 之间的距离相等)且平行的木条构成.已知AC=50cm,则BC的长度为() (实物图) (局部示意图) 100 A.20cm B.25cm C.30cm D. 3cm 6.(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学期末)五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线 上标以不同的音符构成旋律，如图，同一条直线上的三个点A,B,C都在平行线上，若BC=1,则AB的长是 () A.3 B C.1 D. 7.(24-25九上广东清远连州期末)如图，两条直线被三条平行线所截，若AB:BC=2:3,DE=6,则EF为 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 () A.9 B.12 C.15 D.18 8.(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图是小明所设计的花架侧面简易图，已知AD∥BE∥CF,AB=30 cm,BC 40 cm,DE =36 cm,EF ( B E A.27cm B.42cm C.48cm D.52cm 9.(24-25九上·广东清远阳山白莲中学期末)如图，两条直线被三条平行线所截，AB=4,BC=6,EF=5.4 ,则DE的长为 A D B E 10.(2425九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶 也蕴含着“黄金分割的美.如图，点P为AB的黄金分割点(AP>PB).如果AP=4cm,那么BP的长度为. cm.(结果保留根号) B 11.(2425九上广东清远清新区·期末)小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在ABC中， 点D是BC的中点，点E是AC中点.连结AD,BE交于点G,求 G的值. / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)小明发现，过点D作DH∥BE交AC于H,根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案.下面是小 明的部分证明过程： 解：如图1，过点D作DH∥BE交AC于H, D是BC的中点， :BD CD, CD CH =1, BD EH 请你补全余下的证明过程. 【尝试应用】 (2)如图图2，在口ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AC分别交DE、BF于M、N,求证： AM =MN NC. 【拓展提高】 (3)如图图3，点D、E分别是BC、AC边的中点，AD、BE交于F,AD=6,BE=9,AD⊥BE,求四 边形CDFE的面积. 图1 图2 图3 12.(24-25九上广东佛山三水区期末)【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装 上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏.当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点.如图1， 小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板AB的长度为3米，小明能把小蓝最高翘到1.2米.图2是该跷跷板的平面 示意图，支点O是AB的中点，支柱OC垂直于地面EF. 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小蓝 A 0 小明 B E F E F 图1 图2 图3 (1)支柱的高度0C=米. (2)保持支柱OC的高度不变，点O仍是跷跷板AB的中点，若只改变AB的长度，那么端点A到地面的最大 高度会变化吗？一（填“会”或“不会”） (3)请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到1.5米（要求：不改变支柱0C的高度以 及跷跷板AB的长度)请在图3中画图并分析说明. 目目 考点03 相似多边形 1.(24-25九上广东佛山禅城区·期末)如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是() A.每条边的长度B.每个内角的度数C.面积 D.周长 2.(24-25九上·广东清远清新区·期末)两个相似多边形的相似比是2：3，其中较大多边形的面积为18cm2,则 较小多边形的面积为() A.6cm2 B.8cm2 C.9cm2 D.16cm2 3.如果两个相似多边形的周长比为1：5，则它们的面积比为( A.1:2.5 B.1:5 C.1:25 D.1:5 4.(23-24九上广东茂名崇文学校期末)如果两个相似多边形的面积的比为1：5，则它们的周长的比为() A.1:25 B.1:5 C.1:2.5 D.1:5 5.(24-25九上贵州铜仁石阡县期中)如图，五边形ABCDE与五边形A'B'CD'E'相似，且周长之比为3：4.若 CD=12.则CD的长为 / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.24-25九上·广东广州越秀区·期末)“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是 事 件.（填“不可能”或“必然或“随机”） 目目 考点04 相似三角形的判定 1.(24-25九上广东江门鹤山期末)如图，在2×3的方格中，画有格点ABC(阴影部分)与ABC相似的 是() B 2.(2024广东省深圳市适考)下列命题中，真命题是() A.一个角相等，两边成比例的两个三角形相似 B.周长相等的两个矩形对角线相等 C.相似多边形都是位似多边形 D.一元二次方程x2-5x=3的常数项为-3 3.(24-25九上广东佛山南海区·期末)如图，AB∥EF∥CD,E为AD与BC的交点，点F在BD上，若 AB=2,CD=5,则EF=一· 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25九上广东揭阳普宁期末)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，以其三边为边在AB的同侧作三个 正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P,CM与BE交于点Q,若HF=FG,则匹的值 SE边形ABEF 是 G Q B 5.(24-25九上·广东佛山三水区·期末)如图1是液体沙漏的截面示意图（数据如图），经过一段时间后，液 体沙漏的截面示意图如图2所示，此时AB= cm. 4 cm B 12 cm 10 cm 6 cm ↓水平面 图1 图2 6.(24-25九上·广东清远清城区·期末)如图，四边形ABCD是正方形，E是DC上一点，DE:EC=2:1, AE⊥EF,则EF:AE=一 7.(2425九上广东揭阳榕城区·期末)【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解 ￥ (1)若四边形ABCD是菱形，边长为2，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等 边APE,如图1，连接CE,DE,则BP与CE的数量关系为_，DE长度的最小值为_· / 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决： (2)如图2，若四边形ABCD是正方形，边长为2，点O为BD中点，点P是射线BD上一动点，以AP为 斜边在AP边的右侧作等腰RtAAPE,LAEP=90°，连接OE,DE.求： ①BP与OE的数量关系； ②求DE长度的最小值. 【拓展应用】 (3)如图3，在(2)的基础上，当P是对角线BD的延长线上一动点时，以AP为直角边在AP边的右侧作 等腰Rt△APE,∠APE=90°，连接BE,若AB=2,BE=6,求△BPE的面积. 图1 图2 图3 7.(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【知识技能】(1)如图1，矩形ABCD与Rt△QMN叠放在一起，（点 Q,N分别与点A,B重合，点M落在对角线AC上)，已知∠QMN=90°，BC=20,CD=15,则MN=- A() D M B(N) B B 图1 图2 N 图3 【数学理解】(2)如图2，△QMW以每秒1个单位长度的速度在线段AC上从点A向点C运动；同时，动 点P以每秒2个单位长度的速度在线段DA上从点D向点A运动，设它们的运动时间为(s,连接PM,解 答下列问题： ①当t为何值时，点A在线段PM的垂直平分线上？ ②是否存在某一时刻t,使得△APM与四边形PMCD面积之比为6：19？若存在，求出t的值；若不存在，请 说明理由， 【拓展探索】(3)如图3，将△QMN绕着点M顺时针旋转180°得到△QMN1,点N、Q的对应点是N,Q,