专题04图形的相似（15大高频考点）（期末真题汇编，北师大版）九年级数学上学期

专题06图形的相似（15大高频考点） 15大高频考点概览 考点1比例的性质 考点2比例线段 考点3黄金分割 考点4相似多边形 考点5平行线分线段成比例 考点6相似三角形的判定条件 考点7相似三角形的判定 考点8相似三角形与网格问题 考点9相似与坐标综合问题 考点10相似三角形的性质 考点11相似三角形的判定与性质 考点12相似三角形的应用 考点13位似与位似作图 考点14相似三角形的动点问题 考点15相似与几何综合问题 考点1比例的性质 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 考点2比例线段 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·江苏·期末）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是 ． 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知线段、满足，且． (1)求线段、的长； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长． 考点3黄金分割 7．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为，是比较美丽的黄金身材．一个身高的人，他的肚脐到脚底的长度约为多少时才是黄金身材．（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 考点4相似多边形 10．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ． 12．（24-25九年级·山东烟台·期末）如图所示，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部外），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么截去矩形的面积是 ． 考点5平行线分线段成比例 13．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 考点6相似三角形的判定条件 16．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，于点，若增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是 ． 考点7相似三角形的判定 19．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 20．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 21．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 考点8相似三角形与网格问题 22．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 24．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 考点9相似与坐标综合问题 25．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    26．（22-23九年级上·福建·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 考点10相似三角形的性质 27．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·全国·期末）已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为16，则的周长是 ． 29．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为 ． 30．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 考点11相似三角形的判定与性质 31．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 32．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 33．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 考点12相似三角形的应用 34．（24-25九年级·山东烟台·期末）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（    ） A．1.49米 B．0.015米 C．0.149米 D．0.15米 35．（24-25九年级·全国·期末）如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为 ． 36．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为和，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为，此时，小明爸爸的影子长为 ． 37．（24-25九年级上·广东清远·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 38．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）数学活动小组的同学们利用阳光下的影子测量某建筑物顶部避雷塔的高度．如图，他们在同一时刻，分别测得该建筑物的影长为，的影长为，小强同学的影长为，其中点O，C，D，F，G在同一直线上，点，B，O在同一直线上，且，．已知小强同学的身高为，点A，B，O，C，D，E，F，G在同一平面内，求避雷塔的高． 39．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 40．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组          说明 人站在大楼的影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶 测量数据 图中所有点都在同一平面内 经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 41．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 考点13位似与位似作图 42．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 43．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为 4，则的周长是 ． 44．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    45．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图所示，点为方格纸上一格点三角形，为格点． (1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标． (2)画出向左平移3个单位后的△A1B1C1 (3)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标． 46．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 考点14相似三角形的动点问题 47．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 48．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，已知在中，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当 时与相似； (2)是否存在某一时刻t的值使得的面积等于， 若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 49．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 考点15相似与几何综合问题 51．（23-24九年级上·山西长治·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． (1)【问题发现】 如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为____________； (2)【问题提出】 如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明； (3)【问题解决】 如图（3），在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若，求的长． 52．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 53．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的相似（15大高频考点） 15大高频考点概览 考点1比例的性质 考点2比例线段 考点3黄金分割 考点4相似多边形 考点5平行线分线段成比例 考点6相似三角形的判定条件 考点7相似三角形的判定 考点8相似三角形与网格问题 考点9相似与坐标综合问题 考点10相似三角形的性质 考点11相似三角形的判定与性质 考点12相似三角形的应用 考点13位似与位似作图 考点14相似三角形的动点问题 考点15相似与几何综合问题 考点1比例的性质 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，解题的关键是正确理解比例的性质．令，代入分式化简即可． 【详解】解：令， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， 答：的三边长分别为，，． 考点2比例线段 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握概念是解答本题的关键．对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、，所以成比例，故不符合题意； B、，所以不成比例，故符合题意； C、，所以成比例，故不符合题意； D、，所以成比例，故不符合题意． 故选：B． 5．（22-23九年级上·江苏·期末）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项的定义，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即或或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 根据比例中项的定义即可求解. 【详解】解：∵线段b是线段a和线段c的比例中项，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知线段、满足，且． (1)求线段、的长； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为6，线段的长为4． (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得答案． 【详解】（1）解：， 设，， ∵， ， ， ，， 线段的长为6，线段的长为4． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 考点3黄金分割 7．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为，是比较美丽的黄金身材．一个身高的人，他的肚脐到脚底的长度约为多少时才是黄金身材．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割比，解题的关键是利用概念建立等式进行求解即可，设他的肚脐到脚底的长度约为，建立等式，计算后记得单位换算． 【详解】解：设他的肚脐到脚底的长度约为，由题意得： 解得：， 故选：B． 9．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 考点4相似多边形 10．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 11．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比是解题的关键．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴新正方形与原正方形的相似比， 故答案为：． 12．（24-25九年级·山东烟台·期末）如图所示，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部外），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么截去矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，则，， 依题意，在矩形中截取矩形， 由题意，矩形矩形， 则 ， 设，得到：， 解得， ∴， 则剩下的矩形面积是：． 故答案为：． 考点5平行线分线段成比例 13．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 考点6相似三角形的判定条件 16．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 17．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 18．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，于点，若增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定的条件：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似；两个角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似等，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， 添加条件为：， ∴， 故答案为：． 考点7相似三角形的判定 19．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键． 由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又，   ，         ， ， ． 20．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 21．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 考点8相似三角形与网格问题 22．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 23．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 【答案】/0.5 【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可． 【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 24．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【详解】（1）解：如下图，线段即为所求作； （2）解：即为所求作． 考点9相似与坐标综合问题 25．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 26．（22-23九年级上·福建·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【答案】 平行 【分析】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可． （2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图所示，延长至H，使得，连接 绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上 ，， ， 那么在和中 (SAS) ， 那么在和中 (SAS) 三点共线 （2）如图所示，过作于M，过作于N ， 设AB所在直线解析式为 带入， ，解得 设 在中， ，解得 故答案为：平行； 【点睛】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解． 考点10相似三角形的性质 27．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴两个相似三角形的周长比为； 故选B． 28．（24-25九年级上·全国·期末）已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为16，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵，和是它们的对应角平分线，若， ∴与的周长比为， ∵的周长为16， ∴的周长是12， 故答案为：12． 29．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平移的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 因为是平移，所以，所以，再通过相似三角形面积比是相似比的平方求出相似比，最后得出的长度，再求出长度即为平移的距离． 【详解】解：将沿方向平移得到， ∵ ∴ 故答案为： 考点11相似三角形的判定与性质 30．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 31．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 32．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 33．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识： （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，再分别求出，，，从而可得结论． 【详解】（1）证明： （2）解：由（1）得 又 ，点是的中点 考点12相似三角形的应用 34．（24-25九年级·山东烟台·期末）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（    ） A．1.49米 B．0.015米 C．0.149米 D．0.15米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得， 即小明射击到的点偏离目标点B的长度为0.15米， 故选：D． 35．（24-25九年级·全国·期末）如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为 ． 【答案】/24厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为和，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为，此时，小明爸爸的影子长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用物体高度与影长的关系是解题关键．利用同一时刻实际物体与影长的比值相等进而求出即可． 【详解】解：设小明爸爸的影子长为， 由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 37．（24-25九年级上·广东清远·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】(1)①平行；②； (2)建筑物的高为15米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 38．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）数学活动小组的同学们利用阳光下的影子测量某建筑物顶部避雷塔的高度．如图，他们在同一时刻，分别测得该建筑物的影长为，的影长为，小强同学的影长为，其中点O，C，D，F，G在同一直线上，点，B，O在同一直线上，且，．已知小强同学的身高为，点A，B，O，C，D，E，F，G在同一平面内，求避雷塔的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，利用相似三角形的性质列出比例式求出的长，进而求出的长就可得到答案． 【详解】解：∵同一时刻下，太阳光是平行的， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：避雷塔的高为． 39．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 40．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组          说明 人站在大楼的影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶 测量数据 图中所有点都在同一平面内 经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 【答案】选择第二组或第三组的方案，教学大楼的高度为 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可； 选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 41．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，求出（米），（米）， （米），进而求出（米），再证明得到，据此求出（米），进而可得到（米）；若选择方案二：如图，过点作，垂足为，交于点，则，证明，得到，即，可得（米）． 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，（米），（米）， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为12米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米）， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为12米． 考点13位似与位似作图 42．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9， 故选：C． 43．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为 4，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似图形的性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8． 故答案为：8． 44．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 45．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图所示，点为方格纸上一格点三角形，为格点． (1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标． (2)画出向左平移3个单位后的△A1B1C1 (3)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)，，或，， 【分析】本题考查作图——建立平面直角坐标系、平移变换、位似变换，熟练掌握平移的性质、位似的性质是解答本题的关键． （1）以为原点建立平面直角坐标系，再写出、、三点坐标即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据位似的性质作图即可，注意在的同侧、异侧各有一个． 【详解】（1）解：如图所示，，，． （2）如图所示． （3）如图所示． ，，或，， 46．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积是； （3）解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 考点14相似三角形的动点问题 47．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 48．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，已知在中，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当 时与相似； (2)是否存在某一时刻t的值使得的面积等于， 若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不存在t的值，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出，根据题意表示出，分当时，当时，两种情况讨论即可； （2）过点P作于点D，证明，求出， 再根据，得到，利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴， 设运动时间为t秒，则， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得： ∴秒或秒后，与相似； （2）解：如图，过点P作于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 方程无解， ∴不存在t的值使得的面积等于 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 49．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；3 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，结合图形找到相似三角形是解题的关键． （1）通过证明和是等腰直角三角形，即可解答； （2）先证明，利用相似三角形的面积比是相似比的平方，可得，再证明，得到，代入数据求出的长，即可求出t的值； （3）由（2）得，可得，，根据以P、O、E为顶点的三角形与相似，且，需要分4种情况①点P在线段上，且；②点P在线段上，且；③点P在延长线上，且；④点P在延长线上，且；分别利用相似三角形对应边成比例列出方程，求出t的值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：；3． （2）解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：， ， 运动时间t的值为． （3）解：存在， 由题意得，， 由（2）得，， ，即， ， ， 以P、O、E为顶点的三角形与相似，且， 下面分4种情况讨论： ①当点P在线段上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； ②当点P在线段上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ③当点P在延长线上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ④当点P在延长线上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； 综上所述，点P的坐标为或． 50．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 考点15相似与几何综合问题 51．（23-24九年级上·山西长治·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． (1)【问题发现】 如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为____________； (2)【问题提出】 如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明； (3)【问题解决】 如图（3），在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若，求的长． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可证，运用“边角边”证明即可求解； （2）根据题意证明，得到，，再证明，由相似三角形对应角相等即可求解； （3）根据正方形的性质，可证，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：∵是等腰三角形，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，则， ∴， 同理，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，是对角线， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析，构造三角形相似是解题的关键． 52．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形为菱形，理由见解析②（2）的长为或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠、菱形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由折叠易得，由平行可得，进而得到，所以，据此得解； ②由折叠可知，利用勾股定理可得，进而可知，然后在中利用勾股定理建立方程求解即可； （2）分类讨论，当点F在上方或者下方时，利用一线三垂直相似求解即可． 【详解】解：（1）①四边形为菱形，理由如下： 连接， 将矩形沿所在直线翻折， 垂直平分，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②如图， ∵在矩形中，，， ∴， ∵折叠， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 菱形的周长； （2）设点到的距离为， 则：由题可知， ， ； 当点F在下方时，如图，过点作， 则，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点F在上方时，如图，过点作， 则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 综上，的长为或 53．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得出结论； （2）先证明，得出，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论； （3）先求出，再由勾股定理求出，设设，则，再由勾股定理得出°，求出，从而得到是等边三角形，然后求出． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 所以四边形是菱形． （2）证明：因为四边形是菱形， 所以， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， 由（2）知，， ， 由（2）知， ， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即，解得，即， ， ， ∴， ∴， 是等边三角形， 又四边形是菱形， ， ， 即的长为12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是构建相似三角形，证明三角形相似． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $