解三角形 专项训练——2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习课时作业：解三角形 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.在三角形ABC中，BAC=2,AD是∠aAC的平分线，BD=2CD,AB=,则m∠1BC-() A.②1 B.V②1 c.5 D.6 14 7 4 4 2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a是函数f()=x2-x-12的一个零点，b+c=8, 且cosA-?则三角形ABC的面积为《) A.6 B.12 C.24 D.48 3.若点O为三角形ABC的外心，且满足2BO.CA+CO.AB=0,则sinC的最大值为() A司 B.② c.3 2 2 D.1 4.在三角形ABC中，角AB,C的对边分别为a,c,若b=c+a,则角B的最大值为() 2 A c D. 5.在空间直角坐标系中，A(2,2,0),B(1,0,2),C(1,3,2),则三角形ABC的面积为() A.35 B.35 D.3 2 c 6.已知点A,B在直线x+y+2=0上，且AB=2,点C在圆M:(x-2)2+(y+2)2=1上，则三角形ABC面积 的取值范围是() A.[2W2-2,22+2] B.[V2-1,V2+1 C.[2,6] D.1,3] 在三角形ABc中，角48C的对边分别是a6c,若a-7b=8co=是则A=() a B. 4 C.π 3 D 8.在三角形ABC中，内角AB,C所对的边分别是a6c,若b-l,tamC-},4c+=4 obsinC,.则三角形 ABC的面积为() B. C. D.1 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列命题正确的是() A,若a:b:c=2:√万：3，则B=亚 B.若a>b,则cos2A>c0s2B C.若三角形ABC为锐角三角形，则cosA<sinB D.若满足A-于c=6的三角形ABC有两个，则a的取值范国为B5,6 10.在三角形ABC中，已知2c-4=+C-4,下列说法不正确的是（) A.B=I 6 B.若b=3,则VABC面积最大值为9V5 4 C.记三角形ABC的内切圆半径为R,设R=f(b),则f(b)在b∈(1，+o)上单调递增 D.若sin2A+cos2B>l,若a和c的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形 11.在平面四边形ABCD中，AB=2,BC=1,AD=CD,AD⊥CD,M为边BC的中点，则以下四个命题 中正确的是() A.若A,B,C,D四点共圆，则AD=0 B.当cos∠BMD=时，A,B,C,D四点共圆 10 C.若∠ABC=120°，则aACD的面积为4 D.当∠ABC变化时，DM长度的最大值为√2+1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知三角形ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若a=7,cosC=,S。4c=6W3,则c= 13.在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为4，b,c,若c(cosA+cosB)=a+b,c=2,则该三角形内切圆 面积的最大值为 14.在三角形ABC中，AB=4,sinC-2,则VABC面积的最大值是 13 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)在三角形ABC中，角4B,C的对边分别是ab,c,且9=s血A+2 BcosA,且b=25. a 2sin A (1)求角B的大小： (2)D为AC过上的一点，BD=3,且一，求三角形ABC的面积： (从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答). ①BD是角B的平分线： ②D为线段AC的中点. (3)若三角形ABC为锐角三角形，求AC边上的高取值范围. 16.(15分)在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且√3 c cos B-bsinC=vBa. (1)求C; (2)已知∠ACB的角平分线CD交AB于点D.若a+b=4,c=√13.求三角形ABC面积及CD的长. 17.(15分)记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,且sinCcosA=V5cosB-sin4cosC. (1)求角B的大小： (2)若a+c=3√2，求三角形ABC的面积： (3)求三角形ABC周长的取值范围. 18.(17分)已知三角形ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2 asin A=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC, (1)求角A的大小： (2)设点D为BC上一点，AD是三角形ABC的角平分线，且b=3,c=6,求AD的长度. 19.(17分)己知三角形ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,√3 acosB=bsinA. (1)求角B的大小 (②)设点D是AC的中点，若BD=V3,求a+c的取值范围. 2026届高考数学一轮复习 课时作业：解三角形 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在三角形ABC中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定理可得，在三角形ABC中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【详解】因为为的平分线，且，在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在三角形ABC中， 由余弦定理得， 所以，在三角形ABC中，由正弦定理得， 则.故选：A. 2．在三角形ABC中，角的对边分别为.已知是函数的一个零点，，且，则三角形ABC的面积为（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】A 【分析】由函数的零点得，利用余弦定理化简可得，根据三角形面积公式计算即可. 【详解】由，解得或， 因为，所以，由得， 由余弦定理得，因为，角为内角，所以， 故. 故选：A 3．若点为三角形ABC的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果. 【详解】因为点为三角形ABC的外心， 所以， 因为， 即， 即，即，化简得，可知，化简得， 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 因为，，所以，所以的最大值为.故选：C. 4．在三角形ABC中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理及条件，结合基本不等式，可得，根据角B的范围，分析即可得答案. 【详解】在三角形ABC中，由余弦定理和，得， 当且仅当，即时等号成立，由此可知为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为.故选：D. 5．在空间直角坐标系中，，则三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据坐标求三角形的边长和夹角的余弦值和正弦值，最后代入三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题可知，且， ，故的面积为.故选：A. 6．已知点在直线上，且，点在圆上，则三角形ABC面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，得到点到直线的距离的取值范围，由，得到的范围. 【详解】圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离的取值范围为，由，得到. 故选：B. 7．在三角形ABC中，角的对边分别是．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出边，再利用余弦定理求出角的余弦值，最后结合三角形角的取值范围得出角的值． 【详解】由余弦定理可得：， ，， ，．故选：C． 8．在三角形ABC中，内角所对的边分别是，若，，则三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边角转化，表示出，利用基本不等式以及三角函数有界性得唯一解，即可求面积. 【详解】由正弦定理，， 则，则， 当且仅当取等号，又由于，，所以,，.故选：B. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．在三角形ABC中，内角的对边分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则 D．若满足的三角形ABC有两个，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】设，结合余弦定理即可判断A；利用两角和余弦公式即可判断B；由，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判断C；由满足的有两个，可得，即可求解. 【详解】选项A：因为，设， 由余弦定理得，所以，故A正确； 选项B：因为,根据正弦定理可得, 则,整理得，故B错误； 选项C：若为锐角三角形，可得且 ，可得，且， 根据正弦函数的单调性，可得，所以，故C正确； 选项D：因为满足的有两个，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 10．在三角形ABC中， 已知 ，下列说法不正确的是（   ） A． B．若， 则面积最大值为 C．记的内切圆半径为， 设， 则在上单调递增 D．若 ，若和的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形 【答案】ACD 【分析】选项A，利用正弦定理、余弦定理以及两角和正弦展开式即可判断；选项B，利用余弦定理以及基本不等式即可判断；选项C，取特例可知；选项D，利用正弦定理结合相关的性质判断即可. 【详解】选项A：由余弦定理得： ， 又，所以，由正弦定理得：， 因为，所以，所以， 即，即， 因为，所以，所以，又，所以，故A选项不正确； 选项B：因为，所以由余弦定理得：， 所以，当且仅当时等号成立，即， 所以，所以B选项正确； 选项C：由的内切圆半径为，则，即， 当时，，此时；当时，，此时. 因为，所以.所以在上的不单调递增，故C选项错误； 选项D：由正弦定理得：， 由即，所以，又，所以，又， 所以且，即，又和的长度一定，此时满足条件的角只有一个值， 所以只有一个满足条件的三角形，故D选项不正确；故选：ACD. 11．在平面四边形中，，，，，为边的中点，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，，，四点共圆，则 B．当时，，，，四点共圆 C．若，则的面积为 D．当变化时，长度的最大值为 【答案】AC 【分析】对于选项A，若四点共圆且，用勾股定理得. 又因且，由，求出. 对于选项B，四点共圆时，即. 用余弦定理列出关于的等式求解，再代入求判断对错. 对于选项C，在中，根据三边和角度，用余弦定理求长度. 由等腰直角三角形性质，为AC中点，得出与关系，进而求面积. 对于选项D，因，是中点，得与关系及角度关系.用余弦、正弦定理求相关量，在中求并化简. 对式子变形，求最大值. 【详解】对于选项A，四点共圆性质与勾股定理应用：若，，，四点共圆， 当时，根据勾股定理可得.已知，，则，即. 又因为且，所以，那么，解得，故A正确. 对于选项B，若，，，四点共圆，则，所以. 在中，根据余弦定理；在中，. 已知，，，代入可得，解方程可得. 再将代入，故B错误. 对于选项C，如图，取中点N，在中，，，连接. 根据余弦定理，则. 因为，，为的中点，所以，.那么的面积为，故C正确. 对于选项D，设，，因为，分别为边的中点， 所以，，. 在中，由余弦定理得； 由正弦定理，可得. 在中，， 由余弦定理得 . 令，因为，所以，则. 那么，令，在上单调递增， 当时，的最大值，所以长度的最大值为，故D错误.故选：AC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知三角形ABC的内角的对边分别为，若，，，则 . 【答案】3 【分析】利用三角函数关系式平方和关系求出，根据三角形面积及已知条件求出的值，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在三角形ABC中，因为，所以， 由，，所以，解得：， 由余弦定理得：即，由，所以，故答案为：3. 13．在三角形ABC中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得，进而求得三角形内切圆半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 则 ， 整理得，而，即， 因此，，设该三角形内切圆半径为， 则，又，于是 ，由，得， 当且仅当时取等号，因此， 所以该三角形的内切圆面积的最大值为.故答案为： 14．在三角形ABC中，，则面积的最大值是 ． 【答案】6 【分析】先由同角三角函数的平方关系得，由余弦定理及基本不等式即可求解． 【详解】因为是三角形的内角，，所以． 当时，由余弦定理得， 整理得，即，当且仅当时，等号成立． 当时，由余弦定理得， 所以，当且仅当时，等号成立． 所以的面积，即面积的最大值是6，故答案为：6． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）在三角形ABC中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若三角形ABC为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 【答案】(1)； (2)选①②，答案均为； (3) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到，为锐角三角形，求出，从而得到，设边上的高为，由三角形面积公式求出. 【详解】（1）在三角形ABC中，，结合正弦定理可得：． 由得，， ∴，∴，， 又，，又，所以； （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得，； 若选②：由题设，则， 即，所以，   在三角形ABC中，由余弦定理得，则， 联立，得，． （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于三角形ABC为锐角三角形，故，故， 因此，， 因此，设边上的高为，，所以. 16．（15分）在三角形ABC中，内角所对的边分别是且. (1)求； (2)已知的角平分线交于点.若，.求三角形ABC面积及的长. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用余弦定理，求得，结合三角形的面积公式，求得的面积，再由，结合面积公式，化简求得的长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，又因为， 所以，因为，可得，所以，可得， 又因为，所以. （2）由（1）知，又，利用余弦定理，可得， 因为，所以，所以三角形ABC的面积为， 又因为的角平分线交于点，所以， 可得，整理得. 17．（15分）记三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求三角形ABC的面积； (3)求三角形ABC周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦的两角和公式化简得，可得，即可得解； （2）利用余弦定理结合已知条件计算可得，再利用三角形面积公式计算即可. （3）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解. 【详解】（1）根据， 可得，所以，因为，所以； （2）由（1）可知，，根据余弦定理， 因为，则，即，又因为，所以，解得， 所以三角形ABC的面积； （3）因为，所以，所以，， 所以三角形ABC的周长， 因为，所以，所以，所以. 18．（17分）已知三角形ABC中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是三角形ABC的角平分线，且，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【详解】（1）在中，由正弦定理及得：， 化简可得：，由余弦定理得，又，所以 （2） 是的角平分线，则， 由可得，因为，，即有， 故. 19．（17分）已知三角形ABC的角对边分别为，. (1)求角的大小. (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，进而可得，可求； （2）延长到，满足，连接，在中，由余弦定理化简整理得到，结合基本不等式，求得，再由三角形的性质，即可求得的取值范围. 【详解】（1），， 由正弦定理可得：， ，, 即， ，． （2）如图，延长到，满足，连接， 则为平行四边形，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得，即， 由基本不等式得：， 即，即，可得， （当且仅当取等号号），又由，即，故的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学一轮复习 课时作业：解三角形 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在三角形ABC中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在三角形ABC中，角的对边分别为.已知是函数的一个零点，，且，则三角形ABC的面积为（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 3．若点为三角形ABC的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．在三角形ABC中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，，则三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D．3 6．已知点在直线上，且，点在圆上，则三角形ABC面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在三角形ABC中，角的对边分别是．若，则（    ） A． B． C． D． 8．在三角形ABC中，内角所对的边分别是，若，，则三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．在三角形ABC中，内角的对边分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则 D．若满足的三角形ABC有两个，则的取值范围为 10．在三角形ABC中， 已知 ，下列说法不正确的是（   ） A． B．若， 则面积最大值为 C．记三角形ABC的内切圆半径为， 设， 则在上单调递增 D．若 ，若和的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形 11．在平面四边形中，，，，，为边的中点，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，，，四点共圆，则 B．当时，，，，四点共圆 C．若，则的面积为 D．当变化时，长度的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知三角形ABC的内角的对边分别为，若，，，则 . 13．在三角形ABC中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为 . 14．在三角形ABC中，，则面积的最大值是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）在三角形ABC中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求三角形ABC的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若三角形ABC为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 16．（15分）在三角形ABC中，内角所对的边分别是且. (1)求； (2)已知的角平分线交于点.若，.求三角形ABC面积及的长. 17．（15分）记三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求三角形ABC的面积； (3)求三角形ABC周长的取值范围． 18．（17分）已知三角形ABC中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是三角形ABC的角平分线，且，求的长度． 19．（17分）已知三角形ABC的角对边分别为，. (1)求角的大小. (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：解三角形 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.在三角形ABC中，BAC=2,AD是∠BAC的Ψ分线，BD=2CD,AB=,则n∠ABC-() A. √21 B. V21 c.3 D. 14 7 4 4 【答案】A 【分析】根据角平分线定理可得4C=3 在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC=3 2· 进而根据正弦定 理求出sin∠ABC AB BD 【详解】因为AD为∠BAC的平分线，且BD=2CD,在△ABD中，根据正弦定理可知 sin∠ADB sin∠BAD' 在aACD中，根据正弦定理可知，AC CD sinm∠ADC sin∠CAD 而∠ADB+∠ADC=元，∠BAD=∠CAD,故将上述两个等式相除可得 AB BD-2. AC CD 又45=3，所以4C多，则在三角形ABC中， 3 庙余弦定理得RC=4B+AC2AB:ACc0s∠BAC=9+号2x3x×=% 4 22 AC BC 所以Bc=)7,在三角形ABC中，由正弦定理得- sin∠ABC sin.∠BAC 3V3 则sin∠ABc=ACsin.<BAC_2×2」 21 3v7 2万14 .故选：A BC 2 2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a是函数f(x)=x2-x-12的一个零点，b+c=8, 且cosA=3 则三角形ABC的面积为() A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】A 【分析】由函数的零点得a=4,利用余弦定理化简可得bc=15,根据三角形面积公式计算即可. 【详解】由f()=x2-x-12=0,解得x=4或x=-3, 因为a>0,所以a=4,由b+c=8得b2+c2=64-2bc, 由余弦定理云=B+c2-2cc0sA得bc=15,因为cosA=子，角A为a4BC内角，所以sin4=Vc0sA-4 2 故选：A 3.若点O为三角形ABC的外心，且满足2BO.CA+CO.AB=0,则sinC的最大值为() A.分 B. 2 c.3 D.1 2 【答案】C 【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定理 解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果 【详解】因为点O为三角形ABC的外心， 所以oM-8a,B0c-8c'而.-co.c5-c, 因为2BO.CA+CO.AB=2BO(CB+BA+Co(AC+C丙=(， 2B0.CB+2B0.BA+CO.AC+CO CB-0. 即-3c+a时-C+c8=0,即-d+62+号0-0，化简得 2 c2=号b+)r,可知c=a+b-2 bcoC=4+b,化简得cosC-+b 2 22 Aab 根据基本不等式可知csC-。+力≥2心，当且仅当a=b时取等号， 4ab 4ab 2 因为0<C<π， 2 s cosC<1,所以0<C≤3所以sinC的最大值为s西 nL-5故选：C 32 4.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为ab,c,若b=c+d。 ，则角B的最大值为() 2 A.2 B. π C. D 3 6 4 【答案】D 【分折】根据余弦定理及条件，结合基本不等式。可得0sB≥行：根据角B的范国。分析即可得答案 a2,c2 【详解)在三角形ABC中，由余弦定理和b二C,,得 2ac 2ac 纪a,即c=a时等号成立，由此可知B为锐角，而y=cosx在0，乃 当且仅当a=c 上单调递减， 2 故0<B≤ 行，所以a的最大值为故选：D 3 5.在空间直角坐标系中，A(2,2,0),B(1,0,2),C(1,3,2),则三角形ABC的面积为() A.35 B.35 9 C. D.3 2 【答案】A 【分析】根据坐标求三角形的边长和夹角的余弦值和正弦值，最后代入三角形的面积公式，即可求解 【详解】由题可知BA=(L2,-2),BC=(0,3,0),且BA=BC=3,cos∠ABC= BA·BC 2 BA BC3 sm<4C---AHG-,散y4AaC的面积为S6e-号3,35-35 3 2 故选：A 32 6.已知点A,B在直线x+y+2=0上，且AB=2,点C在圆M:(x-2)2+(y+2)2=1上，则三角形ABC面积 的取值范围是() A.[2W2-2,22+2] B.「2-1，V2+1] C.[2,6 D.1,3] 【答案】B 【分折】求出圆心到直线x+y+2=0的距离，得到点C到直线的距离的取值范围，由Sh,得 到SABc的范围 【详解】圆心M(2,-2)到直线x+y+2=0的距离为d 2+(-2+2-5. V1P+1日 则点C到直线的距离的取值范围为[V万-1,5+]，由Se=Ah,得到Se∈[V-1,V5+可 故选：B. 13 7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C.若a=7,b=8,cosC= ,则A=() 14 6 B. C. 4 D.2 【答案】c 【分析】先根据余弦定理求出边C,再利用余弦定理求出角A的余弦值，最后结合三角形角的取值范围得出 角A的值 【详解】由余弦定理可得：c2=d2+b2-2cosC=49+64-2×7×813 4 =9, C=3,.c0sA= b2+c2-a264+9-491 2bc 2×8×32 .0<A<π，.A= 故选：C 8.在三角形ABC中，内角A,BC所对的边分别是a6c,若b-l,tmC=}4c+b-4 abinC,则三角形 ABC的面积为() 1 B. C. D.1 4 【答案】B 【分析】由正弦定理边角转化，表示出sA,利用基本不等式以及三角函数有界性得唯一解，即可求面积 【详解】由正弦定理，asin C=csin A, 则4c2+b2=4 ab sin C=4 csinA,则sinA=+b b 4c ≥26 当且仅当b=2c取等号，又由于sinA≤1，b=1,所以sinA=1,c= 号S be in A=i选：B 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列命题正确的是() A.若a:b:c=2:√万：3，则B= 3 B.若a>b,则cos2A>cos2B C.若三角形ABC为锐角三角形，则cosA<sinB D.若满足A-号c=6的三角形AC有两个，则a的取值范图为35.6) 【答案】ACD 【分析】设a=2k,b=√，c=3北，结合余弦定理即可判断A:利用两角和余弦公式即可判断B:由A+B> 2 函数的单调性和诱导公式，可判断C:由满足A=,C=6的VABC有两个，可得csmA 可求解 【详解】选项A:因为a:b:c=2:√万：3，设a=2k,b=√7k,c=3k, 由余弦定理得6+d-处了+e广所以B=号故A正确： 2ac 2·2k3k 2 选项B:因为a>b,根据正弦定理可得sinA>sinB>0, 则sim2A>sim2B→1-cos24、1-cos2B 2 整理得cos2B>cos2A,故B错误： 选项C:若vA5C为锐角三角形，可得A+8>且ABe0孕，可得8>号4，且子AE0受， 2 2 2 根据正弦函数的单调性，可得s血B>血（宁），所以如B>cosA,故C正确： 选项D:因为满足A-于c=6的VABC有两个，所以csn4<a<c,即a∈B√A,6),故D正确 故选：ACD 10.在三角形ABC中，已知2c-a=+c2-a ,下列说法不正确的是() c A.B=8 B.若b=3,则VABC面积最大值为V5 4 C.记VABC的内切圆半径为R,设R=f(b),则f(b)在b∈(1，+∞)上单调递增 D.若sinA+cos2B>1,若a和c的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形 【答案】ACD 【分析】选项A,利用正弦定理、余弦定理以及两角和正弦展开式即可判断：选项B,利用余弦定理以及基 本不等式即可判断：选项C,取特例可知；选项D,利用正弦定理结合相关的性质判断即可. 【详解】选项A:由余弦定理得：cosA=b+c-d 2bc 又2c-a=B+c2-,所以2c-a-2 bco4-2bos4,由正弦定理得：2i血C-in4=2i血Bcos4, 因为A+B+C=π，所以C=π-（A+B),所以2sin(A+B)-sinA=2 sin B cosA, 即2 sin Acos B+2 cos Asin B-sinA=2 sin B cosA,，即2 sin Acos B=sinA, 因为4e0,,所以smA>0,所以cosB子又Be(0网，所以B=子放A选项不正确： 选项B:因为b=3B=子所以由余弦定理6-a+c2-2得：9=a+62-c, 所以9=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c=3时等号成立，即ac≤9， 所以S=acsin B9x=3,所以B选项正确 24 由VABC的内切圆半径为R,则SAc=)a+b+c)R=一ac sin B,即Racs 3ac a+b+c 2(a+b+c)' 83 当b=24=时，a=c-b=2,此时R=5:当6-24=5时，c-25a45 3 3 3,as 3 此时凡，= 13 22+2W5) 因为R>所以R1上<所以R=仍在6c化+四)上的不单调递增，放C选项错置 32 选项D:由正弦定理一ab。得：snA=asiB sinA sinB b 由sinA+cos2B>1即sin2A>1-cos2B=sin2B,所以sin4>sin B,又A,B∈(0，m),所以sin4>simB,又B= 3 所以A>且A<-B=3,助4/ 又a和c的长度一定，此时满足条件的角A只有一个值， 3 3’3 所以只有一个满足条件的三角形，故D选项不正确：故选：ACD, 11.在平面四边形ABCD中，AB=2,BC=1,AD=CD,AD⊥CD,M为边BC的中点，则以下四个命题 中正确的是() A.若A,B,C,D四点共圆，则AD=0 B.当c∠BAD=六时，A,,C,D四点共园 C.若∠ABC=120°，则△4CD的面积为4 7 D.当∠ABC变化时，DM长度的最大值为√2+1 【答案】AC 【分析】对于选项A,若四点共圆且AB⊥BC,用勾股定理得AB2+BC=AC2=5.又因AD=CD且AD⊥CD, 由4C:=2AD=5,求出AD=CD=0.对于选项B,四点共圆时∠BAD+∠BCD=元，即 2 cos∠BAD+cos∠BCD=0.用余弦定理列出关于BD2的等式求解，再代入求coS∠BAD判断对错.对于选项C, 在VABC中，根据三边和角度，用余弦定理求AC长度.由等腰直角三角形性质，N为AC中点，得出DN与 AC关系，进而求△ACD面积.对于选项D,因M,N是中点，得N与AB关系及角度关系用余弦、正弦 定理求相关量，在△MDN中求DM并化简.对式子变形，求DM最大值 【详解】对于选项A,四点共圆性质与勾股定理应用：若A,B,C,D四点共圆， 当AB⊥BC时，根据勾股定理可得AB2+BC2=AC2.已知AB=2,BC=1,则AB2+BC2=22+1=5,即AC2=5, 又因为AD=CD且AD1CD,所以AC=AD+CD-2AD-5,那么AD-3解得AD=CD=,故 2 A正确， 对于选项B,若A,B,C,D四点共圆，则∠BAD+∠BCD=元，所以cos∠BAD+cos∠BCD=0. 2ABAD2:在△BCD中，cos∠BCD-BC+CD-BD 在△ABD中，根据余弦定理cos∠BAD=AB+AD-BD, 2.BC.CD 4+5-BD:1+5-BD: 已知AB=2,4D=CD=,，BC=1，f代入可得2 2 一十一 2x2x 10 2xlx Mo 卡二0，解方程可得BD=号 2 2 4459 再将BD=9代入cos∠BAD=422=￥ 2x2x01010,故B错误 2 对于选项C,如图，取AC中点N,在VABC中，AB=2,BC=1,连接DN,MN 根据余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC.cos120°=2+P-2x2x1x( 37,则4C=5 因为AD=CD,AD⊥CD,N为AC的中点，所以DNLAC,DN=号AC那么△ACD的面积为 号4cxN=4c4C-4c-子，故c正确 2 2 4 对于选项D,设∠ABC=a,∠BAC=B,因为M,N分别为边BC,AC的中点， 所以MNIlAB,MN=AB=1,∠MNC=∠BAC=B. 2 在VABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB.BC.coSa=5-4coSa; 由正弦定理 AC BC sina sinB,可得sinp= BC.sina sin a AC AC 在ADN中，COs /MND=cos(∠MNC+∠CND)=cos(件3=-snB 由余弦定理得DM=MW2+DW-2MW.DNW.cos∠MWD=1+号AC+2X1 ACxsinB 4 2 =1+月x6-4cos四+2x1xA0sng9 1 4 AC4 cos a+sin a 1=-cosa+ma=5a-专，因为0u,所以-牙a草交则e(1同 那么DM= 9 +t,令f0-V+t,f0在(-1]上单调递增， V4 当t=√2时，f)的最大值f(2)= 3+42+1_25+1,所以DM长度的最大值为25+1，枚 2 D错误故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知三角形ABC的内角4，B,C的对边分别为a,bc,若a=7,cosC=13 5-65，别c 【答案】3 【分析】利用三角函数关系式平方和关系求出sC,根据三角形面积及己知条件求出b的值，最后利用余弦 定理求解即可。 【详解】在三角形ABC中，因为CeQ.coC-是所以mC=1cosC 132 35 14 14 由8o=2bnC=66,a=7,所以×7×bx35-65,解得：h=8, 2 14 理得：e2=a2+b-2abc0sC即c2=7P+8-2x7x8X=9,由c>0,所以cE3 13.在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c(cosA+cosB)=a+b,c=2,则该三角形内切圆 面积的最大值为 【答案】(3-2√2)π 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得℃=子，进而求得三角形内切圆 半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可， 【详解】在VABC中，由正弦定理及c(cosA+cosB)=a+b,得sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB, sin C cosA+sin C cos B=sin(B+C)+sin(+C) =sin B cosC+cos Bsin C+sin AcosC+cosAsin C, 整理得(sinB+sinA)cosC=0,而A,B∈(0，)，即sinA>0,sinB>0, 因此osC=0,C=受，设该三角形内切圆半径为， 则Sc= b=ra+b+c）,又c=2,于是r=ab 1 (a+b)2-(d+b) 2 a+b+c 2(a+b+c) (a+b)2-41 2(a+b+2)2 a+b-2,由a+b≤a2+B=4,得a+b≤25， 2 当且仅当a=b=√2时取等号，因此rx=√2-1， 所以该三角形的内切圆面积的最大值为π·（√2-1）2=(3-2√2元.故答案为：(3-2、2)π 14.在三角形ABC中，AB=4,sinC= 13, 则VABC面积的最大值是 【答案】6 【分析】先由同角三角函数的平方关系得cC=±名·由余弦定理及基本不等式即可求解， 【详解】因为C是三角形的内角，siC-号，所以cosC=士smC-士 13 5 当cosC= 5 时，由余弦定理得42=a2+b2-2ab× 13 13 整理得16+10。 b=a2+b2≥2ab,即13≥ab,当且仅当a=b=13时，等号成立. 13 当c0sC=- 时，由余弦定理得4=a2+b°+2bx5≥2b+ 10 36 ab=- ab 13 13 13 13 所以absS2 当且仅当a=b=23时，等号成立. 3 所以VABC的面积SABe= bcnC<分13号-6，即AC面积的最大值是6，故答案为：6. 1 13 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在三角形ABC中，角AB,C的对边分别是a,c,且9-血4+2 sino4,且b=25. a 2sin A (1)求角B的大小： (2)D为AC过上的一点，BD=3,且，求VABC的面积； (从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答). ①BD是角B的平分线： ②D为线段AC的中点· (3)若三角形ABC为锐角三角形，求AC边上的高取值范围. 【答案】④B=: (2)选①②，答案均为3v3: (3)(2,3] 【分析】G1D由正弦定理和三角恒等变换得到QsB-方又BQ,网，所以B-胥 (2)若选①，利用三角形面积公式和S△Asc=SABD+SAcp得到ac=V5(a+c),由余弦定理得到 a2+c2-ac=12,联立求出ac=12,求出三角形面积： 若选@：由题设册-B4+BC),平方得到G+c+x=36,由余弦定理得到d+c-4心=12，联立求出 2 ac=12,求出三角形面积： (3)由正弦定理和三角恒等变换得到ac=l6 sinAsinc=8sin2A- 6 +4,VA5C为锐角三角形，求出g<4<受 6 从而得到8<ac≤12，设AC边上的高为h,由三角形面积公式求出h= 4∈(2,3] 【详解】(1)在三角形ABC中，C=sinA+2 sin Bcos4, sinC sinA+2sin Bcos4 结合正弦定理可得： 2sinA SinA 2sinA 由A∈(0，π)得siA>0,.2sinC=sinA+2 sinBcos4,.2sin(A+B)=sinA+2 sin BcosA, .2sinAcosB+2cos Asin B=sinA+2cos Asin B,.'2sinAcosB=sinA,.sinA(2cos B-1)=0, 又sM>0,cosB=3,又Be(0,E,所以B= 3 (2)若选①：由BD平分∠ABC得：S△4Bc=S△4BD+SABCD, :1 acsin亚-x3 csin 1 兀1 2 32 2子amg即ac=Ba+e. 62 在VABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos,则ad+c2-c=12, 2 联立 ciaO得a四ac3o,解0卫.8acnB2sA@ 1 a2+c2-ac=12 若选@：设宽-a4-B0),则丽-ai+5c-i+c+c) 即9=+2 eo+c）),所以a+e+c=36. 在三角形ABC中，由余弦定理得62=a2+c2-2acos,则ad2+c2-ac=12, a2+c2+ac=36 联立 ate-gc-12a=12.aim1x3 2 3》由正弦定理得2R=力-25 sinB34,a=4sinA.c=4sinC, 2 t故cac=l6sim4sinC=l6sin4simA+号)=8sim4(sim4+V3cos4） =8sinA+8Bsin4co84=8xcos24+4√3sin24=8sin2A-石+4， 由于三角形ABC为锐角三角形，故 ,故<A< 6 0< -A< 3 2 因此24（如24，m24-引4回 因此8<xs12,设aC边上的高为，及ec=asm8=放h=气，所以hc(2到 4 16.(15分)在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别是ab,c,且√3 c cos B-bsinC=Ba (1)求C: (2)已知∠ACB的角平分线CD交AB于点D.若a+b=4,c=V13.求三角形ABC面积及CD的长. 【容案】0 ②333 4’4 【分析】(1)由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到sin BsinC=-√5 sin BcosC,求得sinC=-√3cosC, 进而求得C的值： (2)根据题意，利用余弦定理，求得b=3,结合三角形的面积公式，求得VABC的面积，再由 S△4Bc=S△4co+SBcD,结合面积公式，化简求得CD的长 【详解】(1)因为√3 ccos B-bsinC=VBa, 由正弦定理得√5 sinC cosB-sin BsinC=√3simA,又因为sinA=sin(B+C)=sin B cosC+cos B sin C, 所以sin Bsin C=-√5 sin BcosC,因为B∈(0，m),可得sinB>0,所以sinC=-W3cosC,可得tamC=-√3， 又因为0<C<兀，所以C=2π 3 2)由(1)知C三，又c=,利用余弦定理c2=a+-2幼cosC,可得(a+6-b=13) 3x55 因为a+b=4,所以b=3,所以三角形ABc的面积为S=bsmC- 、2-4 又因为∠ACB的角平分线CD交AB于点D,所以S△ABC=S△4C+SBCD, 可得之absn 2π1」 ab g,axCDx sin延+bxCDxsin,整理得CD 2 3 32 3 4 (a+b) 2 17.(15分)记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知b=3,且sinCcosA=3cosB-sin4cosC· (1)求角B的大小： (2)若a+c=3W2,求三角形ABC的面积： (3)求三角形ABC周长的取值范围. 【答案】()3 ②35 (3)(6,9] 4 【分析】(1)利用正弦的两角和公式化简得sinB=√3cosB,可得tanB=√3，即可得解： (2)利用余弦定理结合已知条件计算可得c=3,再利用三角形面积公式计算即可.