2.2 直线的方程（10大题型）（精练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2 直线的方程 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：点斜式方程 2 题型二：斜截式方程 2 题型三：两点式方程 2 题型四：截距式方程 2 题型五：一般式方程 3 题型六：中点公式 3 题型七：综合应用问题 3 题型八：动直线所过定点 4 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 4 题型十：实际应用 5 02 重难点拓展 7 题型一：点斜式方程 1．（2025·高二·安徽·月考）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·福建龙岩·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型二：斜截式方程 4．（2025·高二·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 5．（2025·高二·贵州毕节·月考）已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为 ，边上的高所在直线的斜截式为 . 6．（2025·高二·广东湛江·月考）倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 题型三：两点式方程 7．已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 8．（2025·高二·上海金山·月考）已知，，则直线的两点式方程为 ． 9．已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 题型四：截距式方程 10．（2025·高二·广东肇庆·月考）在平面直角坐标系中，已知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，则直线的截距式方程为；类似的，在空间直角坐标系中，若平面与轴、轴、轴的交点分别为，，，且，则平面的截距式方程为 ． 11．（2025·高二·浙江·月考）一条直线经过点，并且与轴，轴分别交于，两点，当为的中点时，此直线的截距式方程为 . 12．（2025·高二·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 题型五：一般式方程 13．（2025·高二·四川南充·期中）已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的一般式方程为 ． 14．（2025·高二·甘肃陇南·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为 ． 15．（2025·高二·宁夏中卫·月考）直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的一般方程为 . 题型六：中点公式 16．（2025·高二·河北保定·开学考试）已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ． 17．已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 18．（2025·高二·广东广州·期中）若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 题型七：综合应用问题 19．（2025·高二·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 20．（2025·高二·广东·期中）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 21．（2025·高二·重庆·月考）已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． (1)求经过点Q且与直线平行的直线方程； (2)求线段的中垂线方程． 题型八：动直线所过定点 22．（2025·高二·广西钦州·期中）直线恒过定点 ． 23．（2025·高二·河北石家庄·期中）直线恒过定点的坐标为 ． 24．（2025·高二·广东揭阳·期中）已知直线经过一定点，则该定点的坐标是 ； 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 25．（2025·高二·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 26．（2025·高二·安徽亳州·月考）（1）已知直线和直线，若，求的值； （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 27．（2025·高二·江苏南通·月考）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 题型十：实际应用 28．（2025·高二·上海浦东新·期中）在向量的右边乘以一个矩阵，按向量的乘法规则相乘以后得到一个新的向量，我们把这个运算过程称为对向量实施了一个右矩阵变换.直线：上任意一点确定向量（O为坐标原点），通过矩阵对向量实施右矩阵变换后得到向量，点的坐标满足，若直线：和：相交于点，则过点，的直线的方程是 . 29．如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    30．（2025·高二·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 1．（2025·高二·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 2．（2025·高二·内蒙古包头·期中）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（2025·高二·内蒙古包头·期中）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2025·高二·山东青岛·期中）直线的倾斜角是（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 5．（2025·高二·河北邢台·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 7．（多选题）（2025·高二·江苏泰州·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则实数 C．已知直线：与：平行，则或0 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为 8．（多选题）（2025·高二·云南·期中）的三个顶点是，下列说法正确的是（    ） A．边上的中线所在的直线的方程： B．边上的高所在的直线的方程： C．过点，且平行于边的直线的方程： D．过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 9．（多选题）（2025·高二·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ） A．方程表示过点的所有直线 B．已知两条直线，若，则； C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．过点的直线与以、为端点的线段有交点，则直线斜率的取值范围是 10．（多选题）（2025·高二·四川广安·期中）的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 11．（2025·高二·四川广安·期中）已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是 . 12．（2025·高二·广东韶关·期中）已知直线， （1）若直线在轴的截距等于1，则实数的值为 ； （2）若直线不经过第三象限，则的取值范围是 . 13．（2025·高二·北京顺义·期中）已知的三个顶点为，，，则边所在的直线方程为 .边的垂直平分线所在直线的方程为 . 14．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 15．（2025·高二·福建泉州·期中）已知直线过点. (1)若与直线垂直，求直线的方程； (2)若分别与轴负半轴，轴正半轴交于，两点，是坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程. 16．（2025·高二·湖南衡阳·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 17．（2025·高二·甘肃兰州·期中）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 18．（2025·高二·江苏无锡·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)光线自点射到轴上的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程： (2)直线经过点，且直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 直线的方程 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：点斜式方程 2 题型二：斜截式方程 3 题型三：两点式方程 3 题型四：截距式方程 4 题型五：一般式方程 5 题型六：中点公式 6 题型七：综合应用问题 7 题型八：动直线所过定点 10 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 10 题型十：实际应用 13 02 重难点拓展 16 题型一：点斜式方程 1．（2025·高二·安徽·月考）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 2．（2025·高二·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 3．（2025·高二·福建龙岩·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 整理有： 故选：A 题型二：斜截式方程 4．（2025·高二·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 【答案】 【解析】因为直线l：的斜率为，直线与垂直得出斜率为， 所以与直线l：垂直的直线方程为,即. 故答案为：. 5．（2025·高二·贵州毕节·月考）已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为 ，边上的高所在直线的斜截式为 . 【答案】 【解析】由题意，的中点坐标为，即， 则边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为：，即. 直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 则边上的高所在直线的方程为：，即. 故答案为：；. 6．（2025·高二·广东湛江·月考）倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 【答案】 【解析】由题意得，直线斜率为， 故直线的斜截式方程为. 故答案为： 题型三：两点式方程 7．已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【解析】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 8．（2025·高二·上海金山·月考）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为， 故答案为：. 9．已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 【答案】 【解析】易得直线过，故l的斜率为. 故答案为： 题型四：截距式方程 10．（2025·高二·广东肇庆·月考）在平面直角坐标系中，已知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，则直线的截距式方程为；类似的，在空间直角坐标系中，若平面与轴、轴、轴的交点分别为，，，且，则平面的截距式方程为 ． 【答案】 【解析】因为在平面直角坐标系中，方程表示的图形是一条直线， 具有特定性质：在轴，轴上的截距分别为， 因此，类比到空间直角坐标系中，在轴上的截距分别为 的平面方程为. 故答案为： 11．（2025·高二·浙江·月考）一条直线经过点，并且与轴，轴分别交于，两点，当为的中点时，此直线的截距式方程为 . 【答案】 【解析】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为， 则有，解得，故该方程为. 故答案为：. 12．（2025·高二·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 【答案】 【解析】因为为的中点，故, 则直线的截距式方程为. 故答案为： 题型五：一般式方程 13．（2025·高二·四川南充·期中）已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】直线l的倾斜角为，则斜率为， 又过点，所以直线l的方程为， 故直线l的一般式方程为． 故答案为： 14．（2025·高二·甘肃陇南·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】如图所示，设角平分线与x轴负半轴的夹角为α， 令代入直线方程，可得，所以，令代入直线方程，可得， 所以，在中，的正切值为， 也即，解得（负值已舍去）， 设角平分线的斜率为，则， 所以由点斜式方程可得角平分线方程为， 整理为一般式为． 故答案为：． 15．（2025·高二·宁夏中卫·月考）直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的一般方程为 . 【答案】 【解析】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 因为直线在轴上的截距为4， 所以直线的方程为， 即. 故答案为： 题型六：中点公式 16．（2025·高二·河北保定·开学考试）已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ． 【答案】 1 【解析】由题意得，得． 设，由得 即，则直线的方程为，即． 故答案为：1；. 17．已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【解析】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 18．（2025·高二·广东广州·期中）若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【答案】 【解析】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0， 设直线方程为， 又线段AB的中点为，则，即 则直线方程为，即. 题型七：综合应用问题 19．（2025·高二·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【解析】（1） 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点         设，则， 故则， 解得，故 （2）由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 （3）法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.   ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以，             综上可得.        法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③     设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 20．（2025·高二·广东·期中）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【解析】（1）因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为， 若为正三角形，则直线的倾斜角为或， 故斜率为， 或. （2）（i）设，设中点， 由为的重心，故，解得. ，，解得，故始终在直线上. （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 21．（2025·高二·重庆·月考）已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． (1)求经过点Q且与直线平行的直线方程； (2)求线段的中垂线方程． 【解析】（1）设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点， 则，解得，所以所求直线方程为. （2）由，解得，则点，线段的中点为， 直线的斜率，线段的中垂线斜率， 所以线段的中垂线方程为，即. 题型八：动直线所过定点 22．（2025·高二·广西钦州·期中）直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】由题设，显然直线过定点. 故答案为： 23．（2025·高二·河北石家庄·期中）直线恒过定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】直线， 即， 联立可得，∴， 即直线恒过定点. 故答案为： 24．（2025·高二·广东揭阳·期中）已知直线经过一定点，则该定点的坐标是 ； 【答案】 【解析】原直线方程可化为， ∴直线过定点. 故答案为： 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 25．（2025·高二·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【解析】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 26．（2025·高二·安徽亳州·月考）（1）已知直线和直线，若，求的值； （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 【解析】（1）因为， 所以，即， 解得：或； （2）设直线方程为， 由题意可得：， 联立得：，即， 解得：， 所以直线方程为：. 27．（2025·高二·江苏南通·月考）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【解析】（1）由直线变形得： ， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以可设直线的截距式方程为，且， 又由于直线恒过定点，所以， 由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则， 把，代入变形后的得：， 联立解得：， 所以直线的截距式方程为， 化简得的方程为. 题型十：实际应用 28．（2025·高二·上海浦东新·期中）在向量的右边乘以一个矩阵，按向量的乘法规则相乘以后得到一个新的向量，我们把这个运算过程称为对向量实施了一个右矩阵变换.直线：上任意一点确定向量（O为坐标原点），通过矩阵对向量实施右矩阵变换后得到向量，点的坐标满足，若直线：和：相交于点，则过点，的直线的方程是 . 【答案】 【解析】由已知设，则， 其通过矩阵对向量实施右矩阵变换后得到向量， 则吗，消去得， 又点的坐标满足，所以， 所以直线：和：相交于点， 即点满足，满足， 过点，的直线的方程是. 故答案为：. 29．如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【解析】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m． 30．（2025·高二·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 【解析】（1）过作轴，垂足为， 由可知，直线OC的斜率， 直线OC的方程为， 因为点C到OA的距离为20米，设，故，可得， 因为，则为的中点，， 则，所以， 所以点P到OC的距离； （2）因为，，得AC所在直线方程为， 设，因为点O与点B关于AC对称，故可得 得，，即， 所以所在直线方程为， ， 所以该口袋公园的总面积200平方米． 1．（2025·高二·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【解析】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 2．（2025·高二·内蒙古包头·期中）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即； 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即 所以满足题意的直线方程为或. 故选：B. 3．（2025·高二·内蒙古包头·期中）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 4．（2025·高二·山东青岛·期中）直线的倾斜角是（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【解析】直线的斜率为,设直线的倾斜角为，则, 所以倾斜角为：; 故选：A 5．（2025·高二·河北邢台·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为：. 设直线倾斜角为，则，且， 所以. 故选：D 6．（2025·高二·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】当截距为0时，令直线为，则，故， 当截距不为0时，令直线为，则，故， 所以，所求直线为或. 故选：D 7．（多选题）（2025·高二·江苏泰州·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则实数 C．已知直线：与：平行，则或0 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为 【答案】ABC 【解析】对于A，变形为. 因为该方程对任意恒成立， 所以必有，解得. 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得或0， 当时，：，：，所以符合题意， 当时，：，：，所以符合题意，故C正确； 对于D，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为，又因为直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，故D错误. 故选：ABC. 8．（多选题）（2025·高二·云南·期中）的三个顶点是，下列说法正确的是（    ） A．边上的中线所在的直线的方程： B．边上的高所在的直线的方程： C．过点，且平行于边的直线的方程： D．过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 【答案】ABC 【解析】因为，所以中点，边上的中线为AD，所在的直线的方程：，A正确； 由可得直线的斜率为1，所以边上的高所在直线的斜率为-1，方程为：，B正确； 由点斜式可得，过点，且平行于边的直线的方程：，C正确； 若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为：， 代入点，得a无解，直线不存在； 若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点，得该直线方程为：，D错误. 故选：ABC． 9．（多选题）（2025·高二·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ） A．方程表示过点的所有直线 B．已知两条直线，若，则； C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．过点的直线与以、为端点的线段有交点，则直线斜率的取值范围是 【答案】BC 【解析】对于A，方程表示过点，且斜率为的直线， 其中不包括斜率不存在的直线，所以A错误； 对于B，由直线和， 可得和， 因为，所以且，解得，所以B正确； 对于C，将直线方程变形为，由，可得， 所以直线过定点， 当直线与垂直时，点到的距离最大， 因为，则，所以C正确； 对于D，如图所示，由，， 所以由图知，或，所以斜率的取值范围是，所以D错误. 故选：BC. 10．（多选题）（2025·高二·四川广安·期中）的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 【答案】BD 【解析】直线的斜率为， 而直线的斜率为，两直线不平行，A错； 边上高所在直线斜率为， 直线方程为，即，B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线过原点时方程为，C错； 因为，直线的斜率为， 所以过点A且平行于的直线方程为, 即，D正确. 故选:BD． 11．（2025·高二·四川广安·期中）已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】可化为, 由，得， 所以直线过定点. 由图可得或. 因为，，， 所以，, 所以或， 故直线l斜率的取值范围是. 故答案为:. 12．（2025·高二·广东韶关·期中）已知直线， （1）若直线在轴的截距等于1，则实数的值为 ； （2）若直线不经过第三象限，则的取值范围是 . 【答案】 0 【解析】（1）令，得， 因为直线在轴的截距等于1， 所以，解得. （2）直线的方程可化为， 所以，所以， 所以直线过定点， 所以. 由直线可得：， 若不经过第三象限，则， 故的取值范围是. 故答案为:0；. 13．（2025·高二·北京顺义·期中）已知的三个顶点为，，，则边所在的直线方程为 .边的垂直平分线所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】由题设，则直线，可得， 由的中点为且，故其垂直平分线的斜率为， 所以直线的垂直平分线为，即. 故答案为：， 14．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【解析】（1）∵， ∴直线过定点. （2）∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. （3）由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 15．（2025·高二·福建泉州·期中）已知直线过点. (1)若与直线垂直，求直线的方程； (2)若分别与轴负半轴，轴正半轴交于，两点，是坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）由直线与直线垂直，设直线的方程为， 又直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. （2）依题意，设直线的方程为，即，， 令，得，则；令，得，则， ， 当，即时取等号，所以的面积最小值为12，直线的方程为. 16．（2025·高二·湖南衡阳·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 【解析】（1）因为直线过点，直线的斜率为2， 所以所求为， 即. （2）当直线在轴、轴上的截距都为0时， 所求为， 当直线在轴、轴上的截距都为时， 设所求为， 由题意，解得符合题意， 故所求为， 综上所述，符合题意的直线方程为或. 17．（2025·高二·甘肃兰州·期中）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 【解析】（1）当直线l过原点时满足条件，此时，即，则直线l的方程为； 当直线l不过原点时，由直线l在两坐标轴上的截距相等可知其斜率为， 故，即，可得直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或； （2）∵l不经过第二象限，∴. 解得. ∴实数a的取值范围是. （3）对于方程， 令，解得，由题知，解得； 令，解得，由题知，解得或. 综上可得. ∴ ， 当且仅当，即时取等号, ∴的面积S的最小值是6，此时直线l的方程为. 18．（2025·高二·江苏无锡·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)光线自点射到轴上的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程： (2)直线经过点，且直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4. 【解析】（1）点关于轴上的对称点为，则反射光线过点， 则反射光线为，即为； （2）由题可知，该直线不过原点，设该直线方程为， 则有，解得，故直线方程为，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $