期末达标测试卷-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

期末达标测试卷-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．4的平方根是（    ） A．4 B． C． D．2 2．已知正比例函数的图象经过点，则的值等于（   ） A． B． C． D． 3．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 4．下列图象中，y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 5．在平面直角坐标系中，点落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数为（   ） A．9 B．10 C．8 D．8.4 7．在学习了全等三角形的判定后，小明编了一道题目：“如图，已知线段与线段交于点，，，是线段的中点，求证：”，老师说他给的已知条件多了，可以去掉一个．那么不能去掉的条件是（   ） A．线段与交于点 B． C． D．是线段的中点 8．如图，则的长为(   ) A．5 B．13 C．17 D．19 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．比较大小： （填“”、“”或“”）． 12．已知，是直线上的两个点，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 13．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 14．已知点与点关于x轴对称，则的值是 ． 15．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 16．如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．已知的平方根是的立方根是2，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)请画出与关于y轴对称的并写出点的坐标__________； (2)在（1）的条件下，画出与关于直线：对称的并写出点的坐标__________． 20．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 21．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点A，点P沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出此时点P的坐标． 22．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 23．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含t的式子表示）； (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 24．随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示）， 共分为四组， A：， B：， C：， D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内（） 的所有得分数据： 88， 88， 89， 90． 两款人工智能软件得分统计表：     软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 b 86 a 88 DeepSeek 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 25．如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 26．阅读与理解 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______； (2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移3个单位，求点的像点的坐标； (3)点，点，点是点，的“和谐点”． ①求与之间的函数关系式； ②若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末达标测试卷-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B C A C B B C 1．B 【分析】本题考查了求一个数的平方根． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数作答即可． 【详解】解：∵， ∴4的平方根是． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k的值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴k的值等于． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据二次根式的意义确定a的符号，再化简求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ = ． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，得出y不是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，得出y是x的函数，故B符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，得出y不是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，得出y不是x的函数，故D不符合题意； 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，直接判断点的横纵坐标符号即可确定所在象限． 【详解】解：∵点A的横坐标，纵坐标， ∴点A在第三象限． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查众数的定义，理解他们的含义是本题关键．根据众数是出现次数最多的数求解即可． 【详解】解：小明同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10， 出现次数最多的数是9，所以众数为9， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．去掉“线段与交于点”， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“线段与交于点”， ∴选项不符合题意； B．去掉“”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“”， ∴选项不符合题意； C．去掉“”， ∵线段与线段交于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 由“，，，”无法证明， ∴不能去掉“”， ∴选项符合题意； D．去掉“是线段的中点”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“是线段的中点”， ∴选项不符合题意． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．首先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，一次函数的性质．当在同一直线上时，的值最大，求得是等边三角形，求得，利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况， 当在同一直线上时，的值最大， 当时，，当时，，解得， ∴，，， ∴， 连接交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，即， 解得， ∴点P的坐标是， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【详解】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．＜ 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的性质当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵，是直线上的两个点，， ∴， 故答案为：． 13．3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 14． 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，涉及到方程思想的运用．解题关键是牢记“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”这一性质，易错点是容易混淆关于x轴、y轴对称的点的坐标特征． 已知两点关于x轴对称，根据上述坐标特征，可得到横坐标相等、纵坐标互为相反数的两个等式．先利用横坐标相等的等式求出m的值，再利用纵坐标互为相反数的等式求出n的值，最后将m、n的值代入计算出结果． 【详解】解：由题意得，与点关于x轴对称， ， 解得，， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 17．(1) (2)5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （2）利用二次根式的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解： 18．(1)a的值为5，b的值为2，c的值为3 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，代数式求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平方根和立方根的定义得出，，计算即可得出，估算出，则，即可解答； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， c是的整数部分，且 ∴，，， 解得， 答：a的值为5，b的值为2，c的值为3． （2）∵， ∴的平方根为． 19．(1)作图见解析，点的坐标为 (2)作图见解析，点的坐标为 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线：对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据关于直线：对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到对应点的位置，然后顺次连接点即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ∴点的坐标为． 故答案为： 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理确定线段的长度是解题的关键． （1）由，据此作图即可； （2）由，，据此作图即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段AB即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． 21．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、两直线的交点坐标，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可求解； （2）联立两函数解析式，可得点A的坐标，再由三角形的面积公式解答即可； （3）先求出，设点P的横坐标为m，然后分两种情况：当点P在上时，点，当点P在上时，点，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的， ∴， 设点P的横坐标为m， 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 22．(1) (2)不能成功，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （2）假设能上升，延长至点F，使，连接，在中， 利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点E，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图2，延长至点F，使，连接， ∴， 在中， ， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 23．(1)见解析 (2)解：当时，；当时，． (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等，以及三角形全等的判定定理． （1）证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据路程速度时间以及几何关系即可解答； （3）先求出，证明得到，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ． （2）解：当时，； 当时，， ． （3）解：根据题意得，则， 由（1）得，， 在和中， ， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当线段经过点时，的值为或． 【点睛】 24．(1)88，85，20 (2)580名 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的某项数目，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义、百分比的意义求解即可． （2）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：人工智能软件得分数据中：共个数据， A组有个数据，B组有个数据， 则人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第个、第个数据的平均数， 中位数， 豆包人工智能软件得分数据中出现的次数最多， 众数， ， ． （2）解：（名）， 估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数约为名． 25．(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，．由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可． （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 26．(1)； (2)； (3)①；②． 【分析】本题考查了直角坐标系下“和谐点”的定义，直角坐标系下点的平移，函数解析式的求解，需理解题目已知的“和谐点”的定义，由“和谐点”的定义求解是解决本题的关键． （1）根据“和谐点”的概念，计算，即可求解． （2）先由“和谐点”的定义求解点P的坐标，再由直角坐标系下点的坐标平移规律，即“左右平移纵坐标不变，横坐标左减右加相应的单位长度”求解即可． （3）①先由“和谐点”的定义表示出x和y，再根据t的表达式求解即可； ②根据点、点的横坐标相同，可求解x的值进而可求解t的值，即可求解点E的坐标． 【详解】（1）解：∵点，， 设点， ∴有，， ∴点的坐标； 故答案为：． （2）解：设， ∵点是点，的“和谐点”， ∴， ∴， ∴点向左平移3个单位的像点的坐标为． （3）①解：∵点是点，的“和谐点”， ； ， ， 即； ②解：∵直线交轴于点，， 点、点的横坐标相同， ， ， ， 故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $