24.1 圆的有关性质 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1 圆的有关性质 一、单选题 1．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，是的直径，弦于E，若，，则的长是（　　）    A．12 B．16 C． D． 3．以下说法：（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（2）过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；（3）弦是直径；（4）直径是圆中最长的弦；（5）直径不是弦；（6）优弧大于劣弧；（7）以O为圆心可以画无数个圆．正确的个数为（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等.其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③ 5．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD＝48°，则∠BAC的大小是(　　) A．60° B．48° C．30° D．24° 6．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 7．如图，AB为⊙O直径，且AB＝4．点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE．则CE的最大值为（　　） A．4﹣4 B．2﹣ C．8﹣4 D．4﹣2 8．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（　　）①CE＝OE②∠C＝50°  ③＝④AD＝2OE A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝ °． 10．如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧的三等分点，，则的度数为 度． 11．如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则 ． 12．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为 ． 13．如图，，则 ， ， ， ． 14．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上，，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 .   三、解答题 15．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长． 16．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB＝8cm，AC＝6cm，求⊙O的半径． 17．如图，内接于⊙O，，D是圆上任一点，.求证：DA平分 18．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数 19．如图,在⊙O中，弧AC=BC，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．   试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据直径是最长的弦即可求解． 【详解】解：∵若的直径长为，点，在上， ∴的长不可能是， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键． 2．A 【分析】连接，设，则，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，是的直径，， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 3．C 【分析】根据直径和弦的定义、弧的定义逐一进行判断． 【详解】解：（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确； （2）过圆上任意一点可以作无数条弦，原说法不正确； （3）弦不一定是直径，原说法不正确； （4）直径是圆中最长的弦，正确； （5）直径是圆中最长的弦，原说法不正确； （6）在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，原说法不正确； （7）以O为圆心可以画无数个圆，正确． 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 4．C 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系进行判断即可． 【详解】①∵在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故不正确；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等，正确；③同圆中等弧所对的圆心角相等，正确. 故选C. 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等. 5．D 【详解】试题分析：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠BAC=∠BOD=×48°=24°．故选D． 考点：1．圆周角定理；2．垂径定理． 6．A 【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解． 【详解】解：由题意得 解得：， 解得：， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键． 7．A 【分析】设，利用等弦对等弧，等弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形的外角的性质，通过角度的变换求得，确定的位置，进而证明，得到的运动轨迹是以点为圆心，4为半径的圆弧，进而根据直径是最长的弦求解即可． 【详解】解：延长，交于点，连接，OF 设 CD＝BD 为直径 在以点为圆心，4为半径的圆弧上运动， ，当为的直径时，取得最大值，最大值为 故选A 【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，弦与弧之间关系，找到点的运动轨迹，理解直径是最长的弦是解题的关键． 8．B 【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可． 【详解】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E， ∴CE＝DE，，， ∴∠BOC＝2∠A＝40°，， 即，故③正确； ∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°， ∴∠C＝50°，故②正确； ∵∠C≠∠BOC， ∴CE≠OE，故①错误； 作OP∥CD，交AD于P， ∵AB⊥CD， ∴AE＜AD，∠AOP＝90°， ∴OA＜PA，OE＜PD， ∴PA+PD＞OA+OE ∵OE＜OA， ∴AD＞2OE，故④错误； 故选：B． 【点睛】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质. 9．35 【分析】如图（见解析），连接AD，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】如图，连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴，即 又由圆周角定理得： ∵ ∴ 故答案为：35． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题关键． 10．69 【分析】本题考查了圆周角定理，弧，圆心角的关系定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【详解】∵B、C分别是劣弧的三等分点，， ∴， ∴． 故答案为：69． 11．/60度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理．连接，根据垂直平分线的性质可得，由等边三角形的性质可得，再根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦垂直平分， ， 是等边三角形，则， ， ， 故答案为：． 12．60° 【详解】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）， ∵∠CBD=30°， ∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）； 故答案是：60° 13． 【分析】在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半． 【详解】解：∵弧ACB:弧ADB=5:4，弧ACB+弧ADB=360° ∴弧ACB=200°，弧ADB=160° ∴，，，． 故答案为：． 【点睛】本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般． 14． 【详解】如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B， ∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是的中点， ∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°， ∴∠A′OB=30°+60°=90°， 又∵OA′=OB=OM=2， ∴A′B=，即AP+BP的值最小=. 故答案为. 15．DB=cm 【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，可得CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，然后由含30°角的直角三角形的性质，即可求得EC与DE的长，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B=30°，继而求得DB的长． 【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°， ∵∠B=∠ACD=30°， 在Rt△ACE中，AC=2AE=4cm， ∴CE==2（cm）， ∴DE=2cm， 在Rt△BDE中，∠B=30°， ∴BD=2DE=4cm． ∴DB的长为4cm． 【点睛】本题考查了垂径定理，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，含30°角直角三角形的性质及勾股定理，其中含30°角直角三角形的性质是解题的关键． 16．5 【分析】首先由AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，易证得四边形OEAD是矩形，根据垂径定理，可求得AE与AD的长，然后利用勾股定理即可求得⊙O的半径OA长． 【详解】解：连接AO ∵OE⊥AC，OD⊥AB，AC=6，AB=8 ∴AE=3，AD=4 又OE⊥AC，OD⊥AB，AC⊥AB ∴四边形ADOE为矩形 ∴OA= 5 【点睛】此题主要考查了垂径定理，矩形的判定与性质及勾股定理的综合应用，解答本题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质的应用． 17．见解析 【分析】利用等腰三角形性质证得∠ABC=∠ACB，根据圆周角性质得∠ABC=∠ADC，再利用等量代换，即可得到答案． 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ACB=∠ADC ∵ ∴ ∴DA平分． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形等知识，能发现相等的角，进行等量代换是解决此题关键． 18．68° 【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO=2∠A，则∠E=2∠A，再利用∠EOD=84°得到2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，接着计算出∠BOE的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接OB，如图， ∵OB=OC，OC=AB， ∴OB=AB， ∴∠A=∠BOA， ∴∠EBO=∠A+∠BOA=2∠A， ∵OB=OE， ∴∠E=∠EBO=2∠A， ∵∠EOD=∠E+∠A， ∴2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°， ∴∠E=∠EBO=56°， ∴∠BOE=180°-∠E-∠EBO=180°-56°-56°=68°， ∴的度数为68°． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 19．证明见解析 【分析】连接OC．只要证明△COD≌△COE，推出OD=OE即可解决问题； 【详解】解：连接OC，    ∵ ， ∴∠AOC=∠BOC． ∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E， ∴∠CDO=∠CEO=90° 在△COD与△COE中， ∵ ， ∴△COD≌△COE(AAS)， ∴OD=OE， ∵AO=BO， ∴AD=BE． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的性质和判定．熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $