24.1.3 弧、弦、圆心角相关计算 专题练 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章圆-孤弦、圆心角」 典型题型归纳专项练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版动年级上册 一、用弧、弦、圆心角之间的关系求角度 1.如图所示，在⊙0中，若C是AB的中点，∠A=45°，则∠B0C的度数是() A.60 B.50° C.45° D.40° 2.如图，AB是直径，BC=CD=DE,∠B0C=40°，∠AOE的度数是」 D E 3.若一条弦把圆分成15两部分，则劣弧所对的圆心角为 4.如图，在⊙0中，已知AB=CD,∠A0B=45°，则∠D0C= D B 5.如图，在00中，AB=AC,∠A=45°，则∠B的度数为 0 二、弧、弦、圆心角的有关计算 1.如图，已知AB,CD是O0的直径，AE=AC,∠B0D=32°，求LC0E的度数. E D B 2.已知：如图所示，A,B,C,D是⊙0上的点，且AC=BD,∠AOB=125°，求∠C0D的度数. D 3.如图，AB和DE是OO的直径，弦AC∥DE,若弦BE的长为3，求弦CE的长. E 4如图，点A、B、C在⊙0上，D是AB的中点，若∠A0B=124°，求∠BCD的度数. B O 三、利用弧、弦、圆心角的对称性求最值 1.如图，AB是⊙0的直径，AD⊥AB于点A,OD交O0于点C,AE⊥OD于点E,交O0于点 F,F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE+PF的最小值是() D C E 0 B A.4 B.2万 C.6 D.43 2.如图所示，MN是OO的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AN的中点，点B是点B关 于MN所在直线的对称点，⊙0的半径为1，则AB的长为() A.1 B.√2 C.3 D.2 四、圆心角的有关计算与证明 1.如图，在⊙0中，半径OC,OD分别交弦AB于点E,F,且OE=OF. B D (I)求证：AE=BF; (②)求证：AC=BD. 2.如图，在⊙O中，弦AD=BC,OE⊥AB于E,OH⊥BC于H. 夕 (I)求证：AB=CD. (2)若⊙O的半径为5，CD=8,求OE的长. 3.(2025九年级上全国专题练习)如图，MN是⊙0的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是 劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点.若MN=2√2，AB=1,则△PAB周长的最小值 是 M 答案 一、用弧、弦、圆心角之间的关系求角度 1.解：∠A=45°，OA=OB, ∠0BA=L0AB=45° ∠A0B=180°-45°-45°=90 :点C是弧AB的中点， ·∠B0C=∠A0B=450 2 故选：C. 2解：：BC=CD=DE,LB0C=40°， .∠D0E=∠C0D=∠B0C=40°， .∠A0E=180°-∠D0E-∠C0D-∠B0C=60°， 故答案为：60°. 3.解：：一条弦把圆周分成15的两段弧， ·劣弧所对圆心角的度数= ×360°=60°， 1+5 故答案为：60°. 4.解：AB=CD, AB=CD, .∠A0B=∠D0C=45°（同弧所对的圆心角相等）， 故答案为：45°. 5.解：：AB=AC, .AB=AC, .∠B=LC, :∠A=45°， :∠B=180°-450 =67.5°； 2 故答案为：67.5°. 二、弧、弦、圆心角的有关计算 1·解：：∠B0D=32°， ∠B0D=∠A0C=32°， AE=AC, ·∠A0E=∠A0C=32°， :∠C0E=∠A0E+∠A0C=64°， 2.解：A,B,C,D是⊙O上的点，AC=BD, :AC+BC=BD+BC,AB=CD, .ZAOB=ZCOD, ∠A0B=125°， .∠C0D=125°. 3.解：如图，连接0C, BAC∥DE, D :∠CA0=∠B0E,∠AC0=∠COE, :0A=0C, ·LCA0=∠AC0, :∠B0E=LC0E, :CE=BE=3. 4解：如图，连接0D. B D :D是AB的中点， .BD=AD,∠A0B=124°， ÷∠BOD=∠AOD= ∠AOB=62°， 2 ∠8CD-<B0D=3P. 三、利用弧、弦、圆心角的对称性求最值 1.解：如图，延长D0交O0于点M,连接PM,PF,OF,PE D A B M :AE⊥OD于点E,交OO于点F,F为弧BC的中点， AC=CF=BF .∠A0C=∠C0F=∠BOF, :∠A0C+∠C0F+∠B0F=180°， .∠A0C=LC0F=∠B0F=60°， .∠B0M=∠A0C=60°=∠B0F, .点F关于AB的对称点为点M, .PM=PF, .PE+PF=PE+PM≥EM, 当E,P,M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长， :∠A0C=60°，AD1AB, .∠D=30°， .0D=20A, .CD=4, .0D=0C+4=20A=20C,即0C=4, .0C=0A=0B=0M=0F=4, :AF⊥0C,∠A0C=60°， .∴.∠0AE=30°， 0E=0A=2, 2 .PE+PF的最小值EM=0E+0M=2+4=6. 故选：C. 2.解：如图，连接OB、0B', M 由题意可得，∠A0N=60°， "点B是AN的中点， ·AB=BN, ·∠A0B=∠B0N=30°， :点B是点B关于MN所在直线的对称点， ·B'N=BN ·∠B'ON=∠BON=30°， ·∠B'0A=90°， 又0A=0B'=1, :AB'=V0A2+0B2=V2+12=√5. 故选：B. 四、圆心角的有关计算与证明 1.(1)证明：过O作0M⊥AB于M,连接OA、OB, .0A=0B,OE=OF, .∴.AM=BM,EM=FM, .AM-EM BM -FM, AE BF; (2)证明：：0M⊥AB,0A=0B,OE=OF, .∠AOM=∠BOM,∠EOM=∠FOM, ∴∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM, .∠A0C=∠B0D, :AC=BD 2.(1)证明：AD=BC, ..AD=BC, AD+BD=BC+BD, 即AB=CD, :AB=CD (2)解：连接OB, D B C :AB=CD=8,OE⊥AB, :AE=EB=4. :0E=V0B2-BE2=3. 3解：如图，作点A关于MN的对称点A,连接A'B,交MN于点P,连接OA',OA,OB,PA, AA'. B :点A与关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， .∠A'0N=∠A0N=60°，PA=PA', :点B是劣弧AN的中点， .∠B0N=30°， .∠A'0B=∠A'0N+∠B0N=90°， :MW=2W2, :OA=OA'=OB=√2， A'B=VOB2+0A2=2. .PA+PB=PA'+PB=A'B=2. △PAB周长的最小值=PA+PB+AB=2+1=3, 故答案为：3.