精品解析：江苏省南通市启东市2025-2026学年高三上学期11月期中调研测试数学试题

2025-2026学年（上）高三期中调研测试数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （　　） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，且，则（　　） A. B. C. D. 1 3. 满足的集合的个数是（　　） A. 2 B. 16 C. 7 D. 8 4. 用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢，若要使存留的污垢不超过原来的二百分之一，则至少需要漂洗的次数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A B. C. D. 6. 若曲线有两条过点切线，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 在中，已知，点在边上且．若，则（　　） A. B. C. D. 8. 设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 10. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（　　） A. B. 的面积是 C. 直线与的外接圆相切 D. 是钝角三角形 11. 若存在实数，使得对于，，则的值可以取（　　） A. B. C. e D. 2e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义在上的函数满足①；②．写出一个满足条件的的解析式___________． 13. 某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为，则大约需要___________的材料．若A型材料的价格为200元，根据需求气球半径要增加，则所需费用需增加___________元．（的近似值取3.14） 14. 在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． 16. 在中，已知． （1）求角； （2）求的值． 17. 如图，在几何体中，四边形是正方形，是等边三角形，，平面平面，中边上的高为，且． （1）证明：平面； （2）求几何体体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，其上顶点与右顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上的点，直线分别与直线交于两点，记的面积分别为． ①若，，求； ②若，求． 19. 已知函数的导函数． （1）求的最大值； （2）当时，若是曲线在点处的切线方程． ①证明：对于定义域内任意成立； ②设过点的直线与直线垂直，，与轴的交点分别为，，表示的面积．是否存在实数，满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）高三期中调研测试数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 2. 已知函数的导函数为，且，则（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数求导公式求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：C 3. 满足的集合的个数是（　　） A. 2 B. 16 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系判断. 【详解】当中只有一个元素时，； 当中只有两个元素时，或或； 当中只有三个元素时，或或； 当中只有四个元素时，， 所以满足要求的的个数为8个. 故选：D. 4. 用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢，若要使存留的污垢不超过原来的二百分之一，则至少需要漂洗的次数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知每次清洗后所留下的污垢是原来的，由此知，剩余污垢的量是关于洗涤次数的指数函数，据此可得答案. 【详解】经过第一次漂洗，污垢存留量为污垢总量的； 经过第二次漂洗，污垢存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的； 经过第三次漂洗，存留量为原来的，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的. 则，注意到，则至少需要漂洗的次数是4. 故选：C 5. 若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移后的图象的对称中心得到的对称中心，然后根据正切函数的对称性得到，然后求最小值即可. 【详解】由题意得关于对称，所以， 整理得， 因为，所以当时取得最小值，为. 故选：B. 6. 若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义和斜率公式列方程，根据有两条切线得到方程有两个根，然后列不等式求解即可. 【详解】设切点坐标为，， 所以斜率， 则切线方程为， 又在切线上，所以 因为曲线有两条过的切线，所以方程有两个解， 整理得，所以，解得或. 故选：D. 7. 在中，已知，点在边上且．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】+由三角函数知识结合正弦定理可得，，据此可得答案. 【详解】由题，且为锐角，则 ，又， 则，. . 由正弦定理，， ， 则，则. 故选：B 8. 设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性得到，然后根据双曲线的定义列方程，得到，，最后利用余弦定理列等式，整理即可得到离心率. 【详解】 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线的对称性得到，， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】ABD选项，利用基本不等式求最值即可；C选项，利用特殊值判断. 【详解】，即，解得，当且仅当时等号成立，故A错； 可整理为， ，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 当，时，，故C错； ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（　　） A. B. 的面积是 C. 直线与的外接圆相切 D. 是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 由直线方程，令，得， 由题意，所以，即，A正确， 抛物线方程为，准线为， 由， 消去并化简得，， 不妨设，，， 解得或， 所以， 又坐标原点到的距离为， 所以的面积是，B选项正确. ， 设的外接圆方程为， 则， 解得：， 即圆的方程为， 联立，得，， 即直线与的外接圆相离，C选项错误. 因为， 所以， 由余弦定理知：为钝角， 所以三角形是钝角三角形，D选项正确. 故选：ABD 11. 若存在实数，使得对于，，则的值可以取（　　） A. B. C. e D. 2e 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据区间的性质判断；BC选项，利用特殊值的思路得到当时，为的公共零点，然后根据单调性分析正负，即可得到此时的范围；D选项，根据特殊值时，得到，然后结合此时的范围判断. 【详解】时，，不满足区间的要求，故A错； 设，， 当为的一个零点时，， 将代入中，恰好， 此时，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，上单调递增， 又，单调递增， 所以当时，，，满足乘积小于零； 当时，，，满足乘积小于零， 所以可以取内的数，故BC正确； 当时，，所以，解得， 由上述可知，当时，，所以，故D错. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找出的公共零点，然后根据单调性分析正负即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义在上的函数满足①；②．写出一个满足条件的的解析式___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得过原点的单调递增的一次函数满足题意，即可得答案. 【详解】因，可设， 由，可得，则可取. 故答案为：（答案不唯一，满足题意即可） 13. 某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为，则大约需要___________的材料．若A型材料的价格为200元，根据需求气球半径要增加，则所需费用需增加___________元．（的近似值取3.14） 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】由球表面积公式结合题意可得答案. 【详解】第一空，因半径为，则需要的材料； 第二空，由题新气球需要的材料有：， 则增加材料有：，则所需费用增加元. 故答案为：；. 14. 在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，解得， ， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据弦长得到圆心到直线的距离，然后分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论即可； （2）根据面积公式得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为圆  ，所以  ， 所以圆  的圆心为  ，半径为                           设圆心  到直线  的距离为  ，则  ，所以        当直线  的斜率不存在时，  ，此时                      当直线  的斜率存在时，设直线  的斜率为  ，则  ， 所以  ，所以  ，所以  ，即  ， 综上可知：直线  的方程为  或   【小问2详解】  的面积  ，                   由  的性质可知  ，        所以  ，                        当且仅当  时，即  时等号成立， 所以  的面积的最大值是   16. 在中，已知． （1）求角； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式及两角和的正切公式可得，然后由题意可得答案； （2）设，由余弦定理可得 ，然后由题意及正弦定理可得，即可得答案. 【小问1详解】 由诱导公式及两角和的正切公式， ， 则，从而； 【小问2详解】 设， 则， 由余弦定理， . ，，又，， 则； ，，又，， 则. 由（1）结合正弦定理，. 则. 即的值为. 17. 如图，在几何体中，四边形是正方形，是等边三角形，，平面平面，中边上的高为，且． （1）证明：平面； （2）求几何体的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面平面，证得平面 ，得到，因为，即可证得平面 ； （2）连接和 ，得到 ，由平面 ，取得，再证得平面，求得 ，即可求得几何体的体积； （3）以为 坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 且平面 ，所以平面 ， 因为，所以平面 . 【小问2详解】 解：连接和 ，则几何体的体积等于 , 因为平面，所以是三棱锥 的高， 所以， 因为 中边上的高为 ，且，所以， 又因平面平面，且平面 平面，平面 ， 所以平面 ， 又因为，所以是四棱锥 高， 所以， 所以几何体的体积等于. 小问3详解】 解：以为 坐标原点，建立如图空间直角坐标系 ，如图所示， 则 ， ，所以 ． 因为 ，，， 可得 ， ， 设平面 的法向量为 ，则， 取，可得，所以 ， 所以 ， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，其上顶点与右顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上的点，直线分别与直线交于两点，记的面积分别为． ①若，，求； ②若，求． 【答案】（1） （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求解即可； （2）①由，及点在椭圆上，求得坐标，即可求解； ②求得两点坐标，由两点间距离公式，再由，代入即可求解. 【小问1详解】 设椭圆 的焦距为 ，因为椭圆 的离心率是 ，所以 ， 所以 ，又因为 ，所以 因为椭圆 的上顶点与右顶点的距离为 ，所以 ，所以 ， 所以椭圆 的方程是 【小问2详解】 ①因为 ，且 ， 所以 由对称性不妨设 ，则直线 ，令 ，得 ． 所以 ② 由 得 由 得 因为 ， ， 所以 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 19. 已知函数的导函数． （1）求的最大值； （2）当时，若是曲线在点处的切线方程． ①证明：对于定义域内任意成立； ②设过点的直线与直线垂直，，与轴的交点分别为，，表示的面积．是否存在实数，满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的最大值为 （2）①证明见解析；②存在实数，满足，的取值范围为 【解析】 【分析】（1），求导，可得的单调性，进而可求得最大值； （2）①令，求导，可判断的单调性，进而可证得结论；②求得直线，的方程，进而求得与轴的交点，的坐标，表示出，结合已知可得，利用换元法可求的取值范围. 【小问1详解】 令，得， 令，得，得； 当时，，所以 在单调递增； 当 时，，所以 在 单调递减。 因此，是极大值点，所以， 所以的最大值为； 【小问2详解】 ①由题意可得 令， 当，，由（1）知在单调递增， 若，，； 若，，。 所以是的极小值点，也是最小值， 所以， 所以； ②直线 的方程为， 令，得，故， 直线与垂直，且过点， 因为，所以，所以的方程为， 令，得，所以， 所以， 所以 由，得， 所以， 由（1）知，且， 当，所以， 所以， 令，则 ， 函数，当且仅当，即时取等号， 又，， 又， 所以存在实数，满足，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $