精品解析：安徽省池州市贵池区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

贵池区2025～2026学年度第一学期高一期中检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 命题单位：池州二中 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，2，3，4，，，则为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出全集中不属于的部分，求出的补集，找出与的补集的公共元素，即可确定出所求的集合． 【详解】解：全集，， ， 又，2，3，4，， 则． 故选：． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析即可. 【详解】若，则恒成立，之间的大小关系不一定，即充分性不成立； 而，则，一定有，即必要性成立. 故选：B 3. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的描述法与元素与集合的关系分析选项即可. 【详解】由题意可知，所以， 显然选项中D符合题意，此时，A、B、C错误. 故选：D 4. 已知， 则的值等于（ ） A. -2 B. 0 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数表达式即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， ， 故选：D. 5. 已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的图象与性质分析的符号，结合幂函数的性质判定选项即可. 【详解】由图象可知，所以， 根据幂函数的性质可知函数和在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正确. 故选：B 6. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或 解得或，所以的取值范围是. 故选：C. 7. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明函数是偶函数，在是减函数，然后由奇偶性、单调性转化求解． 【详解】易知的定义域为， ，所以是偶函数， 当时，为减函数，为增函数，所以为减函数， 则等价于，所以， ，解得或. 故选：B. 8. 已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意有，当且仅当，即时取等号，所以，结合以及两个不等式等号成立的条件可求出的值，从而可求得答案 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号 ，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，其中第一个不等式等号成立的条件为， 第二个不等式等号成立的条件为，所以当，时，取最小值，此时 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（ ） A. 0点到3点只进水不出水 B. 3点到4点不进水只出水 C. 3点到4点总蓄水量降低 D. 4点到6点不进水不出水 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中所给的进出水量的图表进行分析判断可得. 【详解】对于A：从0点到3点，蓄水量从0增加到6t，蓄水的速度为， 两个进水口同时进水速度为，与蓄水速度一致，所以A正确； 对于B：从3点到4点，蓄水量减少了1t，用时是1小时， 如果不进水只出水，则应该减少2t而不是1t，所以B错误； 对于C：从3点到4点，蓄水量减少了1t，所以C正确； 对于D：从4点到6点，蓄水量保持5t不变，并非不进水不出水，只是进出水达到平衡， 比如，两个进水口同时进水，一个出水口同时出水，也能使蓄水量保持不变，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 11. 整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则整数属于同一个类 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题干的定义，通过计算可判断A，通过推理判断B和D，通过举特殊值可判断C. 【详解】对于A，，即，故A正确； 对于B，因任意一个整数除以3，所得余数只能为0或1或2，即， 反之，集合中任一数都是整数，即，所以，故B正确； 对于C，当时，，但，故C错误； 对于D，，不妨令，，，， 则，因，于是得，即，因此整数属于同一个类，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数满足，则______ 【答案】3 【解析】 【分析】代入题中所给条件得到，再代入即可得解. 【详解】由题可知，有，得，则， 因此：. 故答案为：3. 13. 已知函数，若，则______ 【答案】4 【解析】 【分析】由条件计算求出的值，即得函数解析式，，进而可求函数值. 【详解】由，得，得. 所以，. 故答案为：4. 14. 已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题为真命题进行判断，进而可得为假命题的条件. 【详解】若命题p为真命题，则，即在上恒成立， 而在上单调递减，所以，得. 所以命题p为假命题，则. 若命题q为真命题，则在上能成立， 而在上单调递减，所以，即. 所以命题q为假命题，则. 所以命题p，q均为假命题，则. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求实数的值； （2）求实数的范围，使得. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据元素与集合的关系可得； （2）将两个集合的运算关系转化包含关系，再进行分类讨论可得. 【小问1详解】 ∵，∴，解得或． 【小问2详解】 由知， 又， ①当时，无实数根， 即，解得； ②当时，有两相等实数根， ，则，符合题意； ③当时，有两相等实数根， ，则， 此时为，即，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得； 故综上所述，的取值范围为． 16. 已知函数，其中. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解； （2）设,然后由为上的增函数，则成立求解. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， 对，， 所以函数为奇函数； 当时，的定义域为， 对，， 此时， 此时，函数是奇函数； 【小问2详解】 设， 则， ， 因为，所以，， 若为上的增函数，则成立， 则成立，所以成立，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知二次函数. （1）求二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值； （3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，进而根据得到关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 ∵， ∴对称轴为，顶点坐标为. 【小问2详解】 ∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴，∴， 解得：（不合题意，舍去）； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴， 当时，在时，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或. 【点睛】方法点睛：“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 18. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数 （2） 任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. （3） 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 19. 已知元有限集合.，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出2个“二元和谐集”（无需写计算过程）； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素中，至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】（1），，答案不唯一，只要满足即可 （2） 假设， 因为集合中的元素互异，所以，不妨设，则 ， 因为是“二元和谐集”，所以，即.① 因为，所以，故， 结合①得这与假设矛盾， 所以元素中至少有一个大于2. （3）有，一个，理由如下： 假设正整数集是“三元和谐集”，则② 不妨设，则由②可得，所以， 又因为是互不相等的正整数，所以只能是，代入②得， 所以元素均为正整数的“三元和谐集”有且仅有1个，为. 【解析】 【分析】（1）由“元和谐集”的概念易得结果； （2）利用反证法进行证明； （3）设满足要求，则，不妨设，，从而可得，，从而可得答案. 【小问1详解】 “二元和谐集”可以是，， 答案不唯一，只要满足即可. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵池区2025～2026学年度第一学期高一期中检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 命题单位：池州二中 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，2，3，4，，，则为　　 A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知， 则的值等于（ ） A. -2 B. 0 C. D. 4 5. 已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（ ） A. 0点到3点只进水不出水 B. 3点到4点不进水只出水 C. 3点到4点总蓄水量降低 D. 4点到6点不进水不出水 10. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 11. 整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则整数属于同一个类 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数满足，则______ 13. 已知函数，若，则______ 14. 已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求实数的值； （2）求实数的范围，使得. 16. 已知函数，其中. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 17. 已知二次函数. （1）求二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 18. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 19. 已知元有限集合.，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出2个“二元和谐集”（无需写计算过程）； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素中，至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $