专题09 圆3考点（期末真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期北师大版

专题09 圆 9大高频考点概览 考点01 圆的相关概念 考点02 垂径定理及其应用 考点03弦、弧、圆心角的关系 考点04 圆周角 考点05 确定圆的条件 考点06 点、直线与圆的位置关系 考点07 切线长定理 考点08 正多边形与圆 考点09 弧长和扇形面积 地 城 考点01 垂径定理及其应用 1．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是 ． 4．(24-25九上·陕西西安曲江第一中学·期末)为的直径，点、在上，若， ． 5．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)已知的半径为3，点A在外，则 3．（填“”“<”或“”） 6．(23-24九上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)如图，在正方形中，，以的中点O为圆心，1为半径作半圆交边于E、F，动点P在半圆上，若且，则当最小时，的面积为 ． 7．(23-24九上·陕西渭南韩城·期末)如图，点E是边长为6的正方形的边上一动点，F是以为直径的半圆上的一动点，连接，则的最小值是 .    8．(24-25九上·陕西渭南合阳县·期末)【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值．    地 城 考点02 垂径定理及其应用 1．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)紫砂壶（图①）是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，它的作用是确保壶嘴、壶把和壶口中心在一条直线上．如图②是从上面看到的形状示意图，为紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的值为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·陕西西安阎良区·期末)如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图2，某桨轮船的轮子（可看作圆）被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度（半径于点D）为，则该桨轮船的轮子直径为（   ）    A． B． C． D． 3．(23-24九上·陕西西安高新二中·期末)如图所示“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺尺寸，问径几何？”依题意，圆材半径为（  ）    A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 4．(23-24九上·陕西西安碑林区第二十六中学·期末)陕西某中学的大门口有一排大理石球，小明想测量该球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（如图所示），他量出两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 5．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦的长为，截面圆的半径为，则瓶内液体的最大深度 ． 6．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 ． 7．(24-25九上·陕西渭南韩城·期末)丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 8．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径． 9．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)如图①，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方）． 【问题提出】 （1）直接写出B、C两点的坐标； 【问题探究】 （2）如图②，将绕点P旋转得到，试说明四边形的形状，并求出点M的坐标； 【问题解决】 （3）在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A，B，M，C一开始均在如图③所示的上，其中是的直径，四边形是矩形．表演开始后，机器人B先从点B出发，沿直线与直线之间的某个直线方向运动到上的点E处，然后立即调整方向，沿垂直的方向运动到上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到的中点Q处，再沿方向运动到点G处和机器人B汇合．请你通过计算分析，机器人M的两次运动路线形成的的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请说明理由． 10．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 11．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)如图，在等腰直角中，是线段上一个动点，连结，以为斜边构造等腰直角为的中点，连结． (1)【特值尝试】若，则___________，___________； (2)设的面积为． 【周密思考】①求关于的函数表达式． 【问题解决】②记关于直线的对称点为，当在的外接圆上时，求此时的面积． 12．(24-25九上·陕西宝鸡陇县·期末)破残的轮片上，圆弧所对的弦长，高为（如图）求原轮片的直径． 13．(24-25九上·陕西西安阎良区·期末)在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得所对的弦长为．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接，测得．求这个盏口半径的长． 14．(24-25九上·陕西商洛·)如图，内接于，为的直径，请用尺规作图法在下方的圆上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 15．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)如图，已知是的弦，用尺规作图法在上找一点C，连接，使得面积最大．（保留作图痕迹，不写作法） 地 城 考点03 弦、弧、圆心角的关系 1．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)如图，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 3．(23-24九上·陕西渭南澄城县·期末)如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·陕西渭南韩城·期末)如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 5．(23-24九上·陕西渭南潼关县·期末)如图，为的弦，连接、，，请用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 地 城 考点04 圆周角 1．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图，是的直径，点，，都在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，为的直径，为的中点，，连接和，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)如图，，为的直径，与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·北京海淀区·期末)如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图，是的内接三角形，若，，则 ． 6．(24-25九上·陕西渭南合阳县·期末)如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是 ． 7．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，在矩形中，点P在线段上，请利用无刻度的直尺和圆规画出点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹，画出一个点即可）    8．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如图的半径为，扇形的圆心角为，求阴影部分的面积．（结果保留） 9．(24-25九上·陕西渭南合阳县·期末)如图，已知的一条弦和该圆上的一点C，连接，．请用尺规作图法在上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 10．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)问题提出 (1)如图1，在等边三角形中，已知，则边上的高为 ； 问题探究 (2)如图2，在中，已知，，半径为1，为上一动点，为线段上一动点．求的最小值； 问题解决 (3)如图3，某游乐园中有一块菱形场地，现要在菱形空地内确定一点，在点处立一根电杆，以便工作人员拉设四根装饰用的彩色灯带，，和，已知是边的中点，边有一条用来供电的电线，电线长度足够，可视为一条直线，为直线上任意一点，随着点和点位置的移动，，，和四条彩色灯带的长度也随之变化，为了更好保证最佳的观赏效果，要求，且．已知荾形场地中，，米，请问灯带的长度是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 11．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)问题提出 （1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值； 问题解决 （2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 12．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)问题提出： （1）如图，在中，，，，求外接圆的半径； 问题解决 （2）如图，某园林规划局计划在一片空地上，开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．其中四边形为平行四边形，连接，平分交于点，，．为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该园林规划局的想法能否实现？若能，请求出四边形的周长最小值；若不能，请说明理由． 13．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)如图，是的直径，是的弦，过点作于点，与的切线交于点，连接，，． (1)求证：是的切线． (2)连接，．若，，的半径为6，求的长． 14．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，是的直径，C、D为上的两点；过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接， (1)求证：； (2)连接交于点，若，求的半径． 15．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，是的直径，直线与相切于点C，延长，交直线于点P，作，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 地 城 考点05 确定圆的条件 1．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．(24-25九上·陕西西安高新区·期末)如图，中，，动点M、N在斜边上，，求的最小值 ． 3．(24-25九上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·期末)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 4．(24-25九上·甘肃张掖肃南县康乐明德学校·期末)如图，在中，，请利用尺规作图法作出的外接圆．（保留痕迹，不写作法） 5．(2025九下·陕西省咸阳市·期中)如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 6．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，已知线段，请用尺规作图法，以线段为直径求作． 7．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，请你用尺规作图的方法找出该残片的圆心，并将它还原成一个圆．（保留作图痕迹，不写作法） 8．(24-25九上·陕西延安延长县初级中学·期末)如图，在中，点是边上一点，连接，请在边上找一点，作使得该圆经过B、D两点．（保留作图痕迹，不写作法） 地 城 考点06 点、直线与圆的位置关系 1．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图1，这是陕西宝鸡团结大桥上的“日月同辉”造型，图2是它的示意图，其中小圆和桥面直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．相切 C．相离 D．垂直 2．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)已知四边形内接于，且，则的度数为 ． 3．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)如图，菱形的边长是4，，是对角线的中点，以为直径作、是上的点，连接，若是的切线，则线段的长为 ． 4．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)【问题初探】（1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______； 【应用拓展】（2）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形，经测量，．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃在边上．为保证整体设计美观实用，要求，且满足．为了给学生提供休息区域，计划在边上建造凉亭和两条小路及．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭到点的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 5．(24-25九上·陕西渭南合阳县·期末)如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 6．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，在中，，为上一点，以为直径的交边于点，连接，，且平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 7．(23-24九上·陕西延安富县·期末)如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为． (1)求证：． (2)求证：是的切线． 8．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图，是的内接圆，是的直径，过圆周上一点作，交的延长线于点，是的切线，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 9．(23-24九上·陕西渭南白水县·期末)【问题背景】定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形． 例如：如图1，，，是公共边，则与是邻等三角形． (1)【探究发现】如图2，四边形是的内接四边形，点是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由． (2)【拓展探究】以点为圆心，为半径的交轴于点，交轴于点，是的内接三角形，． ①如图3，求的度数和的长； ②如图4，点为上一点（点不与点和点重合），连接，，若，判断与是否为邻等三角形（如果是请写出证明过程，如果不是请说明理由），并求点A到线段的距离． 10．(23-24九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，四边形是的内接四边形，为直径，点为弧的中点，延长交于点，为的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 地 城 考点07 切线长定理 1如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 2．(23-24九上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)为了测量一个光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出．这张光盘的半径是 cm． 3．(23-24九上·广东江门开平·期末)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，F是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段的中点，连接，．则线段的最大值是 ． 4．(22-23九上·陕西延安富县·期末)如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F． (1)求的半径． (2)若Q是的外心，连接，求的长度． 5．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 6．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    地 城 考点08 正多边形与圆 1．(24-25九上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·期末)下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(22-23九上·陕西西安鄠邑区·期末)正六边形的中心角为（　　） A． B． C． D． 3．(23-24九上·陕西渭南白水县·期末)如图，若一个正六边形的对角线的长为，则正六边形外接圆的半径为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 4．(23-24九上·陕西延安富县·期末)如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的半径是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 5．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)若一个圆内接正多边形的边心距是边长的一半，则这个正多边形的中心角的度数是 ． 6．(24-25九上·陕西渭南大荔县·期中)中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图是年巴黎奥运会上的一面金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图所示，已知该正六边形的周长约为，则该正六边形的外接圆半径长为 ．    7．(24-25九上·陕西渭南大荔县·期末)2024年第十四届全国冬季运动会开幕式上，演员们进行各种精彩表演，展示了冬季运动会的魅力和冰雪文化的独特韵味．如图是一个正六边形雪花状饰品，若该正六边形的边长为，则它的边心距为 ． 8．(24-25九上·陕西商洛·)若圆的直径为6，则该圆的内接正六边形的半径为 ． 9．(24-25九上·陕西延安延长县初级中学·期末)2024年第十四届全国冬季运动会开幕式上，演员们进行各种精彩表演，展示了冬季运动会的魅力和冰雪文化的独特韵味．如图是一个正六边形雪花状饰品，若该正六边形的边长为，则它的边心距为 ． 10．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 11．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，在四边形中，已知，分别以点，，为圆心，以长为半径作圆，求阴影部分的面积之和． 12．(24-25九上·陕西渭南韩城·期末)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的，点、分别与点、对应； (2)在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留） 地 城 考点09 弧长和扇形面积 1．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)已知圆锥的侧面积为，母线长是，则这个圆锥的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ）    A． B． C． D． 3．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)如图，将一个圆心角为，半径为18的扇形围成圆锥，则该圆锥的底面直径为（    ） A．9 B．18 C．15 D．12 4．(24-25九上·陕西西安阎良区·期末)圆心角是，半径为的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·陕西商洛·)如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，则点C在旋转过程中的旋转路径劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·陕西西安碑林区西安工业大学附属中学·期末)甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 7．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是 ． 8．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)设计者给出了蒙古包的三视图（图中尺寸单位：），现在想用毛毡搭建一个这样的蒙古包，至少需要 平方米的毛毡（取）． 9．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留） 10．(24-25九上·陕西渭南大荔县·期末)如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 11．(24-25九上·陕西宝鸡陇县·期末)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面直径为，整个高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（结果保留）？ 12．(24-25九上·陕西商洛·)如图，为的弦，于点C，连接，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）    13．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)如图，在扇形中，半径，圆心角，求的长度．（结果保留π） 14．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是,,． (1)画出绕点C顺时针方向旋转后得到的，点D、E分别与点A、B对应； (2)在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留π） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆 9大高频考点概览 考点01 圆的相关概念 考点02 垂径定理及其应用 考点03弦、弧、圆心角的关系 考点04 圆周角 考点05 确定圆的条件 考点06 点、直线与圆的位置关系 考点07 切线长定理 考点08 正多边形与圆 考点09 弧长和扇形面积 地 城 考点01 垂径定理及其应用 1．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．据此解答即可． 【详解】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内， ∴，即． 故选：C． 2．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解题的关键．求出各点到圆心的距离，再与半径比较大小即可得到答案． 【详解】解：A. 到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故该选项不符合题意； B. 到圆心的距离为,，点在圆内，故该选项不符合题意； C. 到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故该选项不符合题意； D. 到圆心的距离为，，点在圆外，故该选项符合题意； 故选：D ． 3．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点，可得 ，由为的中位线，得，那么当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，可得为等腰直角三角形，则，，在中，，由于，即可求解最小值． 【详解】解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧， ∵等腰，点为中点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，圆的定义，解直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系求最值等，难度较大，解题的关键在与确定点M的轨迹． 4．(24-25九上·陕西西安曲江第一中学·期末)为的直径，点、在上，若， ． 【答案】/104度 【分析】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据圆的概念、等边对等角可得，，根据三角形内角和定理可得，，根据角的和差关系可求出，然后根据求出的度数即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)已知的半径为3，点A在外，则 3．（填“”“<”或“”） 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若的半径为，点在外；点在上；点在内．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径，即可． 【详解】解：∵的半径为3，点A在外， ∴， 故答案为：． 6．(23-24九上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)如图，在正方形中，，以的中点O为圆心，1为半径作半圆交边于E、F，动点P在半圆上，若且，则当最小时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点距离的最值，解题的关键是确定点的运动轨迹．连接，过点作，交于点，证明，求出的长，得到，连接，证明，得到点在以为圆心，为半径的圆上，进而得到当三点共线时，的值最小，进一步求出的面积即可． 【详解】解：连接，过点作，交于点，则， ∵正方形，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵动点P在半圆上， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∵点在上，， ∴， ∴的最小值为， 此时的面积为：； 故答案为：． 7．(23-24九上·陕西渭南韩城·期末)如图，点E是边长为6的正方形的边上一动点，F是以为直径的半圆上的一动点，连接，则的最小值是 .    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质．延长到点G，使得，设半圆的圆心为点O，连接交于点M，交半圆于点N，则的最小值是，根据用勾股定理计算即可． 【详解】解：延长到点G，使得，设半圆的圆心为点O，连接交于点M，交半圆于点N， ∵E是边长为6的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点， ∴，， 过点O作于H，    ∵边长为6的正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 当点F与点N重合，点E与点M重合时，最小，最小值是， 且． 故答案为：． 8．(24-25九上·陕西渭南合阳县·期末)【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值．    【答案】（1） （2）长度的最小值为 （3）小道的最小值为米 【分析】（1）利用三角形三边关系，结合圆的性质可完成证明； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上取，连接，，可见，，即是的最小值，再根据勾股定理求出的长，然后减掉半径即可； （3）根据等边三角形的性质得到，求得，设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，得到点在上，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，， ， 故答案为：； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上任取，连接，，可见，，即是的最小值．    在中，，，， ， ， ． 即长度的最小值为； （3）是等边三角形， ， ， ， ， 设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，   ，， 垂直平分， 点在上，， ， 米， 米， ∴， ∵（米）， （米）， 答：小道的最小值为米． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的点的最短距离、正方形的性质、勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆外一点到圆上的点的最短距离和勾股定理是解题的关键． 地 城 考点02 垂径定理及其应用 1．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)紫砂壶（图①）是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，它的作用是确保壶嘴、壶把和壶口中心在一条直线上．如图②是从上面看到的形状示意图，为紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线，根据垂径定理构造出直角三角形是解决问题的关键． 根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理即可求出r． 【详解】解：∵直线l过点O，且于点D，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴这个紫砂壶的壶口半径r的值为． 故选：A． 2．(23-24九上·陕西西安阎良区·期末)如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图2，某桨轮船的轮子（可看作圆）被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度（半径于点D）为，则该桨轮船的轮子直径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径． 【详解】 解：依题意，得，， 如图，连接，设轮子的直径为 ，则其半径为．    则在中，， ， 解得， 所以该桨轮船的轮子直径为． 故选：D． 3．(23-24九上·陕西西安高新二中·期末)如图所示“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺尺寸，问径几何？”依题意，圆材半径为（  ）    A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据垂径定理得，，再根据勾股定理列式代数计算，即可作答． 【详解】解：连接． 设圆的半径是寸，在直角中，，，   ， 则， 解得：． 则圆材半径为寸． 故选B． 4．(23-24九上·陕西西安碑林区第二十六中学·期末)陕西某中学的大门口有一排大理石球，小明想测量该球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（如图所示），他量出两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答．如图，作辅助线；首先根据题意求出线段、的长度；设圆的半径为r，运用勾股定理列出关于r的方程，求出r，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点D； 则， 设的半径为r，则， 在直角中，， 由勾股定理得： 解得：． 故选：C． 5．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦的长为，截面圆的半径为，则瓶内液体的最大深度 ． 【答案】6 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，设，根据垂径定理求得，用含a的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于a的方程并求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵截面圆的半径为， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：6． 6．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，， 在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为：． 7．(24-25九上·陕西渭南韩城·期末)丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【答案】该圆形工件的半径． 【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 8．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径． 【答案】该圆弧所在圆的半径为5米 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，正确理解题意，通过勾股定理建立方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为米，则米．在中，由勾股定理得：，代入解方程即可． 【详解】解：∵经过圆心，为弧中点， ∴， 设的半径为米，则米． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． 即该圆弧所在圆的半径为5米． 9．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)如图①，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方）． 【问题提出】 （1）直接写出B、C两点的坐标； 【问题探究】 （2）如图②，将绕点P旋转得到，试说明四边形的形状，并求出点M的坐标； 【问题解决】 （3）在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A，B，M，C一开始均在如图③所示的上，其中是的直径，四边形是矩形．表演开始后，机器人B先从点B出发，沿直线与直线之间的某个直线方向运动到上的点E处，然后立即调整方向，沿垂直的方向运动到上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到的中点Q处，再沿方向运动到点G处和机器人B汇合．请你通过计算分析，机器人M的两次运动路线形成的的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）点B坐标点C坐标为（2）点M坐标为；（3）是定值，的大小为定值． 【分析】（1）根据垂径定理得出，然后结合由勾股定理求出的长度，再根据分别求出和，即可求出B、C两点的坐标． （2）根据旋转的性质推出和，进而判定四边形的四个内角都是直角，确定其形状为矩形．通过A、M、P三点向右平移一个单位长度，使点A与坐标原点重合，再由关于原点中心对称的两点坐标关系求出点M的坐标． （3）通过直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得出．进而得出和，然后根据外角的性质推出，再由，求出的大小，即可求得的大小为定值． 【详解】解：（1）连接， ∵是的直径， ， 在中，，则， ， ， ∴点坐标，点坐标为． （2）根据旋转的性质，和两边旋转后得到和． ∴，， ∴四边形的四个内角都是直角，形状为矩形． 根据题意点A和M关于点P中心对称．假设点A、M、P三点向右平移一个单位长度，点A就与坐标原点O重合． 根据中心对称的性质， ∴点坐标为 （3）∵在和中，点Q为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， 故的大小为定值。 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，垂径定理，特殊角的三角函数，旋转和中心对称的性质等知识点．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求推出是解答本题的关键． 10．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：是的中点， ， ． 设， ，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 11．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)如图，在等腰直角中，是线段上一个动点，连结，以为斜边构造等腰直角为的中点，连结． (1)【特值尝试】若，则___________，___________； (2)设的面积为． 【周密思考】①求关于的函数表达式． 【问题解决】②记关于直线的对称点为，当在的外接圆上时，求此时的面积． 【答案】(1)，； (2)关于的函数表达式为，此时的面积为． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）画出符合题意的图形，利用直角三角形的斜边上的中线的性质和相似三角形的性质得到,过点作于点,过点作,交的延长线于点,利用全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质求得,,再利用三角形的面积公式解答即可得出结论：由知：,则点为的外接圆的圆心，利用求临界值的方法求得当点关于直线的对称点为在的外接圆上时的值，连接交于点,则垂直平分,即,利用轴对称的性质，直角三角形的边角关系定理解答求得值，代入式即可. 【详解】（1）解：，，为等腰直角三角形， ，， ， 为的中点， ， ， 为等腰直角三角形，, , , ， 为等腰直角三角形，, ,， ， , , 为的中点， , ， , ， ,,， , , 故答案为：，； （2）解：由（1）知， , ， 如图，过点作于点,过点作,交的延长线于点, , ， , , ， 在和中, , , ，, ， 四边形为矩形, , ， ， 是线段上一个动点，， 时， 关于的函数表达式为， 由知：, 点为的外接圆的圆心， 当点关于直线的对称点为在的外接圆上时，如图， ， 连接交于点,则垂直平分,即, , , ， ， , , ， 或， 或， 由知，， ， , 此时的面积为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识点，添加活当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．(24-25九上·陕西宝鸡陇县·期末)破残的轮片上，圆弧所对的弦长，高为（如图）求原轮片的直径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，设原轮片的半径为，则，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由垂径定理可得：， 设原轮片的半径为，则，， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴原轮片的直径为． 13．(24-25九上·陕西西安阎良区·期末)在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得所对的弦长为．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接，测得．求这个盏口半径的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盏口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盏口半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盏口半径OB的长为． 14．(24-25九上·陕西商洛·)如图，内接于，为的直径，请用尺规作图法在下方的圆上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此考查了垂直平分线的作图和垂径定理．作直径的垂直平分线交在下方的部分于点D即可． 【详解】解：如图所示，点D即为所求， 15．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)如图，已知是的弦，用尺规作图法在上找一点C，连接，使得面积最大．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．过点O作在的上方交于点C，连接即可，此时边上的高最大，则面积最大． 【详解】解：如图，即为所求． 地 城 考点03 弦、弧、圆心角的关系 1．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)如图，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，掌握在同圆中等弧对等圆心角是解题的关键．由可得，再结合图形和即可解答． 【详解】解：， ， 又，， ， 解得：． 故选：B． 2．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据在同圆或等圆中，弧，弦，角之间任意一组量相等，另外两组也相等，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：C． 3．(23-24九上·陕西渭南澄城县·期末)如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．(24-25九上·陕西渭南韩城·期末)如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧与圆心角的关系，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时． 连接，，结合题意得，再求出当，，共线时，的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ，， ， ∵E为的中点， ， ， ， 当，，共线时，的值最小，如图， 此时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，则， 故答案为：． 5．(23-24九上·陕西渭南潼关县·期末)如图，为的弦，连接、，，请用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析．（答案不唯一） 【分析】此题考查了尺规作图，以点为圆心，弦为半径画弧，交于点即可得到，解题的关键是熟练掌握尺规作图的有关作法及弧、弦和圆心角的关系． 【详解】以点为圆心，弦为半径画弧，交于点， 如图， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 地 城 考点04 圆周角 1．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图，是的直径，点，，都在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理分别求出，，即可求的度数，然后通过圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 2．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，为的直径，为的中点，，连接和，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由为的直径，为的中点，得出，然后根据，得出，，最后结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)如图，，为的直径，与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 与相切于点， ， ， 故选：B． 4．(23-24九上·北京海淀区·期末)如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 5．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图，是的内接三角形，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·陕西渭南合阳县·期末)如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是 ． 【答案】2 【分析】过点B作于点H，作射线，由，可得点B，E，H，D四点共圆，由圆周角定理得出，可得点E在的角平分线上运动，由垂线段最短，可知当时，的长度有最小值，由此可解． 【详解】解：如图，过点B作于点H，作射线， 是等腰直角三角形， ，， 是等边三角形，边长为，， ， ， 点B，E，H，D四点共圆， ， ， 点E在的角平分线上运动， 当时，的长度有最小值，此时是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是找出点E的运动轨迹． 7．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，在矩形中，点P在线段上，请利用无刻度的直尺和圆规画出点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹，画出一个点即可）    【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意． 结合圆周角定义，作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点，则点均满足题意． 【详解】解：如图，点即为所求： 如图，作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点，则点均满足题意． 8．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如图的半径为，扇形的圆心角为，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，，由度的圆周角所对的弦是直径可得为的直径，则圆心在直径上，设的半径为，扇形的半径为，则，，由三线合一可得，则，在中，根据勾股定理可得，即，然后根据即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，， 扇形的圆心角为，即， 为的直径， 圆心在直径上， 设的半径为，扇形的半径为， 则，， ，， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 阴影部分的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，求扇形面积，勾股定理，度的圆周角所对的弦是直径，三线合一等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形并利用勾股定理求出扇形的半径是解题的关键． 9．(24-25九上·陕西渭南合阳县·期末)如图，已知的一条弦和该圆上的一点C，连接，．请用尺规作图法在上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，解题关键是理解题意，正确作出图形．在的上方，以C为圆心，为半径作弧交于点D，连接，，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 10．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)问题提出 (1)如图1，在等边三角形中，已知，则边上的高为 ； 问题探究 (2)如图2，在中，已知，，半径为1，为上一动点，为线段上一动点．求的最小值； 问题解决 (3)如图3，某游乐园中有一块菱形场地，现要在菱形空地内确定一点，在点处立一根电杆，以便工作人员拉设四根装饰用的彩色灯带，，和，已知是边的中点，边有一条用来供电的电线，电线长度足够，可视为一条直线，为直线上任意一点，随着点和点位置的移动，，，和四条彩色灯带的长度也随之变化，为了更好保证最佳的观赏效果，要求，且．已知荾形场地中，，米，请问灯带的长度是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值为3 (3)存在，的最小值为 【分析】（1）过A作交于点H，根据等边三角形的性质可求出，，进而可求出； （2）过O作交于点M，交于点N，根据圆与位置的关系，可知即为的最小值，再结合勾股定理即可求得答案； （3）根据直径所对的圆周角是直角可得出点F在以为直径的圆上，从而得出为定值4，由勾股定理可得出最小时，可取最小值，再根据菱形的性质、等边三角形的性质与判定，可得即为的最小值，以为直径做圆，交于点，，再根据切线的性质，当，且皆与相切，有最小值，再结合点F在菱形内，即为的最小值，最后再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，过A作交于点H， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过O作交于点M，交于点N， 此时即为的最小值， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴的最小值为3； （3）∵， ∴点F在以为直径的圆上， ∵E为中点， ∴以E为圆心，为半径，作， ∵， ∴为的切线，连接，在中，为半径， ∴， 在中， ∵为定值4， ∴当最小时，由勾股定理可得，可取最小值， ∵四边形为菱形，且， ∴连接， ，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 已知点P为直线上一动点，而E为边中点， 此时即为的最小值， 在中， ， 但题中要求，若F点位于线段上，则不符合要求， 再以为直径做圆，交于点，， 此时，且皆与相切，为的最小值， ∵点F在菱形内， 连接，得， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，含的直角三角形，菱形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，点与圆上一点的最值问题，切线的性质，直径所对的圆周角是直角等知识点， 熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)问题提出 （1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值； 问题解决 （2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 【答案】（1）；（2）当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． 【分析】（1）连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，由此进行计算即可得出答案； （2）连接，设相交于点，由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小，由等边三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，结合为的中点，得出从而得到四边形是菱形，求出，，，，最后根据进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，面积最大， ， ∵的面积为， ∴的半径为， ∵，， ， ， ， ∴面积的最大值为； （2）如图2，连接，设相交于点， 由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小， 是等边三角形， ，， 由题意可知，是的直径， ， ， 为的中点， ， ， 四边形是菱形， 在中，，， ， ， ∴阴影部分面积最小值为 故当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． 【点睛】本题考查圆的综合运用，菱形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 12．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)问题提出： （1）如图，在中，，，，求外接圆的半径； 问题解决 （2）如图，某园林规划局计划在一片空地上，开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．其中四边形为平行四边形，连接，平分交于点，，．为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该园林规划局的想法能否实现？若能，请求出四边形的周长最小值；若不能，请说明理由． 【答案】（）外接圆的半径；（）平行四边形的周长的最小值为． 【分析】（）取的中点，连接，以为圆心，为半径，作，根据直角三角形斜边上的中线可得是的外接圆，再由勾股定理求出的长即可求解； （）过点作于，于，在上截取，连接根据，可求出，，进而得平行四边形的周长，再由得，则平行四边形的周长，因此要使平行四边形的周长最小，只需为最小即可，证和全等得，再由，得，作的外接圆, 圆心为，连接，，，过点作于，则，，进而得，，设，则，，，由此得要使为最小，只需为最小即可，然后根据，得，则最小值为，继而得的最小值为，据此可得平行四边形的周长的最小值． 【详解】解：（）如图，取的中点，连接，以为圆心，为半径，作， ∵， ∴为， ∴， ∴是外接圆， 由勾股定理得：， ∴外接圆的半径； （）过点作于，于，在上截取，连接，如图所示， ∵，平分， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长， ∴要使平行四边形的周长为最小，只需为最小即可， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中，， ，， ∴， ∴， ∴， 即， 作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，如图所示， ∴，， ∴ ，， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故得要使为最小，只需为最小即可， ∵， ∴， 解得：， 即当点，，在同一条直线上时，为最小，最小值为， 此时的最小值为，平行四边形的周长的最小值为． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形的外接圆，圆周角与圆心角的关系，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解平行四边形的性质，三角形的外接圆，熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 13．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)如图，是的直径，是的弦，过点作于点，与的切线交于点，连接，，． (1)求证：是的切线． (2)连接，．若，，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理以及解直角三角形等知识点，解题的关键是利用全等三角形证明角的关系来判定切线，以及通过圆周角定理求出相关角度进而求解线段长度． （1）通过证明得到角相等，从而证明，以此判定是圆的切线． （2）先根据圆周角定理求出的度数，再利用直角三角形的性质求出的长． 【详解】（1）证明：为的切线，是的半径， ， ． ，， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2），， ， ． 同理，可得， ， ． 在中，． 设，则． 由勾股定理，得， （负值已舍去）， ． 14．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，是的直径，C、D为上的两点；过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接， (1)求证：； (2)连接交于点，若，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径为 【分析】连接,根据“同圆的半径相等”得,根据“等边对等角”得,根据“一条弧所对的圆周角等干它所对的圆心角的一半”得,从而由已知可得,根据“内错角相等，两直线平行”得出证明； 连接、,根据“直径所对的圆周角是直角”、“切线垂直于过切点的半径”和“同角的余角相等”可得：,根据“两角对应相等的三角形相似”证明,可得：,设的半径为,则、,根据“平行于三角形的一边的直线，截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似”可得,从而得到,过点作于点,由垂径定理得,在中，由勾股定理得,由可得,从而得到关于的方程，求出即可得解． 【详解】（1）证明：连接,如图, , ，, 为的外角， ， , , ； （2）解：连接、,如图， 是的直径， , 是的切线，是的直径， , , , , , , ， , , , 设的半径为,则,, ， , , , , 过点作于点,如上图， ,, 在中，由勾股定理，得， 由,得, ,整理，得, 解得：或(负值不合题意，舍去), 的半径为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确作出辅助线是解决此题的关键． 15．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，是的直径，直线与相切于点C，延长，交直线于点P，作，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，三角函数综合等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，由切线的性质得，而，所以，则，所以，则平分； （2）连接，由，得，则，再证明，，则，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ∵直线与相切于点，点，点都在直线上， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， ， ， ， ，是的直径，， ， ， ， ， ， 的长为． 地 城 考点05 确定圆的条件 1．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 2．(24-25九上·陕西西安高新区·期末)如图，中，，动点M、N在斜边上，，求的最小值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，根据，在上方以为斜边作等腰，根据等腰直角三角形边之间的关系可得的取值范围，再利用当且仅当点C、Q、P共线，且与重合时，最小可得答案． 【详解】解：如图①， ∵，在上方以为斜边作等腰， 以为半径作的外接，连接， 取的中点为P，的中点为Q，连接， 设的半径为r， 在中，， 在中，， ∴，，， ∵， ∴； 如图②， 当且仅当点C、Q、P共线，且与重合时， ，此时r最小， 解得， ，即的最小值为， 故答案为：． 3．(24-25九上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·期末)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆作法等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形外接圆的作法，作任意两边垂直平分线得出圆心，连接，再以的长度为半径，画圆，进而得出外接圆． 【详解】解：如图所示，即为所求； 4．(24-25九上·甘肃张掖肃南县康乐明德学校·期末)如图，在中，，请利用尺规作图法作出的外接圆．（保留痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形外接圆的性质，其外接圆的圆心是斜边的中点，半径是斜边的一半，所以通过作斜边的垂直平分线确定圆心，再以圆心到顶点的距离为半径作圆．本题主要考查了直角三角形外接圆的尺规作图，熟练掌握直角三角形外接圆的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求作的图形， ∵在中，， ∴为外接圆的直径． ∵作的垂直平分线，交于点， ∴点为中点，即外接圆的圆心． ∵以为圆心，为半径作圆， ∴即为的外接圆． 5．(2025九下·陕西省咸阳市·期中)如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、用尺规作图作已知线段的垂直平分线，利用尺规作图分别作的边和的垂直平分线，两直线交于点，点即为外接圆的圆心，以点为圆心，为半径画即为所求． 【详解】解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 分别以、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 直线和直线相交于点， 以点为圆心，为半径画， 即为所求． 6．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，已知线段，请用尺规作图法，以线段为直径求作． 【答案】答案见详解 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 即为所求， 7．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，请你用尺规作图的方法找出该残片的圆心，并将它还原成一个圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握垂径定理是解题关键． 由垂径定理知，直径是弦的中垂线，不同的直径的交点是圆心，故作两弦垂直平分线，其交点就是圆心 【详解】解：在圆弧作两条弦， ，分别作出，的中垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径，如图，即为所求． 8．(24-25九上·陕西延安延长县初级中学·期末)如图，在中，点是边上一点，连接，请在边上找一点，作使得该圆经过B、D两点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】题目主要考查圆心的确定的作法，根据题意，作出线段的垂直平分线交于点O即可确定圆心． 【详解】解：如图所示，点O即为所求． 地 城 考点06 点、直线与圆的位置关系 1．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图1，这是陕西宝鸡团结大桥上的“日月同辉”造型，图2是它的示意图，其中小圆和桥面直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．相切 C．相离 D．垂直 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的交点个数即可得到结论． 【详解】解：由图可得，直线与小圆有1个交点， ∴小圆和桥面直线的位置关系是相切， 故选：B． 2．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)已知四边形内接于，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．已知四边形内接于圆，得到，已知，，即可求得的度数． 【详解】∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 3．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)如图，菱形的边长是4，，是对角线的中点，以为直径作、是上的点，连接，若是的切线，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与菱形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形判定和性质，圆切线性质，勾股定理，是解题的关键． 根据菱形性质和得是等边三角形，得，根据直径和中点性质，得，，根据切线性质和勾股定理可得． 【详解】解：连接， ∵菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)【问题初探】（1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______； 【应用拓展】（2）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形，经测量，．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃在边上．为保证整体设计美观实用，要求，且满足．为了给学生提供休息区域，计划在边上建造凉亭和两条小路及．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭到点的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）；（2）存在，最小值为， 【分析】（1）作点A关于的对称点，连接，，，当共线时，有最小值，最小值为的长，根据对称点的性质结合勾股定理即可得解； （2）延长交于点，则，可求，，过点D作对称点为，连接，则，，，作的外接圆，记为，连接，过点O作于点H，由于，则当点三点共线时，取等，由于，则当点三点共线时，取等，故当点共线时，取得最小值，为，可求，，过点作于，过作于点，，，，则，，故在中，由勾股定理求得，即可求解最值；延长交于点，由，得到，则，继而求解． 【详解】解：（1）作点A关于的对称点，连接，，， 根据对称可知：，，， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴，， 根据对称可知：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）存在最小值，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点D作对称点为，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴作的外接圆，记为，连接，过点O作于点H，如图： ∵， ∴当点三点共线时，取等， ∵， ∴当点三点共线时，取等， ∴当点共线时，取得最小值，为，如图： ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 过点作于，过作于点， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴最小值为：． 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 则由勾股定理得， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理，解直角三角形，角直角三角形的性质，矩形的判定与性质，难度较大，综合性很强，关于最值问题涉及“将军饮马”和“定弦定角”． 5．(24-25九上·陕西渭南合阳县·期末)如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，，则，求得，所以的半径长为3． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 6．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，在中，，为上一点，以为直径的交边于点，连接，，且平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据平分，可知，根据等边对等角可证，等量代换可得，从而可证，根据平行线的性质可证，从而可证结论成立； （2）根据可证，根据相似三角形的性质可得，设的半径为，则，，可得关于的方程，解方程即可求出的半径． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 平分， . 又， ， ， ， ， 又， ， 即， 为切线； （2）解：， ， ， 设的半径为，则，， ， 整理方程为， 解得：，（舍去）， 的半径为． 7．(23-24九上·陕西延安富县·期末)如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为． (1)求证：． (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、圆的切线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆内接四边形的性质得出，由等边对等角得出，再根据三角形外角的定义及性质得出，即可得证； （2）由圆内接四边形的性质得出，由（1）可知，从而得到，从而得出，推出，由平行线的性质可得，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线． 8．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图，是的内接圆，是的直径，过圆周上一点作，交的延长线于点，是的切线，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，弧与弦之间的关系： （1）连接，根据切线的性质和垂线的定义可证明，则，再由等边对等角可得，则； （2）先解直角三角形得到，再证明，则可解，得到；再由，得到，则可解得到，即的半径为6． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在中，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴； ∵， ∴， ∴中，， ∴， ∴的半径为6． 9．(23-24九上·陕西渭南白水县·期末)【问题背景】定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形． 例如：如图1，，，是公共边，则与是邻等三角形． (1)【探究发现】如图2，四边形是的内接四边形，点是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由． (2)【拓展探究】以点为圆心，为半径的交轴于点，交轴于点，是的内接三角形，． ①如图3，求的度数和的长； ②如图4，点为上一点（点不与点和点重合），连接，，若，判断与是否为邻等三角形（如果是请写出证明过程，如果不是请说明理由），并求点A到线段的距离． 【答案】(1)与是邻等三角形，理由理由见解析 (2)①，②点A到线段的距离为 【分析】（1）根据点D是的中点，，又，符合邻等三角形的定义； （2）①作，连接，作，在中，，，进而求得,在中， ，根据即可求解；②先证，再证，即可证出结论；作轴，垂足为点F，先求出所在直线与x轴间的距离是，再求出结论即可． 【详解】（1）解：与是邻等三角形，理由如下： ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴与是邻等三角形； （2）①如图2，作，连接， ∵， ∴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， 作，在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②与是邻等三角形，理由如下： 由①知，， ， 四点都在上，即四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， 为公共边， 与是邻等三角形； 作轴，垂足为点F， ， 轴， 在中，，， ，即所在直线与x轴间的距离是， 由①知，点A到x轴距离， 点A到线段的距离为． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合，考查圆周角定理、圆内接四边形性质及勾股定理，解直角三角形，等知识，牢记相关性质是解题的关键． 10．(23-24九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，四边形是的内接四边形，为直径，点为弧的中点，延长交于点，为的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由“直径所对的圆周角等于”和圆周角定理可得，，由此得，又由切线的性质可得，由此可得，因此． （2）先根据“两角对应相等，两三角形相似”证明，由此可得， 设，，代入比例式整理可得，又由，得 ，求出y的值，即可知x的值，即的长，由可得，即可知的长． 【详解】（1）∵为的直径， ． ， ， ． ∵为的切线， ， ， ． （2）∵， ． 又， ． 又， ， ． 设，， 则， 得． ， ， ， 即， ， ， ， 解得（舍去），， ， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的相关知识，“直径所对的圆周角等于”、圆周角定理、切线的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识并能够综合运用是解题的关键． 地 城 考点07 切线长定理 1如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/13度 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线的性质，掌握切线长定理的含义是解本题的关键；先求解，再结合切线的性质可得答案． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(23-24九上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)为了测量一个光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出．这张光盘的半径是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，特殊角的三角函数值，设光盘的圆心为点D，斜边与圆的切点为C，连接，根据题意，，，，计算即可． 【详解】如图，设光盘的圆心为点D，斜边与圆的切点为C，连接，， 根据题意，，， 故， 解得． 故答案为：． 3．(23-24九上·广东江门开平·期末)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，F是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段的中点，连接，．则线段的最大值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理，并根据点与圆的位置关系确定当BF为最大时点F的位置是解决问题的关键. 先求出点点，则，由此可证为的中位线，则，要使为最大，只需为最大即可，连接，的延长线交于点，根据点于圆的位置关系可知：点与上各点距离中，为最大，即当点与点重合时，为最大，最大值为然后在中由勾股定理求出 进而得，据此可得的最大值. 【详解】对于 当时, 得: 解得： ， ∴点，点， ， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ， 要使为最大，只需为最大即可，连接，的延长线交于点，如图所示: 根据点于圆的位置关系可知：点与上各点距离中，为最大， 即当点与点重合时，为最大，最大值为， ∵点， ， 在 中，由勾股定理得：， ∵的半径为， ， ， ∴的最大值为. 故答案为: ． 4．(22-23九上·陕西延安富县·期末)如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F． (1)求的半径． (2)若Q是的外心，连接，求的长度． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面积公式，即可求解； （2）证明四边形为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r． ∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，． 在中，，，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴的半径为1； （2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，．，，． ∴四边形为正方形， ∵， ∴四边形为正方形，   ∴， ∴． ∵Q是的外心， ∴， ∴． 在中，，即， 解得（负值舍去）． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 5．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，由正六边形的性质可得是等边三角形，即得，由切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴． 6．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    【答案】这个正六边形的周长为． 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长． 【详解】解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为．    地 城 考点08 正多边形与圆 1．(24-25九上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·期末)下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形与圆，圆的认识，正确记忆相关知识点是解题关键．根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是弦，故①正确， 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是弧的一种特殊情况，但弧不一定是半圆，故②错误， 当平面上的三点在同一条直线上时，不能确定一个圆，只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故③错误， 根据圆内接正多边形中心角公式：(n为边数)，可知圆的内接正六边形的中心角为，故④正确， 正确的个数为， 故选：． 2．(22-23九上·陕西西安鄠邑区·期末)正六边形的中心角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：正六边形的中心角是：． 故选：A． 3．(23-24九上·陕西渭南白水县·期末)如图，若一个正六边形的对角线的长为，则正六边形外接圆的半径为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外接圆，准确知道外接圆的圆心的位置是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，正六边形的外接圆的圆心为正六边形的中心，即线段的中点，故半径为． 故选：． 4．(23-24九上·陕西延安富县·期末)如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的半径是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆的相关计算，连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长为6． 【详解】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的半径为6， 故答案为：6． 5．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)若一个圆内接正多边形的边心距是边长的一半，则这个正多边形的中心角的度数是 ． 【答案】90 【分析】本题考查了圆与正多边形的相关概念，熟练掌握边心距的概念是解题的关键．由题意得，，，根据三线合一得到，那么，继而均为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴这个正多边形的中心角的度数是， 故答案为：90． 6．(24-25九上·陕西渭南大荔县·期中)中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图是年巴黎奥运会上的一面金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图所示，已知该正六边形的周长约为，则该正六边形的外接圆半径长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，    ∵为正六边形, ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：． 7．(24-25九上·陕西渭南大荔县·期末)2024年第十四届全国冬季运动会开幕式上，演员们进行各种精彩表演，展示了冬季运动会的魅力和冰雪文化的独特韵味．如图是一个正六边形雪花状饰品，若该正六边形的边长为，则它的边心距为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆、特殊角的三角函数值．根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可． 【详解】解：如图所示，连接，，过O作于G， ∵此多边形是正六边形， ∴是等边三角形， ， ∴边心距， 故答案为：． 8．(24-25九上·陕西商洛·)若圆的直径为6，则该圆的内接正六边形的半径为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，熟练掌握正多边形和圆的相关知识是解题的关键． 在圆的内接正六边形中，连接、，根据圆的直径即可直接得出答案． 【详解】解：如图，在圆的内接正六边形中，连接、， ∵圆的直径为6， ∴， ∴该圆的内接正六边形的半径为， 故答案为：3． 9．(24-25九上·陕西延安延长县初级中学·期末)2024年第十四届全国冬季运动会开幕式上，演员们进行各种精彩表演，展示了冬季运动会的魅力和冰雪文化的独特韵味．如图是一个正六边形雪花状饰品，若该正六边形的边长为，则它的边心距为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆、特殊角的三角函数值．根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可． 【详解】解：如图所示，连接，，过O作于G， ∵此多边形是正六边形， ∴是等边三角形， ， ∴边心距， 故答案为：． 10．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【详解】解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，， 则六边形即为所求． 11．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，在四边形中，已知，分别以点，，为圆心，以长为半径作圆，求阴影部分的面积之和． 【答案】阴影部分的面积之和为． 【分析】本题考查扇形面积的计算，阴影部分面积之和等于三个扇形面积之和，利用扇形面积公式求解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：∵，，半径相同， ∴阴影部分面积之和等于三个扇形面积之和， ∵， ∴， ∴． 12．(24-25九上·陕西渭南韩城·期末)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的，点、分别与点、对应； (2)在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积， （1）根据旋转的性质，找到的对应点、，画出，即可求解． （2）扫过的是以点A为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：，旋转角为， ∴线段所扫过的图形的面积为． 地 城 考点09 弧长和扇形面积 1．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)已知圆锥的侧面积为，母线长是，则这个圆锥的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 根据圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长，直接利用扇形的面积公式计算求解即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面周长为，则， ， 故选：C． 2．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是， 根据题意得， 解得， 即圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是． 故选：D． 3．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)如图，将一个圆心角为，半径为18的扇形围成圆锥，则该圆锥的底面直径为（    ） A．9 B．18 C．15 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长关系，结合弧长公式和圆周长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的直径为d， 根据题意可得：， 解得． 故选：D． 4．(24-25九上·陕西西安阎良区·期末)圆心角是，半径为的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长公式（是扇形的圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解． 【详解】解：， ∴弧长， 故选：B ． 5．(24-25九上·陕西商洛·)如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，则点C在旋转过程中的旋转路径劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质及弧长计算，由旋转的性质可得出，，再利用弧长公式即可得出劣弧的长． 【详解】解：由旋转得，， 的长为， 故选：C． 6．(24-25九上·陕西西安碑林区西安工业大学附属中学·期末)甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据题意可得阴影部分的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴阴影部分的面积 故答案为：． 7．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为． 故答案为：． 8．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)设计者给出了蒙古包的三视图（图中尺寸单位：），现在想用毛毡搭建一个这样的蒙古包，至少需要 平方米的毛毡（取）． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是已知三视图求侧面积或表面积、圆柱和圆锥的侧面积计算，解题关键是熟练掌握圆柱和圆锥的侧面积计算公式． 根据题意得出需要用毛毡搭建的蒙古包面积为圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，再根据圆柱和圆锥的表面积计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据三视图可得该蒙古包由一个直径为，高为的圆柱和一个直径为，母线长为的圆锥组成， 则用毛毡搭建一个这样的蒙古包， 至少需要平方米的毛毡． 故答案为：． 9．(24-25九上·陕西西安西安高新第一中学·期末)如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， ∴重物上升了， 故答案为： ． 10．(24-25九上·陕西渭南大荔县·期末)如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键．根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，再求解即可． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图． ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 11．(24-25九上·陕西宝鸡陇县·期末)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面直径为，整个高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（结果保留）？ 【答案】平方米 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的侧面积计算，勾股定理，先求出圆柱的侧面积和圆锥的母线长，进而求出圆锥的侧面积，则可求出一个蒙古包需要的毛毡面积，最后乘以20即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵圆柱底面圆的直径为， ∴， ∴圆柱的侧面积为，圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为， ∴至少需要 的毛毡． 12．(24-25九上·陕西商洛·)如图，为的弦，于点C，连接，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）    【答案】 【分析】求出扇形的圆心角和半径，利用扇形面积公式进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的弦，于点C， ∴,， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、扇形面积等知识，求出扇形的圆心角和半径是解题的关键． 13．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)如图，在扇形中，半径，圆心角，求的长度．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式直接进行计算即可，熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 【详解】解：的长为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是,,． (1)画出绕点C顺时针方向旋转后得到的，点D、E分别与点A、B对应； (2)在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留π） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积， 对于（1），将点A绕点C顺时针旋转得到点D，同理得到点E，再连接，可得答案； 对于（2）扫过的是以点C为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵绕点C顺时针方向旋转后得到的， ∴. 又∵， ∴线段所扫过的图形的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $