专题07 直角三角形中的边角关系8考点（期末真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期北师大版

专题07 直角三角形中的边角关系 8大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 特殊角的三角函数值 考点03 三角函数综合 考点04 解直角三角形 考点05 仰角俯角问题 考点06 坡度坡比问题 考点07 方位角问题 考点08 其它问题 地 城 考点01 锐角三角函数 1．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)如图，在中，于点D，E是的中点，，，则的值是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，设，则，根据求出BD的长，从而求出CD的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， ， 在中，， 是的中点， ， ， ， 故选：C 2．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 3．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)如图，在边长为个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．若，则点的位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，根据正切的定义逐一排除即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、过点作于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，不符合题意； 、过点作于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，不符合题意； 、过点作于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，不符合题意； 、过点作交延长线于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，符合题意； 故选：． 4．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识点，设与的交点为，过B点作于点E，先求出，设，则，然后用含x的代数式表示出，的长，进而即可得解，正确得出是解决此题的关键． 【详解】解：如图，设与的交点为，过B点作于点E， 由图知，， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ， 由图知，， ， 在中，， 设，则， 根据勾股定理可得，， 根据三角形的面积公式可得，， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 5．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了正切的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 根据正切的定义计算即可得到答案． 【详解】解：由图可知， 故选： C． 6．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)如图，的顶点在正方形网格的交点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 在中，，， ． 故选：B． 7．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意得出，进而得出的正切值，再结合的长即可求出的长，进一步得出的长度，进而得出的长，最后在中，求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．(24-25九上·陕西西安鄠邑区·期末)如图，在中，，．的平分线交于点，若，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了求余弦值，角平分线的性质定理，勾股定理， 过点D作交于点E，首先得到，然后根据勾股定理求出，然后根据余弦的概念求解即可． 【详解】如图所示，过点D作交于点E ∵在中，，的平分线交于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 9．(24-25九上·陕西汉中宁强县·期末)我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，正切值的计算，理解赵爽弦图线段之间的关系，掌握勾股定理定理，正切值的计算方法是解题的关键． 根据正方形的面积得到，，根据赵爽弦图之间线段的关系得到设，则，由勾股定理得到，，结合正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形， ∴， ∴， ∴， ∵大正方形的面积是， ∴， ∵小正方形的面积是， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得  （负值舍去）， ∴，， ∴． 地 城 考点02 特殊角的三角函数值 1．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值计算即可得解． 【详解】解：， 故选：B． 2．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，直接利用特殊角的三角函数值作答即可． 【详解】 故选：B． 3．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)计算（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 利用特殊角的三角函数值计算法则计算即可； 【详解】解： 故选：B． 4．(24-25九上·陕西汉中镇巴县·期末)计算的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值运算，把三角函数的数值代入原式，进行计算即可得解． 【详解】解：， 故选：A． 5．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是关键． 直接根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 6．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是关键；根据角的正切值即可求解． 【详解】解：； 故选：C． 7．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)若是锐角，，则 °． 【答案】/45度 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值进行解答． 【详解】解：∵，是锐角， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，先化简二次根式并代入特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 9．(24-25九上·陕西西安鄠邑区·期末)计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题的关键． 把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解． 【详解】 ． 10．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： 11．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再利用实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 12．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数的计算，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．分别代入每一个特殊角的三角函数值，去绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 13．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 直接代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 14．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，计算绝对值、零次幂，即可求解． 【详解】解：原式 ． ． 15．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在中，，，延长至点，连接． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）作于点，利用三线合一性质得到，利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义即可求解； （2）利用正切的定义可得，求出的长，再利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点， ，， ，， ， 在中，． （2）解：在中，， ， ， ． 16．(24-25九上·陕西西安鄠邑区·期末)计算：． 【答案】 【分析】首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，化简二次根式和绝对值，然后计算加减． 此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂等知识，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． 17．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： ． 18．(24-25九上·陕西汉中镇巴县·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、化简绝对值是解题的关键．先计算锐角三角形函数值、绝对值、再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 19．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，代入特殊角三角函数值进行计算即可，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．(24-25九上·陕西咸阳·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： 21．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 地 城 考点03 三角函数综合 22．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：由旋转可得， 在中，，， ∴（米）． 故选：A． 23．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，是的直径，直线与相切于点C，延长，交直线于点P，作，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，三角函数综合等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，由切线的性质得，而，所以，则，所以，则平分； （2）连接，由，得，则，再证明，，则，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ∵直线与相切于点，点，点都在直线上， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， ， ， ， ，是的直径，， ， ， ， ， ， 的长为． 地 城 考点04 解直角三角形 1．(24-25九上·陕西咸阳·期末)如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点O旋转到的位置已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点A的对应点到的距离为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质、解直角三角形等知识．根据旋转的性质得到，由题意得到，则． 【详解】解：∵绕点O旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A 2．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 3．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在中，，，，点为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．根据锐角三角函数求出，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点为的中点， ， 故答案为：． 4．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交的延长线于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，线段中点的定义，根据三角函数求出，从而由线段中点的定义求出，再由三角函数求出即可，掌握三角函数，线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点，可得 ，由为的中位线，得，那么当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，可得为等腰直角三角形，则，，在中，，由于，即可求解最小值． 【详解】解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧， ∵等腰，点为中点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，圆的定义，解直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系求最值等，难度较大，解题的关键在与确定点M的轨迹． 6．(24-25九上·陕西宝鸡高新区·期末)如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为边向右作等边，连接，利用可证得，于是可得，则点在射线上运动，过B作于，由垂线段最短可知，此时最小，最小值为的长，延长交延长线于F，可得，然后通过解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 如图，以为边向右作等边，连接， 则，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点N在射线上运动， 如图，过B作于，由垂线段最短可知，此时最小，最小值为的长， 延长交延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，同位角相等两直线平行，解直角三角形的相关计算等知识点，得出点的运动路线是解题的关键． 7．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，在中，，点是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确计算是解题的关键．根据得出，进而根据勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 8．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数、三角形的面积计算公式是解题的关键．过点C作，垂足为点利用特殊角的三角函数分别求出，从而求出，再根据三角形的面积公式计算三角形的面积即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为点 ，， ，， ， ， ， ． 9．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定以及三角函数，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，根据外角的性质得到，即可证明相似； （2）连接，利用等腰三角形的性质得到，，由三角函数得，再利用相似三角形的性质即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵点D是的中点，， ∴，， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴ 10．(24-25九上·陕西汉中勉县·期末)如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连 接． (1)求证：四边形是正方形； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的判定与性质，平行线的性质，三角函数等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解题的关键． （）由矩形的性质得出， ，，证出四边形是矩形，再证明，即可得出四边形是正方形； （）由正方形的性质得出，，，得出，求出，在中，由三角函数即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 11．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)如图，在中，，为边的中点，连接，过点A作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质以及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出，进而可根据菱形的判定得出结论； （2）由平行线的性质可得出，设，，运用勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵中，，D为边的中点， ∴． ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，即 解得，（负值舍去） ， ∴． 12．(24-25九上·陕西汉中镇巴县·期末)如图，在矩形中，，，点在边上，连结，将射线绕点逆时针旋转后交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． 【初步探究】（1）如图1，连结，求的度数和的值； 【衍生拓展】（2）如图2，当点在射线上时，求线段的长． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）由矩形中，，得，即可得，由矩形和矩形可得，，得，得； （2）证明得出，，根据（1）的结论，即可求解． 【详解】解：（1）矩形中，，， ，，， ， ， ∴， 由矩形和矩形得，， ，即， ， ； （2）当点在射线上时， ∵矩形和矩形， ∴，， ，， ， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握旋转性质是解题的关键． 13．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，为的对角线，平分，交于点E，过点E作，交于点F，，，． (1)求证：是矩形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要查了矩形的判定，勾股定理的逆定理，锐角三角函数： （1）根据勾股定理的逆定理可得，即可求证； （2）利用锐角三角函数可得，从而得到，在和中，分别利用锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）证明：在中，∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴． 14．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)如图，在中，，D是边上的中点，连接，过点B作交延长线于点E．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了三角函数，直角三角形的性质． （1）在中，先根据三角函数求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长； （2）过C点作于F，求出的长，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 又是边的中点， ； （2）解：过C点作于点F． ， ， ∵， ∴， ， ， ， ． 15．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，，得出，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）因为点D为的中点，，得出是的垂直平分线，则，，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点D为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在中，． 地 城 考点05 仰角俯角问题 1．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为，且处离地面的高度为，然后在斜坡的坡底处测得建筑物顶端的仰角是，已知，点在同一水平线上，斜坡的坡度为，求这幢建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型．通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于点H，设这幢建筑物的高度为，则，根据和的三角函数值得出答案． 【详解】解：如解图，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 斜坡的坡度为， ． 设这幢建筑物的高度为，则， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得， 答：这幢建筑物的高度为． 2．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)公园的小湖中有一座假山，某中学九年级某班数学兴趣小组的活动课题是“测量假山的高度”．测量小队带上测角仪和皮尺进行现场测量，如图，首先把测量仪放在处，测得假山顶的仰角为，向后退了15m到达处，在处测得假山顶的仰角为，测角仪的高，请你计算假山的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】假山的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质等知识； 过E点作于G，则有，从而，在中，利用正切函数关系即可求得，从而求得假山的高度． 【详解】解：过E点作于G， ∵， ∴， ∴； 由题意，得四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴； 在中，， ∴， 即， 解得：， 则， 答：假山的高度为． 3．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为已知斜坡的坡比为点E，C，B在同一水平线上    (1)求点D到地平线的距离． (2)求大树的高度参考数据：，， 【答案】(1)点D到地平线的距离为4米； (2)大树的高度是米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于点H，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （2）过点D作于点G，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点H，则，    由题意知米， 斜面CF的坡比为， ， 设米，则米， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 米， 点D到地平线的距离为4米； （2）解：如图2，过点D作于点G，设米，    由（1）得：米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， ， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的解， 米， 答：大树的高度是米． 4．(24-25九上·陕西汉中镇巴县·期末)某地灯会引进了现代光电技术，让古老的彩灯艺术焕发出青春的熠熠光芒．如图是某地灯会现场的部分示意图，为主灯塔，为汇展舞台，于点，于点，一束灯光的光线从主灯塔处发出，经过平面镜处，反射到达舞台中央处（为法线，，）．测得水平方向，．（参考数据：，，） (1)求的高度； (2)求主灯塔的高度． 【答案】(1)的高度约为； (2)主灯塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，，，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 在中，，， ， 的高度约为； （2）解：延长交于点， 由题意得：，，，，， ， ， 在中，， ， 主灯塔的高度约为． 5．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图是小辰绘制的在家测量对面一幢楼房高度的示意图．图中点，均在同一平面内，小辰在家测量时的位置在点处，点到地面的距离，想要测量楼房的高度，小辰在点处测得地面上一点的俯角是，楼房的最高点的仰角是，，，点在上，点到的距离，请根据以上小辰测得的数据，计算出楼房的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】楼房的高度为 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，含角的直角三角形，仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 如图所示，过点作于点，可得四边形是矩形，在中，，可得（负值舍去），，在中，运用仰俯角解直角三角形可得的值，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高度为． 6．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)如图，小丽瞭望远处的建筑物，已知小丽的身高为米，在点处测得建筑物最高点的仰角为，沿方向前进米到达点处，在点处测得建筑物最高点的仰角为，求建筑物的高度（参考数据，，）．    【答案】建筑物的高度为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 如图，延长交于点，则，米，米，设米，则米，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点，    由题意，得，米，米， 设米， ， 米， 米， 在中， ， 米， ， 解得， 米， 建筑物的高度为米． 地 城 考点06 坡度坡比问题 1．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)周末许老师参加骑行爬山活动，他沿着坡度为的山坡上坡骑行前进了1800m，则许老师所在的位置升高了（   ） A．900m B．1000m C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．已知了坡度，可求出坡角的度数，进而根据坡面长求出铅直高度即许老师垂直升高的距离． 【详解】解：如图，中，，，    ∴， ∴． ∴许老师所在的位置升高了， 故选：A． 2．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为1m，则坡面的长度是（   ） A．4m B．m C．m D．m 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是明确坡比是坡角的正切值． 根据坡度的定义，求出，然后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ． 故选：C． 地 城 考点07 方位角问题 1．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)2024年夏季，某地发生洪涝灾害，致使许多地方因被淹而出现险情，两地的甲乙两支救援队接到转移处受困群众的任务．已知地在地的北偏西，距离地40千米，点M在地的南偏西方向上，求的长．（结果精到千米，参考数据：） 【答案】千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于, 在中， ∵，千米， ∴（千米）， （千米）． 在中， ∵， ∴（千米）， ∴（千米）， 答：的长约为千米． 地 城 考点08 其它问题 1．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，、、构成一个三角形．当窗钩端点与点之间的距离是的位置时（如图，即），窗户打开的的度数为．（参考数据：，，） (1)求点到的距离的长； (2)求窗钩的长度． 【答案】(1)点到的距离的长为； (2)窗钩的长度约等于． 【分析】（）在中, 根据即可求得； （）在中，根据，再根据，求出，然后根据勾股定理即可求出； 本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，，， 在中，， ∴点到的距离的长为； （2）解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴窗钩的长度约等于． 2．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺； (2)该秋千的长度约为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识点， (1)设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可； (2)在和中，解直角三角形得到,代入计算即可求得答案； 熟练掌握其性质并把实际问题转化为直角三角形问题是解决此题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设秋千绳索的长度为尺， 由题可知，尺，尺，尺， 尺， 在中，由勾股定理得：, ,解得， 答：秋千绳索的长度为尺； （2）解：由题可知，， 在中，, , 同理，, , , , ， 答：该秋千的长度约为米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07直角三角形中的边角关系 ☆8大高频考点览 考点01锐角三角函数 考点02特殊角的三角函数值 考点03三角函数综合 考点04解直角三角形 考点05仰角俯角问题 考点06坡度坡比问题 考点07方位角问题 考点08其它问题 目目 考点01 锐角三角函数 1.(24-25九上陕西西安灞桥区东城一中·期末)如图，在ABC中，AD1BC于点D,E是AC的中点， BC=4D=8,coB=号，则inEDC的值是（】 A B.4 c.4f7 D.17 17 17 2.(24-25九上陕西西安蓝田县期末)如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，则 cos∠ABC的值为() B A. B.5 D. 3 3 / 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3.(24-25九上陕西榆林榆阳区期末)如图，ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的 顶点位。若m4:则点C的位置可以在（) C2 B A.点C处 B.点C,处 C.点C处 D.点C处 4.(24-25九上陕西西安交通大学附属中学期末)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD,连 接AC,则tan∠ACB的值为() D 图1 图2 A. 6 B. C. D. 3 5.(24-25九上陕西咸阳三原县·期末)如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanB的值是() B a月 c D.2 6.(24-25九上陕西西安灞桥区东城一中.期末)如图，ABC的顶点在正方形网格的交点上，则tanC的值为 () -「B A.1 C.7 D.② 2 7.(24-25九上陕西西安莲湖区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AC与点E, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若an∠DEA，BC=6,则CE的长为 B 8.(2425九上陕西西安鄂邑区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8.∠ABC的平分线交AC于 点D,若CD=3，,求cosA的值. B 9.(24-25九上陕西汉中宁强县·期末)我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时， 用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数 学的成就.已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，求tanZADF的值. 目目 考点02 特殊角的三角函数值 1.(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)-tan45°的值是() A.1 B.-1 C.-2 D.3 2 2.(24-25九上陕西宝鸡陈仓区·期末)计算sin30°=() A.2 B. C.3 D. 2V5 2 3 3.(24-25九上陕西咸阳三原县期末)计算4sin30°=() A.2 B.2 C.2W3 D.5 4.(24-25九上陕西汉中镇巴县·期末)计算2tan45°的值为() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.5 C.1 D.2 5.(24-25九上陕西西安莲湖区·期末)tan60°的值等于() A. B. √3 C.3 D.5 3 2 6.(24-25九上陕西榆林榆阳区·期末)计算：√2tan45°=() A.1 B. C.2 D.6 7。Q425九上陕西检林子洲县期末利若乙A是锐角，csA2,则∠A 故答案为：45°. 8.(24-25九上陕西西安蓝田县期末)计算：V8-tan45°-V2. 9.(24-25九上陕西西安鄂邑区·期末)计算：2sin30°+cos60°-tan60°.tan30°+cos245°. 10.(24-25九上·陕西咸阳礼泉县期末)计算：2sin45°-2√3cos30°+√3tan60°. 11.(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)计算：2√2sin45°+4cos60°-√3tan30°. 12.(24-25九上·陕西西安碑林区期末)计算：V2sin45°-2cos30°+V1-tan602. 13.(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)计算：2cos45°-cos60°.sin30°+tan45 14.(24-25九上陕西宝鸡陈仓区期末)计算：1-tan60+(2024-π)°-cos30°. 15.(24-25九上陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在ABC中，AB=AC=4,BC=6,延长BC至点D,连接 AD. 30 (1)求sinB的值； (2)若∠ADB=30°，求CD的长. 16.(24-25九上陕西西安鄂邑区期末)计算： （-2n604a-31w4h-顶 17.(24-25九上陕西西安高陵四中教育集团期末)计算：3tan30°+tan45°+2sin30°. 18.(24-25九上陕西汉中镇巴县期末)计算：8-2cos45°+2-1. 19.(24-25九上陕西榆林横山区期末)计算：tan60°-2cos245°-2sin60°. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(24-25九上陕西咸阳期末)计算：2sin45°-2√3cos30°+√3tan60°. 21.(24-25九上陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)计算：tan60°-4sim60°-2cos245°. 目目 考点03 三角函数综合 22.(24-25九上陕西咸阳礼泉县期末)如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点0旋转到AB的位置. 己知A0=4米，栏杆的旋转角∠AOA'=40°，则旋转后点A的对应点A到AB的距离AH为() y, -B 777777777777777777 4 A.4sin40°米B.4cos40°米 C.4tan40°米 D. sin40°米 23.(24-25九上陕西西安碑林区期末)如图，AB是⊙0的直径，直线m与⊙0相切于点C,延长AB,交 直线m于点P,作AE⊥EP,垂足为E,AE交OO于点D,连接AC,BC. R B m (I)求证：AC平分∠BAD; (2)若AB=20cm,BC=12cm,求DE的长. 目目 考点04 解直角三角形 1.(24-25九上陕西咸阳期末)如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B的位置已知 A0=4米，栏杆的旋转角∠A0A'=40°，则旋转后点A的对应点到AB的距离AH为()· A H B A.4sin40°米 B.4cos40°米 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.4tan40°米 0加米 D.4 2.2425九上陕西减阳三原县期末图.在A8C中，∠A6C=309,aC=行4B=6,则8C的长 为 B C 3.2425九上陕西宝鸡渭滨区期术如图，在R△ABC中，∠4BC=90,4B=4,nC=号，点D为 AC的中点，连接BD,则BD的长为 B 4.(24-25九上陕西咸阳乾县吴店九年制学校期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点， 过点D作B的垂线交AC的延长线于点E,4C=12,cQ0s4=}则AE的长为 B. D 5.(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2√2，点P在以斜边AB为直 径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是_ M 6.(24-25九上·陕西宝鸡高新区期末)如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=1,点M是AD边上一点，连 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 接CM,以CM为边向右作等边aCMN,连接BN,则BN的最小值为 N A M B 7.(24-25九上陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是BC边上一点，过点E作 ED1AC,垂足为D,cosA号，AC=10,DE=4,求AD的长， B E 8.(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)如图，在aABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=4√2，求 △ABC的面积. A30 45>B 9.(24-25九上陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，在ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在BA的延长 线上，点F在边AC上，连接DE,DF,∠EDF=∠B. 4 B D (I)求证：△BDE∽△CFD; 2当AB=0,cosB求CF8E的值 10.(24-25九上陕西汉中勉县期末)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD,交BC于点E,过点E作 EF⊥AD于点F,连接BF交AE于点P,连接PD. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E (I)求证：四边形ABEF是正方形： (2)如果AB=4,AD=7,求tan∠ADP的值. 11.(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，连接CD, 过点A作AG∥DC,过点C作CG∥DA,AG与CG相交于点G, D (1)求证：四边形ADCG是菱形； （②若4B=5,m∠4CG-子求8C的长 12.(24-25九上·陕西汉中镇巴县期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=2√5，点E在边BC上，连结 AE,将射线AE绕点A逆时针旋转90°后交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG· D 图1 图2 〖初步探究】（①如图1，连结BD,求∠D8C的度数和的值 【衍生拓展】(2)如图2，当点F在射线AD上时，求线段BE的长， 13.(24-25九上陕西宝鸡陈仓区期末)如图，BD为口ABCD的对角线，DE平分∠ADB,交AB于点E,过 点E作FE⊥DE,交BD于点F,AD=2,AB=2N5,BD=4. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：ABCD是矩形； (2)求EF的长. 14.(24-25九上陕西咸阳三原县期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的中点，连接CD ，过点B作BE1CD交CD延长线于点E,已知4C=6,cosA= 5 A (1)求线段CD的长； (2)求cos∠DBE的值. 15.(24-25九上陕西咸阳礼泉县期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，DE⊥AB交 AC于点E,连接BE,BE=5,sin∠CBE=2. B D E (1)求BC的长； (2)求tanA的值. 目目 考点05 仰角俯角问题 1.(24-25九上陕西西安蓝田县期末)如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想 要测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°，且D处 离地面的高度DE为5m,然后在斜坡的坡底A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，己知BC⊥AC，点 E,A,C在同一水平线上，斜坡的坡度为1：7，求这幢建筑物BC的高度.（结果保留根号） 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B D 1309 ◇ 60° 2.(24-25九上陕西榆林榆阳区·期末)公园的小湖中有一座假山，某中学九年级某班数学兴趣小组的活动课 题是“测量假山的高度”.测量小队带上测角仪和皮尺进行现场测量，如图，首先把测量仪放在D处，测得 假山顶A的仰角为45°，向后退了15m到达C处，在C处测得假山顶A的仰角为17°，测角仪的高 BC=DE=1.6m,请你计算假山的高度A0.(结果精确到0.1m,参考数据：sin17°≈0.29，cosl7°≈0.96， tanl7°≈0.31) B 45° 1.6m 15m 3.(24-25九上陕西西安灞桥区东城一中期末)数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝 试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°.再从C点出发沿斜 坡走4√10m到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为26.5°.已知斜坡CF的坡比为i=1:3点 E,C,B在同一水平线上) F m D26.5° 45° 公 B (I)求点D到地平线BE的距离. (2)求大树AB的高度（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）