专题08 锐角三角函数4大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期人教版

专题08 锐角三角函数（期末真题汇编，安徽专用） 4大高频考点概览 考点01 求三角函数值 考点02 解直角三角形的应用 考点03 求锐角三角函数值的常见方法 考点04 锐角三角函数应用的常见模型 地 城 考点01 求三角函数值 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．由相似三角形的判定和性质可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，，， ∵点为边的中点， ， ∵， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求余弦以及勾股定理，熟练掌握余弦的定义是解题关键． 先通过勾股定理求得，再通过角度关系得到，再通过余弦定义求出即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的基本定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，，设，则，根据计算即可． 【详解】解：构造直角三角形如下： 根据题意，得， 设， 则， ∴， 故选：A． 4．（22-23九年级上·安徽六安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴． 故选：A．    【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角函数的求解，根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【详解】解：如图，   ， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）将等边三角形沿直线平移得到，使点与C重合，连接，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查平移的性质、等边三角形的性质、勾股定理及正切的意义，熟练掌握平移的性质、等边三角形的性质、勾股定理及正切的意义是解题的关键；过点作于点D，由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】解：过点作于点D，如图所示： ∵等边三角形沿直线平移得到， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点A、B、C在上，，，，点是劣弧上一点，则的值是 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆周角定理及三角函数的定义，把所求角转化成在直角三角形中的角是解题的关键． 连接，在中，可求得，则可求得，由圆周角定理可求得，可求得出答案． 【详解】解：如图，连接，则， ，，， ， ， ∵ ． 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，是的内切圆，连接交于点D，延长交于点E，则E为与的切点． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)根据题中规律可得，当时，__________； (2)猜想：当（是大于的自然数）时，请用含的代数式表示，并给出证明过程． 【答案】(1)； (2)，证明详见解析． 【分析】本题考查了余弦的定义，切线的性质，图形类规律探究； （1）根据题中的规律，直接写出的值； （2）过点作于点．根据是的内切圆，分别求得的长，进而根据，余弦的定义，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，当时， 故答案为：． （2）． 证明：如图，过点作于点． ∵， ∴设，则， ∴．     ∵是的内切圆， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 地 城 考点02 解直角三角形的应用 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在坡度的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离是6米，则斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是（    ） A．6米 B．6.5米 C．13米 D．14.4米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡度的定义，学会利用勾股定理解决问题．根据坡度的定义，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于， ∵山坡的坡度为，株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米， 水平距离米， ， 铅垂高度米， 斜坡上相邻两树间的坡面距离（米， 故选：B． 2．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）某段河堤的横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据坡比的定义，由坡比为得到，则，再由勾股定理即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵在中，堤高，迎水坡的坡比为， ，则， 由勾股定理得到， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及坡比定义及勾股定理求线段长，熟记坡比定义是解决问题的关键． 3．（22-23九年级上·安徽六安·期末）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（    ） A．12米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据题意可以求得的长，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵米，迎水坡的坡比为， ∴， ∴米， ∴米， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一汽车在坡度为的斜坡上爬行，从点行驶了米到达点，则这时汽车在水平方向前进的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义，是解答本题的关键． 根据题意，得到，利用勾股定理，得到，再由已知条件，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ，斜坡的坡度为， ， ∵， ， ∵， ， （米）， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）小明看到了天上自由飞翔的小鸟，突发奇想，准备利用自己学过的锐角三角函数知识计算出小鸟飞行的高度．他在地面的点处利用测角仪测得小鸟在点处的仰角为，后，小鸟飞到了点处（点，在同一水平线上），此时测得仰角为．已知测角仪的高度是，且查阅资料可知该种小鸟的飞行速度约为，根据以上数据计算小鸟的飞行高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 过点作，过点作，设，则，在中，，得，在中，，得，因为，所以，解出的值即的长度，再求出的长度，最后根据即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， 根据题意设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 答：小鸟的飞行高度约为． 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管（其中C、D、E三点共线）的长度为0.6米．（参考数据：） (1)求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）； (2)求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 【答案】(1)1.6米 (2)0.6米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形； （1）过B作于解，求出的长即可； （2）易得四边形为矩形，求出的长，分别解，，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：过B作于 ， 在中，， 米，， 米． 答：水平横管到水平线的距离约为1.6米； （2）， ∴四边形为矩形， 米， 米， （米）， 在中，， 米．                 又在中，， 米，， 米                 米． 米， 答：水平横管的长度约为0.6米．                             7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）随着智能化的发展，现在很多同学会采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度及点A到的距离．（参考数据：，，，．结果精确到．） 【答案】此时顶部边缘处离桌面的高度约为；点A到的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过A作，垂足为E． ∵， ∴， 在中，， ∴，， 由题意得， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即此时顶部边缘处离桌面的高度约为； ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 即点A到的距离约为． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）“手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似，这种机器人一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，分别为机器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时，求点C到工作台的距离的长．（参考数据：，，）． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形．根据题意过点B作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F，利用三角形函数求出和，继而得到本题答案． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， 在中，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴点C到工作台的距离的长约为米． 地 城 考点03 求锐角三角函数值的常见方法 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．在直角三角形中，根据正弦的意义可求解． 【详解】解：如图， ∴， ∴； 故选B 2．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）等腰梯形的上底为，下底为，面积为，则较小的底角的正弦值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，梯形．过点A作于点E，根据题意可得的长，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，    根据题意得：， ∴， ∵梯形的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：C 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）中，的对边分别为a、b、c．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角形函数的求值，勾股定理逆定理的应用，先利用勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再利用三角形面积求出的长，即可求出最后结果． 【详解】解：如图， ， 即， 为直角三角形，且， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．在中，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图，在的正方形网格图中， 在中，， ． 故选：D． 二、填空题 5．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在正方形中，点，分别是，上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到，交于点，对角线交于点，当点运动到的中点时，    （1） ； （2） ． 【答案】 / 【分析】根据正方形的性质可得，从而证明，设正方形的边长为，则，利用勾股定理求得，证明，可得，从而证得，可得，，即可求解． 【详解】当点运动到的中点时，如图，设正方形的边长为，则，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，在中，． 故答案为：，． 6．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为E，连接，若的坡度是，则的值是 ． 【答案】 【分析】过点作于点，易证，从而可求出，，设，则，根据三角形的面积可求出，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ，， ，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 7．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点上，那么的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质．设小正方形的边长为a，则 ，，，过点B作于点D，根据等腰三角形的“三线合一”得到，从而用勾股定理求出，过点C作于点E，利用的面积求出，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为a，则 ，，， 过点B作于点D， ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点E， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等面积法求值点到的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点， ∴，且点到的距离（高）为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点P，D分别在边AB，BC上，且AD2＝AP·AB． (1)证明：△PAD∽△DAB； (2)求∠ADP的正弦值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）因为AD2＝AP·AB，所以；且∠DAP=∠BAD，可证明结论； （2）由（1）得∠ADP=∠B，作AH⊥BC于H，利用勾股定理求出AH的长，再利用三角函数的定义可得答案． 【详解】（1）解：证明：∵AD2=AP·AB， ∴ 又∵∠DAP=∠BAD， ∴． （2）∵， ∴∠ADP=∠B 如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵在中，AB=AC=15，BC=24， ∴BE=CE=12 ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义等知识；解题的关键是将sin∠ADP转化为sin∠B． 10．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F． (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，平分，，得再结合正方形的性质可证，得，再证，得，进而即可证明结论； （2）设正方形的边长为，则，，得，结合正方形的性质可证，得，再由等腰三角形的性质得，进而即可求解； （3）由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得，设正方形的边长为，由（2）得，得，则，在中，可知，进而即可求解． 【详解】（1）证明：，平分， ， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ∴， ； （2）解：设正方形的边长为，则， ， ， 正方形， ，则，， ， ， ，平分， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 设正方形的边长为，由（2）得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键 地 城 考点04 锐角三角函数应用的常见模型 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得，再结合勾股定理，根据追及问题求法计算即可； 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识相结合是解题的关键． 【详解】∵走私船在处的南偏东方向上， ， 走私船在处沿南偏西方向行驶， ， 设追上走私船所需时间是小时， 则 解得 (不合题意，舍去)或 故选：C． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】过点作，为垂足，由锐角三角函数的定义求出的长，再由即可得出结论． 【详解】解：过点作，为垂足，如图所示： 则四边形为矩形，米， 米， 在中，， ， （米， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键是构造出直角三角形． 3．如图，在处测得旗杆的顶端的仰角为，向旗杆前进米到达处．在处测得的仰角为，则旗杆的高为(　　)米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设米，则米，根据，得到答案． 【详解】解：由题意得：，，米，则 设米，则米， ∵ 解得 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 二、填空题 4．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为 海里．    【答案】 【分析】设海里，可得海里，海里，然后根据海里列方程求解即可． 【详解】解：设海里， 依题意得，，，海里， 海里，海里， 海里，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握含特殊角的三角形的边角关系是解题的关键． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）渡江战役纪念馆位于合肥滨湖新区，是国家级国防教育示范基地、全国爱国主义教育示范基地．纪念馆广场中胜利塔代表着“八一”军队的胜利，塔体从空中俯看呈五角星状．小明同学想测量该胜利塔的高度，如图所示，他用高为1.5米的测角器在与塔的底部B成一条直线的C，D两处地面上，分别测得塔顶部A的仰角，，同时量得米．问胜利塔的高度约为多少米？ （，，，，精确到1米） 【答案】99米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得米，米，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， ∴米； 答：胜利塔的高度约为99米． 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）某班级同学开展瞻仰革命先烈活动，同时测量革命先烈纪念碑的高度，如图，他们在土坡的底端A测得革命先烈纪念碑的顶端P的仰角，又在土坡顶端B测得P的仰角．已知土坡的坡脚，且A，B，P，Q在同平面上．求革命先烈纪念碑的高度． 参考数据：，，，，，． 【答案】纪念碑的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题．过点作交延长线于点，作交延长线于点，在中，求得和的长，设米，则（米），在中，求得，推出，在中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：如图：过点作交延长线于点，作交延长线于点， 由题意得： 在中，， ， 设米，则（米）， 在中，， （米）， ∴（米）， 在中，，即， 解得：（米）， 答：纪念碑的高度约为米． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治．已知C岛在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向上，军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里，需要多少小时才能把患病渔民送到基地医院．（结果保留1位小数） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，添加辅助线是解题的关键． 根据题意知应求的长，为斜三角形，所以需作高转化为直角三角形求解．作于，分别解即可． 【详解】解：根据题意，得， 作于， 设， 解得 答：需要大约1.2小时才能把患病渔民送到基地医院． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数（期末真题汇编，安徽专用） 4大高频考点概览 考点01 求三角函数值 考点02 解直角三角形的应用 考点03 求锐角三角函数值的常见方法 考点04 锐角三角函数应用的常见模型 地 城 考点01 求三角函数值 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（22-23九年级上·安徽六安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）将等边三角形沿直线平移得到，使点与C重合，连接，则的值为 ． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点A、B、C在上，，，，点是劣弧上一点，则的值是 三、解答题 8．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，是的内切圆，连接交于点D，延长交于点E，则E为与的切点． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)根据题中规律可得，当时，__________； (2)猜想：当（是大于的自然数）时，请用含的代数式表示，并给出证明过程． 地 城 考点02 解直角三角形的应用 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在坡度的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离是6米，则斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是（    ） A．6米 B．6.5米 C．13米 D．14.4米 2．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）某段河堤的横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·安徽六安·期末）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（    ） A．12米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一汽车在坡度为的斜坡上爬行，从点行驶了米到达点，则这时汽车在水平方向前进的距离为 米． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）小明看到了天上自由飞翔的小鸟，突发奇想，准备利用自己学过的锐角三角函数知识计算出小鸟飞行的高度．他在地面的点处利用测角仪测得小鸟在点处的仰角为，后，小鸟飞到了点处（点，在同一水平线上），此时测得仰角为．已知测角仪的高度是，且查阅资料可知该种小鸟的飞行速度约为，根据以上数据计算小鸟的飞行高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，） 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管（其中C、D、E三点共线）的长度为0.6米．（参考数据：） (1)求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）； (2)求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）随着智能化的发展，现在很多同学会采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度及点A到的距离．（参考数据：，，，．结果精确到．） 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）“手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似，这种机器人一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，分别为机器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时，求点C到工作台的距离的长．（参考数据：，，）． 地 城 考点03 求锐角三角函数值的常见方法 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）等腰梯形的上底为，下底为，面积为，则较小的底角的正弦值为（     ） A．2 B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）中，的对边分别为a、b、c．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在正方形中，点，分别是，上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到，交于点，对角线交于点，当点运动到的中点时，    （1） ； （2） ． 6．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为E，连接，若的坡度是，则的值是 ． 7．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点上，那么的值为 ． 8．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 三、解答题 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点P，D分别在边AB，BC上，且AD2＝AP·AB． (1)证明：△PAD∽△DAB； (2)求∠ADP的正弦值． 10．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F． (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值． 地 城 考点04 锐角三角函数应用的常见模型 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，在处测得旗杆的顶端的仰角为，向旗杆前进米到达处．在处测得的仰角为，则旗杆的高为(　　)米． A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为 海里．    三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）渡江战役纪念馆位于合肥滨湖新区，是国家级国防教育示范基地、全国爱国主义教育示范基地．纪念馆广场中胜利塔代表着“八一”军队的胜利，塔体从空中俯看呈五角星状．小明同学想测量该胜利塔的高度，如图所示，他用高为1.5米的测角器在与塔的底部B成一条直线的C，D两处地面上，分别测得塔顶部A的仰角，，同时量得米．问胜利塔的高度约为多少米？ （，，，，精确到1米） 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）某班级同学开展瞻仰革命先烈活动，同时测量革命先烈纪念碑的高度，如图，他们在土坡的底端A测得革命先烈纪念碑的顶端P的仰角，又在土坡顶端B测得P的仰角．已知土坡的坡脚，且A，B，P，Q在同平面上．求革命先烈纪念碑的高度． 参考数据：，，，，，． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治．已知C岛在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向上，军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里，需要多少小时才能把患病渔民送到基地医院．（结果保留1位小数） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $